Лапласианы Леви и связанные с ними конструкции тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Волков, Борис Олегович

• Волков, Борис Олегович
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Волков, Борис Олегович

Оглавление

Введение

1 Иерархия лапласианов Леви

1.1 Обобщенные средние Чезаро

1.2 Лапласианы Леви

1.3 Лапласианы Леви в белошумном анализе

2 Квантовая вероятность и лапласианы Леви

2.1 Классический лапласиан Леви и процесс уничтожения

2.2 Неклассические лапласианы Леви и квантовые случайные процессы

3 Лапласианы Леви и калибровочные поля

3.1 Лапласиан Леви на многообразии

3.2 Уравнение Лапласа-Леви и уравнения Янга-Миллса

3.3 Неклассический лапласиан Леви и уравнения Янга-Миллса

3.4 Неклассический даламбертиан Леви и уравнения квантовой хромодинамики

3.5 Неклассический даламбертиан Леви и уравнения Янга-Миллса-Хиггса

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Лапласианы Леви и связанные с ними конструкции»

Введение

В диссертации рассматривается связь операторов Лапласа-Леви (лапласианов Леви) различных типов с уравнениями Янга-Миллса и с квантовыми случайными процессами.

Для функционалов, определенных на ¿2(0,1), Полем Леви были сформулированы несколько определений оператора Лапласа-Леви (см. например [35]). Одно из определений состоит в следующем. Пусть {еп} — ортонор-мированный базис {еп} в Ь2(0,1) и F — функция на Ь2(0,1); тогда значение лапласиана Леви А^ на F определяется равенством

1 п

AlF(x) = lim -

n-> оо tl

к=1

(т.е. значение лапласиана Леви на функции F — это среднее Чезаро вторых производных этой функции по направлениям векторов из {еп}.) Конечно, значение А¿F зависит от выбора ортонормированного базиса, но для некоторых базисов такое определение эквивалентно другому определению оператора Лапласа-Леви, которое заключается в следующем. Если для всех х, /i, /2 Е L2(0,1) выполняется соотношение

1 1 1 (F"{x)h,h)= J J Kv(x)(t1,t2)f1(t1)f2(t2)dt1dt2 + J KL(x)(t)h(t)f2{t)dt,

00 о

где Ку{х) € L2([0,1] x [0,1]) и Ki{x) £ Loo([0,l]), то значение лапласиана Леви на функции F определяется равенством

1

АlF{x) = J KL{x){t)dt.

о

T(F"(x)ek,ek),

В диссертации используется аналог первого определения (см. [8]). Соответствующий оператор, который обозначается тем же символом Д^,, действует на пространстве функционалов, определенных на множестве кусочно-гладких функций действительного переменного, принимающих значение в римано-вом многообразии. При этом доказывается, что связность (отождествляемая в теории калибровочных полей с вектором-потенциалом) в векторном расслоении, базой которого является риманово многообразие, является решением уравнений Янга-Миллса тогда и только тогда, когда порожденный этой связностью параллельный перенос и удовлетворяет уравнению А^ = О, т.е. параллельный перенос является леви-гармоническим. Кроме того, в диссертации введен даламбертиан типа Леви (ср. [19]), и рассмотрена его связь с уравнениями Янга-Миллса-Хиггса, а также с уравнениями квантовой хро-модинамики.

Стоит отметить, что интерес к работам, посвященным лапласианам Леви, значительно возрос после того, как в работах [18, 19] Л. Аккарди, П. Джиби-лиско и И. В. Волович доказали в евклидовом случае теорему о связи уравнений Янга-Миллса и лапласиана Леви, используя аналог второго определения лапласиана Леви (см. также [10]). Этот результат был обобщен на случай риманова многообразия Р. Леандром и И. В. Воловичем в работе [33]. Стоит подчеркнуть, что используемая в диссертации техника отличается от техники, используемой в упоминаемых выше работах.

Другим источником интереса к лапласиану Леви является обнаруженная в [20] и [6] его связь с квантовыми стохастическими процессами. Подход, предложенный в последней работе, был применен в [26] и [9] к обобщениям лапласиана Леви: к так называемым экзотическим лапласианам Леви. Такие дифференциальные операторы были введены в работе Л. Аккарди и О. Г. Смолянова [24].

Напомним общую схему определения линейного дифференциального оператора второго порядка из статьи [1], которая включает в себя лапласианы Гросса-Вольтерры и Леви. Пусть Е — вещественное локально выпуклое пространство и Е* — его сопряженное пространство, наделенное *-слабой топологией. Пусть Ь(Е,Е*) — пространство непрерывных линейных функ-

ционалов из Е в Е* и пусть S — линейный вещественный функционал, определенный на пространстве domS С L(E,E*). Областью определения domDs дифференциального оператора второго порядка Ds, порожденного линейным функционалом S, является пространство всех дважды дифференцируемых по Гато действительных функций на пространстве Е, для которых f"{x) € domS для каждого х € Е. Оператор domDs действует следующим образом: Dsf(x) = S(f"(x)) для х £ Е, f £ domDs■ Пусть Е непрерывно вложено в действительное сепарабельное гильбертово пространство Н так, что образ Е при вложении плотен в Н. Тогда Е С Н с Е* — оснащенное гильбертово пространство. Зафиксируем в Н ортонормированный базис {еп}, состоящий из векторов пространства Е. Обобщенный лапласиан Леви (или экзотический лапласиан Леви) AlL порядка / > 0 — это дифференциальный оператор второго порядка, порожденный функционалом Si, который определяется следующим образом: Si(F) = lim^oo ^ ек) для F е L(E, Е*). Определение экзотического лапласиана Леви при 1 = 0 совпадает с определением лапласиана Гросса-Вольтерры, а при I = 1 совпадает с определением классического лапласиана Леви. Свойства лапласиана Леви, действующего на пространстве функций на оснащенном гильбертовом пространстве, изучались в работах Л. Аккарди, П. Розелли и О. Г. Смолянова [3], Л. Аккарди и О.Г. Смолянова [4, 5], О.О. Обрезкова [41], Х.-Х. Куо, Н. Оба-ты, К. Сайто [32] и многих других. Метод преобразования Фурье был впервые применен при изучении лапласиана Леви Л. Аккарди и О. Г. Смоляновым (см. например [24]).

В диссертации наряду с экзотическими лапласианами Леви рассматриваются неклассические лапласианы Леви Дд, порожденные линейным оператором R: span{en: п € N} —> Е, т.е. дифференциальные операторы второго порядка Dsr, где функционал Sr определяется следующим образом: Sr(F) = Ишп-юо J R<en) Для F £ L(E,E*). Такие лапласианы

были введены в работе [8]. В диссертации доказывается, что экзотические лапласианы А1Ь при I > О можно представить как неклассические лапласианы, при этом используется метод работы [9].

В 1970-е годы Т. Хидой были заложены основы белошумного анализа

(white noise analysis) — бесконечномерного анализа, построенного с помощью фиксированной гауссовской меры на вещественном (сепарабельном) гильбертовом пространстве. В книге [28] был введен лапласиан Леви на обобщенных белошумных функционалах. Свойства такого лапласиана Леви рассматривались в работах Т. Хиды, Х.-Х. Куо, Н. Обаты, К. Сайто и многих других. Свойства экзотических лапласианов Леви в белошумном анализе рассматривались в статьях [21, 22, 23] Л. Аккарди, У. С. Джи и К. Сайто, а также в работе [17] К. Сайто. В диссертации методы работ [22, 17] и работы [8] используются, чтобы получить формулы, связывающие различные неклассические лапласианы Леви. Кроме того, в диссертации доказывается, что неклассические лапласианы Леви выражаются как квадратичные функции от квантовых стохастических процессов, которые определяются как непрерывные отображения отрезка в пространство непрерывных линейных операторов из пространства пробных белошумных функционалов Е в пространство обобщенных белошумных функционалов Е* (см. например [40] и имеющиеся там ссылки). Процесс уничтожения определяется как отображение t t-> bt, где bt — оператор дифференцирования по направлению 5t в пространстве Е. Известно, что лапласиан Гросса-Вольтерры, который, в отличии от лапласиана Леви, является непрерывным оператором на пространстве Е, выражается в виде А у = f b^dt (см. например [30, 37]). Для классического лапласиана Леви в диссертации доказывается формула Al — lime_+o bsbtdsdt, которая обобщается для неклассических лапласианов Леви. В частности, доказывается, что A^ = lim^o Jj|s_tjjT<e bi^b®dsdt, где d — оператор дифференцирования и I £ N. Первое выражение приводится без доказательства в работе [20] со ссылкой на Х.-Х. Куо и в работе [6], а вторая формула впервые приводится без доказательства в работе [8].

Основные результаты диссертации состоят в следующем:

• Доказано, что связность в векторном расслоении, базой которого является риманово многообразие, удовлетворяет уравнениям Янга-Миллса тогда и только тогда, когда порожденный связностью параллельный перенос является решением уравнения Лапласа для лапласиана Леви, определенного с помощью среднего Чезаро.

• Получены представления лапласианов Леви как квадратичных функций от квантовых стохастических процессов.

• Доказаны формулы, связывающие лапласианы Леви различных типов.

Диссертация состоит из трех глав.

В первой главе даются определения лапласианов Леви и доказываются формулы, связывающие различные лапласианы Леви. Обобщенным средним Чезаро порядка I > 0 числовой последовательности д 6 С°° будем называть число Ci(g) = lim^oo если этот предел существует. Пусть Е

— вещественное локально выпуклое пространство. Пусть Е — вещественное локально выпуклое пространство, непрерывно вложенное в вещественное се-парабельное гильбертово пространство Н так, что образ Е при вложении плотен в Н. {еп} — ортонормированный базис в Я, состоящий из векторов пространства Е. С2(Е,Ш) — пространство дважды дифференцируемых по Гато действительных функций на Е. Пусть при Z > О пространство domAlL

— это подпространство С2(Е, R), состоящее из функций /, для которых при каждом х G Е существует обобщенное среднее Ci((f" (х)ек, ек)).

Определение. Экзотический (или обобщенный) лапласиан Леви порядка I > 0 — это линейное отображение из domAlL в пространство функций на Е, определенное так: АlLf{x) — Ci((f"(x)ek, ек)).

При I = 1 определение совпадает с определением классического лапласиана Леви, который мы будем обозначать символом А^,, при I = 0 определение совпадает с определением лапласиана Гросса-Вольтерры.

Пусть R — линейный оператор, действующий из span{en: п G N} в Е. Пусть domA\ — это подпространство С2(£',М), состоящее из функций /, для которых существует Ci(((f"(x)Ren, Ren))) при каждом х Е Е.

Определение. Неклассический лапласиан Леви, порожденный оператором R, — это линейное отображение из DomA^ в пространство функций на Е, определенное так: Ад/(х) = Ci(((f'(x)Ren, Ren))).

Тогда А £ = Af, где / — тождественный оператор. Пусть для любого I е М оператор N1 на span{en: п 6 N} определен следующим образом: N1 еп = п еп. Выполняется

Теорема. Если 1 е R и I > -I, то = (I + 1)А^"1.

Пусть Не = 0,1], С). Обозначим скалярное произведение на этом пространстве символом (•, -)о и соответствующую гильбертову норму символом | • |о. Зафиксируем в Не ортонормированный базис {еп}, состоящий из тригонометрических функций: ei = 1, e2k(t) = y/2sm2kirt и e2k+i{t) = \/2cos2kitt при к е N. Пусть А — самосопряженный оператор в Не, определенный следующим образом: = XX=i ое&, С € domA, где 1 < Ai < Аг ... и EtiK2 < а = (е е Яс: ££Li AjE(f,efc)o(efc,Oo < оо}. При р > О область определения Ер = {£ е Яс: Ajf(£, efc)0(efc, f)0 < оо} оператора Ар является гильбертовым пространством со скалярным произведением ("' ')р ~ е*0о(еь Оо и соответствующей гильбертовой нормой | • \р. При р > 0 пусть Е-р — пополнение Не по гильбертовой норме | • |_р = |А~р • jo, порожденной скалярным произведением (•, 0-р = А~р')о- Мы получаем оснащенное гильбертово пространство: Ее = proj limp_>+00 Ер С Нс С ind limp^+oo Е-р =

Бозонное фоковское пространство над гильбертовым пространством Ер определяется так: Г(Ер) = {ф = (/„)£ 0; /„ G Е®\ \\ф\Ц = Еп=о^Ш1 < оо}. Мы получаем оснащенное гильбертово пространство:

6 = proj lim С Г (Я) С ind lim Г(Я_Р) = £*.

р-Ц-оо р-И-оо

Двойственность между пространствами £ и Е* обозначим символом ((-,0)-Аналогично с помощью сужения оператора А на Яе = ^([0,1],К) получается оснащенное гильбертово пространство: Еr С Я® = £г([0,1],К) С Е^. По теореме Минлоса существует вероятностная мера ¡ii на а-алгебре Е-&-цилиндрических подмножеств Е^ такая, что = е(мера /х/ явля-

ется гауссовской). Существует унитарный изоморфизм Винера-Ито-Сигала

между Т(Нс) и /¿г, С), однозначно задающийся значением изомор-

физма на когерентных состояниях:

С<8> 2 <г®п

^ = (1, ..., i-,...) = £ G Ес.

tl «

Тогда £ С L2(E^ßIX) С £* называется пространством Хиды-Кубо-Такенаки, изоморфным пространству Фока над Ее С #с С Е^. £ — пространство белошумных пробных функционалов и £* — пространство бе-лошумных обобщенных функционалов.

^-преобразование обобщенного функционала Ф 6 £* — это функция 5Ф: Ее С, определенная так: 5Ф(£) = ((Ф,^)), £ G Комплекс-нозначную функцию, определенную на пространстве Ее и являющуюся S-преобразованием некоторого белошумного обобщенного функционала, называют [/-функционалом.

С помощью 5-преобразования определяются неклассические и экзотические лапласианы Леви и экзотические лапласианы Леви на пространстве обобщенных функционалов £*.

Определение. Обобщенный функционал Ф е £* лежит в области определения DomAji неклассического лапласиана Леви Дд, порожденного линейным оператором R: span{en: п е N} —У Ее, тогда и только тогда, когда для всех £ G Ее существует С1(((5Ф"(£), Ren ® Ren))) и функция Ее Э £ Ci(((<S^"(£), /?.еп <g> Ren))) является U-функционалом. Если Ф £ DomAft, то ДдФ — это такой обобщенный функционал из £*, что для всех £ € Ее выполняется SA^Ф(£) = Ci(((S^"(£), i?en (8) Ren))).

Аналогично определяются экзотические лапласианы Леви А1Ь (I > 0) на пространстве обобщенных функционалов £*.

Пусть оператор дифференцирования d — непрерывный оператор на Ее-Обозначим символом Ed замыкание span{en: п G N,п > 1} в Ее - Пусть r'Q — оператор, обратный оператору d на пространстве Ed. Пусть гд £ L(Ee,Ee) такой, что т\(е{) = \в\ (А £ С) и ограничение т\ на Ed совпадает с t'q. Будем обозначать Ad£l = ДJ, и Ad£~l = Ajj, при 1 <Е Z+.

Предложение. Если 1 g N, то n2lAd£~l = (21 + l)Af+1.

Пусть T G L(Ec,Ec)> тогда его второе квантование — это оператор Г(Т) G L(E,E), однозначно определяемый так: Г(Т)фç = фт£- Выполняется следующая теорема о связи между неклассическими лапласианами Леви:

Теорема. Пусть 1 g Z, к g N. Пусть ф g DomAd^, тогда Afl~k)T(dky$ = T{dk)*Ad£lф, w д^(/+а;)г(г^)*ф = г(гд)*а^'гф для всех AgC.

Во второй главе рассматриваются связи между семейством неклассических лапласианов Леви и квантовыми случайными процессами. Пусть X и Y — локально выпуклые пространства, символом Ьь(Х, У) обозначается пространство линейных непрерывных операторов из X в Y, наделенное топологией равномерной сходимости на ограниченных множествах. Будем называть непрерывное отображение отрезка [0,1] в пространство Е* стохастическим процессом (в смысле белошумного анализа), а непрерывное отображение отрезка [0,1] в Lb(E,E*) квантовым стохастическим процессом.

Символом 6(С) обозначается оператор дифференцирования в Е по направлению ( g Е^:

&(СЖ0 = + К) - <К£Ш ^еЕ^феЕ.

Отображение t bt = b(ôi) — квантовый случайный процесс, который называется процессом уничтожения.

Известно, если ф,(р g Е, то 77^(5, t) = {(Ъ3ЪгФ,<р)) g Е^2. Если к g (eç2)*, то существует единственный непрерывный линейный оператор -0,2(к) из Е в Е* такой, что ((Во,2(я)Ф,<р)) = {к,Щ,ч>)- Если к g Е^2, то продолжается до непрерывного оператора из Е* в £*. Это продолжение мы будем обозначать символом ЕоД«).

Если оператор дифференцирования d — непрерывный оператор на Ее, то отображения t н-> bf* и t 6((гд)г^) являются квантовыми стохастическими процессами.

Пусть 6>(е) g (Eç2)* такой, что для /, g g Eq выполняется (0(е), / <8> g) = 4-*11т<* f(s)9{t)dsdt, где ||t||r = minfeeZ \t-k\. Пусть в1(е) = (d* <g> d*)le(e)

при I Е Z+. При I Е Z+ для всех ф,1р Е Е выполняется

{{Е^{в\е))ф, <р))= I ((Ъ«Щ1)ф, <Р))**М.

\\8-Ц\Т<£

Пусть 91{е) = (т0* (8>т$)~19(е) при I Е Z_. При / € Z_ для всех ф,р Е £ «Е0,2(91(е))ф, <р)> = I т№Г%ЖЫГ%)ф, <р))(Ьий.

\]а-ЩТ<е

Для всех I Е Z пусть в1п(е) = £гп=1 ег ® <2> е,. Тогда

Нтп^ооЕо.гЙСе)) = Но,2(^(е)) в Ьь{£,£), причем каждый Н0,2(^(е)) продолжается до непрерывного оператора Ео,2(#п(£)) в £* •

Рассмотрим на пространстве £* топологию <т\, порожденную семейством норм || • = |5(-)(£)|. Пусть {£\о\) — пополнение (£*,<т 1). Пусть 0 — секвенциальное замыкание £* в (£*,<Х1).

Теорема. Для I Е Z пусть Ф Е £* такое, что для каждого £ Е Ее ограничение 5Ф"(£) на Е<1 <8> Е^ представляется в виде

(ЯФ'тсхвъ) = /

[ОД] X [0,1]

где С15 ^71 Е Еа и щ — борелевская комплекснозначная мера на [0,1] х [0,1]. Пусть Ф € ИотА^1, тогда Д^Ф = Ит£_,.оНтп_+00Но)2(^(е))Ф, где сходимость понимается как сходимость в 0.

Третья глава посвящена связи лапласиана Леви с калибровочными полями. Пусть (М,д) — это С3-гладкое связное риманово многообразие размерности с1 с С3-гладкой метрикой д. Зафиксируем точку х на М. Пусть РС*([0,1], М) — множество кусочно С1-гладких функций из отрезка [0,1] в М, значение которых в точке 0 совпадает с х (множество кривых с началом в точке х). Для фиксированной кривой 7 Е РС*([0,1],М) и касательного вектора Т в точке х и любого £ Е [0,1], пусть Т* обозначает параллельный перенос с помощью связности Леви-Чивиты вектора Т вдоль кривой

7[o,t] (символом 7[S)f] мы будем обозначать ограничение кривой 7 на отрезок м с [0,1]).

Пусть символ (р(т, у, У) обозначает геодезическую, параметризованную т, чья начальная точка совпадает с у € М, а направление в начальной точке совпадает с У е ТуМ. Для т < 0 мы считаем, что </?(т, г/, У) = <р(—т, у, —У). Если У — нормированный вектор, то т — натуральный параметр.

Символом PCl w([0,1], М) будем обозначать множество кусочно С1-гладких кривых с началом в точке х и концом, принадлежащим открытому множеству W С М. Для фиксированной кривой 7 6 PC]. w(\0,1 ],М), для касательного вектора Т в точке х, для кусочно С1-гладкой действительной функции / на [0,1] такой, что /(0) = 0, и для каждого а 6 для некоторого 5 > 0 кривая 7^ € PC* ^([0,1], М) определяется следующим образом: 7= </?(«/(£), 7*, 7}). Тогда для каждой функции F с областью определения PC* w([0,1], М) и подходящей областью значений символ Fj, j (а) обозначает функцию действительного аргумента а 6 (—$), определенную так: Fy^(a) =

Зафиксируем ортонормированный базис {Z1, Z2,..., Zd} для касательного пространства к М в точке х. Зафиксируем в ¿2(0,1) ортонормированный базис {еп}. Пусть для любого п е N выполняется еп е РСх([0,1], М) и еп(0) = 0. Будем обозначать FZ в символом F?.

Символом M/v будем обозначать пространство комплексных N х N матриц. Пусть d{PC]. w([0,1], М), Mjv) — пространство всех M/v-значных функций на РС^([0,1],М).

Определение. Лапласиан Леей — это линейное отображение

Аь : domAz, 1], М), М*),

определенное формулой

=s&bthw), и

¿=1

где dornАь — векторное пространство всех функций из w([0,1], М), Млг),

для которых правая часть (1) существует.

Определение (П. Леви). Ортонормированный базис {еп} в ¿2(0,1) называется слабо равномерно плотным, если lim^oo Jq h(t)(^ J2k=i = 0 для любой функции h 6 Loo [0, 1] •

Примером слабо равномерно плотного базиса .£2(0,1) является последовательность en(t) — \/2sinn7r¿.

Пусть V — комплексное векторное пространство размерности N, G — группа Ли, реализованная как замкнутая подгруппа GL(V). Пусть {Wa}aeA — открытое покрытие М и фаь- Wa П W¿, G — С3-гладкие функции перехода такие, что

Фас(у) = Фаь(у)Фьс(у),

где у е wanwbnwc. Функции перехода задают главное расслоение Р(М, G) и векторное расслоение Е(М, У, Р, G) с базой М, слоем V и структурной группой Ли G, ассоциированное с главным расслоением P(M,G).

Мы можем определить связность на Е(М, V, Р, G) как семейство Lie(G)-значных 1-форм {Аа(у)}а6л на М таких, что Аа(у) = Aa^(y)dy^ определены на Wa, причем для у £ Wa П Wj, выполняется

А'М = ЫуКШ'ЛУ) -

Тогда тензор кривизны определяется как семейство Ьге(С)-значных 2-форм {^(у)}о6а таких, что Fa(y) = F¡l¡/(y)dyli Л dyv определена на Wa и

F%{y) = д^АЦу) - dvAfty) + [А«(у),АаМ].

Для кривой 7 е РС1{[0,1], М) пусть 7([р, г]) С Wa. Тогда мы можем определить G-значную функцию 7) на {(i, s) е Ж2 : г > t > s > р} как сумму ряда

оо ,,

и^Ъ) = + £ J dn...drk (-АЦ lTk)^k) ... (-A«(7ri))7£) ,

fc=4<

где A*t := {(ть..., тк) е Mfc : s < n < ... < тк < t}. Для кривой 7 е РС1([0,1],М) рассмотрим разбиение s = ¿1 < ¿2 < • • • < tm = í отрезка [5, í] такое, что 7([¿¿, £¿+1]) с Wai для всех г € {1,..., m — 1}. Мы определим

параллельный перенос 1,0,1 (7) вдоль 7^] следующим образом:

Значение не зависит от выбора разбиения. Пусть ах е Л такой,

что х е ]Уах. Тогда 7 ь-> С/^ож (7) — корректно определенный функционал на

В локальных координатах ковариантные производные тензора кривизны УР определяются следующим образом:

VдFjUI, = + Р^] — Р^Гд^ — Р^Гд^,

где — символы Кристоффеля связности Леви-Чивиты на (М, д).

Теорема. Пусть все Ам — С2 -гладкие функции. Пусть {еп} — слабо равномерно плотный базис в Ь2(0,1) такой, что все элементы {еп} принадлежат пространству РС1{[0,1],К), причем для каждого п £ N выполняется 0) — еп( 1) = 0. Следующие два утверждения равносильны:

1. связность А на М является решением уравнений Янга-Миллса:

= 0;

2. для каждого а <Е А функция РС1уу ([0,1], М) Э 7 4 С^оЧт) (параллельный перенос вдоль кривых из РС\ 1], М)) является решением уравнения Лапласа-Леви:

Аьи^х = 0.

Пусть ^([0,1], М^) — пространство абсолютно непрерывных функций, принимающих значение в и обладающих квадратично интегрируемой производной. Пусть Н = {7 е №?([(), 1],^): 7(0) = 0} — гильбертово пространство со скалярным произведением: (д\,д2)н = /¿({¡[(г), д'2(г))^йг. Пусть — ортонормированный базис в Выберем в Я следую-

щий ортонормированный базис: еп(г) = , где /о(г) = г,

fj(r) = -^jsin(7rjr) для j G N. Ниже считается, что связность задана на как gl(N)-значная С2 -гладкая 1-форма Afl(x)dxIJ', определенная на всем Rd. Определение параллельного переноса Ut,s{l) вдоль 7^ естественным образом переносится на случай 7 G Н.

Пусть оператор Ni: span{en: n G N} -» Я" определен следующим образом: Nien = nl^l еп.

Теорема. Функция Н Э 7 ^ £/1,0(7) (параллельный перенос вдоль кривых из Я) лежит в области определения оператора A^i. При этом выполняется:

i

^£/1,0(7) = ^^£/1,0(7) = J UiMi-V.F^HnUrMdr.

о

В параграфе 3.4 диссертации вводится неклассический даламбертиан Ле-ви, соответствующий лапласиану dAjy , и выводится система бесконечномерных уравнений, содержащая такой даламбертиан, эквивалентная уравнениям квантовой хромодинамики. В параграфе 3.5 выводится система бесконечномерных уравнений, содержащая такой даламбертиан, эквивалентная уравнениям Янга-Миллса-Хиггса.

В заключении выражаю глубокую благодарность своему научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Олегу Георгиевичу Смолянову за постановку задач, постоянное внимание к работе и поддержку.

Глава 1

Иерархия лапласианов Леви

1.1 Обобщенные средние Чезаро

Обобщенным средним Чезаро порядка / > 0 числовой последовательности g <Е С00 будем называть число С[(д) = Нтп_юо <?(&)), если этот пре-

дел существует. Докажем несколько лемм о чезаровских средних. Для этого в начале докажем следующий факт:

Лемма 1. Пусть (dk) Е С°° и для каждого п Е N пусть {cfcn}£~J Е Mn_1. Пусть все скп > 0. Пусть YlkZickn = Сп> £*=} °kndk = Вп. Пусть lim^o0dk = D, limn_>00 Cn — С, и при каждом фиксированном к выполняется ПгПгс-юо скп = 0. Тогда lim^-^ Вп = CD.

Доказательство. Пусть supfceN \dk\ = d'и supneN Сп = С'. Для любого £ > 0 существует такие ke,n£ Е N, что при к > к£ выполняется \D — dk\ < б/(4С'), при к < к£ и п > п£ выполняется \скп\ < е/(4k£d'), при п > п£ выполняется |Сп — С| < е/(4D). Тогда при п > к£ выполняется:

CD - Вп = CD -J2dkCkn = CD - cknD+ {D - dk)ckn-

n-1

П— 1

П-1

fc=l

k=ke+1 n-1

k=ke+1

h

n-1

h

При n > max{Ä;£, n£} верна оценка:

тг — 1 71—1

\CD-Bn\ < |D||C-^cfcn| + sup|(D-4)|( J2 Cknî+

k=1 k>ke k=k£+1

ke

+ ^(\D\ + d')ckn<e- + -A + £- = e. ы î

□

Лемма 2. Пусть q > 0, тогда

lim SLifcp h' еслиР = я~1

n-^oo пЯ I

I U, если р < q — 1

Доказательство. Если р > 0, то

п п+1

пР+1 г г (n-\r l)p+1 — 1

= jxpdx<J2kp< J xpdx =

о k=1 1

(P+I) J "èf ~ J P+1

Если p < О и -1, то

ip+1 -1 . f A , „ Гг., np+1 - 1

n n n

np+i _ 1 r r

1 + -7-— = 1+ xpdx > V kp > / xvdx =

(P+1) J "У

- i <*+1>

Если p = —1, то

n n n

1 + Inn = 1 + [ -dx >iTkp> [ -dx = Inn.

Iх ~{x

Используя эти оценки, мы получаем утверждение леммы. □

Лемма 3. Пусть (ап) е С°°. Пусть I, а G К. и 1+а > 0. Пусть существует lim^oo n~l 5Dfc=i ак ■ Тогда

I п

С1+а((паап)) = —— lim п~1У^ак.

I + Ol га-> оо —' к—1

Доказательство. Будем обозначать Ап = ак ■ Применяя преобразование Абеля, получаем

1 п п— 1

^(Е*"0*) = - Е*«*+1 г - *■» =

Л=1 Ь=1

_ Л-п

Г>1 А—С

__ь

n' z—' к1 п1+а

к= 1

Покажем, что мы можем выбрать =-—

— и <1к = -ф и применить лемму 1. Пусть (£) = • Разложим (1 + ж)а в ряд Тейлора с

остаточным членом Лагранжа:

КУ-ЁОИ^Г <->

где 0 <вкт<1. Пусть та е N такой, что Щ < 0, тогда (т^+1) > 0. В силу (1.1) верна оценка:

В силу леммы 2 выполняется

Нт ((1 + *}-Нт(У---^ -) =

к~1 к=1

П-]

-1 пЬ.1+а—1 I /Ч*^ U+a-j

Вт V ff--= « (1.2)

fc=i

Тогда, действительно,

a+a((nQ0) = Ci((an)) - j^-ddan)).

I + a

□

Лемма 4. Пусть (an) e C°° и существует предел lim„400 ^(YlkLn+i при / 6 N, тогда

00

Cl{{nl+lan)) = l\im n\Y ak).

n—vno '

П—>• OO

fc=n+l

Доказательство. Пусть = а- Рассмотрим последовательность

{a'n} G С00 такую, что а[ = а\ — а и а'п = ап при п > 1. Тогда lim^oo nl(Ylk=* 1 a'k) = - lim^oo п1(52ь=п+1 ak) ■ Тогда по лемме 3

п оо

Ci((nwan)) = СхЦп'+Ч)) = -i lim п'(УЧ) = / lim тг<( V а,).

п->оо z—' n—>00 z—'

fc=l k=n+1

□

Замечание 1. Связь между обобщенными средними Чезаро различных порядков была обнаружена в работе [9] Л. Аккарди и О. Г. Смолянова.

1.2 Лапласианы Леви

Пусть Е — вещественное локально выпуклое пространство. Пусть Е непрерывно вложено в вещественное сепарабельное гильбертово пространство Н так, что образ Е при вложении плотен в Н. Пусть {еп} — ортонормирован-ный базис в Н, состоящий из векторов пространства Е. Напомним определение дифференцируемости по Гато.

Определение 1. Пусть X и Y — локально выпуклые пространства над полем К € {R, С}. Пусть Vx — открытая окрестность точки х € X. Функция f:Vx —> Y дифференцируема по Гато (слабо дифференцируема) в точке х, если для каждого h е X существует предел dhf{x) = limt->o,feK £ Y и отображение f'{x): h —> dhf{x) — линей-

ный непрерывный оператор. Пусть Lq = Y и для каждого п 6 N пусть Ln = L(X, L„_i) — пространство непрерывных линейных операторов из X в Ьп-\, наделенное топологией равномерной сходимости на конечных множествах. Производная Гато порядка п G N определяется по индукции: функция f: Vx —» Y п раз дифференцируема по Гато в точке х, если /п-1: Vx Ln_ 1 дифференцируема по Гато в точке х (см. [17]).

Пусть С2(Е, М) — пространство дважды дифференцируемых по Гато действительных функций на Е. Пусть при I > 0 пространство йотА1ь — это подпространство С2(Е,Ж), состоящее из функций /, для которых при каждом х е Е существует С^!"[х)еп, е„))).

Определение 2. Экзотический (или обобщенный) лапласиан Леей порядка I > 0 — это линейное отображение из дотА1ь в пространство функций на Е, определенное так

АУ(х) = С1т"(х)еп,еп))).

При I = 1 определение совпадает с определением классического лапласиана Леви, который мы будем обозначать символом Д^.

Пусть Л — линейный оператор, действующий из зрап{еп: пей} в Е. Пусть йотА1^ — это подпространство состоящее из функций /,

для которых существует среднее (х)11еп, Яеп))) при каждом х € Е.

Определение 3. Неклассический лапласиан Леей, порожденный оператором Я, — это линейное отображение из ОотА^ в пространство функций на Е, определенное так:

АУ(х) = С1(((Г(х)Пеп,Неп))).

Тогда Дь = Д/, где I — тождественный оператор. Пусть для любого I € К оператор И1 на зрап{еп: п е М} определен следующим образом: п = п еп. Прямым следствием леммы 3 является

Теорема 1. Если I е М и I > -1, то = (/ + 1)Д^+1-

Доказательство. Действительно, выполняется равенство для всех х £ Е

С1(((Пх^еп,М-1еп))) =

= С1((п-1(Г(х)еп, еп))) = (/+ 1 )С1(((Г(х)еп, еп))).

□

Аналогично прямым следствием леммы 4 является

Предложение 1. Если f е dorn А°L и для каждого х G Е существует предел

оо

lim п1{ У] (f"(x)ek,ek)), п—>00 ' ' k=n+1

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Волков, Борис Олегович, 2014 год

Литература

[1] В. И. Авербух, О. Г. Смолянов, С. В. Фомин, Обобщенные функции и дифференциальные уравнения в линейных пространствах. II. Дифференциальные операторы и их преобразования Фурье, Труды Моск. Мат. Общества, 1972, 27, с. 249-262.

[2] В. И. Авербух, О. Г. Смолянов, Различные определения производной в линейных топологических пространствах, Успехи математических наук, 1968, 23, №4, с. 67-116.

[3] Л. Аккарди, П. Розелли, О. Г. Смолянов, Броуновское движение, порождаемое лапласианом Леей, Математические заметки, 1993, 54, № 5, с. 144-148.

[4] Л. Аккарди, О. Г. Смолянов, Расширения пространств с цилиндрическими мерами и носители мер, порождаемых лапласианом Левц Математические заметки, 1998, 64, № 4, с. 483-492.

[5] Л. Аккарди, О. Г. Смолянов, Операторы Лапласа-Леви в пространствах функций на оснащенных гильбертовых пространствах, Математические заметки, 2002, 72, № 1, с. 145-150.

[6] Л. Аккарди, О. Г. Смолянов, Представления лапласианов Леей и связанных с ними полугрупп и гармонических функций , Доклады Академии наук, 2002, 384, № 3, с. 295-301.

[7] Л. Аккарди, О. Г. Смолянов, Формулы Фейнмана для эволюционных уравнений с лапласианом Леей на бесконечномерных многообразиях, Доклады Академии наук, 2006, 407, № 5, с. 583-588.

[8] JI. Аккарди, О. Г. Смолянов, Классические и неклассические лапласианы Леей, Доклады Академии наук, 2007, 417, № 1, с. 7-11.

[9] JI. Аккарди, О. Г. Смолянов, Обобщенные лапласианы Леей и чезаров-ские средние, Доклады Академии наук, 2009, 424, № 5, с. 583-587.

[10] И. Я. Арефьева, И. В. Волович, Функциональные высшие законы сохранения в калибровочных теориях, в сб.: Тр. Междунар. конф. "Обобщенные функции и их применения в математической физике М.: ВЦ АН СССР, 1981.

[11] В. И. Богачев, Основы теории меры, Москва-Ижевск, 2006.

[12] Ш. Кобаяси, К. Номидзу, Основы дифференциальной геометрии (в 2х томах), М.: Наука, 1981.

[13] А. П. Робертсон, В. Дж. Робертсон, Топологические векторные пространства Мир М., 1967.

[14] В.М. Алексеев, В.М. Тихомиров, C.B. Фомин, Оптимальное управление, М.: Наука, 1979.

[15] Ю. Я. Далецкий, С. В. Фомин, Меры и дифференциальные уравнения в бесконечномерных пространствах, М.: Наука, 1983.

[16] Б. А. Дубровин, С. П. Новиков, А. Т. Фоменко, Современная геометрия. Методы и приложения (в Зх томах), Москва, 1998.

[17] О. Г. Смолянов, Анализ на топологических линейных пространствах и его приложения, М.: МГУ, 1979.

[18] L. Accardi, P. Gibilisco, I. V. Volovich, The Lévy Laplacian and the Yang-Mills equations, Rendiconti Lincei, 1993, 4, Ji2 3, pp. 201-206.

[19] L. Accardi, P. Gibilisco, I. V. Volovich, Yang-Mills gauge fields as harmonie functions for the Levy-Laplacians, Russ. J. Math. Phys., 1994, 2, № 2, pp. 235-250.

[20] L. Accardi, Y.-G. Lu, I. V. Volovich, Nonlinear extensions of classical and quantum stochastic calculus and essentialy infinite dimensional analysis, in: Probability Towards 2000, Ed by L.Accardi, C.C. Heyde, Lecture Notes in Statistics 128, pp. 1-33 (1998).

[21] L. Accardi, U. C. Ji, K. Saito, Exotic Laplacians and Associated Stochastic Processes, Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics, 2009, 12, № 1, pp. 1-19.

[22] L. Accardi, U. C. Ji, K. Saito, Exotic Laplacians and Derivatives of White Noise, Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics, 2011, 14, № 1, pp. 1-14.

[23] L. Accardi, U.C. Ji, K. Saito, The Exotic (Higher Order Levy) Laplacians Generate the Markov Processes Given by Distribution Derivatives of White Noise, Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics, 2013, 16, № 3, 1350020-1/26.

[24] L. Accardi, O. G. Smolyanov, On Laplacians and traces, Conf. Semin. Univ. Bari, 1993, 250, 1-25.

[25] M. N. Feller, The Levy Laplacian, Cambridge Tracts in Mathematics, 2005.

[26] F. Gomez, O.G. Smolyanov, Modified Levy Laplacians, Russian Journal of Mathematical Physics, 2008, 15, № 1, pp. 45-50.

[27] L. Gross, A Poincare lemma for connection forms, Journal of Functional Analysis, 1985, 63, 1-46.

[28] T. Hida, Analysis of Brownian Functionals, Carleton Math. Lecture Notes 13, Carleton University, Ottawa, 1975.

[29] T. Hida, Si Si, Lectures On White Noise Functionals, World Scientific, 2008.

[30] I. Kubo, S. Takenaka, Calculus on Gaussian white noise, I-IV, Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci., 1980, 56, № 8, 376-380, 1980, 56, № 9, 411-416, 1981, 57, № 9 (1981), 433-437, 1982, 58, № 5, 186-189.

[31] H.-H. Kuo, White Noise Distribution Theory, CRC Press, 1996.

[32] H.-H. Kuo, N. Obata, K. Saitô, Lévy-Laplaeian of Generalized Functions on a Nuclear Space, Journal of Functional Analysis, 1990, 94, pp. 74-92.

[33] R. Leandre, I.V. Volovich, The Stochastic Levy Laplacian and Yang-Mills equation on manifolds, Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics, 2001, 4, № 2, pp. 151-172.

[34] Y.J. Lee, Analytic version of test functionals, Fourier transform, and a characterization of measures in white noise calculus, Journal of Functional Analysis, 1991, 100, № 2, pp. 359-380.

[35] P. Lévy, Problèmes concrets d'analyse fonctionnelle, Paris, Gautier-Villars, 1951, [Москва, Наука, 1967].

[36] P. A. Meyer, Quantum Probability for Probabilists, Lect. Notes in Math. Vol. 1538, Springer(Verlag), 1995.

[37] N. Obata, White Noise Calculus and Fock Space, Lect. Notes in Math. Vol. 1577, Springer (Verlag), 1994.

[38] N. Obata, Generalized Quantum Stochastic Processes on Fock Space, Publ. RIMS, 1995, 31, pp. 667-702.

[39] N. Obata, Integral Kernel Operators on Fock Space- Generalizations and Applications to Quantum Dynamics, Acta Applicandae Mathematicae, 1997, 47, pp. 49-77.

[40] N. Obata, Quadratic Quantum White Noises and Lévy Laplacian, Nonlinear Analysis-Theory Methods and Applications, 2001, 47, № 4, pp. 2437-2448.

[41] О. O. Obrezkov, Non-Self-Adjoint extensions of the Lévy-Laplacian and the Lévy-Laplacian Equation, Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics, 2006, 9, № 1, pp. 67-76.

[42] K.R. Parthasarathy, An introduction to quantum stochastic calculus, Birkhàuser, 1992.

[43] J. Potthoff, L. Streit, A characterization of Hida distributions, Journal of Functional Analysis, 1991, 101, № 1, pp. 212-229.

[44] K. Saito, Infinite Dimensional Laplacians Associated with Derivatives of White Noise, Quantum Probability and Related Topics, 2013, pp. 233-248.

[45] B. 0. Volkov, Levy-Laplacian and the Gauge Fields, Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics, 2012,15, № 4, 12500271/19.

[46] В. O. Volkov, Quantum Probability and Levy-Laplacians, Russian Journal of Mathematical Physics, 2013, 20, № 2, pp. 254-256.

[47] B.O. Volkov, Hierarchy of Levy-Laplacians and Quantum Stochastic Processes, Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics, 2013, 16, № 4, 1350027-1/20.

[48] Б. О. Волков, Лапласианы Леей и калибровочные поля, XVII Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов», Тезисы докладов, 1-4, МАКС Пресс, Москва, 2010.

[49] Б. О. Волков, Квантовая вероятность и иерархия лапласианов Леей, XIX Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов», Тезисы докладов, 1, МАКС Пресс, Москва, 2012.

[50] Б. О. Волков, Неклассический лапласиан Леей и калибровочные поля, XX Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов», Тезисы докладов, 1, МАКС Пресс, Москва, 2013.

Работы автора по теме диссертации