Линейные и нелинейные клиновые волны в твёрдых телах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.06, кандидат наук Пупырёв, Павел Дмитриевич

• Пупырёв, Павел Дмитриевич
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Пупырёв, Павел Дмитриевич

Содержание

Введение

1 Метод функций Лагерра

1.1 Описание классических методов исследования ПАВ

1.2 Описание метода функций Лагерра в задаче об упругом полупространстве

1.3 Исследование метода функций Лагерра

1.4 Замечания к МФЛ

2 Линейная теория клиновых волн

2.1 Решение линейной задачи о клиновых волнах

2.1.1 Постановка задачи

2.1.2 Уравнения движения

2.1.3 Решение типа бегущей волны

2.1.4 Результаты расчёта линейной задачи

2.1.5 Моделирование поля смещения клиновой волны

2.2 Симметрии в задаче о клиновых волнах

2.3 Существование клиновых волн

2.3.1 Анизотропная упругая среда

2.3.2 Изотропная упругая среда

2.4 Формы импульсов клиновых волн

2.4.1 Режим абляции

2.4.2 Термоупругий режим

2.4.3 Расчёт профиля импульса

2.5 Плотность состояний на кромке и функция Грина

3 Нелинейная теория клиновых волн второго порядка

3.1 Постановка задачи

3.1.1 Уравнения движения

3.1.2 Эволюционное уравнение

3.1.3 Симметрии уравнения эволюции

3.2 Численные исследования

3.2.1 Уравнение эволюции для коэффициентов ряда Фурье

3.2.2 Ядро уравнения эволюции

3.2.3 Эволюция пробного импульса

3.2.4 Эволюция гармонической волны

3.3 Дисперсия и солитоны

Заключение

Литература

А Типы волн в твёрдом теле

В Преобразования систем координат

В.1 Основные формулы преобразования тензоров

В.2 Преобразование компонент тензоров С и Б

С Исследуемые конфигурации клиньев

Ю Формулы, связанные с функциями Лагерра

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Линейные и нелинейные клиновые волны в твёрдых телах»

Введение

Клиновые акустические волны в твёрдом теле — это третий фундаментальный тип волн, после объёмных и поверхностных волн, импульсы которых распространяются без изменений своих форм (дисперсия отсутствует). Систему упругого клина можно получить из системы упругого полупространства, "разрезав" его вдоль некоторой плоскости, а систему упругого полупространства можно получить из распределённой в пространстве упругой среды тем же методом, поэтому связи между поверхностными и объёмными волнами должны во многом повторяться при рассмотрении клиновых и поверхностных волн. Например, существование быстрых псевдоповерхностных волн в системе упругого полупространства [1], излучающих энергию при распространении в объёмные волны, имеет свой аналог и для системы упругого клина: совсем недавно были открыты псевдоклиновые волны [2,3], излучающие как объёмные, так и поверхностные волны по мере своего распространения. С другой стороны, в этой же последовательности объёмных, поверхностных и клиновых волн должны выделяться и отличительные особенности. Если поверхностные волны отличаются от объёмных волн тем, что они локализованы на двухмерной поверхности (объёмные волны являются нелока-лизованными), то клиновые волны локализованы вдоль одномерной поверхности (линии) — кромки клина. Клиновые волны — это волноводные акустические волны, которые распространяются без дифракционных потерь, а также они не обладают дисперсией, поскольку в системе бесконечного упругого клина нет ни одного параметра размерности длины.

Первое упоминание1 об упругом клине как волноводе относится к обзору волноводных акустических систем для микроэлектроники [5] в 1969 г., в котором авторы рассматривали возможные альтернативы поверхностным волнам, чтобы избежать ненужные дифракционные потери, возникающие при работе с ними. В 1972-1973 гг. в работах [6-8] был изучен как волновод в форме клина конечной высоты на полупространстве, так и волновод в форме бесконечного клина. В этих работах были экспериментально получены скорости трёх первых мод для клиньев разных углов, а также с помощью метода конечных элементов были численно найдены профили поля смещения и скорости волн, согласованные с экспериментальными результаты. Развитый численный аппарат позволял искать решения для клиньев произвольных углов при вершине, в том числе с учётом пьезоэлектрического эффекта (в пьезокристаллах). Оказалось, что для исследуемых клиньев с углами раствора в диапазоне

1 Подробное сравнение результатов расчётов клинового и других различных типов акустических волноводов смотрите в работе 1973 г. [4]

от 30° до 80° существуют только антисимметричные моды. Число мод увеличивалось при уменьшении угла клина, и для скоростей этих мод была предложена эмпирическая формула V = уе • вт(тв), где в — угол раствора клина, а натуральное число т = 1, 2,... — номер моды.

Независимо от упомянутых выше работ задача о клиновых волнах была теоретически исследована в 1972-1973 гг. с помощью метода функций Лагерра (МФЛ) [9,10], который иногда называется методом ортогональных функций (МОФ). Данный метод основан на разложении поля смещения волны в двойной ряд по функциям Лагерра. Задача о клиновых волнах в этом случае сводится к задаче на собственные значения, причём собственным векторам соответствуют коэффициенты разложения поля смещения по функциям Лагерра, а собственным значениям — скорости клиновых волн. Данный метод, в принципе, позволял искать решения для произвольных клиньев анизотропной упругой среды, не обладающей пьезокристалличе-скими свойствами, хотя и был применён только для изотропной среды. Было показано, что в рассматриваемых изотропных клиньях (коэффициент Пуассона V = 0.25) могли существовать только симметричные и антисимметричные волны. Для этой среды были построены кривые скоростей клиновых волн в зависимости от угла клина, а также были отмечены области существования как симметричных, так и антисимметричных волн (о более подробном исследовании вопроса о существовании клиновых волн смотрите ниже). Существенным недостатком данной теории была крайне медленная сходимость в случае острых клиньев с углами меньше 30°, для таких расчётов требовалось значительно больше вычислительного времени. Однако вскоре эту проблему удалось преодолеть, вводя в аргументы функций Лагерра дополнительный множитель, названный "фактором сходимости" [11]. Оказалось, что для каждой моды существует некоторое оптимальное значение этого множителя, при котором значения скоростей для этой моды очень быстро сходятся при увеличении числа функций Лагерра, входящих в разложение поля смещения. В дальнейшем с помощью МФЛ удалось получить согласованные решения и для клиновых волн в пьезокристаллах [12-14].

Необходимо заметить2, что МФЛ был позже применён и для других более известных и отчасти изученных на тот момент задач. В работах [15,16] МФЛ был применён к задаче о поверхностных волнах в кристаллах, а в работе [17] с помощью этого метода изучались поверхностные волны в пьезокристаллах. Результаты, полученные с помощью МФЛ, находились в согласии с результатами работы классического метода [1]. Необходимо ещё раз выделить работу [15], где с помощью МФЛ решалась задача о поверхностных волнах в среде с непрерывно меняющимися плотностью и упругими модулями. В недавнем исследовании [16], в котором мне удалось принять непосредственное участие, было также показано, что с помощью МФЛ можно построить аналог классической функции Грина для упругого полупространства, что потом было использовано в задаче о клиновых волнах. Наконец, в работе [18] с помощью МФЛ решалась задача о поверхностных волнах в многослойных структурах.

2Поскольку теоретический аппарат, используемый в диссертации, основан именно на МФЛ, важным вопросом является воспроизводимость с помощью этого метода известных решений.

Параллельно с изучением упругих клиньев с конечным углом при вершине рядом авторов исследовался вопрос о предельном случае упругого клина с углом при вершине в, стремящимся к нулю. В работе [19] 1974 г. авторы рассматривали острый клин как пластину переменной толщины. Это приближение позволило отыскать точные аналитические решения. Было обнаружено, что поля смещений описываются в точности функциями Лагерра. Данная теория хорошо описывала клинья с углами раствора не более 10°. Кроме того, в этой работе были посчитаны дисперсионные кривые для усечённого острого клина. Не прибегая к специальным функциям, в работах [20-22] с помощью геометро-акустического подхода или лучевой теории были также получены асимптотики для скоростей некоторой части клиновых волн в изотропной среде в пределе бесконечно острого клина, причём полученные результаты совпали с выводами работы [19]. Позднее на основе геометро-акустического подхода были получены выражения, учитывающие влияние анизотропии среды на скорости клиновых волн [23,24].

Дополнительное внимание заслуживает также работа [25], в которой исследовался острый упругий клин с помощью теории возмущений, предполагая разложение поля смещения по малому параметру, пропорциональному углу клина. В результате были получены уравнения, совпадающие с уравнениями для тонкой пластины переменной толщины [19].

Итак, на данный момент существуют три подхода для описания клиновых волн в острых клиньях: теория тонкой пластины [19], геометро-акустический подход [21,22] и теория возмущений [25]. С помощью первых двух методов возможно также описание дисперсии в системе усечённого упругого клина. Что касается клиньев конечных углов при вершине, например, прямоугольных клиньев, то для их описания остаются два метода: метод конечных элементов [7] и МФЛ [10]. С помощью первого из них также возможно описание дисперсии системы усечённого клина.

Перейдём теперь к вопросу о существовании клиновых волн. На данный момент этот вопрос исследован лишь для случая клиньев изотропной упругой среды, а также для некоторых симметричных конфигураций в случае анизотропной среды. Первая работа, посвящён-ная данному вопросу, относится к 1974 г. [26], авторы использовали линейную комбинацию решений для поверхностных волн на обеих сторонах клина, распространяющихся в направлении, параллельном его кромке, и, следовательно, удовлетворяющих граничным условиям только на одной из двух поверхностей клина. Применяя обобщённый вариационный принцип, авторы обнаружили, что возможны лишь симметричные и антисимметричные моды, а также были получены условия существования симметричных и антисимметричных клиновых волн. В работах [27] и [28] авторы свели вопрос о существовании клиновых волн к изучению спектра собственных значений некоторого самосопряжённого оператора. С помощью построения последовательности тестовых функций авторы доказали существование дискретного спектра этого оператора и, следовательно, существование клиновых волн. В работе [28] представлены подробные результаты исследования существования симметричных и антисимметричных клиновых волн в зависимости от угла клина и отношения Пуассона для изотропной среды.

Совсем недавно нами, мной и соавторами, была опубликована работа [29], в которой удалось расширить область применения аппарата, развитого предыдущими авторами. Было показано, что вопрос о существовании клиновых волн в некоторых симметричных конфигурациях кристаллов, обладающих тетрагональной симметрией, может быть исследован полуаналитически. В частности, были представлены результаты исследования данного вопроса для кубических кристаллов.

Другим интересным событием, связанным с исследованием клиновых волн именно в кристаллах, было открытие быстрых псевдоклиновых волн [2,3,16]. Эти волны являются аналогами псевдоповерхностных волн в задаче об упругом полупространстве. В упомянутых работах приведено подробное описание экспериментально измеренных характеристик этих волн, а также представлен метод их описания и расчёта, а именно впервые построена функция плотности состояния на кромке, основанная на МФЛ, которая, как показано в Главе 1, идентична мнимой части функции Грина для клиновых волн.

Система, состоящая из двух прямоугольных клиньев, рассмотрена в работе [30]. Авторами данной работы были получены условия, при которых могут существовать интерфейсные волны, локализованные на границе раздела сред у поверхности составного полупространства. В другой работе [31] авторы исследовали теоретически и экспериментально те же самые "связанные клиновые волны", возникающие при простом контакте двух алюминиевых деталей. Была обнаружена зависимость скоростей этих волн от напряжения, которое возникает в результате прижатия образцов друг к другу. Данная задача может также найти своё применение в сейсмологии.

Другая интересная задача, которая была изучена совсем недавно, — это задача о формировании импульса клиновых волн. Решение этой задачи позволило бы рассчитывать формы импульса клиновых волн, исходя из механизма генерации волн и конфигурации клина. Впервые этот вопрос был рассмотрен в работе [32] в предположении генерации импульса клиновых волн в изотропном клине линейным лазерным источником в термоупругом режиме. Позднее нами, мной и соавторами, была представлена теория (смотрите [33]), которая позволяла рассчитывать формы импульсов клиновых волн в анизотропной упругой среде для двух механизмов генерации, термоупругого и абляционного, реализуемых, в частности, с помощью импульсного лазерного источника для широкого класса распределения интенсивности лазерного пятна на поверхности клина. Данная работа может сыграть важную роль в задачах неразрушающего контроля, а также в других задачах, где важным критерием является изменение формы импульса.

С экспериментальной точки зрения получение идеального клина представляет собой определённую сложность. В отличие от исследований поверхностных волн, где требуется лишь одна подготовленная поверхность, в задаче о клиновых волнах важно не только качество подготовки обеих граней клина, но и качество подготовки его кромки. Поэтому многие высокочастотные экспериментальные исследования на начальных этапах выявляли наличие дисперсии [34, 35]. В работе [34] авторы исследовали лазерно-ультразвуковыми методами

дисперсию первых двух антисимметричных клиновых волн в дюралюминиевых клиньях с углами раствора 60° и 30°. В экспериментальной работе [36] авторы изучали влияние различных способов обработки кромки клина на направление (знак) дисперсии.

В исследовании [37] авторами был рассмотрен клин с билинейным профилем, который можно охарактеризовать двумя углами раствора клина и линейным размером от кромки до точки излома поверхности. Как экспериментально, так и численно было показано, что данный билинейный клин можно рассматривать как обычный "линейный" клин для соответствующих масштабов длин волн. В переходной зоне частот дисперсионные кривые имели значительный наклон.

Совсем недавно была опубликована работа [38], где теоретически и экспериментально исследовались дисперсионные кривые в многомодовой системе упругого клина с углом при вершине 20°, в которой дисперсия вводилась путём удаления (откалывания) кромки.

Тип дисперсии, связанный с введением тонкой плёнки на одной из поверхностей клина, был изучен в работах [39,40]. Данные исследования подразумевали как эксперимент, так и численное моделирование с помощью метода конечных элементов (которые, в целом, привели к одинаковым результатам). Были изучены несколько металлических клиньев с металлическими плёнками и получены дисперсионные кривые. Оказалось, что самая медленная мода имеет наибольший наклон дисперсионной кривой на малых частотах.

В теоретической работе [41] с помощью теории возмущений изучались законы дисперсии, вызванной как модификациями кромки, так и введением тонкой плёнки, в зависимости от угла клина. Был обнаружен интересный результат: в определённых конфигурациях клина каждый из типов дисперсии может пропадать (в первом порядке).

Использование клиновых волн в целях неразрушающего контроля состояния кромки упругой среды было предложено в работах [42, 43]. В этих статьях экспериментально изучался процесс взаимодействия клиновых волн с дефектом на кромке образца. В работах [44-46] как численно с помощью метода конечных элементов, так и экспериментально изучалось влияние трещин на распространение клиновых волн с целью контроля качества кромки клиновидной линии задержки. В работах были определены коэффициенты прохождения и отражения разных мод для введённого дефекта различной глубины, а также коэффициенты преобразования мод. Применение клиновых волн для неразрушающего контроля состояния кромки лопастей пропеллеров и турбин обсуждается в работе [47]. Именно клиновые волны являются наиболее чувствительными к дефектам на самих кромках. Однако достаточно сложный процесс отражения клиновых волн от дефектов (в том числе благодаря генерации различных мод при отражении) ещё требует исследований.

В работе [48] был представлен и изучен новый тип трансдьюсера, основанный на клиновидной линии задержки. С помощью него оказалось возможным измерение акустических возмущений на поверхности, имеющих как горизонтальную сдвиговую поляризацию, так и продольную поляризацию.

Величину дисперсии, вызванной дефектами на кромке, было предложено использовать для контроля износа режущего оборудования [49]. В данной работе было показано наличие стабильной зависимости наклона дисперсионной кривой для твердосплавного клина вдоль режущей части сверла от величины износа (области затупления) кромки.

Дисперсионные цилиндрические клиновые волны в стальном образце изучались в работе [50], где был обнаружен предсказанный в работе Крылова [22] тип дисперсии, связанный с кривизной линии кромки. Позднее в исследовании [51] были получены дисперсионные кривые, соответствующие разным степеням неидеальности кромки, а также было показано влияние кривизны кромки клина на наклон дисперсионной кривой. Аналогичные задачи были изучены численно в работе [52] с помощью метода конечных элементов: рассчитанные дисперсионные кривые подтверждались экспериментальными данными. Результаты данного исследования дисперсии клиновых волн были позже подтверждены в рамках теории тонких клиньев [53]. Различные методы расчёта дисперсионных кривых были также рассмотрены в работе [54].

В работах [55-58] был описан прототип ультразвукового мотора на цилиндрических клиновых волнах и были представлены его технические характеристики. Статор мотора представлял собой стальной цилиндрический клин, находящийся в контакте с пьезокристалличе-скими элементами. Через контактные площадки на пьезокристаллы передавалось гармонически модулированное напряжение, и на стальном цилиндрическом клине возникали бегущие волны. Цилиндрический ротор, приведённый в соприкосновение с клином статора, приходил в движение.

Немало работ посвящено задаче об упругом клине, погружённом в жидкость. В первом экспериментальном исследовании [59] было обнаружено уменьшение скоростей клиновых волн в погружённом в воду клине. В данной работе использовался необычный образец формы скошенного цилиндра, который обладал не только кривой кромкой, но также и переменным углом раствора клина в зависимости от расстояния вдоль кромки. Скорости клиновых волн в воде для клиньев с прямой кромкой и фиксированным углом раствора были экспериментально померены в работах [60,61], а позднее были численно рассчитаны с помощью метода конечных элементов [62]. В работах [63,64] на основе геометро-акустического подхода были получены теоретические кривые скоростей клиновых волн в жидкой среде, которые хорошо описывали экспериментальные результаты. Авторы экспериментальной работы [65] обнаружили, что уменьшение скоростей волн в погружённом в воду клине сильно зависит от плотности материала клина. Аналогичным исследованиям погруженного в воду пьезокристаллического клина посвящена работа [66].

В качестве одного из возможных применений клиновых волн в жидкой среде была предложена идея небольшой подводной лодки [63], использующей упругие клиновые волны как источник тяги (по аналогии с некоторыми видами рыб, использующими такие же волнообразные движения для передвижения в океанской среде). Позднее был даже построен прототип подобного устройства. В работе [67] бегущие вдоль погружённого в воду клина волны со-

здавали тягу и приводили в движение макет лодки по аналогично с тем, как это делалось с помощью антисимметричных волн пластины [68].

Другое возможное применение клиновых волн в жидкости — это использование их в качестве микронасосов и микромиксеров различных жидкостей в микросистемах типа "лаборатория на чипе". С этой целью в работе [69] был численно исследован поток жидкости, возникающий вблизи кромки клина, вдоль которого распространялась бегущая волна.

Заканчивая описание исследований линейных клиновых волн, необходимо заметить, что всё многообразие устройств на поверхностных волнах (смотрите [70]), таких как физические и химические сенсоры, линии задержки, разнообразные фильтры и резонаторы, может быть перенесено и на клиновые волны. Например, в работах [71-74] авторы исследовали датчик влажности, представляющий собой алюминиевый клин с нанесённой на одну из его поверхностей тонкой плёнкой поливинилацетата. Экспериментально была показана сильная зависимость наклона дисперсионной кривой для первой клиновой моды от относительной влажности, что объясняется способностью нанесённой на клин плёнки абсорбировать воду из окружающей среды. Моделируя с помощью метода конечных элементов распространение клиновых волн в данной системе с разной плотностью плёнки, были получены качественно согласующиеся результаты.

В 1979-е годы нелинейные эффекты в клиновых волнах были впервые исследованы экспериментально [75]. В работе изучалась качественная зависимости уровня сигнала на комбинационной частоте от мощности накачки. Была экспериментально обнаружена достаточно слабая квадратичная и более сильная кубическая нелинейности. В этой же работе было впервые сформулировано утверждение о том, что для клиновых антисимметричных мод в изотропных средах нелинейность в низшем порядке является кубической, в то время как в кристаллах нелинейность низшего порядка является квадратичной3. При этом наблюдение квадратичной нелинейности в исследуемом изотропном образце объяснялось отклонением моды от чистой антисимметричной.

В первом теоретическом исследовании нелинейных клиновых волн [76] рассматривались острые изотропные клинья в рамках теории пластины переменной толщины [19]. Авторы также обнаружили, что в низшем порядке нелинейность антисимметричных мод в изотропных средах является кубической. Кроме того, на основе геометро-акустического подхода были вычислены коэффициенты эффективности генерации третьей гармоники, а также коэффициенты эффективности взаимодействия двух различных гармоник и коэффициенты эффективности генерации гармоник типа 2 ш\ + и 2 ш\ — ш2.

В исследовании острых клиньев [77] в рамках той же теории пластины переменной толщины было показано, что ведущую роль в кубической нелинейности играет геометрическая нелинейность. Это означает, что нелинейность антисимметричных мод в тонких клиньях описывается в низшем порядке только линейными параметрами упругости среды, например,

3В теории острых клиньев такое же утверждение было сформулировано в работе [76].

параметрами Ламе А и Далее в работе [78] было показано, что в отличие от нелинейной эволюции поверхностных волн, уравнения нелинейной эволюции в отсутствии дисперсии для бесконечно тонких клиньев предполагают стабильное решение в виде синуса (со скоростью, зависящей от амплитуды).

Для клиньев произвольных углов на основе МФЛ в работе [79] были впервые посчитаны ядра эволюционных уравнений (подробнее смотрите работу [80], а также Главу 3 данной диссертации), описывающих квадратичную нелинейность в кристаллах, а также численно найдены солитонные решения.

Совсем недавно нами, мной и соавторами, были опубликованы работы, в которых проведены первые симуляции нелинейной эволюции импульсов клиновых волн [81,82]. В работе [83] были впервые представлены экспериментальные результаты с явно выраженным процессом нелинейной эволюции (на неразрушающей стадии) импульса клиновых волн, согласованные с численным моделированием.

Наконец, в той же статье [83] была рассмотрена задача об эволюции гармонической клиновой волны. Как известно, аналогичная задача для простых волн (волн Римана) в квадратичном приближении приводит к уравнению Бюргерса без затухания, которое имеет аналитическое решение, именуемое решением Бесселя-Фубини. На расстоянии (или времени), соответствующему образованию разрывного фронта Хьг (¿ьг), спектр решения приобретает степенной характер с некоторым показателем. В ряде работ [84-86] были представлены соответствующие численные и аналитические исследования объёмных волн, а также поверхностных волн (смотрите [87]). В том же аспекте нами были исследованы клиновые волны и получены результаты, показывающие их фундаментальное отличие от объёмных и поверхностных волн.

Линейным и нелинейным клиновым волнам уделено немало внимания в обзоре нелинейных упругих волн [88], а также в обзорах [89,90].

Целью данной работы является построение теории, способной во всей полноте описать клиновые акустические волны, не ограничиваясь ни фиксированным углом клина, ни типом симметрии упругой среды. Необходимо исследовать как линейные клиновые волны, так и особенности их нелинейной эволюции.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Поскольку данная диссертация целиком основана на методе функций Лагерра, необходимо исследовать этот метод на сходимость и устойчивость, а также на достоверность в области континуума собственных значений. Целесообразным является применение данного метода в известной задаче о поверхностных волнах для его проверки.

2. Разработать теорию, описывающую существование недавно открытых в экспериментах псевдоклиновых волн, обладающих скоростями, большими чем скорости поверхностных

волн, которые распространяются в том же направлении (вдоль кромки) на обеих гранях клина.

3. Исследовать возможность получения критериев существования клиновых волн в кристаллах.

4. Разработать теорию, позволяющую вычислять формы импульсов клиновых волн при их генерации лазерным излучением как в режиме абляции, так и в термоупругом режиме.

5. Определить величину нелинейности клиновых волн в анизотропных средах. Практический интерес представляет поиск оптимальных конфигураций кристаллов для экспериментального наблюдения квадратичной нелинейности.

6. Исследовать отличительные особенности нелинейных клиновых волн по сравнению с нелинейными объёмными и поверхностными волнами. Разработать программные приложения, позволяющие интегрировать нелинейные уравнения движения для заданного исходного импульса.

7. Исследовать взаимодействие солитонных решений в нелинейной диспергирующей среде.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Пупырёв, Павел Дмитриевич, 2017 год

Литература

1. Farnell G. W. "Properties of elastic surface waves" // Physical Acoustics. 1970. Vol. 6. P. 109-166.

2. Lomonosov A. M., Hess P., Mayer A. P. "Silicon edges as one-dimensional waveguides for dispersion-free and supersonic leaky wedge waves" // Appl. Phys. Lett. 2012. Vol. 101. P. 031904/1-4.

3. "Symmetry effects on elastic wedge waves at anisotropic edges" / P. D. Pupyrev, A. M. Lomonosov, P. Hess et al. // J. Appl. Phys. 2014. Vol. 115. P. 243504/1-11.

4. Aalami B. "Analysis and Behavior of Microsound Surface Waveguides" // IEEE Transactions on Sonics and Ultrasonics. Vol. SU-20. 1973. P. 252-260.

5. Ash E. A., Rue R. M. D. L., Humphryes R. F. "Microsound Surface Waveguides" // IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques. Vol. MTT-17. 1969. P. 882-892.

6. Lagasse P. E. "Analysis of a dispersionfree guide for elastic waves" // Electron. Lett. 1972. Vol. 8, no. 15. P. 372-373.

7. Lagasse P. E. "Higher-order finite-element analysis of topographic guides supporting elastic surface waves" // J. Acoust. Soc. Am. 1973. Vol. 53, no. 4. P. 1116 - 1122.

8. Lagasse P. E., Mason I. M., Ash E. A. "Acoustic surface waveguides — analysis and assessment" // IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques. Vol. MTT-21. 1973. P. 225 - 236.

9. "Vibrational edge modes in finite crystals" / A. A. Maradudin, R. F. Wallis, D. L. Mills et al. // Phys. Rev. B. 1972. Vol. 6. P. 1106-1111.

10. Moss S. L., Maradudin A. A., Cunningham S. L. "Vibrational edge modes for wedges with arbitrary interior angles" // Phys. Rev. B. 1973. Vol. 8. P. 2999-3008.

11. Sharon T. M., Maradudin A. A., Cunningham S. L. "Vibrational edge modes for small-angle wedges" // Phys. Rev. B. 1973. Vol. 8. P. 6024-6026.

12. Sharon T. "Edge modes for piezoelectric wedge of arbitrary interior angles" // Proc. IEEE Ultrasonic Symposium. 1973. P. 126-130.

13. Maradudin Alexei A. "Edge Modes" // Jpn. J. Appl. Phys. 1974. Т. 13, № S2. С. 871-878.

14. Datta. S., Hunsinger B. J. "Analysis of line acoustical waves in general piezoelectric crystals" // Phys. Rev. B. 1977. Vol. 16. P. 4224-4229.

15. Gubernatis J. E., Maradudin A. "A Laguerre series approach to the calculation of wave properties for surfaces of inhomogeneous elastic materials" // Wave Motion. 1987. Vol. 9. P. 111-121.

16. "Leaky wedge waves in single crystal silicon" / A. M. Lomonosov, P. D. Pupyrev, P. Hess et al. // Proc. IEEE Ultrasonic Symposium. 2013. P. 1362 - 1365.

17. Datta. S., Hunsinger B. J. "Analysis of surface waves using orthogonal functions" //J. Appl. Phys. 1978. Vol. 49, no. 2. P. 475-479.

18. Kim Y., Hunt W. D. "Acoustic fields and velocities for surface-acoustic-wave propagation in multilayered structures: An extension of the Laguerre polynomial approach" //J. Appl. Phys. 1990. Vol. 68, no. 10. P. 4993-4997.

19. McKenna J., Boyd G. D., Thurston R. N. "Plate theory solution for guided flexural acoustic waves along the tip of wedge" // IEEE Trans. Sonics and Ultrasonics. Vol. SU-21. July 1974. P. 178-186.

20. Крылов В. В. "Об условии применимости приближения геометрической акустики для волн в остроугольном твёрдом клине" // Акустический журнал. 1989. Т. 35. С. 294-301.

21. Можаев В. Г. "Лучевая теория клиновых волн" // Вестн. моск. ун-та. 1989. Т. 30, № 5. С. 40-45.

22. Крылов В. В. "Геометро-ттический подход к описанию акустических мод колебаний упругого твёрдого клина" // Ж. Техн. Физ. 1990. Т. 60, № 2. С. 1-7.

23. Krylov V. V., Shanin A. V. "lnfluence of elastic anisotropy on the velocities of acoustic wedge modes" // Akust. Zh. 1991. Vol. 37. P. 130-133.

24. Shuvalov A. L., Krylov V. V. "Localized vibration modes in free anisotropic wedges" //J. Acoust. Soc. Am. 2000. Vol. 107, no. 1. P. 657-660.

25. Parker D. F. "Elastic wedge wedges" // J. Mech. Phys. Solids. 1992. Vol. 40, no. 7. P. 15831593.

26. Tiersten H. F., Rubin D. "On the fundamental atisymmetric mode of the wedge guide" // Proc. IEEE Ultrasonic Symposium. 1974. P. 117 - 120.

27. Заворохин Г. Л., Назаров А. И. "Об упругих волнах в клине" // Записки научных семинаров ПОМИ. 2010. Т. 380. С. 45-52.

28. Камоцкий И. В. "О поверхностной волне, бегущей вдоль ребра упругого клина" // Алгебра и Анализ. 2008. Т. 20, № 1. С. 86-92.

29. "On the existence of guided acoustic waves at rectangular anisotropic edges" / P. D. Pupyrev, A. M. Lomonosov, A. Nikodijevic et al. // Ultrasonics. 2016. Vol. 71. P. 278-287.

30. "Acoustic waves guided by the intersection of a surface and an interface of two elastic media" / E. S. Sokolova, A. S. Kovalev, A. A. Maznev et al. //Wave Motion. 2012. Vol. 49. P. 388-393.

31. Abell B. C., Pyrak-Nolte L. J. "Coupled wedge waves" // J. Acoust. Soc. Am. 2013. Vol. 134. P. 3551-3560.

32. "Experimental and numerical investigations of wedge waves and its dispersion behaviors propagating along wedges" / J. Jia, Z. Shen, L. Yuan et al. // Proc. of SPIE. Vol. 8192. 2011. P. 81922Q/1-8.

33. Pupyrev P. D., Lomonosov A. M., Mayer A. P. "Laser-generated ultrasonic pulse shapes at solid wedges" // Ultrasonics. 2016. Vol. 70. P. 75-83.

34. Jia X., de Billy M. "Observation of the dispersion behavior of surface acoustic waves in a wedge waveguide by laser ultrasonics" // Appl. Phys. Lett. 1992. Vol. 61. P. 2970-2972.

35. "Observation of wedge waves and their mode transformation by laser ultrasonic technique" / J. Jia, Z. Shen, L. Wang et al. // Chin. Opt. Lett. 2011. Vol. 9, no. 2. P. 022501/1-3.

36. de Billy M., Hladky-Hennion A. "The effect of imperfections on acoustic wave propagation along a wedge waveguide" // Ultrasonics. 1999. Vol. 37. P. 413-416.

37. Yang C.-H., Tsen C.-Z. "Experimental and numerical investigations on the dispersion behaviors of wedge waves propagating along wedges with bilinear cross sections" // Ultrasonics. 2006. Vol. 44. P. 1471-1474.

38. Jia J., Shen H., Sun K. "Study of the impact of truncations on wedge waves by using the laser ultrasound technique" // Applied Optics. 2015. Vol. 54, no. 24. P. 7406-7412.

39. Tang Sheng-Wei, Yang Che-Hua. "Dispersion Behaviors of Antisymmetric Flexural Modes Propagating along Wedge Tips with a Layer of Thin Coating" // Jpn. J. Appl. Phys. 2007. Т. 46, № 9A. С. 5935-5938.

40. Tang S.-W., Yang C.-H. "A Comparison of Laser Ultrasound Measurements and Finite-Element Simulations for the Dispersion Behavior of Antisymmetric Flexural Modes Propagating along Wedge Tips with Coatings" // IEEE Trans. Ultrason. Ferroelectr. Freq. Control. Vol. 55. 2008. P. 2674-2682.

41. "On the dispersion of wedge acoustic waves" / E. S. Sokolova, A. S. Kovalev, R. Timler et al. // Wave Motion. 2013. Vol. 50. P. 233-245.

42. Yang C.-H., Liu I.-H. "Optical Visualization of Acoustic Wave Propagating along the Wedge Tip" // Proc. of SPIE. Vol. 8321. 2011. P. 8321W/1-6.

43. Liu I.-H., Yang C.-H. "An Investigation on Wedge Waves and the Interaction with a Defect Using a Quantitative Laser Ultrasound Visualization System" // Proc. IEEE Ultrasonics Symp. 2010. P. 817-820.

44. Chen Y.-H., Yang C.-H. "Propagation Behaviors of ASF modes Propagating Along Wedge Tips with Defects" // Proc. Ultrason. Electron. Symp. Vol. 30. 2009. P. 231-232.

45. Yang C.-H., Li K.-C., Wu T.-C. "Guided waves propagating on the wedge tips with a notch" // Proc. Ultrason. Electron. Symp. Vol. 31. 2010. P. 283-284.

46. Tung P.-H., Yang C.-H. "A Study in Wedge Waves with Applications in Delay-line" // Proc. IEEE Ultrason. Symp. 2013. P. 1642-1645.

47. Krylov V. V. "Wedge elastic waves, with applications to ultrasonic non-destructive testing" // Proceedings of the 55th Annual British Conference on Non-Destructive Testing. 2016. P. 112.

48. Yang C.-H., Tung P.-H., Tai S.-C. "A New Pattern of Acoustic Delay-Line Based on Wedge Wave" // 19th World Conference on Non-Destructive Testing. 2016. P. 1-8.

49. Yang C.-H., Hsu C.-H., Du S.-N. "A New Method for the Inspection of Tool Wear Based on the Dispersion of ASF Modes" // Proc. IEEE Ultrason. Symp. 2007. P. 2061-2063.

50. "Study of surface acoustic waves guided by a metallic cylindrical wedge using laser-ultrasonic techniques" / D. Auribault, X. Jia, M. de Billy et al. // Journal de Physique IV. 1994. Vol. 4. P. C5/337-340.

51. Yang Che-Hua, Liaw Jiann-Shuoh. "Observation of Dispersion Behavior of Acoustic Wedge Waves Propagating along the Tip of a Circular Wedge with Laser Ultrasonics" // Jpn. J. Appl. Phys. 2000. T. 39, № 5A. C. 2741-2743.

52. Hladky-Hennion A. C. "Finite element analysis of the propagation of acoustic waves in waveguides" // Journal of Sound and Vibration. 1996. Vol. 194. P. 119-136.

53. Krylov V. V. "Localized vibration modes propagating along edges of cylindrical and conical wedge-like structures" // Journal of Sound and Vibration. 1999. Vol. 227, no. 1. P. 215-221.

54. Yu T.-H. "Dispersion analysis and measurement of circular cylindrical wedge-like acoustic waveguides" // Ultrasonics. 2015. Vol. 62. P. 263-270.

55. Yin C.-C., Yu T.-H. "An Ultrasonic Motor Driven by Traveling Cylindrical Wedge Waves" // Proc. IEEE Ultrasonics Symposium. 2006. P. 156-159.

56. Yu T.-H., Yin C.-C. "Modal Separation of Circular Cylindrical Wedge Wave Ultrasonic Motors" // SICE Annual Conference. 2010. P. 1257-1260.

57. Yu T.-H., Yin C.-C. "A modal sensor integrated circular cylindrical wedge wave ultrasonic motor" // Sensors and Actuators A: Physical. 2012. Vol. 174. P. 144-154.

58. Yu T.-H. "Transient wave motion analysis for modal suppression of a circular cylindrical wedge wave ultrasonic motor" // Sensors and Actuators A: Physical. 2014. Vol. 212. P. 133142.

59. Chamuel J. R. "Edge wave along immersed elastic elliptical wedge with range dependent apex angle" // Proc. IEEE Ultrason. Symp. Vol. 93. 1993. P. 313-318.

60. de Billy M. "On the influence of loading on the velocity of guided acoustic waves propagating in linear elastic wedges" //J. Acoust. Soc. Am. 1996. Vol. 100, no. 1. P. 659-662.

61. Chamuel J. R. "Flexural edge waves along free and immersed elastic waveguides" // Review of Progress in Quantitative Nondestructive Evaluation. 1996. Vol. 16. P. 129-136.

62. Hladky-Hennion A.-C., Langlet P., de Billy M. "Finite Element Analysis of the propagation of acoustic waves along waveguides immersed in water" // Journal of Sound and Vibration. 1997. Vol. 200, no. 4. P. 519-530.

63. Krylov V. V. "Propagation of Wegde Acoustic Waves Along Wedge Imbedded in Water" // Proc. IEEE Ultrason. Symp. Vol. 94. 1994. P. 793-796.

64. Krylov V. V. "On the velocities of localized vibration modes in immersed solid wedges" // J. Acoust. Soc. Am. 1998. Vol. 103, no. 2. P. 767-770.

65. Wang W.-C., Yang C.-H. "Characterization of broadband dispersion behaviors of wedge waves with different boundary conditions by laser ultrasound technique" // Proc. IEEE Symp. Ultrasonic Electronics. Vol. 30. 2009. P. 445-446.

66. Wang W.-C., Yang C.-H. "Wedge waves propagating along piezoelectric wedges with fluid loading" // Proc. IEEE Symp. Ultrasonic Electronics. Vol. 27. 2006. P. 231 - 232.

67. Krylov V., Pritchard G. "Experimental investigation of the aquatic propulsion caused by localised flexural wave propagation in immersed wedges and plates" // Applied Acoustics. 2007. Vol. 68. P. 97-113.

68. Krylov V. V., Porteous E. "Wave-like aquatic propulsion of mono-hull marine vessels" // Ocean Engineering. 2010. Vol. 37. P. 378-386.

69. Wang W.-C., Yang C.-H., Yang A.-S. "Acoustic Streaming Induced by Anti-symmetrical Flexural Modes near a Wedge Tip" // Proc. IEEE Ultrason. Symp. 2010. P. 1047-1049.

70. Бугаев А. С., Дмитриев В. Ф., Кулаков С. В. Устройства на поверхностных акустических волнах. СПб.: ГУАП, 2009.

71. Tung P.-H., Yang C.-H. "Application of Anti-Symmetric Flexural Modes for the Detection of Moisture" // Proc. Ultrason. Electron. Symp. Vol. 31. 2010. P. 489-490.

72. Tung P.-H., Yang C.-H. "Development of Acoustic-Wedge-Mode Humidity Sensor Using a Wedge with Hydroscopic Film" // Proc. IEEE Ultrason. Symp. 2011. P. 1203-1205.

73. Tung P.-H., Yang C.-H. "Application of anti-symmetric flexural modes for the detection of moisture" // Proc. of SPIE. Vol. 7983. 2011. P. 79833N/1-6.

74. Tung P.-H., Yang C.-H. "Anti-Symmetric Flexural Modes for the Detection of Humidity Variation" // IEEE Trans. Ultrason. Ferroelectr. Freq. Control. Vol. 60. 2013. P. 771-776.

75. "Unusual Parametric Effects on Line Acoustic Waves" / R. Adler, M. Hoskins, S. Datta et al. // IEEE Transactions on Sonics and Ultrasonics. Vol. SU-26. 1979. P. 345-347.

76. Krylov V. V., Parker D. F. "Harmonic generation and parametric mixing in wedge acoustic waves" // Wave Motion. 1992. Vol. 15. P. 185-200.

77. "Nonlinear Acoustic Waves in a Slender Wedge" / A. P. Mayer, V. G. Mozhaev, V. V. Krylov et al. // Nonlinear Coherent Structures in Physics and Biology / Ed. by K. H. Spatschek, F. G. Mertens. Springer, 1994. Vol. 329. P. 279-282.

78. Mayer A. P., Garova E. A., Mozhaev V. G. "Nonlinear Surface and Wedge Acoustic Waves in the Presence of Weak Dispersion" // Proc. Estonian Acad. Sci. Phys. Math. Vol. 46. 1997. P. 85-93.

79. Mayer A. P., Lomonosov A. M., Hess P. "Nonlinear acoustic waves localized at crystal edges" // Proc. IEEE Ultrasonics Symp. 2009. P. 1088-1091.

80. Sokolova E. S., Kovalev A. S., Mayer A. P. "Second-order nonlinearity of wedge acoustic waves in anisotropic media" // Wave Motion. 2013. Vol. 50. P. 246-252.

81. "Nonlinear Acoustic Pulse Evolution at Solid Wedges" / E. S. Sokolova, P. D. Pupyrev, A. M. Lomonosov et al. // Proc. IEEE Ultrasonic Symposium. 2012. P. 515 - 518.

82. "Nonlinear Dispersive Waves in Elastic Wedges" / E. S. Sokolova, P. D. Pupyrev, A. M. Lomonosov et al. // Proceedings of the 4th International Conference on Nonlinear Dynamics (ND-KhPI2013). 2013. P. 329 - 334.

83. "Nonlinear one-dimensional guided wedge waves" / A. M. Lomonosov, P. D. Pupyrev, P. Hess et al. // Phys. Rev. B. 2015. Vol. 92. P. 014112/1-5.

84. Kartashova E., Pelinovsky E. "Universal breaking point asymptotic for energy spectrum of Riemann waves in weakly nonlinear non-dispersive media" // arXiv: 1303.2885v2 [physics.flu-dyn]. 2013. P. 1-8.

85. "Universal Power Law for the Energy Spectrum of Breaking Riemann Waves" / D. Pelinovsky, E. Pelinovsky, E. Kartashova et al. // JETP Letters. 2013. Vol. 98, no. 4. P. 237-241.

86. Kartashova E., Pelinovsky E., Talipova T. "Fourier spectrum and shape evolution of an internal Riemann wave of moderate amplitude" // Nonlin. Processes Geophys. 2013. Vol. 20. P. 571 - 580.

87. Hunter J. K. "Nonlinear Hyperbolic Surface Waves" // Nonlinear Conservation Laws and Applications / Ed. by A. Bressan, G.-Q. G. Chen, M. Lewicka et al. Springer, 2011. Vol. 153 of The IMA Volumes in Mathematics and its Applications. P. 303-314.

88. Mayer A. P. "Surface acoustic waves in nonlinear elastic media" // Physics Reports. 1995. Vol. 256. P. 237-366.

89. Mayer A. P., Krylov V. V., Lomonosov A. M. "Guided acoustic waves propagating at surfaces, interfaces and edges" // Ultrasonic Symposium. 2011. P. 2046 - 2052.

90. Hess P., Lomonosov A. M., Mayer A. P. "Laser-based linear and nonlinear guided elastic waves at surfaces (2D) and wedges (1D)" // Ultrasonics. 2014. Vol. 54. P. 39-55.

91. Every A. G. "Displacement field of a point force acting on the surface of an elastically anisotropic half-space" // J. Phys. A: Math. Gen. 1994. Vol. 27. P. 7905 - 7914.

92. Maznev A. A., Every A. G. "Time-domain dynamic surface response of an anisotropic elastic solid to an impulsive line force" // Int. J. Engng Sci. 1997. Vol. 35, no. 4. P. 321-327.

93. Hamilton M. F., Il'inskii Y. A., Zabolotskaya E. A. "Nonlinear surface acoustic waves in crystals" // J. Acoust. Soc. Am. 1999. Vol. 105. P. 639-651.

94. Lim T. C., Farnell G. W. "Search for forbidden directions of elastic surface-wave propagation in anisotropic crystals" // J. Appl. Phys. 1968. Vol. 39. P. 4319 - 4325.

95. Tiersten H. F. Linear piezoelectric plate vibrations. New York: Plenum Press, 1969.

96. Викторов И. А. Звуковые поверхностные волны в твёрдых телах / под ред. В. А. Кра-сильников. Москва: «Наука», 1981.

97. Красильников В. А., Крылов В. В. Введение в физическую акустику. Москва: «Наука», 1984.

98. "Anisotropic effects in surface acoustic wave propagation from a point source in a crystal" / A. A. Maznev, A. M. Lomonosov, P. Hess et al. // Eur. Phys. J. B. 2003. Vol. 35. P. 429-439.

99. Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. Москва: «НАУКА», 1969.

100. "Crystal Instabilities at Finite Strain" / J. Wang, S. Yip, S. R. Phillpot et al. // Phys. Rev. Lett. 1993. Vol. 71, no. 25. P. 4182 - 4185.

101. Любарский Г. Я. Теория групп и её применение в физике. Москва: «Физматгиз», 1958.

102. Royer D., Dieulesaint E. "Rayleigh wave velocity and displacement in orthorhombic, tetragonal, hexagonal, and cubic crystals" //J. Acoust. Soc. Am. 1984. Vol. 76. P. 1438-1444.

103. Tanaka Y., Takigahira M., Tamura S. "Wave-front images of acoustic waves in the (100) and (001) surfacea of TeO2 " // Phys. Rev. B. 2002. Vol. 66. P. 075409/1-8.

104. Гусев В. Э., Карабутов А. А. Лазерная оптоакустика. Москва: «Наука», 1991.

105. Коломенский А. А., Мазнев А. А. "Лазерное возбуждение поверхностных акустических импульсов в изотропной среде и монокристаллах" // Известия АН. Серия физическая. 1992. Т. 56, № 8. С. 28 - 40.

106. Lomonosov A. M., Mayer A. P., Hess P. "Laser-based surface acoustic waves in materials science" // Modern Acoustical Techniques for the Measurement of Mechanical Properties. New York: Academic Press, 2001. Vol. 39. P. 65 -134.

107. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. В 3 т. Т. 1. Геометрия поверхностей, групп преобразований и полей. Москва: «Эдиториал УРСС», 1998.

108. Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. Москва: «НАУКА», 1974.

109. Новацкий В. Теория упругости / под ред. Б. Е. Победри. Москва: «Мир», 1975.

110. Subbaswamy K. R., Maradudin A. A. "Photoelastic and surface-corrugation contributins to Brillouin scattering from an opaque crystal" // Phys. Rev. B. 1978. Vol. 18, no. 8. P. 4181-4199.

111. Marvin A. M., Bortolani V., Nizzoli F. "Surface Brillouin scattering from acoustic phonons: I. General theory" // J. Phys. C: Solid St. Phys. 1980. Vol. 13. P. 299-317.

112. Ezawa H. "Phonons in a Half Space" // Annals of Physics. 1971. Vol. 67. P. 438-460.

113. Руденко О.В., Солуян С. И. Теоретические основы нелинейной акустики. Москва: «Наука», 1975.

114. Lomonosov A. M. "Nonlinear Surface elastic waves in solids". Ph.D. thesis: Combined Faculties for the Natural Sciences and for Mathematics of the Ruperto-Carola University of Heidelberg. 2002. 04.

115. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. В 10 т. Т. 7. Теория упругости. Москва: «Наука», 1987.

116. Mayer A. P. "Nonlinear surface acoustic waves: Theory" // Ultrasonics. 2008. Vol. 48. P. 478-481.

117. Руденко О.В., Солуян С. И. Теоретические основы нелинейной акустики. Москва: «Наука», 1975.

118. Rudenko O. V., Gurbatov S. N., Hedberg C. M. Nonlinear Acoustics Through Problems and Examples. Trafford Publishing, 2010.

119. Руденко О. В. "Нелинейные пилообразные формы" // УФН. 1995. Т. 165, № 9. С. 10111036.

120. Brio M., Temple-Raston M. "Regularizations of the Inviscid Burgers Equation" // Viscous Profiles and Numerical Methods for Shock Waves / Ed. by M. Shearer. SIAM, 1991.

121. Hamilton M. F., Il'insky Y. A., Zabolotskaya E. A. "On the existence of stationary nonlinear Rayleigh waves" // J. Acoust. Soc. Am. 1993. Vol. 93, no. 6. P. 3089-3095.

122. Eckl C., Mayer A. P., Kovalev A. S. "Do Surface Acoustic Solitons Exist?" // Phys. Rev. Lett. 1998. Vol. 81, no. 5. P. 983 - 986.

123. "On the stability of surface acoustic pulse trains in coated elastic media" / C. Eckl, J. Schoell-mann, A. P. Mayer et al. // Wave Motion. 2001. Vol. 34. P. 35 - 49.

124. "Solitary surface acoustic waves" / C. Eckl, A. S. Kovalev, A. P. Mayer et al. // Phys. Rev. E. 2004. Vol. 70. P. 046604/1-15.

125. Kumon R. E. "Nonlinear surface acoustic waves in cubic crystals". Ph.D. thesis: The Graduate School of the University of Texas at Austin. 1999. 12.

126. Maradudin A. A. "Surface acoustic waves" // Nonequilibrium Phonon Dynamics. 1985. Vol. 124. P. 395-599.

127. "Elastic surface waves in crystals - Part 2: Cross-check of two full-wave numerical modeling methods" / D. Komatitsch, J. M. Carcione, F. Cavallini et al. // Ultrasonics. 2011. Vol. 51. P. 878-889.

128. Auld B. A. Acoustic fields and waves in solids. Vol. 1. New York: John Wiley & Sons, 1973.

129. Every A. G. "Measurement of the near-surface elastic properties of solids and thin supported films" // Meas. Sci. Technol. 2002. Vol. 13. P. R21-R39.

130. Lewis H. "Surface skimming bulk waves, SSBW" // Proc. of IEEE Ultrasonics Symposium. 1977. P. 744-752.

131. Rayleigh J. W. S. "On waves propagated along the plane surface of an elastic solid" // Proc. London Math. Soc. Vol. 17. 1885. P. 4 - 11.

132. Lim T. C., Farnell G. W. "Character of pseudo surface waves on anisotropic crystals" //J. Acoust. Soc. Am. 1969. Vol. 45, no. 4. P. 845-851.

133. Постников М. М. Вариационная теория геодезических / под ред. Ф. В. Широков. Москва: «Наука», 1965.

134. Постников М. М. Лекции по геометрии. Семестр III. Гладкие многообразия. Москва: «Наука», 1965.

135. Hall J. "Electronic Effects in the Elastic Constants of n-Type Silicon" // Phys. Rev. 1967. Vol. 161. p. 756.

136. Slutsky L. J., Garland C. W. "Elastic Constants of Indium Antimonide from 4.2°K to 300°K" // Phys. Rev. 1959. Vol. 113. P. 167-169.