Консервативные дискретизации одномерных квазигазо- и квазигидродинамических систем уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, кандидат наук Гаврилин Владимир Алексеевич

• Гаврилин Владимир Алексеевич
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Гаврилин Владимир Алексеевич

Содержание

Введение

1 Глава 1. Консервативный разностный метод для регуляризо-

ванной одномерной системы уравнений мелкой воды

1.1 Одномерная система уравнений мелкой воды, её регуляризация

и дискретизация

1.2 Результаты численных экспериментов

2 Глава 2. Пространственная дискретизация одномерной квази-

газодинамической системы уравнений с общими уравнениями

состояния и уравнение баланса энтропии

2.1 Одномерная квазигазодинамическая система уравнений c об-

щими уравнениями состояния и уравнение баланса энтропии

2.2 Применение к решению одномерных уравнений Эйлера реаль-

ного газа

2.3 Пространственная дискретизация одномерной квазигазодина-

мической системы уравнений и дискретное уравнение баланса

энтропии

2.4 Результаты численных экспериментов

3 Глава 3. Пространственная дискретизация одномерной квази-

гидродинамической системы уравнений для реального газа

3.1 Одномерная квазигидродинамическая система уравнений c об-

щими уравнениями состояния

3.2 Пространственная дискретизация и дискретное уравнение ба-

ланса энтропии

3.3 Результаты численных экспериментов

4 Глава 4. Критерии параболичности квазигидродинамической

системы уравнений в случае реального газа

4.1 Критерии параболичности квазигидродинамической системы урав-

нений

4.2 Устойчивость малых возмущений по постоянному фону

Заключение

Список литературы

2

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Консервативные дискретизации одномерных квазигазо- и квазигидродинамических систем уравнений»

Введение

К настоящему времени разработан богатый набор методов численного ре-

шения задач газовой динамики, см., в частности, [12, 14, 38, 39, 51, 55]. Квази-

газодинамические системы уравнений, предложенные Б.Н. Четверушкиным и

Т.Г. Елизаровой, а также квазигидродинамическая система уравнений, пред-

ложенная Ю.В. Шеретовым, служат основной для построения класса раз-

ностных методов решения этих задач. Подобные методы развивало большое

количество их учеников и последователей. Одним из важных достоинств ис-

пользования таких методов является их вычислительная эффективность (в

том числе простота параллельной реализации алгоритма). Подробное описа-

ние принципов построения указанных систем уравнений и исследование их

свойств представлены в монографиях [42, 15, 43].

В данной диссертационной работе рассматриваются квазигазодинамиче-

ская и квазигидродинамическая системы уравнений реального газа, а также

квазигазодинамическая система уравнений мелкой воды. Под “реальным га-

зом” понимается газ с общими уравнениями состояния; причем эти уравнения

состояния удовлетворяют известным условиям термодинамической устойчи-

вости и равенству Максвелла. Следует отметить, что при работе с квазигазо-

динамической системой авторы ранее ограничивались случаем совершенного

политропного (“идеального”) газа. Настоящая диссертационная работа при-

звана в определенной степени восполнить этот пробел.

Основные положения диссертационной работы таковы.

В пространственно одномерном случае строятся пространственные дис-

кретизации указанных систем, гарантирующие выполнение дополнительного

закона сохранения (это закон невозрастания энергии для системы уравнений

мелкой воды и закон неубывания энтропии для системы уравнений реального

газа). Для всех построенных дискретизаций проводятся численные экспери-

менты, относящиеся к решению системы уравнений Эйлера невязкого нетеп-

лопроводного газа или системы уравнений мелкой воды, результаты которых

свидетельствуют об эффективности дискретизаций.

Дополнительно для многомерной квазигидродинамической системы урав-

нений реального газа выводятся критерии равномерной и неравномерной па-

раболичности по Петровскому, а также рассматривается задача устойчивости

малых возмущений по постоянному фону и выводятся глобальные по време-

ни оценки решения задачи Коши для линеаризованной системы. Отметим,

что из (равномерной) параболичности по Петровскому следует однозначная

разрешимость (локально по времени) для задачи Коши в пространствах Гёль-

3

дера.

В главе 1 рассматривается одномерная квазигазодинамическая система

уравнений мелкой воды.

В разделе 1 вводится система уравнений мелкой воды, состоящая из урав-

нений баланса массы и импульса

∂t h + ∂x (hu) = 0,

∂t (hu) + ∂x (hu2 ) + ∂x p = ∂x ΠN S + hF,

где 0 < x < X, t > 0, а ∂t и ∂x здесь и далее означают производные по времени

и пространству. Основные неизвестные функции – глубина воды h(x, t) > 0

(измеряемая от отметки дна b(x)) и скорость u(x, t). Уравнения дополняются

начальными условиями

h(x, 0) = h0 (x), u(x, 0) = u0 (x), 0 6 x 6 X.

Во избежание громоздкости здесь и далее во введении формулы для ряда

вспомогательных величин опускаются, для уточнения их вида следует обра-

титься непосредственно к тексту соответствующих глав.

Регуляризованная одномерная система уравнений мелкой воды состоит из

модифицированных уравнений баланса массы и импульса

∂t h + ∂x (h(u − w)) = 0,

∂t (hu) + ∂x (h(u − w)u + p) = ∂x Π + h∗ F.

Вспомогательные величины w, Π, h∗ регуляризованной системы зависят от

параметра релаксации τ = τ (h, u) > 0, и при τ = 0 система переходит в

исходную. Здесь Π — регуляризованное напряжение, h∗ — регуляризованная

глубина.

Для регуляризованной системы строится новая трехточечная симметрич-

ная дискретизация по пространству специального вида. Важным является

тот факт, что для неё справедлив аналог полученного ранее (в дифферен-

циальном случае) А.А. Злотником и Ю.В. Шеретовым закона поточечного

энергетического баланса. Пусть F = −g∂x b + f, g = const > 0. Основным

теоретическим результатом главы является следующая теорема.

Теорема 0.1. Для построенного полудискретного метода

0.5∂t g(h + b)2 + hu2 + δ ∗ j (g(h + b) + 0.5u− u+ ) − Π[u] + B∆ +

 

2 ∗

+ µ(δu)2 + τ g δ(hu) + τ [h]{[u]δu + gδ(h + b)}2 =

 

∗

= [h∗ f ]∗ u + τ [h]{[u]δu + gδ(h + b)}f ,



4

где j = h(u − w), B∆ := −0.25∆2+ (δp + gh∗ δb)δu — дивергентное дисбалансное

слагаемое.

В левой части закона все 3 слагаемых под знаком усреднения [·]∗ неот-

рицательны; это свойство сохраняется при τ > 0.

Здесь µ > 0 — коэффициент вязкости, δ, δ ∗ — операторы разностных отно-

шений, [·], [·]∗ — операторы разностных усреднений по x, а u− , u+ — значения

u в левом и правом концах ячейки пространственной сетки.

В разделе 2 для построенной дискретизации выполняются численные экс-

перименты для ряда известных тестовых задач: это распад разрыва в канале

в выступом и 3 задачи типа “течение над холмом”: докритическое, транскри-

тическое и сверхкритическое течения. Полученные результаты находятся в

хорошем соответствии с результатами других авторов и существенно улуч-

шают часть из них.

Дополнительно исследуется сходимость искомых функций h, u и величи-

ны hu (расход воды) для разностной схемы при сгущении пространственной

сетки и находятся практические порядки погрешностей.

В главе 2 рассматривается одномерная квазигазодинамическая система

уравнений реального газа.

В разделе 1 вводится квазигазодинамическая система, состоящая из сле-

дующих уравнений баланса массы, импульса и полной энергии (в отсутствие

массовых сил)

∂t ρ + ∂x j = 0,

∂t (ρu) + ∂x (ju + p) = ∂x Π,

∂t E + ∂x {(u − w)(E + p)} = −∂x q + ∂x (Πu) + Q.

Основные искомые функции ρ > 0, u, p — это плотность, скорость и дав-

ление газа. Кроме того, E = 21 ρu2 + ρε — полная энергия, ε — внутренняя

энергия, θ — температура газа, j = ρ(u − w) — регуляризованный поток мас-

сы, Π — регуляризованное вязкое напряжение, q — регуляризованный поток

тепла, Q > 0 — плотность тепловых источников. Уравнения дополняются

начальными условиями

ρ(x, 0) = ρ0 (x), u(x, 0) = u0 (x), p(x, 0) = p0 (x), 0 6 x 6 X.

Берутся общие уравнения состояния газа в форме

p = p(ρ, θ), ε = ε(ρ, θ),

5

связанные равенством Максвелла

p = θpθ + ρ2 ερ .

и удовлетворяющие условиям термодинамической устойчивости вида

pρ > 0, εθ > 0.

Здесь, например, pρ , pθ — частные производные функции p = p(ρ, θ).

В разделе 1 для рассматриваемой системы приводится уравнение баланса

энтропии, гарантирующее неотрицательность производства энтропии [26].

В разделе 2 строится явная двухслойная по времени и симметричная по

пространству дискретизация (стандартного типа) рассматриваемой системы

и проводятся численные эксперименты о расчете задачи Римана о распаде

разрыва для моделей реального газа: модели с двучленными уравнениями

состояния и модели Ван-дер-Ваальса. Эти результаты с использованием ква-

зигазодинамической системы уравнений установлены впервые, и они хорошем

соответствуют полученным ранее по другим разностным схемам.

В разделе 3 рассматривается новая более сложная пространственная дис-

кретизация квазигазодинамической системы уравнений реального газа. В част-

ности, вводятся усреднения специального вида для плотности, внутренней

энергии и других величин и указывается их однозначный выбор, гарантиру-

ющий отсутствие недивергентных дисбалансных слагаемых в производстве

энтропии. В результате для полудискретного метода становится возможным

вывод уравнения баланса энтропии с неотрицательным производством эн-

тропии. Основным теоретическим результатом главы является следующая

теорема.

Теорема 0.2 (Уравнение баланса энтропии). Для построенного по-

лудискретного метода справедливо уравнение баланса энтропии s

   

1

∂t (ρs) + δ ∗ (j[s]) = δ ∗ −q + B1h − B2h +

θ

κ(δθ)2

 

4 [ρ]

+ ([u] − w)(Dhρ δρ + Dhθ δθ) + + µ(δu)2 + ŵ2 +

θ− θ+ 3 τ

 2

τ aθ dρ p 2 τ [ρ]aρ dθ ε [θ]aρ dθ p Q

+ {δ(ρu)} + δu + [u]δθ − +

[ρ] [θ] [ρ]aρ dθ ε 2[ρ]aρ dθ ε

    ∗

τ Q 1

+τ Dhu (δu)2 + τ Dhρ θ δρ · δθ + Q 1 − − τ DhQ (δu)Q .

4[ρ][θ]aρ dθ ε θ

6

 Здесь B1h и B2h — дивергентные, а Dhρ , Dhθ , Dhu , Dhρ θ , DhQ — недивер-

гентные дисбалансные слагаемые.

В этом уравнении пять стоящих подряд квадратичных слагаемых произ-

водства энтропии всегда неотрицательны, а слагаемое, содержащее вели-

чину Q дважды, неотрицательно при выполнении условия τ Q 6 4[ρ][θ]aρ dθ ε.

Недивергентные дисбалансные слагаемые с множителями Dhρ , Dhθ , Dhu ,

Dhρ θ , DhQ обращаются в 0 при специальном выборе дискретизаций.

Здесь, как и выше, µ > 0 — коэффициент вязкости, δ, δ ∗ — операторы

разностных отношений, [·], [·]∗ — операторы разностных усреднений по x, а

θ− , θ+ — значения θ в левом и правом концах ячейки пространственной сет-

ки. Кроме того, κ > 0 — коэффициент теплопроводности, w b — слагаемое

регуляризованной скорости, а dρ p, dθ p, dθ ε — разделенные разности и aρ , aθ —

операторы усреднения по аргументам термодинамических функций.

В разделе 4 для специальной пространственной дискретизации из раздела

3 строится двухслойная явная разностная схема и проводится серия числен-

ных экспериментов на известных тестах о расчете задачи Римана о распаде

разрыва для модели совершенного политропного газа, модели с двучленными

уравнениями состояния и модели Ван-дер-Ваальса. Для моделей реального

газа полученные результаты демонстрируют явное преимущество построен-

ной в разделе 3 дискретизации над (стандартной) дискретизацией из раздела

2. Для модели совершенного политропного газа удалось добиться существен-

ных достижений в расчетах таких тестов, как задача о разбегании двух волн

разрежения и задача Ноха. В первой из них в отличие от большинства других

разностных схем энтропийный след очень мал.

В главе 3 рассматривается одномерная квазигидродинамическая система

уравнений реального газа.

В разделе 1 вводится одномерная квазигидродинамическая система, состо-

ящая из следующих уравнений баланса массы, импульса и полной энергии (в

отсутствие массовых сил)

∂t ρ + ∂x j = 0,

∂t (ρu) + ∂x (ju + p) = ∂x Π,

∂t E + ∂x {(u − w)(E + p)} = −∂x q + ∂x (Πu) + Q.

Набор основных искомых функций, начальные условия и уравнения со-

стояния газа берутся аналогично предыдущей главе. Таким образом, вновь

рассматривается случай реального газа.

7

 В разделе 1 приводится уравнение баланса энтропии для рассматриваемой

системы.

В разделе 2 строится симметричная трехточечная пространственная дис-

кретизация специального вида. Для неё выводится разностный аналог урав-

нения баланса энтропии с неотрицательным производством энтропии. Основ-

ным теоретическим результатом главы является следующая теорема.

Теорема 0.3. Для построенного полудискретного метода верно следую-

щее уравнение баланса энтропии

   

1

∂t (ρs) + δ ∗ (j[s]) = δ ∗ −q + B1h − B2h +

θ

+ [([u] − w)(Dhρ δρ + Dhθ δθ)]∗ + Φ,

  ∗

κ(δθ)2

 

4 2 [ρ] 2 1

Φ := + µ(δu) + w + Q > 0.

θ− θ+ 3 τ θ

Оно содержит дивергентное δ ∗ (B1h −B2h ) и недивергентное [([u]−w)(Dhρ δρ+

Dhθ δθ)]∗ дисбалансные слагаемые. Второе из них обращается в 0 при специ-

альном выборе дискретизаций.

В разделе 3 для построенной в предыдущем разделе пространственной

дискретизации строится двухслойная явная разностная схема и проводится

серия численных экспериментов; большинство тестовых примеров берутся из

предыдущей главы, и снова рассматриваются 3 модели: модель совершенного

политропного газа, модель с двучленными уравнениями состояния и модель

Ван-дер-Ваальса. Полученные результаты демонстрируют конкурентоспособ-

ность построенной дискретизации, хотя при экстремальных параметрах тече-

ний использование квазигазодинамической системы оказывается все же более

предпочтительным. Отметим также, что в том числе был проведен расчет

ряда тестов для модели совершенного политропного газа, которые ранее не

удавалось выполнить при использовании стандартной дискретизации.

В главе 4 рассматривается многомерная квазигидродинамическая систе-

ма уравнений реального газа.

В разделе 1 вводится состоящая из уравнений баланса массы, импульса

и полной энергии квазигидродинамическая система, которая в декартовой

8

системе координат может быть записана в следующем дивергентном виде:

∂t ρ + ∂i (ρui ) = ∂i (ρwi ),

 

2µ

∂t (ρuk ) + ∂i (ρui uk ) + ∂k p = ∂i [µ(∂i uk + ∂k ui )] − ∂k div u +

3

+∂i (ρwk ui + ρwi uk ) + ρFk , 1 6 k 6 n,

∂t E + ∂i [(E + p)ui ] = ∂i (κ∂i θ)+

 

2µ

+∂i µ(∂i uj + ∂j ui )uj − (div u)ui + ∂i [(E + p)wi + ρwj ui uj ] + ρFi (ui − wi ).

3

Здесь и ниже ∂t и ∂i = ∂xi — частные производные по аргументам t и xi ,

причем по повторяющимся индексам i, j предполагается суммирование от 1

до n; при этом n > 1 и div u = ∂i ui .

Искомые функции ρ > 0, u = (u1 , . . . , un ), θ > 0 — плотность, скорость,

абсолютная температура газа. Как и ранее, рассматривается случай реаль-

ного газа, уравнения состояния которого удовлетворяют соотношению Макс-

велла и условиям термодинамической устойчивости. Будем рассматривать

классические решения данной системы квазилинейных уравнений, опреде-

ленные для аргументов (x, t) = (x1 , . . . , xn , t) из некоторой области в Rn+1

со значениями в какой–либо области D ⊂ R+ × Rn × R+ . Введем двумерную

проекцию D0 := {(ρ, θ); (ρ, u, θ) ∈ D при некотором u}. Предполагается, что

ε = ε(ρ, θ), µ = µ(ρ, θ), κ = κ(ρ, θ) являются C 1 –гладкими функциями в D0 ,

а p = p(ρ, θ) – C 2 –гладкой функцией в D0 .

Вводятся понятия параболичности и равномерной параболичности по Пет-

ровскому. Выводятся критерии параболичности и равномерной параболично-

сти для выписанной системы. Определим безразмерные величины

τp κ ρpρ

τ̃ := , κ̃ := , Γ := .

µ τ pεθ p

Первым из двух основных результатов главы является следующий.

Теорема 0.4. 1. Квазигидродинамическая система уравнений является

неравномерно параболической по Петровскому в области D тогда и только

тогда, когда

pρ (ρ, θ) > 0 в D0 .

2. Квазигидродинамическая система уравнений является равномерно па-

раболической по Петровскому в области D тогда и только тогда, когда

выполнены условия неравномерной параболичности и дополнительно

Cs2 (ρ, θ) |u|2

 

ρ 1 1

sup + +1+ < +∞.

D µ(ρ, θ) (τ̃ κ̃)(ρ, θ) pρ (ρ, θ) pρ (ρ, θ) τ̃ (ρ, θ)Γ(ρ, θ)

9

 s

θp2θ

Здесь Cs = pρ + – скорость звука в газе.

ρ2 εθ

Данный результат имеет важное значение, поскольку, в частности, из рав-

номерной параболичности по Петровскому следует однозначная разрешимость

(локально по времени) для задачи Коши в пространствах Гёльдера.

В разделе 2 рассматриваются решения квазигидродинамической системы

уравнений вида

ρ = ρ̄ + δρ, u = ū + δu, θ = θ̄ + δθ,

где ρ̄ > 0, ū, θ̄ > 0 — постоянные фоновые значения неизвестных, а δρ, δu,

δθ — их малые возмущения, при F = 0.

Выводится линеаризованная квазигидродинамическая система и для нее

изучается задача Коши в полупространстве Rn ×R+ c начальными условиями

δρ|t=0 = δρ0 , δu|t=0 = δu0 , δθ|t=0 = δθ0 .

Пусть δz := (δρ, δu, δθ) и δz0 := (δρ0 , δu0 , δθ0 ) — векторы–столбцы воз-

мущений и их начальных значений. Введем следующие их обезразмеренные

версии

   0 0 0

 r

δρ δu δθ δρ δu δθ θpρ

δẑ := , √ , , δẑ0 := , √ , , где θ̃ := .

ρ pρ θ̃ ρ pρ θ̃ εθ

Вторым основным результатом главы является следующая теорема.

Теорема 0.5 (об оценках решения задачи Коши). Пусть δz0 ∈ L2 (Rn ).

Тогда для решения задачи Коши для линеаризованной квазигидродинамиче-

ской системы справедливы глобальные по t оценки

sup kδẑ(·, t)kL2 (Rn ) 6 kδẑ0 kL2 (Rn ) ,

t>0

p

2c k∇δẑkL2 (Rn ×R+ ) 6 kδẑ0 kL2 (Rn ) ,

где c > 0.

Если δz0 ∈ H 1 (Rn ), то справедливы также глобальные по t оценки

sup k∇δẑ(·, t)kL2 (Rn ) 6 k∇δẑ0 kL2 (Rn ) ,

t>0

p

2c k∂ 2 δẑkL2 (Rn ×R+ ) 6 k∇δẑ0 kL2 (Rn ) ,

где ∂ 2 = {∂i ∂j }ni,j=1 — набор вторых производных по пространственным

переменным.

10

 В работе получены следующие основные результаты, выносимые на за-

щиту.

Для квазигазодинамической системы уравнений мелкой воды, квазигазо-

динамической системы уравнений реального газа и квазигидродинамической

системы уравнений реального газа в одномерном случае построены простран-

ственные дискретизации, для которых выполняется дополнительный закон

сохранения (закон невозрастания энергии для системы уравнений мелкой во-

ды, закон неубывания энтропии для системы уравнений реального газа).

Для построенных дискретизаций проведены серии численных эксперимен-

тов, улучшены результаты других авторов.

Для квазигидродинамической системы уравнений реального газа в много-

мерном случае получены критерии параболичности по Петровскому, а также

для линеаризованной системы выведены глобальные по времени оценки ре-

шения задачи Коши.

Основные результаты диссертации докладывались на следующих

конференциях и научно-исследовательских семинарах:

– Международная научно-техническая конференция студентов и аспиран-

тов “Радиоэлектроника, электротехника и энергетика” (Москва, НИУ “МЭИ”,

2010-2011, неоднократно);

– Международная научно-техническая конференция “Информационные

средства и технологии” (Москва, НИУ “МЭИ”, 2010-2011, неоднократно);

– V Международная конференция “Математические идеи П.Л. Чебышё-

ва и их приложение к современным проблемам естествознания” (Обнинск,

НИЯУ МИФИ, 2011);

– XX Всероссийская конференция “Теоретические основы и конструирова-

ние численных алгоритмов решения задач математической физики” (Дюрсо,

2014);

– научно-исследовательский семинар ФГБОУ ВПО “НИУ “МЭИ” по диф-

ференциальным уравнениям под руководством проф. Дубинского Ю.А. и

проф. Амосова А.А. (2015);

– семинар под руководством Т.Г. Елизаровой (Москва, ИПМ им. М.В.

Келдыша РАН, 2015).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [10,

33, 35, 59, 60]. Часть результатов представлена также в тезисах и трудах

конференций [5]-[9], [34].

Часть результатов получена при финансовой поддержке РФФИ, проекты

№ 10-01-00136, 13-01-00703, 16-01-00048.

Автор выражает благодарность своему научному руководителю Алексан-

11

дру Анатольевичу Злотнику за постановку задачи и постоянное внимание к

работе, за многочисленные обсуждения и ценные рекомендации.

12

1 Глава 1. Консервативный разностный метод для регу-

ляризованной одномерной системы уравнений мелкой

воды

1.1 Одномерная система уравнений мелкой воды, её регуляриза-

ция и дискретизация

1.1.1. Одномерная система уравнений мелкой воды состоит из уравнений

баланса массы и импульса

∂t h + ∂x (hu) = 0, (1.1)

∂t (hu) + ∂x (hu2 ) + ∂x p = ∂x ΠN S + hF, (1.2)

где 0 < x < X, t > 0, а ∂t и ∂x означают производные по времени и простран-

ству. Основные неизвестные функции — глубина воды h(x, t) > 0 (измеряемая

от отметки дна b(x)) и скорость u(x, t). Давление, напряжение Навье-Стокса

и плотность внешних сил задаются формулами

p = 0.5gh2 , ΠN S = µ∂x u, F (x, t) = −g∂x b(x) + f (x, t), (1.3)

где g = const > 0, µ = µ(h) > 0 — коэффициент вязкости (при µ = 0 вязкость

игнорируется) и f — возмущение стационарной силы −g∂x b. Используются

также величины H = h + b (уровень воды) и hu (расход воды).

Уравнения дополняются начальными условиями

h(x, 0) = h0 (x), u(x, 0) = u0 (x), 0 6 x 6 X. (1.4)

Регуляризованная одномерная система уравнений мелкой воды состоит из

модифицированных уравнений баланса массы и импульса

∂t h + ∂x (h(u − w)) = 0, (1.5)

∂t (hu) + ∂x (h(u − w)u + p) = ∂x Π + h∗ F. (1.6)

Здесь плотность потока массы j, вязкое напряжение Π и регуляризованная

плотность h∗ задаются формулами

τ τ

j = h(u − w), w = ŵ + u∂x (hu), ŵ = (hu∂x u + ∂x p − hF ), (1.7)

h h

Π = µ∂x u + huŵ + τ gh∂x (hu), h∗ = h − τ ∂x (hu), (1.8)

где τ = τ (h, u) > 0 — параметр релаксации. При τ = 0 система переходит в

исходную (1.1)–(1.3).

13

 Справедлива также упрощенная формула



ŵ = τ u∂x u + g∂x (h + b) − f . (1.9)

Регуляризованная система (в эквивалентной форме) была получена из ис-

ходной в [4, 49] в одномерном и двумерном случаях. В то же время послед-

няя система является частным случаем баротропной квазигазодинамической

(КГД) системы уравнений из [25] (её более раннюю версию можно найти в

[36]) для плотности газа ρ = h и закона давления p(ρ) = 0.5gρ2 с показа-

телем адиабаты γ = 2. В одномерном случае это следует из формул (1.9) и

τ (u∂x p + γp∂x u) = τ gh∂x (hu).

Для баротропной КГД системы уравнений (равномерная) параболичность

по Петровскому, закон энергетического баланса и линеаризованная устой-

чивость равновесных решений были доказаны в [25, 30]; её весьма краткий

вывод также приведен там же. Обратим внимание на то, что система уравне-

ний (1.1), (1.2) гиперболична при µ = 0 и имеет смешанный гиперболическо-

параболический тип при µ > 0, а из (равномерной) параболичности по Пет-

ровскому следует однозначная разрешимость (локально по времени) для за-

дачи Коши в пространствах Гёльдера, см. [36]. Эти результаты демонстриру-

ют диссипативную природу баротропной системы. Из них напрямую следуют

соответствующие результаты для регуляризованной системы уравнений мел-

кой воды, в частности, следующий важный результат.

Теорема 1.1. Для регуляризованной системы уравнений мелкой воды (1.5)–

(1.8) справедлив следующий поточечный закон энергетического баланса

0.5∂t g(h + b)2 + hu2 + ∂x h(u − w) g(h + b) + 0.5u2 − Πu +

 

2 2

+µ(∂x u)2 + τ g ∂x (hu) + τ h u∂x u + g∂x (h + b) =

 



= h∗ f u + τ h u∂x u + g∂x (h + b) f. (1.10)

В левой части закона 2-е слагаемое является дивергентным; при этом 3-

е слагаемое (Навье-Стокса), а также 4-е и 5-е (релаксационные) слагаемые

неотрицательны; это свойство сохраняется при τ > 0.

Для f = 0 при подходящих граничных условиях при x = 0, X (напри-

мер, периодических) из закона (1.10) напрямую следует закон невозрастания

полной энергии во времени

X

0.5∂t ∫ g(h + b)2 + hu2 dx 6 0. (1.11)

0

14

 Обратим внимание на то, что для равновесных решений h = hS (x) > 0 и

u = 0 обе системы (1.1)–(1.3) и (1.5)–(1.8) при f = 0 сводятся к упрощенному

уравнению

∂x p(hS ) + ghS ∂x b = 0 on (0, X), (1.12)

т.е. просто к формуле hS (x) + b(x) ≡ C на [0, X].

1.1.2. Введем неравномерную пространственную сетку ω̄h с узлами 0 =

x0 < x1 < · · · < xN = X и шагами ∆i = xi −xi−1 . Пусть ∆max := max16i6N ∆i .

Также будем использовать вспомогательную (сопряженную) сетку ωh∗ с узла-

ми xi+1/2 = (xi + xi+1 )/2, 0 6 i 6 N − 1 и шагами ∆ ˆ i = xi+1/2 − xi−1/2 =

(∆i + ∆i+1 )/2.

Для функций v, заданных на ω̄h , и y, заданных на ωh∗ , введем операторы

усреднения и сдвига, а также разностные отношения:

vi+1 − vi

[v]i+1/2 = 0.5(vi + vi+1 ), v−,i+1/2 = vi , v+,i+1/2 = vi+1 , δvi+1/2 = ,

∆i+1

∆i ∆i+1 yi+1/2 − yi−1/2

[y]∗i = yi−1/2 + yi+1/2 , δ ∗ yi = .

2∆ˆi 2∆ˆi ∆ˆi

Операторы [·], (·)± и δ переводят функции, заданные на ω̄h , в функции, за-

данные на ωh∗ , а [·]∗ и δ ∗ переводят функции, заданные на ωh∗ , в функции,

−1

заданные на ωh = {xi }N i=1 .

В дальнейшем нам понадобятся два разностных аналога формулы диффе-

ренцирования произведения

δ(uv) = δu · [v] + [u]δv, (1.13)

δ ∗ (y[v]) = δ ∗ y · v + [yδv]∗ (1.14)

(u задана на ω̄h ). Для уменьшения количества скобок далее предполагаем,

что, например, δu · [v] = (δu)[v] (т.е. знак умножения · прекращает действие

предшествующих операторов). Формула (1.14) успешно использовалась, в

частности, в [1]. Будем также использовать формулы

vi+1 − vi−1

[δv]∗i = δ ∗ [v]i = , (1.15)

ˆi

2∆

∗

[y]∗ v = y[v] − 0.25δ ∗ (∆2+ yδv).



(1.16)

Обращаясь к [32], сначала построим трехточечную симметричную по про-

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Гаврилин Владимир Алексеевич, 2016 год

Список литературы

[1] Амосов А.А., Злотник А.А. Разностные схемы второго порядка точ-

ности для уравнений одномерного движения вязкого газа // Ж. вычисл.

матем. и матем. физ. 1987. Т. 27. № 7. С. 1032–1049.

[2] Бахвалов Н.С., Жидков Е.П., Кобельков Г.М. Численные методы.

М.: Наука, 1987.

[3] Булатов О.В. Аналитические и численные решения уравнений Сен-

Венана для некоторых задач о распаде разрыва над уступом и ступенькой

дна // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2014. Т. 54. № 1. С. 149–163.

[4] Булатов О.В., Елизарова Т.Г. Регуляризованные уравнения мелкой

воды и эффективный метод численного моделирования течений в неглу-

боких водоемах // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2011. Т. 51. № 1. С.

170–184.

[5] Гаврилин В.А. О квазигазодинамическом подходе к численному реше-

нию уравнений Эйлера для реального газа // Труды XVIII междуна-

родной научно-технической конференции “Информационные средства и

технологии”. 2010, Изд-во МЭИ. Т. 1. С. 242–249.

[6] Гаврилин В.А. О свойствах квазигидродинамической системы уравне-

ний в случае реального газа // Тезисы докладов шестнадцатой между-

народной научно-технической конференции студентов и аспирантов “Ра-

диоэлектроника, электротехника и энергетика”. 2010, Изд-во МЭИ. Т. 1.

С. 326–327.

[7] Гаврилин В.А. Квазигазодинамический метод решения уравнений Эй-

лера реального газа // Тезисы докладов V Международной конференции

“Математические идеи П.Л. Чебышёва и их приложение к современным

проблемам естествознания”. Обнинск: ИАТЭ НИЯУ МИФИ, 2011. С. 34–

35.

[8] Гаврилин В.А. Квазигазодинамический метод решения уравнений Эй-

лера для газа Ван-дер-Ваальса // Труды XIX международной научно-

технической конференции “Информационные средства и технологии”.

2011. М.: Изд-во МЭИ. Т. 3. С. 194–199.

83

 [9] Гаврилин В.А. Квазигазодинамический метод решения уравнений Эй-

лера для газа Ван-дер-Ваальса // Тезисы докладов семнадцатой между-

народной научно-технической конференции студентов и аспирантов “Ра-

диоэлектроника, электротехника и энергетика”. 2011, Изд-во МЭИ. Т. 1.

С. 325–327.

[10] Гаврилин В.А., Злотник А.А. О пространственной дискретизации

одномерной квазигазодинамической системы уравнений с общими урав-

нениями состояния и балансе энтропии // Ж. вычисл. матем. и матем.

физ. 2015. Т. 55. № 2. С. 267–284.

[11] Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1966.

[12] Годунов С.К., Забродин А.В., Иванов М.Я. и др. Численное ре-

шение многомерных задач газовой динамики. М.: Наука, 1976.

[13] Годунов С.К., Манузина Ю.Д., Назарьева М.А. Эксперименталь-

ный анализ сходимости численного решения к обобщенному решению в

газовой динамике // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2011. Т. 51. № 1.

С. 96–103.

[14] Головизнин В.М., Зайцев М.А.,Карабасов С.А., Короткин И.А.

Новые алгоритмы вычислительной гидродинамики для многопроцессор-

ных вычислительных комплексов. М.: изд-во Московского университета,

2013.

[15] Елизарова Т.Г. Квазигазодинамические уравнения и методы расчета

вязких течений. М.: Научный мир, 2007.

[16] Елизарова Т.Г., Булатов О.В. Численное моделирование течений газа

на основе квазигидродинамических уравнений // Вестник Московского

университета. Серия 3. Физика. Астрономия. 2009. № 6. С. 29–33.

[17] Елизарова Т.Г., Злотник А.А., Никитина О.В. Моделирование од-

номерных течений мелкой воды на основе регуляризованных уравнений.

Препринты ИПМ им. М. В. Келдыша 2011 №33, C. 1–36.

[18] Елизарова Т.Г., Истомина М.А., Шелковников Н.К. Формирова-

ние уединенной волны в кольцевом аэрогидроканале // Матем. модели-

рование. 2012. Т. 24. № 4. С. 107–116.

84

[19] Елизарова Т.Г., Сабурин Д.С. Численное моделирование колебаний

жидкости в топливных баках // Матем. моделирование. 2013. Т. 25. № 3.

С. 75–88.

[20] Елизарова Т.Г., Шильников Е.В. Возможности квазигазодинамиче-

ского алгоритма для численного моделирования течений газа // Ж. вы-

числ. матем. и матем. физ. 2009. Т. 49. № 3. С. 549–566.

[21] Елизарова Т.Г., Шильников Е.В. Анализ вычислительных свойств

квазигазодинамического алгоритма на примере решения уравнений Эй-

лера // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2009. Т. 49. № 11. С. 1953–1969.

[22] Зельдович Я.В., Райзер Ю.П. Физика ударных волн и высокотемпе-

ратурных гидродинамических явлений. М.: Наука-Физматлит, 1966.

[23] Злотник А.А. Классификация некоторых модификаций системы урав-

нений Эйлера // Доклады АН. 2006. T. 407. N 6. С. 747–751.

[24] Злотник А.А. О параболичности квазигидродинамической системы

уравнений и устойчивости малых возмущений для неё // Матем. замет-

ки. 2008. Т. 83. № 5. С. 667–682.

[25] Злотник А.А. Энергетические равенства и оценки для баротропных

квазигазо- и квазигидродинамических систем уравнений // Ж. вычисл.

матем. и матем. физ. 2010. Т. 50. № 2. С. 325–337.

[26] Злотник A.A. О квазигазодинамической системе уравнений с общими

уравнениями состояния и источником тепла // Матем. моделирование.

2010. Т. 22. № 7. С. 53–64.

[27] Злотник A.A. Линеаризованная устойчивость равновесных решений

квазигазодинамической системы уравнений // Доклады АН. 2010. Т. 433.

№ 6. С. 599–603.

[28] Злотник А.А. Квазигазодинамическая система уравнений с общими

уравнениями состояния // Доклады АН. 2010. Т. 431. № 5. С. 605–609.

[29] Злотник А.А. Пространственная дискретизация одномерных квазига-

зодинамических систем уравнений и уравнения баланса энтропии и энер-

гии // Доклады АН. 2012. Т. 445. № 2. С. 127–131.

[30] Злотник А.А. О построении квазигазодинамических систем уравнений

и баротропной системы с потенциальной массовой силой // Матем. мо-

делирование. 2012. Т. 24. № 4. С. 65–79.

85

[31] Злотник А.А. Пространственная дискретизация одномерной квазигазо-

динамической системы уравнений и уравнение баланса энтропии // Ж.

вычисл. матем. и матем. физ. 2012. Т. 52. № 7. С. 1304–1316.

[32] Злотник А.А. Пространственная дискретизация одномерной баротроп-

ной квазигазодинамической системы уравнений и уравнение энергетиче-

ского баланса // Матем. моделирование. 2012. Т. 24. № 10. С. 51–64.

[33] Злотник А.А., Гаврилин В.А. О критериях параболичности квази-

гидродинамической системы уравнений в случае реального газа // Вест-

ник МЭИ. 2009. № 6. С. 116–126.

[34] Злотник А.А., Гаврилин В.А. Пространственная дискретизация од-

номерной квазигазодинамической системы уравнений с общими уравне-

ниями состояния и уравнение баланса энтропии. // Тезисы докладов

XX Всероссийской конференции “Теоретические основы и конструиро-

вание численных алгоритмов решения задач математической физики”.

М.: ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 2014. С. 65.

[35] Злотник А.А., Гаврилин В.А. О дискретизации одномерной квази-

гидродинамической системы уравнений для реального газа // Вестник

МЭИ. 2016. №1. С. 5–14.

[36] Злотник А.А., Четверушкин Б.Н. О параболичности квазигазодина-

мической системы уравнений, её гиперболической 2–го порядка модифи-

кации и устойчивости малых возмущений для них // Ж. вычисл. матем.

и матем. физ. 2008. Т. 48. № 3. С. 445–472.

[37] Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 1. Теория

равновесных систем. Термодинамика. Изд. 2-е. М.: Едиториал УРСС,

2002.

[38] Куликовский А.Г., Погорелов Н.В., Семенов А.Ю. Математиче-

ские вопросы численного решения гиперболических систем уравнений,

изд. 2-е. М.: Физматлит, 2012.

[39] Магомедов К.М., Холодов А.С. Сеточно-характеристические чис-

ленные методы. М.: Наука, 1988.

[40] Петровский И.Г. Избранные труды. Системы уравнений с частными

производными. Алгебраическая геометрия. М.: Наука, 1986.

[41] Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 1. М.: Наука, 1973.

86

[42] Четверушкин Б.Н. Кинетические схемы и квазигазодинамическая си-

стема уравнений. М.: МАКС Пресс, 2004.

[43] Шеретов Ю.В. Динамика сплошных сред при пространственно-вре-

менном осреднении. Москва–Ижевск: Регулярная и хаотическая дина-

мика, 2009.

[44] Шеретов Ю.В. Регуляризованные уравнения гидродинамики. Тверь:

Тверской госуниверситет, 2016.

[45] Эйдельман С.Д. Параболические системы. М.: Наука, 1964.

[46] Akoh R., Ii S., Xia F. A multi-moment finite volume formulation for

shallow water equations on unstructured mesh // J. Comput. Phys. 2010.

№229, P. 4567–4590.

[47] Benkhaldoun F., Seaı̈d M. A simple finite volume method for the shallow

water equations // J. Comput. Appl. Math. 2010. №234, P. 58–72.

[48] Buffard T., Gallouet T., Herard J.-M. A sequel to a rough Godunov

scheme: application to real gases // Comput. Fluids. 2000. V. 29. № 7. P.

813–847.

[49] Elizarova T.G., Bulatov O.V. Regularized shallow water equations and a

new method of numerical simulation of the open channel // Comput. Fluids.

2011. №46, P. 206–211.

[50] Gallouet T., Herard J.M., Seguin N. Some approximate Godunov

schemes to compute shallow-water equations with topography // Comput.

Fluids. 2003. №32, P. 479–513.

[51] LeVeque R.J. Finite volume methods for hyperbolic problems. Cambridge:

Cambridge Univ. Press, 2004.

[52] Noelle S., Pankratz N., Puppo G., Natvig J.R. Well-balanced finite

volume schemes of arbitrary order of accuracy for shallow water flows // J.

Comput. Phys. 2006. №213, P. 474–499.

[53] Noh W.F. Errors for calculations of strong shocks using an artificial viscosity

and artificial heat flux // J. Comput. Phys. 1987. V. 72. P. 78–120.

[54] Tang, H.-Z. Gas-kinetic schemes for compressible flow of real gases //

Comput. Math. Appl. 2001 V. 41. № 3. P. 723–734.

87

[55] Toro E.F. Riemann solvers and numerical methods for fluid dynamics, 3rd

ed. Berlin: Springer, 2009.

[56] Vignoli G., Titarev V.A., Toro E.F. ADER schemes for the shallow

water equations in channel with irregular bottom elevation // J. Comput.

Phys. 2008. №227, P. 2463–2480.

[57] Xu K. A well-balanced gas-kinetic scheme for the shallow-water equations

with source terms // J. Comput. Phys. 2002. №178, P. 533–562.

[58] Zhang S.Q., Ghidaoui M.S., GrayW.G., Li N.Z. A kinetic flux vector

splitting scheme for shallow water flows // Adv. Water Resour. 2003. №26.

P. 635–647.

[59] Zlotnik A., Gavrilin V. On quasi-gasdynamic system of equations with

general equations of state and its application // Math. Model. Anal. 2011.

V. 16. № 4. P. 509–526.

[60] Zlotnik A., Gavrilin V. On a conservative finite-difference method for

1D shallow water flows based on regularized equations, in: Mathematical

Problems in Meteorological Modelling. Mathematics in Industry. Berlin:

Springer, 2016 (в печати).

88