Исследование волновых процессов в топографических волноводах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат наук Паринова Любовь Ивановна

• Паринова Любовь Ивановна
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Паринова Любовь Ивановна

Введение

Глава 1. Постановки задач для упругих и вязкоупругих волноводов

1.1. Формулировка задачи для бесконечного клинообразного волновода

1.2. Формулировка задачи для волновода с произвольным ограниченным поперечным сечением

1.3. Формулировка задачи для полубесконечного пластинчатого волновода

1.4. Формулировка задачи для вязкоупругого волновода

1.5. Слабая постановка задачи

Глава 2. Исследование волн в клинообразном волноводе с малым углом раскрыва

2.1. Формулирование гипотез, упрощение основного функционала

2.2. Использование метода Ритца для нахождения скорости в бесконечном

клинообразном волноводе. Сравнение с геометро-акустической теорией

Глава 3. Исследование дисперсионных зависимостей в трапециевидном волноводе

3.1. Модель типа Кирхгофа. Метод Ритца. Дисперсионные зависимости, частные случаи (треугольное и прямоугольное поперечное сечение)

3.2. Модель типа Тимошенко. Метод Ритца. Дисперсионные зависимости, частные случаи (треугольное и прямоугольное поперечное сечение)

3.3. Исследование дисперсионных зависимостей в пластинчатом

полубесконечном волноводе

Глава 4. Исследование дисперсионных зависимостей для топографических волноводов в вязкоупругом случае

4.1. Использование функционала для модели типа Кирхгофа для волновода с трапециевидным сечением, обладающего реологическими свойствами

4.2. Исследование дисперсионных зависимостей для топографических волноводов (модель типа Кирхгофа) для различных поперечных сечений. Сравнение с упругим случаем

Заключение

Литература

з

Введение

Развитие моделирования в области механики деформируемого твердого тела и акустики представляет собой постепенный переход от решений задач в рамках простых моделей к построению более сложных моделей, учитывающих новые факторы, и решение задач с учетом этих факторов. В рамках моделей механики деформируемого твердого тела, например, это переход от моделей изотропных и однородных сред к более сложным моделям, учитывающим анизотропию и неоднородность.

Такие обобщения в истории механики осуществлялись с разной скоростью. Если решение классических задач с учетом анизотропии в рамках плоской задачи теории упругости и благодаря использованию методов теории функции комплексной переменной, было осуществлено достаточно быстро, то решения задач для неоднородных тел встретило на своем пути значительно большей трудностей, что связано с решением краевых задач для операторов с переменными коэффициентами. Если для простейших задач (для стержней и пластин) удалось построить решение с использованием рядов, прямых методов, специальных функций, то большую часть задач, возникающих в рамках моделей теории упругости для неоднородных тел, удалось исследовать лишь с применением современных вычислительных технологий, например, с помощью МКЭ. Похожая картина сложилась и в динамических задачах для неоднородных и анизотропных тел.

Отметим, что изучение волновых процессов в полуограниченных телах (полоса, цилиндр) неразрывно связано с нахождением скорости волны из уравнений, полученных на основе общей постановки задачи для исследуемой модели, исследование зависимости скорости от частоты колебаний. Так, для анизотропных тел уже нет разделения волн на продольные и поперечные, здесь введены понятия квазипродольных и квазипоперечных волн. Особую роль в

исследовании волновых процессов играет исследование волн в среде, имеющей свободную граничную поверхность.

Первые исследования особенностей распространения волн по свободной поверхности твердого тела проводились в 90-х годах 19 века. Работа лорда Релея, в которой описана поверхностная волна, бегущая по поверхности упругого изотропного полупространства, и приведено аналитическое уравнение для нахождения скорости распространения, была опубликована 12 ноября 1885 г. в Лондоне [1]. Эта работа породила многочисленные исследования в области поверхностных упругих волн, которые продолжаются и по настоящее время. В этой работе было показано, что амплитуда поверхностной волны экспоненциально убывает при удалении от свободной поверхности, волна не обладает дисперсией и представляет собой линейную комбинацию продольной и поперечной волн. Используя аналитические и численные методы, Викторов И. А. первым построил приближенное аналитическое решение, зависящее от коэффициента Пуассона для полученного Релеем уравнения [2], погрешность которого весьма мала. Также приближенное решение уравнения Релея приведено в работе [3], а точные решения уравнения для нахождения скорости поверхностной волны Рэлея представлены в [4], [5]. В 20-м веке исследования Рэлея были обобщены на анизотропный случай [6], где кинематика волн гораздо более богата, а в 21 -м веке эти исследования были продолжены, например, в [7]. Известно, что волна Релея отличается минимально возможной скоростью, и представляет собой линейную комбинацию трех плоских волн. В конце прошлого века были исследованы вопросы существования и единственности волны Релея для различных типов анизотропии [8]. В работе [9] установлено, что для любого направления вдоль поверхности среды с произвольной анизотропией существует волна релеевского типа; подробный анализ различных случаев проведен в [10]. Главные особенности волн Рэлея состоят в следующем

1. Волны не обладают дисперсией, скорость волны не зависит от частоты

колебаний и меньше скорости поперечных волн.

5

2. Их энергия локализована в приповерхностном слое, амплитуды экспоненциально убывают при удалении от границы полупространства.

3. Частицы движутся по эллиптическим траекториям, полуоси которых зависят от вертикальной координаты и уменьшаются при удалении от границы.

В результате исследований закономерностей распространения упругих волн в других объектах, отличных от полупространства, были выявлены структуры, в которых скорости волн еще меньше, чем релеевские, и для которых нет зависимости скорости распространяющихся мод колебаний от частоты, т. е. они являются бездисперсионными и обладают локализацией упругой энергии в окрестности некоторых точек (например, в окрестности ребра клинообразного волновода).

К настоящему времени в научной литературе, посвященной анализу волновых процессов в волноводах различной структуры, достаточно подробно изучены особенности формирования волновых процессов в изотропных и анизотропных волноводах, численно и аналитически исследованы дисперсионные зависимости и особенности их строения для слоистых и цилиндрических структур, в том числе и для неоднородных по поперечной координате. Отметим также, что с математической точки зрения исследование общей структуры дисперсионных множеств для полуограниченных тел (слой, бесконечный цилиндр) на основе анализа операторных пучков с двумя спектральными параметрами было осуществлено в монографии Воровича И. И. и Бабешко В. А. [11]. Аналогичные задачи для вертикально неоднородных структур исследованы в [12].

Отметим, что выявление структуры дисперсионного множества для

каждой конкретной структуры требует привлечения численных методов как

при анализе аналитически составленного дисперсионного уравнения для

однородных структур, так и в случае, когда явный вид дисперсионного

соотношения не может быть получен. Гораздо меньше изучены волновые

6

процессы в топографических волноводах, для которых построение дисперсионных зависимостей является непростой вычислительной задачей; при построении ветвей дисперсионного множества и изучении его тонких свойств -наличие зон аномальной дисперсии, зависимость частот запирания от параметров задачи - обычно используются КЭ-пакеты. Отметим, что в научной литературе практически отсутствуют работы, посвященные изучению волновых процессов в клиновидных структурах из анизотропных (ортотропных) материалов. Важным направлением в развитии теории топографических волноводов является исследование волновых процессов в них в средах с потерями, при наличии затухания, в том числе и моделируемых в рамках линейной теории вязкоупругости.

Изучение особенностей формирования волновых полей, возникающих в упругих клиновидных волноводах в изотропном случае, тесно связано с исследованиями особенностей распространения упругих волн вдоль ребра пространственного клина, которые проводились еще в 70-годах прошлого века. Интерес обусловлен возможностью применения волн, обладающих низкой скоростью, в акустоэлектронике. Как показали первоначальные исследования авторов в этом направлении, в силу отсутствия разделения переменных для произвольного угла раскрыва, аналитически исследовать волновые процессы для топографических волноводов нельзя. Приходится вводить упрощения, которые могут привести к продвижению в область аналитических или полуаналитических средств анализа, например, рассматривать клинообразный волновод с малым углом раскрыва. Также на основе модели теории упругости можно численно проанализировать краевую задачу с параметром, который характеризует скорость клиновой волны. Заметим, что задача распространения упругой волны вдоль ребра пространственного клина из изотропного материала достаточно подробно изучена в литературе [13]-[17], причем в подавляющем числе случаев это исследование осуществлялось с помощью КЭ-пакетов.

Так, в работах [13]-[16] при помощи метода конечных элементов

исследованы колебания изотропного бесконечного клиновидного волновода с

7

произвольным углом раскрыва. Результаты вычислительных экспериментов позволили установить, что для малых углов раскрыва существует антисимметричная мода колебаний, скорость распространяющейся волны в клиновидном волноводе значительно меньше релеевской скорости, для нее отсутствует дисперсия и энергия волн локализуется около ребра пространственного клина. Полуаналитические методы, в первую очередь связанные с использованием разложения смещений по полиномам Лагерра и приводящие к анализу задач на собственные значения для дифференциальных операторов, представлены в работах [15], [18]. Благодаря такому подходу удалось построить эффективные вычислительные схемы по определению собственных форм и скоростей в изотропных клиновидных структурах.

Следующий этап по моделированию волновых процессов в клинообразных волноводах, связан с так называемым геометро-акустическим подходом, представленным в работах [17], [19], причем исследования проводились на основе геометро-акустической теории и с учетом моделей пластин переменной жесткости [19]. В [17] описаны топографические волноводы, которые отличаются различной неоднородностью поверхности. Отметим такие виды волноводов, как полосковые и щелеообразные, для которых расчеты основных акустических характеристик обычно осуществляются в рамках эквивалентных электрических схем. Самые известные и достаточно широко представленные в приложениях топографические волноводы представляют собой выступы на поверхности упругой среды, простейшие из которых в поперечном сечении имеют форму треугольника или прямоугольника на подложке в виде полуплоскости. Задачи о волновых процессах, возникающих в топографических волноводах с треугольным поперечным сечением, сводятся к нахождению нетривиальных решений однородных краевых задач для уравнений теории упругости. Эти решения соответствуют волнам, которые распространяются вдоль ребра волновода, на поверхности которого вектор напряжений равен нулю.

Физическая модель распространения волны, бегущей вдоль клиновидного волновода, описана в работе [20], при этом представлен механизм распространения, описаны причины локализации волнового поля.

Благодаря существованию плоскости симметрии в ряде топографических

волноводов (клинообразные, прямоугольные) колебания разделяются на

симметричные и антисимметричные. Антисимметричные моды в бесконечном

клинообразном волноводе называются изгибными, характеризуются

отсутствием дисперсии и существенной локализацией волнового поля, могут

рассматриваться как суперпозиция двух распространяющихся плоских волн.

При помощи широко распространенного в акустике метода эквивалентных

четырехполюсников, приведенного в [21], можно получить уравнение,

характеризующее дисперсионные свойства таких структур, а также определить

характеристики смещений. Сравнивая эти результаты с данными, полученными

экспериментальным путем, можно заметить, что результаты по оценке

скоростей, полученные аналитически и экспериментально, практически

совпадают в ситуации, когда для прямоугольного сечения отношение высоты

выступа или длины прямоугольника к ширине выступа превосходит единицу.

Исследования для случая малых значений отношения высоты выступа к

ширине гребня проводились в работах [22], [23], где при помощи КЭ-

моделирования было показано совпадение экспериментальных данных с

аналогичными данными, рассчитанными на основе МКЭ. Было показано, что с

уменьшением частоты скорость волны увеличивается и приближается к

скорости волны Рэлея. Волновые процессы в полубесконечных пластинчатых

волноводах изучены в работах [24]-[26], где показано, что скорость

распространения волнового поля вдоль торца соответствует аналогичной

зависимости для неограниченного пластинчатого волновода. Плоское

напряженное состояние на сечении изучено в работах [27], [28], где показано,

что возникающие в бесконечно тонких пластинчатых волноводах

характеристики симметричных мод колебаний могут быть найдены из

идентичных параметров релеевской волны. Из работ [29], [30] становится

9

понятным, что для таких структур отсутствует дисперсия. Даже незначительное увеличение частоты приводит к возникновению слабой дисперсии у симметричного волнового поля [31], [32]. При значительном увеличении частоты колебаний скорость мод и в симметричном, и в антисимметричном случаях, распространяющихся вдоль выступа с прямоугольным сечением, стремится к скорости волны, бегущей в бесконечном волноводе с прямым углом раскрыва.

Эти результаты были получены при анализе колебаний в изотропной среде. Анализ подобного анизотропного случая был проведен лишь в случае анизотропии простого вида, например, кубической, которая характеризуется тремя параметрами упругости [27].

Так, например, в работе [33] описанные выше задачи о распространении волн в клиновидных волноводах, угол раствора в поперечном сечении которых мал, обобщаются на материалы, характеризующиеся кубическим типом анизотропии.

В работе [34] были построены аналитические решения для волновода, моделируемого в виде пластины переменной толщины для клина с малым углом раскрыва, а также для другого важного частного случая, когда поперечное сечение представляет собой усеченный клин.

Таким образом, предшествующие научные исследования в области изучения волновых процессов в клинообразных волноводах были направлены в первую очередь на установление зависимости дисперсионных кривых и скоростей в зависимости от угла раскрыва, который априори считался малым.

Важными для формирования общей теории упругих изотропных

топографических волноводов являются исследования, представленные в работе

Гринченко В. Т., Мелешко В. В. [35], где в рамках строгой трехмерной

постановки краевой задачи теории упругости изучены волновые процессы,

возникающие в упругом изотропном волноводе, поперечным сечением

которого является клин с прямым углом при вершине. После отделения

множителя, содержащего спектральный параметр, задача сводится к двумерной

10

в бесконечной клиновидной области. Весьма своеобразным является подход к исследованию этой задачи для прямоугольного клина. В этом частном случае удается разделять переменные, а решение строится на основе принципа суперпозиции из двух решений релеевского типа. Таким образом, при выполнении граничных условий на боковых гранях клина построена система двух интегральных уравнений Фредгольма второго рода, ядра которых содержат безразмерный спектральный параметр, характеризующий относительную скорость волны, распространяющейся вдоль ребра волновода. Отыскание нетривиального решения этой системы интегральных уравнений и переход к дискретному аналогу приводит к однородной бесконечной алгебраической системе, содержащей искомый спектральный параметр и, соответственно, нахождению искомой скорости. Проведен асимптотический анализ системы, изучена структура решений. Показано, что в случае антисимметричных колебаний для некоторых значений спектрального параметра существует нетривиальное решение системы алгебраических уравнений и, соответственно, системы интегральных уравнений. В рамках такого подхода определены скорости антисимметричных волн, в том числе и наименьшая, которая имеет основное практическое приложение. На основе такого подхода изучена зависимость фазовой скорости упругой волны, распространяющейся вдоль клина и локализованной вблизи его ребра, от коэффициента Пуассона изотропной упругой среды.

Другой важный диапазон исследований в области клинообразных

волноводов и соответственно с расширением области моделирования связан со

случаем, где угол раскрыва клина в поперечном сечении близок к

развернутому. Так, в [36] изучены волновые процессы в этом случае, причем

анализ связан с изучением вынужденных колебаний, причем в работе

рассматриваются упругие волны, которые возбуждаются на гранях клина

внешними нагрузками. На основе теоремы взаимности формируются

функциональные уравнения, для которых практически невозможно построить

точное аналитическое решение в общем случае. Полученные функциональные

11

уравнения исследуются с помощью асимптотического подхода. Для любого фиксированного волнового числа находится решение задачи о возбуждении полей. Отдельно исследуется частный случай: изучается клиновая волна с волновым числом, равным аналогичному параметру релеевской волны. В работе на основе предложенного асимптотического подхода изучаются также клиновые волны, рассеивающиеся на дефекте ребра.

В работах [37], [38] осуществлено исследование волновых процессов в бесконечном клинообразном волноводе с учетом анизотропии материала при помощи геометро-акустического подхода.

В [39] в рамках методов, основанных на теории возмущений линейных операторов, исследованы некоторые возмущающие факторы, влияющие на возникновение дисперсии в бесконечном клине. К таким факторам относятся геометрические - усечение вершины клина и механические - замена острой кромки дополнительным фрагментом из другого материала, покрытие одной или обеих поверхностей клина иным материалом, изменение упругих постоянных материала в области около ребра клина.

Вид локализации упругих волновых полей, распространяющихся вдоль ребра анизотропного клинообразного волновода при различных видах упругой симметрии, и взаимодействие локализованных волн с другими видами волн, изучены в работе [40], где исследование проведено в двух направлениях. Во-первых, проведено экспериментальное измерение фазовых скоростей и распределения упругих полей, во-вторых, представлен математический подход к исследованию клиновых мод, опирающийся на представление волновых полей с помощью разложений по полиномам Лагерра и на решение возникающих спектральных задач.

В работе [41] изучен вопрос о фундаментальной антисимметричной моде

в клине. Существование клиновых волн в некотором диапазоне изменения угла

раскрыва было строго доказано в работах [42], [43] с использованием

вариационного подхода. В рамках этого подхода получены условия

существования симметричных и антисимметричных мод для бесконечного

12

клинообразного изотропного волновода. В [44] с использованием вариационного подхода представлено доказательство существования волн в топографических волноводах с более сложной формой поперечного сечения. В [45] строгое доказательство существования локализованных акустических клиновых волн, предложенное Камоцким И. В., Заворохиным Г. Л. и Назаровым А. И., распространено на случай клина с прямым углом (этот случай, как описано выше, фактически детально изучен в [35]).

Отметим также, что особое внимание при исследовании волновых процессов в топографических волноводах уделяется изучению пластинчатых и балочных моделей. Первопроходцем в изучении волн у кромки пластин считается Коненков Ю. К.. В работе [46], которая опубликована в 1960 году, приведено пионерское исследование распространения изгибной краевой волны вдоль свободного края полубесконечной пластины и показано, что при удалении от края происходит затухание волны. Интересно отметить, что исследования советского ученого не были известны в других странах. Подобные результаты были повторены западными учеными только в 1974 году [24].

Отметим также прямые методы исследования задач подобного вида в рамках моделей пластин переменной жесткости.

Так, исследование полей смещений жестко защемленной по контуру пластины в рамках различных моделей (Тимошенко и Кирхгофа) представлено в работе [47], где для анализа эффективности используемого для построения решения метода Галеркина осуществлялось сравнение функций смещения в зависимости от числа координатных функций, исследовано влияние параметров задачи на решение.

В [48] с использованием бесконтактного метода регистрации смещений, базирующегося на оптическом зондировании, изучены основные моды клиновой волны, определены скорости клиновых волн и глубина их локализации, представлено сравнение теоретических и экспериментальных

данных, выявлено достаточно хорошее их совпадение.

Отметим, что некоторые дисперсионные свойства топографических волноводов наследуют свойства хорошо изученных слоистых и цилиндрических волноводов.

Впервые исследование различных аспектов распространения упругих волн в однородных цилиндрических структурах опубликовано в конце позапрошлого века [49], [50], где с использованием функций Бесселя было получено аналитическое решение поля в волноводе, которое в дальнейшем применялось для исследования дисперсионных множеств волновых мод, возникающих в цилиндрических волноводах, поперечное сечение которых представляет собой круг. Изучены предельные ситуации при достаточно большом радиусе круга.

В работе [51] показано, что возможно построение дисперсионного множества для неоднородного в радиальном направлении цилиндрического волновода даже в той ситуации, когда явные решения построить нельзя, однако можно свести задачу к канонической системе дифференциальных уравнений первого порядка с параметром, а для ее исследования использовать метод пристрелки. Изучив особенности колебаний неоднородных цилиндрических волноводов и зная информацию о поле смещений на поверхности, можно определить неоднородные упругие свойства этой структуры на основе решения некоторых обратных задач.

Волновые процессы в периодическом гофрированном волноводе из пористого материала исследованы в работе [52], где показано, что дополнительная извилистость усиливает затухание в низкочастотной области.

Закономерности, возникающие при исследовании дисперсионных соотношений для неоднородного пьезоэлектрического волновода с затуханием, обсуждены в [53], где для исследования и оценки этого влияния использовался асимптотический метод.

Важный этап исследования волновых процессов в топографических

волноводах связан с исследованием волновых процессов для волноводов с

ограниченным поперечным сечением, при этом для анализа решений возможно

14

два подхода. Первый связан с использованием КЭ-технологий для построения решений для операторов с одним или двумя спектральными параметрами. Второй связан с применением асимптотических методов и упрощенных моделей, базирующихся на моделях пластин переменной жесткости типа Кирхгофа или типа Тимошенко, для клинообразных волноводов с малым углом раскрыва для треугольного поперечного сечения, в рамках которых можно формулировать краевые задачи для операторов с переменными коэффициентами, либо использовать метод Ритца для отыскания стационарного значения и построения линейной однородной системы с параметрами, анализ которой позволяет определить спектральные значения с приемлемой точностью.

В работах [54]-[62] в рамках теории пластин переменной жесткости Кирхгофа были проанализированы волновые процессы в топографических волноводах из изотропных и ортотропных материалов. Для изотропного случая проведено сравнение скоростей клиновых волн, полученных в рамках вариационного подхода, с аналогичными результатами, найденными по геометро-акустической теории, представленной в [17]. Для антисимметричных мод в клиновидных структурах с ортотропным типом анизотропии в рамках такого подхода построены дисперсионные соотношения, проведено сравнение с геометро-акустической теорией для скоростей.

В работах [63]-[65] с использованием обобщенных гипотез теории пластин переменной жесткости типа Тимошенко изучены особенности волновых процессов в клиновидных волноводах с закрепленным основанием для сечения в виде треугольника или трапеции.

Исследования волновых процессов для клиновидных структур с эффектом затухания вызвали интерес совсем недавно. В основном затухание моделируется в рамках линейной вязкоупругости с использованием концепции комплексных модулей.

Работы [66]-[68] посвящены исследованию волновых мод, возникающих

в вязкоупругих ортотропных волноводах; проведено сравнение полученных

результатов с аналогичным дисперсионным множеством для исследованного ранее упругого случая. Задача о распространении упругой волны вдоль топографического волновода с произвольным поперечным сечением в операторном виде сформулирована в [68], где также представлена также слабая постановка задачи.

В [69] и [70] изучены особенности формирования волновых процессов в ортотропных топографических волноводах. Проведено сравнение результатов, полученных при помощи метода Ритца с аналогичными результатами, полученными при помощи КЭ-технологий.

В [71] исследованы колебания сварной поперечно неограниченной пластины из стали, которую можно трактовать как пластинчатый изотропный волновод. Поперечное сечение изучаемой структуры обладает центральной и осевой симметрией и представляет собой эллипс с двумя расположенными по бокам прямоугольниками: средние линии прямоугольников и большая ось эллипса лежат на одной прямой. В рамках КЭ-подхода рассчитаны дисперсионные характеристики.

В работе [72], где при моделировании цилиндрического вязкоупругого волновода предлагается использовать стержневую структуру, изучены волны различной природы и их взаимодействие.

Волновые процессы в упругих волноводах с произвольным поперечным сечением с использованием полуаналитического конечно-элементного метода изучены в [73], где исследовано затухание волнового поля из-за рассеивания, что весьма актуально для исследования задач для волноводов, помещенных в жидкость или некоторую окружающую среду.

В [74] проанализированы ультразвуковые волновые процессы в осесимметричном цилиндрическом волноводе из вязкоупругого материала в зависимости от предварительной нагрузки, разработка исследования линеаризованной модели выполнена на базе прямого и обратного преобразования Фурье, а также с использованием осесимметричного полуаналитического КЭ-подхода.

В работе [75] получено точное и упрощенное комплексное дисперсионное уравнение для волн типа Лява, распространяющихся в вязкоупругом волноводе, поверхность которого нагружена слоем конечной толщины, представляющим собой жидкость, моделируемую в рамках простых реологических моделей (Максвелла, Кельвина), а также изучено влияние толщины слоя на дисперсионные соотношения.

Комбинированный подход для изучения особенностей распространения волнового поля в упругих волноводах с локальными неоднородностями представлен в работе [76].Отметим, что использование предложенной в работе численно-аналитической вычислительной схемы облегчает и ускоряет расчеты волновых полей; предложенный метод может применяться для отыскания дисперсионных соотношений, частот толщинных резонансов и исследования волновых полей в волноводах иной структуры.

В работах [77], [78] проанализированы волновые поля в волноводе с полостью произвольной формы, как с помощью метода граничных уравнений и его дискретного варианта, так и на основе использования асимптотического метода подхода для круговой полости. В этих же работах исследованы прямая и обратная задача о колебаниях ортотропного слоя с неоднородностью.

В работе [79] в рамках интегрального подхода изучаются колебания упругих композитных волноводов, состоящих из уложенных под произвольным углом нескольких слоев, обладающих произвольной анизотропией; продемонстрированы особенности контроля рабочего состояния слоистых композитных изделий при помощи акустического метода зондирования, базирующегося на выявленных ранее закономерностях распространения волн Лэмба.

Распространение волн в слоистых вязкоупругих волноводах,

представляющих собой вязкоупругий слой, нанесенный на упругое

полупространство, изучено в [80], где численно решена задача Штурма-

Лиувилля для оператора с комплексными коэффициентами. Это исследование

применено к исследованию волн типа Лява, причем для решения

17

комплекснозначного дисперсионного уравнения применено разделение действительной и мнимой части и совместном решении системы трансцендентных уравнений.

Для предварительно напряженного вязкоупругого волновода в линеаризованной инкрементальной форме построено решение в [81], где применяется полуаналитический КЭ-метод.

Жидкостно-твердые волноводы сложной геометрии изучены в [82] с использованием полуаналитического изогеометрического анализа; проведено сравнение дисперсионных соотношений с результатами, найденными при помощи традиционного КЭ-подхода, в основе которого лежит использование многочленов Лагранжа для аппроксимации полей.

Дисперсионные характеристики для волновых мод, распространяющихся в пьезоэлектрических спиральных волноводах, изучены в [83], где исследовано зависимость дисперсионных свойств волны от материальных свойств пьезоэлектрика.

Особенности распространения волн в вязкоупругом цилиндрическом волноводе с радиальной трещиной, который смоделирован как клиновидный волновод с углом 3600 при вершине, рассмотрены в [84], где с применением метода ортогональной прогонки Годунова найдены дисперсионные зависимости.

Таким образом, развитие исследований локализованных упругих и вязкоупругих волн в волноводах различной природы и структуры, формы поперечного сечения, продолжается и в настоящее время. Отметим, что большой вклад в развитие теории упругих волн, распространяющихся в топографических волноводов внесли: Lagasse P. E., Maradudin A. A., Oliner A.A., Thurston R. N., Бабешко В. А, Бабич В. М., Бирюков С. В., Ватульян А. О., Викторов И. А., Ворович И. И., Гетман И. П., Глушков Е. В, Глушкова Н. В., Гринченко В. Т., Гуляев Ю. В., Заворохин Г. Л., Камоцкий И. В., Крылов В. В., Мелешко В. В., Можаев В. Г., Назаров А. И., Плесский В. П.,

Устинов Ю. А., Шанин А. В. и другие авторы.

18

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование волновых процессов в топографических волноводах»

Актуальность темы исследования.

С целью усовершенствования и расширения сферы применения методов неразрушающего контроля, при помощи которого выявляются дефекты в различных сварочных и клеевых структурах, а также для контроля за состоянием кромки режущего инструмента становится актуальным всестороннее изучение кинематики волновых процессов, возникающих в топографических волноводах с различной формой поперечного сечения, распространение волн в которых характеризуется рядом особенностей. Исследование упругих волн с различными способами возбуждения и типами локализации имеет практический интерес для разработки эффективных линий задержки, а также для создания фильтров подавления ложных сигналов.

Изучение особенностей распространения упругих волн в изотропных клиновидных структурах берет свое начало в 70-х годах 19 века в работах Lagasse P. E., и его соавторов, посвященных исследованию бесконечных клиновидных волноводов. Кромочная волна, бегущая вдоль прямоугольного волновода, представляющего собой полубесконечную пластину, была рассмотрена Коненковым Ю. К. Для изучения закономерностей волновых процессов в топографических структурах различного поперечного сечения аналитические методы, как правило, являются неэффективными и большинство исследований в рамках этой проблемы проводится с помощью использования конечно-элементных моделей.

На данный момент закономерности распространения акустических волн в анизотропных протяженных структурах, представляющих собой выступ на поверхности твердого тела, практически не изучены ни в России, ни за рубежом. В научной литературе редко встречаются работы о колебаниях ортотропных волноводов при различной форме поперечного сечения. Также сложно найти исследования волновых процессов в топографических волноводах из материалов, обладающих реологическими свойствами.

Целью данной работы является изучение особенностей распространения

волн в упругих волноводах с малым углом раскрыва в рамках моделей

19

ортотропно й теории упругости и вязкоупругости, формирование прикладных моделей на основе моделей пластин переменной жесткости, построение и исследование дисперсионных зависимостей для некоторых ортотропных материалов на базе прямых методов.

Для достижения цели работы были поставлены следующие задачи:

- Формулировка задачи для ортотропного волновода с произвольным, ограниченным поперечным сечением в операторном виде.

- Исследование волновых процессов в ортотропном бесконечном клиновидном волноводе с малым углом раствора, разработка полуаналитического метода вычисления скоростей волн для антисимметричных мод колебаний и сравнение полученных результатов с известной геометро-акустической теорией.

- Построение дисперсионных зависимостей для упругого ортотропного пластинчатого усеченного волновода в рамках моделей пластин переменной жесткости, аналогичных моделям Кирхгофа и Тимошенко.

- Исследование влияния геометрии поперечного сечения на собственные колебания ортотропных волноводов с треугольным и прямоугольным поперечным сечением.

- Сравнительный анализ результатов в упругом случае для модели типа Кирхгофа с результатами для модели типа Тимошенко.

- Исследование распространения волн в клиновидных ортотропных волноводах, обладающих реологическими свойствами, и сравнение результатов, полученных в рамках линейной вязкоупругости, с результатами, полученными в рамках теории упругости для тех же областей.

Научная новизна работы заключается в следующем:

- В изучении закономерностей волновых процессов, возникающих в топографических ортотропных волноводах.

- В исследовании модели, аналогичной модели пластины переменной жесткости типа Кирхгофа для упругого и вязкоупругого волновода с ограниченным поперечным сечением (трапеция, треугольник, прямоугольник).

- В применении модели, аналогичной модели пластины переменной жесткости типа Тимошенко для клиновидного ортотропного волновода.

- В разработке вычислительного комплекса для реализации предложенного приближенного метода и проведении расчетов в зависимости от параметров задач.

- В исследовании закономерностей движения и дисперсионных зависимостей для ортотропного волновода с затуханием.

Объем и структура работы. Работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.

Во введении представлен обзор научной литературы по теме исследования. Отмечено, что исследование волн в топографических волноводах представляет собой важную задачу механики деформируемого твердого тела, представлены различные направления исследований в бесконечных волноводах в зависимости от угла раскрыва и кинематики движений (симметричные и антисимметричные моды). Обсуждены основные методы построения дисперсионных зависимостей для волноводов с ограниченным поперечным сечением, опирающиеся как на КЭ-расчеты, так и на упрощенные модели.

В первой главе приведены общие постановки задач о закономерностях распространения волн в упругих и вязкоупругих волноводах.

В первом параграфе рассматривается топографический ортотропный

волновод, сечение которого представляет собой бесконечный клин с малым

углом раскрыва; задача о нахождении скорости клиновой волны,

распространяющейся вдоль изучаемой протяженной структуры, формулируется

в операторной форме: приводятся операторные соотношения, уравнения

движения и граничные условия. Второй параграф посвящен постановке задачи

о собственных колебаниях ортотропного волновода с произвольным

ограниченным поперечным сечением. На основе закона Гука для упругой

ортотропной среды и с учетом вида матриц упругих постоянных ортотропного

материала приводятся основные соотношения в операторном виде с двумя

спектральными параметрами. В третьем параграфе ставится задача для

21

установившихся колебаний топографического волновода, представляющего собой полубесконечную пластину. В четвертом параграфе с использованием принципа соответствия на основе концепции комплексных модулей сформулирована спектральная задача для вязкоупругого волновода, сформулирован способ перехода к упругому случаю, а также приведены свойства для введенных для решения задачи комплексных функций. В пятом параграфе для построения приближенных моделей деформирования приведена слабая постановка задачи, выведен вариационный принцип, аналогичный принципу Гамильтона-Остроградского, на основе исследования стационарного значения которого представлен алгоритм нахождения точек дисперсионного множества.

Во второй главе изучаются собственные установившиеся колебания ортотропного бесконечного клиновидного волновода с малым углом раскрыва.

В первом параграфе рассматриваются антисимметричные колебания и вводятся гипотезы для компонент смещений. С учетом малости угла раскрыва вводятся гипотезы для пластин переменной жесткости типа Кирхгофа; на основе общей постановки задачи строится функционал для антисимметричного случая. Во втором параграфе для решения задачи используется метод Ритца; решение отыскивается в классе функций, удовлетворяющих главным граничным условиям; приводится частный случай функционала, построенного в рамках представленного подхода для двух координатных функций в методе Ритца; нахождение стационарного значения этого функционала приводит к линейной алгебраической системе с двумя спектральными параметрами, из условий равенства нулю определителя системы находятся скорости антисимметричных мод. С помощью перехода к изотропному случаю проводится сравнение скоростей полученных двух первых антисимметричных мод с результатами, описанными в научной литературе и найденными при помощи геометро-акустической теории. На основе приближенной теории рассчитываются относительные фазовые скорости для ряда ортотропных материалов.

В третьей главе на основе моделей, аналогичных моделям пластин переменной жесткости, исследуются особенности распространения поверхностных акустических волн в ортотропных волноводах, поперечное сечение которых представляет собой равнобедренную трапецию.

В первом параграфе формулируются граничные условия для

клиноообразного волновода с поперечным сечением, которое представляет

собой равнобедренную трапецию; представлены 2 предельных перехода, при

которых трапециевидное сечение трансформируется в прямоугольное или

треугольное; проводится обезразмеривание задачи, указываются используемые

гипотезы для пластин переменной жесткости типа Кирхгофа, а также

приводятся гипотезы четности-нечетности для компонент смещений. С учетом

введенных гипотез, с применением вариационного принципа и метода Ритца,

выполняется упрощение построенного квадратичного функционала. Из условия

для нахождения стационарного значения этого функционала получено

уравнение для нахождения дисперсионных множеств, приведены результаты

вычислительных экспериментов в зависимости от числа координатных

функций в методе Ритца. Построены дисперсионные зависимости для

топографических волноводов с поперечным сечением в форме трапеции,

треугольника и прямоугольника, исследуются резонансные ситуации и

находятся точки запирания для волновода с ограниченным поперечным

сечением. Во втором параграфе анализируются волновые поля, возникающие в

ортотропной модели пластин типа Тимошенко; с использованием

вариационного подхода строится функционал, зависящий от трех функций. Эта

модель уточняет результаты, полученные ранее в рамках модели типа

Кирхгофа. Выполняется обезразмеривание величин, решение ищется методом

Ритца с введением функций, удовлетворяющих главным граничным условиям,

строятся первые ветви дисперсионного множества. В качестве примера

приводится способ нахождения зависящего от трех функций функционала для

решения задачи о распространении волны в топографическом волноводе с

треугольным поперечным сечением. В рамках метода Ритца изучается частный

23

случай, строится функционал для двух координатных функций, демонстрируется способ сведения функционала для модели типа Тимошенко к функционалу для модели типа Кирхгофа, зависящему от одной функции, приводятся результаты расчета дисперсионных зависимостей для первых двух мод, а также строятся графики дисперсионных зависимостей. Выполняются расчеты с использованием КЭ-пакета FlexPDE 7.12 Lite Version, найдены первых три моды колебаний для трапециевидного, треугольного и прямоугольного волноводов, результаты сравниваются для частот запирания с результатами, полученными полуаналитическими методами. В четвертом параграфе изучается волна, бегущая вдоль волновода, который представляет собой полубесконечную пластину.

В четвертой главе в рамках упрощенных моделей, рассмотренных ранее, исследуются антисимметричные собственные колебания топографических волноводов из ортотропных материалов, обладающих реологическими свойствами. Для решения задачи используются концепции линейной теории вязкоупругости и принцип соответствия, с учетом спектральной задачи для упругой модели типа Кирхгофа выполняется обезразмеривание комплексных модулей и строится квадратичный функционал; решение об отыскании стационарного значения отыскивается методом Ритца, в результате получена линейная однородная алгебраическая система с комплексными

коэффициентами размерность которой зависит от числа введенных координатных функций; приравнивание нулю главного определителя системы позволяет изучить функцию, необходимую для построения дисперсионных кривых. Во втором параграфе описываются вычислительные эксперименты, приводятся таблицы первых двух мод собственных вибраций волновода с трапециевидным поперечным сечением, а также приводятся дисперсионные зависимости в рамках вязкоупругих моделей для волноводов с сечениями в виде трапеции, треугольника и прямоугольника; проводится сравнение результатов дисперсионных кривых для вязкоупругих моделей с аналогичными результатами для упругого волновода.

В заключении приводятся основные результаты проведенного исследования.

Практическая значимость

Благодаря особым свойствам закономерностей распространения волновых процессов в топографических волноводах изучение вибраций протяженных структур имеет практические приложения.

Результаты исследования колебаний протяженных структур могут использоваться:

- в приборостроении для усовершенствования технологий акустического зондирования;

- в дефектоскопии для разработки эффективных методов неразрушающего контроля и контроля за состоянием режущего инструмента;

- в сейсмологии для определения особенностей геометрии поверхности;

- в аэрокосмической промышленности для мониторинга состояния кромок лопастей и турбин;

в микроэлектронике в качестве частотно-резонансных преобразователей и

отражателей объемных и поверхностных волн.

Особый интерес вызывают акустические волны, локализованные вблизи

ребра упругого и вязкоупругого клина, с энергией, локализованной в

окрестности ребра с убывающей амплитудой при удалении от ребра

Методология и методы исследований. В основе исследования лежит

постановка задачи в рамках теории упругости для ортотропного материала,

формулировка задачи об анализе дисперсионных соотношений с помощью

анализа операторного пучка, содержащего два спектральных параметра,

формулировка вариационной постановки, упрощение основного функционала с

помощью гипотез, характерных для пластин переменной жесткости типа

Кирхгофа и типа Тимошенко. При исследовании волновых процессов в

топографическом волноводе с учетом затухания использованы модели

линейной вязкоупругости, в частности, модель Олдройда и принцип

соответствия между упругой и вязкоупругой моделью. В качестве метода

25

исследования вариационной задачи использован метод Ритца и анализ возникающей матричной задачи, содержащей два параметра. Для реализации разработанного полуаналитического метода и численных расчетов применялся современный пакет компьютерной алгебры Maple.

Основные положения, выносимые на защиту:

- Методы исследования волновых процессов в топографических волноводах из упругих и вязкоупругих материалов.

- Формулировка слабой постановки задачи для ортотропного волновода с произвольным ограниченным поперечным сечением и нахождение критических значений.

- Полуаналитический метод построения дисперсионных зависимостей и исследование волновых процессов в волноводах в зависимости от характеристик профиля поперечного сечения.

- Для волноводов с малым углом раскрыва формулировка гипотез, аналогичных моделям Кирхгофа и Тимошенко для пластин переменного сечения, построение соответствующих функционалов и приближенное исследование дисперсионных зависимостей с помощью метода Ритца.

- Сравнение результатов для бесконечного изотропного волновода, полученных при помощи разработанного полуаналитического метода, с результатами, полученными по геометро-акустической теории.

- Сравнение результатов, полученных для упругой и вязкоупругой моделей на основе принципа соответствия.

Достоверность результатов работы Достоверность результатов, полученных в диссертации, базируется на строгих постановках исходных задач, апробированных методах исследования краевых задач теории упругости и вязкоупругости для полуограниченных областей, корректным упрощением исходных задач, сведением задач к одномерным, содержащим два спектральных параметра, сравнением полученных результатов с построенными авторами и другими способами в частных случаях.

Апробация работы.

Полученные в диссертации результаты были представлены на следующих конференциях:

•«Математическое моделирование и биомеханика в современном университете» (п. Дивноморское, 2016-2018, 2021, 2022); •International Conference on «Physics and Mechanics of New Materials and Their Applications» (г. Сурабайя, Индонезия, 2016);

•International Conference on «Physics and Mechanics of New Materials and Their Applications» (Busan, South Korea, 2018);

•XX Международная конференция «Современные проблемы механики сплошной среды», 2020

•XI Международный математический научно-образовательный форум, XV Владикавказская молодежная математическая школа, 2020 •10th Anniversary International Conference on "Physics and Mechanics of New Materials and Their Applications" (PHENMA 2021-2022, Divnomorsk, Russia, 2022)

Результаты по теме научно-квалификационной работы опубликованы в 17 работах [54]-[70], из них:

- в 3 работах в периодических изданиях, входящих в базу Scopus [55], [57], [63];

- в 4 статьях в журналах, входящих в перечень ВАК [54], [56], [64], [68], в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук, соответствующих научной специальности 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела (физико-математические науки) и входящих в перечень диссертационного совета ЮФУ01.02.

Личный вклад автора

В совместных с научным руководителем публикациях Ватульяну А. О.

принадлежит постановка задач, выбор метода исследования, формулировка

гипотез, обсуждение результатов, а автору работы принадлежит построение

упрощенных моделей и соответствующих им функционалов, составление

27

программ по реализации метода Ритца для отыскания стационарных значений функционалов с двумя спектральными параметрами, проведение серии расчетов для различных моделей и различных профилей поперечного сечения, осуществление сравнительного анализа.

Результаты, входящие в настоящую диссертационную работу, получены при поддержке гранта РФФИ (№ 19-31-90079).

Глава 1

Постановки задач для упругих и вязкоупругих волноводов

Под топографическим волноводом понимается геометрическая структура, ограничивающая бегущую на подложке волну в поперечном направлении и локализующая волновое поле в некоторой области [85]. Первые работы, в которых представлены исследования волновых процессов в топографических волноводах, начали появляться в научной литературе в середине 60-х годов прошлого века. Изначально исследование волновых процессов в топографических волноводах представляло собой изучение волн в различных волноведущих структурах, например, в структуре, задаваемой двумя бороздками на упругой подложке (полосковый волновод), а также в плоскослоистых волноводах. Затем внимание исследователей было привлечено к новой структуре с локализацией волнового поля - к прямоугольному гребенчатому волновод.

Исследования распространения волн в клинообразных волноводах начали

развиваться в 70-годах прошлого века. При этом основные результаты для

бесконечных клинообразных волноводов были получены в рамках двух

подходов. Первый опирался на геометро-акустическую теорию, базирующуюся

на некоторых эвристических приёмах анализа задач акустики [13] - [16], а

второй подход формировался на базе КЭ-технологий [17]. При этом отметим,

что основное внимание было уделено исследованию скоростей волн для

антисимметричных (изгибных) мод в клинообразных волноводах с малым

углом раскрыва. Оказалось, что скорости таких волн могут оказаться весьма

малыми в зависимости от угла раскрыва, (ибо скорости пропорциональны углу

раскрыва) о чем свидетельствуют их оценочные значения в рамках геометро-

акустической теории. Отсутствие дисперсии для таких структур делает такие

29

волноводы весьма привлекательными для практического использования, однако такие фрагменты конструктивно размещать на подложках, что требует совершенствования методик расчета скоростей в зависимости от параметров материала и учета появляющейся дисперсии ввиду появления в такой структуре характерного линейного размера.

Для клинообразных волноводов с ограниченным поперечным сечением (например, в виде равнобедренного треугольника с малым углом раскрыва при вершине), соответствующие волны обладают дисперсией, изучение скоростей волн в зависимости от частотного параметра требует решения спектральных задач для операторов в частных производных второго порядка. Это возможно осуществить двумя способами - на основе МКЭ для оператора с двумя спектральными параметрами, либо на основе сведения этой задачи к спектральной для обыкновенных дифференциальных операторов на основе построения прикладных теорий, аналогичных для ленточных пластин переменной жесткости или для балочных моделей [86].

Особенности построения дисперсионных множеств изучались при решении задачи о вибрациях в анизотропном поперечно-неоднородном слоистом волноводе [11]. В работе [87] изучались особенности волновых процессов в нерегулярных волноводах, причем дисперсионные множества исследовались на основе решений Сен-Венана, причем при исследовании применялся метод возмущений.

Для изучения особенностей распространения волн в упругих волноводах необходимо сформулировать задачу, постановка которой состоит из описания части пространства, занятой средой, условий, накладываемых на поле перемещений, уравнений движения, определяющих соотношений для анизотропного упругого материала и граничных условий.

1.1. Формулировка задачи для бесконечного клинообразного волновода

Сначала сформулируем краевую задачу для клиновидной структуры, из анализа которой необходимо определить скорость упругой волны, распространяющейся вдоль ребра.

Рассмотрим задачу для бесконечного клиновидного анизотропного волновода с малым углом раскрыва в частном случае анизотропии - для отртотропной среды, в которой имеется три плоскости упругой симметрии. Изучим волны, распространяющиеся вдоль ребра ортотропного упругого топографического волновода с ребром, совпадающим с осью Ох3 (Рис. 1.1.1).

Будем считать, что ось Ох совпадает с биссектрисой угла при ребре, ось Ох2 перпендикулярна введенным осям, при этом введенная система образует правую тройку.

Область, занятая волноводом, имеет вид V = 8 х Я1, где S - поперечное сечение волновода (в рассматриваемом случае это бесконечный клин с углом раствора при вершине 2а.

Будем считать, что декартовы оси координат совпадают с осями упругой симметрии материала. Определяющие соотношения имеют вид [27], [88]:

(Гц — Сц£ц + СХ2£22 + С13£33 — Сххих х + СХ2и2,2 ^ С1 3и3,3 ?

У22 — С12^11 ^ С 22^22 ^ С23^33 — С12и1,1 ^ С22й2,2 ^ С23и3,3 ? У3 3 — С13^11 ^ С 23^22 ^ С33^33 — С13^1,1 ^ С23й2,2 ^ С33и3,3? У12 — 2С 66^12 — С 66(и1,2 + и 2,1 )? У13 — 2С55^13 — С55(и1,3 + и 3,1 X (У23 — 2С44^23 — С44(и2,3 ^ и3,2 ),

где у

и

компоненты тензора напряжений; и^ - компоненты вектора

упругих перемещений;

а, -

упругие постоянные ортотропного материала,

удовлетворяющие известным свойствам симметрии и положительной определенности упругой энергии.

Учитываем, что исследуются собственные колебания клинообразного волновода и границы клина свободны от напряжений, на рис. 1.1.2 представлено поперечное сечение волновода:

Рис. 1.1.2 Поперечное сечение ^ неограниченного клиновидного волновода

Уравнения движения при отсутствии массовых сил представимы в виде:

у — ри

тп ,п г т

(1.1.2)

где р - плотность материала, а граничные условия можно записать в форме:

УиПи

0

хг —± х^рр.

п ± — (зт а,± соб а,0)

(1.1.3)

Рассматриваем случай установившихся колебаний и решение задачи отыскивается в виде плоской волны, распространяющейся вдоль ребра изучаемой структуры:

(1.1.4)

и1 (х, х, X,г) = и (х, X У), , = 1, 2, 3

где У - волновое число, ю - частота колебаний, и, (х1, х2) - амплитуды колебаний клиновых волн.

ю

Определим фазовую скорость ^нь. согласно следующему с = - и

введем на плоскости новые переменные

—1 = Ух1 —2 = УХ2

В результате преобразований краевая задача для функций

= ик

к = 1, 2, 3

имеет вид

)+ С55(-V + vъл,

0+ С55(— V + V )=-< )=

рс \

V + V )=—РСЛ

С66(^1,21 + ^2,11)+ С12^1,12 + С22^2,22 + С2зУз2 + С44(

С55(^1,1^ + ^3,11)+ С44(^2,2?' + ^,22)+ (С13У1,1 + С23^,2 ) — С33^3 = —РС'V

с \

Л —2 у У , У у

(1.1.5)

(СпУи + СиУ2,2 + С^"^ / ^т а + С66(Г1,2 + у2Л Х+ соб а) = 0

С66(Х,2 + ^,1 ^ а + ((С12\1 + С22"^2,2 + С23^')(± С08 а) = 0

С55 (у1/ + V ^т а + С44 (у2/ + V 2Х- °08 а) = 0

(116)

Проводим обезразмеривание задачи, полагая

Си

с55

У1,

С,

22

С

У 2

С

33

55

С

У 3 ,

С

44

55

С

У 4

С

12

55

С

У5,

55

С,

66

С

У 6

55

С

23

С

У 7 ,

55

С13

С

У 8 ,

55

Р

С

= сп

-2 С

55

Уравнения движения в операторном виде примут вид:

V, = 0

(1.1.7)

где

¿11 =У15Г +У 6^ 2 — 1+ -Г;

<

2

С

0

L22 = Y651 +Y252 — Y4 + V ;

L33 =^2 + Y4^2 -Y3 +v2;

L12 = L21 =(Y4 +Y6 fod2 ; (1.1.9)

L13 = L31 = (Ys + Y 4 M; L23 = L32 = (l + Y7 2 ;

граничные условия представимы в виде:

TfVj = 0, (1.1.10)

где

Тп± = (sin a)Yidi + (± cos a)Y 6^ 2; Тц± =(sin a)Y 53 2 + (± cos a)Y 651;

Ti3± =(sin a)Ysi;

T21± = (sin a)Y6^2 + (±c0s a)Y5^1 ; (1.1.11)

T22± = (sin a)Y6^1 + (± c0s a)Y2^2 ;

T23± = (± c0s a)Y7l ;

T i± = (sin a)i;

T32± = Y4(± cos a)i;

T331 = (sin a)5x + y4 (± cos a)52.

В этой постановке требуется определить скорость волны c, при которой существует нетривиальное решение краевой задачи.

1.2. Формулировка задачи для волновода с произвольным ограниченным поперечным сечением

Рассмотрим собственные колебания волновода V = S х (— го, +го), S -

произвольное односвязное поперечное сечение, ограниченное кусочно-гладкой

кривой dS. Считаем, что с изучаемой протяженной структурой связана

34

декартова система координат, причем ось Ох3 ортогональна сечению 8 (рис.1.2.1).

Считаем, что 58 = Э81 ^ 582 где граница области 581 защемлена, а граница области 582 свободна от нагрузок.

Считаем, что материал волновода упругий ортотропный, а оси упругой симметрии изучаемой структуры совпадают с осями координат.

Рис 1.2.1 Топографический волновод

Обобщенный закон Гука для модели упругого тела имеет вид [11], [86]:

^ тп Стпк1 ^Ы

(1.2.1)

= 1 (ык1 + щк ), т = 1,2,3, п = 1,2,3, к = 1,2,3, I = 1,2,3

компоненты тензора деформаций, Стпк1 - компоненты тензора упругих постоянных материала.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Паринова Любовь Ивановна, 2022 год

Литература

1. Rayleigh J. W. S. On waves propagated along the plane surface of an elastic solid // Proceedings of the London Mathematical Society. 1885. Vol. 17, no 253. P. 4-11.

2. Викторов И. А. Физические основы применения ультразвуковых волн Рэлея и Лэмба в технике. М.: Наука, 1966. 169 с.

3. Achenbach J.D. Wave propagation in elastic solids. Amsterdam - London: North-Holland publishing company, 1973. 443 p.

4. Rahman M., Barber J. R. Exact expression for the roots of the secular equation for Rayleigh waves // Journal of Applied Mechanics, Transactions ASME. 1995. Vol. 62, no. 1. P. 250-252.

5. Nkemzi D. A new formula for the velocity of Rayleigh waves // Wave Motion. 1997. Vol. 26, no. 2. P. 199-205.

6. Тлеукенов С. К., Баяубаев Е. К., Исследование волн Рэлея вдоль свободной границы анизотропных сред кубической, гексагональной и ромбической сингоний // Вестник ПГУ, серия физ.-мат. 2009. № 2 С. 73-76.

7. Тлеукенов С. К., Ельтинова Л. А. Матричный метод получения уравнения волн Рэлея для анизотропных сред гексагональной сингонии // Ученые записки физического факультета Московского университета. 2013. №5. С. 236-239.

8. Musgrave M. J. P. Crystal Acoustics. San Francisco: Holden Day, 1970. 299 p.

9. Lothe J., Barnett D. M. On the existence of surface wave solutions for anisotropic elastic half space with free surface // J. Appl. Phys. 1976. Vol. 47. No 2. P. 428-433.

10. Mielke A., Fu Y.B. Uniqueness of the surface wave speed: a proof that is independent of the Stroh formalism // Math. Mech. Solids. 2004. V. 9. № 1. P. 5-16.

11. Ворович И. И., Бабешко В. А. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей. М.: Наука, 1979. 320 с.

12. Бабешко В. А., Глушков Е. В., Зинченко Ж.Ф. Динамика неоднородных линейно-упругих сред М.: Наука, 1989. 343 с.

13. Lagasse P. E. Analysis of a dispersionfree guide for elastic waves. Electron. Lett. 1972. Vol. 8, no. 15. P. 372-373.

14. Lagasse P. E., Mason I. M., Ash E. A. Acoustic surface waveguides - analysis and assessment // IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques. 1973. Vol. MTT-21. P. 225-226.

15. Maradudin A. A., Wallis R. F., Mills D. L., Ballard R. L. Vibration edge modes in finite crystals // Phys. Rev. B. 1972. Vol. 6. P. 1106-1111.

16. Ash E. A., De La Rue R.M., Humphryes R. F. Microsound Surface Waveguides // IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques. 1969. Vol. 17, no. 11. P. 882-892.

17. Бирюков С. В., Гуляев Ю. В., Крылов В. В., Плесский В. П. Поверхностные акустические волны в неоднородных средах. М.: Наука, 1991. 414 с.

18. Moss S. L., Maradudin A. A., Cunningham S. L. Vibration edge modes for wedges with arbitrary interior angles // Phys. Rev. B. 1973. Vol. 8. P. 2999-3008.

19. Можаев В. Г. Лучевая теория клиновых акустических волн // Вестник Моск. ун. Серия 3: Физика. Астрономия. 1989. № 5, С. 40-45.

20. Толипов Х. Б. Математическое моделирование движения волны вдоль кромки упругого клина // Математическое моделирование 2004. Т 16, № 5, с. 35-39.

21. Li R. C. M., Bertoni H. L., Oliner A. A., Markman S. Simple equivalent network for the flexural mode of the ridge guide for acoustic surface waves // Electron. Lett. 1972. Vol. 8. Issue 8. P. 211-212.

22. Lagasse P. E. Higher-order finite-element analysis of topographic guides supporting elastic surface waves. // J. Acoust. Soc. Amer. 1973. Vol. 53, no. 4. p.1116-1122.

23. Lagasse P. E. Finite element analysis of piezoelectric elastic wave-guides // IEEE Trans. Sonics Ultrason. 1973. Vol. SU-20, no. 4, p. 354-359.

24. Thurston R. N., McKenna J. Flexural Acoustic Waves Along the Edge of a Plate // IEEE Trans. Son. Ultrason. 1974. Vol. 21. P. 296-297.

25. Sharon T. M., Maradudin A. A. Cunningham S. L. // Lett. Appl. Eng. Sci. 1974. Vol. 2. P.161-174.

26. Lagasse P. E., Oliner A. A. Acoustic flexural mode on a ridge of semi-infinite height // Electronics Letters. 1976. Vol. 12, no. 1. P. 11-13.

27. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.

28. Ландау Л. Д. Лифшиц Е. М. Теория упругости. М.: Наука, 1987. 246 с.

29. Oliver J., Press F., Ewing M. Two-dimensional model seismology // Geophysics. 1954. Vol. 19, no. 2. P. 202-219.

30. Taram K., Weiss O. Wellenausbreitung in Unbegrenzten Scheiben und in Scheibenstreifen. // Acustica. 1961. Vol. 11, no 1. P. 8-18.

31. McCoy J. J., Mindlin R. D. Extensional waves along the edge of an elastic plate. // J. Appl. Mech. 1963. Vol. 30. P. 75-78.

32. Мелешко В. В. Распространение поверхностной волны вдоль торца полубесконечного упругого слоя // Докл. АН УССР. Сер. А. 1982. № 3. С. 33-36.

33. Wagers R. S. Phase-velocity relation for an acoustic wedge guide mode // J. Appl. Phys. 1973. Vol. 44, no 11, P. 4813-4815.

34. McKenna J., Boyd G. D. Thurston R.N. Plate theory solution for guided flexural acoustic waves along the tip of wedge // IEEE Trans. Sonics and Ultrasonics. 1974. Vol. SU-21. P. 178-186.

35. Гринченко В. Т., Мелешко В. В. Свойства гармонических волн, распространяющихся вдоль ребра прямоугольного клина // Акуст. журн. 1981. Т. 27, Вып. 2. С. 206-212.

36. Шанин А. В. Возбуждение и рассеяние клиновой волны в упругом клине с углом раскрыва, близким к 180 // Акуст. журн. 1997. Т. 43, № 3. С. 402-408.

37. Крылов В. В., Шанин А. В. Влияние упругой анизотропии на скорости клиновых акустических волн // Акуст. журн. 1991. Т. 37, Вып 1. С. 130-133.

38. Shuvalov A. L., Krylov V. V. Localized vibration modes in free anisotropic wedges // J. Acoust. Soc. Am. 2000. Vol. 107, no. 1. P.657-660.

39. Sokolova E. S., Timler R., Mayer A. P., Kovalev A. S. On the dispersion of wedge acoustic waves // Wave Motion. 2013. Vol. 50, no 2. P. 233-245.

40. Pupyrev P. D., Lomonosov A. M., Mayer A. P., Hess P. Symmetry effects on elastic wedge waves at anisotropic edges // Journal of Applied Physics. 2014. Vol. 115, no 24. P. 243504.

41. Tiersten H. F., Rubin D. On the fundamental antisymmetric mode of the wedge guide // Proc. IEEE Ultrasonic Symposium. 1974. P. 117-120.

42. Заворохин Г. Л., Назаров А. И. Об упругих волнах в клине // Записки научных семинаров ЛОМИ. 2010. Т. 380. С. 45-52.

43. Камоцкий И. В. О поверхностной волне, бегущей вдоль ребра упругого клина // Алгебра и Анализ. 2008. Т. 20. №1. С. 86-92.

44. Бабич В. М. об одном классе топографических волноводов // Алгебра и анализ. 2010. Т. 22. № 1. С. 98-107.

45. Pupyrev P. D., Lomonosov A. M., Nikodijevic A., Mayer A. P. On the existence of guided acoustic waves at rectangular anisotropic edges // Ultrasonics. 2016. Vol. 71. P. 278-287.

46. Коненков Ю. К. Об изгибной волне «рэлеевского» типа // Акуст. журн. 1960. Т. 6. № 1. С. 124-126.

47. Богачев И. В., Ватульян А. О., Дударев В. В., Недин Р. Д. Идентификация свойств неоднородной пластины в рамках модели Тимошенко // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2017. Т. 17. №4. С. 419-430.

48. Lomonosov A. M., Hess P., Mayer A. P. Silicon edges as one-dimensional waveguides for dispersion-free and supersonic leaky wedge waves // Applied Physics Letters. 2012. V. 101, no 3. P. 031904.

49. Pochhammer L. Uber die Fortpflanzungsgeschwindigkeiten kleiner Schwingungen in einem unbegrenzten isotropen Kreiscylinder // J. Reine angew. Math. 1876. № 81. P. 324-336.

50. Chree C. Longitudinal vibrations of a circular bar // J. Quart. Pure Appl. Math. 1886. № 21. P. 287-298.

51. Ватульян А. О., Юров В. О. Об оценке законов радиальной неоднородности в цилиндрическом волноводе // Акуст. журн. 2020. Т 66. № 2. С. 119-127.

104

52. Changyong Jiang, Lixi Huang. Characterization of low-frequency acoustic wave propagation through a periodic corrugated waveguide // Journal of Sound and Vibration. 2018. Vol. 418. P. 79-99.

53. Ватульян А. О., Юров В. О. Исследование дисперсионных свойств неоднородного пьезоэлектрического волновода при наличии затухания // Акуст. журн. 2017. Т. 63. №4. С.339-348.

54. Ватульян А. О., Паринова Л. И. Исследование клиновых волн в ортотропной среде // Вестник ДГТУ. 2005. Т. 5, №4(26). С. 491-499.

55. Vatulyan A. O., Parinova L. I. On the Elastic Waves Propagating Along the Edge Of the Wedge With Small Opening Angle // Advanced Materials - Techniques, Physics, Mechanics and Applications, Springer Proceeding in Physics, Mechanics and Applications, Springer Proceeding in Physics, Ivan A. Parinov, Shun-Hsyung Chang. 2017. Vol. 193. P. 309-319.

56. Ватульян А. О., Паринова Л. И. Об исследовании дисперсионных свойств топографических волноводов // Изв. вузов. Сев-Кавк. регион. Естеств. науки. 2018. №3. С. 10-17.

57. Parinova L. I. On the Wave Propagating Along the Plate-like Waveguide // Advanced Materials Proceedings of the International Conference on "Physics and Mechanics of New Materials and Their Applications", PHENMA 2018, Springer Proceeding in Physics, Vol. 224. Ivan A. Parinov, Shun-Hsyung Chang, Yun-Hae Kim. 2019. P. 487-494.

58. Vatulyan A. O., Parinova L. I. About elastic waves propagating along the fixed wedge with a rigidly limited height and a small opening angle // Physics and Mechanics of New Materials and their Applications (Phenma 2016). Abstracts & Schedule. 2016. P. 289-290.

59. Паринова Л. И. О локализованных клиновых волнах // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете. Тезисы докладов XI Всероссийской школы-семинара. Ростов-на-Дону, 2016. С. 105.

60. Паринова Л.И. Исследование клиновых мод в зависимости от профиля

сечения // Математическое моделирование и биомеханика в современном

105

университете. Тезисы докладов XII Всероссийской школы-семинара. Ростов-на-Дону, 2017. С. 115.

61. Паринова Л. И. О распространении поверхностных волн вдоль усеченного топографического волновода // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете. Тезисы докладов XIII Всероссийской школы-семинара. Ростов-на-Дону, 2018. С. 65

62. Vatulyan A. O., Parinova L. I. On the flexural wave propagating along the platelike waveguide // Physics and Mechanics of New Materials and Their Applications (PHENMA 2018). Abstracts & Schedule. Edited by Yun-Hae Kim, I.A. Parinov, S.-H. Chang. 2018. P. 369.

63. Vatulyan A., Parinova L. On the Use of Models of the Tymoshenko Type in the Analysis of Wave Processes in Wedge-Shaped Waveguides // Advanced Materials -Proceedings of the International Conference on "Physics and Mechanics of New Materials and Their Applications", PHENMA 2019, Springer Proceedings in Materials, V. 6, Ivan A. Parinov, Shun-Hsyung Chang, Banh Tien Long (Eds.). Springer Nature, Cham, Switzerland, 2020. P. 383-389.

64. Ватульян А. О., Паринова Л. И. Исследование волновых процессов в упругих топографических волноводах // Акуст. журн. 2021. Т. 67. №2. С. 119-125.

65. Паринова Л. И. О модели типа Тимошенко при моделировании клиновых волн в топографических волноводах // Современные проблемы механики сплошной среды. Тезисы докладов XX Международной конференции. Ростов-на-Дону - Таганрог, 2020. С. 139.

66. Паринова. Л. И. Исследование волновых процессов в топографическом волноводе с учетом затухания // Математический форум (Итоги науки. Юг России). 2020. Т. 13. С. 316-317.

67. Паринова Л. И. О собственных колебаниях топографических вязкоупругих

волноводов с различной геометрией сечения // Математическое моделирование

и биомеханика в современном университете. Тезисы докладов XV

Всероссийской школы. Ростов-на-Дону, 2021. С. 105

106

68. Ватульян А. О., Паринова Л. И. О волновых процессах в вязкоупругих топографических волноводах // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. 2022. №2. С. 50-60.

69. Паринова Л. И. Особенности моделирования волновых процессов в ортотропных волноводах // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете. Тезисы докладов XVI Всероссийской школы-семинара. Ростов-на-Дону, 2022. С. 79.

70. Parinova L. I. On the study of eigen-vibrations of orthotropic topographic waveguides // 10th Anniversary International Conference on "Physics and Mechanics of New Materials and Their Applications" (PHENMA 2021-2022, Divnomorsk, Russia, May 23-27, 2022) : Abstracts and Schedule. P. 187-188.

71. Xudong Yu, Rong Qin, Mingxi Deng New insights into topographically feature guided waves (FGW) propagation in non-uniform elastic waveguides // Wave Motion, Vol. 109. 2022. 102866

72. Ерофеев В. И., Кажаев В. В., Семерикова Н. П. Волны в стержнях. Дисперсия. Диссипация. Нелинейность. М.: Физматлит, 2002. 208 с.

73. Castaings M, Lowe M. Finite element model for waves guided along solid systems of arbitrary section coupled to infinite solid media // J Acoust Soc Am. 2008. Vol 123(2). P. 696-708.

74. T. Jothi Saravanan, Guided ultrasonic wave-based investigation on the transient response in an axisymmetric viscoelastic cylindrical waveguide // Ultrasonics, Available online. 2021. 106543

75. F.Billon, A.El Baroudi. Mathematical modelling of Love waves propagation in viscoelastic waveguide loaded with complex fluids // Applied Mathematical Modelling, Vol. 96. 2021. P. 559-569.

76. Глушков Е. В., Глушкова Н. В., Евдокимов А. А. Гибридная численно-аналитическая схема для расчета дифракции упругих волн в локально неоднородных волноводах // Акуст. журн. 2018. Т. 64. № 1. С. 3-12.

77. Ватульян А. О., Беляк О. А. Обратная задача идентификации малого дефекта на основе асимптотического метода // Дефектоскопия. 2020. № 7. С. 39.

78. Ватульян А. О., Беляк О. А. О различных способах реконструкции полости в ортотропном слое // Прикладная механика и техническая физика. 2009. Т. 50. № 3 (295). С. 181-189.

79. Глушков Е. В., Глушкова Н. В. Бегущие волны в многослойных анизотропных композитах // Прикладная математика и механика. 2021. Т. 85. № 3. С. 296-308.

80. P.Kielczynski. Direct Sturm-Liouville problem for surface Love waves propagating in layered viscoelastic waveguides // Applied Mathematical Modelling, Vol. 53. 2018. P. 419-432.

81. M. Mazzotti, A. Marzani, I. Bartoli, E. Viola Guided waves dispersion analysis for prestressed viscoelastic waveguides by means of the SAFE method // International Journal of Solids and Structures, Vol. 49, Issue 18. 2012. P. 2359-2372.

82. Fakhraddin Seyfaddini, H. Nguyen-Xuan, Vu-Hieu Nguyen. Wave dispersion analysis of three-dimensional vibroacoustic waveguides with semi-analytical isogeometric method // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, Vol. 385. 2021. 114043

83. Yingjing Liang, Yiyi Li,Yijie Liu,Qiang Han, Dianzi Liu Investigation of wave propagation in piezoelectric helical waveguides with the spectral finite element method // Composites Part B: Engineering.Vol. 160. 2019. P. 205-216.

84. Сафаров И. И., Тешаев М. Х., Болтаев З. И. Собственные волны в пространственном вязкоупругом цилиндре с радиальной трещиной // Проблемы механики и управления: Нелинейные динамические системы. 2018. № 50. С. 95-114.

85. Поверхностные акустические волны. Под редакцией А. Олинера. Перевод с английского под редакцией проф. И.С. Реза. Серия «Проблемы прикладной физики». М.: Мир. 1981. 392 с.

86. Ерофеев В. И., Леонтьева А. В. Дисперсия и пространственная локализация изгибных волн, распространяющихся в балке Тимошенко, лежащей на нелинейно-упругом основании // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. 2021. № 4. С. 3-17.

87. Гетман И. П., Устинов Ю. А. Математическая теория нерегулярных твердых волноводов. Ростов н/Д: Изд-во РГУ, 1993. 144 с.

88. Лехницкий С. Г. Теория упругости анизотропного тела. М.: Наука, 1977. 416 с.

89. Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Физматлит, 1970. 512 с.

90. Ворович И. И., Лебедев Л. П. Функциональный анализ и его приложения в механике сплошной среды. Учебное пособие. М.: Вузовская книга, 2000. 320 с.

91. Работнов Ю. Н. Ползучесть элементов конструкций М.: Наука, 1966. 752 с.

92. Кристенсен Р. Введение в теорию вязкоупругости М.: Мир, 1974. 340 с.

93. Барановский Е. С., О стационарном движении вязкоупругой жидкости типа Олдройда // Матем. сб. 2014. Т. 205. № 6, С. 3-16

94. Блистанов В. С., Бондаренко В. С., Перемолова Н. В. и др. Акустические кристаллы: Справочник / под ред. Шаскольской. М.: Наука, 1982. 632 с.