Локализованные состояния и флуктуации в графене тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.10, кандидат физико-математических наук Чэнь Сяосин

• Чэнь Сяосин
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Чэнь Сяосин

Введение.

Глава 1. Кристаллическая структура и электронный спектр монослойного графена.

1.1. Кристаллическая структура и симметрия графена.

1.2. Модель сильной связи и зонная структура.

1.3. Точечные дефекты в графене.

Глава 2. Локализованные электронные состояния и оптическое поглощение в монослойном графене в приближении ЛКАО.

2.1. Функция Грина и плотность электронных состояний.

2.2. Влияние точечных дефектов на электронные состояния графена

2.3. Оптическое поглощение в графене.

Глава 3. Квантование и локализация электронных состояний в графене во внешнем однородном электрическом поле.

Глава 4. Спонтанное нарушение симметрии в монослойном графене.

4.1. Динамическое рождение щели в электронном спектре.

4.2. Динамическое образование доменов электронного спектра.

Глава 5. Дискретный бризер в двухмерной кристаллической решетке.

5.1. Введение в дискретный бризер в приближении вращающейся волны, антиинтегрируемость Обри.

5.2. Дискретный бризер с одноузельной нелинейностью.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Локализованные состояния и флуктуации в графене»

Актуальность темы:

Первое отделение моноатомного слоя графита, получившего название графен, послужила началом бурного развития экспериментальных и теоретических исследований этого объекта. Присуждение нобелевской премии по физике в 2010 году А. Гейму и К. Новоселову [1,2] означало признание важности этих исследований. Интерес к графену обусловлен как уникальными физическими свойствами этого объекта, так и перспективами его применения в электронике. Среди важных необычных свойств графена можно отметить аномально высокую фермиевскую скорость (~108 см/с) и

5 2 11 подвижность носителей заряда (-2-10 см В" с" ), что важно для повышения быстродействия электронных приборов. Одной из интересных особенностей электронного спектра графена является закон дисперсии, имеющий вид двуполостного конуса вблизи критических точек [29] в зоне Бриллюэна, характерный для бесщелевых полупроводников первого рода. Это позволяет описывать соответствующие электронные состояния с помощью двухзонного уравнения, математически эквивалентного уравнению Дирака для двухкомпонентного спинора. Однако, некоторые особенности электронных состояний графена не могут быть описаны уравнением Дирака и требуют явного учета кристаллической структуры объекта.

Другой важной особенностью графена является двухмерность кристаллической структуры, так что монослойный или бислойный лист графена можно рассматривать как мембрану с поверхностным натяжением. С этой стороны возникает одна фундаментальная физическая проблема в связи с получением монослойного графена - вопрос о возможности существования устойчивых двумерных кристаллических структур при конечной температуре. Ландау и Пайерлс [5-7] показали, что для двумерных кристаллических систем в гармоническом приближении амплитуда флуктуационных колебаний атомов расходится логарифмически в длинноволновом пределе. Мермин и Вагнер [8,9] доказали, что длинноволновые флуктуации разрушают дальний порядок в двумерной системе. Кроме того, длинноволновые флуктуации смещений атомов расходятся и в перпендикулярном направлении плоскости кристалла. Но все эти суждения обоснованы для строго плоской структуры в гармоническом приближении. При образовании статических волн изгиба плоскости или учете ангармонической поправки происходит стабилизация состояния системы.

Основная цель диссертационной работы состоит в том, чтобы построить простую теоретическую модель, позволяющую адекватно описывать поведение электронов и фононов в графене с учетом особенностей симметрии его кристаллической структуры при разрушении дальнего порядка, т.е. при наличии дефектов и примеси или сильном электрон-фононном взаимодействии. В рамках этой модели проанализировать характерные свойства электронной и фононной подсистем.

Для достижения поставленной цели в диссертационной работе предстояло решить следующие задачи:

• построение функции Грина с решеточной особенностью, с помощью которой можно аналитически исследовать электронные состояния и их плотность в идеальном кристалле, а так же оптическое поглощение света в идеальном и неупорядоченном кристаллах;

• теоретическое исследование с помощью решеточной функции Грина влияния точечных дефектов и локальной примеси на плотность, резонансы и рассеяние электронных состояний;

• проанализировать поведение электронных состояний в модели блоховских осцилляций при однородном электрическом поле;

• предложить возможность динамического рождения щелей в электронном спектре при сильном электрон-фононном взаимодействии в модели Гросса-Неве в (2+1) - мерном пространстве;

• предложить так же возможность существования доменов инверсии зон благодаря электрон-фононному взаимодействию;

• построить модель дискретного бризера в двумерной решетке.

Методами исследования являются теория функций Грина в конденсированной среде, зонная теория полупроводников, метод континуального интегрирования, теория систем линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами и теория нелинейных волн.

Положения, выносимые на защиту:

1. Построена приближенная решеточная функция Грина для монослойного графена, учитывающая реальную кристаллическую структуру и особенности Ван Хова, с помощью которой можно аналитически описывать локализованные электронные состояния и оптическое поглощение. В частности, с ее помощью получены характеристические уравнения для связанных и резонансных электронных состояний, вычислен интервал энергий |е| < Г = 2у/г/3а (где ? ~ 2, 8 эВ — 1/6 максимальной ширины разрешенной зоны), в котором существуют острые резонансы в рассеянии электронов; вычислен оптический коэффициент поглощения графена в широком диапазоне частот фотонов, как в области применимости уравнения Дирака, так и за ее пределами, где сказывается влияние особенностей Ван Хова.

2. Найдены квазиклассические поправки к условиям квантования уровней Ваннье-Штарка, вызванные взаимодействием зон при еЕа/1 « 1.

3. Показана возможность флуктуационного рождения щели и доменов при достаточно сильном электрон-фононном взаимодействии. Найден порог образования щели по величине константы электрон-фононного взаимодействия: g> gcr~ 0,8 эВ/см.

4. Показана возможность существования дискретного бризера в двумерной решетке. Получена зависимость частоты нелинейных колебаний центрального узла от их амплитуды. Отмечено, что амплитуда колебания в относительно широком диапазоне частот достаточно медленно убывает, а вблизи порога быстро убывает до нуля.

Достоверность и обоснованность проведенных расчетов и результатов обеспечена обоснованностью применяемых методов математической физики и теории полупроводников, сопоставлением полученных нами теоретических результатов в некоторых предельных областях с экспериментальными и теоретическими результатами, представленными в работах других авторов, апробацией основных научных результатов на научных, научно-технических конференциях, семинарах, симпозиумах различного уровня, публикацией в научных реферируемых журналах.

Научная новизна работы;

• Впервые показана возможность флуктуационного рождения щели в электронном спектре и существования доменов инверсии зон благодаря сильному электрон-фононному взаимодействию. Найдена критическая величина константы электрон-фононного взаимодействия, при которой возникает щель.

• Сформулирована и проанализирована аналитически решаемая модель нелинейного дискретного бризера в двумерной решетке, получена зависимость частоты бризера от его амплитуды.

• Получен коэффициент оптического поглощения в графене в широком диапазоне частот.

Научное и практическое значение работы

Результаты диссертационной работы могут быть использованы для объяснения оптических и кинетических свойств монослойного графена. Предложенная диссертантом модельная решеточная функция Грина может быть использована другими авторами для осуществления количественных аналитических вычислений при дальнейшем изучении кинетики и оптики графена. Методы, развитые в диссертации, могут послужить основой для разработки лекционного курса по теории низкоразмерных бесщелевых полупроводников и соответствующих курсовых и выпускных работ.

Личное участие автора в получении представленных результатов состоит в том, что все включенные в диссертацию материалы получены им лично или при его непосредственном участии.

Апробация работы.

Основные научные выводы и положения докладывались на следующих конференциях: 11th International Conference on Atomically Controlled Surfaces, Interfaces and Nanostructures, St. Petersburg, October 3-7, 2011; Научно -технические конференции профессорско-преподавательского состава СПбГЭТУ, СПб, 2009, 2010, 2011, а также на семинарах в Физико-техническом институте им. А.Ф. Иоффе.

Публикации:

Основные теоретические и практические результаты диссертации опубликованы в 4 научных статьях и докладах, из них по теме 4, среди которых 2 публикации в ведущих рецензируемых изданиях, рекомендованных в действующем перечне ВАК, 1 в другом издании, доклад доложен и получил одобрение на 1 международной конференции. Список публикаций приведен в конце реферата.

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы, включающего 126 наименований. Работа изложена на 108 страницах машинописного текста, содержит 28 рисунков.

Заключение диссертации по теме «Физика полупроводников», Чэнь Сяосин

Заключение

1. Построена модельная функция Грина, аналитически описывающая главные особенности электронных состояний монослойного графена, учитывающая симметрию кристаллической решетки и ванхововские особенности.

2. С помощью модельной электронной функции Грина, учитывающей дискретность кристаллической решетки, вычислены плотность состояний и коэффициент оптического поглощения для чистого и неупорядоченного монослойного графена.

3. Получено характеристическое уравнение для связанных и резонансных электронных состояний при наличии точечного дефекта. Проанализирован случай, когда отличен от нуля матричный элемент потенциала дефекта на одной из подрешеток графена. При выводе характеристического уравнения использована полученная нами модельная электронная функция Грина.

4. Получена система уравнений, определяющая квантование электронного спектра в присутствии однородного электрического поля (блоховские осцилляции). Установлено нарушение эквидистантности уровней Ваннье-Штарка, благодаря кр взаимодействию зон.

5. Показана возможность флуктуационного рождения щели в электронном спектре, благодаря сильному электрон-фононному взаимодействию.

6. Проанализирована возможность существования доменов инверсии зон благодаря электрон-фононному взаимодействию.

7. Построена и проанализирована модель дискретного бризера в двумерной решетке в приближении одноузельной нелинейности.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Чэнь Сяосин, 2011 год

1. Novoselov К.S., Geim А.К., Morozov S.V., Jaing D., Zhang Y., Dubonos S.V., Grigorieva I.V., Firsov A.A. Electric Field Effect in Atomically Thin Carbon Films // Science. 2004. V. 306. P. 666.

2. Novoselov K.S., Jiang D., Schedin F., Booth T.J., Khotkevich V.V., Morozov S.V., Geim A.K. Two-dimensional atomic crystals // Proceedings of the National Academy of Sciences. 2005. V. 102. No. 30. P. 10451.

3. Novoselov K.S., Geim A.K., Morozov S.V., Jaing D., Katsnelson M.I., Grigorieva I.V., Dubonos S.V., Firsov A.A. Two-dimensional gas of massless Dirac fermions in graphene //Nature. 2005. V. 438. P. 197.

4. Geim A.K., Novoselov K.S. The rise of graphene // Nature Materials. 2007. V. 6 P. 183.

5. Ландау Л.Д. К теории фазовых переходов. I. // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1937. Т. 7. С. 19.

6. Peierls R.E. Remarks on transition temperatures // Helvetica Physica Acta. 1934. V. 7. P. 81.

7. Peierls R.E. Quelques propriétés typiques des corpses solides // Annales de l'Institut Henri Poincaré. 1935. V. 5. P. 177.

8. Mermin N.D., Wagner H. Absence of Ferromagnetism or Antiferromagnetism in One- or Two-Dimensional Isotropic Heisenberg Models // Physical Review Letters. 1966. V. 17. P. 1133.

9. Mermin N.D. Crystalline Order in Two Dimensions // Physical Review. 1968. V. 176. P. 250.

10. Kroto H.W., Heath J.R., O'Brien S.C., Curl R.F., Smalley R.E. C60: Buckminsterfullerene //Nature. 1985. V. 318. P. 162.

11. Iijima S. Helical microtubules of graphitic carbon // Nature. 1991. V. 354. P. 56.

12. Елецкий A.B., Искандарова И.М., Книжник A.A., Красиков Д.Н. Графен: методы получения и теплофизические свойства // Успехи физических наук.2011. T. 181. №3. C. 233.

13. Li Q., Li Y.W. Comparative study of plane triangle lattice and hexagonal lattice // Journal of Yanbei Teacher's college. 2001. V. 17. N. 3. P. 32.

14. Pogorelov Y.G. Anomalous impurity resonance in graphene // arXivxond-mat/0603327 2006.

15. Cheianov V., Fal'ko V.l., Altshuler B.L. The Focusing of Electron Flow and a Veselago Lens in Graphenep-n Junctions. // Science. 2007. V. 315. P. 1252.

16. Cheianov V.V., Fal'ko V.l. Friedel Oscillations, Impurity Scattering, and Temperature Dependence of Resistivity in Graphene // Physical Review Letters. 2006. V. 97. 226801.

17. Bena C., Kivelson S. Quasiparticle scattering and local density of states in graphite // Physical Review B. 2005. V. 72. 125432.

18. Bena C. Effect of a Single Localized Impurity on the Local Density of States in Monolayer and Bilayer Graphene // Physical Review Letters. 2008. V. 100. 076601.

19. Wehling T.O., Balatsky A.V., Katsnelson M.I., Lichtenstein A.I., Scharnberg K., and Wiesendanger R. Local electronic signatures of impurity states in grapheme // Physical Review B. 2007. V. 75. 125425.

20. Dahal H.P., Balatsky A.V., Zhu J.X. Tuning impurity states in bilayer graphene // Physical Review B. 2008. V.77. N.l 1. 115114.

21. Peres N.M.R., Klironomos F.D., Tsai S.W., Santos J.R., Lopes dos Santos J.M.B., Castro Neto A.H. Electron waves in chemically substituted graphene // Europhysics Letters. 2007. V. 80. 67007.

22. Peres N.M.R., Guinea F., Castro Neto A .H. Electronic properties of disordered two-dimensional carbon // Physical Review B. 2006 V. 73. 125411

23. Vozmediano M.A.H., Lopez-Sancho M.P., Stauber T., Guinea F. Local defects and ferromagnetism in graphene layers // Physical Review B. 2005. V. 72. 155121.

24. Ando T. Screening Effect and Impurity Scattering in Monolayer Graphene // Journal of the Physical Society of Japan. 2006. V. 75. 074716.

25. Mariani E., Glazman L.I., Kamenev A., Oppen F. Zero-bias anomaly in thetunneling density of states of grapheme // Physical Review B. 2007. V. 76. 165402.

26. Katsnelson M.I., Geim A.K. Electron scattering on microscopic corrugations in graphene // Philosophical Transactions of the Royal Society A. 2008. V. 366. N. 1863. P. 195.

27. Skrypnyk Y.V., Loktev V. Impurity effects in a two-dimensional system with the Dirac spectrum // Physical Review B. 2006. V. 73. 241402.

28. Skrypnyk Y.V., Loktev V. Local spectrum rearrangement in impure grapheme // Physical Review B. 2007. V. 75. 245401.

29. Wallace PR., The Band Theory of Graphite. // Physical Review. 1947. V. 77. P. 622.

30. Bena C., Montambaux G. Remarks on the tight-binding model of grapheme // New Journal of Physics. 2009. V. 11. 095003.

31. Semenoff G.W., Semenoff V., Zhou F. Domain walls in gapped grapheme // Physical Review Letters 2008. V. 101. 087204.

32. Ando T., Nakanishi T., Saito R. Berry's Phase and Absence of Back Scattering in Carbon Nanotubes // Journal of the Physical Society of Japan. 1998. V. 67. P. 2857.

33. Basko D.M. Resonant low-energy electron scattering on short-range impurities in graphene // Physical Review B. 2008. V. 78. 115432.

34. Firsova N.E., Ktitorov S.A., Pogorelov P.A. Bound and resonance electron states in the monolayer graphene with the short-range impurities // arXiv:0905.3618. 2009

35. Ktitorov S.A., Kuzmin Yu.I., Firsova N.E. Electron states in single-layer graphene containing short-range defects: The potential separable in the momentum representation // Semiconductors. 2011. V. 45. N. 9. P. 1199.

36. Firsova N.E., Ktitorov S.A. Electrons scattering in the monolayer graphene with the short-range impurities // Physics Letters A. 2010. V. 374. N. 10. P. 1270.

37. Firsova N.E., Ktitorov S.A., Pogorelov P.A. Bound electron states in the monolayer gapped graphene with the short-range impurities // Physics Letters A. 2009. V. 373. N. 5. P. 525.

38. Semenoff G., Condensed-Matter Simulation of a Three-Dimensional Anomaly // Physical Review Letters. 1984. V. 53. P. 2449.

39. Dresselhaus M.S., Dresselhaus G. Intercalation Compounds of Graphite // Advances in Physics. 2002. V. 51. N. 1. P. 1.

40. Castro Neto A.H., Guinea F., Peres N.M.R., Novoselov K.S., Geim A.K. The electronic properties of graphene // Reviews of Modern Physics. 2009. V. 81. N. 1. P. 109.

41. Sitenko Yu.A., Vlasii N.D. Electronic properties of graphene with a topological defect // Nuclear Physics B. 2007. V. 787. P. 241.

42. Давыдов С.Ю., Сабирова Г.И. Модель адсорбции на графене // Физика Твердого Тела, 2011. Т. 53. №. з. с. 608.

43. Sherafati М., Satpathy S. RKKY interaction in graphene from the lattice Green's function // Physical Review B. 2011. V. 83. 165425.

44. Sakaji A.J., Asad J.H., Hijjawi R.S., Khalifeh J.M. Applications of the lattice Green's Functions for Triangular Lattice // Electronic Journal of Theoretical Physics. 2004. V. 3. P. 8.

45. Horiguchi T. Lattice Green's Functions for the Triangular and Honeycomb Lattices // Journal of Mathematical Physics. 1972. V. 13. N. 9. P. 1411.

46. Katsura S., Horiguchi T. Lattice Green's Function for the Body Centered Cubic Lattice // Journal of Mathematical Physics. 1971. V. 12. P. 230.

47. Katsura S., Morita Т., Inawashiro S., Horiguchi Т., Abe Y. Lattice Green's Function. Introduction // Journal of Mathematical Physics. 1971 V. 12. P. 892.

48. Katsura S., Inawashiro S., Abe Y. Lattice Green's Function for the Simple Cubic Lattice in Terms of a Mellin Barnes Type Integral // Journal of Mathematical Physics. 1971 V. 12. P. 895.

49. Morita T., Horiguchi T. Lattice Green's Functions for the Cubic Lattices in Terms of the Complete Elliptic Integral // Journal of Mathematical Physics. 1971. V. 12. P. 981.

50. Morita T., Horiguchi T. Calculation of the Lattice Green's Function for the bcc, fee, and Rectangular Lattices // Journal of Mathematical Physics. 1971. V. 12. P. 986.

51. Horiguchi T., Chen C.C. Lattice Green's function for the diced lattice // Journal of Mathematical Physics. 1974. V. 15. P. 659.

52. McKinnon B.A., Choy T.C. A Tight Binding Model for the Density of States of Graphite-like Structures, Calculated using Green's Functions // Australian Journal of Physics. 1993. V. 46. P. 601.

53. Slonczewski J. C., Weiss, PR. Band structure of graphite // Physical Review. 1958. V. 109. P. 272.

54. McClure J.W. Band Structure of Graphite and de Haas-van Alphen Effect // Physical Review. 1957. V. 108. P. 612.

55. Moritz B., Schwalm W. Triangle lattice Green functions for vector fields // Journal of Physics A: Mathematical and General. 2001. V. 34. P. 589.

56. Cserti J. Application of the lattice Green's function for calculating the resistance of infinite networks of resistors // American Journal of Physics. 2000. V. 68. N. 10. P. 896.

57. Guttmann A.J. Lattice Green's functions in all dimensions // Journal of Physics A: Mathematical and General. 2010. V. 43. 305205.

58. Choy T.C. Density of states for a two-dimensional Penrose lattice: Evidence of a strong Van-Hove singularity // Physical Review Letters. 1985. V. 55. P. 2915

59. Painter, G.S., Ellis, D.E. Electronic Band Structure and Optical Properties of Graphite from a Variational Approach // Physical Review B 1970. V. 1. P. 4747.

60. Charlier J.C., Michenaud J.P., Gonze X., Vigneron J.P. Tight-binding model for the electronic properties of simple hexagonal graphite // Physical Review B. 1991. V. 44. 13237.

61. Hijjawi R.S., Asad J.H., Sakaji A., Khalifeh J.M. Lattice Green's Function forthe Face Centered Cubic Lattice // International Journal of Theoretical Physics. 2004. V. 43. N. 11. P. 2299.

62. Giovannetti G., Khomyakov P.A., Brocks G., Kelly P.J., van den Brink J. Substrate-induced band gap in graphene on hexagonal boron nitride: Ab initio density functional calculations // Physical Review B. 2007. V. 76. 073103.

63. Zhou S.Y., Gweon G.H., Fedorov A.V., First P.N., de Heer W.A., Lee D.H., Guinea F., Castro Neto A.H., Lanzara A. Substrate-induced bandgap opening in epitaxial graphene // Nature Materials. 2007. V. 6. P. 770.

64. Watson, G.N. Three Triple Integrals // Quarterly Journal of Mathematics. Oxford 1939. Ser. 2. V. 10. P. 266.

65. Sievers A. J., Takeno S. Intrinsic localized modes in anharmonic crystals // Physical Review Letters. 1988. V. 61. P. 907.

66. Flach S., Gorbach A. Discrete breathers advances in theory and applications // Physics Reports. 2008. V. 467. P. 1.

67. Flach S., Willis C.R. Discrete breathers // Dedicated to Peter Fulde on the occasion of his 60th birthday / Physics Reports. 1998. V. 295. P. 181.

68. Flach S. Tangent bifurcation of band edge plane waves, dynamical symmetry breaking and vibrational localization // Physica D. 1996. V. 91. P. 223.

69. Campbell D.K., Flach S., Kivshar Yu.S. Localizing energy through nonlinearity and discreteness // Physics Today. 2004. V. 57. P. 43.

70. Flach S., Kladko K., MacKay R.S. Energy Thresholds for Discrete Breathers in One-, Two-, and Three-Dimensional Lattices // Physical Review Letters. 1997. V. 78. P. 1207.

71. Ivanchenko M. V., Kanakov O. I., Mishagin K.G., Flach S. q-breathers in finite two- and three-dimensional nonlinear acoustic lattices // Physical Review Letters. 2006. V. 97. 025505.

72. Sandusky K.W., Page J.B. Interrelation between the stability of extended normal modes and the existence of intrinsic localized modes in nonlinear lattices .with realistic potentials // Physical Review B. 1994. V. 50. P. 866.

73. MacKay R.S., Aubry S. Proof of existence of breathers for time reversible orhamiltonian networks of weakly coupled oscillators // Nonlinearity. 1994. V. 7. P. 1623.

74. Овчинников A.A. Локализованные долгоживущие колебательные состояния в молекулярных кристаллах // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1969. Т. 57. №1. С. 263.

75. Косевич A.M., Ковалев А.С. Самолокализация колебаний в одномерной ангармонической цепочке // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1974. Т. 67. С. 1793.

76. Swanson В. I., Brozik J.A., Love S. P., Strouse G.F., Shreve A.P., Bishop A.R., Wang W.Z., Salkola M.I. Observation of intrinsically localized modes in a discrete low dimensional material // Physical Review Letters. 1999. V. 82. P. 3288,

77. Schwarz U. Т., English L.Q., Sievers A. J. Experimental generation and observation of intrinsic localized spin wave modes in an antiferromagnet // Physical Review Letters. 1999. V. 83. P. 223.

78. Sato M., Sievers A. J. Direct observation of the discrete character of intrinsic localized modes in an antiferromagnet // Nature. 2004. V. 432. P. 486.

79. Wrubel J. P., Sato M., Sievers A. J. Controlled switching of intrinsic localized modes in a one-dimensional antiferromagnet // Physical Review Letters. 2005. V. 95. 264101.

80. Binder P. Abraimov D., Ustinov A. V., Flach S., Zolotaryuk Y. Observation of breathers in Josephson ladders // Physical Review Letters. 2000. V. 84. P. 745.

81. Marin J. L., Aubry S. Breathers in nonlinear lattices: numerical calculation from the anticontinuous limit // Nonlinearity. 1996. V. 9. P. 1501.

82. Aubry S., Kopidakis G., Kadelburg V. Variational proof for hard discrete breathers in some classes of Hamiltonian dynamical systems // Discrete and Continuous Dynamical Systems B. 2001. V. 1. P. 271.

83. Flach S. Existence of localized excitations in nonlinear Hamiltonian lattices // Physical Review E. 1995. V.51. P. 1503.

84. Kevrekidis P.G, Rasmussen K.0., Bishop A.R. Two-dimensional discrete breathers: Construction, stability, and bifurcations // Physical Review E. 2000. V.61. P. 2006-2009.

85. Flach S. Conditions on the existence of localized excitations in nonlinear discrete systems // Physical Review E. 1994. V. 50. P. 3134.

86. Kastner M. Dimension dependent energy thresholds for discrete breathers // Energy. 2004. V. 17. N. 5. P. 1.

87. Su W.P., Schrieffer J.R., Heeger A.J. Solitons in Polyacetylene // Physical Review Letters. 1979. V. 42. P. 1698.

88. Lherbier A., Blase X., Niquet Y.M., Triozon F., Roche S. Charge Transport in Chemically Doped 2D Graphene // Physical Review Letters. 2008. V. 101. 036808.

89. Saito R., Dresselhaus G., Dresselhaus M.S. Physical properties of carbon nanotubes. / London: Imperial College Press. 1998

90. Adamyan V., Zavalniuk V. Phonons in graphene with point defects // Journal of Physics: Condensed Matter. 2011. V. 23. 015402.

91. Feher А., Господарев H.A., Гришаев В.И., Кравченко K.B., Манжелий Е.В., Сыркин Е.С., Феодосьев С.Б. Влияние дефектов на квазичастичные спектры графита и графена // Физика низких температур. 2009. Т. 35. № 8/9 С. 862.

92. Basko D.M. Theory of resonant multiphonon Raman scattering in graphene // Physical Review B. 2008. V. 78. 125418.

93. Falkovsky L.A. Symmetry constraints on phonon dispersion in graphene // Physics Letters A. 2008. V. 372. N. 31. P. 5189.

94. Sui Y., Low Т., Lundstrom M., Appenzeller J. Charge Transport in Chemically Doped 2D Graphene // arXiv: 1102.3654. 2011.

95. Hu XX., Zhang ZH., Liu XH., Qiu M., Ding КН., Tight binding studies on the electronic structure of graphene nanoribbons // Acta Physica Sinica. 2009. V. 58. N. 10. P. 7156.

96. Ктиторов C.A., Петров Ю.В., Шалаев Б.Н. Динамическое разрушение бесщелевого состояния // Физика Твердого Тела. 1987. Т. 29. С. 3357.

97. D. Gross , A. Neveu, Phys. Rev. D, 10, 3235 (1974).

98. Бонч-Бруевич В.Л., Звягин И.П., Кайпер Р., Миронов А.Г., Эндерлайн Р., Эссер Б. Электронная теория неупорядоченных полупроводников. / М.: Наука.1981. 387 с.

99. Тауц Я. Оптические свойства полупроводников / М.: Мир, 1967, 74 с.

100. Тауц Я. Оптические свойства полупроводников в видимой и ультрафиолетовой областях спектра // Успехи физических наук. 1968, Т. 94. №. 3. С. 501.

101. Falkovsky L.A. Optical properties of grapheme // Journal of Physics: Conference Series. 2008. V. 129. 012004.

102. Фальковский JI.A. Оптические свойства графена и полупроводников типа А4В6 // Успехи физических наук. 2008. Т. 178. № 9. С. 923.

103. Falkovsky L.A., Varlamov A.A. Space-time dispersion of graphene conductivity // The European Physical Journal B. 2007. V. 56. N. 4. P. 281.

104. Ктиторов C.A., Симин Г.С., Синдаловский В.Я. Влияние брэгговских отражений на высокочастотную проводимость электронной плазмы полупроводников//Физика Твердого Тела. 1976. Т. 18. С. 1140.

105. Wannier G. Wave Functions and Effective Hamiltonian for Bloch Electrons in an Electric Field // Physical Review. 1960. V. 117. P. 432.

106. Bryksin V.V., Firsov Yu.A., Ktitorov S.A. Electrophonon resonance in narrow band semiconductors // Solid State Commun. 1981. V. 39. P. 385

107. Ктиторов С.А., Петров Ю.В. Спонтанное разрушение бесщелевого состояния 1 рода вблизи точки инверсии //Физика Твердого Тела. 1986 Т. 28. С. 394.

108. Казаринов Р.Ф., Сурис Р.А. О возможности усиления электромагнитных волн в полупроводнике со сверхрешетками // Физика и техника полупроводников. 1971. Т. 5. С. 797.

109. O.V. Gamayun, E.V. Gorbar, and V.P. Gusynin Gap generation and semimetal-insulator phase transition in grapheme // Physical Review B. 2010. V. 81. 075429.

110. Gorbara E.V., Gusynina V.P, Miransky V.A. Energy gaps at neutrality point in bilayer graphene in a magnetic field // Письма в Журнал экспериментальной и теоретической физики. 2010. Т. 91. №. 6. С. 334.

111. Градштейн И.С. Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / 4-е изд. М.: Наука. 1963. 1100 с.

112. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1974. 832 с.

113. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Том 1. Преобразования Фурье, Лапласа, Меллина. / М.: Наука, 1969.

114. Прудников А.П.,Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды элемнтарные функции / М.: Наука. 1981. 801 с.

115. Прудников А.П.,Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды специальные функции / М.: Наука. 1983. 753 с.

116. Шриффер Дж. Теория сверхпроводимости / М: Наука. 1970.

117. Ashcroft N.W., Mermin N.D. Solid State Physic / Philadelphia, PA: Saunders College. 1976. 826 p.

118. Канаков О.И., Флах С. Динамическая локализация энергии в решеточных системах: основы теории и приложения: Учебное пособие. / Нижний Новгород: Нижегородский госуниверситет. 2011. 85 с.

119. Energy localisation and transfer // Advanced Series in Nonlinear Dynamics. V. 22. / Ed. by Dauxois T., et al, World Scientific. 2004. 409 p.

120. Давыдов A.C. Теория твердого тела / M.: Наука. 1976. 639 с.

121. Zinn-Justen J. Quantum Field Theory and Critical Phenomena / Oxford: Clarendon Press. 1996.

122. Абрикосов A.A., Горьков Л.П., Дзялошинскай И.Е. Методы квантовой теории поля в статистической физике. / М.: Физматгиз. 1962. 444 с.

123. Попов В.Н. Континуальные интегралы в квантовой теории поля и статистической физике. / М.: Атомиздат. 1976. 256 с.

124. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. / Издание четвертое, исправленное при уч. Питаевского Л.П. М.: Наука. 1989. 767 с.

125. Косевич A.M., Ковалев A.C. Введение в нелинейную физическую механику. / Киев: Наук. Думка. 1989. 304 с.