КОММУТАТИВНЫЕ ОПЕРАДЫ, КОНСТРУИРУЕМЫЕ С ПОМОЩЬЮ ПОЛУГРУПП И ГРУПП, И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат наук Гайнуллина Алина Рашидовна

• Гайнуллина Алина Рашидовна
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Гайнуллина Алина Рашидовна

1.2 Алгебры над операдами

1.3 Коммутативные операды

1.4 Примеры коммутативных операд

Глава 2. Новый класс примеров коммутативных операд

2.1 Решеточно упорядоченные группы

2.2 Описание операд

2.3 Выделенные операции и тождества в многообразии Л^О)

2.4 Характеризация алгебр над операдой С

Глава 3. Операда полых кубов и новая метрика

3.1 Алгебры над операдами С™ах и Стт

3.2 Описание подалгебр, порожденных двумя элементами

3.3 Новая метрика в неотрицательном квадранте К2

Глава 4. Приложения коммутативных операд к криптографии

4.1 Некоторые факты из криптографии с открытым ключом

4.2 Протоколы

4.3 Метод маскировки

4.4 О реализации протокола выработки общего секретного ключа

Заключение

Список литературы

96

Приложение А. Подалгебры над операдой полых кубов Стах, порожденные тремя элементами

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «КОММУТАТИВНЫЕ ОПЕРАДЫ, КОНСТРУИРУЕМЫЕ С ПОМОЩЬЮ ПОЛУГРУПП И ГРУПП, И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ»

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Область исследования диссертации относится к теории операд. Понятие операды впервые в явном виде было введено Петером Меем в 1972 году в работе [73]. В настоящее время теория операд стала уже важной частью таких разделов математики, как топология, алгебра, комбинаторика, и имеет серьезные приложения к физике, к компьютерным наукам. Теории операд и ее приложениям посвящены монографии [1; 18; 44; 5052; 65; 66; 69; 70; 73; 75; 80] и обзорные статьи [56; 71; 74; 78]. Роль операд в общей алгебре показана в монографиях [44; 69], а также в [81] и в трудах конференций [37; 68].

Отметим, что алгебраическая теория операд располагается на стыке универсальной алгебры (см. [7; 9; 10; 46; 60]) и теории категорий (см. [8; 34; 4042; 63]).

В работах С. Н. Тронина [22; 24; 28] было показано, что любое многообразие универсальных алгебр рационально эквивалентно по А. И. Мальцеву (см. [9; 12]) многообразию алгебр над некоторой операдой (в общем случае это операда над вербальной категорией, введенная в работе [22]).

В 2006 году в работе [24] было введено понятие коммутативной операды. Оказалось, что с помощью этого понятия можно объединить линейную и нелинейную общую алгебру: и то, и другое можно считать частными случаями теории мультиоператорных алгебр, определенных над коммутативными операдами. В статье [26] было показано, что коммутативные операды можно естественным образом построить по любой операде или мультикатегории, и что известные коммутативные алгебраические теории (см. [42]) есть частный случай коммутативных операд (над вербальными категориями). Коммутативные операды можно представлять как многомерные обобщения коммутативных полугрупп с единицей.

Таким образом, изучение коммутативных операд является важной и ак-

туальной задачей.

В нашей работе изучается главным образом один специальный класс коммутативных операд, представители которого изоморфны подоперадам вида С*, где С — коммутативная полугруппа с единицей. Точное определение С* дается ниже. Обозначение заимствовано из работы [62].

Цели настоящей работы:

1. изучение некоторых важных классов коммутативных операд вида С* и их подоперад, а также многообразий алгебр над ними;

2. исследование возможностей применения коммутативных операд в геометрии и криптографии с открытым ключом.

Для достижения поставленных целей в диссертации решаются следующие задачи:

1. построить и исследовать новый класс коммутативных операд Стах и Стт, основанный на решеточно упорядоченных коммутативных группах;

2. описать многообразия универсальных алгебр, рационально эквивалентные многообразиям алгебр над операдами Стах и Стш, т.е. найти операции и тождества, задающие эти многообразия;

3. ввести структуру алгебры в и над операдами Стах и Стт соответственно;

4. описать подалгебры в и К>0, порожденные двумя элементами, над операдами Стах и Стт соответственно;

5. с помощью этих подалгебр построить новую метрику в первом квадранте действительной плоскости;

6. разработать аналоги известных криптографических протоколов (выработки общего секретного ключа, шифрования, аутентификации) с использованием техники коммутативных операд;

7. разработать метод маскировки алгебраической платформы для повышения криптостойкости протокола выработки общего секретного ключа;

8. исследовать криптостойкость протокола выработки общего секретного ключа.

Выносимые на защиту положения. На защиту выносятся следующие основные результаты диссертационного исследования:

1. Описаны многообразия алгебр над классом коммутативных операд, которые строятся по решеточно упорядоченным коммутативным группам. Причем этот класс включает в себя операду полых кубов в евклидовых пространствах.

2. С помощью алгебр над операдой полых кубов построена новая метрика в неотрицательном квадранте евклидовой плоскости.

3. Построены четыре семейства криптографических протоколов, в которых используются коммутативные операды. Подробно исследован протокол выработки общего секретного ключа.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.

Методы исследования. В работе использовались методы теории опе-рад, универсальных алгебр, теории категорий и алгебраической криптографии с открытым ключом. Достоверность результатов, полученных в работе, определяется обоснованными теоретическими выкладками и строгими доказательствами.

Теоретическая и практическая значимость. Первые три главы диссертационной работы носят теоретический характер. Четвертая глава, в которой построены принципиально новые криптографические протоколы, может иметь прикладное значение. Полученные в главах 1-3 результаты могут использоваться в дальнейших исследованиях по теории операд, а также при чтении спецкурсов по теории операд, универсальной алгебре. Результаты главы 4 после некоторых дополнительных исследований могут быть использованы для построения практически значимых криптосистем с открытым ключом.

Степень достоверности полученных результатов обеспечивается строгими математическими доказательствами.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на следующих конференциях и семинарах:

1. Международная научная конференция «Алгебра и математическая логика: теория и приложения», г. Казань, 2-6 июня 2014 г.

2. XIII Всероссийская молодежная научная школа-конференция «Лобачевские чтения - 2014», г. Казань, 24-29 октября 2014 г.

3. Итоговая научная конференция сотрудников КФУ, г. Казань, 28 января 2015 г.

4. Международная конференция «Мальцевские чтения», г. Новосибирск, 37 мая 2015 г.

5. XIII Международная конференция «Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы и приложения», г. Тула, 25-30 мая 2015 г.

6. IV Симпозиум «Современные тенденции в криптографии» (СТСгур^2015), г. Казань, 3-5 июня 2015 г.

7. Семинар кафедры теоретической кибернетики КФУ, г. Казань, 8 июня 2015 г.

8. XIV Всероссийская молодежная школа-конференция «Лобачевские чтения

- 2015», г. Казань, 22-27 октября 2015 г.

9. Международная конференция по алгебре, анализу и геометрии, г. Казань, 26 июня-2 июля 2016 г.

10. XIV Всероссийская молодежная школа-конференция «Лобачевские чтения

- 2016», г. Казань, 24-29 ноября 2016 г.

11. Семинар кафедры алгебры и математической логики КФУ, г. Казань, 2 июня 2017 г.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 12 печатных изданиях [82-93], 4 из которых в журналах, рекомендованных ВАК [82-85], 8 — в тезисах и материалах конференций [86-93].

Личный вклад. Все основные результаты работы получены автором самостоятельно. В совместных с научным руководителем публикациях С. Н. Тро-нину принадлежат постановка задач и разработка некоторых методов решения, А. Р. Гайнуллиной — основные результаты и их доказательства.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложения. Полный объем диссертации составляет 109 страниц с 20 рисунками. Список литературы содержит 93 наименования.

Содержание работы

В главе 1 вводятся основные понятия теории операд. В параграфе 1.1 приводятся определения Т-операды, гомоморфизма операд, свободной Т-операды, префиксного кода и операды префиксных кодов.

Определение 1.1.1. Симметрической операдой (или Т-операдой) называется семейство множеств Я = { Я(п) \п = 1, 2,...}, такое, что на каждом Я(п) действует справа группа подстановок Тп, и для каждого упорядоченного набора целых положительных чисел т,п\,... ,пт определена операция композиции:

Я(т) х Я(п\) х • • • х Я(пт) —> Я(щ +----+ пт),

(ш,ш\,..., Шт) ^ ... шт.

При этом должны выполняться свойства:

1. Ассоциативность:

Ш(Ш\Ш1,1 . . . ) . . . {итШт,1 . . . шт,кт) = = {шшх . . . . . . . . . Шт,1 . . . шт,кт ).

2. Существование элемента £ € Я(1) (единицы операды) такого, что для любого ш € Я(т): ш(е ... е) = и и еш = ш.

3. Эквивариантность:

— ш{ш\а\,... ) = ... шт)(аП1 1—1 • • • 1_1 аПт), где ^ € Т и а„л и • • • и аПт — конкатенация в ТП1+_____+Пт.

— (ua)ui ...шт = wwff-i(i) . ..ua-i (m)&(ni,... ,nm), где а(щ,... ,nm) — подстановка n\ +... + nm элементов, получающаяся в результате разбиения множества этих элементов на т блоков по ni,... ,пт элементов и воздействия на эти блоки подстановкой а.

Замечание. Отметим, что наряду с симметрическими операдами теория опе-рад включает в себя и несимметрические. Определение несимметрической опе-рады совпадает с определением симметрической операды без действия групп подстановок. В рамках данной работы изучаются только симметрические опе-рады.

Также в параграфе 1.1 описываются два примера S-операд. В частности, определяется важная для данной работы операда G*. Эта операда строится следующим образом.

Пусть G — моноид. Рассмотрим семейство G* = {G*(п)\п ^ 1}, где G*(n) = Gn. Элементы G*(n) — это строки х = (xi,..., хп) элементов хг £ G. Умножение элемента д £ G на строку х определяется по правилу дх = (gxi,... ,дхп). Зададим на G* структуру операды. Для этого определим операции композиции:

G*(m) х G*(ni) х ... х G*(nm) ^ G*(т +-----+ пт) ,

{Х,У\1 . . . 1 Ут) ^ ХУ\ . . .Ут,

где X = (xi, ...,хт) £ G*(m), уг = (угА,... ,yhni) £ G*(nt) для всех 1 < i < т и xyi.. .ут = (xiyl,... ,хтут). Действие группы подстановок на G* задается следующим образом:

(xi,... ,хп)а = (xa(i),.. .,ха(п)).

Далее в параграфе 1.1 приводится способ описания свободных S-операд, который может оказаться удобным для построения свободных коммутативных операд. Свободная S-операда — это свободная алгебра многообразия операд как многосортных универсальных алгебр.

Теорема 1.1.8. Операда PCs является свободной Tj-операдой с базисом Xs = {Xs (п)\п ^ 1}, где Xs (п) = {(si,..., sn)|si,..., sn £ S и si < ... < sn}.

Для любого семейства Q = С Xs(п),п ^ 1} подоперада операды

PCs, порожденная этим семейством, будет свободной £-операдой с базисом Q. Для любого семейства непересекающихся множеств Q = {П(п)|п ^ 1} можно найти линейно упорядоченное множество S и набор инъективных отображений Q(n) ^ Xs (п) для всех п ^ 1.

Пусть foq — свободная операда с базисом Q. Тогда по определению любая операда — фактор-операда foq. С другой стороны, согласно теореме 1.1.8, foq — подоперада операды PCs. Операда PCs, в свою очередь, — подоперада операды С* для подходящего S. Таким образом, композиция в любой £-операде похожа в некотором смысле на композицию в G*. Отсюда можно сделать вывод, что операды вида G* занимают в теории операд особенное место. В нашей работе изучаются именно операды вида G* и их подоперады, в случае, когда моноид G коммутативен.

В параграфе 1.2 вводятся определения алгебры над операдой, гомоморфизма алгебр над операдой.

Определение 1.2.1. Алгеброй над £-операдой R (Д-алгеброй) называется множество А вместе с семейством отображений композиции:

R(n) х Ап —> А, (г, а) ^ га,

где г Е R(n),a = (а\, . . . , ап), Е А, при этом должны выполняться следующие условия:

1. (ггг... гт)а1 ...ат = г(г1а1)... (гтат);

2. еа = а, где £ Е R(1) — единица операды, а Е А;

3. (га )а\ ...ап = raa(i)... аа(п), где г Е R(n), а\,...,ап Е Л, а Е £п.

Также приводится описание многоообразия алгебр над операдой R (обо-зн. Alg(R)), используя операции и тождества. Вводится одно из ключевых для диссертации понятий — понятие рациональной эквивалентности многообразий. Два многообразия алгебр называются рационально эквивалентными, если алгебры одного многообразия и алгебры другого — одни и те же множества, и операции, определяющие структуру алгебр различных двух многооб-

разий на этих (совпадающих) множествах, можно выразить друг через друга. Точное определение можно найти в [9; 12].

Приведем результат, касающийся описанной выше операды С*.

Теорема 1.2.4. (см. [21; 29]) Многообразие А1д(С*) рационально эквивалентно категории коммутативных ассоциативных полугрупп (без единицы), на которых слева действует полугруппа С, причем выполняется тождество 9(а\ • а.2) = (да\) • (да-2).

В параграфе 1.3 вводится основной объект изучения — коммутативная операда. Мы используем термин «коммутативная операда» в том смысле, в котором он был введен в [24]. В литературе встречается использование этого термина в другом смысле (см. [50; 69]).

Определение 1.3.1. (см. [26]) 2-операда Z называется коммутативной, если для любых Л £ Z(п), ш £ Z(т) имеет место тождество:

Л = (ш

п т

где ап,т £ 2пт, и при 1 ^ г ^ п, 1 ^ ] ^ т имеем

+а - 1)п)=з + - 1)т.

Если обозначить действие элемента операды Л £ Z(п) на элементы

п

а1,... ,ап из 2-алгебры А как ^ (АА)а%,, то из коммутативности операды 2 сле-

%=1

дует тождество:

п т т п

Х^Г^ч = ЕмЕ(А)а« (2)

%=\ ]=1 ]=1 %=1

для любых Л £ Z(п) и ш £ Z(т) в любой ^-алгебре.

Далее по аналогии со свободной 2-операдой вводится понятие свободной коммутативной 2-операды.

В параграфе 1.4 приводятся пять известных примеров коммутативных операд. В частности, описываются

1. операда конвексоров (см. [23]) А = {А(п) | п ^ 1 } (предполагается, что А(0) = 0), где

п

А(п) = {(а1,... ,ап) | аг £ [0,1},^аг = 1};

=1

2. операда сфер (см. [25]) S = {S(п)\п ^ 1}, где

п

s(п) = {(Ж1,..., хп) е Rn\ ^ X* = 1}.

i=i

В теоремах 1.4.6 и 1.4.9 напоминается описание многообразий алгебр над операдами симплексов и сфер через операции и тождества (см. [23; 25]).

Глава 2 посвящена построению и характеризации нового класса коммутативных операд.

В параграфе 2.1 напоминается определение решеточно упорядоченной группы (см. [6; 64]), а также приводятся примеры таких групп.

В параграфе 2.2 строится обобщение операды (полых) кубов

Сmax = {Сmax(n)|n ^ 1},

где

Сmax(n) = {(^i,...,хп) е Rn| max{|жг|} = 1}, и операды Cmin = {Cmin(n)|n ^ 1}, где

С min(n) = {(^i ,...,хп) е Rn| min {|жг|} = 1}.

Вторые компоненты операды кубов Cmax и операды Cmin на действительной плоскости показаны на рис. 1. Третья компонента Сmax — это трехмерный полый куб.

, Cmin(2)

1 <-Cmal(2)

-1 0 1 »1

-1

Рисунок 1 - Операды Сmax и Сmin на плоскости R2

Обобщение происходит заменой полугруппы R в определениях СШ'АХ и

Cmm на объект G = G U {0}, где G — коммутативная группа по умножению,

удовлетворяющая ряду условий:

1. группа G — объединение непересекающихся подмножеств G+ и G-), причем G+ — подгруппа группы G, и G(+)G(— С G(—), G(-)G(+) С G(—),

G(-)G(-) Q G(+);

2. группа G частично упорядочена как множество, а G+ частично упорядочена и как группа (т.е. из а ^ b следует хау ^ хЪу для всех а, Ь,х,у G

3. имеется максимум или минимум для любой пары элементов группы G+), т.е. G+ — решеточно упорядоченная абелева группа;

4. каждый элемент группы G— строго меньше каждого элемента группы G(+);

5. если х ^ у и z G G(—), то xz ^ yz;

6. имеется биекция G ^ G, х ^ х* такая, что х** = х, (ху)* = х*у, и ее ограничение на G+ есть биекция на G— (соответственно, ее ограничение на G—) — это биекция на G(+)). В частности, обозначение —х = х* имеет смысл, и может пониматься так —х = (—1)х. Таким образом, вместо х* будем писать —х.

В G формально определяется умножение на 0: х • 0 = 0 • х = 0.

Пусть по определению G *(п) = {Gn|n = 1, 2,...}, G— < {0} < G(+).

Пусть G0 С G(+) — подполугруппа с единицей, порождающая G(+). Положим

Go = {х G G(+)lx < 1} для Cmax и Go = {х G G(+)lx ^ 1} для Cmin.

Таким образом, в главе 2 изучаются операды Cmax = {Cmax(n)ln ^ 1} и

Стт = {Cmin(n)ln ^ 1}, где

Cmax(n) = {(жх, ...,хп) G G *(n)| max {|жг |} = 1}, Gmin(n) = {(жх, ...,Хп) G G *(n)| min {|жг |} = 1}.

Также в параграфе 2.2 указывается множество образующих исследуемого класса операд, элементам которого будут соответствовать символы операций (сигнатура) искомого многообразия. Доказываются вспомогательные леммы.

В параграфе 2.3 операды Стах и Стт, построенные в параграфе 2.2, обозначаются одной буквой С ив дальнейшем изучается операда С. А именно, устанавливается множество соотношений, которые выполняются в алгебрах над операдой С. Доказываются вспомогательные леммы.

В параграфе 2.4 показывается, что если принять эти соотношения за тождества некоторого многообразия универсальных алгебр, то это многообразие будет рационально эквивалентным многообразию алгебр над операдой С. Основным результатом главы является теорема

Теорема 2.4.4. Многообразие М1 = Л1д(С) рационально эквивалентно многообразию алгебр М2 со следующим набором операций:

1. две унарные операции вида а ^ (е) • а, где £ = ±1;

Л

2. бинарные операции а1 о а2 и а1 о а2, определенные для любого а Е С0. В

а

случае а = 1 имеет место равенство а1 о а2 = а1 о а2. Результат этой

операции будет обозначаться через а1 о а2.

При этом должны выполняться следующие тождества:

(1) • а = а, (£г • £2) • а = (^1) • ((^2) • а),

а

а1 о а2 = а2 о а1,

а

(£)(а.1 о 0,2) = ((е) • «ч) о ((е) • а,2),

а,1 о (а_2 о аэ) = (а-1 о 02) о аз,

¡з р

/ ч а а , а.ф ,

(й1 о а2) о аэ = а.1 о (а2 о аэ).

Глава 3 посвящена описанию некоторых алгебр над операдами С™ах и Ст1П, а также изучению приложений операды С™ах к геометрии.

В параграфе 3.1 определяются алгебры над операдами Отах и Отт. В частности, на множестве вводится структура алгебры над операдой Отах.

Для этого на задаются операции Cmax(m) х (R^0)m ^ по следующему правилу:

xai ...am = ( max [\хг\ahi},..., max {\хг\аг,п}), (3)

l^i^m l^i^m

где x E Cmax(m) и для каждого i,j, 1 ^ i ^ m, 1 ^ j ^ n, аг = (ai:1,..., ai?n), aij — неотрицательные действительные числа.

Лемма 3.1.1. Операции (3) превращают в Cmax-алгебру.

Аналогичный результат, но на множестве R>0 и с операциями вида

Cmin(m) х (R>0)m ^ R>0,

где

xai ...am = ( min {\хг\агА},..., min {\хг\аг,п}), (4)

1<«<m 1<«<m

x E Cmm(m), аг = (aii,... ,ain), ai;j E R>0 для всех 1 ^ i ^ m, 1 ^ j ^ n, имеет место для операды Cm

^mm

Лемма 3.1.2. Операции (4) превращают в Стт-алгебру.

Параграф 3.2 посвящен описанию подалгебр алгебр, введенных в параграфе 3.1. Исследуются подалгебры, порожденные двумя элементами. Теорема 3.2.1 дает геометрическое описание подалгебр для операды Стах, теорема 3.2.2 — для операды Стт. В обоих случаях получаются некоторые ломаные (или прямые) в первой четверти действительной плоскости.

Теорема 3.2.1. Подалгебра (а1,а2) алгебры К>0 над операдой кубов Ст&х, порожденная элементами а1 и а2, есть одно из множеств в первом квадранте действительной плоскости, изображенных на рис. 2.

Теорема 3.2.2. Подалгебра (а1,а2) алгебры К>0 над операдой Стт, порожденная двумя элементами а1 и а2, есть одно из множеств, изображенных на рис. 3.

В параграфе 3.3 строится новая метрика в неотрицательном квадранте евклидовой плоскости К2. Основной результат главы отражает следующая теорема.

Пусть (а1,а2) — подалгебра над операдой Стах, порожденная элементами а1,а2 Е К>0, 1(^1 ,а2)| — длина этой линии.

д) е) ж)

Рисунок 2 - Подалгебра (о4,о2) над операдой Стах в случае: а) 01,1 = о2д, 01,2 = «2,2, б) «1,1 = «2,1, «1,2 = «2,2, в) Й1,2 = 0,2,2, «1,1 = «2,1, г) 0,2 = А01, Л > 0, д) 01,1 < 02,1, Й1,2 > «2,2, е) ом < Й2,1, Й1,2 < «2,2, где 01,1/02,1 < 01,2/02,2, ж) 01,1 < 02,1, 01,2 < 02,2, где

01,1/02,1 > 01,2/02,2-

о1

.02

О2

о1

О2

о1

д) е) ж)

Рисунок 3 - Подалгебра (о1,о2) над операдой Ст1П в случае: а) о1,1 = о2,1, о1,2 = о2,2, б) «1,1 = «2,1, «1,2 = «2,2, в) Й1,2 = 0,2,2, «1,1 = «2,1, г) «2 = А01, Л > 0, д) 01,1 < 02,1, 01,2 > 02,2, е) 01,1 < 02,1, 01,2 < 02,2, где 01,1/02,1 < 01,2/02,2, ж) 01,1 < 02,1, «1,2 < 02,2, где

01,1/02,1 > 01,2/02,2-

Теорема 3.3.1. Формула ¿(~а1,а2) = |(а1,^)| определяет метрику в пространстве

Заметим, что можно определить структуру алгебры над операдой кубов

Стах и в одномерном случае:

Стах(т) х (Ш>о)т ^

(жх,... ,жт)ах.. .ат = шах{|ж1|а1,..., |жто|ато},

где тах {|^|} = 1 и ^ 0 для каждого г, 1 ^ г ^ т. В этом случае подалгебра, порожденная двумя элементами ах и а2, — это отрезок, соединяющий точки ах и а2. Таким образом, введенная выше метрика ё, — это естественное обобщение обычного расстояния на прямой.

Также в параграфе 3.3 доказывается, что аналогичный результат для операды Стт не имеет места (теорема 3.3.2). В этом случае строится контрпример.

Глава 4 посвящена приложениям коммутативных операд к криптографии.

В параграфе 4.1 приводятся основные факты из криптографии с открытым ключом (см., напр., [11; 13; 17; 72]). В частности, описываются протокол Диффи-Хеллмана и, широко используемая в криптографии, задача дискретного логарифмирования: по известным а, Ь из равенства ах = Ь найти х. На вычислительной сложности этой задачи основана криптостойкость очень многих современных криптографических протоколов.

Приложения коммутативных операд к криптографии с открытым ключом опираются на формальную аналогию между свойством возведения в степень: если ху = ух, то (ах)у = (ау)х (в криптографии на групповой платформе ах = х-1ах), и определением коммутативной операды (2):

п то топ

Е(Л)£(-Ч> = £М£(А)^.

г=1 _7=1 _7=1 г=1

В параграфе 4.2 конструируются четыре протокола на платформе коммутативных операд (два протокола формирования общего секретного ключа, протоколы шифрования и аутентификации). Далее в параграфе 4.4 подробно исследуется протокол 1.

Протокол 1. Выработка общего секретного ключа

Открытые данные: коммутативная операда Я, элементы а^ Е А, где 1 ^ г ^

п, 1 ^ ] ^ т, А — Д-алгебра.

Пусть Л £ Я(п) — секретный ключ Алисы, ш £ Я(т) — секретный ключ Боба.

п

1. Алиса вычисляет = ^ ^ аг,3, 1 ^ 3 ^ т и отправляет Бобу;

г=1

т

2. Боб вычисляет (Зг = ^аг^, 1 ^ г ^ п и отправляет Алисе;

3=1

п т

3. Алиса вычисляет ^(Л) ¡Зг, Боб вычисляет ^0,3.

=1 =1

По определению коммутативной операды имеет место равенство (2). Следовательно, Алиса и Боб получают общий секретный ключ.

Криптостойкость данного протокола основана на сложности нахождения

к

элемента £ £ Я(к) по известным Ь1,... ,Ьк £ А и ^Ьг £ А. Это формальный

=1

аналог задачи дискретного логарифмирования.

Параграф 4.3 посвящен описанию метода маскировки алгебраической структуры, используемой в криптографических алгоритмах. Этот метод позволяет (при некоторых правдоподобных допущениях) обезопасить криптографические алгоритмы от взлома на любое конечное наперед заданное время. В параграфе 4.3 метод маскировки описывается для групп, колец и операд. В параграфе 4.4 исследуется реализация протокола 1. Пусть К — ассоциативное коммутативное кольцо или полукольцо, К^ — коммутативная операда из примеров 1.1.4 и 1.4.1, где К*(п) = Кп. Пусть к — фиксированное натуральное число.

Рассмотрим произвольную подопераду Я операды К^ и зададим структуру Д-алгебры на А = Кт, определив отображения

Я(п) х Ап —> А,

п

€(11 ...ап = ^ = Хк а1 +----+ ХПап,

=1

где £ = (х1,..., Хп) £ Я(п), аг = (а^,..., ат,г), 1 < г < п. Пусть Ь = (Ь1,..., Ьт) £ А. Тогда имеет место

Теорема 4.4.3. Криптостойкость протокола 1 зависит от сложности ре-

шения систем уравнений вида

а\¿х\ + • • • + а\,„хкп = Ь\

........................(5)

+ • • • +

над кольцом или полукольцом К, причем рассматриваться должны только решения (хх,..., хп) Е Я(п).

Рассматриваются частные случаи систем уравнений вида (5) — линейные диофантовы системы, односторонние тропические системы (см. [45]), системы уравнений над конечным полем.

Применив метод маскировки, получаем следующий результат.

Теорема 4.4.9. Криптостойкость протокола 1 для замаскированной опера-ды Щс) и замаскированной алгебры А({к{^})(с) определяется сложностью решения над (полу)кольцом К системы уравнений:

ах х\1 ух + ••• + ах хкп1 ух = Ъх

... ... ... ... (6)

тодо .^х ут > > ^то/п^ ^п уто ито)

где х\,..., хп, кх,... ,кто, у\,...,уто и с неизвестны.

Система уравнений (6) исследуется в случае тропического полукольца К = (Ъ, ©, 0).

Напомним (см., напр., [67; 77]), тропическое полукольцо Ят[п — это подмножество К и {то} вместе с операциями сложения а 0 Ь = шт(а, Ь), умножения а © Ь = а + Ь, нулем 0 = то и единицей 1 = 0.

В заключении приводятся основные результаты диссертации и формулируются задачи для дальнейших исследований в рамках данной тематики.

В приложении А приводится геометрическое описание подалгебр над операдой Стах, порожденных тремя элементами.

В заключение, автор выражает глубокую благодарность научному руководителю Сергею Николаевичу Тронину за постановку задач, ценные советы и постоянное внимание к работе.

Глава 1. Операды и алгебры над операдами

1.1 Операды

Определение 1.1.1. Симметрической операдой (или Т,-операдой) называется семейство множеств Я = { Я(п) \п = 1, 2,...}, такое, что на каждом Я(п) действует справа группа подстановок и для каждого упорядоченного набора целых положительных чисел т,п1,... ,пт определена операция композиции:

Я(т) х Я(п\) х ••• х Я(пт) —> Я(щ +----+ пт),

(ш,ш1,. . . , Шт) ^ ШШ1 ... шт.

При этом должны выполняться свойства:

1. Ассоциативность:

. . . Ш1,к1) . . . (Шт^т,1 . . . шт,кт) = = (ШШ1 . . . Шт)(^1,1 . . . ^1,к1 . . . шт,1 . . . шт,кт ).

2. Существование элемента £ £ Я(1) (единицы операды) такого, что для любого ш £ Я(т): ш(е ... е) = и и еш = ш.

3. Эквивариантность:

— ш(ш1&1,. . . ) = (шш1... Шт)(&пх 1—1 • • • 1_1 а„т), где а г £ Т,г и а„л и • • • и апт — конкатенация в Хп1+_____упт.

— (иа)и1 ...Шт = иша-1(1) . ..иа-1 (т)°(п1,..., пт), где а(щ,... ,Пт) — подстановка п1 +... + пт элементов, получающаяся в результате разбиения множества этих элементов на т блоков по п1,... ,пт элементов и воздействия на эти блоки подстановкой а.

Замечание 1.1.2. Операция и : Хп1 х Хп2 ^ *Еп1+п2 определяется следующим образом. Пусть [п] = {1, 2,... ,п}, а1 £ Еп1, а2 £ Хп2, то а1 есть отображение из [п\] в [п\], а2 — из [п2] в [п2}. Тогда положим а = а1 иа2 : [п1 +п2] ^ [п1 +п2], где а({) = а1({) при 1 ^ % ^ п1, а(п1 + ]) = а2(]) + п1 при 1 ^ ] ^ п2.

Всюду далее для группы подстановок порядка п будем использовать принятое в теории операд обозначение £п.

Отметим, наряду с симметрическими операдами, теория операд занимается исследованием и несимметрических операд. Определение несимметрической операды совпадает с определением симметрической операды без действия групп подстановок. В данной диссертации исследуются только симметрические операды. На протяжении всей работы под «операдой» будем понимать «£-операду».

Приведем примеры операд.

Пример 1.1.3. Пусть X — некоторое множество, Шар(А,В) — множество всех отображений из А в В. Рассмотрим семейство Ех = {Ех(п)\п ^ 1}, Ех(п) = Мар(Хп,Х) и введем на нем структуру операды.

Для шг : Xщ ^ X, 1 ^ г ^ т, и ш : Хто ^ X определим отображение шш\...што : X^ X следующим образом. Пусть х Е XП1+'^'+Лга. Так как X= XП1 х • • • х XПт, то х = (х\,... ,хто), где хг Е Xщ. Тогда

ШШ1 . ..Што(х) = ш(ш1 (X!), . . . ,Што(Хто)).

Действие групп подстановок происходит по правилу:

ша(х\, ...,Хто) = (ха(х),.. .,ха(то)), где и Е Ех(т), х\,... ,хто Е X, а а Е £то.

Пример 1.1.4. Пусть С — полугруппа с единицей. Рассмотрим семейство С* = {С*(п)\п ^ 1}, где С*(п) = Сп. Элементы С*(п) — это последовательности х = (хх,... ,хп) элементов xi Е С. Умножение элемента д Е С на строку х определяется по правилу: дх = (дх\,... ,дхп). Определим операции композиции:

С*(т) х С*(щ) х ... х С*(пто) ^ С*(щ + • • • + Пто) , (11)

^-¡Ух-, . . . У то) ^ хУх .. .у то, где х = (жь...,жто) Е С*(т), у.. = (угЛ,... ,уьщ) Е С*(гц) для всех 1 ^ г ^ т, и хух ...у то = (Х1Ух,...,%тоУто).

Действие группы подстановок Еп зададим на множестве С*(п), полагая (х1,..., Хп)а = (ха(1),..., ха(п)).

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Гайнуллина Алина Рашидовна, 2018 год

Список литературы

[1] Бордман, Дж. Гомотопически инвариантные алгебраические структуры на топологических пространствах / Дж. Бордман, Р. Фогт. - М.: Мир, 1977. - 408 с.

[2] Василенко О. Н. Теоретико-числовые алгоритмы в криптографии / О. Н. Василенко. - М.: МЦНМО, 2003. - 328 с.

[3] Вычислительно сложные задачи теории чисел: учебное пособие для вузов / Е. А. Гречников, С. В. Михайлов, Ю. В. Нестеренко, И. А. Поповян. -М.: Изд-во МГУ им. М. В. Ломоносова, 2012. - 312 с.

[4] Деза, М. М. Геометрия разрезов и метрик / М. М. Деза, М. Лоран. - М.: МЦНМО, 2001. - 736 с.

[5] Деза, Е. И. Энциклопедический словарь расстояний / Е. И. Деза, М. М. Деза. - М.: Наука, 2008. - 447 с.

[6] Копытов, В. М. Решеточно упорядоченные группы / В. М. Копытов. - М.: Наука, 1984. - 320 с.

[7] Курош, А. Г. Лекции по общей алгебре: учебник / А. Г. Курош. - 3-е изд., стер. - СПб: Лань, 2016. - 560 с.

[8] Маклейн, С. Категории для работающего математика: пер. с англ. / С. Маклейн. - М.: Физматлит, 2004. - 352 с.

[9] Мальцев, А. И. Структурная характеристика некоторых классов алгебр / А. И. Мальцев // Докл. АН СССР. - 1958. - Т. 120. - № 1. - С. 29-32.

[10] Общая алгебра в двух томах / под общ. ред. Л. А. Скорнякова. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1991. - Т. 2. - (Справ. мат. б-ка). - 480 с.

[11] Основы криптографии: учебное пособие / А. П. Алферов, А. Ю. Зубов, А. С. Кузьмин, А. В. Черемушкин. - 2-е изд., испр. и доп. - М.: Гелиос АРВ, 2002. - 480 с.

[12] Пинус, А. Г. Условные термы и их применение в алгебре и теории вычислений / А. Г. Пинус. - Новосибирск: Издательство НГТУ, 2002. - 239 с.

[13] Романьков, В. А. Введение в криптографию. Курс лекций / В. А. Романь-ков. - М.: ФОРУМ, 2012. - 240 с.

[14] Романьков, В. А. Алгебраическая криптография: монография / В. А. Романьков. - Омск: Изд-во ОмГУ, 2013. - 135 с.

[15] Скорняков, Л. А. Алгебра стохастических распределений / Л. А. Скорняков // Изв. вузов. Математика. - 1982. - № 11. - С. 59-67.

[16] Скорняков, Л. А. Стохастическая алгебра / Л. А. Скорняков // Изв. вузов. Математика. - 1985. - № 7. - С. 3-11.

[17] Смарт, Н. Криптография: пер. с англ. / Н. Смарт. - М.: Техносфера, 2006. - 528 с.

[18] Смирнов, В. А. Операдные и симплициальные методы в алгебраической топологии / В. А. Смирнов. - М.: Факториал Пресс, 2002. - 272 с.

[19] Соловьева, Ф. И. Сборник задач по теории кодирования, криптологии и сжатию данных: учебное пособие / Ф. И. Соловьева, А. В. Лось, И. Ю. Могильных. - Новосибирск: НГУ, 2013. - 100 с.

[20] Схрейвер, А. Теория линейного и целочисленного программирования: в 2 т. / А. Схрейвер. - Перевод с англ. С. А. Тарасова и др. - Т. 1. - М.: Мир, 1991. - 360 с.

[21] Тронин, С. Н. Матричные линейные операды / С. Н. Тронин, О. А. Копп // Изв. вузов. Математика. - 2000. - № 8. - С. 53-62.

[22] Тронин, С. Н. Абстрактные клоны и операды / С. Н. Тронин // Сиб. матем. журн. - 2002. - Т. 43. - № 4. - С. 924-936.

[23] Тронин, С. Н. Операды в категории конвексоров I / С. Н. Тронин // Изв. вузов. Математика. - 2002. - № 3. - С. 42-50.

[24] Тронин, С. Н. Операды и многообразия алгебр, определяемые полилинейными тождествами / С. Н. Тронин // Сиб. матем. журн. - 2006. - Т. 47.

- № 3. - С. 670-694.

[25] Тронин, С. Н. Алгебры над операдой сфер / С. Н. Тронин // Изв. вузов. Математика. - 2010. - № 3. - С. 72-81.

[26] Тронин, С. Н. Естественные мультипреобразования мультифункторов / С. Н. Тронин // Изв. вузов. Математика. - 2011. - № 3. - С. 58-71.

[27] Тронин, С. Н. Операдные и категорные методы в теории многообразий универсальных алгебр: дис. ... д-ра физ.-мат. наук: 01.01.06 / Тронин Сергей Николаевич. - Казань, 2011. - 350 с.

[28] Тронин, С. Н. Вербальные категории и тождества универсальных алгебр / С. Н. Тронин // Уч. записки Казан. ун-та. Серия Физ-мат. науки. - 2012.

- Т. 154. - № 2. - С. 125-141.

[29] Тронин, С. Н. Об алгебрах над мультикатегориями / С. Н. Тронин // Изв. вузов. Математика. - 2016. - № 2. - С. 62-76.

[30] Фрумкин, М. А. Алгоритмы решения систем линейных уравнений в целых числах / М. А. Фрумкин // Исследования по дискретной оптимизации. -М.: Наука, 1976. - С. 97-127.

[31] Шнайер, Б. Прикладная криптография. Протоколы, алгоритмы и исходные коды на языке C / Б. Шнайер. - пер. с англ. Schneier, B. Applied Cryptography: Protocols, Algorithms and Source Code in C. - М.: Вильямс, 2016. - 1024 с.

[32] Яблонский, С. В. Введение в дискретную математику: учебное пособие для вузов / С. В. Яблонский. - М.: Высшая школа, 2003. - 384 с.

[33] A Course in Mathematical Cryptography / G. Baumslag, B. Fine, M. Kreuzer, G. Rosenberger // Berlin Boston, Walter de Gruyter GmbH, 2015, xiv+376 p.

[34] Adamek, J. Algebraic Theories: a Categorical Introduction to General Algebra / J. Adamek, J. Rosicky, E. M. Vitale // New York, Cambridge University Press, 2011, Cambridge Tracts in Mathematics, Vol. 184, xviii+249 p.

[35] Anshel, I. An algebraic method for public-key cryptography / I. Anshel, M. Anshel, G. Goldfeld // Math. Res. Lett. - 1999. - Vol. 6. - № 3-4. -P. 287-291.

[36] Baader, F. Unification in Commutative Theories / F. Baader //J. Symbolic Computation. - 1989. - Vol. 8. - P. 479-497.

[37] Bai, C. Operads and Universal Algebra. Proceedings of the International Conference on Operads and Universal Algebra (Tianjin, China, July 5-9, 2010) / ed. C. Bai, L. Guo, J.-L. Loday // Singapore, World Scientific, 2012, Nankai Series in Pure, Applied Mathematics and Theoretical Physics, Vol. 9, xviii+299 p.

[38] Bard, G. V. Algebraic Cryptanalysis / G. V. Bard // New York, SpringerVerlag US, 2009, xxxiii+356 p.

[39] Barr, M. What is the center? / M. Barr // Reports of the Midwest Category Seminar III. Lect. Notes in Math. - 1969. - Vol. 106. - P. 1-12.

[40] Behrisch, M. Category Theoretic Understandings of Universal Algebra and its Dual: Monads and Lawvere Theories, Comonads and What? / M. Behrisch, S. Kerkhoff, J. Power // Electr. Notes in Theor. Comp. Sc. - 2012. - Vol. 286. - P. 5-16.

[41] Borceux, F. Handbook of Categorical Algebra 1. Basic Category Theory / F. Borceux // New York, Cambridge University Press, 1994, 345 p.

[42] Borceux, F. Handbook of Categorical Algebra 2. Categories and Structures / F. Borceux // New York, Cambridge University Press, 1994, 443 p.

[43] Braids: Introductory Lectures on Braids, Configurations and Their Applications / ed. A. G. Berrick, F. R. Cohen, E. Hanbury, Y-L. Wong,

J. Wu // Singapore, World Scientific, 2010, Lecture Notes Series, Institute for Mathematical Sciences, National University of Singapore, Vol. 19, x+403 p.

[44] Bremner, M. R. Algebraic Operads. An Algorithmic Companion / M. R. Bremner, V. Dotsenko // FL, CRC Press, Taylor & Francis Group, Boca Raton, 2016, xviii+361 p.

[45] Butkovic, P. Max-linear Systems: Theory and Algorithms / P. Butkovic // London, Springer-Verlag, 2010, Springer Monographs in Mathematics, xviii+274 p.

[46] Cohn, P. M. Universal Algebra / P. M. Cohn // Dordrecht, Holland, D. Reidel Pub. Company, 1981, Mathematics and its Applications, Vol. 6, xv+413 p.

[47] Diffie, W. New directions in cryptography / W. Diffie, M. E. Hellman // IEEE Transact. Inform. Thery. - 1976. - Vol. 22. - № 6. - P. 644-654.

[48] Dehornoy, P. Braid-based cryptography / P. Dehornoy // Contemp. Math. -2004. - Vol. 360. - P. 5-33.

[49] Deza, M. Encyclopedia of Distances / M. Deza, E. Deza // Berlin-Heidelberg, Springer-Verlag, 2016, xxii+756 p.

[50] Fresse, B. Modules over Operads and Functors / B. Fresse // Berlin, SpringerVerlag, 2009, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 1967, x+314 p.

[51] Fresse, B. Homotopy of Operads and Grothendieck-Teichmüller Groups: Part 1: The Algebraic Theory and its Topological Background / B. Fresse // USA, AMS, 2017, Mathematical Surveys and Monographs, Vol. 217, 532 p.

[52] Fresse, B. Homotopy of Operads and Grothendieck-Teichmüller Groups: Part 2: The Applications of (Rational) Homotopy Theory Methods / B. Fresse // USA, AMS, 2017, Mathematical Surveys and Monographs, Vol. 217, 704 p.

[53] Garber, D. Braid group cryptography / D. Garber // Braids: Introductory Lectures on Braids, Configurations and Their Applications. - 2010. - Vol. 19. - P. 329-416.

[54] Garcia, O. C. Generalized Commutativity / O. C. Garcia, W. Taylor // Universal Algebra and Lattice Theory: Proceedings of a Conference held at Charleston, July 11-14, 1984. Lect. Notes in Math. - 1985. - Vol. 1149. -P. 101-122.

[55] von zur Gathen, J. Weitere zum Erfüllungsproblem polynomial äquivalente kombinatorische Aufgaben / J. von zur Gathen, M. Sieveking // Lecture Notes in Comp. Sc. - 1976. - Vol. 43. - P. 49-71.

[56] Ginzburg, V. Koszul duality for operads / V. Ginzburg, M. Kapranov // Duke Math. J. - 1994. - Vol. 76. - № 1. - P. 203-272.

[57] Giraudo, S. Combinatorial operads from monoids / S. Giraudo // J. of Alg. Combinatorics. - 2015. - Vol. 41. - № 2. - P. 493-538.

[58] Glass, A. M. V. Lattice-Ordered Groups: Advances and Techniques / ed. A. M. V. Glass, W. Ch. Holland // Dordrecht, Kluwer Academic Publishers, 1989, Series: Mathematics and its applications, xix+380 p.

[59] Glass, A. M. V. Partially Ordered Groups / A. M. V. Glass // Singapore, World Scientific, 1999, Series in Algebra, Vol. 7, xiii+307 p.

[60] Graützer, G. Universal Algebra / G. Graützer // New York, Springer-Verlag, 2008, xviii+586 p.

[61] Grigoriev, D. Tropical cryptography / D. Grigoriev, V. Shpilrain // Communication in Algebra. - 2014. - Vol. 42. - № 6. - P. 2624-2632.

[62] Hermida, C. Representable Multicategories / C. Hermida // Advances in Mathematics. - 2000. - Vol. 151. - № 2. - P. 164-225.

[63] Hyland, M. The Category Theoretic Understanding of Universal Algebra: Lawvere Theories and Monads / M. Hyland, J. Power // Electr. Notes in Theor. Comp. Sc. - 2007. - Vol. 172. - P. 437-458.

[64] Kopytov, V. M. The Theory of Lattice-Ordered Groups / V. M. Kopytov, N. Ya. Medvedev // Netherlands, Springer, 1994, Mathematics and its Applications, Vol. 307, xvi+400 p.

[65] Kriz, I. Operads, Algebras, Modules and Motives / I. Kriz, J. P. May // Paris, SMF, 1995, Asterisque, № 233, 145 p.

[66] Leinster, T. Higher Operads, Higher Categories / T. Leinster // Cambridge, UK, Cambr. Univ. Press, 2004, London Math. Soc. Lect. Notes Ser., Vol. 298, 433 p.

[67] Litvinov, G. L. Idempotent and tropical mathematics; complexity of algorithms and interval analysis / G. L. Litvinov // Comp. and Math. with Appl. - 2013. - Vol. 65. - № 10. - P. 1483-1496.

[68] Loday, J.-L. Operads: Proceedings of Renaissance Conferences / ed. J.-L. Loday, J. D. Stasheff, A. A. Voronov // USA, AMS, 1997, Contemporary Math., Vol. 202, x+446 p.

[69] Loday, J.-L. Algebraic Operads / J.-L. Loday, B. Vallette // Berlin-Heidelberg, Springer-Verlag, 2012, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Vol. 346, xxiv+636 p.

[70] Markl, M. Operads in Algebra, Topology and Physics / M. Markl, S. Shnider, J. Stasheff // USA, AMS, 2002, Math. Surveys and Monographs, Vol. 96, 349 p.

[71] Markl, M. Operads and PROPs / M. Markl // Handbook of Algebra. - 2008. - Vol. 5. - P. 87-140.

[72] Mathematical Foundations of Public Key Cryptography / X. Wang, G. Xu, M. Wang, X. Meng // Boca Raton FL, CRC Press, Taylor & Francis Group, 2015, xvi+220 p.

[73] May, J. P. The geometry of iterated loop spaces / J. P. May // Berlin-New York, Springer-Verlag, 1972, Lectures Notes in Mathematics, Vol. 271, viii+175 p.

[74] May, J. P. Operads, algebras and modules / J. P. May // Contemporary Mathematics. - 1997. - Vol. 202. - P. 15-31.

[75] Mendez, M. Set Operads in Combinatorics and Computer Science / M. Mendez // Heidelberg-New York-Dordrecht-London, Springer International Publishing, 2015, xv+129 p.

[76] Myasnikov, A. Non-commutative Cryptography and Complexity of Group-theoretic Problems / A. Myasnikov, V. Shpilrain, A. Ushakov // Providence, Rhode Island, AMS, 2011, xiv+385 p.

[77] Speyer, D. Tropical Mathematics / D. Speyer, B. Sturmfels // Math. Magazine. - 2009. - Vol. 82. - № 3. - P. 163-173.

[78] Stasheff, J. What is ... an operad? / J. Stasheff // Notices Amer. Math. Soc.

- 2004. - Vol. 51. - № 6. - P. 630-631.

[79] Vasco, M. I. G. Group Theoretic Cryptography / M. I. G. Vasco, R. Steinwandt // Boca Raton London New York, CRC Press, Taylor & Francis Group, 2015, xvii+224 p.

[80] Yau, D. Colored Operads / D. Yau // AMS, 2016, Graduate Studies in Mathematics, Vol. 170, 428 p.

[81] Zinbiel, G.W. Encyclopedia of types of algebras 2010 / G. W. Zinbiel // Singapore, World Scientific, 2012. - Proc. Int. Conf., Nankai Series in Pure, Applied Mathematics and Theoretical Physics. - Vol. 9. - P. 217-298.

Работы автора по теме диссертации

[82] Гайнуллина, А. Р. Алгебры над операдой полых кубов и новая метрика в неотрицательном квадранте евклидовой плоскости / А. Р. Гайнуллина, С. Н. Тронин // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. - 2017.

- Т. 159, кн. 1. - № 1. - C. 21-32.

[83] Gaynullina, A. R. Towards an Operad-Based Cryptography: Applications of Commutative Operads / A. R. Gaynullina, S. N. Tronin // Lobachevskii J. Math. - 2016. - Vol. 37. - № 3. - P. 234-239.

[84] Gaynullina, A. R. Some New Platforms for Algebraic Cryptography and One Method of Increasing the Security / A. R. Gaynullina, S. N. Tronin // Lobachevskii J. Math. - 2016. - Vol. 37. - № 6. - P. 768-776.

[85] Gaynullina, A. On one class of commutative operads / A. Gaynullina // Asian-European J. Math. - 2017. - Vol. 10. - № 1. - 1750007. - 34 pp.

[86] Гайнуллина, А. Р. Свободные коммутативные операды / А. Р. Гайнуллина // Тр. матем. центра им. Н. И. Лобачевского: материалы XIII Всероссийской молодежной научной школы-конференции «Лобачевские чтения - 2014», г. Казань, 24-29 октября 2014 г. - Казань: Изд-во Казан. ун-та. -2014. - Т. 50. - С. 44-46.

[87] Гайнуллина, А. Р. Многообразие алгебр над операдой полых кубов / А. Р. Гайнуллина // Материалы XIII Международной конференции «Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы и приложения», г. Тула, 25-30 мая 2015 г. - Тула: Изд-во ТГПУ им. Л.Н. Толстого. - 2015. - С. 110-112.

[88] Гайнуллина, А. Р. Об одном классе коммутативных операд / А. Р. Гайнуллина // Тр. матем. центра им. Н. И. Лобачевского: материалы XIV Всероссийской молодежной школы-конференции «Лобачевские чтения -2015», г. Казань, 22-27 октября 2015 г. - Казань: Изд-во Казан. матем. общества, Изд-во АН РТ. - 2015. - Т. 52. - С. 42-44.

[89] Гайнуллина, А. Р. О свободных коммутативных операдах / А. Р. Гайнуллина // Материалы международной конференции по алгебре, анализу и геометрии, г. Казань, 26 июня - 2 июля 2016 г. - Казань: Казанский университет, Изд-во АН РТ. - 2016. - С. 134-135.

[90] Гайнуллина, А. Р. Метод маскировки для криптографических протоколов на платформе коммутативных операд / А. Р. Гайнуллина // Тр. матем. центра им. Н.И. Лобачевского: материалы XV Всероссийской молодежной школы-конференции «Лобачевские чтения - 2016», г. Казань, 24-29 ноября

2016 г. - Казань: Изд-во Казан. матем. общества, Изд-во АН РТ. - 2016. - Т. 53. - С. 62-63.

[91] Тронин, С. Н. Некоторые применения теории операд в криптографии с открытым ключом / С. Н. Тронин, А. Р. Гайнуллина // Сборник тезисов международной научной конференции «Алгебра и математическая логика: теория и приложения», г. Казань, 2-6 июня 2014 г. - Казань: Изд-во Казан. ун-та. - 2014. - С. 148-149.

[92] Тронин, С. Н. О вербальности категории перетасовок [Электронный ресурс] / С. Н. Тронин, А. Р. Гайнуллина // Электронный сборник тезисов докладов международной конференции «Мальцевские чтения», г. Новосибирск, 3-7 мая 2015 г. - Новосибирск: Институт математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения РАН. - 2015. - С. 200. - Режим доступа: http://math.nsc.ru/conference/malmeet/15/malmeet15.pdf.

[93] Gaynullina, A. On Operad-based Cryptography / A. Gaynullina, S. Tronin // Pre-proc. 4rd Workshop on Current Trends in Cryptology «CTCrypt'2015» (Kazan, Russia, June 3-5, 2015). - Kazan, 2015. - P. 77-87.

Приложение А

Подалгебры над операдой полых кубов Стах, порожденные

тремя элементами

7) 8) 9)

Рисунок А.1 - Подалгебры над операдой полых кубов Стах, порожденные тремя элементами в случае, когда: 1) три элемента совпадают; 2)-5) два элемента совпадают;

6)-50) все элементы различные

Рисунок А.1 (продолжение) - Подалгебры над операдой полых кубов Стах, порожденные тремя элементами в случае, когда: 1) три элемента совпадают; 2)-5) два элемента совпадают; 6)-50) все элементы различные

34)

35)

36)

37) 38) 39)

Рисунок А.1 (продолжение) - Подалгебры над операдой полых кубов Стах, порожденные тремя элементами в случае, когда: 1) три элемента совпадают; 2)-5) два элемента совпадают; 6)-50) все элементы различные

46)

47)

48)

Рисунок А.1 (продолжение) - Подалгебры над операдой полых кубов Стах, порожденные тремя элементами в случае, когда: 1) три элемента совпадают; 2)-5) два элемента совпадают; 6)-50) все элементы различные