Анализ квантовых поправок и проблема аномалий в N=1 суперсимметричной электродинамике, регуляризованной высшими производными тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Солошенко, Алексей Александрович

• Солошенко, Алексей Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Солошенко, Алексей Александрович

Введение

1 N = 1 суперсимметричная электродинамика

1.1 Функционал действие, симметрии, уравнения движения.

1.2 Супермультиплеты токов и аномалий.

1.3 Квантование модели.

1.3.1 Регуляризация высшими производными.

1.3.2 Фиксация калибровки.

1.3.3 Производящий функционал.

1.3.4 Правила Фейнмана.

1.4 Индекс расходимости.

1.5 Вспомогательная регуляризация.

1.6 Ренормгрупповые функции.

2 Квантовые поправки к эффективному действию

2.1 Однопетлевые вычисления.

2.1.1 Аномальная размерность.

2.1.2 /^-функция.

2.2 Двухпетлевая аномальная размерность.

2.2.1 Вычисление двухпетлевого вклада.

2.2.2 Получение дважды логарифмических расходимостей при помощи метода ренормгруппы.

2.3 Трехпетлевая /3-функция.

3 Сравнительный анализ регуляризаций высшими производными и размерной редукцией. Проблема аномалий

3.1 Регуляризация размерной редукцией.

3.2 Регуляризация высшими производными.

3.3 Вклад в /^-функцию диаграмм с контрчленными вставками.

3.4 Решение проблемы аномалий.

А Нахождение супермультиплета токов

В Вычисление двухпетлевых интегралов, регуляризованных при помощи высших производных

С Результаты вычисления диаграмм Фейнмана

D Анализ трехпетлевых вкладов в /^-функцию

Е Вычисление трехпетлевых интегралов, регуляризованных при помощи высших производных

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Анализ квантовых поправок и проблема аномалий в N=1 суперсимметричной электродинамике, регуляризованной высшими производными»

Хорошо известно [1, 2, 3, 4], что в суперсимметричных теориях аксиальная аномалия и аномалия следа тензора энергии-импульса принадлежат одному супермультиплету. В силу теоремы Адлера-Бардина [5, 6] аксиальная аномалия является чисто однопетлевой, тогда как аномалия следа пропорциональна /^-функции [7]. Поэтому суперсимметричная инвариантность должна по-видимому приводить к тому, что в суперсимметричных теориях поправки к /^-функции должны существовать только в однопетлевом приближении [8]. Этот факт действительно имеет место в N = 2 суперсимметричных теориях [9]. Однако вычисления, выполненные для N = 1 суперсимметричных моделей при использовании регуляризации размерной редукцией [10, 11, 12], показали, что в /^-функцию дают нетривиальный вклад также и высшие петли. Полученное противоречие получило в литературе название "проблемы аномалий".

Предпринимались неоднократные попытки решения этой проблемы. Например, в работе [13] возникновение проблемы аномалий объяснялось различием между вильсоновским эффективным действием и производящим функционалом для одночастично неприводимых диаграмм. При этом утверждалось, что константа связи в вильсоновском действии является чисто однопетлевой, тогда как константа связи в производящем функционале имеет поправки во всех порядках теории возмущений. Отличие в поведении констант связи связывалось с некоторым дополнительным аномальным вкладом (который, например, для случая электродинамики, оказывается тесно связанным с аномалией Кониши [14, 15]). При этом для /^-функции было получено точное во всех порядках теории возмущений выражение, связывающее ее с аномальной размерностью суперполей материи. Ранее такое выражение было построено в работе [16], исходя из требования ренорминвариантности инстантонных вкладов в эффективное действие, и получило название "точная /^-функция Новикова, Шифмана, Вайнштейна и Захарова (NSVZ)". Для случая N = 1 суперсимметричной электродинамики, который далее будет рассматриваться в диссертации, точная NSVZ /^-функция имеет следующий вид: где 7(a) - аномальная размерность суперполя материи. Оказалось, что NSVZ /^-функция точно согласуется с двухпетлевыми вычислениями, выполненными с использованием размерной редукции, однако в трехпетлевом приближении [17, 18, 19] были выявлены разногласия между разложением формулы (1) в ряд по а и конкретными вычислениями. Впоследствии было показано [18], что эти разногласия могут быть устранены специальным выбором схемы перенормировки, причем сама возможность выбора такой схемы, как оказалось, является крайне нетривиальной [20]. В принципе, схему, в которой получается точная /^-функция можно построить, устанавливая ее связь с MS схемой в каждом порядке теории возмущений [21].

Еще одним шагом в решении проблемы аномалий является работа [22]. В ней было показано, что преобразования масштабирования суперполей в суперсимметричных теориях являются аномальными, благодаря чему в зависимости от выбираемой нормировки кинетических членов полей может возникать либо чисто однопетлевой результат, либо точная NSVZ /^-функция. В случае т.н. голоморфной нормировки, для которой а) перенормированное действие записывается в виде

Srm = ^3(e,A//i)Re J dAxd20WaCabWb +

Z(e,A//i)i/^х^в(ф*е2Уф + ф*е~2Уф), (2) было высказано предположение, что /^-функция является чисто однопетлевой, тогда как при канонической нормировке, в которой

Srm = ^3(e,A//z)Re J dAxd2dWaCabWb + jdAx d46 (ф*е2Уф + ф*е~2Уф), (3)

-функция имеет поправки от всех порядков теории возмущений и совпадает с точной NSVZ /^-функцией (см. также [23]). Однако, такое решение проблемы аномалий противоречит явным двухпетлевым вычислениям, проведенным в рамках метода размерной редукции.

Было бы естественным предположить, что в голоморфной нормировке чисто однопетлевой результат для /^-функции может возникать при использовании регуляризации высшими ковариантными производными [24, 25, 26], дополненной регуляризацией Паули-Вилларса для устранения остаточных однопетлевых расходимостей. Известно, что на однопетлевом уровне результаты вычислений в такой регуляризации всегда согласуются с результатами вычислений в размерной регуляризации (редукции) [27]. Однако в высших петлях выражения даже для схемнонезависимых величин, вычисленных при использовании метода размерной редукции, могут отличаться от результатов вычисления в методе высших производных. Это связано с тем, что регуляризация при помощи размерной редукции [28] является математически противоречивой [29], и таким образом переход от размерной редукции к какой-либо другой регуляризации уже не может рассматриваться как изменение схемы перенормировки; получаемые в размерной редукции результаты могут оказаться неверными в силу внутренней противоречивости метода. В частности, вычисление аксиальной аномалии в методе размерной редукции приводит к неправильному нулевому результату, если не накладывать никаких дополнительных условий. Кроме того, как уже упоминалось ранее, в методе размерной редукции имеет место противоречие между суперсимметрией и теоремой Адлера-Бардина [30]. Для нас наиболее важным является то, что данная регуляризация по всей видимости не позволяет вычислить аномалию масштабирования, которая, как указывается в работе [22], дает вклад в /^-функцию. Таким образом размерная редукция оказывается непригодной для исследования проблемы аномалий.

При этом необходимо подчеркнуть существенную разницу между размерной регуляризацией [31] и размерной редукцией: в размерной регуляризации аномалии могут быть легко вычислены [31]. Однако, размерная регуляризация явно нарушает суперсимметрию и поэтому для проведения вычислений в суперсимметричных теориях неудобна1.

Поэтому регуляризация высшими ковариантными производными представляется наиболее подходящей для исследования суперсимметричных калибровочных теорий: данный метод является внутренне непротиворечивым, а также не нарушает ни калибровочную, ни суперсимметричную инвариантность.

В данной диссертации мы впервые применяем метод высших ковариантных производных к вычислению квантовых вкладов в эффективное действие суперсимметричной теории - N = 1 суперсимметричной безмассовой электродинамики. На основе проделанных вычислений исследуется проблема аномалий в рассматриваемой модели.

1 Конечно, с теоретической точки зрения использование неинвариантной регуляризации совершенно допустимо для проведения вычислений. Выбором специальной схемы вычитаний всегда можно восстановить нарушенные тождества Уорда (это касается нарушения как суперсимметричной, так и калибровочной инвариантности) [32, 33, 34, 35]. Тем не менее для исследования общих вопросов предпочтительнее использовать регуляризации, не нарушающие симметрии классического действия, тем более что, как известно, суперсимметрия не является аномальной, т.е. не нарушается квантовыми поправками [36, 37].

Диссертация состоит из введения, трех глав, пяти приложений, заключения и списка используемой литературы.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Солошенко, Алексей Александрович

Заключение

Сформулируем основные результаты, полученные в диссертации.

• Разработан метод вычисления квантовых поправок в N — 1 суперсимметричных теориях с использованием регуляризации высшими ковариантными производными. Этот метод является внутренне непротиворечивым, не нарушает суперсимметричную инвариантность (в том числе и в высших петлях), а также позволяет самосогласованным образом вычислять аномалии в суперсимметричных теориях.

• С помощью вышеуказанного метода впервые были вычислены двухпетлевая аномальная размерность и трехпетлевая /^-функция в N = 1 суперсимметричной квантовой электродинамике, регуляризованной высшими производными.

• Доказано, что в трехпетлевом приближении вклад в /^-функцию, пропорциональную аномалии следа тензора энергии-импульса, в используемой регуляризации является чисто однопетлевым, тогда как функция Гелл-Манна-JIoy совпадает с точной /^-функцией Новикова, Шифмана, Вайнштейна и Захарова.

• Показано, что в рамках предложенного метода вычисления квантовых поправок в суперсимметричных теориях, регуляризованных высшими производными, структура супермультиплета аномалий не противоречит структуре вкладов высших петель в /^-функцию.

• На основе полученных результатов решена проблема аномалий ъ N = 1 суперсимметричной квантовой электродинамике.

Работа была выполнена на кафедре теоретической физики Московского Государственного Университета им. М.В.Ломоносова.

Я глубоко признателен моему научному руководителю доценту Пронину П.И. и доценту Степаньянцу К.В. за постоянное внимание и помощь при выполнении данной работы, а также сотрудникам кафедры теоретической физики за многочисленные консультации и обсуждение результатов, полученных в диссертации.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Солошенко, Алексей Александрович, 2004 год

1. Ferrara S. and Zumino B. Transformation properties of the supercur-rent// Nucl. Phys. В - 1975. - 87. - p. 207 - 220.

2. Clark Т.Е., Piguet 0. and Sibold K. Supercurrents, renormalization and anomalies// Nucl. Phys. В 1978. - 143. - p. 445 - 484.

3. Piguet O. and Sibold K. The supercurrent in N = 1 supersymmetric Yang-Mills theories. (I). The classical case// Nucl. Phys. В 1982. - 196.- p. 428 446.

4. Piguet 0. and Sibold K. The supercurrent in N = 1 supersymmetric Yang-Mills theories. (II). Renormalization// Nucl. Phys. В 1982. - 196.- p. 447 460.

5. Adler S.L. and Bardeen W.A. Absence of higher-order corrections in the anomalous axial-vector divergence equation// Phys. Rev. 1969. - 182.- p. 1517 1536.

6. Славное А.А., Фаддеев JI.Д. Введение в квантовую теорию калибровочных полей// М.: Наука 1988. - 271 с.

7. Adler S.L., Collins J.C. and Duncan A. Energy-momentum tensor trace anomaly in spin-1/2 quantum electrodynamics// Phys. Rev. D 1977. -15. - p. 1712 - 1721.

8. Novikov V.A., Shifman M.A., Vainshtein A.I. and Zakharov V.I. Super-symmetric extention of the Adler-Bardeen theorem// Phys. Lett. В -1985. 157. - p. 169 - 173.

9. Howe P.S., Stelle K.S. and West P.S. A class of finite four-dimensional supersymmetric field theories// Phys. Lett. В 1983. - 124. - p. 55 - 58.

10. Avdeev L. V, Tarasov О. V. and Vladimirov A. A. Vanishing of the three-loop charge renormalization function in a supersymmetric gauge theory// Phys. Lett. В 1980. - 96. - p. 94 - 96.

11. Grisaru M.T., Rocek M. and Siegel W. Zero value for the three-loop (3-function in N = 4 supersymmetric Yang-Mills theory// Phys. Rev. Lett.- 1980. 45. - p. 1063 - 1066.

12. Caswell W. and Zanon D. Vanishing three-loop beta function in N = 4 supersymmetric Yang-Mills theory// Phys. Lett. В 1981. - 100. - p. 152 - 156.

13. Shifman M.A. and Vainshtein A.I. Solution of the anomaly puzzle in SUSY gauge theories and the Wilson operator expansion// Nucl. Phys. В 1986. - 277. - p. 456 - 486.

14. Konishi K. Anomalous supersymmetry transformation of some composite operators in SQCD// Phys. Lett. В 1984. - 135. - p. 439 - 444.

15. Clark Т.Е., Piguet O. and Sibold K. The absence of radiative corrections to the axial current anomaly in supersymmetric QED// Nucl. Phys. В -1979. 159. - p. 1 - 15.

16. Novikov V., Shifman M., Vainshtein A. and Zakharov V. The beta function in supersymmetric gauge theories. Instantons versus traditional approach// Phys. Lett. В 1986. - 166. - p. 329 - 333.

17. Avdeev L. V. and Tarasov О. V. The three-loop beta-function in the N = 1, 2, 4 supersymmetric Yang-Mills theories// Phys. Lett. В 1982.- 112. p. 356 - 358.

18. Jack I., Jones D.R.T. and North C. G. N — 1 supersymmetry and the three-loop anomalous dimension for the chiral superfield// Nucl. Phys. В 1996. - 473. - p. 308 - 322.

19. Jack I., Jones D.R.T. and North C.G. N = 1 supersymmetry and the three-loop gauge /^-function// Phys. Lett. В 1996. - 386. - p. 138 - 140.

20. Jack I. and Jones D.R.T. Regularisation of supersymmetric theories// hep-ph 9707278.

21. Jack I., Jones D.R. T. and North C. G. Scheme dependence and the NSVZ /^-function// Nucl. Phys. В 1997. - 486. - p. 479 - 499.

22. Arkani-Hamed N. and Murayama H. Holomorphy, rescaling anomalies and exact beta functions in supersymmetric gauge theories// hep-th 9707133.

23. Carlino G., Konishi K., Maggiore N. and Magnoli N. On the beta function in supersymmetric gauge theories// Phys. Lett. В 1999. - 455. -p. 171 - 178.

24. Славное А.А. Перенормировка суперсимметричной квантовой электродинамики// ТМФ 1975. - 23. - с. 3 - 10.

25. Bakeyev T.D. and Slavnov A.A. Higher covariant derivative regulariza-tion revisited// Mod. Phys. Lett. A 1996. - 11. - p. 1539 - 1554.

26. West P. Higher derivative regulation of supersymmetric theories// Nucl. Phys. В 1986. - 268. - p. 113 - 124.

27. Pronin P.I. and Stepanyantz К. V. One-loop counterterms for higher derivative regularized Lagrangians// Phys. Lett. В 1997. - 414. - p. 117-122.

28. Siegel W. Supersymmetric dimensional regularization via dimensional reduction// Phys. Lett. В 1979. - 84. - p. 193 - 196.

29. Siegel W. Inconsistency of supersymmetric dimensional regularization// Phys. Lett. В 1980. - 94. - p. 37 - 40.

30. Казаков Д И. К проблеме аксиальной аномалии в суперсимметричных калибровочных теориях// Письма в ЖЭТФ -1985. 41. - с. 272 - 275.31. t'Hooft G. and Veltman М. Regularization and renormalization of gauge fields// Nucl. Phys. В 1972. - 44. - p. 189 - 213.

31. Slavnov A.A. Universal gauge invariant renormalization// Phys. Lett. В- 2001. 518. - p. 195 - 200.

32. Славное А.А. Независящая от регуляризации калибровочно-инвариантная перенормировка теории Янга-Миллса// ТМФ 2002.- 130. с. 3 - 14.

33. Славное А.А., Степаньянц К.В. Универсальная инвариантная перенормировка для суперсимметричных теорий// ТМФ 2003. - 135.- с. 265 279.

34. Slavnov A.A. and Stepanyantz K.V. Universal invariant renormalization of super-symmetric Yang-Mills theory// hep-th 0305128.

35. Piguet O., Sibold K. and Schweda M. General solution of the supersym-metry consistency conditions// Nucl. Phys. В 1980. - 174. - p. 183 -188.

36. Piguet O. Supersymmetry, supercurrent and scale invariance// hep-th 9611003.

37. Nicolai H. and Townsend P.K. Anomalies and supersymmetric regularization by dimensional reduction// Phys. Lett. В 1980. - 93. - p. Ill -115.

38. Уэст П. Введение в суперсимметрию и супергравитацию// М.: Мир- 1989. 328 с.

39. Weinberg S. The quantum theory of fields. v.III. Supersymmetry// Cambridge university press 2000. - 419 p.

40. Sohnius M.F. Introducing supersymmetry// Phys. Rep. 1985. - 128. -p. 39 - 204.

41. Salam A. and Strathdee J. On superfields and Fermi-Bose symmetry// Phys. Rev. D 1975. - 11. - p. 1521 - 1535.

42. Ferrara S. and Piguet O. Perturbation theory and renormalization of supersymmetric Yang-Mills theories// Nucl. Phys. В 1975. - 93. - p. 261 - 302.

43. Grisaru M., Rocek M. and Siegel W. Improved methods for super-graphs// Nucl. Phys. В 1979. - 159. - p. 429 - 450.

44. Бесс Ю., Беггер Даю. Суперсимметрия и супергравитация// М.: Мир- 1986. 179 с.

45. Пескин М., Шредер Д. Введение в квантовую теорию поля// Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика» 2001. - 784 с.

46. Ициксон К., Зюбер Ж.-Б. Квантовая теория поля, т.1// М.: Мир -1984. 448 с.

47. Ициксон К., Зюбер Ж.-Б. Квантовая теория поля, т.2// М.: Мир -1984. 400 с.

48. Коллинз Дж. Перенормировка// Новокузнецк.: Новокузнецкий физико-математический институт 2000. - 446 с.

49. Stepanyantz К. V. Anomaly puzzle in N = 1 supersymmetric electrodynamics as artifact of dimensional reduction// hep-th 0301167.

50. Capper D.M., Jones D.R. T. and van Nieuwenhuizen P. Regularization by dimensional reduction of supersymmetric and nonsupersymmetric gauge theories// Nucl. Phys. В 1980. - 167. - p. 479 - 499.

51. Avdeev L. V., Chochia G.A. and Vladimirov A.A. On the scope of super-symmetric dimensional regularization// Phys. Lett. В 1981. - 105. - p. 272 - 274.

52. Chanowitz M., Furman M. and Hinchliffe I. The axial current in dimensional regularization// Nucl. Phys. В 1979. - 159. - p. 225 - 243.

53. Jones D.R.T. and Leveille J.P. Dimensional regularization and the two-loop axial anomaly in abelian, non-abelian and supersymmetric gauge theories// Nucl. Phys. В 1982. - 206. - p. 473 - 495.

54. Townsend P.K. and van Nieuwenhuizen P. Dimensional regularization and supersymmetry at the two loop level// Phys. Rev. D 1979. - 20. -p. 1832 - 1838.

55. Bertlmann R. Anomalies in quantum field theory// Clarendon press, Oxford 1996. - 566 p.

56. Солошепко А.А., Степаньянц К.В. Двухпетлевая /^-функция N = 1 суперсимметричной квантовой электродинамики, регуляризованной при помощи высших ковариантных производных// ТМФ 2002. -131. - с. 135 - 147.

57. Солошенко А.А., Степаньянц К.В. Двухпетлевая аномальная размерность N = 1 суперсимметричной квантовой электродинамики, регуляризованной при помощи высших ковариантных производных// ТМФ 2003. - 134. - с. 430 - 446.

58. Soloshenko A.A. and Stepanyantz К. V. Three-loop /^-function for N = 1 supersymmetric electrodynamics, regularized by higher derivatives// hep-th 0304083.

59. Солошенко А.А., Степанъяпц К.В. Квантовые поправки в N = 1 суперсимметричной электродинамике, регуляризованной высшими производными// Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астр. 2004. - 4.-е. 17 -20.