Двойственные задачи теории некоммутативного интегрирования тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Новиков, Андрей Андреевич

• Новиков, Андрей Андреевич
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Новиков, Андрей Андреевич

Оглавление

Стр.

Введение

Предварительные сведения и обозначения

Обзор литературы

Глава 1. Полунормы, ассоциированные с положительными операторами, и характеризация операторов, присоединенных к центру алгебры фон Неймана

1.1 Полунормы на упорядоченных векторных пространствах

1.2 Полунормы, ассоциированные с положительными элементами С*-алгебр и алгебр фон Неймана

1.3 Полунормы, ассоциированные с положительными операторами, присоединенными к алгебре фон Неймана

1.4 Характеризация центральных элементов операторных алгебр неравенствами

Глава 2. ^-пространства, ассоциированные с положительными операторами, присоединенными к алгебрам фон Неймана, и меры на ортоидеалах

2.1 Конструкция и представление Ь\-пространств

2.2 Вложение нормальных полуконечных весов в Ь\(а)

2.3 Меры на ортоидеалах

2.4 Пополнение пространства непрерывных линейных функционалов на С*-алгебре

Выводы

Список условных обозначений

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Двойственные задачи теории некоммутативного интегрирования»

Введение

Актуальность работы. Теория интегрирования - одна из магистральных теорий XX века. Ее основание составила теория А. Лебега, явившаяся результатом развития математического анализа в XIX веке. Непосредственно после завершения принципиальной части абстрактной теории интеграла Лебега возникла качественно новая теория, которая получила название некоммутативной теории интегрирования, чье появление и развитие было продиктовано потребностями математического обоснования квантовой физики. Основополагающим явился цикл работ Дж. фон Неймана и Ф. Мюррея. Формирование общей теории интегрирования относительно унитарно-инвариантных мер в полуконечных алгебрах фон Неймана было осуществлено И. Сигалом в 1953 г. Теория Сигала охватила теорию интегрирования относительно нормального следа. Классическая теория интегрирования на пространстве с мерой вкладывалась в построенную им схему как частный случай. Основываясь на теории некоммутативного интегрирования Сигала, У. Стайнспринг получил первый общий результат по теории двойственности для унимодулярных локально компактных групп. Затем Г. Кац ввел и изучил унимодулярные кольцевые группы как класс объектов, содержащих, в частности, унимодулярные локально компактные группы и двойственные им объекты. Принцип двойственности, установленный Г. Кацем, естественно обобщал классический принцип двойственности Л. Понтрягина, так как в роли двойственных объектов выступали объекты той же природы, что и исходные. Идеи и методы общей теории интегрирования относительно унитарно-инвариантных мер позволили изучить важный класс задач, возникающих в теории квантовых измерений и выходящих за рамки обычной постановки в терминах пространства элементарных исходов. Это, в свою очередь, привело к созданию некоммутативной теории статистических решений. Последовательное построение этой теории осуществил А.С. Холево.

В связи с успехами в теории алгебр фон Неймана и увеличением количества сфер ее приложения стала актуальной задача распространения теории интегрирования Сигала на нормальные веса в произвольных алгебрах фон Неймана. На семинаре "Алгебры операторов и их приложения" (Казанский государственный университет) была разработана общая концепция некоммутативной теории меры и интеграла в алгебрах фон Неймана. Разработанный аппарат полуторалинейных форм, изложенный в монографии [27], оказался исключительно плодотворным и для решения других важных проблем, связанных со строением неограниченных мер на проекторах.

В работах [26-28] А.Н. Шерстневым был предложен подход к построению пространства типа Ь\, ассоциированного с точным нормальным полуконечным весом ^ на алгебре фон Неймана, как пополнения пространства самосопряженных операторов Мэа по норме || • заданной равенством

\\х\\^ := т£{ф(х{) + ф(х2) | х = Х\ — х2 (х\, х2 £ М+)},

а также предложена реализация этого пространства в виде пространства полуторалинейных форм. Имея в виду двойственности (М*, М) и (А, Л*), в настоящей работе были введены двойственные конструкции пространств типа Ь1, ассоциированные с положительными операторами, присоединенными к алгебрам фон Неймана, а также с положительными элементами С*-алгебр, выступающие двойственными аналогами пространств Ь1, ассоциированных с весами.

Целью настоящей работы явилась разработка теории функциональных пространств, ассоциированных с операторами, присоединенными к алгебрам фон Неймана, в определенном смысле двойственных по отношению к некоммутативным пространствам Ь1 и ассоциированными с точными нормальными полуконечными весами.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

1. Исследовать различные варианты определения норм на пространствах функционалов, ассоциированных с положительными операторами, и выделить критерий точности этих полунорм.

2. Исследовать возможность представления функциональных пространств типа Ь\ и Ью, ассоциированных с положительными операторами.

3. Исследовать возможность вложения нормальных весов в пространства Ьг(а).

4. Исследовать взаимосвязь вложений нормальных весов и мер на ортои-деалах.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Охарактеризованы неравенствами элементы центра С*-алгебры и элементы, присоединенные к центру алгебры фон Неймана. В частности, отображение р Е Л* ^ М(а) Е М* ^ М(а)), являющееся прямым аналогом определения нормы коммутативного пространства Ь\, является полунормой тогда и только тогда, когда элемент а принадлежит центру С*-алгебры Л (присоединен к центру алгебры фон Неймана

М).

2. Для положительного элемента а алгебры фон Неймана М найдено естественное представление пространства Ь(Х(а) в виде пространства полу-торалинейных форм специального вида, а также получены естественные изометрические изоморфизмы пространств Ь\(а), Ьж(а), Ь^(а) и М*, М, М* соответственно.

3. Доказано, что пространство Ь\(а) можно считать линейной оболочкой множества ограничений (а) нормальных полуконечных весов р таких, что р(а) < причем в общем случае Ь+(а) не исчерпывается такими ограничениями, как следствие получен пример нерегулярных мер на ортоидеалах.

4. Доказано, что несколько различных подходов к определению нормы га являются эквивалентными. В частности, для случая полуконечной алгебры фон Неймана со следом т доказана формула га(кт) = т(\а1 ка11).

Научная новизна:

1. Впервые определены и изучались пространства типа Ь1 и для положительных элементов С*-алгебры и положительных операторов, присоединенных к алгебре фон Неймана.

2. Впервые дано представление пространства Ьж(а) в виде пространства билинейных форм специального вида.

3. Было выполнено оригинальное исследование по характеризации положительных центральных элементов С*-алгебры и положительных операторов, присоединенных к алгебре фон Неймана.

4. Было выполнено оригинальное исследование связи нормальных полуконечных весов с элементами Ь1(а).

Научная и практическая значимость. Конструкции некоммутативных пространств Ь1 и развивают теорию некоммутативного интегрирования и могут оказаться полезными в некоммутативной теории вероятностей, теории квантовой информации и квантовой теории поля.

Степень достоверности полученных результатов обеспечивается строгими математическими доказательствами. Результаты находятся в русле современных результатов, полученных другими авторами.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на следующих конференциях: XI летняя школа-конференция «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы», г. Казань, 2013, 22-28 августа, XIII Всероссийская молодежная школа-конференция «Лобачевские чтения», г. Казань, 2014, 24-29 октября, XII летняя школа-конференция «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы», г. Казань, 2015, 27 июня - 4 июля, Уфимская международная математическая конференция, г. Уфа, 2016, 27 сентября - 30 сентября. Также доклады на тему диссертации были сделаны на семинаре под руковод-

ством иностранного члена НАН Армении профессора С.А. Григоряна в КГЭУ, г. Казань, 2016, 21 сентября, на семинаре под руководством профессора О.Г. Смолянова в МГУ им. М. В. Ломоносова, Москва, 2016, 17 октября, на семинаре "Математическая физика" Института прикладной математики им. Келдыша РАН, Москва, 2016, 20 октября.

Личный вклад. В работах [А6, А7], опубликованных в соавторстве, постановка задачи и некоторые предлагаемые методы решения принадлежат научному руководителю, решение принадлежит автору диссертации. Также автором написана статья [А5].

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в восьми [А1-А8] печатных изданиях, из которых три [А5-А7] в журналах, рекомендованных ВАК.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, раздела предварительных сведений и обозначений, обзора литературы, двух глав результатов, выводов, списка обозначений и списка литературы. Полный объём диссертации составляет 92 страницы. Список литературы содержит 122 наименования.

Краткое содержание. Во введении дан краткий исторический очерк проблематики диссертации, обозначены цели, задачи и основные положения настоящей диссертационной работы, раскрыта научная новизна и научная и практическая значимость работы, указана степень достоверности, апробация и личный вклад автора. Также во введении указаны публикации автора по теме диссертации, объем и структура работы, кроме того выделено краткое содержание работы. В разделе предварительных сведений и обозначений приведены основные определения и факты теории операторов, алгебр фон Неймана и С*-алгебр. Обзор литературы посвящен области некоммутативного интегрирования, в частности теории некоммутативных пространств Ьр, и характеризации следов неравенствами.

Первая глава охватывает изучение полунорм, ассоциированных с положительными элементами, а также связанные с этим характеризации центральных элементов. Первая глава состоит из четырех разделов. В первом разделе дан общий подход к определению ^-нормы на упорядоченном векторном пространстве, а также приведены некоторые универсальные свойства полунорм, норм и пополнений упорядоченных пространств по этой норме. Во втором разделе рассмотрены ^-полунормы, ассоциированные с положительными элементами С*-алгебр и алгебр фон Неймана: дан критерий точности полунорм, дан критерий обратимости оператора в терминах эквивалентности норм, ассоциированных с разными степенями одного положительного элемента. В третьем разделе дано определение Ь\-полунормы на преддвойственном пространстве алгебры фон Неймана, ассоциированной с положительным самосопряженным оператором, присоединенным к этой алгебре фон Неймана, а также получен ряд фо-рул, которые могли бы служить альтернативными определениями. В четвертом разделе дана характеризация центральных элементов С*-алгебр и алгебр фон Неймана, а также операторов, присоединенных к центру алгебры фон Неймана, с помощью неравенств, в том числе т.н. «неравенством треугольника».

Вторая глава посвящена исследованию пространств типа Ь\, полученных как пополнения пространств по Ь\-нормам, исследованным в первой главе. Также исследована связь указанных конструкций с мерами на ортоидеалах. Вторая глава также состоит из четырех разделов. В первом разделе дано определение пространства типа Ь\, ассоциированного с положительным оператором, присоединенным к алгебре фон Неймана, а также дано представление этого пространства типа Ь\ как пространства непрерывных функционалов, определенных на пространстве полуторалинейных форм специального вида, приведены изоморфизмы банаховых пространства типа Ь\ и преддвойственного пространства алгебры фон Неймана, а также самой алгебры фон Неймана и банахова пространства полуторалинейных форм специального вида. Во втором разделе доказано, что изоморфизмы из первого раздела сохраняют порядок, а также доказано, что

всякий нормальный полуконечный вес на алгебре фон Неймана, принимающий конечное значение на положительном операторе, присоединенном к этой алгебре фон Неймана, будет порождать положительный элемент в соответствующем пространстве типа Ь1. Кроме того, доказано, что любой элемент эрмитовой части пространства типа Ь1 разложим в виде разности положительных элементов пространства типа Ь1, порожденных полуконечными нормальными весами; также приведен пример алгебры фон Неймана и положительного оператора, для которых существует положительный элемент в пространстве типа , который нельзя представить как образ нормального полуконечного веса при вложении. В третьем разделе рассмотрена взаимосвязь элементов пространства типа с мерами на ортоидеалах. В четвертом разделе дано приложение конструкции пространства типа Ь1, ассоциированных с положительными операторами из алгебр фон Неймана, к случаю С*-алгебр.

Предварительные сведения и обозначения

Пусть А - алгебра над полем комплексных чисел C.

1. Нормированная алгебра А называется банаховой, если для её нормы выполняется неравенство \\ху|| < ||ж||||у||, и при этом она является банаховым пространством.

2. Инволюцией называется отображение х G А ^ х* G А такое, что для всех х, у G А и Л G C выполняется

(х*)* = х; (х + у)* = х* + у*; (Ах)* = Ах*; (ху)* = у*х*.

3. Инволютивной нормированной алгеброй называется алгебра А, снабженная инволюцией х ^ х* и нормой || • ||, причем ||ж*| = ЦжЦ для каждого х G Л. Инволютивной банаховой алгеброй называется инволютивная нормированная алгебра, являющаяся банаховой алгеброй. Инволютивная банахова алгебра называется С*-алгеброй, если !х*х! = ЦхЦ2 для каждого х G Л.

4. Если алгебра А содержит единицу 1 (т.е. такой элемент, что 1х = xl = х для всех х G А), то алгебра называется унитальной. Любая С*-алгебра А обладает наименьшим расширением C ф А, которое является унитальной С*-алгеброй. Через 0 обозначен нулевой элемент алгебры А (т.е. такой, что 0 + х = х + 0 = х для всех х G Л).

5. Пусть х G Л. Если х = ж*, то х называется самосопряженным. Множество всех самосопряженных элементов алгебры А обозначается

Asa = [х gA \ х = х*}.

Asa является вещественным банаховым пространством. Элемент и унитальной С*-алгебры А называется унитарным, если ии* = и*и = 1. Множество всех унитарных элементов обозначается АШ1(= [и G А \ ии* = и*и = 1}).

Самосопряженный унитарный элемент й (в = в*, 82 = 1) унитальной алгебры Л называется симметрией. Множество всех симметрий обозначается Бут(Л)(= Лип П Л8&). Самоспопряженный идемпотентный элемент р (р = р*, р2 = р) называется проектором. Множество всех проекторов алгебры Л обозначается Лрг (= {р Е Лва | р2 = р}). Для проектора р из унитальной алгебры Л обозначим р^ := 1 — р. Существует взаимооднозначное соответствие между сим-метриями и проекторами в унитальных С*-алгебрах. Так й = р — р^ (р Е Лрт) является симметрией, а р = (в Е Зут(Л)) является проектором. Элемент х Е Л называется центральным, если он коммутирует со всеми элементами алгебры, т.е. V у Е Л (ху = ух). Множество всех центральных элементов алгебры Л обозначается С ( А) и называется центром алгебры Л.

6. В унитальной С*-алгебре Л спектром а(х) элемента х называется множество всех комплексных Л, таких, что А1 — х не обратим

а(х) = {А Е С I А1 — х необратим}.

Для не унитальной С*-алгебры Л спектром называется спектр соответствующего элемента 0 0 х унитальной С*-алгебры С 0Л. Самосопряженный элемент х с положительным спектром (&(х) С [0, +ю)) называется положительным. Множество всех положительных элементов С*-алгебры Л обозначается Л+.

7. Множество непрерывных линейных функционалов на С*-алгебре Л обозначено как Л*. Непрерывный линейный функционал / называется эрмито-

вым, если /(х*) = /(х). Множество всех эрмитовых функционалов

V Е л* I V ж Е Л (/(х*) = /(х))}

обозначено ЛФункционал называется положительным, если он принимает неотрицательные значения на положительных элементах С*-алгебры, т.е. Ух Е Л+ (/(х) > 0). Множество всех положительных линейных функционалов

обозначается А+. Всякий положительный функционал является эрмитовым. Нулевой функционал обозначается 0. Для умножения функционала на оператор используются стандартные обозначения, а именно: для линейного непрерывного функционала f Е А* и оператора х Е A: xf обозначает линейный функционал у ^ f (ху), fx обозначает линейный функционал у ^ f (ух) и xfx обозначает линейный функционал у ^ f (хух).

8. Пусть Н - комплексное векторное пространство, а 0 - его нулевой элемент.

Система векторов {х\, х2, х3, • • • ,хп} С Н называется линейно независи-

п _у

мой, если из равенства ^ a^Xi = 0 ({&i}i=\ Е C) следует система равенств

i=i

{ai = 0}7l=l. Максимальная линейно независимая система векторов называется базисом Гамеля, существование базиса Гамеля в произвольном векторном пространстве обеспечивается леммой Цорна. Размерностью dim Н векторного пространства называется мощность базиса Гамеля.

Вещественной линейной оболочкой НпкХ семейства векторов X = {ха}аЕ1 называется множество {а\Х\ + а2х2 + а3х3 + • • • + апхп | Е R, Е X} всех возможных вещественных линейных комбинаций векторов из X. Аналогично, комплексной линейной оболочкой linCX семейства векторов X = {ха}аЕ1 называется множество {а\Х\ + а2х2 + а3х3 + • • • + апхп | Е C,Xi Е X} всех возможных линейных комбинаций векторов из X.

Скалярным произведением на векторном пространстве Н называется функция двух переменных (•, •) : (х,у) Е Н х Н ^ C, которая линейна по первому аргументу (т.е. (а\Х\ + а2х2,у) = а\(х\, у) + а2(х2, у)), эрмитово симмертична (т.е. (х, у) = (у, х)) и точна (т.е. из равенства (х, х) =0 следует х = ). Равенство ||ж|| := \J(х, х) задает норму на Н. Если Н полно относительно указанной нормы, то оно называется гильбертовым. Ненулевые векторы х, у называются ортогональными, если (х, у) =0. Система взаимоортогональных векторов В называется ортогональным базисом гильбертова пространства

Н, если для любого х Е Н возможно представление х = ^ пщ^ Если все век-

ЪеВ 11 11

торы Ь Е В нормированы, т.е. \\Ь\\ = 1 для любого Ь Е В, то базис В называется ортонормированным.

Линейный оператор А : Н ^ Н называется ограниченным, если существует число С Е К такое, что ||Аж\\ < С\\ж\\ для всякого х Е Н. Множество всех ограниченных операторов В(Н), снабженное нормой

\\А\\ = Ы{С Е К ^х Е Н (\\Ах\\ < С\\ж\\)},

образует банахову алгебру. Сопряженным оператором к оператору А : Н ^ Н называется оператор А* : Н ^ Н такой, что (Ах, у) = (х, А*у) для всех х, у Е Н. Операция сопряжения является инволюцией в В(Н), кроме того \\А*\\ = \\А\\ и ЦА*А\\ = \\А\\2, поэтому В(Н) является С*-алгеброй. Кроме того, тождественный оператор является ограниченным, поэтому В(Н) унитальна.

Если для любого ортонормированного базиса {ха}ае7 гильбертова пространства Н, сходится ряд £ (Аха, ха), то оператор А называется ядерным. Сумма ряда не зависит от выбора базиса и называется каноническим следом оператора А (обозначается ТТЛ). Множество всех ядерных операторов является *-идеалом в В(Н) и обозначается С\(Н). Векторное пространство С\(Н), снабженное нормой = 8ир{Тг(АХ)| | X Е В(Н), \\Х\\ < 1}, является

банаховым.

9. Пусть Н - гильбертово пространство со скалярным произведением (•, •), а В(Н) - пространство ограниченных линейных операторов в гильбертовом пространстве Н. На В(Н) можно определить различные локально-выпуклые топологии:

1) сильную операторную (й—) топологию, определяемую семейством полунорм х ^ \\х/\\ (/ Е Н);

2) слабую операторную (м—) топологию, определяемую семейством полу-н°рм ж ^ 1(х/,д)1 (/,д Е Н);

3) ультрасильную операторную (ив-) топологию, определяемую семейством полунорм х^ А \\xfnW2 (^ \\fnW2 < /п е Н);

у п=1 п=1

4) ультраслабую операторную (аи>-) топологию, определяемую семейством полунорм X ^ ^ 1{х.и,9п)1 Е \\fnW2 < XI \\9п\\2 < /п, 9п е

п=1 п=1 п=1

н).

10. Пусть В(Н) множество всех ограниченных операторов в гильбертовом пространстве Н, а X - подмножество В(Н). Коммутантом X' множества X называется множество всех ограниченных операторов, *-коммутирующих со всеми элементами множества X

X' = {х е В(Н) I У у е X (ху = ух, у*х = ху*)}.

Унитальная С*-алгебра М ограниченных операторов в гильбертовом пространстве Н (М С В(Н)) называется алгеброй фон Неймана, если М" = М. По теореме фон Неймана о бикоммутанте С*-алгебра операторов является алгеброй фон Неймана тогда и только тогда, когда она замкнута в сильной, ультрасильной, слабой и ультраслабой операторных топологиях. Для проектора р е Мр редукция алгебры фон Неймана М на гильбертово пространство рН обозначена Мр, иначе говоря Мр = {(рхр)1Рн I х е М}; для х е М за хр обозначен (рхр)1рН е Мр.

11. Множество всех ап)—непрерывных линейных функционалов на М обозначено М*. Известно, что М* является замкнутым подпространством М*, а (М*)* изометрически изоморфно М как банахово пространство, поэтому М* называется преддвойственным пространством алгебры фон Неймана М. Множество всех эрмитовых и всех положительных ультраслабонепрерывных функционалов обозначается Ми М+ соответственно. Линейный функцио-

нал ап)—непрерывен тогда и только тогда, когда он ав—непрерывен. Всякий ап)—непрерывный функционал р можно записать в виде р = ^ {•/п,9п), где

п=1

+ ТО +ТО

E WfnW2 < +п, J] \\дп\\2 < ({fn}n=1, [9п]п= 1 с я). Положительный

п=1 п=1

ультраслабо непрерывный функционал называется нормальным. Нормальный

+ ТО +ТО

функционал допускает представление р = ^ (•fn,fn), где ^ WfnW2 < +п.

п=1 п=1

12. Линейный оператор х, действующий в гильбертовом пространстве Н, называется присоединенным к алгебре фон Неймана М (обозначается x'qМ), если ихи* = х для любого и Е (М')ип. При этом, если х ограничен, то он присоединен к М тогда и только тогда, когда он является элементом алгебры М. Область определения оператора х обозначена D(x) с Н, замыкание оператора х обозначенено х. Подразумевается частичный порядок для положительных самосопряженных операторов, присоединенных к алгебре фон Неймана М. Для положительных самосопряженных х, у^М пишется х < у, если D(y1) с D(x1) и Wx2f \\2 < Wy2f W2 для всех f Е D(y1). Если для возрастающей сети (xj)jEj операторов, присоединенных к М, существует х = sup(^j), это обозначается

jE J

Xj У х. Для положительного хг}М и A Е R+ обозначим хХ := Аж(А1 + х)-1. Очевидно, что х\ ограничен, и вектор-функция А ^ х\ является возрастающей относительно порядка в В(Н)+. Также известно, что lim (х\)2 f = х2 f для любого f Е D(x2). Значение нормального функцонала р на неограниченном операторе х понимается как р(х) := lim р(х\). Следует отметить, что в действительности для любой сети Xi У х верно, что р(х) = sup p(xi).

13. Весом на алгебре фон Неймана М называется отображение р : М+ ^ [0, +п] со свойствами

р(х + у) = (р(х) + р(у), р(Хх) = Хр(х) (х, у Е М+, А Е R+),

причем предполагается, что 0 • = 0. Если для любых и Е Mun, х Е М+

верно равенство р(х) = р(и*хи), то такой вес называется следом. Вес называется нормальным, если для всякой возрастающей сети Xi Е М, операторно сильно сходящейся к х, верно равенство р(х) = sup p(xi). Любой нормальный

вес р представим в виде р = ^(•/г,/г) (/« е Н). Значение нормального ве-

ге1

са на неограниченном положительном самоспоряженном операторе понимается также, как и для нормального функционала, <р(х) = Нш р(ха). Вес р называется конечным, если ^>(1) < полуконечным, если а^-плотен в М, где = Нпст+, ш+ = {х е М+ | <р(х) < +то}.

Алгебра фон Неймана М называется конечной, если для любого х е М+, х = 0, существует нормальный конечный след т такой, что т(х) = 0; полуконечной, если для любого х е М+, х = 0, существует нормальный полуконечный след т такой, что т(х) = 0.

14. Всякая С*-алгебра А обладает универсальной обертывающей алгеброй фон Неймана М (см. [110, раздел 111.2]). Соответствующий морфизм обозначен ж : А ^ М, соответствующее гильбертово пространство обозначается Н. Соответсвующий морфизм сопряженного пространства С*-алгебры и пред-сопряженного пространства алгебры фон Неймана обозначен как к' : А* ^ М*.

15. Подмножество X множества Мр называется ортоидеалом в Мрг, если выполняются следующие условия:

(1) я < р еХ, ^ е Мрг Я еХ, (п) р,я еХ, рд = 0 р + я еХ.

Пусть X - ортоидеал в Мрг. Отображение д : X ^ К+, которое удовлетворяющее условиям

Р =^2 Рг (Рг е Х, РгРз =0, 1= 3) = ^2 ,

называется мерой на ортоидеале X. Мера на X называется полуконечной, если существует сеть {ра} С X такая, что ра / 1. Мера д на X называется регулярной, если существует нормальный вес ф на М такой, что ф(р) = ^(р) (р е X).

Обзор литературы

Первоисточником изучения таких объектов, как абстрактные W*- и С*-алгебры, можно считать работы [79-81; 117] и работы [4; 5; 55; 56] соответственно. Одним из наиболее важных результатов, полученных на ранних этапах (до 1950 г.), является теория представлений Гельфанда-Наймарка [56] для коммутативных С*-алгебр и её обобщение для некоммутативных С*-алгебр [100] (конструкция Гельфанда-Наймарка-Сигала). Среди ключевых результатов, полученных позже (вплоть до 1970-ых), стоит отметить характеризацию Сакаи W*-алгебр в чисто алгебраических терминах [97], разработку теории весов Ком-бом и Педерсеном [40; 41; 86-89] и разработку теории интегральных представлений функционалов на W*-алгебрах, использующую теорию граничных интегралов Шоке [70;94;95;98; 114; 115].

Сигал [101] предложил взять в качестве основы некоммутативной теории интегирования понятие измеримости неограниченного (но присоедиенно-го) оператора относительно точного нормального полуконечного следа т и использовал измеримость для определения некоммутаивных Ь\(М.,т), Ь2(М,т) и Ьж(М.,т) пространств (см. также [102]). Это определение было обобщено на всю шкалу некоммутативных Ьр(М,т) пространств, полученных Огасаварой, Есинагой и Кунцом [75; 83; 84]. Дальнейшие усовершенствования теории, основанные на более сильном условии измеримости относительно следа, были представлены в [82; 107]. Независимо Диксмье [47] также представил семейство пространств Ьр(М.,т), основанных на понятиях абстрактных идеалов в М и их пополнениях относительно р-норм, определенных с помощью следов т (см. также [48]). Альтернативный (но эквивалентный) подход разрабатывался в работах [49; 120; 121]. Полное описание изометрий между пространствами Ьр(М,т) было дано в [122]. Пространства фон Неймана-Шаттена Ср(Н) [103-105; 118],

ассоциированные по определению с алгеброй фон Неймана В(Н) типа I, являются лишь частным случаем в общем подходе СР(Н) = Ьр(В(Н),Тг).

Обобщение некоммутативного интегрирования на случай произвольной алгебры фон Неймана М, снабженной произвольным точным нормальным полуконечным весом, стала возможной только благодаря успехам в разработке модулярной теории Томиты-Такесаки [108], которая, в частности, привела к некоммутативным теоремам типа Радона-Никодима, доказанным Педерсеном, Такесаки [90] и Конном [43; 44]. Первая конструкция полной шкалы некоммутативных Ьр(М,ф) пространств для точного нормального полуконечного ф и р е [1,то] была предложена Хаагерупом [58] (их полное описание было дано Терп [111]), в ней были использованы теория двойственности Такесаки для скрещенных произведений алгебр фон Неймана и локально-компактные абе-левы группы [45; 60; 61; 109], а также теория операторно-значных весов Хаагер-упа [62; 63]. Обобщение конструкции Хаагерупа для р е С было предложено Ямагами [119]. Альтернативный подход был разработан Конном [42] и Хилсу-мом [65], пространства Ьр(М,ф') для точного нормального полуконечного веса ф' на коммутанте М', были определены как банаховы пространства замкнутых плотно определенных неограниченных операторов, действующих на гильбертовом пространстве Н, полные по норме \\ж\\р := (0(|х|р)р. Косаки [73] определил семейство пространств Ьр(М,ф), где ф - точный нормальный конечный вес, как кальдероново комплексное интерполяционное банахово пространство [35] между М* и М. Эта конструкция была обобщена Терп для точного нормального полуконечного веса ф [112]. Ицуми [68; 69] дополнил подход Косаки-Терп и предложил дальнейшие обобщения конструкции для р е С. Араки и Масуда [30] сконструировали Ьр(М,ф) пространства для точного нормального функционала ф, использующие стандартную форму М на гильбертовом пространстве Н. Ещё один подход к теории некоммутативного интегрирования был разработан Шерстневым и Труновым [18-20; 22-28]. Некоммутативные пространства Ь\(М,ф) и Ь2(М,ф) получили обобщение до полной шкалы Ьр(М,ф) в работах

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Новиков, Андрей Андреевич, 2016 год

Список литературы

1. Бикчентаев, А. М. Перестановочность проекторов и характеризация следа на алгебрах фон Неймана / А.М. Бикчентаев // Сиб. матем. журн. - 2010.

- Т.51 - №6. - с. 1228-1236.

2. Бикчентаев, А. М. Перестановочность проекторов и характеризация следа на алгебрах фон Неймана. I / А.М. Бикчентаев // Изв. вузов. Матем. -2009. - №12. - с. 80-83.

3. Бикчентаев, А. М. Перестановочность проекторов и характеризация следа на алгебрах фон Неймана. II / А.М. Бикчентаев // Матем. заметки - 2011.

- Т.9. - №4. - с. 787-791.

4. Гельфанд, И.М. Коммутативные нормированные кольца / И.М. Гельфанд, Д.А. Райков, Г.Е. Шилов // УМН - 1946. - Т.1. - №2. - с. 48-146.

5. Гельфанд, И.М. Нормированнные кольца с инволюцией и их представления / И.М. Гельфанд, М.А. Наймарк // Изв. АН СССР. Сер. матем. -1948. - Т.12. - №5. - с. 445-480.

6. Золотарев, А.А. К интерполяционной теории пространств Lp относительно состояния на алгебре Неймана / А.А. Золотарев // Изв. вузов. Матем. -1985. - №1. - с. 59-61.

7. Золотарев, А.А. Некоммутативные пространства Lp и операторы, присоединенные к централизатору алгебры Неймана / А.А. Золотарев // Изв. вузов. Матем. - 1986. - №6. - с. 60-62.

8. Золотарев, А.А. Пространства LP относительно состояния на алгебре Неймана и интерполяция / А.А. Золотарев // Изв. вузов. Матем. - 1982. - №8.

- с. 36-43.

9. Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин // М.: Наука, 1981, 544 с.

10. Красносельский, М.А. Позитивные линейные системы: метод положительных операторов / М.А. Красносельский, Е.А. Лифшиц, А.В. Соболев // М.: Наука, 1985, 255 с.

11. Рудин У. Функциональный анализ / У. Рудин // М.: Мир, 1975 - 443 с.

12. Скворцова Г.Ш. Выпуклые множества в некоммутативных Li-пространствах, замкнутые в топологии локальной сходимости по мере / Г.Ш. Скворцова, О.Е. Тихонов // Изв. вузов. Матем. - 1998. - №8. - с. 48-55.

13. Столяров, А.И. Характеризация нормальных следов на алгебрах фон Неймана неравенствами для модуля / А.И. Столяров, О. Е. Тихонов, А. Н. Шерстнев // Матем. заметки - 2002. - Т.72. - №3. - с. 448-454.

14. Тихонов, О.Е. Интегрируемые билинейные формы и интеграл по оператор-нозначной мере / О.Е. Тихонов // Изв. вузов. Матем. - 1982. - №3. - с. 76-80.

15. Тихонов, О.Е. Пространства типа Lp относительно веса на алгебре Неймана / О.Е. Тихонов // Изв. вузов. Матем. - 1982. - №8. - с. 76-78.

16. Трунов, Н.В. Введение в теорию некоммутативного интегрирования / Н.В. Трунов, А.Н. Шерстнев // Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Нов. достиж. - 1985. - Т.27. - с. 167-190.

17. Трунов, Н.В Интегрирование в алгебрах Неймана и регулярные веса / Н.В. Трунов // Констр. теор. функц. и функц. анал. - 1981. - №3. - с. 73-87.

18. Трунов, Н.В. К общей теории интегрирования в алгебрах операторов относительно веса, I / Н.В. Трунов, А.Н. Шерстнев // Изв. вузов. Матем. -1978. - №7. - с. 79-88.

19. Трунов, Н.В. К общей теории интегрирования в алгебрах операторов относительно веса, II / Н.В. Трунов, А.Н. Шерстнев // Изв. вузов. Матем. - 1978. - №12. - с. 88-98.

20. Трунов, Н.В. К теории некоммутативных пространств Ь1 и Ь2 / Н.В. Трунов // Констр. теор. функц. и функц. анал. - 1983. - №4. - с. 96-105.

21. Трунов, Н.В. К теории нормальных весов на алгебрах Неймана / Н.В. Трунов // Изв. вузов. Матем. - 1982. - №8. - с. 61-70.

22. Трунов, Н.В. О некоммутативном аналоге пространства Ь2 / Н.В. Трунов // Констр. теор. функц. и функц. анал. - 1979. - №2. - с. 93-114.

23. Трунов, Н.В. О некоммутативном аналоге пространства Ьр / Н.В. Трунов // Изв. вузов. Матем. - 1979. - №11. - с. 69-77.

24. Трунов, Н.В. Пространства Ьр, ассоциированные с весом на полуконечной алгебре Неймана / Н.В. Трунов // Констр. теор. функц. и функц. анал. -1981. - №3. -с. 88-93.

25. Шерстнев, А.Н. К общей теории меры и интеграла в алгебрах Неймана / А.Н. Шерстнев // Изв. вузов. Матем. - 1982. - №8. - с. 20-35.

26. Шерстнев, А.Н. К общей теории состояний на алгебрах фон Неймана / А.Н. Шерстнев // Функц. анализ и его прил. - 1974 - Т.8. - №3. - с. 89-90.

27. Шерстнев, А.Н. Методы билинейных форм в некоммутативной теории интегрирования / А.Н. Шерстнев // М.: Физматлит, 2008. - 264 с.

28. Шерстнев, А.Н. О некоммутативном аналоге пространства Ь1 / А.Н. Шерстнев // УМН - 1978. - Т.33. - №1(199). - с. 231-232.

29. Abramovich, Y.A. Positive operators on Krein spaces / Y.A. Abramovich, C.D. Aliprantis, O. Burkinshaw // Acta Appl. Math. - 1992. - V.27. - №27. - p.1-22.

30. Araki, H. Positive cones and Lp -spaces for von Neumann algebras / T. Masuda, H. Araki // Publ. Res. Inst. Math. Sci. Kyoto Univ. - 1982. - V.18. - №2. -p. 339-411.

31. Azimow, L. Convexity Theory and Its Applications in Functional Analysis / L. Azimow, A.J. Ellis // London, Academic press, 1980, 266 p.

32. Bikchentaev, A.M. Characterization of the trace by monotonicity inequalities / A.M. Bikchentaev, O.E. Tikhonov // Linear Algebra Appl. - 2007. - V.422.

- №1. - p.274-278.

33. Bikchentaev, A.M. Characterization of the trace by Young's inequality / A.M. Bikchentaev, O.E. Tikhonov //J. Inequal. Pure Appl. Math. - 2005. - V.6. -№2. - article 49.

34. Bikchentaev, A.M. Commutation of projections and characterization of traces on von Neumann algebras. III / A.M. Bikchentaev // Inter. J. Theor. Physics.

- 2015. - V.54. - №12. - p. 4482-4493.

35. Calderon, A.P. Intermediate spaces and interpolation, the complex method / A.P. Calderon // Studia Math. - 1964. - V.24. - №2. - p. 113-190.

36. Cecchini, C. Non commutative Lp spaces and K.M.S. functions / C. Cecchini // Lecture Notes in Mathematics: Quantum probability and applications II -1985. - V.1136. - p. 136-142.

37. Cecchini, C. Noncommutative integration and conditioning / C. Cecchini // Lecture Notes in Mathematics: Quantum probability and applications to the quantum theory of irreversible processes - 1984. - V.1055. - p.76-85.

38. Cecchini, C. Noncommutative integration for states on von Neumann algebras / C. Cecchini // J. Oper. Theor. - 1986. - V.15. - №2. - p. 217-237.

39. Cecchini, C. Some noncommutative Radon-Nikodym theorems for von Neumann algebras / C. Cecchini // Lecture Notes in Mathematics: Quantum probability and applications III - 1988. - V.1303. - p.52-68.

40. Combes, F. Poids et esperances conditionnelles dans les algebres de von Neumann / F. Combes // Bull. Soc. Math. France - 1971. - V.99. - p. 73-112.

41. Combes, F. Poids sur une C*-algebre / F. Combes // J. Math. Pures Appl. -1968. - V.47. - №1. - p. 57-100.

42. Connes, A. On the spatial theory of von Neumann algebras / A. Connes //J. Func. Anal. - 1980. - V.35. - №2. - p. 153-164.

43. Connes, A. Sur le theoreme de Radon-Nikodym pour le poids normaux fideles semifinis / A. Connes // Bull. Sci. Math. - 1973. - V.97. - p. 253-258.

44. Connes, A. Une classification des facteurs de type III / A. Connes // Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. - 1973. - V.6. - p. 133-252.

45. Digernes, T. Poids dual sur un produit croise / T. Digernes // C. R. Acad. Sc. Paris Ser. A - 1974. - V.278. - p. 937-940.

46. Dixmier, J. C*-algebras / J. Dixmier // Amsterdam, North Holland Publishing co., 1977, 506 p.

47. Dixmier, J. Formes lineaires sur un anneau d'operateurs / J. Dixmier // Bull. Soc. Math. France - 1953. - V.81. - p. 9-39.

48. Dixmier, J. Les algebres d'operateurs dans l'espace hilbertien (algebres de von Neumann) / J. Dixmier // Gauthier-Villars, Paris, 1957, 367 p.

49. Fack, T. Generalized s-numbers of r-measurable operators / T. Fack, H. Kosaki // Pacific J. Math. - 1986. - V.123. - p.269-300.

50. Falcone, T. L2-von Neumann modules, their relative tensor products and the spatial derivative / A.J. Falcone // Illinois J. Math. - 2000. - V.44. - №2. - p. 407-437.

51. Falcone, T. Operator valued weights without structure theory / A.J. Falcone, M. Takesaki // Trans. Amer. Math. Soc. - 1999. - V.351. - №1. - p. 323-341.

52. Falcone, T. Operator Valued Weights, L-von Neumann Modules and their Relative Tensor Products, Ph.D. thesis, University of California, Los Angeles, 1996.

53. Falcone, T. The non-commutative flow of weights on a von Neumann algebra / A.J. Falcone, M. Takesaki //J. Funct. Anal. - 2001. - V.182. - №1. - p. 170-206.

54. Gardner, L.T. An inequality characterizes the trace / L.T. Gardner // Canad. J. Math. - 1979. - V.31. - №6. - pp. 1322-1328.

55. Gelfand, I.M. Normierte Ringe / I.M. Gelfand // Rec. Math. [Mat. Sbornik] N.S. - 1941. - V.9(51). - №1. - p. 3-24.

56. Gelfand, I.M. On the imbedding of normed rings into the ring of operators in Hilbert space / I.M. Gelfand, M.A. Neumark // MaTeM. c6. - 1943. - T.12(54). - №2. - c.197-217.

57. Goldstein, S. LP spaces for C*-algebras with a state / S. Goldstein, V.T. Phan // Int. J. Theor. Physics. - 2000. - V.39. - №3. - p. 687-693.

58. Haagerup, U. LP-spaces associated with an arbitrary von Neumann algebra / U. Haagerup // Colloques Int. CNRS - 1979. - №274. - p. 175-184.

59. Haagerup, U. Normal weights on W*-algebras / U. Haagerupp //J. Funct. Anal. - 1975. - V.19. - №3. - p. 302-317.

60. Haagerup, U. On the dual weights for crossed products of von Neumann algebras I: removing separability conditions / U. Haagerup // Math. Scand. -1978. - V.43. -p.99-118.

61. Haagerup, U. On the dual weights for crossed products of von Neumann algebras II: application of operator valued weights / U. Haagerup // Math. Scand. - 1978. - V.43. - p.119-140.

62. Haagerup, U. Operator valued weights in von Neumann algebras I / U. Haagerup //J. Funct. Anal. - 1979. - V.32. - №2. - p. 175-206.

63. Haagerup, U. Operator valued weights in von Neumann algebras II / U. Haagerup //J. Funct. Anal. - 1979. - V.33. - №3. - p. 339-361.

64. Haagerup, U. A reduction method for noncommutative LP-spaces and applications / U. Haagerup, M. Junge, Q. Xu // Trans. Amer. Math. Soc.

- 2010. - V.362. - №4. - p. 2125-2165.

65. Hilsum, M. Les espaces L d'une algebre de von Neumann definies par la derivee spatiale / M. Hilsum // J. Funct. Anal. - 1981. - V.40. - №2. - p.151-169.

66. Holevo, A.S. Noncommutative analogues of the Cramer-Rao inequality in the quantum measurement theory / A.S. Holevo // Lecture Notes in Mathematics: Proceedings of 3rd Japan-USSR symposium on probability theory - 1976. -V.550. - p.194-222.

67. Holevo, A.S. Commutative superoperator of a state and its application in the noncommutative statistics / A.S. Holevo // Rep. Math. Phys. - 1977. - V.12.

- №2. - p. 251-271.

68. Izumi, H. Construction of non-commutative ^-spaces with a complex parameter arising from modular actions / H. Izumi // Intern. J. Math. - 1997.

- V.8. - №8. - pp. 1029-1066.

69. Izumi, H. Natural bilinear forms, natural sesquilinear forms and the associated duality on non-commutative ^-spaces / H. Izumi // Intern. J. Math. - 1998.

- V.9. - №8. - pp. 975-1039.

70. Kastler, D. Invariant states in statistical mechanics / D. Kastler, D.W. Robinson // Commun. Math. Phys. - 1966. - V.3. - №3. - p. 151-180.

71. Kato, T. Perturbation Theory for Linear Operators / T. Kato // Berlin, Springer-Verlag, 1980, 623 p.

72. Kosaki, H. Canonical LP-spaces associated with an arbitrary abstract von Neumann algebra, Ph.D. thesis, University of California, Los Angeles, 1980, 89 p.

73. Kosaki, H. Applications of the complex interpolation method to a von Neumann algebra: non-commutative LP-spaces / H. Kosaki //J. Funct. Anal. - 1984. -V.56. - №1. - p. 29-78.

74. Kostecki, R.P. W*-algebras and Noncommutative Integration / R.P. Kostecki // 2013. - https://arxiv.org/abs/13074818

75. Kunze, R. Fourier transforms on locally compact unimodular groups / R. Kunze // Trans. Amer. Math. Soc. - 1958. - V.89. - №2. - p. 519-540.

76. Leinert, M. Integration with respect to a weight / M. Leinert // Intern. J. Math. - 1991. - V.2. - №2. - pp. 177-182.

77. Majewski, A.W. On quantum LP-space technique / A.W. Majewski, B. Zegarlinski // Acta Phys. Polon. B - 1996. - V.27. - №3. - p. 653-661.

78. Masuda, T. L^-spaces for von Neumann algebra with reference to a faithful normal semifinite weight / T. Masuda // Publ. Res. Inst. Math. Sci. Kyoto Univ. - 1983. - V.19. - №2. - p. 673-727.

79. Murray, F.J. On rings of operators / F.J. Murray, J. von Neumann // Ann. Math. - 1936. - V.37. - №1. - p. 116-229.

80. Murray, F.J. On rings of operators II / F.J. Murray, J. von Neumann // Trans. Amer. Math. Soc. - 1937. - V.41. - №2. - p. 208-248.

81. Murray, F.J. On rings of operators IV / F.J. Murray, J. von Neumann // Ann. Math. - 1943. - V.44. - №4. - p. 716-808.

82. Nelson, E. Notes on non-commutative integration / E. Nelson //J. Funct. Anal. - 1974. - V.15. - №2. - p. 103-116.

83. Ogasawara, T. A non-commutative theory of integration for operators / T. Ogasawara, K. Yoshinaga //J. Sci. Hiroshima Univ. - 1955. - V.18. - №3. -p.311-347.

84. Ogasawara, T. Extension of ^-application to unbounded operators / T. Ogasawara, K. Yoshinaga //J. Sci. Hiroshima Univ. - 1955. - V.19. - №2. - p. 273-299.

85. Pedersen, G. K. C*-algebras and their automorphism groups / G.K. Pedersen // London/NY.: Math. Soc. Academic Press, Monographs, 1979, 416 p.

86. Pedersen, G.K. Measure theory for C*-algebras / G.K. Pedersen // Math. Scand. - 1966. - V.19. - p. 131-145.

87. Pedersen, G.K. Measure theory for C*-algebras II / G.K. Pedersen // Math. Scand. - 1968. - V.22. - p. 63-74.

88. Pedersen, G.K. Measure theory for C*-algebras III / G.K. Pedersen // Math. Scand. - 1969. - V.25. - p. 71-93.

89. Pedersen, G.K. Measure theory for C*-algebras IV / G.K. Pedersen // Math. Scand. - 1969. - V.25. - p. 121-127.

90. Pedersen, G.K. The Radon-Nikodym theorem for von Neumann algebras / G.K. Pedersen, M. Takesaki // Acta. Math. - 1973. - V.130. - №1-2. - p.53-87.

91. Pedersen, G. Traces on Jordan algebras / G. Pedersen, E. St0rmer // Canad. J. Math. - 1982. - V.34. - №2. - p. 370-373.

92. Petz, D. Characterizations of the trace / D. Petz, J. Zamanek // Lin. Alg. and its App. - 1988. - V.111. - p.43-52.

93. Randrianantoanina, N. Embeddings of non-commutative Lp-spaces into preduals of finite von Neumann algebras / N. Randrianantoanina // Israel J. Math. - 2008. - V.163. - p. 1-27.

94. Ruelle, D. States of physical systems / D. Ruelle // Commun. Math. Phys. -1966. - V.3. - №2. - p. 133-150.

95. Ruelle, D. Integral representation of states on a C*-algebra / D. Ruelle //J. Funct. Anal. - 1970. - V.6. - №1. - p. 116-151.

96. Russo, B. A note on unitary operators in C*-algebras / B. Russo, H.A. Dye // Duke Math. J. - 1966. - V.33. - №2. - p. 413-416.

97. Sakai, S. A characterization of W*-algebras / S. Sakai // Pacific J. Math. -1956. - V.6. - №4. - p. 763-773.

98. Sakai, S. C*-algebras and W*-algebras / S. Sakai // Springer, Berlin, 1971, 259 p.

99. Sano, T. Characterizations of the tracial property via inequalities / T. Sano, T. Yatsu //J. Inequal. Pure Appl. Math. - 2006. - V.7. - №1. - article 36.

100. Segal, I.E. Irreducible representations of operator algebras / I.E. Segal // Bull. Amer. Math. Soc. - 1947. - V.53. - №2. - p. 73-88.

101. Segal, I.E. A non-commutative extension of abstract integration / I.E. Segal // Ann. Math. - 1953. - V.57. - №3. - 401-457.

102. Segal, I.E. Algebraic integration theory / I.E. Segal // Bull. Amer. Math. Soc.

- 1965. - V.71. - №3. - p. 419-489.

103. Schatten, R. The cross-space of linear transformations / R. Schatten // Ann. Math. - 1946. - V.47. - №1. - p. 73-84.

104. Schatten, R. The cross-space of linear transformations II / R. Schatten, J. von Neumann // Ann. Math. - 1946. - V.47. - №3. - p. 608-630.

105. Schatten, R. The cross-space of linear transformations III / R. Schatten, J. von Neumann // Ann. Math. - 1948. - V.49. - №3. - p. 557-582.

106. Schaefer, H.H. Topological Vector Spaces / H.H. Shaefer // Berlin, SpringlerVerlag, 1986, 305 p.

107. Stinespring, W.F. Integration theorems for gages and duality for unimodular groups / W.F. Stinespring // Trans. Amer. Math. Soc. - 1959. - V.90. - №1.

- p. 15-56.

108. Takesaki, M. Tomita's theory of modular Hilbert algebras and its applications / M. Takesaki // Lecture Notes in Mathematics. - 1970. - V.128. - p. 1-123.

109. Takesaki, M. Duality for crossed products and the structure of von Neumann algebras of type III / M. Takesaki // Acta Math. - 1973. - V.131. - №1. - p. 249-310.

110. Takesaki, M. Theory of Operator Algebras, Vol.1-3 / M. Takesaki // Springer, Berlin, 2003, 1481 p.

111. Terp, M. LP-spaces associated with von Neumann algebras / M. Terp // K0benhavns Univ. Math. Inst. Rapp. № 3a+3b, 1981, 100 p.

112. Terp, M. Interpolation spaces between von Neumann algebra and its predual / M. Terp //J. Oper. Theor. - 1982. - V.8. - №2. - p. 327-360.

113. Tikhonov, O.E. Subadditivity inequalities in von Neumann algebras and characterization of tracial functionals / O.E. Tikhonov // Positivity - 2005. -V.9. - №2. - p.259-264.

114. Tomita, M. On rings of operators in non-separable Hilbert spaces / M. Tomita // Mem. Fac. Sci. Kyushu Univ. Ser. A. - 1953. - V.7. - №2. - p.129-168.

115. Tomita, M. Harmonic analysis on locally compact groups / M. Tomita // Math. J. Okayama Univ. - 1956. - V.5. - №2. - p. 133-193.

116. Virosztek, D. A class of characterizations of central elements in C*-algebras / D. Virozstek // 2016. - http://arxiv.org/abs/1608.05409

117. von Neumann, J. On rings of operators III / J. von Neumann // Ann. Math. - 1940. - V.41. - №1. - p. 94-161.

118. von Neumann, J. Some matrix-inequalities and metrization of matrix-spaces / J. von Neumann // Tomsk Univ. Rev. - 1937. - V.1. - p. 286-300.

119. Yamagami, S. Algebraic aspects in modular theory / S. Yamagami // Publ. Res. Inst. Math. Sci. Kyoto Univ. - 1992. - V.28. - №6. - p. 1075-1106.

120. Yeadon, F.J. Convergence of measurable operators / F.J. Yeadon // Math. Proc. Cambridge Phil. Soc. - 1973. - V.74. - №2. - pp. 257-268.

121. Yeadon, F.J. Non-commutative LP-spaces / F.J. Yeadon // Math. Proc. Cambridge Phil. Soc. - 1975. - V.77. - №1. - p. 91-102.

122. Yeadon, F.J. Isometries of non-commutative L spaces / F.J. Yeadon // Math. Proc. Cambridge Phil. Soc. - 1981. - V.90. - №1. - p. 41-50.