Кольцо когомологий и корреляционные функции в двумерной Лиувиллевской гравитации тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.03, кандидат физико-математических наук Берштейн, Михаил Александрович

• Берштейн, Михаил Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Берштейн, Михаил Александрович

Введение

1 Минимальная Лиу вил ленская гравитация М(2,3)

1.1 Предварительные замечания.

1.2 Относительный БРСТ комплекс.

1.2.1 Теоремы Лиана-Цукермана

1.2.2 Рекуррентное построение базисных состояний.

1.2.3 Операторы, действующие на пространстве относительных кого-мологий.

1.3 Абсолютные когомологии.

1.3.1 Размерности когомологий.

1.3.2 Операторная алгебра.

1.4 Явные формулы.

2 Гомологии алгебр Ли

2.1 Предварительные замечания.

2.2 Функтор двойственности.

2.3 Обобщение. Бесконечномерные алгебры Ли.

2.4 Примеры.

2.5 Обобщение. Полубесконечные гомологии.

2.6 Когомологии алгебры Вирасоро.

2.7 Доказательство Теоремы 1.2.1.

3 Разные подходы к гравитации

3.1 Предварительные замечания.

3.1.1 Лиувиллевская гравитация.

3.1.2 Матричные модели

3.1.3 Струнное уравнение.

3.2 Сравнение с топологической гравитацией.

3.3 Вычисления для родов 1 и 2.

4 Корреляционные функции в парафермионной теории

4.1 Парафермионная конформная теория поля

4.2 Задача про многочлены.

4.3 Парафермионная теория Лиувилля.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Кольцо когомологий и корреляционные функции в двумерной Лиувиллевской гравитации»

Диссертация посвящена изучению некоторых математических вопросов, возникающих в конформной теории поля. Обсуждаются вопросы, связанные с двумя конкретными теориями: двумерной минимальной Лиувиллевской гравитацией и параферми-онной теорией Лиувилля.

Двумерная квантовая гравитация была введена в работе Полякова [57], в которой было показано, что при квантовании струны в размерности пространства-времени Ф 26 метрика на поверхности становится динамической вследствие конформной аномалии. Эта теория называется теорией Лиувилля. Под Лиувиллевской гравитацией (в подходе Давида—Дистлера—Каваи [26, 27]) понимается теория, функционал действия в которой является суммой действий трех теорий: материальной конформной теории поля, теории Лиувилля и духов

5 = Бм + Бь + Я9к, так что суммарный центральный заряд всех трех теорий равен нулю:

Сь + См + СдН = 0.

Минимальной Лиувиллевской гравитацией называется теория, в которой конформной теорией материи является минимальная модель [23]. За последние 10 лет был достигнут большой прогресс в изучении минимальной Лиувиллевской гравитации. Например, для простейших операторов были найдены трех и четырехточечные корреляционные функции и операторная алгебра [5, 2].

Известно, что в случае минимальной гравитации есть дополнительные физические состояния. Их можно найти используя метод БРСТ квантования. В этой процедуре физические состояния отождествляются с классами БРСТ когомологий. Оказывается, что существует бесконечно много дополнительных физических состояний с любыми духовыми числами [53]. Представляет интерес изучение этих состояний, в частности, вычисление их операторной алгебры.

Сделаем два уточнения. Во-первых, существует два варианта Лиувиллевской гравитации. В первом из них Лиувиллевский сектор реализуется свободными полями. По-другому можно сказать, что пространство состояний является Фоковским представлением алгебры Вирасоро ([34]). В этом случае БРСТ когомологии известны, их операторная алгебра изучалась в работах [50, 46]. Во втором варианте Лиувиллевской гравитации пространство состояний в гравитационном секторе представлено неприводимыми модулями (см. [68]). В настоящей работе мы рассматриваем вторую формулировку Лиувиллевской гравитации.

Второе уточнение относится к понятию БРСТ когомологий. Для алгебры Вирасоро можно рассматривать относительные и абсолютные БРСТ когомологии. Размерности относительных найдены [53]. Однако структура ассоциативной операторной алгебры есть только на абсолютных когомологиях. В первой главе мы находим размерности абсолютных когомологий в минимальной Лиувиллевской гравитации М(2,3). Это простейший пример минимальной Лиувиллевской гравитации, можно сказать, что это теория чистой гравитации, так как материальный сектор в этом случае тривиален. Также мы изучаем операторную алгебру, образованную абсолютными когомологиями.

С точки зрения теории представлений пространство состояний в Лиувиллевской гравитации является прямой суммой тензорных произведений неприводимых представлений алгебры Вирасоро с двойственными значениями центрального заряда с и 26 — с, умноженных на представление духов. В случае М(2,3) речь идет просто о прямой сумме неприводимых представлений алгебры Вирасоро при с = 26, умноженных на представление духов. Если на прямой сумме этих представлений имеется структура вертекс-операторной алгебры, то на пространстве БРСТ когомологий есть стуктура кольца, которую мы изучаем.

Для изучения неприводимых представлений при с — 26 используется двойственность между ними и представлениями при с = 0. Двойственность между категориями представлений алгебры Вирасоро при центральных зарядах с и 26 — с впервые была отмечена в работе Фейгина и Фукса [33]. В работах Архипова [16] и Сергеля [62] она была доказана немного в другом контексте, см. также [58] и [48]. Однако для изучения БРСТ когомологий и корреляционных функций нужна дополнительная информация — двойственность между гомологиями двойственных объектов.

Во второй главе доказываются две теоремы двойственности такого вида. В первой устанавливается двойственность гомологий двойственных объектов относительно нильпотентных подалгебр алгебры Вирасоро. Это интерпретируется как двойственность между модулярными функторами. Во второй теореме устанавливается двойственность между полубесконечными и обычными гомологиями, что позволяет вычислять полубесконечные когомологии (которые совпадают с нужными нам БРСТ когомологиями).

Другой важной задачей является задача сравнения результатов, полученных в Лиувиллевской гравитации, с результатами других подходов — матричными моделями и топологической гравитацией (см., например, обзоры [41, 29]). Этому вопросу посвящена третья глава.

В ней обсуждается одна конкретная р-критическая матричная модель. Корреляционные функции определяются как производные свободной энергии -Р(£о> ¿1, - ■ •, £^-1) в некоторой точке. Важным свойством свободной энергии является выполнение струнного уравнения и КдФ уравнений. Мы рассматриваем некоторое конкретное решение струнного уравнения в точке £0 = ¿1 = ¿2 = • • • = 1 = 0. Такой выбор обусловлен сравнением с М(2,2р + 1) минимальной Лиувиллевской гравитацией. В простейшем случае р = 2 корреляционные функции в обоих подходах совпадают. Для больших р ситуация становится сложнее, корреляционные функции совпадают только после нетривиальной замены переменных, предложенной в [21]. Отметим, что это совпадение проверено в ряде случаев [21, 20, 22], но общего доказательства пока не найдено.

Под матричной моделью можно понимать не только модель, упомянутую выше. Например, Гросс и Мигдал в классической работе [47] определяли корреляционные функции как производные, вычисленные в другой точке £0 = ¿1 = . = £р2 = 0, ¿р 1 = ¿. Другая возможность заключается в том, что количество переменных (формально) устремляется к бесконечности (потенциал становится не многочленом, а степенным рядом). Свободная энергия ^(¿о, ¿1,.) определяется как решение струнного уравнения и КдФ иерархии. Гипотеза Виттена [66] утверждает, что функция I 6

F{t0, ¿i,.) совпадает с производящей функцией топологической гравитации (производящей функцией чисел пересечений на пространствах модулей кривых). Эта гипотеза была доказана в [52, 55].

В третьей главе обсуждается естественный вопрос — как связаны два решения струнного уравнения — производящая функция чисел пересечений FTG(t0,ti,.) и свободная энергия матричной модели FMM(£0, ¿1, • ■ ■, ¿p-i), упомянутая выше. Оказывается, что они не совпадают, однако связаны посредством некоторого аналитического продолжения. Из этого свойства следует, что некоторые из уравнений, справедливых для функции Ftg, переносятся на функцию FMM, в частности, так называемые уравнения топологической рекурсии.

Представляют интерес обобщения теории Лиувилля: Z^ парафермионные теории Лиувилля [7]. В случае N = 1 эта теория совпадает с обычной теорией Лиувилля. В случае N = 2 это теория является суперсимметричным аналогом теории Лиувилля. В обеих этих теориях известна трехточечная функция см. [30, 31, 68] для Лиувил-левского случая и [60, 56] для супер аналога.

В четвертой главе найдены многоточечные корреляционные функции в парафер-мионной конформной теории поля, содержащие три поля порядка и несколько полей из парафермионной алгебры. Это сводится к конкретной задаче из теории многочленов, которая решается в параграфе 4.2. Интересно, что применяемые рассуждения ранее использовались при изучении интегрируемых представлений алгебры Ли st2-Близкие задачи из теории многочленов возникают в работах по не абелевому, дробному, квантовому эффекту Холла [61]. Полученный результат применяется в работе [24] для нахождения трехточечной функции в парафермионной теории Лиувилля.

Основные результаты диссертации изложены в работах [1, 19, 24].

Автор глубоко благодарен A.A. Белавину и Б.Л. Фейгину за постановку задач и постоянный интерес к работе. Автор также признателен A.B. Алексееву, O.A. Бер-штейн, A.B. Литвинову, М.Ю. Лашкевичу, Д.А Полякову, Я.П. Пугаю, Г.М. Тарно-польскому за полезные обсуждения и поддержку.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Берштейн, Михаил Александрович, 2011 год

1. О.В. Алексеев, М.А. Берштейн, Кольцо физических состояний в М(2,3) минимальной лиувиллевской гравитации, ТМФ, 164(1) (2010)/119-140; агХгу:0906.1377у2.

2. А. А. Белавин и Ал. Б. Замолодчиков, Интегралы по пространству модулей, кольцо дискретных состояний и четырехточечная функция в минимальной лиувиллевской гравитации, ТМФ 147:3 (2006), 339; Ьер-Ш/0510214.

3. И. М. Гельфанд, Д. Б. Фукс, Когомологии алгебры Ли векторных полей на окружности, Функц. анализ и его прил., 2:4 (1968), 92-93.

4. Л. В. Гончарова, Хогомологии алгебр Ли формальных векторных полей на прямой, Функц. анализ и его прил., 7:2 (1973), 6-14.

5. Ал. Б. Замолодчиков, Трехточечная функция минимальной лиувиллевской гравитации ТМФ 142 2 (2005) 183; Ьер-Ш/0505063у1.

6. А. К. Звопкин и С.К, Ландо, Графы на поверхностях и их приложения, Москва, МЦНМО (2010).

7. А.Б. Замолодчиков и В.А. Фатеев, Нелокальные (парафермионные) токи в двумерной квантовой теории поля и самодуальные критические точки в Е№симметричных статистических системах, ЖЭТФ, 89 (2), 380-399 (1985).

8. В. Г. Кац Вертексные алгебры для начинающих Москва, МЦНМО (2005).

9. В. Г. Кац Бесконечномерные алгебры Ли Москва Мир (1993).

10. A.M. Поляков, Негамилътонов подход в конформной теории поля, ЖЭТФ, 66 (1), (1974) 23-42.

11. А. В. Стояновский и Б. JI. Фейгин, Функциональные модели представлений алгебр токов и полубесконечные клетки Шуберта, Функц. анализ и его прил. 28 1 (1994) 68-90; arXiv:hep-th/9308079vl.

12. А. В. Стояновский и Б. JI. Фейгин, Реализация модулярного функтора в пространстве дифференциалов и геометрическая аппроксимация многообразия модулей G-расслоений. Функц. анализ и его прил. 28 4 (1994) 42-65.

13. Б. JT. Фейгин, Полу бесконечны,а гомологии алгебр Ли, Каца-Муди и Вира-соро, УМН, 39:2 236 (1984), 195-196.

14. Б. JI. Фейгип, Д. Б. Фукс, Когомологии групп и алгебр Ли, Группы Ли и алгебры Ли 2, Итоги науки и техн. Сер. Соврем, пробл. мат. Фундам. направления, 21, ВИНИТИ, М., 1988, 121-209.

15. М. Хазевинкель Теорема двойственности для когомологий алгебр Ли Ма-тем. сб., 83(125), 4(12) (1970) 639-644.

16. S. М. Arkhipov, Semi-infinite cohomology of associative algebras and bar duality, Internat. Math. Res. Notices, 17, (1997), 833-863; arXiv:q-alg/9602013vl.

17. M. Bauer, P. Di Francesco, C. Itzykson and J.-B. Zuber, Covariant differential equations and singular vectors in Virasoro representations. Nucl. Phys. B362, (1991), 515.

18. A. Beilinson, B. Feigin and B. Mazur, Notes on Conformal Field Theory http: / / www. math. harvard. edu/"mazur /papers/scanTat e. pdf

19. A. Belavin, M. Bershtein, G. Tarnopolsky, A remark on the three approaches to 2D Quantum gravity, Письма в ЖЭТФ, 93 (2) (2011), 51-55; arXiv:1010.2222v3.

20. A. Belavin, G. Tarnopolsky, Two dimensional gravity in genus one in Matrix Models, Topological and Liouville approaches, Письма в ЖЭТФ, 92 4 (2010), 286-295; arxiv:1006.2056vl.

21. A. A. Belavin and A. B. Zamolodchikov, On correlation numbers in 2D minimal gravity and matrix models, Jour. Phys. A42 (2009), 304004; arxiv:0811.0450.

22. V. Belavin Torus Amplitudes in Minimal Liouville Gravity and Matrix Models Phys.Lett. B698 (2011), 86-90; arxiv:10105508vl

23. A. Belavin, A. Polyakov and A. Zamolodchikov, Infinite Conformal Symmetry in Two-Dimensional Quantum Field Theory. Nucl. Phys. B241 (1984), 333.

24. M. A. Bershtein, V. A. Fateev, A. V. Litvinov, Selberg integrals and three-point correlation function in parafermionic Liouville field theory, Nuclear Physics B 84 (2011), 413-459; arXiv:1011.4090v2.

25. J. Bernstein Representations of p-adic groups Lectures by Joseph Bernstein. Written by Karl E. Rumelhart. www.math.tau.ac.il/~bernstei/ Publicationlist/publicationtexts/BernstLecturep-adicrepr.pdf.

26. F. David, Conformal field theories coupled to 2-D gravity in the conformal gauge. Mod. Phys. Lett. A3 (1988), 1651.

27. J. Distler and H. Kawai, Conformal field theory and 2-D quantum gravity or who's afraid of Joseph Liouville? Nucl. Phys. B321 (1989), 509.

28. J. Distler and P. Nelson, Topological Coupling and Contact Terma in 2d Field Theory Comm. Math. Phys. 138 2 (1991), 273-290.

29. P. Di Francesco, P. H. Ginsparg, J. Zinn-Justin, 2-D Gravity and random matrices, Phys.Rep. 254 (1995), 1; hep-th/9306153

30. H. Dorn and H. J. Otto, On correlation functions for noncritical strings with c<ld>l, Phys. Lett. B291 (1992), 39-43; hep-th/9206053.

31. H. Dorn and H. J. Otto, Two and three point functions in Liouville theory, Nucl. Phys. B429 (1994), 375-388; hep-th/9403141.

32. B.L. Feigin, Conformal field theory and cohomologies of the Lie algebra of holomorphic vector fields on a complex curve, Proc. Int. Congress ofMathematicians (IICM-90) Vol.1, 71-85 (1991). Ed. by I. Satake, SpringerVerlag.

33. B. Feigin and D. Fuchs, Verma modules over the Virasoro algebra. Lectures Notes in Math. 1060 Springer, Berlin, (1984), 230.

34. B. Feigin and D. Fuchs, Representations of the Virasoro algebra. Representations of Lie Groups and Related Topics, 465, Adv. Stud. Contemp. Math., 7, Gordon and Breach, New York, 1990.

35. B.L. Feigin, D.B. Fuchs, Cohomology of some nilpotent subalgebras of the Virasoro and Kac-Moody Lie algebras, J. Geom. Phys., 5(2) (1988), 209-235.

36. B. Feigin, M. Jimbo, T. Miwa, and E. Mukhin, A differential ideal of symmetric polynomials spanned by Jack polynomials at /3 = — (r — 1 )/{k + 1); arXiv:math/0112127vl.

37. E. Frenkel. Determinant formulas for the free field representations of the Virasoro and Kac-Moody algebras. Phys. Lett. B286 (1992), 71.

38. E. Frenkel and D. Ben-Zvi Vertex Algebras and Algebraic Curves Mathematical Surveys and Monographs (2004).

39. I. Frenkel, H. Garland and G. Zuckerman, Semi-infinite cohomology and string theory. Proc. Natl. Acad. Sci. USA 83 (1986), 8442.

40. E. Getzler, Topological recursion relations in genus 2\ math.AG/9801003.

41. P. H. Ginsparg and G. W. Moore, Lectures on 2-D gravity and 2-D string theory, hep-th/9304011.

42. V. Ginzburg Lectures on D-modules http://www.math.harvard.edu/ ~gaitsgde/grad2009/Ginzburg.pdf.

43. I. J. Good, Short proof of a conjecture by Dyson, Journal of Mathematical Physics 11 6 (1970), 1884.

44. M. Goulian and M. Li, Correlation functions in Liouville theory, Phys. Rev. Lett. 66 (1991), 2051-2055.

45. S. Govindarajan, T. Jayaraman, V. John and P. Majumdar States of nonzero ghost number in c < 1 matter coupled to 2-D gravity Mod.Phys.Lett. A 7 (1992), 1063; hep-th/9112033 .

46. S. Govindarajan, T. Jayaraman and V. John Chiral rings and physical states in c < 1 string theory Nucl.Phys. B402 (1993), 118; hep-th/9207109 .

47. D.J. Gross and A. Migdal, A nonperturbative treatment of two dimensional Quantum Gravity Nucl. Phys. B340, (1990) 333.

48. K. Iohara and Y. Koga, Representation theory of the Virasoro algebra, Springer Monographs in Mathematics, London: Springer-Verlag London Ltd (2011)

49. C. Itzykson and J. B. Zuber, Combinatorics of the Modular Group II: the Kontsevich integrals, Int.J.Mod.Phys. A7 (1992), 5661; hep-th/9201001

50. H. Kanno and M. Sarmadi. BRST cohomology ring in 2D gravity coupled to minimal models. Int. J. Mod. Phys. A9 (1994), 39; hep-th/9207078.

51. I. Klebanov and A.M. Polyakov, Interaction of Discrete States in Two-Dimensional String Theory Mod. Phys. Lett. A6 (1991), 3273; hep-th/9109032vl.

52. M. Kontsevich, Intersection theory on the moduli space of curves and the matrix Airy function, Comm. Math. Phys. 147 (1992), 1.

53. B. Lian and G. Zuckerman, New Selection Rules And Physical States in 2D Gravity. Phys. Lett. B254 (1991), 417.

54. B. Lian and G. Zuckerman, New perspectives on the BRST-algebraic structure of string theory. Comm. Math. Phys. 154:3 (1993), 613; hep-th/9211072.

55. A. Okounkov and R. Pandharipande, Gromov-Witten theory, Hurwitz numbers, and matrix models I, Proc. Symposia Pure Math. 80 (2009), 325-414; arXi v: math/0101147v2.

56. R. H. Poghosian, Structure constants in the N = 1 super-Liouville field theory, Nucl. Phys. B496 (1997), 451-464; hep-th/9607120.

57. A. Polyakov, Quantum geometry of bosonic strings. Phys.Lett. B103, (1981), 207.

58. L. Positselski Homological Algebra of Semimodules and Semicontramodules Monografie Matematyczne, vol.70, Birkhauser Basel, (2010); arXiv:0708.3398vl2.

59. L. Positselski Two kinds of derived categories, Koszul duality, and comodule-contramodule correspondence Memoirs of the Amer. Math. Soc. 212 (2011), no.996, v+133 pp; arXiv:0905.2621v8.

60. R. C. Rashkov and M. Stanishkov, Three-point correlation functions in N = 1 Super Lioville Theory, Phys. Lett. B380 (1996), 49-58; hep-th/9602148.

61. N. Read and E. Rezayi, Beyond paired quantum Hall states: paraferrnions and incompressible states in the first excited Landau level, Phys. Rev. B59 (1999), 8084; arXiv:cond-mat/9809384v2.

62. W. Soergel Character formulas for tilting modules over Kac-Moody algebras, Represent. Theory 2 (1998), 432-448.

63. A. A. Voronov Semi-infinite homological algebra. Invent. Math. 113 (1993), 103146.

64. A. A. Voronov Semi-Infinite Induction and Wakimoto Modules. Amer. J. Math. 121 5 (1999), 1079-1094;. arXiv:q-alg/9704020v2.

65. E. Witten, On The Structure of The Topological Phase of Two-Dimensional Gravity, Nucl. Phys. B340 (1990), 281.

66. E. Witten, Two dimensional gravity and intersection theory on moduli space, Surveys in Diff. Geom. 1, (1991), 243.