Некоторые особые случаи краевой задачи Гильберта тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Хасанова, Энже Назиповна

• Хасанова, Энже Назиповна
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Хасанова, Энже Назиповна

Оглавление

Введение

Глава 1. Краевая задача Гильберта с двусторонним разного степенного порядка завихрением на бесконечности

1.1. Устранение счетного множества точек разрыва коэффициентов краевого условия

1.2. Однородная задача с единственной точкой разрыва второго рода

на бесконечности

1.3. Однородная задача с бесконечным числом точек разрыва

1.4. Неоднородная краевая задача

1.5. Общее решение неоднородной задачи

Глава 2. Конформные отображения, реализуемые обобщенным интегралом Кристоффеля-Шварца

2.1. Построение конформного отображения верхней полуплоскости на полигональную область в случае двустороннего завихрения

на бесконечности логарифмического порядка степени и к-

2.2. Замкнутость образа границы конформного отображения

2.3. Исследование однолистности конформного отображения при =

К- = 1

2.4. Исследование однолистности конформного отображения при 0 <

к- < 1 и 0 < к,+ < 1

2.5. Условия существования однолистных отображений

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Некоторые особые случаи краевой задачи Гильберта»

Введение

Актуальность темы исследования.

Первая глава настоящей диссертации посвящена исследованию особых случаев краевой задачи Гильберта. В классической постановке задача формулируется следующим образом: требуется найти аналитическую в области И функцию Р(г) = и(х,у) + т(х,у), которая непрерывно продолжаема на простую гладкую замкнутую границу Ь = дИ по краевому условию

а(г)и(г) — Ь(ф(г) = ф), г е ь,

где а(Ъ), Ь{Ъ), ф) — заданные вещественнозначные функции, для которых выполняется условие Нц, т. е. условие Гёльдера. Будем говорить, что функция (р(Ъ) удовлетворяет условию Н^ на Ь ([34], стр. 67 и [16], стр. 20) если для любых двух точек ¿1 е Ь, е Ь выполняется неравенство 1^р(Ь) — {р(^1)1 < —^ в случае неограниченного контура в окрестности бесконечности условие Н^ понимаем как 2) — ^(Ь1)| < А\1/Ь2 — 1/Ь^, где Лид — это положительные числа, д < 1. Кроме этого, считается, что функции а(Ъ) и Ь(Ъ) не обращаются в нуль одновременно, в виде формулы полагаем а2(Ь) + Ь2(Ь) = 0. Вводится функция С(г) = а(г) — гВД, справедливо С(г) = 10(1)1 е™®, где ф) = агд[а(г) — гВД] называется аргументом коэффициентов краевого условия.

Рождением постановки задачи Гильберта принято считать работу Рима-на [41], в которой в виде теоретических рассуждений сказано о том, что вместо предопределения действительной части регулярной в И функции Г(1) на контуре можно попробовать задать некоторое соотношение между Ве Г(1) и 1т Г(¿). Впервые задачу в такой постановке рассмотрел Давид Гильберт [82], [83]. Он предложил решение методом преобразования краевого условия этой задачи к обобщенной задаче Шварца. Поставленное Гильбертом решение не было разработано в подробностях, однако легло в основу всех дальнейших исследований.

Идею решения задачи, которую предложил Гильберт в работе [83], продол-

жил и развил Ф.Д. Гахов [16], [17] в докторской диссертационной работе. Федор Дмитриевич разработал совокупность приемов решения задачи Гильберта, которую назвал методом регуляризующего множителя. Данное понятие оказалось полезным и при решении задачи Гильберта, и при нахождении решения краевых задач в обратной постановке. В настоящее время этот подход к решению является одним из самых эффективных способов определения искомой функции. Кроме метода, предложенного Ф.Д. Гаховым, существует альтернативный подход к решению этой задачи, разработанный Н.И. Мусхелишвили. Николай Иванович получил ответ путем сведения решения задачи Гильберта к соответствующему по особенностям решению задачи Римана [34].

Этими двумя способами отыскания решения были найдены основные результаты по краевой задаче с конечным индексом, в том числе с непрерывными коэффициентами или для случая, когда функции а(Ь), Ъ(Ь), с(Ь) кусочно непрерывны (см., например, Н.И. Мусхелишвили [34], с.140-155, с. 302-308, Р.Б. Салимов и В.В. Селезнев [44], [45]). Следующим этапом в этом направлении развития теории явилась работа Ю.В. Обносова [37], в которой представлено полное и подробное исследование задачи с дефинитивным количеством точек разрыва степенного порядка большего единицы у правой части краевого условия и конечного числа разрывов первого рода функций а(Ь), Ъ(Ь), с(Ь) .

Целесообразно заметить, что одним из важных понятий задачи Гильберта является, уже упомянутый выше, индекс к,, так как существует прямая зависимость между разрешимостью задачи и величиной к,.

Например, при 0 < к < ж, индекс задает порядок полиномов, которые определяют общее решение. Если посчитать индекс задачи невозможно, возникают различные особые случаи, открываются новые горизонты поиска решений и зарождаются нетривиальные подходы. Таким образом, задачи с неопределенным индексом к завоевали особый интерес, Ф.Д. Гахов считал теорию краевых задач с таким индексом значимой и имеющей перспективу дальнейшего развития дисциплиной [16], с.9.

Бесконечный индекс краевой задачи возникает в случае, когда коэффициенты a(t), b(t) имеют разрывы второго рода. Впервые результаты по решению краевых задач с такой особенностью появились в начале шестидесятых годов XX века. Значимым этапом в развитии теории задач с бесконечным индексом являются работы Н.В. Говорова [18], [19], [20]. Николай Васильевич создал аппарат решения, разработал эстетику и философию таких краевых задач и первым эффективно рассмотрел случай вырождения индекса. Им была решена задача Римана с вырожденным индексом степенного типа, то есть c разрывом второго рода на бесконечности у аргумента G(t) и краевыми условиями на гладком неограниченном разрезе. Н.В. Говоров получил формулы решения и исследовал разрешимость следующей краевой задачи.

Задача Римана рассматривается в плоскости с разрезом по разомкнутой кривой Ляпунова, уходящей в бесконечность, в частном случае берется разрез по лучу 1 < t < Требуется определить аналитическую функцию ),

которая может быть непрерывно продолжена на границу слева Ф+(£) и справа Ф-(£) по краевому условию

Ф+(*) = С(ф-(t) + g(t),

где argG(t) удовлетворяет условию Гельдера на контуре, а в бесконечности имеет степенную особенность, кроме этого функции ln lG(t)l и g(t) являются гладкими и ограниченными. Эту задачу Н.В. Говоров решил не только в классе функций ограниченных, но и в плоскости с разрезом в классе функций, который Николай Васильевич назвал классом вполне регулярного роста.

Результаты Н.В. Говорова [18], [19], [20] стали толчком в развитии теории краевых задач для регулярных функций в случаях вырождения индекса. Идеи Говорова нашли продолжение в трудах П.Г. Юрова [70], [71] о решении задачи Римана в случае, когда arg G(t) = 0(\na t), t ^ а > 0. Работы М.Э. Толочко [63], [64], [65] посвящены изучению задачи Римана для полуплоскости в случае неопределенного индекса порядка 0 < р < 1 степенного типа,

когда ат^С^) = 2тр^)Щр, то есть с двусторонним порядком завихрения р на бесконечности. Тогда же возник случай стремления к бесконечности

одинаковых знаков при £ ^ ±то, то есть неопределенно бесконечный индекс.

Естественное развитие теории краевых задач проходило при усложнении свойств контура или поведения коэффициентов граничного условия. Задачу Ри-мана с неопределенным индексом на полуплоскости и с двусторонним разного степенного порядка завихрением изучал И.Е. Сандрыгайло [58], [59]. П.Ю. Алекна [5], [6] исследовал задачу, используя результаты Юрова [70], [71] для замкнутого контура для двустороннего логарифмического порядка завихрения. А.Г. Алехно [10], [11] работал над краевой задачей Римана с многосторонней точкой завихрения на бесконечности и на некоторых классах жордано-вых кривых. Л.И. Чибрикова [67], [68] решила задачу Римана на луче [0, то) с индексом к = то степенно-логарифмического порядка для функций с заданным индикатором роста. Задача для неограниченного контура рассматривалась Ф.Н. Гарифьяновым в [14], [15]. Кроме этого, задача Римана с индексом то для различных нетривиальных случаев изучались в работах Б.А. Каца [23], [24], И.В. Островского [38], Р.Б. Салимова [42]. В работах [32], [33] В.Н. Монаховым и Е.В. Семенко терминах класса корректности коэффициентов краевого условия представлена разрешимость задачи Римана на действительной оси в классе Нр, р > 1. Итак, существует множество работ, посвященных изучению задачи Римана, после освоения которых, стало возможным получение решения и изучения задачи Гильберта с различными особенностями коэффициентов методом Николая Ивановича Мусхелишвили.

Задача Гильберта с индексом то степенного порядка впервые была рассмотрена И.Е. Сандрыгайло в одна тысяча девятьсот семьдесят четвертом году. Им была исследована задача с бесконечным, т. е. неопределенным индексом с порядком степенного типа меньше единицы. Исследование проводилось для полуплоскости с непрерывными на произвольном конечном промежутке оси 1т = 0 коэффициентами [60] и с условиями aтgG(t) = 0 < р < 1, ^(Ъ) е Ир,

р > 1, = Х1, ^>(+ж) = Х2. Где Dp — это класс функций, для которых

справедливо |^(£i) — p(t2)I < Аln—p \t™t21, m > 2c, если t1,t2 G [—c,c], с > 0,

и |^(i1) — p(t2)l < Aln—p , _d , d > 2-, если t1 ,t2 G (—ж, —с] или [с, +ж).

Fl I 2С

Разрешимость задачи c c(t) = 0 была определена для класса функций экспоненциального порядка р убывания на бесконечности и установлена посредством метода Мусхелишвили. Неоднородную задачу Гильберта И.Е. Сандрыгайло исследовал при иных ограничениях и получил решение для класса ограниченных функций, ссылаясь на М.Э. Толочко [63].

Используя метод Н.И. Мусхелишвили, П.Ю. Алекна [7] изучил задачу Гильберта с неопределенным индексом логарифмического типа с особенностью на бесконечности у непрерывной на произвольном конечном интервале функции аргумента краевого условия в следующей постановке. Функция arg G(t) = arg{a(i) + ib(t)} для любого К,К > 0, и произвольных чисел а > 0, ß > 0, имеет представление

( (pi(t)lna ItI, t < —К, arg G(t)= l

{ (p2(t) lnß t, t > K,

в котором функция ф1(t) G Dм на промежутке (—ж, —К), р, > а + 1, и ^(—ж) = Х1, а функция <ß2(t) G Dv для t G (К, +ж), v > ß + 1, и ^>2(+ж) = Х2, причем Л2 + А2 = 0. После этого задачу Гильберта можно решить, рассматривая все решения специальной задачи Римана, удовлетворяющие дополнительному ограничению симметрии.

Целесообразность решения задачи Гильберта совокупностью приемов Га-хова обусловлена развитием теории краевых задач для регулярных функций и разными приложениями задачи с особенностями коэффициентов в физике плазмы [12], [13], в гидродинамике [62], к безмоментной теории оболочек [22], в задаче взрыва на выброс [43]. Соответственно сказанному, решение краевой задачи Гильберта способом Гахова представляется актуальным.

Для случая неопределенного индекса степенного типа Р.Б. Салимовым и

П.Л. Шабалиным [50] (см. также [53] с. 84-89) разработана модификация метода Гахова. Их модификация основана на аналитическом выделении в явном виде особенностей функций а(Ь), Ъ(Ь) граничного условия. Более прозрачная формула общего решения, которую получили Расих Бахтигареевич и Павел Леонидович, позволила выделить случай единственности решения, в работе И.Е. Сандрыгайло [60] об этом не было сказано. Дальнейшее развитие метода Гахова допустило использовать его при решении и исследовании разрешимости задач с особенностью индекса степенного характера на бесконечности и бесконечным числом разрывов у функций а(Ь), Ъ(Ь) первого рода [51]. Асимптотические формулы Юрова [69] позволили применять этот метод и для решения задачи с логарифмическим характером индекса [48], [96].

Важно отметить, что задача Гильберта с неопределенным индексом не исследована полностью в полуплоскости. В частности, оставалась не изученной задача с единственной точкой разрыва второго рода коэффициентов а(Ь), Ъ(Ь), приводящая к двустороннему разного порядка завихрению на бесконечности степенного типа. Кроме этого, не была рассмотрена задача Гильберта с бесконечным количеством точек разрыва, в которых аргумент С(Ъ) имеет конечный скачек, и двусторонним завихрением на бесконечности разного порядка степенного типа функций а(Ъ), Ь(Ь). В первой главе настоящей диссертации автором приводится решение задачи в перечисленных выше случаях ужесточения условий на коэффициенты краевого условия.

Установлено, что формула решения краевой задачи Гильберта может быть использована для построения структурной формулы Кристоффеля — Шварца ([28], с. 226) отображения полуплоскости на многоугольник. Вторая глава посвящена обобщению этой формулы для отображения верхней полуплоскости 1т х > 0 на случай бесконечного числа вершин полигональной области, границу которой можно аппроксимировать двумя спиралями, начинающимися в одной точке, и угол наклона касательной при обходе границы спирали имеет асимптотику 0(\па Ь),а > 0,1 ^ то. Прежде чем перейти к содержанию второй

главы диссертации, остановимся подробнее на самой формуле Кристоффеля — Шварца и истории конформных отображений этим интегралом. Как известно из курса тфкп, в интеграл Кристоффеля — Шварца входят в качестве параметров величины а&, прообразы вершин , где к = 1,п, и вещественные числа С,С\,Р. Если п—угольник задан, то величины углов к = 1,п, известны, а точки , называемые акцессорными параметрами, подлежат определению.

Также, можно рассматривать задачу Кристоффеля — Шварца в иной постановке и считать точки и числа а&, для которых к = 1,п, заданными. В этом случае к формуле конформного отображения можно относиться как к структурной формуле класса конформных отображений с произвольно выбранными прообразами вершин на границе канонической области на п-угольник Оп(а1..., ап) с конкретными углами при неопределенных координатах вершин. Ясно, что в этом случае отображение Кристоффеля — Шварца не обязательно будет однолистным. Более того, корректен вопрос, всегда ли в данном классе отображений есть однолистные [86]. Ответом на этот вопрос, который поставил Каплан в работе [86], послужила работа Ф.Г. Авхадиева, Л.А. Аксентьева, Г.Г. Бильченко [2] в которой доказано, что при данной последовательности вещественных величин с условием

п

0 < аи < 2, к = 1,п, ^^а^ = п — 2,

к=1

существует такая упорядоченная последовательность точек , к = 1,п, что интеграл Кристоффеля — Шварца будет однолистным. Ф.Г. Авхадиев, Л.А. Ак-сентьев, Г.Г. Бильченко [2] и Л.А. Аксентьев, Г.Г. Бильченко [3], рассмотрели задачу об отображении полуплоскости на многоугольник с предопределенными углами при неизвестных вершинах для конечного количества вершин многоугольника.

В процессе развития теории конформных отображений на многоугольники, естественным образом возникла задача поиска формулы конформного отображения на "многоугольники"с бесконечным количеством вершин. Таким обра-

зом появилось понятие полигональной области со счетным множеством вершин (счетноугольник) и некоторое количество трудов, где обобщается интеграл Кри-стоффеля — Шварца на случай счетноугольника. Условно все работы можно поделить на два типа. К первому отнесем задачи, в которых полигональные области полностью определены и сложность исследований заключается в нахождении акцессорных параметров формулы конформного отображения. Развитие аналитических и численных методов поиска конформных отображений потребовало разработки различных способов нахождения этих параметров, примеры представлены в работах L. Banjai, L.N. Trefethen [74], R.T. Davis [77], И.А. Александров [8], [9], И.А. Колесников [25], [26], С.А. Копанева и Л.С. Копанев [27], С.Р. Насыров, Л.Ю. Низамиева [36], Н.Н. Накипов, С.Р. Насыров [35], J.M. Floryan [79], [80], V.Y. Gutlyanskii и A.O. Zaidan [81], T. Hopkins, D.Roberts [84], K. Pearce [88], G. Riera, H. Carrasco, R. Preiss [89], D. Crowdy [76].

Начало второму направлению положила работа М.А. Лаврентьева [28] об отображении полуплоскости на многоугольник с предопределенными углами при неизвестных координатах вершин. Затем Р.Б. Салимов, П.Л. Шабалин в [54] рассмотрели обратную задачу М.А. Лаврентьева. В дальнейшем были исследованы различные задачи с бесконечным количеством углов, в которых прообразы угловых точек, как и углы при неизвестных вершинах, считаются заданными. На пути применения задачи Гильберта для построения конформного отображения верхней полуплоскости на полигональные области, рассмотрены задачи с различными особенностями коэффициентов. Например, в [57] получена формула отображения полуплоскости с известными прообразами угловых точек на полигональную область с конкретными углами при неопределенных вершинах в случае счетного числа вершин полигональной области и конечного вращения касательной к образу полуплоскости, а в труде Р.Б. Салимова и П.Л. Шабалина [47] изучен случай неограниченного вращения касательной степенного порядка р < 1, имеется в виду, что угол наклона касательной к образу вещественной оси при данном отображении имеет асимптотику a(t) = 0(ЩР), t ^ ж, 0 < р < 1.

При построении формул конформного отображения использовалось частное решение краевой задачи Гильберта с бесконечным числом точек разрыва первого рода и конечным или бесконечным (степенного порядка завихрением меньше единицы) индексом. В работах [46], [47] изучен случай неограниченного вращения касательной степенного порядка меньшего единицы, имеется в виду, что угол наклона касательной к образу вещественной оси при данном отображении имеет асимптотику а(Ъ) = 0(ЩР), Ь ^ то, 0 < р < 1. В совместной работе автора и П.Л. Шабалина [96] исследовано неограниченное вращение касательной логарифмического порядка, который не меньше единицы.

Во второй главе настоящей диссертации речь идет о построении структурной формулы конформного отображения верхней полуплоскости на полигональную область с неограниченным вращением касательной логарифмического порядка. Граница полигональной области состоит из двух ломанных линий, которые можно аппроксимировать двумя спиралями, начинающимися в одной точке. Для получения отображения используется частное решение краевой задачи Гильберта с бесконечным количеством точек разрыва из работы [47]. Как было сказано выше, для задачи в такой постановке однолистность не очевидна, а значит, требуются дополнительные исследования. Три параграфа второй главы посвящены исследованию однолистности построенных отображений. Изучение однолистности таких отображений проводится впервые и доказывается оригинальным методом. Обратим внимание, что в работе [47], в которой речь шла об отображении на полигональную область с неограниченным вращением касательной степенного порядка, вопрос однолистности авторами не затрагивался. Здесь же отметим, что отображения обобщенным интегралом Кристоффеля — Шварца в случае неограниченного вращения касательной к образу, примыкающие к результату цитированной выше работы [2], представляют интерес с точки зрения полигональной аппроксимации спрямляемой границы с последующим распрямлением ее конформным отображением области на полуплоскость.

Кроме этого, хотелось бы отметить, что интегральная формула Кристоф-

феля — Шварца применяется для проектирования различных объектов и ее можно применить в аэронавтике для моделирования движения воздуха около крыльев сложной формы, теорема помогает объяснить некоторые модели в природе, например, см. [85], [87]. Однако классическая формула не может применяться для объектов, имеющих отверстия, сложную геометрию и неоднородную структуру. В 2008 г. профессор Дарен Кроуди в работах [75], [76] продемонстрировал, что с помощью групп Шоттки классическую формулу Кристоффеля — Шварца можно обобщить и затем применять к объектам любой формы. Современные достижения позволяют многократно расширить сферу математического моделирования.

С учетом сказанного выше тему настоящей диссертации следует считать актуальной и интересной.

Цели и задачи диссертационной работы:

Цель диссертационной работы заключается в развитии теории краевой задачи Гильберта для регулярных (аналитических) функций с сильными особенностями коэффициентов; разработке подходов к построению структурных формул конформного отображения на некоторые полигональные области, используя решение задачи Гильберта в случае логарифмического завихрения на бесконечности коэффициентов а(Ъ), Ь(Ъ); исследовании однолистности построенных конформных отображений. В связи с перечисленными целями настоящей диссертации можно выделить следующие задачи:

— Исследовать задачу Гильберта в случае, когда функции а(Ь), Ъ(1) имеют разрыв второго рода на то, приводящий к с двустороннему степенному завихрению на бесконечности. Получить необходимые и достаточные условия, при которых задача имеет решения.

— Построить формулы общего решения для краевой задачи Гильберта с бесконечным числом точек в которых аргумент С(Ъ) испытывает конечный скачек, в случае, когда функции а(Ь), Ъ(1) имеют разрыв второго рода на то, приводящий к с двустороннему степенному завихрению на бесконечности в классах

регулярных и ограниченных функций в верхней полуплоскости.

— Исследовать задачу Гильберта, когда функции а(Ь), Ь^) имеют разрыв второго рода на то, и когда аргумент С(Ъ) испытывает конечный скачек в бесконечном числе точек контура . Получить необходимые и достаточные условия, при которых задача имеет решения.

— Построить формулу конформного отображения полуплоскости 1т х > 0 на полигональную область с бесконечным числом вершин и поведением касательной на то вида 0(1 па(Ь)).

— Установить существование однолистных отображений среди построенных. Выяснить условия, без которых однолистных отображений среди построенных и заданных структурной формулой не будет, и условия, при соблюдения которых будут существовать однолистные отображения.

Научная новизна.

Представленные в настоящей диссертации результаты обобщают классические задачи тфкп на не рассмотренные ранее случаи, поэтому результаты исследований диссертации представляют собой оригинальный материал. Впервые решена неоднородная задача Гильберта с двусторонним разного степенного порядка завихрением на бесконечности, сформулированы и доказаны теоремы, описывающие картину разрешимости однородной и неоднородной задач в данной формулировке. Впервые получено решение задачи Гильберта, когда функции а(Ъ), Ь(Ъ) имеют разрыв второго рода на то, и когда аргумент С(Ъ) испытывает конечный скачек в бесконечном числе точек контура . Впервые получена формула конформного отображения, обобщающая формулу Кристоффеля — Шварца на случай счетного числа вершин и бесконечного вращения касательной логарифмического типа 0(1па(р)) при обходе границы области. Выявлены условия, при которых среди построенных отображений будут существовать однолистные.

Теоретическая и практическая значимость.

Результаты диссертации носят теоретический характер, однако получен-

ные выводы и обобщения краевой задачи Гильберта, а также формулы Кри-стоффеля — Шварца могут быть полезны при изучении задач с еще не рассмотренными особенностями, в частности при решении краевых задач теории аналитических функций с новым характером поведения индекса. Условия однолистности конформного отображения верхней полуплоскости на полигональную область, рассмотренные во второй главе, могут иметь приложения и использоваться другими научными коллективами для получения новых результатов на стыке наук. Содержание диссертационной работы можно частично включить в материалы спецкурсов для студентов, изучающих тфкп углубленно. Также на основе результатов данной диссертации можно развивать теорию краевой задачи Гильберта конформных отображений на полигональные области.

Методология и методы исследования.

В работе автор использовал методы теории краевых задач регулярных функций, теории потенциала, целых функций, геометрической теории функций комплексной переменной.

Положения, выносимые на защиту:

1. Решена краевая задача Гильберта в случае, когда коэффициенты а(Ь), Ь{Ъ) имеют разрыв второго рода на то, который приводит к с двустороннему степенному завихрению на бесконечности.

2. Решена краевая задача Гильберта для случая, когда функции а(Ь), Ъ(1) имеют разрыв второго рода на то, и когда аргумент С(Ъ) испытывает конечный скачек в бесконечном числе точек контура Ь.

3. Построена формула, обобщающая интеграл Кристоффеля — Шварца, для отображения полуплоскости 1т ^ > 0 на полигональную область с бесконечным числом вершин и поведением касательной на то вида 0(1па(Ъ)).

4. Установлено и доказано существование однолистных отображений среди построенных.

Степень достоверности и апробация результатов.

Все результаты диссертации обоснованны строгими математическими до-

казательствами и представлены автором на следующих конференциях.

1. Летняя школа-конференция «Теория функций, её приложения и смежные вопросы», г. Казань, 2013, 2015.

2. Молодежная школа-конференция «Лобачевские чтения», г. Казань, 2013, 2014, 2015.

3. XXII Международная конференция «Математика. Экономика. Образование», г. Новороссийск, 2014.

4. Международная научная конференция «Краевые задачи для дифференциальных уравнений и аналитических функций», г. Казань, 2014.

5. Зарубежная конференция «4-th Najman Conference on Spectral Problems for operators and matrices», Opatija, Croatia, 2015.

6. Международная конференция по алгебре, анализу и геометрии, г. Казань, 2016.

7. Уфимская математическая конференция с международным участием. г. Уфа, 2016.

По мере получения результаты диссертации подробно докладывались на семинаре ГТФКП под руководством Л.А. Аксентьева.

Публикации.

Основные результаты диссертации изложены в тринадцати печатных изданиях [97], [98], [96], [100], [101], [102], [103], [104], [105], [106], [107], [108], [109], из которых три [97], [96], [99] в журналах, рекомендованных ВАК.

Личный вклад автора.

Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора. Публикации [96], [99] выполнены в соавторстве с научным руководителем соискателя. В совместных работах научному руководителю принадлежат постановки задач. Основные результаты и доказательства получены соискателем лично.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, двух глав, и библиографии, содержащей

109 наименований. Общий объем диссертации составляет 94 страницы.

Первая глава данной диссертационной работы посвящена исследованию краевой задачи Гильберта теории аналитических функций с бесконечным числом точек, в которых аргумент С(Ъ) испытывает конечный скачек, и с двусторонним степенным разного порядка завихрением на бесконечности. Первая глава состоит из пяти параграфов. В первом параграфе представлены уже известные из [53], [52] результаты последовательности устранения бесконечного числа разрывов коэффициентов первого рода в однородной краевой задаче Гильберта.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Хасанова, Энже Назиповна, 2017 год

Список литературы

1. Авхадиев, Ф.Г. Конформные отображения и краевые задачи/ Ф.Г. Авхадиев - Казанский фонд «Математика», 1996. - 216 с.

2. Авхадиев, Ф.Г. Классы однолистных и многолистных интегралов Кристоф-феля-Шварца и их приложения/ Ф.Г. Авхадиев, Л.А. Аксентьев, Г.Г. Биль-ченко // Изв. вузов. Матем. - 1997. - № 3. - С. 64-67.

3. Аксентьев, Л.А. К обратной задаче для интегралов Кристоффеля-Шварца/ Л.А. Аксентьев, Г.Г. Бильченко // Изв. вузов. Матем. - 1997. - № 8. - С. 72-76.

4. Аксентьев, Л.А. Условия однолистности с квазиконформным продолжением и их применение/ Л.А. Аксентьев, П.Л. Шабалин // Изв. вузов. Матем. -1983. - № 2. - С. 6-14.

5. Алекна, П.Ю. Об однородной краевой задаче Римана с бесконечным индексом логарифмического порядка для полуплоскости / П.Ю. Алекна // Лит. матем. сб.- 1973. - №3. - С. 5-13.

6. Алекна, П.Ю. Неоднородная краевая задача Римана с бесконечным индексом логарифмического порядка 0 < 7 < 1 для полуплоскости / П.Ю. Алекна // Лит. матем. сб. - 1974. - №3. - С. 5-18.

7. Алекна, П.Ю. Краевая задача Гильберта с бесконечным индексом логарифмического порядка для полуплоскости /П.Ю. Алекна // Лит. матем. сб. -1977. - - №1. - С. 5-12.

8. Александров, И.А. Конформные отображения полуплоскости на области с симметрией переноса / И.А. Александров // Изв. вузов. Матем. - 1999. -№6 (445). - С. 15-18.

9. Александров, И.А. Отображение с симметрией вращения / И.А. Александров, Г.Д. Садритдинова // Изв. вузов. Матем. - 1998. - №10 (437). - С. 3-6.

10. Алехно, А.Г. Краевая задача Римана с бесконечным индексом в случае мно-

гостороннего завихрения/ А.Г. Алехно // Докл. АН БССР — 1981. — Т.25.

— №8. — С. 681—684.

11. Алехно, А.Г. Однородная краевая задача Римана с точкой многостороннего завихрения в случае разрывного коэффициента/ А.Г. Алехно // Сб. Научные труды юбилейного семинара по краевым задачам. Минск. Университетское.

— 1985. — С. 143—146.

12. Безродных, С.И. Задача Римана-Гильберта в сложной области для модели магнитного пересоединения в плазме/ С.И. Безродных, В.И. Власов // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 2002. — 42:3. — С. 277-312.

13. Безродных, С.И. Математические аспекты теории пересоединения в сильных магнитных полях./ С.И. Безродных, В.И. Власов, Б.В. Сомов // Известия Российской академии наук. Серия физическая. — 2006. — Т. 70. — № 1.

— С. 16—28.

14. Гарифьянов, Ф.Н. К решению однородной задачи Римана для неограниченного контура/ Ф.Н. Гарифьянов // Труды семинара по краевым задачам. -Казань: Изд. Казанского Ун-та. — 1980. — Вып.: 17. — С. 27—34.

15. Гарифьянов, Ф.Н. К решению неоднородной задачи Римана для неограниченного контура / Ф.Н. Гарифьянов // Труды семинара по краевым задачам.

— Казань: Изд. Казанского Ун-та. — 1982. — Вып.: 18. — С. 46—53.

16. Гахов, Ф.Д. Краевые задачи /Ф.Д. Гахов.— Труды семинара по краевым задачам. - Казань: Изд. Казанского Ун-та., М.: Наука, 1977. — 640 с.

17. Гахов, Ф.Д. Об обратных краевых задачах /Ф.Д. Гахов // Ученые записки КГУ — 1977. — Т. 113. — кн. 10. — С. 9—20.

18. Говоров, Н.В. Краевая задача Римана с бесконечным индексом / Н.В. Говоров. — М.: Наука, 1986.— 239 с.

19. Говоров, Н.В. О краевой задаче Римана с бесконечным индексом / Н.В. Говоров // ДАН СССР. — 1964. — Т. 164. — № 6. — С. 1247—1249.

20. Говоров, Н.В. Неоднородная краевая задача Римана с бесконечным индексом / Н.В. Говоров // ДАН СССР. — 1964. — Т. 159. — № 5. — С. 750—753.

21. Голузин, Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного / Г.М. Голузин. -М.: Наука, 1966. - 628 с.

22. Гольденвейзер, А.Л. О применении решений задачи Римана - Гильберта к расчету безмоментных оболочек / А.Л. Гольденвейзер // Прикл. матем. и мех. - 1951. - Т. XV. - № 2 - С. 149-166.

23. Кац, Б.А. Об однородной задаче Римана на кривой бесконечной длины / Б.А. Кац // Изв. Вузов. Матем. - 1992. - № 1. - С. 98 -101.

24. Кац, Б.А. Краевая задача Римана на негладких дугах и фрактальные размерности / Б.А. Кац // Алгебра и анализ. - 1994. - Т. 6. - № 1. - С. 32 -35.

25. Колесников, И.А. Конформное отображение на круговой многоугольник с двойной симметрией /И.А. Колесников // Вестн. Томск. гос. ун-та. Матем. и мех. - 2013. - № 6(26). - С. 20-26.

26. Колесников, И.А. Отображение на круговой счетноугольник с симметрией переноса /И.А. Колесников // Вестн. Томск. гос. ун-та. Матем. и мех. -2013. - № 2(22). - С. 33-43.

27. Копанев, С.А. Формула типа формулы Кристоффеля-Шварца для счетно-угольника / С.А. Копанев, Л.С. Копанева // Вестн. Томск. гос. ун-та. Матем. и мех. - 2003. - № 280. - С. 52-54.

28. Лаврентьев, М.А. Методы теории функции комплексного переменного. / М.А. Лаврентьев, Б.В.Шабат.-М.: Наука, 1966. - 736 с.

29. Левин, Б.Я. Распределение корней целых функций / Б.Я. Левин.- М.: Гостехиздат, 1956. - 632 с.

30. Маркушевич, А.И. Теория аналитических функций Т.2/ А.И. Маркушевич.- М.: Наука, 1968. - 624 с.

31. Мельник, И.М. Исключительный случай краевой задачи Римана / И.М. Мельник // Труды Тбилисского математического института. - 1971. - № 10:6. - С. 641-648.

32. Монахов, В.Н. Краевые задачи с бесконечным индексом в пространствух

Харди / В.Н. Монахов, Е.В. Семенко // ДАН СССР. — 1986. — Т. 291. — №3. — С. 544—547.

33. Монахов, В.Н. Классы корректности краевых задач сопряжения аналитических функций с бесконечным индексом / В.Н. Монахов, Е.В. Семенко // ДАН СССР. — 1986. — Т. 286. — № 1. — С. 27—30.

34. Мусхелишвили, Н. И. Сингулярные интегральные уравнения / Н.И. Мусхе-лишвили. — М.: Наука, 1968. — 511 с.

35. Насыров, С.Р. Параметрический метод нахождения акцессорных параметров в обобщенных интегралах Кристоффеля — Шварца / С.Р. Насыров, Н.Н. Накипов // Ученые записки казанского университета. Серия физико-математические науки. — 2016. — Т. 158. — № 2. — С.202—220.

36. Насыров, С.Р. Определение акцессорных параметров в смешанной обратной краевой задаче с полигональной известной частью границы / С.Р. Насыров, Л.Ю. Низамиева// Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. — 2011. — Т. 11. — № 4. — С. 34—40.

37. Обносов, Ю.В. К решению линейной задачи Гильберта в одном особом случае / Ю.В. Обносов // Изв. вузов. Математика. — 1979. — № 9. — С. 29—40.

38. Островский, И.В. Однородная краевая задача Римана с бесконечным индексом на криволинейном контуре /И.В. Островский // Докл. АН УССР. — 1991. — Сер.-А. — № 4. — С. 8—11.

39. Положий, Г.Н. Эффективное решение задачи о приближенном конформном отображении односвязных и двухсвязных областей и определение постоянных Кристоффеля—Шварца при помощи электрогидродинамических аналогий / Г.Н. Положий // Укр. матем. журн. — 1955. — Т. 7 — № 4. — С. 423—432.

40. Привалов, И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. / И.И. Привалов.— М.: Наука. 1984. — 432 с.

41. Риман, Б. Основы общей теории функций одной комплексной переменной / Б. Риман // Сочинения. ГИТТЛ, М.-Л. — 1948. — С. 78—81.

42. Салимов, Р.Б. Решение однородной краевой задачи Римана со счётным множеством точек разрыва первого рода её коэффициента / Р.Б. Салимов // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. — 2015. — № 15:1 — С. 50—56.

43. Салимов, Р.Б. Решение задачи Гильберта для кольца в особом случае и его применение к одной задаче взрыва / Р.Б. Салимов, Н.К. Туктамышов // Матем. заметки. — 1999. — Т. 66. — Вып. 27 — С. 135—144.

44. Салимов, Р.Б. К решению краевой задачи Гильберта с разрывными коэффициентами / Р.Б.Салимов, В.В. Селезнев // Труды семинара по краевым задачам. Казань: Изд-во Казан. ун-та. — 1979. — Вып. 16. — С. 149—162.

45. Салимов, Р.Б. Решение краевой задачи Гильберта с разрывными коэффициентами для кольца / Р.Б.Салимов, В.В. Селезнев // Труды семинара по краевым задачам. — Казань: Изд-во Казан. ун-та. — 1980. — Вып. 17. — С. 140—157.

46. Салимов, Р.Б. Отображение полуплоскости на многоугольник с бесконечным числом вершин / Р.Б.Салимов, П.Л. Шабалин // Изв. вузов. Математика. — 2009. — № 10. — С. 76—80.

47. Салимов, Р.Б. Одно обобщение формулы Шварца-Кристоффеля / Р.Б.Салимов, П.Л. Шабалин // Сиб. журн. индустр. матем. — 2010. — Т. 13. — № 4. — С. 109—117.

48. Салимов, Р.Б. О разрешимости однородной задачи Гильберта с разрывами коэффициентов и двусторонним завихрением на бесконечности логарифмического порядка / Р.Б.Салимов, П.Л. Шабалин // Изв. вузов. Матем. — 2016. — №1. — С. 36—48.

49. Салимов, Р.Б. Метод регуляризующего множителя для решения однородной задачи Гильберта с бесконечным индексом / Р.Б.Салимов, П.Л. Шабалин // Изв. вузов. Матем. — 2001. — № 4. — С. 76—79.

50. Салимов, Р.Б. К решению задачи Гильберта с бесконечным индексом / Р.Б. Салимов, П.Л. Шабалин // Матем. заметки. — 2003. — Т. 73. — № 5. — С.

724-734.

51. Салимов, Р.Б. О разрешимости однородной задачи Гильберта со счетным множеством точек разрыва коэффициентов и двусторонним завихрением на бесконечности порядка меньше 1/2 / Р.Б. Салимов, П.Л. Шабалин // Уфимский математический журнал. - 2013. - Т. 5. - №2 - С. 82-93.

52. Салимов, Р.Б. Задача Гильберта. Случай бесконечного множества точек разрыва коэффициентов / Р.Б. Салимов, П.Л. Шабалин // Б1ЬЕшрЬ Сиб. матем. журн. - 2008. - Т.49. - № 4. - С. 898-915.

53. Салимов, Р.Б. Краевая задача Гильберта теории аналитических функций и ее приложения / Р.Б. Салимов, П.Л. Шабалин. - М.: Казань: Изд-во Ка-занск. мат. о-ва., 2005. - 297 с.

54. Салимов, Р.Б. Обратная задача М.А. Лаврентьева об ображении полуплоскости на многоугольник в случае бесконечного числа вершин / Р.Б. Салимов, П.Л. Шабалин // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. - 2010. - № 10. - С. 23-31.

55. Салимов, Р.Б. Задача Гильберта со счетным множеством точек разрыва первого рода у коэффициентов и конечным индексом / Р.Б. Салимов, П.Л. Шабалин // Изв. вузов. Матем. - 2010. - № 3. - С. 36-47.

56. Салимов, Р.Б. Однородная задача Гильберта со счетным множеством точек разрыва коэффициентов и логарифмической особенностью индекса / Р.Б. Салимов, П.Л. Шабалин // Изв. вузов. Матем. - 2013. - № 12. С. 83-88.

57. Салимов, Р.Б. Отображение полуплоскости на многоугольник с бесконечным числом вершин / Р.Б. Салимов, П.Л. Шабалин // Изв. вузов. Матем. - 2009. - № 10. - С. 56-59.

58. Сандрыгайло, И.Е. О краевой задаче Римана с бесконечным индексом для полуплоскости / И.Е. Сандрыгайло // Докл. АН БССР. Сер. физ.-мат. н. -1975. - Т.19 - № 10. - С. 872-875.

59. Сандрыгайло, И.Е. О краевой задаче Римана с бесконечным индексом для полуплоскости в классе функций вполне регулярного роста / И.Е. Сандры-

гайло // Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат. н. — 1976. — № 1. — С. 21—24.

60. Сандрыгайло, И.Е. О краевой задаче Гильберта с бесконечным индексом для полуплоскости / И.Е. Сандрыгайло // Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат. н. — 1974. — № 6. — С. 16—23.

61. Сидоров, Ю.В. Лекции по теории функций комплексного переменного: Учебник для Вузов / Ю.В. Сидоров , М.В. Федорюк , М.И. Шабунин. — М.: Наука, 1989. — 480 с.

62. Соболев, С.Л. Об одной предельной задаче теории логарифмического потенциала и ее применении к отражению плоских упругих волн / С.Л. Соболев // Тр. Сейсм. ин-та. Л.: Изд-во АН СССР. — 1930. — № 11. — 18 с.

63. Толочко, М.Э. О краевой задаче Римана с бесконечным индексом для полуплоскости / М.Э. Толочко // Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат. н. — 1969. — № 4. — С. 52—59.

64. Толочко, М.Э. О разрешимости краевой задачи Римана с бесконечным индексом для полуплоскости / М.Э. Толочко // Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат. н. — 1971. — № 3. С. 31—38.

65. Толочко, М.Э. Об однородной задаче Римана с бесконечным индексом для полуплоскости / М.Э. Толочко // Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат. н. — 1972. — № 5. — С. 34—41.

66. Хейман, У. Мероморфные функции / У. Хейман — М.: Мир., 1966. — 287 с.

67. Чибрикова, Л.И. Об одном особом случае задачи Римана на неограниченном контуре, I / Л.И. Чибрикова, — Труды семинара по краевым задачам. — Казань. Изд-во Казан. ун-та., 1978. — Вып. 15 — С. 112—117.

68. Чибрикова, Л.И. Об одном особом случае задачи Римана на неограниченном контуре, II / Л.И. Чибрикова.— // Труды семинара по краевым задачам. — Казань. Изд-во Казан. ун-та., 1979. — Вып. 16 — С. 185—201.

69. Юров, П.Г. Асимптотические оценки целых функций, заданных каноническими произведениями / П.Г. Юров // Труды Тбилисского математического института. — 1971. — №10:6. — С. 641—648.

70. Юров, П.Г. Неоднородная краевая задача Римана с бесконечным индексом логарифмического порядка а > 1 / П.Г. Юров // Материалы Всесоюзной конференции по краевым задачам. Казань. — 1970. — С. 279-284.

71. Юров, П.Г. Однородная краевая задача Римана с бесконечным индексом логарифмического типа / П.Г. Юров // Изв. вузов. Матем. — 1966. — №2 — С. 158—163.

72. Юров, П.Г. Один из случаев краевой задачи Римана с бесконечным индексом / П.Г. Юров // ДАН СССР. — 1968. — Т. XII — №6 — C. 489—491.

73. Aksent'ev, L.A. Sufficient conditions for univalence and quasiconformal ex-tendibility of analytic functions / L.A. Aksent'ev, P.L. Shabalin. — Handbook of Complex Analysis, Geometric Function Theory Edited bu R.Kühnau, MartinLuther-Universität, Halle, Germany, 2002. — Vol. 1. — P. 169—206.

74. Banjai, L. A multipole method for Schwarz-Christoffel mapping of polygons with thousands of sides / L. Banjai, L.N. Trefethen //SIAM Journal on Scientific Computing.— 2003. — Vol. 25, № 3. — P. 1042—1065.

75. Crowdy, D. The Schwarz problem in multiply connected domains and the Schot-tky-Klein prime function / D. Crowdy // SIAM Complex variables and elliptic equations — 2008. — Vol. 53. — P. 221—236.

76. Crowdy, D. Schwarz-Christoffel mappings to unbounded multiply connected polygonal regions / D. Crowdy // Mathematical proceedings of the cambridge philosophical society. — 2007. — Vol. 142. — P. 319—339.

77. Davis, R.T. Numerical methods for coordinate generation based on Schwarz-Christoffel transformations / R.T. Davis //In 4th AIAA Comput. Fluid Dynamics Conf., Williamsburg, Va. — 1979. — P. 1 — 15.

78. Driscoll, T.A. Schwarz-Christoffel mapping / T.A. Driscoll, L.N. Trefethen. — Cambridge Monographs on Applied and Comput. Math. Cambridge: Cambridge University Press, 2002. — Vol. 8. — P. 132.

79. Floryan, J.M. Conformal mapping based coordinate generation method for flows in periodic configurations / J.M. Floryan // Journal of Computational Physics.

- 1986. - Vol. 62. - № 1. - P. 221-247.

80. Floryan, J.M. Schwarz-Christoffel methods for conformal mapping of regions with a periodic boundary / J.M. Floryan // Journal of Computational and Applied Mathematics. - 1993. - № 46. - P. 77-102.

81. Gutlyanskii, V.Y. On conformal mapping of polygonal regions / V.Y. Gutlyan-skii, A.O. Zaidan // Ukrainian Mathematical Journal. - 1993. - Vol. 45. - № 11. - P. 1669-1680.

82. Hilbert, D. Uber eine Anwendung der Integralgleichungen auf ein Problem der Functionentheorie / D. Hilbert // Verhandl. des III. Internat. Math. Kongr. -Heidelberg. - 1904.

83. Hilbert D. Grundzüge einer allgemainen Theorie der linearen Integralgleichungen / D. Hilbert // Leipzig, Berlin. - 1912. - P. 282.

84. Hopkins, T. Kufarev's metod for determining the Schwartz-Christoffel parameters / T. Hopkins, D. Roberts // Numerische Mathematik. - 1979. - № 33. -P. 353-365.

85. Kankare, J. In situ conductance measurement during electropolymerization / J. Kankare, EL. Kupila // J Electroanal Chem. - 1992. - № 322. - P. 167-181.

86. Kaplan, W. Convexity and the Shwarz-Cristophel mapping / W.Kaplan // Michigan Math. J. - 1993. - Vol. 40. - № 2. - P. 217-227.

87. Malvankar, S. Centimeter-long electron transport in marine sediments via conductive minerals. /N.S. Malvankar, G.M. King, D.R. Lovley // The ISME Journal. - 2015. - № 9. - P. 527-531.

88. Pearce, K. A constructive method for numerically computing conformal mappings for gearlike domains / K. Pearce // SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing. - 1991. - Vol. 12. - № 2. - P. 231-246.

89. Riera, G. Schwarz-Christoffel conformal mapping for polygons with infinitely many sides / G. Riera, H. Carrasco, R. Preiss // International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences. - 2008. - Vol. 2008. - P. 1-24.

90. Salimov, R.B. Solvability of the Riemann-Hilbert boundary value problem with

a two-side curling at infinity point of order less than 1. // / R.B. Salimov, P.L. Shabalin // Complex Variables and Elliptic Equations. — 2014. — P.1-19

91. Seth, B.R. Torsion of beams whose cross-section is a regular polygon of n side /

B.R. Seth.— Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 1934. — Vol. 30. — № 2. — P. 139—149.

92. Trefethen, L.N. Numerical computation of the Schwarz-Christoffel transformation / L.N. Trefethen // SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing.

— 1980. — Vol. 1. — № 1. — P. 82—102.

93. Tsarin, Y.A. Conformal mapping technique in the theory of periodic / Y.A. Tsarin // Microwave and Optical Technology Letters. — 2000. — Vol. 26. — № 1.

— P. 57—61.

94. Verbitskii, I.L. Quasistatic green function method as a powerful tool of diffraction problems solving / I.L. Verbitskii // Mathiarials of the VI international conference "Mathematical methods in electromagnetic theory". Lviv, Ukraine. — 1996. — P. 358—361.

95. Wang, C.Y. Optimization of torsion bars with rounded polygonal cross section /

C.Y. Wang //Journal of Engineering Mechanics. — 2013. — № 139.— P. 629—634.

Публикации автора

96. Karabasheva, E. N., Shabalin P. L. Univalence of mappings from half-plane to a polygonal domains with infinite sets of vertices. / E. N. Karabasheva, P. L. Shabalin // Lobachevskii Journal of Mathematics — . 2015. — № 36(2). — С. 144—153.

97. Карабашева, Э. Н. О разрешимости однородной задачи Гильберта со счетным множеством точек разрыва коэффициентов и двусторонним разного порядка завихрением на бесконечности. / Э. Н. Карабашева // Изв. КГАСУ 2014. — № 1(27). — С. 142—152.

98. Карабашева, Э. Н. Счетное множество точек разрыва коэффициентов и двустороннее разного порядка завихрение на бесконечности в краевой задаче

Гильберта / Э. Н. Карабашева // Труды XXII международной конференции Математика. Экономика. Образование. — 2014. — С. 54-62.

99. Карабашева, Э. Н., Шабалин П. Л. Об однолистности отображений обобщенным интегралом Кристоффеля—Шварца / Э. Н. Карабашева, П. Л. Шабалин // Итоги науки и техники. Серия «Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры» — . 2017. — Т. 143. — С. 74—80.

100. Карабашева, Э. Н. Один особый случай краевой задачи Гильберта / Э. Н. Карабашева, П. Л. Шабалин // Материалы одиннадцатой международной Казанской летней научной школы-конференции "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы". — 2013. — С. 227—228.

101. Карабашева, Э. Н. Задача Гильберта с двусторонним разного порядка за-вих-рением на бесконечности / Э. Н. Карабашева // Материалы двенал-цатой молодежной школы-конференции "Лобачевские чтения - 2013". г. Казань. — 2013. — С. 72—74.

102. Карабашева, Э. Н. Об отображениях на полигональные области со счетным множеством вершин / Э. Н. Карабашева, П. Л. Шабалин// Двадцать вторая Международная конференция Математика. Экономика. Образование. — 2014. — С. 80.

103. Карабашева, Э. Н. Счетное множество точек разрыва и двустороннее завихрение на бесконечности разного порядка в задаче Гильберта. / Э. Н. Карабашева // Материалы тринадцатой молодежной школы-конференции "Лобачевские чтения - 2014"г. Казань — 2014. — С. 95—97.

104. Карабашева, Э. Н. Задача Гильберта со счетным множеством точек разрыва и двусторонним завихрением на бесконечности разного порядка. / Э. Н. Карабашева // Международная научная конференция Краевые задачи для дифференциальных уравнений и аналитических функций - 2014. — 2014. — С. 188—189.

105. Karabasheva, E. N. Mapping onto polygonal domains with countable set of vertices. Univalence. / E. N. Karabasheva, P. L. Shabalin // 4-th Najman

Conference on Spectral Problems for operators and matrices 20-25 September 2015 Opatija, Croatia — C. 19.

106. Карабашева, Э. Н. Достаточные условия однолистности отображений на полигональные области со счетным множеством вершин. / Э. Н. Карабаше-ва // Двенадцатая международная Казанская летняя школа-конференция "Теория функций, её приложения и смежные вопросы г. Казань — 2015. — C. 225.

107. Карабашева, Э. Н. Исследование однолистности отображений на полигональные области со счетным множеством вершин / Э. Н. Карабашева // Четырнадцатая молодежная школа-конференция "Лобачевские чтения - 2015"г. Казань. — 2015. — С. 81—83.

108. Карабашева, Э. Н. Исследование однолистности отображений на полигональные области / Э. Н. Карабашева, П. Л. Шабалин // Международная конференция по алгебре, анализу и геометрии. Казань. 2016. — С. 197—198.

109. Карабашева, Э. Н. Однолистность отображений полуплоскости на полигональные области с неограниченным вращением порядка Ina\tl,t ^ то, а < 1 / Э. Н. Карабашева, П. Л. Шабалин // Уфимская математическая конференция с международным участием. г. Уфа. 2016. — С. 77—78.