Регуляризация высшими производными и квантовые поправки в суперсимметричных теориях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Шевцова, Екатерина Сергеевна

• Шевцова, Екатерина Сергеевна
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Шевцова, Екатерина Сергеевна

Введение

1 N = 1 суперсимметричные теории

1.1 Построение суперсимметрично инвариантных теорий

1.2 N = 1 суперсимметричные теории Янга-Миллса.

1.3 Метод фонового поля.

1.4 Ренормгрупповые функции.

2 Регуляризация и квантование суперсимметричных теорий

2.1 Регуляризация высшими ковариантными производными и квантование.

2.2 Правила Фейнмана.

3 Вычисление двухпетлевой /^-функции при использовании регуляризации высшими производными

3.1 Метод вычисления.

3.2 Однопетлевые диаграммы, регуляризованные высшими производными

3.3 Двухпетлевые диаграммы, регуляризованные высшими производными

3.4 Упрощенный вариант регуляризации высшими ковариантными производными.

4 Исследование (5- функции с помощью эффективных диаграмм

4.1 Уравнения Швингера-Дайсона.

4.2 Тождества Уорда.

4.3 Гипотеза о существовании нового тождества и его эквивалентная формулировка

4.4 Ограничения на трех- и четырехточечные функции Грина калибровочного поля.

А Диаграммы Фейнмана в N = 1 суперсимметричной теории Янга-Миллса

В Упрощенный вариант регуляризации высшими ковариант-ными производными

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Регуляризация высшими производными и квантовые поправки в суперсимметричных теориях»

В квантовой теории поля можно построить модели, инвариантные относительно преобразований симметрии, смешивающих между собой бозонные и фермионные поля. Такие преобразования называются преобразованиями суперсимметрии. Алгебра суперсимметрии образуется фермионными операторами суперзаряда (а = 1,2., Л/") и генераторами группы Пуанкаре. При наличии нескольких наборов фермионных генераторов (./V > 1), принято говорить о расширенной суперсимметрии.

Суперсимметрия [1, 2, 3, 4, 5, 6] безусловно является одним из наиболее выдающихся достижений физики высоких энергий. После ее открытия [7, 8] оказалось, что, благодаря теоремам о неперенормировке, поведение суперсимметричных теорий в пределе больших импульсов существенно улучшается. К примеру, оказалось, что в теории Янга-Миллса с N — 4 суперсимметрией расходимости вообще отсутствуют [9, 10, 11, 12, 13, 14], а в теориях с N = 2 суперсимметрией расходимости имеются только в од-нопетлевом приближении [11, 15]. Даже в теории Янга-Миллса с N = 1 суперсимметрией существенно улучшается ультрафиолетовое поведение по сравнению с несуперсимметричным случаем. А именно, исчезают квадратичные расходимости. Кроме того, в таких теориях, в соответствии с теоремой о неперенормировке, нет квантовых поправок к суперпотенциалу [16, 17, 18, 19, 20, 21]. Поэтому такие модели оказываются весьма привлекательными с точки зрения физики высоких энергий.

По аналогии с калибровочной теорией взаимодействия элементарных частиц (Стандартной моделью Вайнберга - Салама - Глэшоу [22, 23, 24, 25]) представляется возможным построить ее суперсимметричное обобщение -Минимальную Суперсимметричную Стандартную модель (МССМ) [26, 27]. При этом суперсимметричные модели для описания физики частиц дают интересные предсказания в области низких энергий. Так, они предсказывают существование суперсимметричных партнеров всех известных частиц: каждому известному бозону (фермиону) должен соответствовать фермион (бозон).

Поскольку суперсимметрия приводит к равенству масс суперпартнеров, что явно противоречит экспериментам, то естественно предположить, что суперсимметрия должна быть спонтанно нарушена. Однако, частицы-суперпартнеры до сих пор не обнаружены. Наиболее вероятной причиной этого считается большая разница в массах частиц Стандартной модели и их суперпартнеров. Предположительно, при нарушении суперсимметрии массы суперпартнеров оказываются очень большими и выходят за пределы современных экспериментальных возможностей.

Если суперсимметрия действительно существует в природе, обнаружение легчайших суперпартнеров возможно в ближайшее десятилетие на Большом Адроном Коллайдере (ЬНС) в ЦЕРНе.

Тем не менее, в настоящее время существуют косвенные экспериментальные указания на существование суперсимметрии в Стандартной модели [27, 28, 29]. Дело в том, что в соответствии с современными представлениями Стандартная модель является низкоэнергетическим пределом некоторой так называемой теории Великого объединения [30, 31, 32, 33], характеризующейся единой константой связи. Следовательно, константы фундаментальных взаимодействий (электро-слабого и сильного) должны оказаться равными друг другу при определенной энергии. Это свойство не справедливо в Стандартной модели, но с достаточно хорошей точностью выполняется в Минимальной Суперсимметричной Стандартной модели [34, 35, 36, 37, 38]. Экстраполяция констант связи в область высоких энергий позволяет с существующей сейчас точностью найти точку их объединения на масштабе М ~ Ю16 ГэВ.

В настоящее время это открытие является наиболее интересным косвенным экспериментальным указанием на существование суперсимметрии в Стандартной модели. При этом оказалось, что только при наличии суперсимметрии в Стандартной модели реализуется равенство констант связи на некотором масштабе энергий, которое должно вытекать из теории Великого объединения [39, 40, 41, 42, 43]. Таким образом, основанные на принципе суперсимметрии новые модели физики высоких энергий открывают дополнительные пути поиска единых теорий поля, включающих все взаимодействия.

Еще одно косвенное доказательство существования суперсимметрии в Стандартной модели дает вычисление времени жизни протона (а также связанного нейтрона). Согласно вычислениям, выполненным для несупер-симметричной Стандартной модели, должен наблюдаться распад протона, что явно противоречит эксперименту. В теориях суперсимметричного Великого объединения подобные распады сильно подавлены, так как амплитуда процессов обратно пропорциональна квадрату массы соответствующего калибровочного бозона или же квадрату масштаба объединения. Поэтому время жизни протона, обратное вероятности распада, будет пропорционально четвертой степени масштаба объединения (т ~ ~ Ю35 лет), что оказывается намного большим времени жизни Вселенной. При этом суперсимметрия дает увеличение т на пять порядков, что делает его измерение невозможным рамках современных экспериментальных возможностей [27, 28].

Возможно, с вопросом обнаружения суперпартнеров известных частиц связана проблема темной материи, существование которой недавно было доказано исходя из астрономических наблюдений [44, 45, 46]. Дело в том, что в некоторых суперсимметричных теориях, в частности, в Минимальной Суперсимметричной Стандартной модели, легчайший суперпартнер является стабильным и, поэтому он может быть неплохим кандидатом на роль вещества, образующего темную материю. В Минимальной Суперсимметричной Стандартной модели стабильность легчайшего суперпартнера является следствием некоторой особой симметрии действия - так называемой Л-четности. Однако, в действие можно добавить и слагаемые, нарушающие /¿-четность. В этом случае легчайший суперпартнер уже не будет стабильной частицей.

Наконец, косвенным подтверждением существования суперсимметрии в Стандартной модели стало решение проблемы квадратичной расходимости массы хиггсовского бозона и, тем самым, проблемы ее точной подстройки. Дело в том, что существуют квадратичные по импульсу квантовые поправки к массе хиггсовского бозона, благодаря которым на масштабе Великого объединения эта масса также оказывается порядка масштаба Великого объединения. Суперсимметрия дает естественное решение проблемы точной подстройки: квадратичные расходимости в массе хиггсовского бозона заменяются на логарифмические. Поиски прямых доказательств существования суперсимметрии продолжаются.

Вместе все эти теоретические предпосылки и успешные предсказания составляют мощное косвенное указание на существование суперсимметрии в Стандартной модели. Таким образом, по современным представлениям, физика при энергиях порядка 1 ТэВ, по-видимому, описывается с помощью Минимальной Суперсимметричной Стандартной модели.

В связи с этим особенную актуальность приобретают исследования квантовых поправок в суперсимметричных теориях, которые ведутся на протяжении долгого времени. Следует отметить, что динамика суперсимметричных теорий безусловно, заслуживает внимания и оказывается весьма нетривиальной. Отметим, например, такие важные результаты в этой области, как суммирование ряда инстантонных поправок в N = 2 суперсимметричной теории Янга-Миллса [47] или обнаружение связи N = 4 суперсимметричной теории Янга-Миллса с теорией струн, компактифицированной на многообразие х 55, получившей название АсШ/СРТ-соответствия

48, 49].

Многие работы были посвящены и обычным многопетлевым вычислениям /^-функции. Например в работах [50, 51, 52, 53] она вычислялась для теорий с нерасширенной суперсимметрией. При этом в N = 1 суперсимметричных теориях расходимости присутствуют во всех порядках теории возмущений. Тем не менее, оказывается возможным построить точную /^-функцию [54, 55, 56, 57]. Эта /^-функция получила название точной ^-функции Новикова, Шифмана, Вайнштейна и Захарова (НШВЗ) и имеет вид а2[ЗС2-Г(Д)(1-7 (а))]

--ЩГГс^Щ-' (1) где 7(а) - аномальная размерность суперполя материи, находящегося в некотором представлении Я, а величины Т(Я) и определяются как

1г (ТАТВ)=Т{К)6ЛВ, (2)

АС1)/ВСП = С25ЛВ, где /АБС - структурные константы калибровочной группы. Вопрос о получении такой /^-функции методами теории возмущений оказывается весьма нетривиальным. Многочисленные проверки с помощью явных вычислений с использованием размерной редукции вплоть до четырехпетлевого приближения были выполнены в работах [50, 51, 52]. При этом вычислялась ¡3функция в схеме минимальных вычитаний (МБ-схеме). Основной результат, полученный в этих работах, заключается в том, что если подстроить схему вычитаний некоторым специальным образом, то можно получить точную НШВЗ /3-функцию. Однако, вопрос о том, как строить такую схему, остается неясным.

Заметим, что при вычислениях в суперсимметричных теориях в низших порядках теории возмущений также использовались и другие регуляризации. Например, в работе [58] двухпетлевая /^-функция N = 1 суперсимметричной теории Янга-Миллса была вычислена с помощью дифференциальной перенормировки [59]. Вычисление, проведенное в работе [60], показало, что трехпетлевая /^-функция N = 1 суперсимметричной электродинамики согласуется с точной НШВЗ /^-функцией в случае, если для регуляризации используется метод высших производных.

Вообще говоря, вопрос о регуляризации в суперсимметричных теориях не является тривиальным [61]. Действительно, размерная регуляризация [62] явно нарушает суперсимметрию и, следовательно, не корректна для исследования суперсимметричных теорий. Большая часть вычислений была сделана с помощью размерной редукции [63], которая является модификацией размерной регуляризации. Размерная редукция явно не нарушает суперсимметрию, однако, является внутренне противоречивой [64], поэтому ее применение может повлечь за собой появление различных артефактов. Регуляризация с помощью высших ковариантных производных [65] является непротиворечивой и не нарушающей суперсимметрию. Но ее использование связано со значительными техническими трудностями. Поэтому такая регуляризация до недавнего времени использовалась крайне редко. При однопетлевых вычислениях для несуперсимметричной теории Янга-Миллса [66], с учетом замечаний, сделанных в последующих работах [67, 68], результат вычисления совпал с обычным выражением [69, 70] для /^-функции в однопетлевом приближении (хотя в исходной работе [66] утверждалось обратное). В принципе, можно доказать [71], что в однопет-левом приближении результат вычислений с помощью высших производных всегда согласуется с результатом вычислений в размерной регуляризации (редукции). При использовании одного из вариантов регуляризации высшими ковариантными производными ряд вычислений в одно- и двух-петлевом приближениях для различных теорий был также выполнен в работах [72, 73, 74, 75].

Целью диссертации является исследование квантовых поправок в наиболее общей перенормируемой N = 1 суперсимметричной теории при использовании регуляризации высшими ковариантными производными в двухпет-левом приближении и анализ их структуры. Эта теория похожа на Минимальную Суперсимметричную Стандартную модель, так как в ней есть кубичное взаимодействие, но отличается отсутствием членов, мягко нарушающих суперсимметрию. Здесь мы их не рассматриваем.

Диссертация состоит из введения, четырех основных глав, двух приложений, заключения и списка используемой литературы.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Шевцова, Екатерина Сергеевна

Заключение

Сформулируем основные результаты, полученные в диссертации.

• В наиболее общей перенормируемой N = 1 суперсимметричной теории Янга-Миллса впервые применен метод вычисления квантовых поправок с использованием регуляризации высшими ковариантными производными, который является непротиворечивым и не нарушает суперсимметрию.

• Проведенное в диссертации исследование применения регуляризации высшими производными для вычисления квантовых поправок в наиболее общей перенормируемой N = 1 суперсимметричной теории Янга-Миллса позволяет выявить закономерность, что все интегралы, которые определяют /3-функцию, оказываются интегралами от полных производных и могут быть легко вычислены.

• С помощью регуляризации высшими ковариантными производными и формализма фонового поля вычислена двухпетлевая /^-функция в наиболее общей перенормируемой N = 1 суперсимметричной теории Янга-Миллса.

• Для N = 1 суперсимметричной электродинамики показано, что точная /^-функция Новикова, Шифмана, Вайнштейна и Захарова совпадает с /^-функцией, вычисленной при использовании регуляризации высшими производными, только если справедливо соотношение, которое связывает между собой трех- и четырехточечные функции Грина. Это соотношение сформулировано на языке эффективных диаграмм Фейнмана.

Работа была выполнена на кафедре теоретической физики Московского Государственного Университета имени М.В. Ломоносова.

Я глубоко признательна моему научному руководителю Пронину П.И. и доценту Степаньянцу К.В. (кафедра теоретической физики физического факультета МГУ) за постоянное внимание и помощь при выполнении данной работы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Шевцова, Екатерина Сергеевна, 2011 год

1. Уэст Я., Введение в суперсимметрию и супергравитацию. // М.: Мир. - 1989. - 328 с.

2. Buchbinder I.L., Kuzenko S.M., Ideas and Methods of Supersymmetry and Supergravity. // CRC Press. 1998. - 656 p.

3. Gates J., Grisaru M., Rocek M., Siegel W., Superspace or one thousand and one lessons in supersymmetry. // Front.Phys. 1983 - 58. - p. 1 -548.

4. Weinberg S., The quantum theory of fields, v.III. Supersymmetry. // Cambridge university press. 2000. - 419 p.

5. Lopuszanski J., An introduction to symmetry and supersymmetry in quantum field theory. // World Scientific Publishing. 1991. - 373 p.

6. Бесс Ю., Беггер Дж., Суперсимметрия и супергравитация. // М.: Мир. 1986. - 181 с.

7. Акулов В.П., Волков Д.В., О возможном универсальном взаимодействии нейтрино. // Письма в ЖЭТФ. 1972. - 16. - 11. - с. 621 -624.

8. Голъфанд Ю.А., Лихтман Е.П., Расширение алгебры генераторов группы Пуанкаре и нарушение Р-инвариантности. // Письма в ЖЭТФ. 1971. - 13. - с. 452 - 455.

9. Sohnius М., Stelle K.S., West Р.С., Off Mass Shell Formulation Of Extended Supersymmetric Gauge Theories. // Phys.Lett. В 1980. -92. - p. 123 - 127.

10. Sohnius M., West P., Conformal Invariance in N = 4 Supersymmetric Yang-Mills Theory. // Phys.Lett. В 1981. - 100. - p. 245 - 256

11. Grisaru M., Siegel W., Supergraphity. 2. Manifestly Covariant Rules and Higher Loop Finiteness. // Nucl.Phys. В 1982. - 201. - p. 292 - 325.

12. Howe P., Stelle K., Townsend P., Miraculous ultraviolet cancellations in supersymmetry made manifest. // Nucl.Phys. В 1984. - 236. - p. 125 - 146

13. Brink L., Lindgren O., Nilsson В., N = 4 Yang-Mills theory on the light cone. // Nucl.Phys. В 1983. - 212. - p. 401 - 412.

14. Brink L., Lindgren O., Nilsson В., The ultra-violet finiteness of the N = 4 Yang-Mills theory. // Phys.Lett. В 1983. - 123. - p. 323 - 328.

15. Howe P., Stelle K., West P., A Class of Finite Four-Dimensional Supersymmetric Field Theories. // Phys.Lett. В 1983. - 124. - p. 55 -67.

16. Wess J., Zumino В., A Lagrangian model invariant under supergauge transformations. 11 Phys.Lett. В 1974. - 49. - p. 52 - 54.

17. Iliopoulos J., Zumino B., Broken Supergauge Symmetry and Renormalization. Nucl.Phys. B - 1974. - B76. - p. 310 - 342.

18. Ferrara SIliopoulos J., Zumino B., Supergauge Invariance and the Gell-Mann-Low Eigenvalue. Nucl.Phys. B - 1947. - 77. - p. 413 - 422.

19. Capper D.M., Feynman graphs for superfields. // Nuovo Cim. A 1975. - 25. - p. 259 - 272.

20. Delbourgo R., Superfield perturbation theory and renormalization. // Nuovo Cim. A 1975. - 25. - p. 646 - 656.

21. Grisaru M., Rocek M., Siegel W., Improved methods for supergraphs. // Nucl.Phys. B 1979 - 159 - p. 429 - 450.

22. Glashow S.L., Partial Symmetries of Weak Interactions. // Nucl.Phys. -1961. 22. - p. 579 - 588.

23. Salam A., In: Elementary Particle Theory, ed. Svartholm N., Almquist and Wiksells, Stockholm. 1968. - p. 367 - 377.

24. Weinberg S., A Model of Leptons. // Phys.Rev.Lett. 1967. - 19. - p. 1264 - 1266.

25. Glashow S.L., Iliopoulos JMaiani L., Weak Interactions with Lepton-Hadron Symmetry. // Phys.Rev. D 1970. - 2. - p. 1285 - 1292.

26. Nilles H., Supersymmetry, supergravity, and particle physics. // Phys.Rep. 1984. - 110. - p. 1 - 162.

27. Mohapatra R.N., Unification and supersymmetry: the frontiers of quark-lepton physics. // Springer. Third edition 2003. - 421 p.

28. Емельянов B.M., Стандартная модель и ее расширения. // М.: Физ-матлит. 2007. - 584 с.

29. Siegel W., Fields. // hep-th 9912205.

30. Georgi H., Glashow S.L., Unity of All Elementary-Particle Forces. // Phys.Rev.Lett. 1974. - 32. - p. 138 - 141.

31. Pati J.C., Salam A., Unified Lepton-Hadron Symmetry and a Gauge Theory of the Basic Interactions. // Phys.Rev. D 1973. - 8. - p. 1240 -1251.

32. Georgi In: Particles and fields. 1974 (ed. Carlson) NY: American Institute of Physics - 1974.

33. Gursey F., Ramond P., A Universal Gauge Theory Model Based on E6. 11 Phys. Lett. В 1976. - 60. - 2. - p. 177 - 180.

34. Amaldi U., de Boer W., Furstenau H., Comparison of grand unified theories with electroweak and strong coupling constants measured at LEP. 11 Phys.Lett. В 1991. - 260. - p. 447 - 455.

35. Ellis J., Olive K., An Effective Lagrangian approach to the quark / hadron phase boundary. // Phys.Lett. В 1991. - 260. - p. 171 - 178.

36. Langacker P., Luo M., Implications of precision electroweak experiments for Mf, po, sin2©jy and grand unification. // Phys.Rev. D 1991. - 44. - p. 817 - 822.

37. Langacker P., Polonsky N., The Bottom mass prediction in supersymmetric grand unification: Uncertainties and constraints. // Phys.Rev. D 1993. - 49. - p. 1454 - 1467.

38. Carena M., Pokorski S., Wagner C.E.M., On the unification of couplings in the minimal supersymmetric Standard Model. // Nucl.Phys. B 1993.- 406. p. 59 - 89.

39. Dimopoulos S., Raby S., Wilczek F., Supersymmetry and the Scale of Unification. // 1981. Phys.Rev. D - 1981. - 24. - p. 1681 - 1683.

40. Dimopoulos S., Georgi H., Softly Broken Supersymmetry and SU(5). // Nucl.Phys. B 1981. - 193. - p. 150 - 175.

41. Ibanez L., Ross G.G., Low-Energy Predictions in Supersymmetric Grand Unified Theories. // Phys.Lett. B 1981. - 105. - p. 439 - 450.

42. Einhorn M.B., Jones D.R.T., Scale Fixing By Dimensional Transmutation: Supersymmetric Unified Models And The Renormalization Group. // Nucl.Phys. B 1982. - 211. - p. 29 -75.

43. Caswell W.E., Milutinovic J., Senjanovic G., Predictions Of Left-Right Symmetric Grand Unified Theories. // Phys.Rev. D 1982. - 26. - p. 161- 195.

44. Perlmutter S. et al., The acceleration of the universe: Measurements of cosmological parameters from type la Supernovae. // Phys.Scripta. 2000.- T85 p. 47 - 58.

45. Riess A. et al, Observational evidence from Supernovae for an accelerating universe and a cosmological constant. // Astron.J 1998.- 516. p. 1009 - 1038.

46. Riess A. et al, The farthest known supernova: support for an accelerating universe and a glimpse of the epoch of deceleration. // Astrophys.J 2001.- 560. p. 49 - 71.

47. Seiberg N., Witten E., Electric magnetic duality, monopole condensation, and confinement in N=2 supersymmetric Yang-Mills theory. 11 Nucl.Phys. B - 1994. - 426. - p. 19 - 52.

48. Maldacena J.M., The large N limit of superconformal field theories and supergravity. // Adv.Theor.Math.Phys. 1998. - 2. - p. 231 - 252.

49. Aharony O., Gubser S.S., Maldasena J.M., Ooguri H., and Oz Y., Large N field theories, string theory and gravity. // Phys.Reports. 2000. -323. - p. 183 - 386.

50. Avdeev L.V. and Tarasov O.V., The three-loop beta-function in the N = 1,2,4 supersymmetric Yang-Mills theories. // Phys. Lett. B -1982. 112. - p. 356 - 358.

51. Jack I., Jones D.R. T., North C.G., N = 1 supersymmetry and the three-loop anomalous dimension for the chiral superfield. // Nucl. Phys. B -1996. 473. - p. 308 - 322.

52. Jack I., Jones D.R.T. and North C.G., N = 1 supersymmetry and the three-loop gauge /^-function. // Phys. Lett. B 1996. - 386. - p. 138 -140.

53. Jack I., Jones D.R. T. and North G. G., Scheme dependence and the NSVZfunction. // Nucl. Phys. B 1997. - 486. - p. 479 - 499.

54. Novikov V., Shifman M., Vainshtein A. and Zakharov V, The beta function in supersymmetric gauge theories. Instantons versus traditional approach. // Nucl. Phys. B 1983. - 229. - p. 381 - 386.

55. Novikov V., Shifman M., Vainshtein A. and Zakharov V, The beta function in supersymmetric gauge theories. Instantons versus traditional approach. // Phys. Lett. B 1986. - 166. - p. 329 - 333.

56. Shifman M., Vainshtein A., The beta function in supersymmetric gauge theories. Instantons versus traditional approach. // Nucl. Phys. B 1986. - 227. - p. 456 - 461.

57. Shifman M.A., Vainshtein A.I. and Zakharov V.I., An exact relation for the Gell-Mann-Low function in supersymmetric electrodynamics. // Phys. Lett. B 1986. - 166. - p. 334 - 336.

58. Mas J., Perez-Victoria M., Seijas C., The beta function of N = 1 SYM in differetial renormalization. // JHEP 2002. - 0203. - p. 49 - 69.

59. Freedman D.Z., Johnson K., Latorre J.I., Differential regularization and renormalization: A New method of calculation in quantum field theory. 11 Nucl.Phys. B 1992. - 371. - p. 353 - 414.

60. Soloshenko A.A. and Stepanyantz K.V., Three-loop /^-function for N = 1 supersymmetric electrodynamics, regularized by higher derivatives. // hep-th 0304083.

61. Jack I., Jones D.R.T., Régularisation of supersymmetric theories. // e-Print: hep-ph 9707278 1997. - 19 p.62. t'Hooft G., Veltman M., Regularization and renormalization of gauge fields. // Nucl.Phys. B 1972. - 44. - p. 189 - 213.

62. Siegel W., Supersymmetric dimensional regularization via dimensional reduction. // Phys.Lett. B 1979. - 84. - p. 193 - 196.

63. Siegel W., Inconsistency of supersymmetric dimensional regularization. // Phys.Lett. B 1980. - 94. - p. 37 - 40.

64. Slavnov A.A., Invariant regularization of nonlinear chiral theories. // Nucl.Phys. B 1971. - 31. - p. 301 - 315.

65. Martin C., Ruiz Ruiz F., Higher covariant derivative Pauli-Villars regularization does not lead to a consistent QCD. // Nucl.Phys. B -1995. 436. - p. 545 - 581.

66. Asorey M., Falceto F., On the consistency of the regularization of gauge theories by high covariant derivaties. // Phys. Rev. D 1996. - 54. - p. 5290 - 5301.

67. Bakeyev T.D., Slavnov A.A., Higher covariant derivative regularization revisited. // Mod.Phys.Lett. A 1996. - 11. - p. 1539 - 1554.

68. Gross D.J., Wilczek F., Ultraviolet Behavior of Nonabelian Gauge Theories. // Phys.Rev.Lett. 1973. - 30. - p. 1343 - 1346.

69. Politzer H.D., Reliable Perturbative Results for Strong Interactions? // Phys.Rev.Lett. 1973. - 30. - p. 1346 - 1349.

70. Pronin P.I., Stepanyantz K.V., One-loop counterterms for higher derivative regularized Lagrangians. // Phys.Lett. B 1997. - 414. - p. 117-122.

71. Arnone S., Morris T.R., Rosten O.J., Manifestly gauge invariant QED. 11 JHEP. 2005. - 0510. - p. 115 - 147.

72. Morris T.R., Rosten O.J., Manifestly gauge invariant QCD. //J. Phys. A 2006. - 39. - p. 11657 - 11681.

73. Arnone S., Gatti A., Morris T.R., Rosten O.J., Exact scheme independence at two loops. // Phys.Rev. D 2004. - 69. - p. 0650091 - 065009-13.

74. Morris T.R., Rosten O.J., Manifestly gauge invariant, continuum calculation of the SU(N) Yang-Mills two-loop /3-function. // Phys.Rev. D 2006. - 73. - p. 065003-1 - 065003-33.

75. Sohnius M.F., Introducing supersymmetry. // Phys.Rep. 1985. - 128. - p. 39 - 204.

76. Grisaru MSiegel W., Supergraphity. 2. Manifestly Covariant Rules and Higher Loop Finiteness. // Nucl.Phys. 1982. - B201. - p. 292 - 325.

77. Tyutin I. V., Gauge Invariance In Field Theory And Statistical Physics In Operator Formalism. // Lebedev-75 (preprint). 1975. - 39. - p. 62 - 84.

78. Becchi C., Rouet A., Stora R., Renormalization of gauge theories. // Annals. Phys. 1976. - 98. - p. 287 - 321.

79. Becchi C., Rouet A., Stora R., Renormalization of the abelian Higgs-Kibble model. // Commun. Math. Phys. 1975. - 42. - p. 127 - 162.

80. Солошенко А.А., Степаньянц К.В., Трехпетлевая /^-функция N = 1 суперсимметричной электродинамики, регуляризованной высшими производными. // ТМФ 2004. - 140. - с. 437 - 459.

81. Степаньянц К.В., Исследование проблемы аномалий в N = 1 суперсимметричной электродинамике. // ТМФ 2005. - 142. - с. 37 -57.

82. Степаньянц К.В., Вклад полей материи в функцию Гелл-Манна-Лоу для N = 1 суперсимметричной теории Янга-Миллса. // ТМФ 2007.- 150. с. 442 - 460.

83. Smilga A., Vainshtein A., Background field calculations and nonrenormalization theorems in 4D supersimmetric gauge theories and their low-dimensional descendants. // Nucl.Phys. В 2005. - 704. -p. 445 - 474.

84. Townsend P.K. and van Nieuwenhuizen P., Dimensional regularization and supersymmetry at the two loop level. // Phys. Rev. D 1979. - 20.- p. 1832 1838.

85. Nicolai H. and Townsend P.K., Anomalies and supersymmetric regularization by dimensional réduction. // Phys. Lett. В 1980. - 93. -p. 111 - 115.

86. Sîavnov A.A., Invariant regularization of nonlinear chiral theories. // Nucl.Phys. В 1971. - 31. - p. 301 - 315.

87. Кривощеков В.К., Инвариантная регуляризация для суперсимметричных калибровочных теорий. // ТМФ 1978. - 36. - с. 291 - 302.

88. West P., Higher derivative régulation of supersymmetric theories // Nucl.Phys. В 1986. - 268. - p. 113 - 124.

89. Славное A.A., Инвариантная регуляризация в калибровочных теориях. // ТМФ 1972. - 13. - с. 174 - 177.

90. Боголюбов Н.Н., Ширков Д.В., Ведение в теорию квантованных полей. // М.: Наука. 1973. - 416 с.

91. Коллинз Дж., Перенормировка. // Новокузнецк.: Новокузнецкий физико-математический институт. 2000. - 446 с.

92. Хуанг К., Кварки, лептоны и калибровочные поля. // М.: Мир. 1985.- 383 с.

93. Ициксон К., Зюбер Ж.-Б., Квантовая теория поля. т. 1. // М.: Мир.- 1984. 448 с.

94. Ициксон К., Зюбер Ж.-Б., Квантовая теория поля. т. 2. // М.: Мир.- 1984. 400 с.

95. Райдер JI., Квантовая теория поля. // М.: Мир. 1987. - 511 с.

96. Пескин М., Шредер Д., Введение в квантовую теорию поля. // Ижевск НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика». - 2001. - 784 с.

97. Славное А.А., Фаддеев Л.Д., Введение в квантовую теорию калибровочных полей. // М.: Наука. 1988. - 272 с.

98. Faddeev L.D., Popov V.N., Feynman diagrams for the Yang-Mills theory. // Phys.Lett. В 1967. - 25. - p. 29 - 30.

99. Abbott L.F., The background field method beyond one loop. // Nucl.Phys. В 185. - 1981. - p. 189 - 203.

100. Salam A. and Strathdee J., On superfields and Fermi-Bose symmetry. // Phys.Rev. D 1975. - 11. - p. 1521 - 1535.

101. Grisaru M., Rocek M. and Siegel W., Improved methods for supergraphs. 11 Nucl.Phys. В 1979. - 159. - p. 429 - 450.

102. Grisary M.T., Zanon D., Covariant supergraphs for Yang-Mills theory. 11 Nucl.Phys. В 1985. - 252. - p. 578 - 590.

103. Ferrara S. and Piguet O., Perturbation theory and renormalization of supersymmetric Yang-Mills theories. // Nucl.Phys. В 1975. - 93. - p. 261 - 302.

104. Пименов А.Б., Степанъянц К.В., Двухпетлевая функция Гелл-Манна-Jloy N = 1 суперсимметричной теории Янга-Миллса, регуляризованной высшими ковариантными производными. // ТМФ 2008. - 155. - с. 398 - 414.

105. Capper D.M., Jones D.R.T. and van Nieuwenhuizen P., Regularization by dimensional reduction of supersymmetric and nonsupersymmetric gauge theories. // Nucl.Phys. В 1980. - 167. - p. 479 - 499.

106. Shifman M.A. and Vainshtein A.I., Solution of the anomaly puzzle in SUSY gauge theories and the Wilson operator expansion. // Nucl.Phys. В 1986. - 277. - p. 456 - 486.

107. Jack I., Jones D.R.T., Pickering A., The connection between DRED and NSVZ renormalisation schemes. 11 Phys.Lett. В 1998. - 435. - p. 61 -66.

108. Пименов А.Б., Степанъянц К.В., Четырехпетлевая проверка алгоритма суммирования диаграмм Фейнмана в N = 1 суперсимметричной электродинамике. // ТМФ 2006. - 147. - с. 290 - 302.

109. Пименов А.Б., Степанъянц К.В., Проверка нового тождества для функций Грина в N = 1 суперсимметричной неабелевой теории Янга-Миллса с полями материи. // ТМФ 2008. - 156. - с. 270 - 281.

110. Степанъянц К.В., Суммирование диаграмм в N = 1 суперсимметричной электродинамике. // ТМФ 2006. - 146. - с. 385 - 401.

111. Пименов А.Б., Солошенко А.А., Степанъянц К.В., Шевцова Е.С., Регуляризация высшими производными и квантовые поправки в N =1 суперсимметричных теориях. // Известия ВУЗов. Физика 2008. -51. - 5. - с. 5 - 35.

112. Степанъянц К.В., Шевцова Е.С., Новое соотношение, связывающее функции Грина N = 1 суперсимметричной электродинамики. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астр. 2009. - 3. - с. 19 - 22.

113. Степанъянц К.В., Шевцова Е.С., Структура двухточечной функции Грина калибровочного поля в N = 1 суперсимметричной теории Янга-Миллса, регуляризованной высшими ковариантными производными. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астр. 2009. - 5. - с. 13 - 15.

114. Pimenov А.В., Shevtsova E.S., Stepanyantz К. V., Calculation of two-loop /^-function for general N = 1 supersymmetric Yang-Mills theory with the higher covariant derivative regularization. // Phys. Lett. В 686. - 2010. - p. 293 - 297.