Квазиконформные отображения в гидродинамике и их численная реализация тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Давыдкин, Иван Борисович

• Давыдкин, Иван Борисович
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Давыдкин, Иван Борисович

Введение

• Глава 1. Квазилинейные отображения со свободными границами.

§1. Задачи типа фильтрации.

1°. Постановка задачи.

2°. Система уравнений для параметров.

3°. Априорные оценки.

4°. Локальная единственность решений.

5°. Метод непрерывности.

6°. Сходимость циклического метода непрерывности.

§2. Граничные свойства конформных и квазиконформных отображений.

1°. Вспомогательные сведения.

2°. Гельдеровская непрерывность решения задачи (1)

§1.

3°. Граничные свойства квазиконформных отображений.

3.1°. Регулярность квазиконформных отображений областей с ляпуновской границей.

3.2°. Поведение квазиконформного отображения в угловой точке.

§3. Граничные данные из Са.

§4. Квазилинейные отображения со свободной границей. 1°. Задача для квазилинейного уравнения.

2°. Разрешимость задачи (1), (2).

3°. Оценки на границе.

§5. Квазиконформное распрямление границ.

1°. Вспомогательные сведения.

2°. Постановка задачи.

3°. Функция ф(х,у) в прямоугольнике.

3.1°. Оценка с(у) снизу.

3.2°. Оценка с'(у) сверху.

3.3°. Оценки производных функции ф(х,у).

4°. Функция фо{х,у).

5°. Локальный гомеоморфизм.

6°. Построение общего гомеоморфизма.

7°. Применение в гидродинамике.

8°. Примеры построения.

§6. Геометрические свойства итерационных процессов.

1°. Постановка задачи.

2°. Выпуклые оболочки.

3°. Оценка размеров выпуклых оболочек.

Глава 2. Задачи со свободными границами для нелинейных моделей фильтрации жидкости в неидеальных пористых средах.

§1. Постановка задачи.

1°. Нелинейные уравнения [22].

2°. Уравнения фильтрации жидкости со свободными границами [25].

3°. Задачи нелинейной фильтрации в канонической области [41].

§2. Регуляризация задачи. Априорные оценки.

1°. Вспомогательные сведения [21, гл.VI].

2°. Регуляризация задачи.

§3. Разрешимость задачи.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Квазиконформные отображения в гидродинамике и их численная реализация»

Общая характеристика работы.

Диссертация посвящена доказательству разрешимости краевых задач для квазилинейных и нелинейных эллиптических уравнений со свободными границами, созданию алгоритмов их численного решения и реализации этих алгоритмов на ЭВМ.

Актуальность проблемы. Стационарная фильтрация жидкости в пористых средах, описывается решениями квазилинейных и нелинейных эллиптических уравнений.

В гидродинамике задачами со свободными границами принято назвать задачи, в которых часть границы области течения неизвестна (свободная граница) и должна определяться в процессе решения.

Нелинейный закон сопротивления пористой среды движущейся в ней жидкости (закон Дарси) был предложен С.А. Христиановичем(1940), который при этом установил полную аналогию полученной модели нелинейным уравнениям дозвуковой газовой динамики. Модель С.А. Христиановича получила широкое применение для описания движения нефти в пористом пласте. Теоремы существования решений задач нелинейной фильтрации жидкости со свободными границами впервые были доказаны В.Н. Монаховым (1961) методами теории квазиконформных отображений.

М.А. Лаврентьевым [12] впервые был обнаружен класс нелинейных уравнений (сильно эллиптических по М.А. Лаврентьеву или Ь-эллиптических)

Р(г, го, «;2, т?) = 0, г = х + гу, го = (р + (1) сохраняющих характерное свойство линейного уравнения Бельтрами — каждое ограниченное решение и>(г) такого уравнения является локально-гомеоморфным в области изменения независимой переменной. Для ¿-эллиптических уравнений им доказан аналог теоремы Римана об отображениях односвязных областей [13], а впоследствии в работах М.А. Лаврентьева и Б.В. Шабата [15, 36] установлены важные свойства таких уравнений: эллиптичность их в обычном смысле и справедливость неравенства

I^z/^zl < Qo = constc 1 (оценки констант эллиптичности q0, не зависящие от искомого решения, получены позднее В.Н. Монаховым в [19]).

В работах В.Н. Монахова [19, 20] эти свойства были положены в основу определения L-эллиптичности, установлена его эквивалентность определению М.А. Лаврентьева. Нетрудно видеть, что из положительной определенности соответствующей (1) квадратичной формы следует выполнение неравенств

FU\2 - \Fü\2 > а, |FC|2 - |Р^|2 > с* > 0, обеспечивающих локальную разрешимость (1) относительно £ и и. В.Н. Монахов установил, что эти неравентсва гарантируют и глобальную разрешимость (1) относительно С и а; и при этом им был обобщен аналог теоремы Римана на случай многосвязных областей. Позднее аналогичные результаты получены в работах Б. Боярского и Т. Иванеца [1, 2], а в работе H.A. Кучера [3] исследована разрешимость краевой задачи Гильберта для L-эллиптических уравнений.

Задачи линейной фильтрации в идеальных пористых средах при некоторых дополнительных предположениях о течении изучались в работах Полубариповой-Кочиной (1952).

В случае нелинейной фильтрации в идеальной пористой среде для широкого круга задач со свободными границами методами теории квазиконформных отображений теоремы существования решений установлены Монаховым (1964). Для неидеалыюй пористой среды задачи линейной теории фильтрации со свободными границами изучены В.Н.Монаховым (19G5) при дополнительном предположении о характере течения (свободная граница выходит на дренаж, т.е. на горизонтальный промежуток высачивания).

Впервые проблема определения параметров конформного отображения многоугольников без ссылки на теорему Римана была поставлена и решена А. Вайнштейном [7]. Созданная им для решения этой проблемы конструктивная схема, названна методом непрерывности. В совместной работе с А. Вайнштейном [5] Ж. Jlepe придал этому методу абстрактную форму, реализованную в дальнейшем в виде теоремы Лере-Шаудера о неподвижной точке нелинейных вполне непрерывных отображений банахова пространства в себя.

Метод непрерывности был применен А. Вайнштейном, а затем в совместной работе А. Лере, А. Вайнштейна [5] для доказательства разрешимости струйных задач гидродинамики в точной нелинейной постановке. Другим методом М.А. Лаврентьев [10] вместе с теоремой существования доказал и теорему единственности в этих задачах.

Непосредственное развитие метода непрерывности получено в работах В.Н. Монахова (библиография этих работ имеется в [21]), который па его основе доказал разрешимость широкого класса задач гидродинамики со свободными поверхностями практически без ограничения на геометрию заданной части границы области течения.

Цель работы. В диссертации доказывается разрешимость краевых задач для квазилинейных и нелинейных эллиптических уравнений со свободными границами.

Численно реализованы алгоритмы решения задач фильтрации в классе аналитических функций.

Методы исследования. Основным методом является представление решения в виде композиции отображний квазиконформного и конформного. При этом для конформного отображения получается задача об определении параметров аналогичная соответствующей проблеме при построении конформного отображения многоугольников. Для построения квазиконформного отображения, удовлетворяющего квазилинейным или нелинейным эллиптическим системам уравнений, доказываются равномерные шаудеровские оценки, на основе которых доказывается резрешимость исходных задач.

Научная новизна. Все основные результаты, изложенные в диссертации, являются новыми и подтверждены полными доказательствами.

Полученные другими авторами результаты относятся к различным упрощениям изученных в работе моделей.

Теоретическая и практическая значимость. Полученные результаты имеют теоретическое значение и могут быть использованы при численном решении задач гидродинамики.

Публикации и апробация работы. Основные результаты диссертации опубликованы в б работах автора. Вклад авторов в совместных работах является равным.

Материалы диссертации неоднократно докладывались на международных и российских конференциях: "Математические проблемы в механике сплошных сред"(г. Новосибирск 1999, 2000), "Студент и научно-технический прогресс"(г. Новосибирск 2002), "Математические методы в механике природных сред и экологии"(г. Барнаул 2002) .

Результаты диссертации доложены также на семинарах :

Института гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН "Математические проблемы механики сплошных сред"под руководством академика Монахова В. Н., чл-корр. РАН Плотникова П. И. (2000), Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН лаборатории теории функции под руководством д.ф.-м.н. профессора Асеева В.В. и д.ф.-м.н. профессора Сычева A.B. (200G).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, заключения и списка литературы. Нумерация теорем и формул в каждом параграфе своя.

Заключение диссертации по теме «Математический анализ», Давыдкин, Иван Борисович

Основные результаты диссертации:

• доказана разрешимость задачи фильтрации для аналитических функций с граничными условиями из Са;

• доказана разрешимость задачи фильтрации для квазилинейного уравнения;

• доказана разрешимость задачи фильтрации для квазилинейного уравнения в области с криволинейной границей;

• исследованы некоторые свойства структуры выпуклой оболочки оператора, задаваемого системой сжимающих подобий;

• установлена разрешимость задачи фильтрации для нелинейных эллиптических уравнений;

• численно решена задача о нахождении параметров формулы Кристофеля-Шварца;

• численно решены задачи фильтрации жидкости со свободными границами;

• численно реализован квазиконформный гомеоморфизм.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Давыдкин, Иван Борисович, 2006 год

1. Bojarski В. Quasiconformal mappings and general stuctural properties of system of non linear equations elliptic in the sens of Lavrent'ev, 1.: Symposia Math. Vol. 18. L.-N.Y., 1976.

2. Iwaniec T. Quasiconformal mapping problem for general non-linear systems iof partial differential equations, In: Symposia Math. Vol. 18. L.-N.Y., 1976.

3. Кучер H.A. Краевая задача Римаиа-Гильберта для одного класса нелиненых эллиптических систем на плоскости, Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. Ин-т гидродинамики СО АН СССР, 1974, вып. 18.

4. Leray J. Les problemees de representation conform d'Helmholts theories des sillages et de proues, Comm. Math. Helvetici, 1935-1936, v.8, №2, 3, p. 149-180, 250-263.

5. Leray J., Weinstein A. Sur un probleme de representation conforme pose par la theorie de Helmholtz, Сотр. Rend, de l'Ac. des Sc., t. 198, 1934, p. 430-433.

6. Serrin J.B. Existences theorems for some hydrodynamical free boundary problems, J. Rat. Mech. Anal, 1, 1952, 1-48

7. Weinstein A. Der Kontinuitátsbeweis des Abbildungssatzes für Polygone // Math. Z. 1924. Bd 19. S. 72-84

8. Weinstein A. Ein hydrodynamischer Unitatsatz, Math. Z, 19, 1924, 265-274.

9. Аравин B.H., Нумеров C.H. Теория движения жидкостей и газов в недеформиру-емой пористой среде. М., Гостехтеориздат, 1955.

10. Лаврентьев М.А. О некоторых свойствах однолистных функций с приложениями к теории струй, Мат. сб., №4(46), 1938, с. 391-458.

11. Лаврентьев М.А. О некоторых граничных задачах в теории однолистных функций, Мат. сб., №1(43), 1936, с. 815-84G.

12. Лаврентьев М.А. Квазиконформные отображения и их производные системы, ДАН СССР, 194G, т. 52, №4.

13. Лаврентьев М.А. Основная терема теории квазиконформных отображений плоских областей, Изв. АН СССР. Сер. мат., 1948, т. 12, №6.

14. Лаврентьев М.А. Вариционный метод в краевых задачах для систем уравнений эллиптического типа, М.: Изд-во АН СССР, 1962.

15. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Геометрические свойства решений нелинейных систем уравнений с частными производными, ДАН СССР, 1957, т. 112, №5.1G. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Проблемы гидродинамики и их математические модели, Наука, М. 1977, 407 с.

16. Монахов В.Н. О разрешимости задач фильтрации со свободными границами, ДАН СССР, 1964, т. 156, №6, с. 1320-1322.

17. Монахов В.Н. Плоские и осесимметричные задачи фильтрации со свободными границами в неоднородной среде, ДАН СССР, 1965, т. 174, №6, с. 1271-1273.

18. Монахов В.Н. О некоторых свойствах решений нелинейных систем уравнений, эллиптических по М.А. Лаврентьеву, Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. Ин-т гидродинамики СО АН СССР, 1973, вып. 15.

19. Монахов В.Н. Отображение многосвязных областей решениями нелинейных L-эллиптических систем уравнений, ДАН СССР, 1975, т. 220, №3.

20. Монахов В.Н. Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем уравнений, СО Наука, Новосибирск, 1977, 420 с.

21. Монахов В.Н. О принципе квазиконформного склеивания для нелинейных уравнений, сильно эллиптических по М.А. Лаврентьеву // ДАН, 1981, т. 260, №5, с. 1070-1074.

22. Монахов В.Н. О сходимости численного метода непрерывности задач гидродинамики со свободными границами, Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. Ин-т гидродинамики СО РАН, 2000, вып. 116, С.55-61.

23. Монахов В.Н. Об одном вариационном методе решения задач гидродинамики со свободными границами // Сиб. Мат. Журнал. 2000. Т. 41, №5. с. 1106-1121.

24. Монахов В.Н. Фильтрация жидкости со свободной границей в неидеальных пористых средах // Проблемы математики и мехаиики. СО Новосибирск, Наука, 1983.

25. Полубаринова-Кочина П.Я. Теория движения грунтовых вод, ГИТТЛ, М., 1952, 673 с.

26. Полубаринова-Кочина П.Я. Теория движения грунтовых вод. М., Наука, 1977.

27. Развитие исследований по теории фильтрации в СССР (1917-1967 гг.), М., 1969.

28. Губкина Е.В., Монахов В.Н. Фильтрация жидкости со свободными границами в неограниченных областях // Прикл. механика и тех. физика. 2000. Т.41, №5, С.188-197.

29. Губкина Е.В., Монахов В.Н. Построение барьерной кривой в контактных задачах фильтрации жидкости // Динамика сплошной среды, Сб. науч. тр. / Сиб. отд. РАН, Ин-т гидродинамики. 2002. Вып. 120. С. 16-21.

30. Губкина Е.В. Алгоритм численной реализации конформных отображений со свободной границей // Динамика сплошной среды, Сб. науч. тр. / Сиб. отд. РАН, Ин-т гидродинамики. 2000. Вып. 116. С. 26-35.

31. Губкина Е.В., Монахов В.Н. Численная аппроксимация контактных задач фильтрации жидкости // Журнал выч. математики и мат. физики. 2004. т. 44 №5. С. 944-952.

32. Фильчаков П.Ф. Теория фильтрации под гидротехическими сооружениями. Киев: Издательство АН УССР, 1959.

33. Driscoll Т., Trefethen L. Schwarz-Christoffel Mapping. Cambridge University Press, 2002.

34. Фильчаков П.Ф. Численные и графические методы прикладной математики. Киев: "Наукова Думка", 1970.

35. Шабат Б.В. Об отражениях, осуществляемых решениями сильно эллиптических систем, В кн.: Исследования по совр. нробл. теории функций комплексного переменного. М., Физматгиз, 1960.

36. Hutchinson J.: Fractals and self-siinilarity. Indiana Univ. Math. J., 30, No 5, 1981, pp.713-747.

37. Бурбаки: Топологические векторные пространства. Изд. иностранной литературы, М., 1959.

38. Тетенов A.B. Хаусдорфова размерность множества крайних точек самоподобных множеств на плоскости // Динамика сплошной среды, Сб. науч. тр. / Сиб. отд. РАН, Ин-т гидродинамики. 2002. Вып. 120. С. с. 53-59.1. Публикации автора

39. Давыдкин И.В., Монахов В.Н. Неоднолистные квазиконформные отображения со свободной границей // Динамика сплошной среды, Сб. науч. тр. / Сиб. отд. РАН, Ин-т гидродинамики. 2002. Вып. 120. С. 26-32.

40. Давыдкин И.Б., Монахов В.Н. Задачи со свободными границами для нелинейных моделей фильтрации жидкости в неоднородных пористых средах // Прик.Мех. и Тех.Физ. 2003. т. 44, №6 с.76-84.

41. Губкина Е.В., Давыдкин И.Б., Монахов В.Н. Численное решение задачи о параметрах конформного отображения // Сиб. Журнал Инд. Мат. 2005. т. VIII, №3, с. 32-39.

42. Давыдкин И.В., Пример выпуклой оболочки самоподобного множества на плоскости, имеющей бесконечное число сторон. // Динамика сплошной среды, Сб. науч. тр. / Сиб. отд. РАН, Ин-т гидродинамики. 2002. Вып. 120. с.22-25.

43. Давыдкин И.Б., Тетенов A.B. О выпуклых оболочках самоподобных множеств // Вестник новосибирского государственного университета Серия «Математика, механика, информатика», Том V, 2005 г., Выпуск 2. с.21-27