Энтропийные характеристики бесконечномерных гибридных вероятностных систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.05, кандидат наук Кузнецова, Анна Александровна

• Кузнецова, Анна Александровна
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Кузнецова, Анна Александровна

Оглавление

Введение

0.1 Общая характеристика работы

0.2 Содержание работы

1 Основные понятия

2 Классическая пропускная способность

2.1 Определение измерительного канала

2.2 Классическая пропускная способность измерительного канала

2.3 Классически-квантовые системы и условная энтропия в гибридной системе

2.4 Классическая пропускная способность каналов с классическим входом и гибридным выходом

2.5 Классическая пропускная способность каналов с квантовым входом и гибридным выходом

3 Классическая пропускная способность измерительного канала с использованием сцепленности

3.1 Протокол передачи информации с использованием сцепленности

3.2 Классическая пропускная способность с использованием сцепленности

для измерительного канала

3.3 Примеры пропускных способностей измерительных каналов

4 Передача квантовой информации

4.1 Когерентная информация и условная энтропия

4.2 Верхняя граница для квантовой пропускной способности

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Энтропийные характеристики бесконечномерных гибридных вероятностных систем»

Введение

0.1 Общая характеристика работы

Актуальность темы

Одним из центральных результатов классической теории информации является теорема кодирования Шеннона, характеризующая пропускную способность классического канала связи, то есть предельную скорость асимптотически безошибочной передачи данных при длине сообщения, стремящейся к бесконечности. За последние десятилетия появилась и стала актуальной квантовая теория информации - научная дисциплина, изучающая общие закономерности передачи, хранения и преобразования информации в системах, подчиняющихся законам квантовой механики. Квантовая теория информации использует математические модели для исследования потенциальных возможностей таких систем, опираясь на методы некоммутативной теории вероятностей. Основополагающие результаты были получены в работах Шора, Холево, Шумахера, Винтера, Рускаи, Партасарати и др. Развитие математической теории квантовых каналов передачи информации является актуальной фундаментальной проблемой, связанной с новыми эффективными приложениями в области информационных технологий. К настоящему времени существует обширный список литературы, из которого упомянем здесь лишь монографии, дающие систематическое

изложение основ этой дисциплины, например, [1], [2], [3], [4], [6].

Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию энтропийных характеристик бесконечномерных гибридных (классически-квантовых) вероятностных систем и пропускных способностей соответствующих гибридных каналов передачи информации. Такой канал характеризуется несколькими пропускными способностями, в зависимости от рода передаваемой информации (классической либо квантовой) и дополнительных используемых ресурсов. В диссертационной работе рассматриваются классическая пропускная способность, классическая пропускная способность с использованием сцепленного состояния и квантовая пропускная способность для специальных классов гибридных каналов.

Постановка задачи

Основной характеристикой квантового канала является его классическая пропускная способность С(Ф), которая определяет предельную скорость асимптотически безошибочной передачи классической информации. Протокол передачи классической информации предполагает кодирование классического сигнала состояниями на входе канала и декодирование (квантовое измерение) на выходе по которым производится оптимизация. Имеет место теорема [7], [8], которая дает выражение для классической пропускной способности квантового канала Ф, действующего в конечномерных гильбертовых пространствах:

С(Ф) = lim ФП (1)

n->oo tl

где

г г

H(S) — энтропия фон Неймана, а точная верхняя грань берется по всевоз-

СХ(Ф) = sup

{л-,,5,}

можным конечным входным ансамблям 7г = {тг^, где {¿'г} — состояния, {-7Гг} — соответствующие вероятности. Доказательство прямого утверждения теоремы (неравенство > в формуле (1)) основано на теореме кодирования для классически-квантового (с^) канала. Более подробно, с-д канал предполагает наличие классического параметра х, пробегающего входной (конечный или бесконечный) алфавит X и отображение х -л в квантовые состояния на выходе канала. Классическая пропускная способность С такого канала Т дается величиной

и 7г = {7гх} — распределение вероятностей на X.

Обратные теоремы кодирования для классических пропускных способностей (соответствующие неравенствам < в формулах (1) и (2)) опираются на квантовую энтропийную границу, дающую оценку сверху для информации Шеннона величиной х(7Г)> т-е- оценку для количества классической информации, которую можно передать по квантовому каналу [14]. Другим типом классической пропускной способности является пропускная способность с использованием сцепленного состояния (entanglement-assisted classical capacity). Впервые протокол передачи информации с использованием сцепленности был рассмотрен в работе Шора с соавторами [10]. Этот протокол предполагает, что системы А (передатчик) и В (приемник) имеют общее сцепленное состояние Sab в качестве дополнительного ресурса. По сравнению с обычной пропускной способностью, использование сцепленности может дать возможность многократного увеличения скорости передачи для квантовых каналов с шумом. В частности, имеет место подобный вы-

C(T) = supxM

(2)

7Г

где

игрыш для ряда так называемых измерительных каналов [11], представляющих интерес для приложений (квантовая томография в конечномерном пространстве, оптическое гетеродинирование с ограничением на энергию входного сигнала и др.)

Опишем этот протокол более подробно. Пусть Л а и Hb ~ гильбертовы пространства, соответствующие квантовым системам А и В. Передатчик А и приемник В находятся в чистом сцепленном состоянии Sab■ Участник А кодирует классический сигнал г, появляющийся с вероятностью щ, в кодирующий канал действующий в На- Далее <?j применяется к соответствующей части состояния Sab, и совместное состояние систем А и В можно описать как SlAB = (£{ ® Idв) Sab-

После передачи по каналу Ф составная система описывается операторами плотности

Vi = (Ф о £г ® Ыя)5лв.

Предполагается, что участник В может производить измерения наблюдаемых в системе А'В, извлекая, таким образом, информацию о сигнале х.

Возможно применение блочного кодирования, что означает применение описанного выше протокола к тензорной степени Ф®п канала Ф.

Пропускная способность с использованием сцепленности определяете^ как классическая пропускная способность описанного выше протокола, в котором производится оптимизация по всевозможным сцепленным состояниям и кодирующим каналам.

Из теоремы о классической пропускной способности следует, что величина Сеа(Ф) дается формулой

Сеа( Ф) = lim —С^(Ф®П),

п—»oo п

где

СЙ'(Ф) =

эир

и точная верхняя грань берется по всевозможным конечным распределениям вероятностей {тг^} и соответствующим кодированиям {£\} в пространстве На-

В конечномерном случае в работе [10] было получено явное выражение для классической пропускной способности с использованием сцепленности через квантовую взаимную информацию /(б", Ф), а именно

Сеа(Ф) = тах/(5, Ф), $

где

/(£, Ф) = Н(Б) + Я(Ф(5)) - Я(Ф <8>

1^5) ~~ очищение состояния

В последние годы возрастает интерес к бесконечномерным квантовым системах и каналам (к которым относятся и квантовые гауссовские каналы). Для бесконечномерных систем были сформулированы и доказаны теоремы о классических пропускных способностях с учетом ограничений на входные ансамбли состояний[13]. Переход к бесконечномерному случаю связан с рядом усложнений. Первой особенностью является то, что энтропийные характеристики, участвующие в выражениях для пропускных способностей, могут принимать бесконечные значения. Вследствие этого пропускные способности могут быть бесконечны, возможно и возникновение неопределенностей. Это приводит к необходимости введения ограничений на входные ансамбли состояний (например, ограничение на среднюю энергию в случае гауссовских каналов), которые исключают такие патологии. В

бесконечномерном случае происходят и другие изменения свойств энтропийных характеристик. В частности, энтропия фон Неймана, непрерывная в конечномерных пространствах, в бесконечномерном случае является лишь полунепрерывной снизу.

Важное значение имеет изучение пропускных способностей измерительных (квантово-классических) каналов. Простейшим примером может служить канал М, соответствующий измерению наблюдаемой М = {Му,у £ ^У}, где У — дискретный выходной алфавит. В этом случае канал представляет собой аффинное отображение выпуклого множества квантовых состояний ¿> в множество дискретных распределение вероятностей {ТгБМУ, у Е У}. Описанный выше канал можно "вложить" в квантовый, используя представление

Х(5) = ^Тг5М2/|еу)(еу|, (3)

у

где {еу} — ортонормированный базис. В этом случае к нему применимы известные теоремы кодирования в случае конечного У, либо их бесконечномерное обобщение в случае счетного У [10], [13].

Однако подобный прием не работает в случае непрерывного алфавита ^ и наблюдаемой М, которая задается произвольной вероятностной операторно-значной мерой М(ски), так как в этом случае не существует аналога формулы (3) [11]. В этом случае формулировка протокола передачи информации с использованием сцепленности, а также доказательство соответствующей теоремы кодирования, требуют рассмотрения так называемых гибридных (классически-квантовых) вероятностных систем [29], [30].

В настоящей диссертационной работе исследованы бесконечномерные измерительные каналы с произвольным измеримым алфавитом О,. Для них доказаны теоремы кодирования, дающие энтропийные выражения для

классической пропускной способности и классической пропускной способности с использованием сцепленности.

Принципиально другой характеристикой канала является его квантовая пропускная способность. Квантовое состояние само по себе является информационным ресурсом, и понятие квантовой пропускной способности связано с задачей асимптотически безошибочной передачи квантовых состояний по каналу с шумом. Соответствующий протокол предполагает использование кодирования на входе канала и декодирования на выходе. Имеет место теорема кодирования, дающая следующее выражение для квантовой пропускной способности конечномерного канала ф(Ф):

<2(Ф) = lim — max/c(5, Ф®п), (4)

n-юо п s

где

/с(5, Ф) = Я(Ф(5)) - Я(Ф ® ЫпШШ)) (5)

- когерентная информация. Неравенство <, соответствующее обратному утверждению теоремы кодирования, доказано в [26], [20]. Доказательство прямого утверждения было получено позднее в работе [21].

Во всех работах, упомянутых выше, равенство (4) доказано в случае конечномерных пространств. В бесконечномерном случае до недавнего времени соответствующая гипотеза о квантовой пропускной способности не могла даже быть корректно сформулирована, поскольку не было подходящего определения когерентной информации 1С для бесконечномерного квантового канала. Такое определение для состояний с конечной энтропией было предложено в работе [18]. Опираясь на это определение, в диссертационной работе получена оценка верхней границы, из которой вытекает обратное утверждение теоремы кодирования.

Цели работы

Целью работы является доказательство теорем кодирования о классической пропускной способности и классической пропускной способности с использованием сцепленности для гибридных каналов в бесконечномерном случае, а также получение верхней оценки для квантовой пропускной способности произвольного бесконечномерного квантового канала.

Научная новизна

Все полученные результаты являются новыми. Основные результаты работы состоят в следующем:

1. Доказана теорема, дающая выражение для классической пропускной способности канала с квантовым входом и гибридным выходом в случае бесконечных размерностей входных и выходных пространств.

2. Доказаны теоремы кодирования для бесконечномерного измерительного (квантово-классического) канала с произвольным измеримым алфавитом, дающие энтропийные выражения для классической пропускной способности с использованием и без использования сцепленности.

3. Получена верхняя оценка для квантовой пропускной способности, из которой вытекает обратная теорема кодирования для квантовой пропускной способности бесконечномерного квантового канала.

Методы исследования

В диссертации используются методы некоммутативной теории вероятностей, теории меры и функционального анализа.

Теоретическая и практическая ценность

Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации могут быть применены в исследованиях по квантовой теории информации.

Апробация работы

Результаты работы докладывались автором на следующих научных конференциях и семинарах:

1. Конференция "Ломоносов-2011 Москва, 11-15 апреля 2011 г. Тема доклада: Обратная теорема кодирования для бесконечномерных квантовых каналов.

2. Конференция "Ломоносов-2013 Москва, 8-12 апреля 2013 г. Тема доклада: Теорема о классической пропускной способности измерительного канала с использованием сцепленности.

3. Научный семинар "Квантовая вероятность, статистика, информация" Отдела теории вероятностей и математической статистики Математического института им. В.А. Стеклова РАН, несколько докладов в 2010 - 2013 гг.

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в 4 работах:

1. Кузнецова A.A. Условная энтропия бесконечномерных квантовых систем — Теория вероятностей и ее применения, 2010, том 55, выпуск 4, с. 782 - 790;

2. Кузнецова A.A. Обратная теорема кодирования для бесконечномерных квантовых каналов, — Вестник Московского университета, сер. Математика. Механика, 2013, выпуск 1, с. 32 - 37;

3. Кузнецова A.A., Холево A.C. Теоремы кодирования для гибридных каналов, — Теория вероятностей и ее применения, 2013, том 58, выпуск 2, с. 298-324;

4. Кузнецова A.A., Холево A.C. Теоремы кодирования для гибридных каналов II, — Теория вероятностей и ее применения, 2014, том 59, выпуск 1.

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения и четырех глав. В первой главе вводятся основные понятия квантовой теории информации, используемые в работе. Вторая глава посвящена теоремам кодирования для классических пропускных способностей, третья глава - теоремам кодирования для классической пропускной способности с использованием сцепленности, четвертая глава — результатам, связанным с квантовой пропускной способностью. Объем диссертации 101 страница. Список литературы содержит 48 наименований.

0.2 Содержание работы

Пусть % — сепарабельное гильбертово пространство, (Г2, Т) — стандартное измеримое пространство. Пусть также M{dw) — вероятностная операторно-значная мера (ВОЗМ) на Q. ВОЗМ задает квантовую наблюдаемую со значениями в Г2, распределение вероятностей которой в состоянии S дается формулой

РS{Ä) = TrSM(A), AeT.

Рассмотрим измерительный канал Л4, т.е. аффинное отображение S —> Рs(dcu) выпуклого множества квантовых состояний ©(%) в множество распределений вероятностей на пространстве исходов измерения (Г2, J7), которое для краткости будем называть алфавитом.

Будем рассматривать классическую пропускную способность измерительного канала с произвольным измеримым алфавитом в бесконечномерном случае. В диссертационной работе доказано существование плотности Ps(и) распределения вероятностей Рs (du) в общем случае (лемма 4). Заметим, что если ВОЗМ M (du) определяется плотностью Р(ш) относительно скалярной сг-конечной меры /х, где Р(и) — равномерно ограниченная (по операторной норме) слабо измеримая операторно-значная функция, то распределение вероятностей имеет плотность ps(u) = TrSP(u>) относительно меры fi. В случае произвольной ВОЗМ доказательство существования плотности ps(u) опирается на обобщение теоремы Радона-Никодима для ВОЗМ [36].

Как уже было отмечено, в бесконечномерном случае вводятся ограничения на входные состояния канала. Пусть F — самосопряженный, положительный, вообще говоря, неограниченный оператор в пространстве Введем подмножество состояний

ЛЕ = {S е ©('H) : TrSF < Е}, (6)

где Е — некоторая положительная постоянная, причем для оператора плотности S £ &(Н) со спектральным представлением S = Wej){ej \ след в (6) понимается как сумма

оо 3=1

причем ||-\/Fej|| = сю, если е3 не принадлежит области определения y/F. Для канала М®п соответствующее ограничение задается оператором F^ = F ® / ® • • • ® J H-----1- / ® / ® • • • ® F. Обозначим

A(n) = € . TrS(n)F(n) < nEy ^

Будем рассматривать конечные ансамбли 7г = {тг^, Sx}, обозначая среднее состояние ансамбля Sn = Ylx^xSx- Доказано следующее предложение, дающее выражение для классической пропускной способности измерительного канала Л4 через информацию Шеннона /(7г, Л4):

Предложение 1. Классическая пропускная способность измерительного канала Л4 с ограничением (7) дается соотношением

С(М, Ле) = sup /(тг,М),

{к x^x'.SkGAE}

где

1(тт,М) = Vttx [ р(ш\х) log р(ш), р(ш\х) — плотности распределений вероятностей

P(duj) = TrSnM(dcu) и Px(duj) = TVSxM(du), соответственно.

Доказательство использует представление величины /(тг:Л4) в виде супремума по конечным разбиениям измеримого пространства Г2 [32].

Далее рассматриваются гибридные (классически-квантовые) системы и гибридные каналы. Основным результатом является теорема кодирования для каналов с гибридным выходом (q-cq каналов) с ограничением вида (7) на входные состояния, которая используется далее при рассмотрении пропускной способности с использованием сцепленности.

Гибридная система описывается алгеброй фон Неймана С = Т, 03(%)), где (i^J7,/л) — стандарное измеримое простран-

ство с (j-конечной мерой, 03("%) — алгебра всех ограниченных операторов в %. Элементами предсопряженного пространства/^* = /^(Q, J7,/л;Т("Н)) являются измеримые функции S = (5(о;)} со значениями в пространстве

ядерных операторов Т('Н), интегрируемые по мере ¡1. Состоянием на алгебре С (cq-состоянием) называется элемент S = {5(u;)} G £*, такой что

S(üj) > 0 (mod fi), / TrS( u)/i(diu) = 1.

Jn

Множество всех cq-состояний обозначается %).

Для состояний гибридной системы вводится понятие cq-энтропии, а именно

HCQ(S) = - [ TrS(ш) log S(iü)ß(du). Jo.

Получен следующий результат для классической пропускной способности канала с квантовым входом и гибридным выходом.

Теорема 1. Пусть %а,Нв — гильбертовы пространства, Ф — канал, действующий из &(На) в <5(0, и удовлетворяющий условию

sup Ясд(Ф(5)) < оо. (8)

s:trsf<e

Пусть входные состояния S^n> канала удовлетворяют ограничению

TVS^F^ < пЕ. (9)

Классическая пропускная способность канала Ф с ограничением (9) конечна и равна

С( Ф) = lim — sup

Доказательство теоремы существенно опирается на теорему о пропускной способности канала с классическим входом и гибридным выходом, также доказанную в диссертационной работе (теорема 6).

При доказательстве теорем кодирования попутно получен ряд результатов для энтропий гибридных систем, представляющих самостоятельный интерес (введено определение условной энтропии для классически-квантовых

ЯС9(Ф®п(57Г))-^7гаЯС9(5а)

(10)

систем, установлены свойства монотонности и субаддитивности условной энтропии).

Рассмотрена пропускная способность с использованием сцепленности для измерительного канала с ограничением. Формулировка протокола передачи информации с использованием сцепленного состояния обобщена на случай классически-квантовой выходной системы. Вводится определение пропускной способности с использованием спепленности для измерительного канала Сеа(Л4), опирающееся на теорему 2 (поскольку Сеа(Л4) можно рассматривать как пропускную способность канала Л4 <8> Ы с квантовым входом и гибридным выходом).

Вводится понятие редукции энтропии [38] в случае измерения наблюдаемой М. Более подробно, согласно обобщению теоремы Радона-Никодима для ВОЗМ [36] найдется счетное семейство борелевских функций и — ал-(си), таких что для почти всех си, а^(си) являются линейными функционалами на Р, удовлетворяющими условиям

[ ]Г\{ак(и>)\ф)М<1ш) = \\ф\\\ (11)

^ к

(ф\М(А)<ф)= {

За к

причем в качестве Т> можно взять линейную оболочку фиксированного ор-тонормированного базиса

Рассмотрим квантовое состояние Б со спектральным разложением Б = ^г|(/9г){(^г|- В силу условия (11), в фиксированном ортонормированом базисе {е^}^ соотношение

00

§{ш) = ^ Аг(рН)-1 ^ \ек)(ак(и)\1рг)(а3(ш)\<рг)(е3\ (12)

г=1 у,к

для почти всех и задает состояние, называемое апостериорным состоянием. Смысл этого термина в том, что S(u) описывает состояние квантовой системы после измерения наблюдаемой М, которое завершилось исходом ш.

Определим редукцию энтропии соотношением

ER(S, М) - Hg(S) - [ p(u)Hq(S(u))ti{duj), (13)

Jn

в предположении, что Hq(S) < оо.

В работе доказана следующая теорема, дающая выражение для классической пропускной способности с использованием сцепленности, в случае измерительного канала с ограничением.

Теорема 2. Пусть Л4 — измерительный канал с ограничением (9) на входные состояния. Предположим, что оператор F удовлетворяет условию

Tr exp(—/3F) < оо для всех ¡3 > 0, (14)

а канал АЛ дополнительно удовлетворяет условию

sup Hc(psA) < 00, (15)

sa:tisaf<e

где Hc(psA) — классическая дифференциальная энтропия плотности выходного распределения вероятностей канала АЛ. Тогда классическая пропускная способность с использованием сцепленного состояния дается выражением

Сеа{М1ЛЕ)= sup ER{Sa,M). (16)

sa: trsaf<e

В диссертационной работе получены также результаты, связанные с квантовой пропускной способностью бесконечномерного квантового канала. Изучены свойства квантовой условной энтропии. Для конечномерных

систем условная энтропия определяется как разность энтропий фон Неймана Н(А\В) — Н(АВ) — Н(В). В бесконечномерном случае возможно возникновение неопределенности, если оба члена в правой части бесконечны. В диссертации вводится определение условной энтропии, корректное при условии конечности энтропии Н(А). Показано, что определенная таким образом условная энтропия может принимать только конечные значения и обладает свойствами монотонности, вогнутости, субаддитивности. Отметим, что известное доказательство вогнутости условной энтропии [15] существенно использует конечномерность пространства, поэтому в диссертации предложен новый подход.

Получена верхняя оценка для квантовой пропускной способности в бесконечномерном случае.

Предложение 2. Пусть Ф - произвольный квантовый канал с сепа-рабельными гильбертовыми пространствами входа и выхода. Тогда для квантовой пропускной способности канала Ф имеет место неравенство

<2(Ф) < lim - sup IC(S, Ф®п),

п^оо п S:H(S)<oo

где IC(S, Ф) — бесконечномерное обобщение (см. [18]) когерентной информации, определенной формулой (5), а верхняя грань берется по всевозможным состояниям S с конечной энтропией во входном пространстве И®71.

Глава 1

Основные понятия

Квантовая система описывается сепарабельным комплексным гильбертовым пространством Будем использовать обозначения Дирака: вектор у будем обозначать |<£>), а эрмитово сопряженный вектор {ф\. Заметим, что (ф\ является элементом сопряженного пространства непрерывных линейных функционалов на В этих обозначениях (<р\ф) — скалярное произведение векторов и ф, а \(р)(ф\ — оператор ранга 1, действие которого на вектор ф е % определяется соотношением

\ср)(ф\ф=1р(ф\ф).

Будем обозначать 05(Н) — алгебру всех ограниченных операторов в %. Для каждого положительного ограниченного оператора Т е 0В ('Н) однозначно определен след

оо

ТгТ = ^<е^|Те*) < +оо,

г=1

где {вг} — некоторый ортонормированный базис, причем зачение Тг Т не зависит от выбора базиса.

Банахово пространство операторов со следом (ядерных операторов) будем обозначать а конус положительных операторов в 71 с конечным следом — Т+("Н).

Оператором плотности, или состоянием, называется положительный оператор S с единичным следом: S > 0,Тг5 = 1. Множество операторов плотности будет обозначаться &{Н)\ заметим, что оно является выпуклым подмножеством %+(Н). Крайние точки множества чистых состояний, или чистые состояния, представляют собой одномерные проекторы

Следовой нормой оператора Т £ ^(Н) называется

||T||i = Тт\Т\ = Тг\/Т*Т.

Более подробно, см. [37, том 1].

В работе под сходимостью квантовых состояний будет пониматься сходимость операторов плотности по следовой норме, что равносильно слабой операторной сходимости к предельному оператору плотности [47], [23].

Составная квантовая система описывается тензорным произведением соответствующих гильбертовых пространствНа®Hb-, см. подробнее [37], [3]. Важным понятием, связанным с составными системами, является понятие частичного следа.

Определение 1. Пусть оператор Sab действует в тензорном произведении пространств На®Нв- Частичным следом по второму пространству называется оператор Sa = Тг в Sab-, действующий в На следующим образом:

(ИЗД) = ]£> ® е?\£>Ав\Ф ® е?), <р, ф € На,

i

{ef} — некоторый ортонормированный базис в пространстве Нв-

Аналогично определяется частичный след по первому пространству.

Для состояний Sab составной системы мы будем называть Sa,Sb частичными состояниями.

Будем называть состояние Sab составной системы AB несцепленным, если оно принадлежит выпуклому замыканию множества всех состояний-произведений в &(На ® Нв)- В противном случае состояние называется сцепленным.

Всякий оператор плотности S £ ©(%) имеет спектральное представление

где \ — собственные значения, причем Л^ > 0, ^ ^г = 1, а {е^}^ — собственные векторы.

Важной характеристикой состояний является квантовая энтропия. Определение 2. Энтропия фон Неймана состояния S £ опреде-

ляется соотношением

(Здесь и далее под log понимаем двоичный логарифм.) Очевидно, энтропию можно представить с использованием собственных значений следующим образом: H(S) = YliVi^i)-

Наряду с определением 2 будем использовать расширение определения энтропии фон Неймана на множество (?■£), а именно [16]

Энтропия является неотрицательной вогнутой функцией на множестве Т +{'Н), принимающей значения из [0,+оо].

Имеет место следующее свойство энтропии фон Неймана для ансамблей {кх\ ^х}, € со средним 5 = ^2х7тхЗх [15]

(1.1)

H{S) = —TrS log 5 - ry(TrS'), 5 e 1+(H).

(1.2)

x

x

Определение 3. [16] Относительной энтропией операторов S,T £ *£+(?{) называется величина

тс|КГЛ ( ES(^l(SlogS-SlogT + T-S)let), suppSCsuppT

II7 ) = )

I +00, supp5 £ suppT

где Цвг)}^ - ортонормированный базис собственных векторов оператора S. Отметим, что ряд состоит из неотрицательных членов и его сумма принимает значения в [0; +оо].

Энтропия и относительная энтропия являются полунепрерывными снизу функциями на %+(Н) [15].

Имеют место следующие свойства [15], [5].

1. Сохранение энтропии при обратимых преобразованиях. Для произвольных оператора плотности S £ &(Н) и унитарного оператора U справедливо

H{USU*) = H(S). (1.3)

2. Аддитивность энтропии. Для любого состояния-произведения Sa ® Sb £ &{На 'S) Hb) выполняется равенство

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Кузнецова, Анна Александровна, 2014 год

Литература

[1] Nielsen М.А., Chuang I.I. Quantum Computation and Quantum Information. Cambridge University Press, 2000.

[2] Hayashi M. Quantum information: an Introduction. Berlin, Springer, 2006.

[3] Холево А.С. Квантовые системы, каналы, информация. М.: МЦНМО, 2010.

[4] Petz D. Quantum information theory and quantum statistics. Berlin: Springer, 2008.

[5] Ohya M., Petz D. Quantum Entropy and Its Use. Texts and Monographs in Physics. New York: Springer, 1993.

[6] Wilde M. Quantum Information Theory. Cambridge University Press, 2013.

[7] Holevo A.S. The capacity of quantum communication channel with general signal states; - IEEE Trans, inform. Theory. 1998. Vol.44. P.269-272.

[8] Schumacher В., Westmoreland M.D. Sending classical information via noisy quantum channel. — Phys. Rev. A. 1997. Vol. 56, P. 131-138.

[9] Lieb E.H., Ruskai M.B. Proof of the strong subadditivity of quantum mechanical entropy. - J. Math. Phys. 1973. Vol. 14. P. 1938-1941.

[10] Bennett C.H., Shor P.W., Smolin J.A., Thaplyal A.V. Entanglement-assisted capacity and the reverse Shannon theorem. - IEEE Trans. Inform. Theory, 2002, v. 48, p. 2637-2655.

[11] Холево А. С. Информационная емкость квантовой наблюдаемой. - Проблемы передачи информации, 2012, т. 48, с. 3-13.

[12] Horodecki М., Shor P.W., Ruskai М. General Entanglement Breaking Channels. - Rev. Math. Phys. 2003. Vol. 15. P. 629 - 641.

[13] Холево А. С. Классические пропускные способности квантового канала с ограничением на входе. - Теор. вероят. и ее примен., 2003, т. 48, №2, с. 298-324.

[14] Холево А.С Некоторые оценки для количества информации, передаваемого квантовым каналом связи. — Пробл. передачи информ. 1973. Т.9, №3, С.3-11.

[15] Wehrl A. General Properties of entropy. — Reviews of Modern Physics. 1978. V.50, N.2, P. 221-260.

[16] Lindblad G. Expectations and Entropy Inequalities for Finite Quantum Systems. — Commun. Math. Phys. 1974. V. 39. P. 111-119.

[17] Lindblad G. Completely positive maps and entropy inequalities. — Commun. Math. Phys. 1975. V. 40. P. 147-151.

[18] Холево А. С., Широков M.E. Взаимная и когерентная информация для бесконечномерных квантовых каналов — Проблемы передачи информации, 2010, 46, 3, С.3-21.

[19] Holevo A.S. On entanglement-assisted classical capacity. — J. Math. Phys., 2002, V.43. P. 4326-4333.

[20] Barnum H., Knill E., Nielsen M. On quantum fidelities and channel capacities. - IEEE Trans. Inform. Theory. 1998. Vol. 46. P.4153-4175

[21] Devetak I. The private classical capacity and quantum capacity of a quantum channel. - IEEE Trans. Inform. Theory. 2005. Vol. 51, №1, P.44-55.

[22] Холево А.С., Широков M.E. Об аппроксимации бесконечномерных квантовых каналов. — Проблемы передачи информации. 2008. т. 44. в. 2. С. 3-22.

[23] Davies Е. В. Quantum theory of open systems. London: Academic Press, 1976.

[24] Холево А.С., Широков M.E. Непрерывные ансамбли и пропускная способность квантовых каналов бесконечной размерности. — Теор. вероят. и ее примен. 2005. т.50. в.1. С. 98-114.

[25] Adami С., Cerf N.J. Capacity of noisy quantum channel. — Phys.Rev. A. 1997. V.56 P.3470-3485.

[26] Barnum H., Nielsen M.A. Schumacher B. Information transmission through a noisy quantum channel. — Phys. Rev. A. 1998. V.57 P.4153-4175.

[27] Cover Т. M., Thomas J. A. Elements of Information Theory. New York: J. Wiley k Sons, 1991.

[28] Холево А.С Квантовые теоремы кодирования. — УМН. 1998. Т.53 С. 193-230; arXiv: quant-ph/9809023

[29] Barchielli A., Lupieri G. Instruments and channels in quantum information theory. - Optics and Spectroscopy, 2005, v. 99, p. 425-432.

[30] Barchielli A., Lupieri G. Instruments and mutual entropies in quantum information. - Banach Center Publications, 2006 v. 73, p. 65-80.

[31] Shirokov M.E. The Holevo capacity of infinite dimensional channels and the additivity problem. - Comm. Math. Phys., 2006, v. 262:1, p. 137Ц159.

[32] Добру шин P. JJ. Общая формулировка основной теоремы Шеннона в теории информации. — УМН т. 14, вып. 6 (90), 1959.

[33] Ozawa М. Quantum measuring process of continuous observables. — J. Math. Phys. 1987. Vol.18. P.412-421.

[34] Bennett C.H., Brassard G., Crepeau C., Jozsa R., Peres A., Wootters W.K. Teleporting an unknown quantum state via daul classical and EPR channels. - Phys. Rev. Lett. 1993. Vol. 70. P. 1895-1899.

[35] Yuen P., Ozawa M. Ultimate information carrying limit of quantum systems. - Phys. Rev. Lett. 1993. Vol. 70. P. 363-366.

[36] Холево А.С Каналы, разрушающие сцепленность, в бесконечных размерностях.— Пробл. передачи информ., 2008, т. 44, 3, с. 3-18.

[37] Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики, Т. 1, М.: Мир, Пер. с англ. 1985, 357 с.

[38] Shirokov M.E. Entropy reduction of quantum measurement. — Journal of Mathematical Physics, 2011, v. 52, 5, 052202

[39] Кузнецова А.А., Холево А.С. Теоремы кодирования для гибридных каналов. — Теор. вероят. и ее примен., 2013, т. 58, №2, с. 359-374.

[40] Кузнецова А.А., Холево А.С. Теоремы кодирования для гибридных каналов II. — Теор. вероят. и ее примен.

[41] Hall M. J. W. Quantum information and correlation bounds. — Phys. Rev. A, 1997 v. 55. N 1. p. 1050-2947.

[42] Кузнецова А. А. Условная энтропия для бесконечномерных квантовых систем. - Теор. вероятн. и ее примен., 2010, т. 55, с. 782-790.

[43] Холево А. С. Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории, М.: Наука, 1980.

[44] Horodecki М., Shor P.W., Ruskai М.-В. General Entanglement-Breaking Channels. - Rev. Math. Phys. 2003, v. 15, p.629-641.

[45] Caves C.M., Drummond P.B. Quantum limits of bosonic communication rates. - Rev. Mod. Phys., 1994, v. 66, p. 481-538.

[46] Fannes M. A continuity property of quantum entropy for spin lattice systems. - Commun. Math. Phys. 1973, v. 31, p. 291 - 294.

[47] В ell'Antonio G.F. On the limits of secuences of normal states. — Commun. Pure. Appl. Math. 1967, v. 20, p. 413-430.

[48] Kretsehmann D., Werner R. Tema con variazioni: quantum channel capacities. — e-print quant-ph/0311037