О дифференцированиях в групповых алгебрах и других алгебраических структурах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, доктор наук Арутюнов Андроник Арамович

• Арутюнов Андроник Арамович
• доктор наук
• 2023

Оглавление диссертации доктор наук Арутюнов Андроник Арамович

1.1 Апробация результатов

1.2 Цели и задачи

1.3 Актуальность и история задачи

1.4 Методы исследования

1.5 Определения и основные результаты

1.6 Теоретическая и практическая значимость

1.7 Научная новизна

2 Дифференцирования и группоид присоединенного действия

2.1 Дифференцирования в алгебрах

2.2 Группоид Г и его свойства

2.3 Характеры группоида

2.3.1 Операция на характерах

2.3.2 Характеры тривиальные на петлях

2.4 Квазивнутренние и квазивнешние дифференцирования

2.5 Центральные дифференцирования

2.5.1 Коммутативный случай

2.5.2 Центральные дифференцирования

2.6 Градуировка в алгебре дифференцирований

3 Вычисление дифференцирований в групповых алгебрах

3.1 Необходимое условие

3.2 Нильпотентные группы ранга

3.2.1 Случай группы Гейзенберга

4 Связь с концами группы и теоремой Столлингса

4.1 Диаграмма сопряженности

4.2 Геометрия диаграмм сопряженности

4.2.1 Число концов диаграмм сопряженности

4.2.2 Характеры на графах

4.3 Комбинаторное вычисление дифференцирований

4.3.1 Квазивнутренние дифференцирования

4.3.2 Алгебры внешних и квазивнешних дифференцирований

4.4 Вычисление размерностей

4.5 Некоторые примеры

4.5.1 Сравнение с когомологиями Хохшильда

4.5.2 Свободное произведение конечных групп

4.5.3 Группа Гейзенберга

5 Обобщение на 2-категории

5.1 ^-характеры

5.2 Связь с дифференцированиями

5.2.1 Общие определения

5.2.2 Примеры дифференцирований

5.2.3 Алгебра 2-характеров

6 Полугрупповые алгебры

6.1 Дифференцирования в полугрупповых алгебрах

6.1.1 Конструкция категории

6.1.2 Характеры и дифференцирования

6.1.3 Алгебра характеров

6.1.4 Квазивнутренние дифференцирования

6.1.5 Групповые и полугрупповые дифференцирования

6.1.6 Примеры

7 Случай конечных колец

7.1 Пространство характеров и дифференцирований

7.1.1 Внутренние дифференцирования и их характеры

7.1.2 Комплекс локально финитных характеров

7.1.3 Характеры на конечных субгруппоидах

7.2 РО-групповые кольца

7.3 Случай конечных групп

7.3.1 Внутренние дифференцирования

7.3.2 Аддитивные гомоморфизмы

7.4 Примеры и приложения

7.4.1 Явное описание внешних дифференцирований

7.4.2 Дифференцирования в Ъ4[Б3]

7.4.3 Дифференцирования в

8 Различные варианты действия группы на себе

8.1 Основные определения

8.1.1 Группоид действия и пространство характеров

8.1.2 Граф зк(С; X)

8.1.3 Описание характеров тривиальных на эндоморфизмах

8.2 Вычисление числа концов

8.3 Операторы на групповых алгебрах

8.4 Примеры

8.4.1 Действие сопряжениями

8.4.2 Дифференцирования Фокса

9 Вычисление (а,т)-дифференцирований

9.1 Основные определения

9.2 Подкрученный группоид и характеры

9.3 Квазивнутренние (а, т)-дифференцирования

9.4 (а, т)—нильпотентные группы

9.4.1 Внутренние эндоморфизмы

9.4.2 Группа Гейзенберга

9.5 (а,т)-РС группы

10 Дифференцирования в банаховых бимодулях

10.1 Необходимые определения

10.2 Дифференцирования в бимодулях

10.3 Непрерывность центральных дифференцирований

10.3.1 Группы полиномиального роста

10.3.2 Непрерывность и выбор порождающего множества

11 Псевдодифференциальные операторы

11.1 Центральные дифференцирования

11.2 Псевдодифференциальные операторы

11.2.1 Случай одного дифференцирования

11.2.2 Общая алгебра ПДО

12 Лиевы дифференцирования 248 Заключение

Глава 1. Введение

1.1. Апробация результатов

Результаты исследований, легших в основу данной работы опубликованы в рецензируемых научных изданиях, входящих в Scopus: [1—22]. Готовится к публикации [23].

Также вышли следующие методические издания, содержащие в том числе и результаты настоящего исследования [24; 25].

Результаты были представлены на ряде научных семинаров. В частности: общеинститутский семинар ИМВЦ УФИЦ РАН (Уфа), семинар по Некоммутативной геометри и топологии (МГУ), семинаре "Алгебры в анализе" (МГУ), Санкт-Петербургский семинар по теории операторов и теории функций (ПОМИ РАН), семинар по теории колец им. А.И. Ширшова (Новосибирск).

Результаты были доложены на нескольких международных конференциях. Среди которых: Мальцевские чтения, Новосибирск, Stochastic Processes and Algebraic Structures, Vasteros, Sweden; 2023 International Conference on Topology and its Applications, Nafpaktos, Greece; International Workshop on Operator Theory and its Applications, Lissabon, Portugal.

1.2. Цели и задачи

Настоящая работа посвящена изучению дифференцирований, возникающих над различными ассоциативными алгебрами с использованием методов теории категорий, которые были впервые представлены в работе [1]. Общий метод состоит в том, что с данной ассоциативной алгеброй Л связывается некоторая категория С. И оказывается, что дифференцирования могут быть отождеств-

лены с т.н. характерами на категории, т.е. отображениями % : Нот (С) ^ С такими, что для всех пар компонируемых морфизмов ф,^ выполнено свойство

Х(Ф о ф) = Х(Ф) + Х(^).

Под дифференцированиями мы понимаем линейный оператор ё, : А ^ А, удовлетворяющий правилу Лейбница

й(аЬ) = (1(а)Ь + ай(Ь), а,Ь е А.

Если алгебра А счетномерна как векторное пространство, т.е. базис е

Ъ, то всякий линейный оператор может быть записан в виде

^) = ^ а *аз.

Чтобы отобрать среди всех линейных операторов именно дифференцирования, необходимо расписать в терминах последней формулы правило Лейбница, и получить соответствующую связь между коэффициентами а*.

В работах [1; 2] было показано, что если в качестве алгебры А взять групповую алгебру С [С], для произвольной конечно порожденной группы С, и в качестве базиса выбрать естественный базис из элементов группы, то коэффициенты а оказываются значениями некоторого характера на группоиде присоединенного действия (определение и основные свойства см. в разделе 2.2). Важный вопрос, какие характеры задают дифференцирования имеет достаточно простой ответ: нужно взять т.н. локально финитные характеры (см. определение 2.3.2). Таким образом, задача исследования и описания дифференцирований в групповой алгебре сводится к изучению пространства характеров. При этом на пространстве характеров может быть введена структура алгебры изоморфной алгебре дифференцирований (см. предложение 5.2.2).

Традиционно (см. напр. [26—28] и другие) изучение алгебр дифференцирований строится следующим образом. Рассматривается идеал внутренних диф-

ференцирований (1а : А^ А, а Е А т.е. задаваемых формулой

— X Е

И рассматривается фактор алгебра внешних дифференцирований - т.е. фактор алгебры всех дифференцирований по внутренним.

Однако, в предлагаемой парадигме использования характеров, оказывается полезным несколько модифицировать данную схему. Несложно убедиться (см. предложение 2.3.4), что всякое внутреннее дифференцирование задается характером, который тождественно равен нулю на всех эндоморфизмах группоида. Обратное, при чем, не верно: существуют характеры тривиальные на петлях, но не задающие при этом внутреннего дифференцирования. Простейшим примером возникновения такой ситуации является случай группы Гейзенберга, разобранный нами ниже в разделе 3.2.1 и до того в работе [6].

Возникает естественное желание рассмотреть пространство характеров, тривиальных на петлях (эндоморфизмах группоида). Оказывается, что дифференцирования задаваемые такими характерами тоже образуют идеал в групповой алгебре (содержащий в себе, разумеется, идеал внутренних дифференцирований). Впервые это утверждение было показано в работе [5], доказательство для случая групповых алгебр, см. теорему 2.4.1. Естественным образом возникает и понятие квазивнешних дифференцирований, т.е. фактор алгебры по квазивнутренним. Изучению структуры возникающих объектов посвящены работы [2; 5—7]. В частности интерес представляет вопрос соотношение квазивнутренних и внутренних дифференцирований. В данном случае вскрывается глубокая связь с некоторыми вопросами комбинаторной теории групп, а именно числом концов данной группы, и числом концов графов действия. Исследование данных вопросов посвящен раздел

Предложенный таким образом метод описания дифференцирований через характеры группоида может быть расширен на другие алгебры, различного происхождения. Прежде всего отметим чрезвычайно важный для приложений случай когда вместо обычного группового кольца С [С] рассматривается кольцо

с коэффициентами в конечном коммутативном кольце А (например Этот вопрос был рассмотрен в работе [9] и ниже в главе 7. Естественно рассмотреть при этом случай когда группа С - конечна, или в более общем виде, когда С -является ЕС-группой (т.е. группой в которой все классы сопряженности конечны). Для данного случая удается не только получить описание алгебр внешних и квазивнешних дифференцирований, но и установить условия существования внешних дифференцирований, что требует привлечения техники работы с конечными полями. Отметим, что данные результаты крайне важны для теории кодирования и, в частности, построения линейных кодов. Разбору конкретных прикладных вопросов посвящен раздел

Следующим естественным обобщением является случай алгебр, порожденных не группой, а некоторой полугруппой. В главе 6, следуя работе [8] предложен разбор случая, когда полугруппа - т.н. мальцевская. Т.е. полугруппа, вложимая в некоторую группу. В таком случае строится описание алгебр дифференцирований. В качестве подходящей категории берется уже не группоид, а некоторая категория, вложимая в группоид. Отметим, что для данного случая определение "обычных" внутренних дифференцирований уже затруднительно, и введение именно квазивнутренних дифференцирований позволяет провести правильную декомпозицию алгебры дифференцирований, а также ответить на все естественные вопросы.

Еще одним алгебраическим обобщением являются т.н. (а, т)- дифференцирования. Это операторы, которые для данных эндоморфизмов а, т на кольце С [С] удовлетворяют "скрученному" правилу Лейбница, а именно

¿(аЬ) — ¿(а)а(Ь) + т(аЩЬ), а, Ъ Е С[С].

Оказывается, что такой тип операторов также может быть изучен при помощи характеров, что было проделано впервые в работе [22], соответствующие результаты изложены ниже в главе 9. Конечно, в данном случае построение группоида представляет определенные трудности. Однако, в целом метод работает (хоть и для ограниченного типа эндоморфизмов а, т) и позволяет получить новые

результаты. В частности, выделение идеала аналогичного внутренним дифференцированиям, и в целом изучению соответствующей алгебры. Отметим, что в случае (а, т)-дифференцирований даже такой стандартный результат как тривиальность внешних дифференцирований для конечных групп - оказывается непростым вопросом. Ранее частичные результаты были получены в [29], однако предлагаемые методы исследования позволяют существенно усилить эти результаты.

Указанные выше результаты касаются "алгебраического" случая, т.е. когда рассматриваются дифференцирования в некоторой алгебре, не оснащенной дополнительной банаховой структурой (или вообще топологией). При этом мотивировочные работы (о которых подрбонее будет рассказано в разделе 1.3) относятся к Ь\(С) и другим вариантам оснащения группового кольца некоторой нормой.

Глава 10 посвящена именно этому случаю. К изложенной выше схеме добавляется следующее соображение. Вместо условия локальной финитности, требуется некоторое условие, которое диктуется нормой в групповом кольце. По сути, задача сводится к отбору правильного подпространства характеров, удовлетворяющих некоторым условиям.

При этом оказывается достаточно продуктивным подход, связанный с выделением идеала квазивнутренних дифференцирований. Оказывается (и достаточно просто доказывается), что в широком классе банаховых бимодулей все дифференцирования будут квазивнутренними. При этом вопрос совпадения внутренних и квазвинутренних дифференцирований уже оказывается существенно более трудоемким.

Хочется отметить, что помимо научных результатов предлагаемый категор-ный подход, существенно опирающийся также на геометрические соображение и идеи из теории графов, позволяет заметно упростить доказательства некоторых известных результатов, и методически встроить некоторые современные результаты (в частности излагаемые в настоящей работе) в университетские курсы. В частности, соответствующие задачи добавлены в [24].

Надо признать, что предлагаемый метод имеет и определенные ограничения.

В частности, разбираемый в главе 12 (по работе [4]) случае дифференцирований порождаемых не ассоциативной структурой, а лиевой приводит к достаточно сложным условиям для функций на коэффициентах, более сложным чем условие компонируемости характеров. Аналогичная ситуация, по всей видимости, возникает и для алгебр порождаемых инверсными полугруппами: возникающая структура пространства характеров оказывается чрезвычайно запутанной. Впрочем вопрос исследования дифференцирований для всевозможных типов ассоциативных алгебр едва ли может быть полностью закрыт.

Постановка задачи

Цель настоящего исследования - дать описание пространств дифференцирований над различными типами ассоциативных алгебр. Для описания будут использованы пространства характеров над подходящими категориями.

В случае групповых алгебр основным методом будет выделение в идеала т.н. квазивнутренних дифференцирований, т.е. дифференцирований которые задаются характерами обращающимися в нуль на всех петлях (эндоморфизмах). Таким образом задача исследования алгебры дифференцирований сводится к изучению квазивнутренних дифференцирований, и фактор алгебры квазивнешних дифференцирований.

Центральным вопросом является следующий, известный как "The derivation problem". Верно ли что все дифференцирования в данной алгебре внутренние?

Частным случаем данного вопроса является следующий, поставленный B. Johnson: верно ли что все дифференцирования в L\(G) - внутренние?

Решение данной проблемы ставит также дополнительные вопросы. Прежде всего масштабирование предложенного метода на другие классы ассоциативных алгебр, при этом дифференцирования вообще говоря не образуют алгебру, только бимодуль.

Другим важным вопросом являются условия совпадения предлагаемых квазивнутренних и внутренних дифференцирований. Ответ на данный вопрос будет найден в алгебраических и комбинаторных терминах.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О дифференцированиях в групповых алгебрах и других алгебраических структурах»

1.3. Актуальность и история задачи

Пусть имеем ассоциативную алгебру А (пока без дополнительного оснащения) над кольцом Я. В самом общем виде, нас интересует описание пространства дифференцирований, то есть линейных операторов, удовлетворяющих правилу Лейбница.

Линейный оператор ё, : А ^ А назовем дифференцированием если для всех и,у е А выполнено правило Лейбница

(1(ш) = (1(и)у + ш1(у). (1.3.1)

Преимущественно мы будем рассматривать частный случай групповой алгебры С [С] для произвольной конечнопорожденной группы С.

Определение 1.3.1. Назовем групповой алгеброй С [С] пространство конечных линейных комбинаций ^д9, где Хд - комплексные коэффициенты.

дес

Одним из важнейших примеров дифференцирований являются внутренние, а именно

Определение 1.3.2. Для а е А линейный оператор ¿а задаваемый формулой

(1а : х ^ ах — ха

назовем внутренним дифференцированием.

Как хорошо известно (и в чем легко убедиться непосредственным вычислением) пространство внутренних дифференцирований образует идеал в алгебре всех дифференцирований. Соответствующую фактор алгебру по внутренним обычно называют алгеброй внешних дифференцирований.

Изучение тривиальности алгебры внешних дифференцирований групповой алгебры (в частности и алгебры Ь\(С)) ставит ряд дополнительных вопросов. Прежде всего масштабирование предложенного метода на другие классы ассоциативных алгебр. Отметим, что при этом дифференцирования вообще говоря не образуют алгебру, только бимодуль.

Истоки задачи

Само по себе понятие дифференцирования является одним из базовых понятий математики. Не углубляясь в богатую историю развития математического анализа, отметим, что ключевую роль в исследовании различных структур, обладающих некоторой дополнительной алгебраической структурой, будь то структкура бимодуля, кольца или группы, ключевую роль играет знаменитое правило Лейбница

d(fg) = d(f )д + fd(g).

В отличии от классических задач анализа и дифференциальной геометрии, в которых мы имеем непрерывную структуру и можем понимать дифференцирование как предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при работе с алгебрами и модулями такое определение не годится, и именно правило Лейбница становится необходимым требованием в определении дифференцирования.

При этом, как мы увидим ниже, само по себе правило Лейбница различными путями может модифицироваться и пониматься разными способами. Это касается и смысла умножения в слагаемых правой части, и "подкручивания" (twisting), т.е. оснащения дополнительными эндоморфизмами слагаемых. Однако, общая индуктивная структура правила сводящего вычисление d(fg) к вычислению значения дифференцирования на сомножителях - всегда легко угадывается.

По всей видимости первое упоминание банаховых алгебр (названных тогда линейным метрическим кольцом) - работа 1936 года [30]. Там же впервые рассмотрено и понятие дифференцирования. Систематическое изучение общей теории банаховых алгебр было начато в 1941 году в работе И.М. Гельфанда [31], а в 1943 в [32] была доказана знаменитая теорема Гельфанда-Наймарка.

Дифференцирования в банаховых алгебрах

В послевоенные годы вырос интерес к дифференцирования в банаховых алгебрах. Так, в работе [33] И. Капланский исследуя автоморфизмы в банаховых

алгебрах приходит к необходимости изучения дифференцирования AW* алгебр (частный случай С* алгебр, введеный ранее Капланским в [34]) и показывает, что все они внутренние ([33], Theorem 9). Это позволяет доказать основной результат (теорема 10), что автоморфизмы некоторых банаховых алгебр, сохраняющих центральные элементы, также будут внутренними. Там же ставится другой вопрос, называемый проблемой Капланского, о том, обязаны ли дифференцирования С * алгебр быть непрерывными. Ответ на данный вопрос -положительный, и был получен в работе C. Сакаи [35]. Далее этот вопрос развивался в работах как самого Сакаи [36—38] так и в статях других исследователей, например [39—41]. Примеры С * алгебр в которых есть внешние дифференцирования были получены в [42].

Об отмеченной Капланским связи между дифференцированиями и автоморфизмами см. также [43]. Отмечались и некоторые приложения, в частности к теории динамических систем [44].

Среди дальнейших результатов в этом направлении отметим работы Кади-сона [33; 45; 46] и его совместные работы с Рингроузом [47; 48], в которых было продолжено исследование дифференцирований в С * алгебрах, в т.ч. и действующих на гильбертовом пространстве, понимаемом как модуль над алгеброй.

Особое значение играл поиск условий, при которых все дифференцирования оказываются внутренними. Для групповых алгебр основной вопрос т.н. derivation problem формулируется следующим образом: "При каких условиях все производные в групповой алгебре являются внутренними?".

Большой вклад в исследование этого вопроса для случая алгебры L\(G) внес Б. Джонсон, и часто вопрос наличия дифференцирований, не являющихся внутренними, называют Проблемой Джонсона. Так, в совместной работе с Рингроузом [49] было получено простое доказательство тривиальности дифференцирований в алгерах фон Ноймана (ранее аналогичные результаты получил Сакаи в [35]), а также для l\(G). Многие результаты собраны в монографии

[27].

Самому Джонсону удалось найти ответ на данный вопрос и для некоторых других случаев, связанных с групповой алгеброй L\(G). В таком случае про-

блема Джонсона играет принципиалную роль для исследований в теории меры и гармоническом анализе, теории операторов, операторных алгебр и когомологических конструкций [26][вопрос 5.6.B, с. 746]. В работе [28] им была решена указанная проблема для случая связных локально компактных групп. Наиболее полный результат был получен в [50], где упоминалось, что все дифференцирования в L\(G) являются внутренними.

В отмеченном случае алгебр фон Ноймана некоторые результаты были получены Джонсоном с Пэрротом [51], а также заметно усилены Поупом в [52]. Итоговый результат (теорема Джонсона-Пэррота-Поупа) состоит в том, что все дифференцирования из алгебры фон Ноймана со значениями в пространстве компактных операторов над гильбертовым пространством - внутренние. Некоторые современные результаты получены, например в [53], наиболее полное изложение см. в [54]. Позднее в [55] был изучен и более общий случай полупростых алгебр фон Ноймана.

Задача вычисления гомологий банаховых алгебр был одной из важных мотивировок в изучении структуры дифференцирований. Отметим две важные монографии, в которых собраны достаочно полные обзоры соответствующих результатов [56; 57]. Важно отметить роль изучения дифференцирований для когомологий Хохшильда. Сам комплекс был предложен Хохшильдом в [58], как инструмент для изучения свойств алгебры. Один из знаковых резуьтатов - теорема Хохшильда-Костанта-Розенберга из [59], устанавливающая изоморфизм между, собственно, комплексом Хохшильда и производного пространства петель. О некоторых других приложениях комплекса Хохшильда см. [60].

С точки зрения исследования дифференцирований поясним, что дифференцирования соответствуют 1-коциклам комплекса Хохшильда, внутренние дифференцирования - 1-кограницам, а внешние дифференцирования, соответственно, являются одномерными когомологиями. Формула для вычисления гомологий и когомологий была получена в [61] (результаты уточнены в [62]) для групповых алгебр. Из недавних отметим результаты А.С. Мищенко [63—65], в которых построены новые формулы для вычисления гомологий и когомологий. Интересным развитием этих результатов для вычисления комплекса Хохшильда и

симплициальных когомологий является работа [66].

Другим свежим направлением развития данной тематики является исследование униформных алгебр Роу и в целом развитие инструментария комплексов Хохшильда (и, в частности, дифференцирований, как 1-коциклов) на грубую геометрию. Так, в работе [67] было показано, что все ограниченные дифференцирования униформной алгебры Роу над дискретным метрическим пространством ограниченной геометрии - будут внутренними. Существенным развитием этих результатов является работа [68] в которой вычисляются ограниченные ко-гомологии Хохшильда униформной алгебры Роу со значениями в униформных бимодулях Роу для дискретных метрических пространств.

Алгебраические дифференцирования

Большая часть упомянутых выше работ относится к исследованию банаховых алгебр и вообще к случаю, когда алгебра имеет некое топологическое оснащение. При этом, как несложно видеть, для "лобовой" проверки правила Лейбница достаточно иметь только алгебраическую структуру.

По всей видимости впервые чисто алгебраические дифференцирования и алгебраический аналог проблемы Джонсона, был поднят исследовательницей Мартой Смит в [69]. Среди дальнейших работ отметим [70], в которой изучался случай колец с целочисленными коэффициентами. Последнее обусловлено прикладными задачами, в частности криптографические. В частности применения дифференцирований к кодам Рида-Соломона, было исследовано в [71; 72].

Дальнейшее исследование дифференцирований в кольцах было связано с рассмотрением различных вариантов колец. Причем особый интерес представляет случай конечных колец. Так, в [73], рассмотрены групповые алгебры с коэффициентами в конечном кольце Я, при этом на группу налагаются определенные требования (группа должна быть черниковской). При этом исследуются Л—дифференцирования, т.е. такие дифференцирования 6, что д(Я) = 0. Авторами доказывается, что все Л—дифференцирования будут внутренними. Другие обобщенные варианты обобщенных дифференцирований рассматриваются

например в [74].

Естественным обобщением конструкции являются т.н. (а, т)- дифференцирования. То есть дифференцирования, удовлетворяющие "подкрученному" правилу Лейбница

d(uv) = d(u)a(v) + г(u)d(v), u,v G R.

Здесь R - некоторое унитальное кольцо, и а,т - его эндоморфизмы. Важным частным случаем этой общей конструкции являются (а, ¿^-дифференцирования, также называемые а—дифференцированиями. При этом сама структура таких (а,т)— дифференцирований достаточно сложная, в частности они вообще говоря не обладают структурой алгебры Ли или аналогичной. Даже проверка того, что в случае конечной группы все дифференцирования будут внутренними -оказывается уже нетривиальным (см. [29]).

Конструкция "подкрученных" дифференцирований возникла в связи с исследованиями расширений Оре предложенных в [75]. Общая теория, в частности связь с теорией Галуа изложена в [76]. Также отметим монографии [77; 78], и записки лекций [79; 80].

Расширением Оре полиномиального кольца называют некоммутативное кольцо R[x; а, косых многочленов (skew-polynomial ring) определяемое эндоморфизмом кольца а и соответствующем ему а—дифференцированием 6, в котором выполнено соотношение

хг = а(г)х + 5(г).

Многие свойства касающиеся размерностей и строения модулей были получены в [81]. Косые полиномы находят многочисленные приложения в квантовом исчислении [82; 83], для поиска право-инвариантных полиномов и классов сопряженности [84], для исследования деформаций алгебр Ли [85] и матричных алгебр [86]. Находят свои приложения данная конструкция и в некоммутативной геометрии [87; 88], в частности для описания некоммутативных нетеровых колец [89].

Одной из мотивировок исследования "подкрученных" дифференцирований, является исследование Quasi-Hom-Lie алгебр, обобщающих алгебры Витта и ал-

гебры Вирасо. Данный тип алгебр отличается от обычных алгебр Ли тем, что вместо классического тождества Якоби, они удовлетворяют более общему правилу. Их описание оказывается тесно связанным с а—дифференцированиями. Фактически они ими и описываются (см. [90], теорема 2).

Сами (а, т)-дифференцирования также возникают при исследовании деформаций алгебр [86; 91; 92]. И при изучении полиномов Лорана на групповой алгебре [93]. Дальнейшее развитие связано как с упомянутыми приложениями в квантовой теории, так и с обобщениями в анализе. В частности изучался вопрос описания (а,т)— дифференцирований в алгебрах фон Ноймана [94].

Говоря об алгебраической задаче, нельзя не упомянуть также производные Фокса (the Fox derivative) предложенные в контексте изучения свободных групп Ральфом Фоксом в серии работ [95—99]. Рассматривается следующая конструкция. Пусть F =< X > - свободная группа, ZF - целочисленная групповая алгебра (т.е. коэффициенты - кольцо целых чисел). Тогда для каждого х £ X производной Фокса называют линейный оператор Dx : ZF ^ ZF такой, что для u,v £ ZF значение Dx(1) = 0, справедливо свойство Dx(y) = 6ху для у £ X, где $ху - символ Кронекера, а также выполнен следующий аналог правила Лейбница

Dx(uv) = Dx(u) • v + и • Dx(v).

Сам Фокс применил такое исчисление среди прочего к исследованию групп узлов, групповым когомологиям и многим другим задачам. Одним из самых ярких приложений этого исчисления была теория узлов (см. [100]). Конкретно, удается вычислить матрицу Александера и полиномы Александера, являющиеся инвариантами узлов. Из недавних исследований отметим работу [101] в которой исчисление Фокса применяется для изучения квазипуассоновых структур на представлениях поверхностей. Некоторые приложения к исследованию метабелевых алгебр Ли см. в [102], свойства суперпозиций дифференцирований Фокса были получены в [103].

Операторное исчисление

Исследования рядов Лорана также указывают на еще один важный аспект приложения дифференцирований в алгебрах. В работе А.Н. Паршина [104] предложена (аналогичная конструкция ранее исследовалась также в работе [105]) следующая конструкция. Пусть d - дифференцирование некоторого кольца R.

Тогда левый модуль формальных выражений L = ^ aid1 можно понимать как

ie Z

аналог алгебры псевдодифференциальных операторов. Дальнейшее развитие логики исследования операторных алгебр приводит нас к теории Шура-Сато. Наиболее полное и современное исследование см. в работе А. Жеглова [106]. Также в работе [107] изучались центральные расширения таких алгебр "формальных" псевдодифференциальных операторов и возникающие приложения такой конструкции.

Отметим также, что сходные идеи описания псевдодифференциальных операторов как некоммутативных степенных рядов, в которых в качестве переменных подставляются операторы дифференцирования, был ранее предложен в [108]. В частности, изучался формализм т.н. д—исчисления и соответствующих д—алгебр.

Теория псевдодифференциальных операторов достаточно полно изложена в [109]. Одним из самых ярких результатов является теорема Атьи-Зингера вычисляющая индекс эллиптического оператора на компактном многообразии [110; 111].

Исследование данной задачи связано с изучением операторных алгебр, которые порождаются дифференцированиями. Одним из возникающих вопросов является выяснение условий при которых оператор нильпотентен. В одной из первых работ по данной теме [112] была исследована связь локальной нильпотентности внутреннего дифференцирования (т.е. того, что внутреннее дифференцирования обнуляется в некоторой степени) и нильпотентности резольвенты, т.е. элемента вида (а — X). Эти результаты были усилены в работах Харченко. В частности в [113] было показано, что все дифференцирования для простых ко-

лец нулевой характеристики внутренние. Это позволило (с учетом результатов из работы [112]) доказать, что все нильпотентные дифференцирования простых колец внутренние, и порождаются нильпотентными элементами. Аналогичные результаты были получены В.К. Харченко и для полупростых колец в [114]. Результаты, характеризующие нильпотентные дифференцирования, в дельнейшем многократно обобщались и усиливались.

Так, в работе [115] были получены обобщения для случая полупростых колец конечной характеристики. Более общие результаты были получены в работе [116], в которой были исследованы более общие варианты полупростых колец.

Важной вариацией данной задачи является случай локально нильпотент-ных дифференцирований. Т.е. таких, что для каждого элемента кольца a G R найдется такое п, что dn(a) = 0. Исследование таких операторов оказывается связанным со знаменитой проблемой якобиана (см. [117]) и 14-й проблемой Гильберта. Подробнее см. работы М. Нагато, который построил контрпример к 14-й проблеме Гильберта в [118], а также более подробный разбор контекста данной задачи в [119]. В [120] было получено описание локально нильпотентных дифференцирований для коммутативных редуцированных колец без Z-кручения. Из последних результатов, отметим [121] в которой исследуются ядра локально нильпотентных дифференцирований и исследуются их приложения.

Отметим проблему коммутации дифференцирований (известную в литературе как the Commuting Dérivations Conjecture), состоящую в предположении о том, что пересечение ядер коммутирующих линейно независимых локально нильпотентных дифференцирований изоморфно пространству полиномов С[f ], где f - координата. В случае пары дифференцирований данная проблема была частично решена С. Маубахом в [122]. Предложенное решение было обобщено на случай большего числа дифференцирований в [123].

1.4. Методы исследования

В работах [1; 2] был предложен метод исследования дифференцирований в групповых алгебрах при помощи характеров на группоиде присоединенного

действия. Было построено описание алгебры дифференцирований для нильпо-тентных групп ранга 2 и, в частности, для групп Гейзенберга. В дальнейшем эти результаты были развиты на случай полугрупповых алгебр (см. [6]). Было построено описание алгебры внешних дифференцирований в терминах 2-характеров на 2-группоиде и получено описание соответсвующего комплекса для п—категорий. Главный используемый в работе прием состоит в том, что с данной ассоциативной алгеброй Л связывается некоторая категория С. После чего доказывается, что дифференцирования с коэффициентами в кольце К могут быть отождествлены с К—значными характерами на соответствующей категории, т.е. отображениями % : Нот (С) ^ К такими, что для всех пар компонируемых морфизмов ф,^ выполнено свойство

Х(Ф о ф) = Х(Ф) + Х(^).

Под дифференцированиями мы понимаем линейный оператор ё, : Л^ К[А], удовлетворяющий правилу Лейбница

й(аЬ) = (1(а)Ь + ай(Ь), а,Ь £ Л.

Здесь К[Л\ - свободный К—бимодуль над алгеброй Л.

Важным мотивирующим примером является единая конструкция для классических дифференцирований, порожденных ассоциативной структурой, и для дифференциального исчисления в смысле Фокса. Идея состоит в рассмотрении оператора а определенного при помощи характера х на группоиде Г на базисных элементах д £ С по формуле

а : 9 ^ х(^)д.

Тогда при выбора подходящего действия (левыми сдвигами) получаются дифференцирования Фокса, а при выборе действия сопряжениями - классические дифференцирования.

Работа с такими операторами и группоидами действия требует использования не только методов теории категорий, но и теории групп.

В случае алгебр без оснащения топологической структурой, дифференцирования взаимно однозначно отождествляются с т.н. локально-финитными характерами на группоиде присоединенного действия. При этом удобно работать с идеалом квазивнутренних дифференцирований (неформально говоря, это дифференцирования которые представимы в виде бесконечной суммы внутренних) и возникающей фактор алгеброй всех дифференцирований по квазивнутренним - квазивнешним дифференцированиям (эта конструкция была предложена

в [5]).

Структура алгебр внешних и квазивнешних дифференцирований зависит от строения классов сопряженных элементов, от структур централизаторов. При описании структуры возникают и другие инварианты группы, в частности изученный в свое время Столлингсом инвариант - число концов группы. Подробно эту связь мы рассмотрим в главе 4.

Развитие предлагаемого подхода находит разные приложения, которые будут рассмотрены ниже. В частности: алгебры порожденные мальцевскими полугруппами, (а, т)— дифференцирования, дифференцирования над групповыми алгебрами с коэффициентами в конечных полях (последний пример чрезвычайно интересен с точки зрения приложений).

Если оснастить групповую алгебру структурой нормированного пространства, то задача приводит к дифференцированиям со значениями в свободных бимодулях над С [С]. Примечательно, что в последнем случае удается получить достаточно общий результат о тривиальности алгебры квазивнешних дифференцирований (подробнее см. главу 10). С точки зрения описываемого метода это задача об отборе характеров, которые удовлетворяют не условию локальной финитности, а некоторому условию равномерной ограниченности, аналогичному сходимости в £р либо подчиненности супремумной норме.

При работе с псевдодиффернциальными операторами используется символьное исчисление и формальная работа с символами операторов, которая была предложена ранее в работах [16; 17] при исследовании ПДО на некомпактных

многообразиях и развивающий операторное д исчисление Маслова и исчисление с использованием полиномов Лорана, предложенным А.Н. Паршиным.

1.5. Определения и основные результаты

В центре исследования находится отождествление дифференцирований и характеров группоида. Подробное описание пространства характеров на группоиде присоединенного действия дается в разделах 2.2 и 2.3. Также рассматриваются обобщения на другие специальные случаи. Например для полугрупповых алгебр (см. главу 6), для случая (а,т)— дифференцирований (см. главу 9), а также для дифференцирований над конечными группами с коэффициентами в конечных кольцах (см. главу 7). В соответствующих главах мы ради строгости изложения и фиксации удобных для конкретной ситуации обозначений даем определение подходящего группоида и соответствующего пространства характеров. Подчеркнем, что сама конструкция всегда остается прежней. В качестве объектов группоида Г выбираются элементы соответствующей группы, класс морфизмов Нот(а, Ь) между объектами а, Ь определяется подходящим типом действия, зависящим от выбора конкретной алгебраичекой структуры, задающей диффиренцирования. Характерами при этом называется каждое отображение х : Нот(Г) ^ С такое, что х(Ф ° = х(Ф) + х(1Р) для пар компонируемых морфизмов.

Группоид действия и характеры

Сейчас мы дадим наиболее общее понятие группоида, ниже в соответствующих главах мы будем обычно рассматривать частные случаи (например группоид внутреннего действия) вводя соответствующие обозначения. Самый общий случай мы рассмотрим в главе 8.

Пусть Л : С х С ^ С - действие группы на себе. С его помощью определим группоид действия Гд. В качестве объектов возьмем элементы группы С, т.е. ОЪ] (ГЛ) := С. В качестве морфизмов возьмем пары из множества С х С, т.е. Нот (ГА) := С х С. Началом морфизма ф = (т, д) положим объект в(ф) := т,

а в качестве конца 1(ф) := д(т). Иными словами,

Нот (а,Ь) = {(а,д)\д(а) = Ь}.

Эндоморфизмами (иногда будем называть их "петлями") назовем морфизмы у которых совпадает начало и конец. Группа эндоморфизмов вокруг объекта т изоморфна стабилизатору элемента т.

Нот (т,т) = Б1аЬ(т).

Для пары морфизмов р = (т,д\),ф = (т',д2) таких, что т' = д\(т), определим композицию ф о р по формуле

ф о р := (т,д2д1).

Проиллюстрируем это диаграммой

91(т) ^

т -----Я2Я\(т)

фо(р=(т,д2д1)

Ассоциативность композиции следует из ассоциативности умножения в группе. Нейтральный морфизм вокруг объекта т имеет вид (т, е), где е - нейтральный элемент в группе С. Морфизм обратный к (т,а) имеет вид (а(т),а—1). Таким образом Гд - действительно является группоидом.

Для элемента и £ С будем обозначать через [и] множество элементов орбиты относительно действия Л. Множество орбит будем обозначать Сх. Определим субгруппоид Г[м] следующим образом

ОЪ](Г[м]) = [и], Нот (Г[м]) = Нот (а,х), а £ [и], х £ С.

Группоид ГЛ представим в виде несвязного объединения субгруппоидов Г[м].

Т.е.

Гл =11 Гм-

Зададим на группоиде Гд пространство характеров, аналогичное изученному ранее в работах [2; 5; 9]. Пусть имеем некоторое кольцо К. Тогда

Определение 1.5.1. Будем называть функцию х : Нот (Гд) ^ К характером, если для любой пары компонируемых морфизмов ф, ф выполняется

х(ф ° ф) = х(Ф) + х(Ф). (1.5.1)

Иными словами

хМ х(Ф) хЫ+хМ

Формулу (1.5.1) удобно переписать в эквивалентном виде

Х(т,9291) = X(m, 91) + Х(91(т),92). (1.5.2)

Нас будут интересовать в основном локально финитные характеры.

Определение 1.5.2. Назовем характер х локально финитным, если для каждого д € С множество морфизмов ф € Нот (*,д) таких, что х(Ф) = 0 - конечно. Пространство локально финитных характеров со значениями в кольце К будем обозначать X(Гд,К).

Если это не вызывает разночтений, то будем писать коротко X(Гд) или X(Г), если смысл обозначения ясен из контекста.

Обычно мы будем работать со стандартными групповыми алгебрами С [С], т.е. финитными линейными комбинациями х(д)9, где х(^) : С ^ С. Од-

нако также у нас будут встречаться и алгебры над другими кольцами. А именно, пусть К - кольцо, обозначим через Я[С] финитные линейные комбинации х(9)9, где функция х(^) : С ^ К со значениями в кольце К.

25

Характеры и дифференцирования

Отождествление дифференцирований и характеров каждый раз достигается построением явной формулы. В случае с дифференцированиями в групповой алгебре соответствующее представление задается формулой (2.3.3)

деС \к£С )

^) = Е( Е<ЛЧ 9

д£С

При этом корректность сопоставления доказывается следующим утверждением.

Теорема 2.3.1 Для дифференцирования (1 отображение хл

Хй(Ф(9,Ь)) :=

является локально финитным характером.

Упомянутое условие локальной финитности (см. определение 2.3.2) гарантирует "попадание" образа дифференцирования (1 в групповую алгебру, т.е. конечность числа слагаемых в правой части формулы.

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Арутюнов Андроник Арамович, 2023 год

Список литературы

1. Арутюнов А. А., Мищенко А. С., Штерн А. И. Деривации групповых алгебр // Фундаментальная и прикладная математика. — 2016. — Т. 21, № 6. — С. 65—78. — ISSN 1560-5159. — URL: http://mi.mathnet.ru/fpm1768.

2. Арутюнов А. А., Мищенко А. С. Гладкая версия проблемы Джонсона о деривациях групповых алгебр // Математический сборник. — 2019. — Т. 210, № 6. — С. 3—29. — ISSN 0368-8666. — DOI: 10.4213/sm9119.

3. Arutyunov A. Derivations in group algebras and combinatorial invariants of groups // European Journal of Mathematics. — 2023. — Vol. 9, no. 2. — Art. 39. — ISSN 2199-675X. — DOI: 10.1007/s40879-023-00642-z.

4. Arutyunov A. A. On derivations associated with different algebraic structures in group algebras // Eurasian Mathematical Journal. — 2018. — Vol. 9, no. 3. — P. 8-13. — ISSN 2077-9879. — DOI: 10.32523/2077-9879-2018-9-38-13.

5. Arutyunov A., Alekseev A. Cohomology of n-categories and derivations in group algebras // Topology and its Applications. — 2019. — Vol. 275. — Art. 107002. — ISSN 0166-8641. — DOI: 10.1016/j.topol.2019.107002.

6. Арутюнов А. А. Алгебра дифференцирований в некоммутативных групповых алгебрах // Труды Математического института имени В. А. Стек-лова / под ред. С. М. Асеева, А. А. Давыдова, Г. П. Панасенко. — 2020. — Т. 308: Дифференциальные уравнения и динамические системы. — С. 28— 41. — ISSN 0371-9685. — DOI: 10.4213/tm4048.

7. Арутюнов А. А. Комбинаторное описание дифференцирований в групповых алгебрах // Известия высших учебных заведений. Математика. — 2020. — Т. 12. — С. 74—81. — ISSN 0021-3446. — DOI: 10.26907/00213446-2020-12-74-81. — URL: http://mi.mathnet.ru/ivm9636.

8. Arutyunov A. A., Alekseev A. V. Derivations in semigroup algebras // Eurasian Mathematical Journal. — 2020. — Vol. 11, no. 2. — P. 9-18. — ISSN 20779879. — DOI: 10.32523/2077-9879-2020-11-2-09-18.

9. Arutyunov A. A., Kosolapov L. M. Derivations of group rings for finite and FC groups // Finite Fields and Their Applications. — 2021. — Vol. 76. — Art. 101921. — ISSN 1071-5797. — DOI: 10 . 1016/j . ffa. 2021. 101921. — arXiv: 2102.00829 [math.RA].

10. Арутюнов А. А. О дифференцированиях в групповых алгебрах и других алгебраических структурах // Вестник российских университетов. Математика. — 2022. — Т. 27, № 140. — С. 305—317. — ISSN 2686-9667. — DOI: 10 . 20310/2686- 9667- 2022-27- 140-305-317. — URL: http : / /mi . mathnet.ru/vtamu267.

11. Arutyunov A. A., Naianzin A. V. Nontrivial outer derivations in bimodules over group rings // Eurasian Mathematical Journal. — 2022. — Т. 13, № 4. — С. 8—17. — DOI: 10 . 32523 / 2077 - 9879 - 2022 - 13 - 4 - 08 - 17. — URL: https://www.mathnet.ru/rus/emj450.

12. Arutyunov A. A. On a pseudodifferentional calculation in group algebras // Advances in Systems Science and Applications. — 2022. — Vol. 22, no. 4. — P. 11-18.— ISSN 1078-6236. — DOI: 10.25728/assa.2022.22.4.1342.

13. Арутюнов А. А. Категорный подход к исследованию дифференцирований в групповых алгебрах // Вестник российских университетов. Математика. — 2023. — Т. 28, № 142. — С. 1—12. — ISSN 2686-9667. — DOI: 10.20310/2686-9667-2023-28-142-125-136.

14. Arutyunov A. A., Zhukovskiy S. E. Existence of the n-th root in finite-dimensional power-associative algebras over reals // Eurasian Mathematical Journal. — 2017. — Vol. 8, no. 3. — P. 28-35. — ISSN 2077-9879. — URL: http://mi. mathnet.ru/emj263.

15. Arutyunov A., Liou Y.-C. On a method of reducing partial differential equations to solving the ODEs // Journal of Nonlinear and Convex Analysis. — 2016. — Vol. 17, no. 4. — P. 787-790. — ISSN 1345-4773. — URL: http : //www.yokohamapublishers.jp/online2/opjnca/vol17/p787.html.

16. Арутюнов А. А. Редукция нелокальных псевдодифференциальных операторов на некомпактном многообразии к классическим псевдодифференциальным операторам на компактном многообразии удвоенной размерности // Математические заметки. — 2015. — Т. 97, № 4. — С. 493—502. — ISSN 0025-567X. — DOI: 10.4213/mzm10523.

17. Арутюнов А. А., Мищенко А. С. Редукция исчисления псевдодифференциальных операторов на некомпактном многообразии к исчислению на компактном многообразии удвоенной размерности // Математические заметки. — 2013. — Т. 94, № 4. — С. 488—505. — ISSN 0025-567X. — DOI: 10.4213/mzm10318.

18. Арутюнов А. А., Мищенко А. С. Редукция ПДО исчисления на некомпактном многообразии к компактному многообразию удвоенной размерности // Доклады Академии наук. — 2013. — Т. 451, № 4. — С. 369— 373. — ISSN 0869-5652. — DOI: 10.7868/S0869565213220040. — URL: http: //mi.mathnet.ru/dan24814.

19. Арутюнов А. А. Дифференциальные исчисления на групповых алгерах // Математические заметки. — 2023. — Т. 114, № 2. — С. 163—180. — ISSN 0025-567X. — DOI: 10.4213/mzm13873. — URL: https://www.mathnet.ru/ rus/mzm13873.

20. Арутюнов А. А. Дифференциальные исчисления в групповых алгебрах : пер. с рус. // Известия вузов. Математика. — 2023. — № 6. — С. 89—94. —

DOI: 10 . 26907 / 0021 - 3446 - 2023 - 6 - 89 - 94. — URL: https : / / www . elibrary.ru/item.asp?id=54083919.

21. Arutyunov A. A combinatorial view on derivations in bimodules // Advances in Systems Science and Applications. — 2023. — Vol. 23, no. 2. — P. 178183. — ISSN 1078-6236. — DOI: 10.25728/assa.2023.23.2.1408. — URL: https://ijassa.ipu.ru/index.php/ijassa/article/view/1408.

22. Alekseev A., Arutyunov A., Silvestrov S. On (a, r)-derivations of group algebra as category characters // Non-Commutative and Non-Associative Algebra and Analysis Structures : в 426 т. — Springer Cham, 2023. — Гл. 5. С. 1—19. — (Springer Proceedings in Mathematics & Statistics). — ISBN 978-3-031-320095. — arXiv: 2008 . 00390. — URL: https : //link. springer . com/book/ 9783031320088.

23. Arutyunov A., Zhiltsov I. Grading Structure for Derivations of Group Algebras. — 2023. — DOI: 10 . 48550/ARXIV. 2308. 00512. — URL: https : //arxiv. org/ abs/2308.00512.

24. Арутюнов А. А., Ершов А. В. Дополнительные задачи по линейной алгебре. — Москва : МЦНМО, 2020. — 256 с. — ISBN 978-5-4439-1549-4.

25. Арутюнов А. А., Сергеев И. И. Псевдодифференциальные операторы : учебно-методическое пособие. — МФТИ, 2021. — 48 с.

26. Dales H. G. Banach algebras and automatic continuity. — Oxford ; New York : Oxford University Press, 2000. — xviii, 907 p. — (London Mathematical Society monographs ; new series ; 24). — ISBN 978-0-19-850013-1.

27. Johnson B. E. Cohomology in Banach algebras. — 1972. — DOI: 10. 1090/ memo/0127.

28. Johnson B. E. The derivation problem for group algebras of connected locally compact groups // Journal of the London Mathematical Society. — 2001. — Vol. 63, no. 2. — P. 441-452. — ISSN 0024-6107. — DOI: 10. 1112/ S002461070000185X.

29. Chaudhuri D. (a, ^-Derivations of group rings // Communications in Algebra. — 2019. — Vol. 47, no. 9. — P. 3800-3807. — ISSN 0092-7872. — DOI: 10.1080/00927872.2019.1570238.

30. Nagumo M. Einige analytische Untersuchungen in linearen, metrischen Ringen // Japanese Journal of Mathematics. — 1936. — Vol. 13. — P. 61-80. — ISSN 0075-3432. — DOI: 10.4099/jjm1924.13.0_61.

31. Gelfand I. Normierte Ringe // Математический сборник. — 1941. — Т. 9(51), № 1. — С. 3—24. — ISSN 0368-8666. — URL: http : / /mi . mathnet . ru/ msb6046.

32. Gelfand I., Neumark M. On the imbedding of normed rings into the ring of operators in Hilbert space // Математический сборник. — 1943. — Т. 12(54), № 2. — С. 197—217. — ISSN 0368-8666. — URL: http ://mi . mathnet. ru/ msb6155.

33. Kaplansky I. Modules over operator algebras // American Journal of Mathematics. — 1953. — Vol. 75, no. 4. — P. 839-858. — ISSN 0002-9327. — DOI: 10.2307/2372552.

34. Kaplansky I. Projections in Banach algebras // Annals of Mathematics. — 1951. — Vol. 53, no. 2. — P. 235-249. — (2nd ser.) — ISSN 0003-486X. — DOI: 10.2307/1969540.

35. Sakai S. On a conjecture of Kaplansky // Tohoku Mathematical Journal. — 1960. — Vol. 12, no. 1. — P. 31-33. — (2nd ser.) — ISSN 0040-8735. — DOI: 10.2748/tmj/1178244484.

36. Sakai S. Derivations of W*-algebras // Annals of Mathematics. — 1966. — Vol. 83, no. 2. — P. 273-279. — (2nd ser.) — ISSN 0003-486X. — DOI: 10. 2307/1970432.

37. Sakai S. Derivations of simple С*-algebras // Journal of Functional Analysis. — 1968. — Vol. 2, no. 2. — P. 202-206. — ISSN 0022-1236. — DOI: 10.1016/0022-1236(68)90017-7.

38. Sakai S. C*-algebras and W*-algebras. — Berlin ; New York : Springer-Verlag, 1971. — xii, 256 p. — (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete ; 60). — ISBN 978-0-387-05347-9. — DOI: 10.1007/978-3-642-61993-9.

39. Derivations and multipliers of C*-algebras / C. A. Akemann [et al.] // American Journal of Mathematics. — 1976. — Vol. 98, no. 3. — P. 679-708. — ISSN

0002-9327. — DOI: 10.2307/2373812.

40. Akemann C. A., Pedersen G. K. Central sequences and inner derivations of separable C*-algebras // American Journal of Mathematics. — 1979. — Vol. 101, no. 5. — P. 1047-1061. — ISSN 0002-9327. — DOI: 10.2307/2374125.

41. Johnson B. E., Sinclair A. M. Continuity of derivations and a problem of Kaplansky // American Journal of Mathematics. — 1968. — Vol. 90, no. 4. — P. 1067-1073. — ISSN 0002-9327. — DOI: 10.2307/2373290.

42. Elliott G. A. Some C*-algebras with outer derivations. III // Annals of Mathematics. — 1977. — Vol. 106, no. 1. — P. 121-143. — (2nd ser.) — ISSN

0003-486X. — DOI: 10.2307/1971162.

43. Pedersen G. K. C*-algebras and their automorphism groups / ed. by S. Eilers, D. Olesen. — 2nd ed. — Academic Press, 2018. — (Pure and applied mathematics). — ISBN 978-0-12-814122-9. — DOI: 10.1016/C2016-0-03431-9.

44. Sakai S. Operator algebras in dynamical systems : the theory of unbounded derivations in C*-algebras. — Cambridge ; New York : Cambridge University Press, 1991. —xi, 219 p. — (Encyclopedia of mathematics and its applications ; 41). — ISBN 978-0-521-40096-1. — DOI: 10.1017/CBÛ9780511662218.

45. Kaplansky I. Derivations of Banach algebras // Seminars on analytic functions. Vol. 2 (Conference on analytic functions, Institute for Advanced Study, Sept. 214, 1957). — Princeton, NJ : Princeton Univ. Press, 1958. — P. 254-258. — HDL: 20.500.12111/8022.

46. Kadison R. V. Derivations of operator algebras // Annals of Mathematics. — 1966. — Vol. 83, no. 2. — P. 280-293. — (2nd ser.) — ISSN 0003-486X. — DOI: 10.2307/1970433.

47. Kadison R. V., Ringrose J. R. Derivations of operator group algebras // American Journal of Mathematics. — 1966. — Vol. 88, no. 3. — P. 562-576. — ISSN 0002-9327. — DOI: 10.2307/2373142.

48. Kadison R. V., Ringrose J. R. Derivations and automorphisms of operator algebras // Communications in Mathematical Physics. — 1967. — Vol. 4, no. 1. — P. 32-63. — ISSN 0010-3616. — DOI: 10.1007/BF01645176.

49. Johnson B. E., Ringrose J. R. Derivations of operator algebras and discrete group algebras // Bulletin of the London Mathematical Society. — 1969. — Vol. 1, no. 1. —P. 70-74.— ISSN 0024-6093. — DOI: 10.1112/blms/1.1.70.

50. Losert V. The derivation problem for group algebras // Annals of Mathematics. — 2008. — Vol. 168, no. 1. — P. 221-246. — ISSN 0003-486X. — DOI: 10.4007/annals.2008.168.221.

51. Johnson B. E, Parrott S. K. Operators commuting with a von Neumann algebra modulo the set of compact operators // Journal of Functional Analysis. — 1972. — Vol. 11, no. 1. — P. 39-61. — ISSN 0022-1236. — DOI: 10.1016/0022-1236(72)90078-X.

52. Popa S. The commutant modulo the set of compact operators of a von Neumann algebra // Journal of Functional Analysis. — 1987. — Vol. 71, no. 2. — P. 393-408. — ISSN 0022-1236. — DOI: 10.1016/0022-1236(87)90011-5.

53. Derivations with values in ideals of semifinite von Neumann algebras / A. Ber [et al.] // Journal of Functional Analysis. — 2017. — Vol. 272, no. 12. — P. 4984-4997. — ISSN 0022-1236. — DOI: 10.1016/j.jfa.2017.02.010.

54. Huang J. Derivations with values into ideals of a semifinite von Neumann algebra : DSc thesis / Huang Jinghao. — Sydney : UNSW, 07/2019. — DOI: 10.26190/unsworks/21407.— HDL: 1959.4/63344.

55. Non-existence of translation-invariant derivations on algebras of measurable functions / A. Ber [et al.] // Quaestiones Mathematicae. — 2023. — Vol. 46, no. 5. — P. 909-926. — ISSN 1607-3606. — DOI: 10.2989/16073606.2022. 2053225. — arXiv: 2002.00590 [math.FA].

56. Helemskii A. Y. The homology of Banach and topological algebras / trans. from the Russian by A. West. — Dordrecht ; Boston : Kluwer Academic Publishers, 1989. —xx, 334 p. — (Mathematics and its applications ; 41). — ISBN 978-0-7923-0217-9. — DOI: 10.1007/978-94-009-2354-6.

57. Helemskii A. Y. Banach and locally convex algebras / trans. from the Russian by A. West. — New York : Oxford University Press, 1993. — xv, 446 p. — ISBN 978-0-19-853578-2.

58. Hochschild G. On the cohomology groups of an associative algebra // Annals of Mathematics. — 1945. — Vol. 46, no. 1. — P. 58-67. — (2nd ser.) — ISSN 0003-486X. — DOI: 10.2307/1969145.

59. Hochschild G., Kostant B., Rosenberg A. Differential forms on regular affine algebras // Transactions of the American Mathematical Society. — 1962. — Vol. 102, no. 3. — P. 383-408. — ISSN 0002-9947. — DOI: 10.1090/S0002-9947-1962-0142598-8.

60. Witherspoon S. J. Hochschild cohomology for algebras. — Providence, RI : American Mathematical Society, 2019. — xi, 250 p. — (Graduate studies in mathematics ; 204). — ISBN 978-1-4704-4931-5. — DOI: 10.1090/gsm/204. — URL: https://people.tamu.edu/~sjw/pub/gsm204.pdf.

61. Burghelea D. The cyclic homology of the group rings // Commentarii Math-ematici Helvetici. — 1985. — Vol. 60. — P. 354-365. — ISSN 0010-2571. — DOI: 10.1007/BF02567420.

62. Burghelea D. Note on the conjugacy classes of elements and their centralizers for the free product of two groups. — 2023. — DOI: 10.48550/ARXIV. 2301. 10683. — URL: https://arxiv.org/abs/2301.10683.

63. Mishchenko A. S. Derivations of Group Algebras and Hochschild cohomology // Differential Equations on Manifolds and Mathematical Physics : Dedicated to the Memory of Boris Sternin / ed. by V. M. Manuilov [et al.]. — Birkhauser, 2020. — P. 263-272. — (Trends in Mathematics). — ISBN 978-

3-030-37325-2. — DOI: 10. 1007/978-3-030-37326-9_16. — arXiv: 1811. 02439 [math.RT].

64. Mishchenko A. S. Geometric description of the Hochschild Cohomology of group algebras // Topology, geometry, and dynamics : V. A. Rokhlin-memorial (St. Petersburg, Aug. 19-23, 2019). — Providence, RI : American Mathematical Society, 2021. — P. 267-280. — (Contemporary Mathematics ; 772). — ISBN 978-1-4704-5664-1. — DOI: 10.1090/conm/772.

65. Mishchenko A. S. Description of outer derivations of the group algebras // Topology and its Applications. — 2021. — Vol. 275. — Art. 107013. — ISSN 0166-8641. — DOI: 10.1016/j.topol.2019.107013.

66. Simion I. I., Todea C. Hochschild cohomology of some finite category algebras as simplicial cohomology // Mathematical Notes. — 2022. — Vol. 112, no. 5. — P. 741-754. — ISSN 0001-4346. — DOI: 10. 1134/S0001434622110104. — URL: http://mi.mathnet.ru/mzm13610.

67. Lorentz M, Willett R. Bounded derivations on uniform Roe algebras // Rocky Mountain Journal of Mathematics. — 2020. — Vol. 50, no. 5. — P. 17471758. — ISSN 0035-7596. — DOI: 10 . 1216/rmj . 2020 . 50 . 1747. — arXiv: 2002.01532 [math.OA].

68. Manuilov V. On Hochschild homology of uniform Roe algebras with coefficients in uniform Roe bimodules // Analysis and Mathematical Physics. — 2022. — Vol. 12, no. 3. — Art. 81. — ISSN 1664-2368. — DOI: 10.1007/s13324-022-00688-4. — arXiv: 2201.06488 [math.OA].

69. Smith M. K. Derivations of group algebras of finitely-generated, torsion-free, nilpotent groups // Houston Journal of Mathematics. — 1978. — Vol. 4, no. 2. — P. 277-288. — ISSN 0362-1588. — URL: https://www.math.uh.edu/ ~hjm/vol04-2.html.

70. Spiegel E. Derivations of integral group rings // Communications in Algebra. — 1994. — Vol. 22, no. 8. — P. 2955-2959. — ISSN 0092-7872. — DOI: 10.1080/00927879408825003.

71. Boucher D., Ulmer F. Linear codes using skew polynomials with automorphisms and derivations // Design, Codes and Cryptography. — 2014. — Vol. 70, no. 3. — P. 405-431. — ISSN 0925-1022. — DOI: 10.1007/s10623-012-9704-4. — HAL: hal-00597127.

72. Creedon L, Hughes K. Derivations on group algebras with coding theory applications // Finite Fields and Their Applications. — 2019. — Vol. 56. — P. 247-265. — ISSN 1071-5797. — DOI: 10.1016/j.ffa.2018.11.005.

73. Artemovych O. D., Bovdi V. A., Salim M. A. Derivations of group rings // Acta Scientiarum Mathematicarum. — 2020. — Vol. 86, no. 1/2. — P. 5172. — ISSN 0001-6969. — DOI: 10. 14232/actasm-019-664-x. — arXiv: 2003.01346 [math.RA].

74. A study on special kinds of derivations in ordered hyperrings / Y. Rao [et al.] // Symmetry. — 2022. — Vol. 14, no. 10. — Art. 2205. — ISSN 2073-8994. — DOI: 10.3390/sym14102205.

75. Ore O. Theory of non-commutative polynomials // Annals of Mathematics. — 1933. — Vol. 34, no. 3. — P. 480-508. — (2nd ser.) — ISSN 0003-486X. — DOI: 10.2307/1968173.

76. Kharchenko V. K. Automorphisms and derivations of associative rings / trans. from the Russian by L. Yuzina. — 1991. — DOI: 10.1007/978-94-011-36044.

77. Бокуть Л. А., Львов И. В., Харченко В. К. Некоммутативные кольца. — 1987. — URL: http://mi.mathnet.ru/intf87.

78. Cohn P. M. Difference algebra. — New York : Interscience Publishers, 1965. — xiv, 355 p. — (Interscience tracts in pure and applied mathematics ; 17).

79. Cohn P. M. Skew field constructions. — Cambridge ; New York : Cambridge University Press, 1977. —xii, 253 p. — (London Mathematical Society lecture note series ; 27). — ISBN 978-0-521-21497-1.

80. Goodearl K. R., Warfield R. B. An introduction to noncommutative noethe-rian rings. — Cambridge ; New York : Cambridge University Press, 1989. — (London Mathematical Society student texts ; 16). — ISBN 978-0-521-360869. — DOI: 10.1017/CBQ9780511841699.

81. Jordan D. A. Iterated skew polynomial rings and quantum groups // Journal of Algebra. — 1993. — Vol. 156, no. 1. — P. 194-218. — ISSN 0021-8693. — DOI: 10.1006/jabr.1993.1070.

82. Kac V., Cheung P. Quantum calculus. — New York : Springer, 2002. — ix, 112 p. — (Universitext). — ISBN 978-0-387-95341-0. — DOI: 10.1007/9781-4613-0071-7.

83. Kassel C. Quantum groups. — New York : Springer-Verlag, 1995. — xii, 531 p. — (Graduate texts in mathematics ; 155). — ISBN 978-0-387-943701. — DOI: 10.1007/978-1-4612-0783-2.

84. Lam T. Y, Leroy A. Algebraic conjugacy classes and skew polynomial rings // Perspectives in ring theory : Proceedings of the NATO Advanced Research Workshop on Perspectives in Ring Theory (Antwerp, Belgium, July 19-29, 1987) / ed. by F. van Oystaeyen, L. Le Bruyn. — Kluwer Academic Publishers, 1988. — P. 153-203. — (NATO ASI series. Series C, Mathematical and physical sciences ; 233). — ISBN 978-94-010-7841-2. — DOI: 10. 1007/978-94-009-2985-2_15.

85. Hartwig J. T, Larsson D., Silvestrov S. D. Deformations of Lie algebras using ^-derivations // Journal of Algebra. — 2006. — Vol. 295, no. 2. — P. 314361. — ISSN 0021-8693. — DOI: 10.1016/j.jalgebra.2005.07.036.

86. Larsson D., Silvestrov S. D. Quasi-deformations of sl2(F) using twisted derivations // Communications in Algebra. — 2007. — Vol. 35, no. 12. — P. 43034318. — ISSN 0092-7872. — DOI: 10.1080/00927870701545127.

87. Manin Y. I. Topics in non-commutative geometry. — Princeton, NJ : Princeton University Press, 1991. — 163 p. — (Porter lectures). — ISBN 978-0-691-085883. — JSTOR: j.ctt7ztvn8.

88. Rosenberg A. R. Noncommutative algebraic geometry and representations of quantized algebras. — Dordrecht ; Boston : Kluwer Academic Publishers, 1995. — xii, 322 p. — (Mathematics and its applications ; 330). — ISBN 978-0-7923-3575-7. — DOI: 10.1007/978-94-015-8430-2.

89. McConnell J. C., Robson J. C. Noncommutative noetherian rings. — Providence, RI : American Mathematical Society, 2001. — (Graduate studies in mathematics ; 30). — ISBN 978-0-8218-2169-5. — DOI: 10.1090/gsm/030.

90. Larsson D., Silvestrov S. D. Quasi-hom-Lie algebras, central extensions and 2-cocycle-like identities // Journal of Algebra. — 2005. — Vol. 288, no. 2. — P. 321-344. — ISSN 0021-8693. — DOI: 10.1016/j.jalgebra.2005.02.032.

91. Brackets with (r, a)-derivations and (p, g)-deformations of Witt and Virasoro algebras / O. Elchinger [et al.] // Forum Mathematicum. — 2016. — Vol. 28, no. 4. — P. 657-673. — ISSN 0933-7741. — DOI: 10.1515/forum-2014-0132.

92. Song G., Xia C. Simple deformed Witt algebras // Algebra Colloquium. — 2011. — Vol. 18, no. 3. — P. 533-540. — ISSN 1005-3867. — DOI: 10. 1142/ S1005386711000411.

93. Song G, Wu Y, Xin B. The ^-derivations of C[x±1, y±1] // Algebra Colloquium. — 2015. — Vol. 22, no. 2. — P. 251-258. — ISSN 1005-3867. — DOI: 10.1142/S100538671500022X.

94. Gordji M. E. A characterization of (a, r)-derivations on von Neumann algebras // University POLITEHNICA of Bucharest Scientific Bulletin, Series A: Applied Mathematics and Physics. — 2011. — Vol. 73, no. 1. — P. 111116. — ISSN 1223-7027. — arXiv: 0903.0830 [math.OA]. — URL: https : //www.scientificbulletin.upb.ro/rev_docs_arhiva/full64748.pdf.

95. Fox R. H. Free differential calculus. I : Derivation in the free group ring // Annals of Mathematics. — 1953. — Vol. 57, no. 3. — P. 547-560. — (2nd ser.) — ISSN 0003-486X. — DOI: 10.2307/1969736.

96. Fox R. H. Free differential calculus. II : The isomorphism problem of groups // Annals of Mathematics. — 1954. — Vol. 59, no. 2. — P. 196-210. — (2nd ser.) — ISSN 0003-486X. — DOI: 10.2307/1969686.

97. Fox R. H. Free differential calculus. III : Subgroups // Annals of Mathematics. — 1956. — Vol. 64, no. 3. — P. 407-419. — (2nd ser.) — ISSN 0003-486X. — DOI: 10.2307/1969592.

98. Chen K. T., Fox R. H, Lyndon R. C. Free differential calculus. IV : The quotient groups of the lower central series // Annals of Mathematics. — 1958. — Vol. 68, no. 1. — P. 81-95. — (2nd ser.) — ISSN 0003-486X. — DOI: 10 . 2307/1970044.

99. Fox R. H. Free differential calculus. V : The Alexander matrices re-examined // Annals of Mathematics. — 1960. — Vol. 71, no. 3. — P. 408-422. — (2nd ser.) — ISSN 0003-486X. — DOI: 10.2307/1969936.

100. Crowell R. H, Fox R. H. Introduction to knot theory. — Springer, 1977. — x, 182 p. — (Graduate texts in mathematics ; 57). — ISBN 978-1-4612-9937-0. — DOI: 10.1007/978-1-4612-9935-6.

101. Massuyeau G., Turaev V. Quasi-Poisson structures on representation spaces of surfaces // International Mathematics Research Notices. — 2014. — Vol. 2014, no. 1. — P. 1-64. — ISSN 1073-7928. — DOI: 10.1093/imrn/rns215. — arXiv: 1205.4898 [math.GT].

102. Кабанов А. Н., Романьков В. А. Строго неручные примитивные элементы свободной метабелевой алгебры Ли ранга 3 // Сибирский математический журнал. — 2009. — Т. 50, № 1. — С. 82—95. — ISSN 0037-4474. — URL: http://mi.mathnet.ru/smj1939.

103. Roman'kov V. Superpositions of free Fox derivations // Прикладная и дискретная математика. — 2022. — № 56. — С. 28—32. — ISSN 2071-0410. — DOI: 10.17223/20710410/56/3.

104. Паршин А. Н. О кольце формальных псевдодифференциальных операторов // Труды Математического института имени В. А. Стеклова / под ред. Е. Ф. Мищенко. — 1999. — Т. 224: Алгебра. Топология. Дифференциальные уравнения и их приложения. — С. 291—305. — ISSN 0371-9685. — URL: http://mi.mathnet.ru/tm706.

105. Джумадильдаев А. С. Дифференцирования и центральные расширения алгебры Ли формальных псевдодифференциальных операторов // Алгебра и анализ. — 1994. — Т. 6, № 1. — С. 140—158. — ISSN 0234-0852. — URL: http://mi.mathnet.ru/aa429.

106. Zheglov A. Schur-Sato theory for quasi-elliptic rings // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. — 2023. — Vol. 320: Algebra and arithmetic, algebraic, and complex geometry. — P. 115-160. — ISSN 0081-5438. — DOI: 10. 1134/S0081543823010078. — arXiv: 2205.06790 [math.AG]. — URL: http://mi.mathnet.ru/tm4300.

107. Beltran J., Reyes E. G. Formal pseudodifferential operators in one and several variables, central extensions, and integrable systems // Advances in Mathematical Physics. — 2015. — Vol. 2015. — Art. 210346. — ISSN 1687-9120. — DOI: 10.1155/2015/210346.

108. Маслов В. П. Операторные методы. — Москва : Наука, 1973. — 544 с.

109. Шубин М. А. Псевдодифференциальные операторы и спектральная теория. — 2-е изд. — Москва : Добросвет, 2005. — 312 с. — ISBN 978-5-79130054-6. — URL: https://www.mccme.ru/free-books/shubin.pdf.

110. Atiyah M. F., Singer I. M. The index of elliptic operators on compact manifolds // Bulletin of the American Mathematical Society. — 1963. — Vol. 69, no. 3. — P. 422-433. — ISSN 0273-0979. — DOI: 10. 1090 / S0002-9904-1963-10957-X.

111. Atiyah M. F., Singer I. M. The index of elliptic operators. I // Annals of Mathematics. — 1968. — Vol. 87, no. 3. — P. 484-530. — ISSN 0003-486X. — DOI: 10.2307/1970715.

112. Herstein I. N. Sui commutator degli anelli semplici // Rendiconti del Seminario Matematico e Fisico di Milano. — 1963. — Vol. 33. — P. 80-86. — ISSN 0370-7377. — DOI: 10.1007/BF02923236.

113. Kharchenko V. K. Differential identities of prime rings // Algebra and Logic. — 1978. — Vol. 17, no. 2. — P. 155-168. — ISSN 0002-5232. — DOI: 10.1007/ BF01670115.

114. Kharchenko V. K. Differential identities of semiprime rings // Algebra and Logic. — 1979. — ^hb. — T. 18, № 1. — C. 58—80. — DOI: 10 . 1007/ bf01669313. — URL: https://doi.org/10.1007/bf01669313.

115. Grzeszczuk P. On nilpotent derivations of semiprime rings // Journal of Algebra. — 1992. — Vol. 149, no. 2. — P. 313-321. — ISSN 0021-8693. — DOI: 10.1016/0021-8693(92)90018-H.

116. Chuang C.-L., Lee T.-K. Nilpotent derivations // Journal of Algebra. — 2005. — Vol. 287, no. 2. — P. 381-401. — ISSN 0021-8693. — DOI: 10 . 1016/j.jalgebra.2005.02.010.

117. Wright D. On the Jacobian conjecture // Illinois Journal of Mathematics. — 1981. — Vol. 25, no. 3. — P. 423-440. — ISSN 0019-2082. — DOI: 10.1215/ ijm/1256047158.

118. Nagata M. On the fourteenth problem of Hilbert // Proceedings of the International Congress of Mathematicians (Edinburgh, Aug. 14-21, 1958) / ed. by J. A. Todd. — Cambridge University Press, 1960. — P. 459-462. — URL: https://www.mathunion.org/icm/proceedings/1958.

119. Nagata M. Lectures on the fourteenth problem of Hilbert. — Bombai : Tata Institute of Fundamental Research, 1965. — (Lectures on mathematics ; 31). — URL: http://www.math.tifr.res.in/~publ/ln/tifr31.pdf.

120. Ferrero M., Lequain Y., Nowicki A. A note on locally nilpotent derivations // Journal of Pure and Applied Algebra. — 1992. — Vol. 79, no. 1. — P. 45-50. — ISSN 0022-4049. — DOI: 10.1016/0022-4049(92)90125-Y.

121. Daigle D. Locally nilpotent derivations and the structure of rings // Journal of Pure and Applied Algebra. — 2020. — Vol. 224, no. 4. — Art. 106201. — ISSN 0022-4049. — DOI: 10.1016/j.jpaa.2019.106201.

122. Maubach S. The commuting derivations conjecture // Journal of Pure and Applied Algebra. — 2003. — Vol. 179, no. 1/2. — P. 159-168. — ISSN 00224049. — DOI: 10.1016/S0022-4049(02)00198-6.

123. Li J., Du X. Pairwise commuting derivations of polynomial rings // Linear Algebra and its Applications. — 2012. — Vol. 436, no. 7. — P. 2375-2379. — ISSN 0024-3795. — DOI: 10.1016/j.laa.2011.10.007.

124. Robinson D. J. S. Finiteness conditions and generalized soluble groups : Part 1. — Berlin : Springer-Verlag, 1972. — (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete ; 62). — ISBN 978-3-540-05620-1. — DOI: 10. 1007/978-3662-07241-7.

125. Ершов А. В. Категории и функторы. — Саратов : Наука, 2012. — 88 с. — ISBN 978-5-9999-1223-7.

126. Ibort A., Rodriguez M. A. An introduction to groups, groupoids and their representations. — Boca Raton : CRC Press/Taylor & Francis Group, 2019. — xviii, 343 p. — ISBN 978-1-138-03586-7. — DOI: 10.1201/b22019.

127. Corwin L, Ne'eman Y, Sternberg S. Graded Lie algebras in mathematics and physics (Bose-Fermi symmetry) // Rev. Mod. Phys. — 1975. — Июль. — Т. 47, вып. 3. — С. 573—603. — DOI: 10. 1103/RevModPhys . 47 . 573. — URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/RevModPhys.47.573.

128. Merkulov S., Vallette B. Deformation theory of representations of prop(erad)s I // Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal). — 2009. — Янв. — Т. 2009, № 634. — DOI: 10.1515/crelle.2009.069. — URL: https://doi.org/10.1515/crelle.2009.069.

129. Yadav R. B. Cohomology and deformation of an associative superalgebra // Algebra and Discrete Mathematics. — 2023. — Т. 35, № 1. — С. 86—110. — ISSN

2415-721X. — DOI: http://dx.doi.org/10.12958/adm2020. — URL: https: //admjournal.luguniv.edu.ua/index.php/adm/article/view/2020.

130. Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп / под ред. В. Н. Ремес-ленникова, В. А. Романькова ; пер. с англ. Ю. А. Бахтурина. — Москва : Мир, 1980. — 447 с. — Google Books: nDF3GwAACAAJ.

131. Roe J. Lectures on coarse geometry. — Providence, RI : American Mathematical Society, 2003. — vii, 175 p. — (University lecture series ; 31). — ISBN 978-0-8218-3332-2. — DOI: 10.1090/ulect/031.

132. Holt D. GAP package kbmag. — 2022. — URL: https ://www. gap-system. org/Packages/kbmag.html.

133. Модуль Райдо. — Медиагруппа Апокриф, 2023. — URL: https://apocryphe. ru/raido/.

134. Hopf H. Enden offener Räume und unendliche diskontinuierliche Gruppen // Commentarii Mathematici Helvetici. — 1943. — Jg. 16. — S. 81-100. — ISSN 0010-2571. — DOI: 10.1007/BF02568567.

135. Halin R. Über unendliche Wege in Graphen // Mathematische Annalen. — 1964. — Jg. 157, Nr. 2. — S. 125-137. — ISSN 0025-5831. — DOI: 10.1007/ BF01362670.

136. Diestel R. A short proof of Halin's grid theorem // Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg. — 2004. — Vol. 74. — P. 237-242. — ISSN 0025-5858. — DOI: 10 . 1007 / BF02941538. — URL: https://www.math.uni-hamburg.de/home/diestel/papers/HalinGrid. pdf.

137. Möller R. G. Accessibility and ends of graphs // Journal of Combinatorial Theory, Series B. — 1996. — Vol. 66, no. 2. — P. 303-309. — ISSN 00958956. — DOI: 10.1006/jctb.1996.0023.

138. Dunwoody M. J. Inaccessible groups and protrees // Journal of Pure and Applied Algebra. — 1993. — Vol. 88, no. 1-3. — P. 63-78. — ISSN 0022-4049. — DOI: 10.1016/0022-4049(93)90013-J.

139. Thomassen C., Woess W. Vertex-transitive graphs and accessibility // Journal of Combinatorial Theory, Series B. — 1993. — Vol. 58, no. 2. — P. 248-268. — ISSN 0095-8956. — DOI: 10.1006/jctb.1993.1042.

140. Горчаков Ю. М. Группы с конечными классами сопряженных элементов. — Москва : Наука, 1978. — 120 с. — (Современная алгебра). — Google Books: 9G75zQEACAAJ.

141. Pierce R. S. Associative algebras. — New York : Springer-Verlag, 1982. —xii, 436 p. — (Graduate texts in mathematics ; 88). — ISBN 978-0-387-90693-5. — DOI: 10.1007/978-1-4757-0163-0.

142. Osin D. Small cancellations over relatively hyperbolic groups and embedding theorems // Annals of Mathematics. — 2010. — Vol. 172, no. 1. — P. 1-39. — ISSN 0003-486X. — DOI: 10.4007/annals.2010.172.1.

143. Ehresmann C. Catégories et structures. — Paris : Dunod, 1965. —xvii, 358 p. — (Travaux et recherches mathématiques ; 10).

144. Simpson C. Homotopy theory of higher categories. — Cambridge ; New York : Cambridge University Press, 2011. — xviii, 634 p. — (New mathematical monographs ; 19). — ISBN 978-0-521-51695-2. — DOI: 10.1017/CBÛ9780511978111.

145. Mac Lane S. Categories for the working mathematician. — New York : SpringerVerlag, 1971. — ix, 262 p. — (Graduate texts in mathematics ; 5). — ISBN 978-0-387-90036-0. — DOI: 10.1007/978-1-4612-9839-7.

146. Bénabou J. Introduction to bicategories // Reports of the Midwest Category Seminar / ed. by A. D. Heidelberg, B. E. Zurich. — Berlin ; New York : Springer, 1967. — P. 1-77. — (Lecture notes in mathematics ; 47). — ISBN 978-3-540-03918-1. — DOI: 10.1007/BFb0074299.

147. Lashkarizadeh Bami M., Mohammadzadeh B., Samea H. Derivations on certain semigroup algebras // Journal of Sciences, Islamic Republic of Iran. — 2007. — Vol. 18, no. 4. — P. 339-345. — ISSN 1016-1104. — URL: https : //jsciences.ut.ac.ir/article_35078.html.

148. Gilbert N. D. Derivations and relation modules for inverse semigroups // Algebra and Discrete Mathematics. — 2011. — Vol. 12, no. 1. — P. 1-19. — ISSN 2415-721X. — URL: https://admjournal.luguniv.edu.ua/index. php/adm/article/view/670.

149. Мальцев А. И. О включении ассоциативных систем в группы. II // Математический сборник. — 1940. — Т. 8(50), № 2. — С. 251—264. — (Нов. сер.) — ISSN 0368-8666. — URL: http://mi.mathnet.ru/sm6027.

150. Conrad K. Dihedral groups II. — Updated: 12/16/2022. — URL: https : //kconrad. math. uconn. edu/blurbs/grouptheory/dihedral2. pdf (visited on 07/04/2023).

151. Brakenhoff J. The representation ring and the center of the group ring : Master's thesis / Brakenhoff Jos. — Universiteit Leiden, 2005. — 35 p. — URL: https://www.universiteitleiden.nl/binaries/content/assets/ science/mi/scripties/brakenhoff.pdf (visited on 07/04/2023).

152. Heimseite C. H. Modules and Presentations. —. — URL: http://www2. mathematik.tu-darmstadt.de/~herrmann/alg2b.pdf (visited on 07/04/2023).

153. Freudenthal H. Über die Enden topologischer Räume und Gruppen // Mathematische Zeitschrift. — 1931. — Jg. 33. — S. 692-713. — ISSN 0025-5874. — DOI: 10.1007/BF01174375.

154. Stallings J. R. On torsion-free groups with infinitely many ends // Annals of Mathematics. — 1968. — Vol. 88, no. 2. — P. 312-334. — (2nd ser.) — ISSN 0003-486X. — DOI: 10.2307/1970577.

155. Stallings J. R. Group theory and three-dimensional manifolds. — New Haven : Yale University Press, 1971. — v, 65 p. — (Yale University monographs). — ISBN 978-0-300-01397-9. — Google Books: D03poAEACAAJ.

156. Geoghegan R. Topological methods in group theory. — New York : Springer, 2008. — xiv, 473 p. — (Graduate texts in mathematics ; 243). — ISBN 9780-387-74611-1. — DOI: 10.1007/978-0-387-74614-2.

157. Peschke G. The theory of ends // Nieuw Archief voor Wiskunde. — 1990. — Vol. 8. — P. 1-12. — (4th ser.) — ISSN 0028-9825. — URL: https://sites. ualberta.ca/~gepe/pdf/Peschke_TheoryOfEnds.pdf.

158. Alvarez López J. A., Candel A. Generic coarse geometry of Leaves. — New York, NY : Springer Berlin Heidelberg, 2018. — xv, 173 p. — (Lecture notes in mathematics ; 2223). — ISBN 978-3-319-94131-8. — DOI: 10.1007/9783-319-94132-5.

159. Ma Y, Dydak J. Coarse Freundenthal compactification and ends of groups. — 2021. —arXiv: 2102.05002 [math.MG].

160. Mann K., Rafi K. Large scale geometry of big mapping class groups. — 2019. — arXiv: 1912.10914 [math.GT].

161. Niblo G. A. A geometric proof of Stallings' theorem on groups with more than one end // Geometriae Dedicata. — 2004. — Vol. 105. — P. 61-76. — ISSN 0046-5755. — DOI: 10.1023/B:GEOM.0000024780.73453.e4.

162. Dunwoody M. J. Cutting up graphs // Combinatorica. — 1982. — Vol. 2, no. 1. — P. 15-23. — ISSN 0209-9683. — DOI: 10.1007/BF02579278.

163. Gorchakov Y. M. Locally normal groups // Siberian Mathematical Journal. — 1972. — Vol. 12, no. 6. — P. 907-916. — ISSN 0037-4466. — DOI: 10.1007/ BF00966533.— URL: http://mi.mathnet.ru/smj4569.

164. Ol'shanskii A. Y. Geometry of defining relations in groups / trans. from the Russian by Y. A. Bakhturin. — Dordrecht ; Boston : Kluwer Academic Publishers, 1991. — xxvi, 505 p. — (Mathematics and its applications ; 70). — ISBN 978-0-7923-1394-6. — DOI: 10.1007/978-94-011-3618-1.

165. Gromov M. Groups of polynomial growth and expanding maps // Publications mathématiques de l'IHES. — 1981. — T. 53. — P. 53-78. — ISSN 0073-8301. — DOI : 10.1007/BF02698687.

166. Григорчук Р. И. К проблеме Милнора о групповом росте // Доклады Академии наук СССР. — 1983. — Т. 271, № 1. — С. 30—33. — URL: http : //mi.mathnet.ru/dan10037.

167. Nicola F., Rodino L. Global pseudo-differential calculus on euclidean spaces. — Basel : Birkhäuser, 2010. — x, 406 p. — (Pseudo-differential operators ; 4). — ISBN 978-3-7643-8511-8. — DOI: 10.1007/978-3-7643-8512-5.

168. Molahajloo S., Wong K. L. Pseudo-differential operators on finite Abelian groups // Journal of Pseudo-Differential Operators and Applications. — 2015. — Vol. 6, no. 1. — P. 1-9. — ISSN 1662-9981. — DOI: 10. 1007/s11868-015-0108-x.

169. Kumar V., Wong M. W. C*-algebras, H*-algebras and trace ideals of pseudodifferential operators on locally compact, Hausdorff and abelian groups // Journal of Pseudo-Differential Operators and Applications. — 2019. — Vol. 10, no. 2. — P. 269-283. — ISSN 1662-9981. — DOI: 10.1007/s11868-019-00280-8.