Комбинированный метод оценивания показателей таблиц дожития тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Тебуев, Джамал Билялович

• Тебуев, Джамал Билялович
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Тебуев, Джамал Билялович

Основные обозначения.

Введение.

Глава 1. АНАЛИТИЧЕСКИЙ ОБЗОР МЕТОДОВ ОЦЕНИВАНИЯ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ТАБЛИЦ ДОЖИТИЯ.

1.1. Прямые методы построения таблиц дожития.

1.2. Косвенные методы построения таблиц дожития.

1.2.1. Модель Гомперца-Мейкема.

1.2.2. Модель Хелигмена-Полларда.

1.2.3. Модельные таблицы ООН.

1.2.4. Региональные таблицы Коула-Демени.

1.2.5. Модельные таблицы Ледерман.

1.2.6. Логит-система Брасса.

1.2.7. Модифицированная модель Брасса.

1.3. Основные преимущества и недостатки прямых и косвенных методов оценивания показателей таблиц дожития. Комбинированный подход.

1.4. Эффективность методов оценивания показателей таблиц дожитияЗО

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Комбинированный метод оценивания показателей таблиц дожития»

Одно из фундаментальных свойств народонаселения — его постоянное самовозобновление в процессе последовательной смены поколений. Понимание объективного характера закономерностей воспроизводства населения и его составляющих, а также знание их тенденций позволяют демографии разрабатывать рекомендации относительно общих направлений и конкретных мероприятий социальной и демографической политики [57, 60, 76, 85, 86, 89].

Вопросы здоровья и продолжительности жизни были и остаются в центре общественного внимания [1, 27, 29]. Помимо прочего, такое внимание вызвано тем, что с продолжительностью жизни населения связываются успехи в социальном развитии, достигнутые обществом. Это, а также важнейшая роль смертности в воспроизводстве населения, определяют постоянный и пристальный интерес демографии к теме моделирования смертности и продолжительности жизни [3, 4, 12, 14, 47, 48, 74, 88, 90].

В практике при анализе смертности большое значение имеет изучение возрастных и половых особенностей смертности. Это связано как с важностью изучения этих особенностей в контексте социальной политики, так и с необходимостью подготовки сценариев развития смертности по полу и возрасту для целей демографического прогнозирования.

Традиционные подходы к моделированию смертности заключаются в построении таблиц дожития, которые представляют собой модель процесса вымирания когорты родившихся [43, 46, 49, 57, 60, 61, 67, 80, 85, 90]. Таблицы дожития строятся на основе набора условных вероятностей дожития до возраста .v + l, тех, кто дожил до возраста х. Эти вероятности, как правило, оцениваются на основе эмпирических данных по численности населения, подверженному риску умереть, и числам умерших в каждом возрасте. При этом традиционно модели смертности игнорируют различия между теоретической вероятностью и эмпирической частотой смертных случаев. Такой подход хорошо работает только в случаях, когда рассматриваются большие совокупности людей, т.к. в силу закона больших чисел различия между вероятностью события и его эмпирической частотой появления во многом стираются. Небольшие отклонения эмпирических частот от теоретических успешно устраняются с помощью различных методов сглаживания и усреднения [77, 79].

Указанный подход, при котором частота события отождествляется с его вероятностью, не подходит для анализа смертности малочисленных населений (десятки тысяч человек), т.к. эмпирические частоты проявляют большой разброс вокруг теоретических значений. Между тем, анализ смертности в малочисленных населениях является весьма важной задачей [20, 52, 53, 64, 68]. Её актуальность определяется многими причинами, в т. ч.:

1. Неоднородностью реальных населений.

2. Необходимостью анализа и сопоставления смертности у малочисленных народов.

3. Необходимостью исследования географических и социальных особенностей смертности.

4. Необходимостью исследования малочисленных населений в исторической демографии.

5. Необходимостью анализа смертности малочисленных населений России, поскольку, согласно Федерального закона от 6 октября 2003 года №131-Ф3 «Об общих принципах организации местного самоуправления в Российской Федерации» полномочия органов местного самоуправления расширенны, и в условиях кризисной демографической ситуации органами исполнительной власти многих субъектов Российской Федерации принимаются программы демографического развития, для реализации и мониторинга которых требуется информация о текущей и перспективной демографической ситуации не только на региональном, но и субрегиональном уровне.

Сходная ситуация наблюдается в случае анализа смертности в населениях с низкой смертностью, а также в старших возрастных группах. В первом случае использование прямых методов будет неэффективным в силу небольшого числа случаев смерти. Во втором случае мала численность населения, подверженного риску умереть.

В отмеченных случаях, когда традиционные прямые методы являются неэффективными, используются различные косвенные методы, основанные на моделях зависимости показателей смертности от возраста. В частности, одной из наиболее часто используемых моделей является реляционная модель У.Брасса. Она позволяет для исследуемого населения с помощью «стандартной» таблицы дожития и двух параметров, которые оцениваются из исходных данных, получать искомые показатели таблицы дожития [5, 31, 34].

Общим недостатком косвенных методов оценивания показателей таблиц дожития является неспособность отразить особенности возрастной структуры смертности исследуемого населения, нехарактерные для используемых моделей зависимости смертности от возраста. В возрастах с большим числом людей использование косвенных методов может привести к большим ошибкам, чем ошибки связанные с конечным объёмом выборки.

Отмеченные проблемы моделирования смертности и оценивания показателей таблиц дожития для населения с малым числом случаев смерти во всех или некоторых возрастах, делают актуальной задачу разработки нового более гибкого подхода к построению таблиц дожития, который сочетал бы в себе преимущества как прямых, так и косвенных методов оценивания показателей таблиц дожития [92, 97, 101, 102].

Объектом исследования в диссертационной работе является процесс смертности.

Предметом исследования являются методы оценивания показателей таблиц дожития.

Целью диссертационной работы является исследование существующих методов, а также разработка нового метода, алгоритмов и пакета программ для оценивания показателей таблиц дожития в условиях малого числа случаев смерти, сочетающих достоинства прямых методов и метода У. Брасса.

Задачи исследования можно определить следующими пунктами:

1. Исследовать применимость традиционно используемых прямых и косвенных методов оценивания показателей таблиц дожития при малом числе случаев смерти.

2. Разработать комбинированный метод оценивания показателей таблиц дожития, сочетающий в себе достоинства прямых методов и метода У. Брасса.

3. Разработать алгоритм оценивания стандартных ошибок для оценок показателей таблиц дожития.

4. Разработать методику оценивания эффективности методов построения таблиц дожития.

5. Создать пакет программ, позволяющий различными методами оценивать показатели таблиц дожития и для полученных показателей оценивать стандартные ошибки.

6. Провести сравнительный анализ традиционно используемых методов и предложенного комбинированного метода в ситуациях малого числа случаев смерти.

Для решения поставленных в диссертационной работе задач использованы понятия и методы математической демографии, теории вероятностей и математической статистики, теории оптимизации, аппарата имитационного моделирования и численные методы.

Научная новизна работы состоит в следующем: 1. На основе метода Чанга и метода Брасса разработан комбинированный метод оценивания показателей таблиц дожития, позволяющий, с одной стороны, использовать в полной мере исходную информацию, с другой стороны, восполнить недостающие данные.

2. Обоснован выбор весовых коэффициентов комбинированного метода, в котором весовые коэффициенты определяются из условия минимума квадратичных ошибок комбинированных вероятностей умереть.

3. Предложена методика увеличения диапазона применимости логит-системы Брасса, за счет подбора наиболее походящего стандарта из эмпирических таблиц дожития.

4. Предложена методика оценивания стандартных ошибок показателей дожития с использованием аппарата имитационного моделирования, позволяющая осуществлять сравнительный анализ эффективности методов оценивания показателей таблиц дожития.

5. Разработан пакет программ, позволяющий с помощью традиционных методов, а также с помощью комбинированного метода вычислять оценки показателей таблиц дожития и для получаемых показателей оценивать стандартные ошибки.

Достоверность и обоснованность полученных в диссертационной работе результатов обеспечиваются использованием моделей математической демографии, методов теории вероятностей и математической статистики, теории имитационного моделирования, численных методов, а также строгостью математических выкладок и непротиворечивыми результатами проведённых вычислительных экспериментов.

Предлагаемые методы могут быть полезны в областях традиционного использования таблиц дожития: анализ смертности, прогнозирование численности и структуры населения, трудовых ресурсов, моделирование и анализ системы пенсионного и социального обеспечения, актуарные расчеты и др.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Комбинированный метод оценивания показателей таблиц дожития, в котором оценки возрастных вероятностей умереть вычисляются как средневзвешенные прямых и брассовских оценок возрастных вероятностей умереть.

2. Расширение диапазона применимости логит-системы Брасса за счёт подбора «стандартной» таблицы дожития.

3. Методика оценивания стандартных ошибок показателей таблиц дожития, использующая имитационные процедуры и методы математической статистики.

4. Пакет программ, позволяющий с помощью различных традиционных методов, а также с помощью комбинированного метода, оценивать показатели таблиц дожития и для полученных показателей оценивать стандартные ошибки.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на:

III Всероссийских Межвузовских научных чтениях «Математические и статистические методы в экономике и естествознании» (РГЭА «РИНХ», Ростов-на-Дону, 2001) научно-практической конференции аспирантов и студентов КЧГТА «Решение научно-технических и социально-экономических проблем современности» (КЧГТА, Черкесск, 2002);

IV Международной конференции «Новые технологии в управлении, бизнесе и праве» (Невинномысск, 2004);

Международном Российско-Казахском симпозиуме «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики» (КБНЦ РАН, Нальчик-Эльбрус, 2004);

VIII региональной конференции «Вузовская наука - СевероКавказскому региону» (Ставрополь, СевКавГТУ, 2004);

III школе молодых учённых «Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики» (КБНЦ РАН, Нальчик-Эльбрус, 2005); и

XXXIV научно-технической конференции по результатам работы профессорско-преподавательского состава, аспирантов и студентов за 2004 год (Ставрополь, 2005) научно-методическом семинаре кафедры математики и кафедры прикладной математики Карачаево-Черкесской государственной технологической академии.

По теме диссертации соискатель проходил стажировки в «Центре по изучению проблем народонаселения» экономического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова (2005 и 2006 гг.)

По теме диссертационной работы опубликовано 13 работ. Среди них: две статьи в рекомендованных ВАК РФ периодических изданиях, одна в тематическом сборнике статей, одна в электронном журнале, допущенном ВАК РФ (письмо №01-56-05-103 от 26.05.1998) для публикации содержания диссертаций, две в сборниках по итогам проведения международных научно-практических конференций и семинаров, 6 в сборниках по итогам проведения научно-практических конференций. Общий объём публикаций составляет 2.35 п.л., из них автору принадлежит 1.32 п.л.

Теоретические и практические результаты диссертационной работы были использованы при выполнении НИР по гранту РФФИ, проект №05-0680432 «Разработка математических моделей и методов оценивания показателей воспроизводства малочисленного населения».

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения, библиографического списка, содержащего 105 наименований, и пяти приложений.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Тебуев, Джамал Билялович

3.4. Основные выводы и заключения к главе

Приведем основные результаты полученные в главе 3.

1. Для рассмотренных в работе традиционных методов исследования смертности, а также для предложенных новых методов разработаны алгоритмы их вычислительной реализации.

2. На основе этих алгоритмов разработан и зарегистрирован пакет программ ОПТД - «Оценивание показателей таблиц дожития» (свидетельство об отраслевой регистрации разработки №9323 от 22.10.2007. Авторы: Тебуев Д.Б., Эдиев Д.М.), который позволяет различными способами получать оценки показателей однолетних таблиц дожития и для полученных показателей оценивать их стандартные ошибки.

3. Пакет программ «ОПТД» был апробирован на примере населения Исландии за период с 1980 по 2005 года и населения Карачаево-Черкесской республики. Были получены таблицы дожития при использовании различных методов построения. Для оценок показателей каждой таблицы дожития были оценены стандартные ошибки.

По результатам апробации пакета программ «ОПТД» были сделаны следующие выводы:

1. Для всех районов и городов КЧР в качестве стандартной таблицы использовать стандарт ООН нецелесообразно, т.к. сумма квадратов остатков Sj при его использовании больше, чем при использовании таблиц Коула-Демени. Для нескольких районов сумма квадратов остатков оказалась минимальной при использовании в качестве стандарта таблицы дожития КЧР, построенной комбинированным методом. Для населения Исландии в большинстве случаев при применении «суммарного» стандарта оцениваемая функция дожития лучше аппроксимирует исходные данные, чем при применении других стандартов

2. Для Карачаево-Черкесии в целом вероятности умереть, полученные по комбинированной модели, принимают значения, близкие к среднему арифметическому значений вероятностей умереть, полученных по модели Чанга и по модели Брасса. Подобная ситуация наблюдается и для населения Исландии. Для районов республики комбинированные вероятности по своим значениям ближе к брассовским вероятностям. Такие различия объясняются тем, что в силу малочисленности населения районов весовые коэффициенты брассовских вероятностей значительно превышают весовые коэффициенты прямого метода.

3. Для населения Исландии и для всех городов и районов Карачаево-Черкесии оценки стандартных ошибок комбинированных вероятностей умереть во всех возрастах меньше, чем оценки стандартных ошибок вероятностей, полученных по модели Брасса и методу Чанга.

Заключение

В работе исследованы традиционные подходы, а также предложены новые модели и методы, позволяющие более эффективно решать задачи, возникающие при моделировании смертности в условиях малочисленного населения, а также в случаях небольших повозрастных чисел смертей. В работе получены следующие результаты:

1. Исследована применимость традиционных прямых и косвенных методов оценивания показателей таблиц дожития в ситуациях с малым числом случаев смерти.

2. Рассмотрена методика выбора наиболее походящего стандарта для логит-системы Брасса.

3. Разработана теоретическая основа комбинированного метода построения таблиц дожития.

4. Разработана методика упрощенного оценивания весовых коэффициентов комбинированного метода.

5. Предложена имитационная модель, описывающая процесс вымирания в таблице дожития. Рассмотрены два подхода к задаче генерирования повозрастных чисел умерших, используемых для реализации имитационной модели.

6. Разработан метод уточнения оценок весовых коэффициентов комбинированного метода при использовании аппарата имитационного моделирования с применением итерационных процедур.

7. Рассмотрена методика оценивания стандартных ошибок для любых показателей таблиц дожития, позволяющая сравнивать эффективность различных методов построения таблиц дожития.

8. Разработан пакет программ «ОПТД», позволяющий различными методами оценивать показатели таблиц дожития, а также оценивать стандартные отклонения для этих показателей.

9. Разработанные модели, методы и ПП апробированы на примере населения Исландии и населения городов и районов Карачаево-Черкесской республики.

Опираясь на полученные результаты, в работе сделаны следующие выводы:

1. Применение традиционных прямых методов построения таблиц дожития для населения в котором наблюдается малое число случаев смерти ограниченно. Предпочтительным является метод множителей Чанга, т.к. он даёт возможность учитывать изменение смертности в пределах отдельных возрастных интервалов. В ситуациях, когда наблюдается малое число смертных случаев, обычно используются множители Чанга, полученные для другого населения с похожим режимом вымирания.

2. Для анализа смертности малочисленного населения перспективно использование двухпараметрической модели Брасса, рекомендованной ООН для косвенного демографического анализа. Привлекательность модели У.Брасса заключается в том, что с одной стороны, она легко может быть параметризована, с другой стороны, может удовлетворительно отображать индивидуальные особенности режима вымирания исследуемого населения.

3. Диапазон применимости логит-системы Брасса увеличивается, если в качестве стандартной таблицы дожития использовать не только «общий» стандарт ООН, а осуществлять подбор наиболее подходящего стандарта из модельных таблиц дожития Коула-Демени.

4. Предложенный в работе комбинированный метод построения таблиц дожития сочетает достоинства прямых и косвенных методов: с одной стороны используется вся имеющаяся исходная информация по смертности, а с другой стороны, недостающие исходные данные восполняются за счет привлечения модели смертности Брасса.

5. При уточнении весовых коэффициентов комбинированного метода, метод последовательных итераций сходится быстрее, если в качестве начального приближения использовать весовые коэффициенты, оцененные с помощью упрощённого подхода.

6. При генерации чисел умерших малочисленных населений (в каждом возрасте число живущих менее 500), эффективным является алгоритм, подразумевающий использование генератор случайных чисел для каждого человека из рассматриваемой группы. Для больших чисел живущих эффективным является алгоритм, опирающийся на метод обратной функции.

7. Оценки стандартных ошибок для показателей таблиц дожития обратно пропорциональны численности исследуемого населения.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Тебуев, Джамал Билялович, 2008 год

1. Ahmad, О.В. The decline in child mortality: a reappraisal Текст. / О.В. Ahmad, A.D. Lopez, and M. Inoue // Bulletin of the World Health Organization. 2000, - Vol. 78.-Pp. 1175-1191.

2. Anslay J. Coale. Regional Model Life Table Stable Populations Текст. / Anslay J. Coale and Paul Demeny; Princeton, New Jersey, Princeton University. 1966.

3. Arthur, W.B. The analysis of linkages in demographic theory Текст. / W.B. Arthur II Demography. 1984.-Vol. 21.-Pp. 109-128.

4. Arthur, W.B. The ergodic theorems of demography Текст. / W.B. Arthur // A simple proof Demography. 1982. - Vol. 19. - Pp. 439-445.

5. Brass, W. Methods for estimating fertility and mortality from limited and defective data Текст. / W. Brass; University of North Carolina. — 1975.

6. Chiang, C.L. Introductions to Stochastic Processes in Biostatistics Текст. / C.L. Chiang. -N.Y.: Wiley. 1968.

7. Coale, A. Revised regional model life tables Текст. / A. Coale, G. Guo II Population Index. 1989.-Vol. 55.-№4.-Pp. 613-643.

8. Coale, J.A. Regional Model Life Tables and Stable Population. 2nd ed. Текст. I J.A. Coale, P. Demeny, B. Vaughan, New York: Academic. - 1983.

9. Ewbank, D. A reducable four-parameter life table system Текст. / D. Ewbank, J. Gomes de Leon, M. Stoto II Population Studies. —1983. — Vol. 37. — Pp. 105-127.

10. Fiechtinger, G. Stochastische Decrementmodelle der Bevolkerungsstatistik Текст. / G. Fiechtinger II Biometrische Zeitschrift. 1972. - Helf 2. — Pp. 106-125.

11. Fisher, R. A. The Genetical Theory of Normal Selection. 2nd rev. ed. Текст. / R.A. Fisher. New York: Dover Publications. - 1958. - 291 p. (1st ed.: N.Y.: Dover Publications, 1930).

12. Gompertz, B. On the nature of the function expressive of the law of human mortality Текст. / В. Gompertz II Philosophical transactions of the Royal society of London. -1925.

13. Haldane, J.B.S. A mathematical theory of natural and artificial selection Текст. / J.B.S. Haldane II Proceedings of the Cambridge philosophical society. 1927. - XXIII. - Pp. 607-615.

14. Hammersley, J.M. Monte Carlo methods Текст. / J.M. Hammersley, D.C. Handscomb. New York: John Wiley & Sons. - 1964.

15. Horvitz, D.J. Microsimulation of vital events in a large population Текст. / D.J. Horvitz et. al. II Paper presented at mitting of population association of America. Cincinnati. - 1967.

16. Human Mortality Database Электронный ресурс. / University of California, Berkeley (USA), and Max Planck Institute for Demographic Research (Germany). Available at www.mortality.org or www.humanmortality.de (data downloaded on 29.01.2007).

17. Hyrenius, H. Demographic models. Second report (DM 2) Текст. / H. Hyrenius, I. Adolffson, I. Holmberg // Goteborg, Sweden, University of Goteborg, Demographic institute reports № 4. 1966.

18. Hyrenius, H.H. Demographic models. (DM 3) Текст. / H.H. Hyrenius, I. Olmberg, M. Carlsson // Goteborg, Sweden, University of Goteborg, Demographic institute reports № 5. — 1967.

19. Julian L. Simon. The Value of Avoided Births to underdeveloped Countries Текст. / Julian L. Simon II Population Studies. 1969. - Vol.XXIII, -No.I(March). - Pp.61-68.

20. Keyfitz, N. Applied mathematical demography. 2-ed. Текст. / N. Keyfitz. -New York, etc.: Springer. 1985. - 435p.

21. Keyfitz, N. Population: facts and methods of demography Текст. / N. Keyfitz, W. Flieger. San-Francisco. - 1971.

22. Keyfitz, N. World Population: An Analysis of Vital Data Текст. / N. Keyfitz, W. Flieger. Chicago: University of Chicago Press. - 1968.

23. Ledermann, S. Nouvelles table-type de mortalite: travaux et document Текст. / S. Ledermann; Paris: Institut National d'Etudes Demographiques. — 1969.

24. Leslie, P.H. On the use of matrices in certain population mathematics Текст. / P.H. Leslie // Biometrica. 1945. - XXXIII. - pp.183-212.

25. Lopez, A. Problems in stable population theory Текст. / A. Lopez. — Princeton, N.Y. 1961.

26. Lopez, A.D. World Mortality in 2000: Life Tables for 191 Countries Текст. / A.D. Lopez, O.B. Ahmad, M. Guillot, B.D. Ferguson, J.A. Salomon, C.J.L. Murray, К Hil; Geneva: World Health Organization. 2002.

27. Make ham, W.M. On the law of mortality Текст. / W.M. Makeham // Journal of the institute of actuaries. 1860. - Vol. XIII. - Pp. 325-358.

28. Menken, J. Current status of demographic models Текст. / J. Menken II Population Bulletin of the United Nations. 1977. - Vol. 9. - Pp. 22-34.

29. Miller, M.D. Elements of Graduation. Actuarial Monograph №1 Текст. / M.D. Miller; The Actuarial Society of America and the American Institute of Actuaries. 1946.

30. Murray, C.J.L. Modified logit life table system: principles, empirical validation, and application Текст. / C.J.L. Murray, B.D. Ferguson, A.D. Lopez, M. Guillot, J.A. Salomon and O. Ahmad I I Population Studies. 2003. -Vol. 57. - № 2. - Pp. 165-182.

31. Naylor, Т.Н. Computer simulation models for designing and evaluating alternative population planning policies Текст. / Т.Н. Naylor; Proceedings of the American cybernetic society. — 1969.

32. Naylor, Т.Н. Computer simulation techniques Текст. / Т.Н. Naylor, J.L. Balintfy, D.S. Burdick, Kong Chu. New York, John Wiley & Sons. - 1966.

33. Manual X. Indirect techniques for demographic estimation Текст. / Population Studies. -N.Y.: UN 1983. - 305 p.

34. Orcutt, G.H. Microanalysis of socioeconomic systems Текст. / G.H. Orcutt et. al. I IA simulation studies. New York: Harper & Row. - 1961.

35. Pollard J.H. Mathematical models for the growth of human populations Текст. / Pollard J.H. Cambridge, Univ.press. - 1973. - 186p.

36. Preston, S.H. Causes of Death: Life Tables for National Population Текст. / S.H. Preston, N. Keyfitz, R. Schoen. New York: Academic Press. — 1972.

37. Reed, L.J. A short method for constructing an abridged life table Текст. / L.J. Reed, MA. Merrell II American Journal of Hygiene. -1939. Vol. 30. -Pp. 33-62.

38. Schoen, R. Generalizing the life table model to incorporate interactions between the sexes Текст. / R. Schoen // K.C. Land and A. Rogers (EDS.). Multidimensional Mathematical Demography. New York: Academic, 1982.

39. Schoen, R. Modeling Multigroup Population Текст. / R. Schoen. — N.Y. and London: Plenum Press. — 1988.

40. Shryock, H.S. The Methods and Materials of Demography Текст. / Shryock, H.S., Siegel, J.S., and Assosiates. Washington, DC: U.S. Government Printing Office. — 1973. — Vol. 1 and 2.

41. The concept of a stable population. Application to the study of countries with incomplete demographic statistics Текст. / ST/SOA/Series A/39. United Nations. New York. - 1968.

42. United Nations. Age and sex patterns of mortality Текст. / Model life tables for underdeveloped countries. New York. — 1955.

43. Zaba, В. The four-parameter ligit life table system Текст. / В. Zaba II Population Studies. 1979. - Vol. 33. - Pp. 79-100.

44. Акимов, А. В. Прогнозирование численности населения на основе глобальной модели демографического перехода Текст. / А. В. Акимов, Д. И. Клеандров II Экономика и математические методы. — 1987. — Т.23. — Вып. З.-С. 422-433.

45. Андреев, Е. М. Демографические модели воспроизводства Текст. / Е. М. Андреев, Л. Е. Дарский II Учен. зап. по статистике / АН СССР, Центральный экономико-математический институт. — 1988. — Т.52. — С. 138-170.

46. Андреев, Е. М. Современные математические методы демографии Текст. / Е. М. Андреев II Вестник Московского университета. Сер. 6. Экономика. 1987. - № 5. - С. 96-97.

47. Баркалов, Н. Б. Моделирование демографического перехода Текст. / Н. Б. Баркалов — М.: Изд-во Московского университета. — 1984. 80 с.

48. Баркалов, Н. Б. О двумерной демографической таблице Текст. / | Н. Б. Баркалов II Вестник Московского университета. Сер.6. Экономика. — 1987.-№ З.-С. 63-72.

49. Баркалов, Н. Б. Решение экономико-демографических задач на языке бейсик Текст. / Баркалов И. Б., Тихомиров А. А. М.: Изд-во МГУ. -1985.- 121 с.

50. Бегун, А. 3. Метод изучения общих закономерностей возрастной динамики смертности по причинам Текст. / А. 3. Бегун, А. Д. Лебедев,

51. B. М. Школьников II Сборник трудов ВНИИ системных исследований. -1984.-Вып. 8.-С. 59-65.

52. Белявский, В. Н. Прогнозирование численности и состава населения по отдельным городам и районам республики Текст. / В. Н. Белявский, А. П. Зубавичена II Моделирование экономических систем. — 1988. — Вып. 34. —1. C. 111-120.

53. Блохинов, Ю. Б. Исследование зависимости коэффициентов уравнения Гомперца-Мейкема от некоторых внешних факторов Текст. / Ю. Б. Блохинов II Сборник трудов ВНИИ системных исследований. — 1985. — Вып.2. — С. 12-16.

54. Боярский, А. Я. Воспроизводящиеся совокупности в статистике Текст. / А. Я. Боярский II Учен. зап. по статистике. — М, 1988. —Т.52. — С. 5-17.

55. Валентей, Д. И. Изучение народонаселения: вопросы методологии Текст. I Д. И. Валентей, И. В. Зверева. МГУ. - 1987. - 156 с.

56. Вандескрик, К. Демографический анализ Текст. / К. Вандескрик; [пер. с фр. Н. Калмыковой]. М.: Академический проект; Гаудеамус. - 2005. — 272 с.

57. Васин, С. А. Региональные модельные таблицы дожития Текст. I С. А. Васин II Социологические исследования. 1988. - № 4. — С. 63-70.

58. Вахитов, Ш.М. К вопросу о прогнозировании детской смертности Текст. / Ш.М. Вахитов, JJ.A. Никольская II Здравоохранение Российской Федерации. 1987. - № 3. - С. 24-25.

59. Введение в демографию Текст. / под ред. В.А. Ионцева, А.А. Саградова М.: Экономический факультет МГУ, ТЕИС. - 2002. -636 с.

60. Венецкш, И. Г. Математические методы в демографии Текст. / И. Г. Венецкий. М.: Статистика. - 1971. - 296 с.

61. Гаврилов, JI.A. Биология продолжительности жизни: количественные аспекты Текст. / Л.А. Гаврилов, КС. Гаврилова. — М.: Наука. 1986. -168с.

62. Горбунов, В. К. Моделирование динамики неоднородного населения Текст. / В. К. Горбунов, Т. Д. Койчуманов; АН КиргССР, Институт математики. — Фрунзе: Илим. 1989. — 94 с.

63. Грубое, В. И. Алгоритм и программа для расчета на ЭВМ некоторых демографических показателей Текст. / В. И. Грубое, В. И. Демьяненко, Н. С. Ивченко, В. 77. Минаева И Исследование операций и АСУ. 1987. -Вып.29. - С. 66-70.

64. Демографические модели Текст. / сб. ст. под. ред. и с предисл. Е. М.Андреева и А. Г. Волкова. — М.: Статистика. 1977. - 182 с.

65. Дунаев, Б. Б. Статистическая модель изменения численности популяции Текст. / Б. Б. Дунаев II Кибернетика. 1986. - № 4. - С. 97102.

66. Ермаков, С. П. Модельные таблицы воспроизводства населения и их использование в демографическом анализе Текст. / С. 77. Ермаков, О. Д. Захарова. Москва. — 1998. — 61 с.

67. Ермаков, С. 77. Современные возможности интегральной оценки медико-демографических процессов Текст. / С. 77. Ермаков. — М.: Институт Социально-политических Исследований РАН. — 1996. — 24 с.

68. Жафяров, А. Ж. Об одной нелинейной модели движения стабильного населения Текст. / А. Ж. Жафяров П Оптимизация. 1985. - Вып.36. -С. 69-86.

69. Ибраева, JI.K. Комплекс программ для решения задачи прогнозирования структуры населения Текст. / JI.K. Ибраева II Сборник трудов ВНИИ системных исследований. —1988. — Вып. 14. С. 4-11.

70. Калътон, В. А. Имитационное Моделирование. Классика CS. 3-е изд. Текст. / В. Калътон, А. Лоу. — СПб.: Питер; Киев: Издательская группа BHV. 2004. - 847 с.

71. Кваша, А. Я. Проблемы демографического оптимума. Курс лекций Текст. /А. Я. Кваша. -М.: Изд-во МГУ. 1974. - 104 с.

72. Комаров, Ю. М. Проблемы создания модели слежения за смертностью детей до 1 года жизни Текст. I Ю. М. Комаров II Социально-гигиенические и организационные проблемы педиатрии. — JI. — 1989. -С. 74-78.

73. Курс демографии: Учебное пособие Текст. / А.Я. Боярский, Д.И. Валентей, А.Г. Вишневский и др.; под ред. проф. А.Я. Боярского.-3-е изд., перераб. и доп. М.: Финансы и статистика. - 1985. - 391 с.

74. Левит, М. Комплексный подход к обработке статистических данных о населении Текст. / М. Левит II Вестник статистики. — 1984. — № 6. — С. 58-62.

75. Магнус, Я.Р. Эконометрика. Начальный курс Текст. / Я.Р. Магнус, П.К. Катышев, А.А. Пересецкий. М.:Дело. - 1997. - 248 с.

76. Математические методы исследования народонаселения Текст. / отв. ред. Староверов О. В. И Сборник статей / АН СССР. Центральный экономико-математический институт. — М. 1991. — 176 с.

77. Медков, В.М. Демография: Учебник Текст. / В.М. Медков. М.: ИНФРА-М, 2005. - 576 с.

78. Мей, В. Упрощенный метод вычисления средней ожидаемой продолжительности жизни Текст. / В. Мей, М. Андреас II Комплексные социально-гигиенические исследования. М. - 1988. - С. 187-191.

79. Методология демографического прогноза Текст. / отв. ред. А. Г. Волков; М.: Наука. - 1988. - 223 с.

80. Миграция и естественное движение населения Карачаево-Черкесской республики в 1999 г. (статистический бюллетень) Текст. / Центринформационно статистических услуг государственного комитета КЧР по статистике. — Черкесск. — 1999.

81. Миграция и естественное движение населения Карачаево-Черкесской республики в 1999 г. (статистический бюллетень) Текст. / Центр информационно статистических услуг государственного комитета КЧР по статистике. Черкесск. — 2000.

82. Народонаселение. Энциклопедический словарь Текст. / гл. ред. Г. Г. Меликъян. Ред. коллегия: А. Я. Кваьиа, А. А. Ткаченко, Н. Н. Шаповалова, Д. И. Шелестов. М.: Большая Российская Энциклопедия. — 1994. — 640 с.

83. Народонаселение: прошлое, настоящее, будущее Текст. / Н. В. Зверева, В. М. Медков, Д. К., Шелестов и др. М.: Мысль. - 1987. - 253 с.

84. Новое в зарубежной демографии. Демографические модели Текст. // Сборник статей под ред. и с предисл. Е.М. Андреева и А.Г. Волкова. М.: «Статистика». - 1977. - 182 с.

85. Роубичек, В. Демографические прогнозы и потенциальная демография Текст. / В. Роубичек II Демографические прогнозы. М. — 1973.

86. Система знаний о народонаселении Текст. / под ред. Д. И. Валентея. — М.: Высшая школа. 1991. - 255с.

87. Численные методы Текст. / под ред. У. Г. Пирумова. М.: Дрофа. -2003.-224 с.

88. Эдиев, Д. М. О комбинированном методе оценивания показателей таблицы дожития для малого населения Текст. / Д. М. Эдиев, Дж. Б.

89. Тебуев II Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. -2005.-№2.-С. 27-31.

90. Эдиев, Д. М. Об одном подходе к построению таблиц дожития малого населения Текст. / Д. М. Эдиев, Дж. Б. Тебуев II Труды IV международной конференции «Новые технологии в управлении бизнесе и праве». Невинномысск: ИУБиП. - 2004. - С. 272-275.