Колебания и устойчивость цилиндрической оболочки, подкрепленной стержнями и пластинками тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат наук Боярская, Мария Леонидовна

• Боярская, Мария Леонидовна
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Боярская, Мария Леонидовна

Оглавление

Введение

1 Малые колебания вращающейся на роликах цилиндрической оболочки

1.1 Введение

1.2 Колебания бесконечной цилиндрической оболочки

1.3 Колебания вращающейся на роликах цилиндрической оболочки конечной длины

2 Потеря устойчивости пластинки, подкрепленной круговым стержнем

2.1 Введение

2.2 Начальные усилия

2.3 Приближенное решение для первого случая

2.4 Приближенное решение для второго случая

2.5 Приближенное рбшбниб для трбтьбго случая

3 Устойчивость цилиндрической оболочки, подкрепленной шпангоутами с тавровым поперечным сечением

3.1 Введение

3.2 Стержневая модель шпангоута

3.3 Пластиночная модель шпангоута

3.4 Оптимальная форма поперечного сечения

шпангоута

Заключение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Колебания и устойчивость цилиндрической оболочки, подкрепленной стержнями и пластинками»

Введение

Актуальность темы

Тонкостенные конструкции, содержащие оболочки и пластины, широко применяются в технике. Развитию общей теории оболочек и пластин способствовали труды В.З. Власова [1], A.J1. Гольденвейзера [2], А.И. Лурье [3], В.В. Новожилова [4] и других выдающихся ученых.

Опыт показывает, что тонкостенные конструкции могут разрушиться не из-за высоких напряжений, превышающих предел прочности, но вследствие недостаточной упругой устойчивости тонкостенных элементов. Исследованию устойчивости оболочек пос вяще ны монографии H.A. Алфутова [5], A.C. Вольмира [6], Э.И. Григо-люка и В.В. Кабанова [7], С.П. Тимошенко [8], П.Е. Товстика [9].

Наличие динамических нагрузок, действующих на оболочки и пластины, приводит к необходимости изучения их колебаний. Среди работ этого направления можно отметить книги В.В. Болотина [10], АЛ. Гольденвейзера, В.Б. Лидского и П.Е. Товстика [11], A.B. Кармишина с соавторами [12], Г.И.Михасева и П.Е. Товстика [13], В. Флюгге [14].

При проектировании над^вод^ных и под^вод^ных кораблей, ных аппаратов, резервуаров, куполов и покрытий в инженерных сооружениях часто используются подкрепленные оболочки, которые обладают большей жесткостью по сравнению с гладкими оболочками такого же веса.

Задачи

устойчивости и колебаний подкрбп Л6Н ных оболочек рассматривались в монографиях И.Я. Амиро с соавторами [15], [16] под редакцией И.Я. Амиро, И.В. Андрианова с соавторами [17], Л.И. Маневича [18], С.Б. Филиппова [19].

Расчеты оболочек на устойчивость имеют существенное значение при проектировании надводных и подводных кораблей, тепловозов и вагонов, трубопроводов, резервуаров, куполов и покрытий в инженерных сооружениях и т.д. С расчетами на устойчивость оболочек различной формы непременно приходится сталкиваться при конструировании летательных аппаратов и их двигателей.

В данной работе решены некоторые частные задачи теории колебаний и устойчивости подкрепленных оболочек, имеющие прикладное значение. Используется классическая система уравнений теории оболочек [2], [4] основанная на гипотезах Кирхгофа - Лява, точность которой оказывается достаточной для вывода всех полученных в работе приближенных формул.

В первой главе для определения частот колебаний круговой цилиндрической оболочки, подкрепленной абсолютно жесткими цилиндрическими роликами, используется разложение решений в ряд Фурье [151, [161.

-ь 1 I I I

Во второй и третьей главе приближенные значения критических нагрузок потери устойчивости подкрепленных оболочек И пластин находятся с помощью асимптотических разложений, вариационных методов и метода прогонки.

Математические модели

Методы решения зад^ач малых колебаний и устойчивости оболочек в линейном приближении мало отличаются друг от друга, так как обе проблемы сводятся к решению краевых зад^ач на собственные значения•

В книге [11] основным предметом обсуждения является структура множества собственных частот и строение соответствующих форм колебаний для оболочек произвольного очертания. Особое внимание уделяется оболочкам в р ащения • Широко используются асимптотические методы, на основе которых формулируются приближенные приемы исследования колебаний.

Приводятся двухмерные динамические уравнения линейной теории оболочек и формулируются общие теоремы теории колебаний. Приводятся развернутые уравнения и формулы теории оболочек: уравнения равновесия, формулы зависимости деформации-перемещения, углы поворота-перемещения, усилия-деформации, - для случая, когда срединная поверхность отнесена к произвольным ортогональным криволинейным координатам, и, в частности, к линиям кривизны. Уравнения состояния выбираются так, чтобы они были максимально просты, но сохраняли при этом свойства, обеспечивающие выполнение таких важных теорем, как, например, принцип

взаимности работ. В книге используются только общие двухмерные уравнения теории типа Лява. Под этим подразумеваются теории, в которых отбрасываются члены, соответствующие деформациям поперечного сдвига, вследствие чего уравнения состояния представляют собой линейные уравнения, связывающие тангенциальные усилия и моменты с компонентами деформации срединной поверхности (перерезывающие усилия при этом рассматриваются как чисто статические величины).

Теории типа Тимошенко, в которых члены, связанные с деформацией поперечного сдвига, удерживаются, и в результате уравнения состояния становятся более сложными, в книге не рассматриваются. Выяснилось, что теории типа Тимошенко асимптотически непосле-довательнытa^кi в ни^^с отбрасываются некоторые члены такого же порядка, как и члены, учитывающие поперечный сдвиг. Анализ также показывает, что в динамической теории типа Лява асимптотически непоследовательно учитывать инерцию вращения. Вместе с тем, введение в уравнения теории типа Лява членов, учитывающих инерцию вращения, является полезным приемом для получения некоторых теоретических выводов.

Система уравнений, описывающая свободные колебания, приводится к системе трех уравнений относительно компонент вектора перемещений. В перемещениях выписываются и соответствующие граничные условия.

Оболочки вращения образуют важный частный класс оболочек и заслуживают отдельного рассмотрения как с точки зрения приложений, так и с точки зрения методов исследования. Предполагается, что оболочка ограничена двумя параллелями. При этих предположениях задача допускает разделение переменных и сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнении. Глава посвящен а интегрированию этой системы в различных случаях, а также изучению частот и форм собственных колебаний. При асимптотическом анализе системы основными считаются следующие три параметра: относительная полутолщина, число волн по параллели т и параметр частоты. Рассмотрены сначала осесимметричные колебания, уравнения для которых получаются из основной системы уравнений

при т = 0, а затем неосесимметричные с различным числом волн по параллели. В качестве криволинейных координат взяты длина дуги образующей и угол в окружном направлении.

Отдсль но исследованы колебания круговых и некруговых цилиндрических оболочек, относящихся к числу наиболее хорошо изученных. Для круговой цилиндрической оболочки проводится асимптотический анализ характеристического уравнения. Приводится система уравнений свободных колебаний цилиндрической оболочки (в общем случае некруговой) в безразмерных величинах. Решение системы сильно упрощается, если оказывается возможным провести разделение переменных, что происходит, если на криволинейных либо на прямолинейных границах оболочки заданы условия шарнирного опирания. В этих случаях задача сводится к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений восьмого порядка, при этом решение определяется корнями алгебраического уравнения восьмой степени. Если разделение переменных в системе оказывается невозможным, то общие методы аналитического решения задачи отсутствуют. В этом случае часть спектра может быть построена с помощью асимптотического метода.

Книга А.С.Вольмира [6] подытоживает исследования по тем разделам теории устойчивости стержней, пластин и оболочек, которые имеют в настоящее время наибольшее практическое значение. Поведение оболочки при потере устойчивости существенно отличается от поведения стержней и пластинок. Выпучивание оболочек, как правило, сопровождается появлением не только напряжений изгиба, но и дополнительных напряжений в срединной поверхности, в то время как для стержней и пластинок в большинстве случаев можно учитывать только напряжения изгиба (кроме случая исследования закритической деформации пластинок).

В теории устойчивости оболочек применяются понятия верхней и нижней критических нагрузок. Под верхней критической нагрузкой понимается наибольшая нагрузка, до которой начальное равновесное состояние является устойчивым в малом, то есть, по отношению к соседним равновесным состояниям. Под нижней критической нагрузкой подразумевается нагрузка, до которой начальное состояние

является единственным устойчивым состоянием. При нагрузках, лежащих ниже ее, обеспечивается устойчивость оболочки не только в малом, но и в большом. Если И СХОДН сЬЯ форма оболочки то нагружение является статическим и происходит таким образом, что напряженное состояние является строго безмоментным. Для реальных

оболочек исходное состояние уже нельзя считать безмоментным, так как они всегда имеют те или иные неправильности формы, которые приводят к сильному снижению верхней критической нагрузки.

Если в рассматриваемом случае нижняя критическая нагрузка резко отличается от верхней, следует ожидать большой разброс реальных критических усилий. В отдельных случаях нижняя критическая нагрузка может быть даже отрицательной, то есть имеет обратное направление по сравнению с основным состоянием. Следовательно, общее требование, чтобы эксплуатационная нагрузка была меньше нижней критической величины, трудно выполнить, да оно и является излишним. Наиболее обоснованным всегда будет расчет, непосредственно учитывающий влияние начальных неправильностей формы и других возмущающих факторов.

В книге параллельно рассматриваются одни и те же задачи с точки зрения устойчивости в малом и в большом. В первом случае надо исходить из линейной теории жестких оболочек, во втором - из нелинейной теории гибких оболочек. Многие выводы общего характера, содержащиеся в теории поверхностей, имеют прямое отношение к задачам устойчивости оболочек в малом и в большом.

В реальных оболочках любое изменение формы вызывает появление деформаций изгиба, неравномерно распределенных по толщине. При исследовании малых по сравнению с толщиной прогибов оболочки исходя из соотношений трехмерной линейной задачи теории упругости в криволинейных координатах выводятся выражения зависимостей деформаций удлинения и сдвига от компонентов перемещений.

Принимая во внимание усилия и моменты, действующие в срединной поверхности элемента оболочки, вырезанного сечениями вдоль линий кривизны, выводятся уравнения равновесия. Получены шесть

геометрических соотношений, связывающих деформации с перемещениями, пять уравнений равновесия и шесть соотношений закона Гука (связывающих усилия с деформациями), неизвестными в которых являются три проекции перемещения, пять усилий, три момента, шесть деформаций. При решении уравнений необходимо удовлетворять граничным условиям, составленным для конкретной

Пути решения уравнений могут быть выбраны различными в зависимости от того, какие величины выбраны в качестве неизвестных: перемещения либо усилия и моменты. Также возможно использование смешанного метода, часто применяемого в монографии Вольмира, при котором возможно сведение всего массива уравнений к системе двух линейных уравнений четвертого порядка, где основными неизвестными будут прогиб и функция усилий в срединной поверхности. Такой подход получил название технической теории оболочек. Этот метод приемлем для оболочек постоянной гауссовой кривизны ^ т. с. я ци линд^р и чес к их ^

сферических, конических.

Затем автор переходит к решению конкретных задач об устойчивости оболочек различного очертания, и в первую очередь представляющих для нас интерес круговых цилиндрических оболочек. В книге последовательно рассматриваются задачи об устойчивости цилиндрических оболочек при различных видах нагружения: осевом сжатии, поперечном давлении, кручении, изгибе. Выписаны соотношения, получаемые для цилиндрической оболочки по упрощенному варианту линейной теории, относящемуся к случаю, когда размер выпучин мал по сравнению с размерами оболочки хотя бы

В одном

направлении. В применении к задачам устойчивости упрощенные уравнения справедливы для оболочек

СрСДНСИ ^ХТ^ Л ТИТ Н ТЬхГ • ^^протцснныс

соотношения, как оказывается, совпадают почти полностью с такими же выражениями теории пластинок. Затем из них получена система уравнений смешанного типа относительно прогиба и функции напряжений, лежащая в основе многих исследований. Другой вариант упрощения основных уравнений относится к случаю сла-бовыраженного волнообразования по длине оболочки. Он состоит в том, чтобы принять срединную поверхность нерастяжимой в ду-

говом направлении и считать, кроме того, что сдвиги в срединной поверхности отсутствуют, а также равны нулю поперечные силы и изгибающие моменты в осевом направлении и крутящие моменты. Такая теории оболочек получила название полубезмоментной. Она применима для исследования устойчивости оболочек средней и особенно большой длины.

В книге П.Е. Товстика [9] рассматривается ряд задач устойчивости тонких упругих оболочек. Круг обсуждаемых вопросов ограничен случаями, которые приводятся к решению линейных краевых задач и в которых применения асимптотических методов позволяет получить приближенное решение либо существенно упростить последующее числовое решение. Строятся формы потери устойчивости, локализованные в окрестностях линий или точек на срединной поверхности. О ТД6 л ь н о рассматриваются цилиндрическая и коническая оболочки. Кратко обсуждаются различные методы исследования устойчивости оболочек под действием статической нагрузки. А именно, исследуется устойчивость положений равновесия под действием консервативной, поверхностной и краевой нагрузок.

Общим методом исследования устойчивости является изучение возмущенного движения в окрестности невозмущенного. Этот метод (называемый динамическим критерием устойчивости) для консервативных механических систем был впервые применен Лагран-жем. Динамический критерий может быть использован при решении любой задачи устойчивости оболочек. Однако исследование возмущенного движения оболочки являбтся значительно более сложной задачей, чем исследование положений ее равновесия. Поэтому без необходимости динамический критерий редко используется для исследования положений равновесия оболочки.

Другим путем является определение критических значений нагрузки исходя из линеаризованных уравнений равновесия, которые и приводятся в книге. Устойчивость оболочки (так же, как и устойчивость любого упругого тела) можно рассматривать только исходя из первоначально нелинейной постановки задачи. В силу теоремы Кирхгофа задача о равновесии любого упругого тела в линейной постановке имеет единственное решение с точностью до перемеще-

ний тела как абсолютно твердого. Это решение непрерывно зависит от внешних возмущении ^внешние си л ты и зад^аннтьте перем^етлде-ния на границе тела), т.е. является устойчивым. Для справедливости теоремы Кирхгофа достаточно • чтобы потенциальная энергия, накопленная в теле в результате деформаций, была положительно определенной функцией деформаций. Для оболочек это условие выполнено. Исследуется только потеря устойчивости, связанная с геометрической нелинейностью задачи, т.е. с нелинейной зависимостью деформаций от перемещений и с нелинейными членами, связанными с различием систем координат до и после деформации.

Как и дг гя любых упругих систем, для оболочек можно говорить о двух видах потери устойчивости равновесия, первый из которых связан с бифуркацией (или ветвлением) положений равновесия, а второй - с появлением предельной точки. Положение равновесия устойчиво, если прогиб определяется единственным образом. При достижении нагрузкой некоторого значения P*, в окрестности точки, называемой точкой бифуркации, кроме основного положения равновесия, появляется одно или несколько смежных положений равновесия. Положения равновесия в окрестности точки бифуркации могут быть как устойчивыми, так и неустойчивыми. Основное положение равновесия, как правило, неустойчиво. При нагрузках, близких к P*, происходит перестройка формы прогиба, а деформации резко возрастают при малом увеличении нагрузки. По этой схеме теряет устойчивость круговая цилиндрическая оболочка при равномерном внешнем давлении, при осевом сжатии. Ясно, что определение P* важно для инженерных расчетов, и эту нагрузку целесообразно назвать критической.

В случае, когда при плавном увеличении нагрузки по мере приближения к P* прогибы резко возрастают, происходит потеря устойчивости. При нагрузке, превысившей критическую, нет близких положений равновесия. Перестройки формы прогиба не происходит, а имеет место лишь рост ее амплитуды при приближении к P*. Точка потери устойчивости называется предельной. Так теряет устойчивость выпуклая пологая оболочка под действием нормальной нагрузки. В этих терминах верхними критическими нагрузками явля-

ются ординаты предельной точки или точки бифуркации. Нижней критической нагрузкой называется наименьшая нагрузка, при которой возможно послекритическое устойчивое положение равновесия.

В настоящее время полная картина деформирования тонкой оболочки при больших прогибах не построена даже для оболочек простейшей геометрической формы. Достаточно полно исследован вопрос о деформировании пологих оболочек и об осесимметричном деформировании оболочек вращения« В то же время, определение верхних критических нагрузок представляет собой сравнительно простую в вычислительном отношении задачу. Для идеальных оболочек во многих задачах устойчивости получено их явное аналитическое выражение. В ряде случаев верхнюю критическую нагрузку можно найти одним из численных методов. Определение нижних критических нагрузок представляет собой сложную нелинейную задачу, которая в настоящее время полностью не решена. Знание детальной картины послекритического поведения оболочки для расчета инженерных конструкций, как правило, не является необходимым, ибо при этом оболочка уже не работает в расчетном режиме. Исключение составляют оболочки типа сильфонов.

Методы решения краевых задач

Системы дифференциальных уравнений теории колебаний и устойчивости оболочек являются достаточно сложными. При решении краевых зад^ач д^ля них обычно применяются приближенные методы расчета: численные, вариационные, асимптотические. Однако эти системы могут иметь точное решение в немногих исключительных случаях.

В книге [20] проведено исследование напряженно-деформированного состояния ребристых оболочек при статическом нагруже-нии и влияние на него различных параметров подкрепления (числа и жесткости ребер, их эксцентриситета и^ т.п. ). Приведены Т О 'Ч Н Ы 6 решения уравнений статической устойчивости для оболочек, усиленных ребрами в одном направлении (продольными или кольцевыми). При этом используется метод Фурье. Поверхностная нагрузка определяется в виде двойных тригонометрических рядов, исходя из чего решение системы уравнений равновесия также представляется

в виде тригонометрических рядов, коэффициенты в которых определяются из систем линейных алгебраических уравнений. Точные решения важны также для оценки приближенных методов, используемых в более СЛОЖНЫХ общих

В ряде работ, посвященных исследованию напряженно-дефор мированного состояния, устойчивости и колебаний ребристых оболочек, авторы используют не дифференциальные уравнения равновесия (движения), а энергетические методы.

В книге 21

для решения систем дифференциальных уравнений широко используется асимптотический метод Вишика-Люстерника. Решение краевой задачи представляется в виде суммы медленно меняющихся функций (основное состояние) - частного решения неоднородного уравнения, и решений однородного уравнения, имеющих характер интегралов краевого эффекта. Так, при решении задач теории оболочек роль функций основного состояния могут играть решения уравнений полубезмоментной теории оболочек. Функции, называемые интегралами краевого эффекта, или интегралами пограничного слоя вблизи левого (правого) края, экспоненциально убывают при удалении от соответствующего края. В [21] с помощью данного подхода, в частности, найдены приближенные асимптотические решения некоторых краевых задач теории деформируемого твердого тела, для которых имеет место случай регулярного вырождения, впервые исследованный Вишиком и Люстерником. К числу таких ЗсЬд^сЬЧ^в частности относится и

деформация оболочки под действи-

внетттнего давления •

В книге [12] обобщены материалы по методическим основам расчетов на прочность, устойчивость и колебания симметрично нагруженных конструкций, состоящих из набора оболочек вращения, соединенных между собой непосредственно или с помощью упругих шпангоутов. Исходная система уравнений, описывающих поведение конструкции, сводится к краевой задаче для систем дифференциальных уравнений первого порядка. Такая формулировка краевых задач позволяет выработать единый подход к их численному решению.

Изложены методы численного решения краевых задач и задач

о собственных значениях. Показано, что обычный м е т од р е ттт е н и я краевой задачи, основанный на сведении ее к последовательности задач Коши, не всегда приводит к желаемому результату

Изложены алгоритмы определения частот и форм колебаний для упругих оболочек и оболочечных конструкций, основанные на двух методах: методе ортогональной прогонки и методе конечных разностей. В большинстве рассмотренных задач детально исследованы влияния граничных условий, основного напряженного состояния оболочек, моментности этого состояния и других факторов.

Метод ортогональной прогонки С. К. Годунова [22] позволяет построить численно устойчивый процесс решения краевой задачи. При помощи этого метода в статье [23] найдены значения низших частот колебаний оболочки на роликах. Решение системы дифференциальных уравнений представлено в виде суммы линейно независимых решении. Начальные условия для векторов этих решений выбираются так, чтобы решение удовлетворяло граничным условиям. Методом Рунге-Кутта определяется значение векторов на другом конце интересующего промежутка. Чтобы избежать возможной потери точности, связанной с появлением быстро растущих решений, на каждом шаге интегрирования проводилось ортонормирование системы векторов.

Колебания подкрепленных роликами оболочек

Цилиндрическая оболочка, подкрепленная роликами, является моделью оболочки центробежного концентратора, используемого для обогащения руд [24]. Метод разложения решений в ряд Фурье по окружной координате для описания нелинейной деформации вращающейся на роликах бесконечной цилиндрической оболочки был разработан П.Е. Товстиком [25]. Этот метод оказался эффективен и при исследовании малых колебаний такой оболочки.

Колебания вращающегося кольца, опирающегося на две жесткие опоры, рассматривались в работе [26], однако полученные в них решения годятся лишь для малых значений угловой скорости кольца. В данной работе используются более точные уравнения из [25], с помощью которых найдена зависимость частот колебаний от угловой скорости в более широком диапазоне ее изменения.

в статье

27 рассматривалась задача о колебаниях круговой цилиндрической оболочки с нерастяжимым меридианом, подкрепленной абсолютно жесткими цилиндрическими роликами. Найдена нижняя часть спектра частот вращающейся на трех роликах бесконечной цилиндрической оболочки. Выведена система линейных дифференциальных уравнений, описывающая свободные колебания оболочки. В случае равномерного расположения роликов получены приближенные формулы .я определения ч^сьстот и^ форм колебаний для указанного частного случая трех роликов. Найдено численное решение для нсзл 10дв нои^ оболочки.

В статье [23] логически продолжены и расширены рамки задачи, выполненной в [27]. В ней получены формулы для определения частот и форм колебаний бесконечной оболочки в случае произвольного числа роликов. Проведено сравнение приближенных значений частот вращающейся оболочки с результатами численного решения краевой задачи методом ортогональной прогонки.

Длина оболочки и в [27], и в [23] предполагалась бесконечной. Модель бесконечной оболочки дает близкие к реальным значения частот колебаний для достаточно длинных оболочек. Для бесконечной оболочки интерес для приложений представляют низшие частоты, так как им соответствуют формы с наименьшим возможным числом волн по параллели.

В статье [28] рассматривается подкрепленная произвольным числом роликов цилиндрическая оболочка конечной длины. На краях оболочки предполагаются заданными граничные условия шарнирного закрепления. В качестве исходных используются уравнения колебаний цилиндрической оболочки конечной д л и н ы ^ выведенные .в [11]. Приводится подробный алгоритм поиска и содержатся результаты расчетов первой частоты колебаний для оболочек различной длины толщины сначала для оболочки без роликов, а затем и подкрепленной роликами. Формы колебаний 1,1,редставляются ^в ^ви^д^сз ря дов Фурье по окружной координате. На движение оболочки накладываются связи• обусловленные наличием подкрепляющих роликов. Уравнения частот получены из уравнении Лагранжа второго рода с множителями. 13 ы веде н ы уравнения для нахождения частот коле-

баний нбв р ащающеи ся оболочки. В [28] 11 р и водятся рбзул ьтат ы для оболочки с тремя и шестью роликами, так как именно такое их количество имеется в центробежных концентраторах.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Боярская, Мария Леонидовна, 2017 год

Литература

[1] Власов В. 3. Общая теория оболочек и её приложение в технике. М.Л.: Гостехиздат, 1949.

[2] Гольденвейзер А. Л. Теория упругих тонких оболочек. М.: Наука, 1976.

[3] Лурье А. И. Статика тонкостенных упругих оболочек. М.Л.: Гостехиздат, 1947.

[4] Новожилов В. В. Теория упругих тонких оболочек. Л.: Суд-промгиз, 1962.

[5] Алфутов Н. А. Основы расчета на устойчивость упругих систем. М.: Машиностроение, 1978.

[6] Вольмир A.C. Устойчивость деформируемых систем, - М.: Наука, 1967

[7] Григолюк Э. И., Кабанов В. В. Устойчивость оболочек. М.: Наука, 1978.

[8] Тимошенко С.П. Устойчивость стержней, пластин и оболочек. М.: Наука, 1971.

[9] Товстик П.Е. Устойчивость ТОНКИХ оболочек. Асимптотические методы. М.: Наука, 1995.

[10] Болотин В. В. Динамическая устойчивость упругих систем. М.: Гостехиздат, 1956.

[11] Гольденвейзер А.Л., Лидский В.В., Товстик П.Е. Свободные колебания тонких упругих оболочек, - М.: Наука, 1979. 384 с.

[12] Кармишин А. В., Лясковец В. А., Мяченков В. И., Фролов А. Н. Статика и динамика тонкостенных оболочечных конструкций, - М.: Машиностроение, 1975

[13] Михасев Г.И., Товстик П.Е. Локализованные колебания и волны в тонких оболочках. Асимптотические методы. Наука. Физ-матлит. 2009.

[14] Флюгге В. Статика и динамика оболочек. М.: Издательство литературы по строительству, архитектуре и строительным материалам, 1961.

[15] Амиро И. Я., Грачев О. А., Заруцкий В. А., Палъчевский А. В., Санников А. К). Устойчивость ребристых оболочек вращения. Киев: Наукова думка, 1987.

[16] Колебания ребристых оболочек вр^тдсния • Под рбд • Амиро И. Я. Киев: Наукова думка, 1988.

[17] Андрианов И.В., Лесничая В.А., Маневич Л.И. Метод усреднения в статике и динамике ребристых оболочек. М.: Наука, 1985.

[18] Маневич А. И. Устойчивость и оптимальное проектирование ПОДКрбПЛбН И IdIjNl оболочек. Киев, Донецк: Вища XXI КОЛ cL • 1979.

[19] Филиппов С. Б. Теория сопряженных и подкрепленных оболочек, - СПб.: Изд-во С. -Петерб. ун-та, 1999. 196 с.

[20] Амиро И.Я., Заруцкий В.А. Теория ребристых оболочек. Киев: Наукова думка, 1980.

[21] Бауэр С.М., Смирнов А.Л., Товстик П.Е.. Филиппов С.Б. Асимптотические методы в механике твердого тела. Ижевск: Изд-во "Регулярная и хаотическая динамика 2007, 360 с.

[22] Годунов С. К. О численном решении краевых задач для систем обыкновенных линейных дифференциальных уравнений // Успехи математических наук, 1961, т. 16, вып. 3, С. 171-174.

[23] Боярская М.Л., Филиппов С.Б. Малые свободные колебания вращающейся на роликах бесконечной цилиндрической оболочки // Журн. Вести. СПбГУ, 2011, Вып. 1, Сер. 1, С. 31-37.

[24] Краснов А. А. Динамика центробежного обогатительного конуса с принудительно деформируемой эластичной стенкой // Обогащение руд, 2001, N 3, С. 34-38.

[25] Товстик П. Е., Филиппов С. Б., Шмойлова Е. А. Нелинейная деформация вращающейся на роликах вязко-упругой бесконечной цилиндрической оболочки // Вестник СПбГУ, Сер. 1. 2005, Вып. 4, С. 98-109.

[26] Полунин А.И. Математическое моделирование динамики упругого вращающегося кольца при наличии двух опор // Изв. АН, Механика ТВврДОГО T6JI1999, №6, С. 153-158.

[27] Филиппов С. Б. Частоты и формы колебаний вращающей ся на роликах бесконечной цилиндрической оболочки // Журн. Вести. СПбГУ, 2006 Вып. 2, С. 138-145.

[28] Боярская М. Л. Частоты и формы колебаний вращающейся Haj роликах цилиндрической оболочки // Труды семинара "Компьютерные методы в механике сплошной среды "СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2011, 71-80.

[29] Забиякин М. В. Колебания вращающейся на роликах цилиндрической оболочки // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер.1 2014. Вып. 2.

[30] Mansfield On the buckling of an annular plate // Quart. J. Mech. and Applied Math., vol. 13, I960. P. 16-23.

[31] Макаренко И.Н., Филиппов С.Б. Устойчивость цилиндрической оболочки, подкрепленной кольцевой пластиной // Вестн. С.-Петерб. Ун-та. Сер.1. 2005. Вып. 1. С. 94-102.

[32] Кобченко М.Е., Филиппов С. Б. Устойчивость цилиндрической оболочки, сопряженной с кольцевой пластиной, под действи-

внешнего лбния // Асимптотические методы в механике деформируемого твердого тела. СПб. 2006. С. 60-74.

[33] S.B. Filippov Optimal design of stiffened cylindrical shells based on an asymptotic approach // Technische Mechanik, 2004, Band 24, Heft 3-4, P. 221-230.

[34] S.B. Filippov Buckling of circular ring joint with cylindrical shell // Shell structures Theory and Applications, Proc. of the 9th SSTA Conference. Jurata, Poland, 2010, P. 109-112.

[35] S.B. Filippov Buckling of cylindrical shell joint with annular plate // Shell structures Theory and Applications, Proc. of the 8th SSTA Conference. Jurata, Poland, 2005, P. 211-214.

[36] Филиппов С. В. Устойчивость кольцевой пластинки под действием радиальных растягивающих усилий на внутреннем контуре // Вестн. С.-Петерб. Ун-та. Сер. 1. 2009, Вып. 2. С. 112121.

[37] Слесаренко В.Ю., Степанов А.В., Филиппов С.Б. Устойчивость кольцевой пластинки под действием радиальных сжимающих усилий // Вестн. С-Петерб. ун-та. 2010, N 3.

[38] Филиппов С.В., Боярская М.Л., Кулаковский И.А. Приближенное определение оптимальных параметров в задачах устойчивости и колебаний подкрепленных ци линд^р и чес к их оболочек // Шестые Поляховские чтения: Избранные труды Международной научной конференции по механике, СПб, 2012, 296302.

[39] Боярская М.Л., Филиппов С. Б. Устойчивость цилиндрической оболочки, подкрепленной шпангоутами с тавровым поперечным сечением // Вестник Санкт-Петербургского университета. Сер. 1. 2015.

[40] Филиппов С. Б. Устойчивость кольцевой пластинки под действием радиальных растягивающих усилий на внутреннем кон-

туре // Вести. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2009, Вып. 2. С. 112 121.

[41] Filippov S.B. Optimal design of stiffened cylindrical shells based on an asymptotic approach // Technische Mechanik, 2004, Band 24, Heft 3-4, P. 221-230.

[42] Боярская M. Л., Филиппов С. Б. Устойчивость шпангоута под действием внутреннего давления в цилиндрической оболочке // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Серия 1. 2016. Том 3 (61), Вып. 2. С. 264-273.

[43] Sergei В. Filippov, Maria L. Boyarskaya. Buckling of annular plate joint with circular beam // Proceedings of the ECCOMAS Congress 2016, Crete Island, Greece, 5-10 June 2016, pp. 1-11.

[44] Боярская M. Л. Устойчивость кольцевой пластины, сопряженной с цилиндрической оболочкой и подкрепленной круговым стержнем // Сборник научных трудов "Механика и процессы управления"М.: РАН, 2015.