Когомологии квантовых банаховых и полинормированных алгебр тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Волосова, Нина Владимировна

• Волосова, Нина Владимировна
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Волосова, Нина Владимировна

Введение

1 Квантовые пространства и алгебры

1.1 Начальные сведения.

1.1.1 Квантовые нолинормированные пространства и вполне непрерывные операторы.

1.1.2 Основные конструкции: подпространство, факторпространство, декартово произведение и пополнение.

1.2 Минимальное и максимальное квантование.

1.3 Квантовые тензорные произведения.

1.3.1 Сильно и слабо вполне непрерывные билинейные операторы.

1.3.2 Хаагерупово тензорное произведение.

1.3.3 Операторно-проективное тензорное произведение

1.3.4 Свойства квантовых тензорных произведений

1.3.5 Коммутирование с декартовым произведением

1.4 Квантовые нолинормированные алгебры и их дифференцирования.

2 Гомологические свойства квантовых банаховых алгебр

2.1 Начальные сведения.

2.2 Проективные идеалы в коммутативных квантовых банаховых алгебрах.

2.2.1 Скелет и спектр проективного идеала.

2.2.2 Критерий проективности идеала в квантовой банаховой алгебре С(£2)

2.3 Теорема о глобальной размерности.

2.3.1 Сведение задачи к случаю наследственных алгебр.

2.3.2 Раскручивающая резольвента.

2.3.3 Некоторые свойства проективных максимальных идеалов

2.3.4 Тривиальная группа расширений.

2.3.5 Нижняя оценка норм почти треугольных элементов.

2.3.6 Нетривиальная группа расширений

2.3.7 Неизолированные точки на границе Шилова

3 Когомологически тривиальные квантовые полинормированные алгебры

3.1 Квантовые алгебры Аренса-Майкла и их описание в терминах банаховых алгебр.

3.2 Стягиваемые квантовые полинормированные алгебры

3.2.1 Диагонали в тензорном квадрате.

3.2.2 Стягиваемые (Э-алгебры Аренса-Майкла

3.2.3 Оболочка Аренса-Майкла и стягиваемые полинормированные алгебры.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Когомологии квантовых банаховых и полинормированных алгебр»

Предмет диссертации относится к квантовому функциональному анализу, также называемому теорией операторных пространств (см. [29, 31, 49]). Временем возникновения этого направления в современном анализе можно считать начало 80-ых годов прошлого века, когда в работах Г. Виттстока, У. Хаагерупа и В. Пол сена появилось понятие вполне ограниченного отображения (см. [59, 60, 35, 36, 40, 41]). Термин "квантованный функциональный анализ" впервые использовал Э. Эффрос [301 в 1986 году. Следуя [25]. мы используем более короткий термин "квантовый". Отличительной чертой квантового анализа является наделение линейного пространства более богатой структурой — квантовой нормой или семейством квантовых преднорм — по сравнению с обычными нормированными и локально выпуклыми пространствами, изучаемыми "классическим" функциональным анализом. Рассмотрение именно квантовой (а не обычной) нормы и соответствующего этой структуре типа ограниченности операторов естественно и целесообразно для довольно большого круга задач. Некоторые вопросы, не имеющие удовлетворительных ответов в терминах классического функционального анализа, получают изящное решение, будучи поставлены в рамках квантовой теории.

Существует два по сути эквивалентных подхода к тому, что называть квантовой нормой в линейном пространстве Е. Первый заключается в рассмотрении семейства норм, удовлетворяющих определённым условиям (так называемым аксиомам Руана), в пространствах матриц с элементами из Е. Эта теория развита в монографиях [29, 31, 46]. Другой подход предполагает рассмотрение одной нормы (также удовлетворяющей соответствующей версии аксиом Руана), а не их семейства, но в ''"большем" пространстве, а именно в алгебраическом тензорном произведении Т (£> Е, где Т. пространство всех ограниченных конечномерных операторов в сепарабельном бесконечномерном гильбертовом пространстве. Изложение теории квантовых нормированных пространств с этой точки зрения можно найти в [25].

Этого подхода мы и будем придерживаться в данной работе.

Если говорить о полинормированных (локально выпуклых) пространствах, то их квантование рассматривалось, например, в [32]. До настоящего времени авторы, разрабатывавшие эту теорию, придерживались "матричного" подхода к понятию квантовой уже не нормы, а преднормы. Поскольку, как нам кажется, "безматричный" подход обладает рядом преимуществ по сравнению с матричным, мы считаем необходимым применить его и к полинормированным пространствам.

Одной из черт, отличающей квантовый функциональный анализ от классического, является существование в первом сразу двух содержательных понятий вполне непрерывного билинейного оператора, которым соответствуют два типа квантовых (полинормирован

1г о ных или банаховых) алгебр, так называемых и ®-алгебр, и два типа категорий квантовых левых (правых, би-) модулей.

В диссертации рассмотрены задачи, относящиеся к квантовому варианту топологической гомологии -- области функционального анализа, изучающей банаховы и локально выпуклые топологические алгебры и их непрерывные представления (банаховы и топологические модули) с использованием методов гомологической алгебры.

Эта область выделилась в 1962 году, когда Г. Камовиц [39], используя банахов аналог комплекса Хохшильда, определил группы когомологий 7-¿п(Л,Х) (п = 0,1,.) банаховой алгебры А с коэффициентами в банаховом А-бимодуле X. Впоследствии эти группы применялись к задачам, связанным с дифференцированиями, расширениями и возмущениями банаховых алгебр [51], с аменабельны-ми локально компактными группами [38].

В 1970 году А. Я. Хелемским [15] был предложен способ перенести понятия производных функторов и резольвент на случай банаховых алгебр и модулей. Оказалось, что это возможно осуществить при помощи специального относительного варианта гомологической алгебры, в основе которого лежит понятие относительно проективного банахова модуля. Тогда же были введены важные понятия гомологической размерности дсШ X банахова модуля X над банаховой алгеброй А, глобальной гомологической размерности с^ А и гомологической биразмерности с1Ь А этой алгебры.

Как и в теории ассоциативных алгебр данный подход предоставил возможность подойти к изучению когомологий банаховых алгебр с более общей точки зрения и, кроме того, открыл новые полезные объекты для изучения. С этого времени общие гомологические методы стали активно применяться в различных задачах теории банаховых алгебр. Они дали возможность получить информацию о существовании аналитической структуры в спектре коммутативной банаховой алгебры [9], получить гомологические критерии для топологических свойств, таких как паракомпактность (16] и метризуемость [5], доказать сильные теоремы о структурных свойствах алгебр фон Нойманна и других самосопряжённых и несамосопряжённых операторных алгебр [22, 2].

Вскоре после появления указанных методов стало понятно, что вопрос об оценке и вычислении гомологической размерности (у истоков этого понятия стоит теорема Д. Гильберта о сизигиях [37]) имеет самостоятельный интерес. Многие важные вопросы и результаты стали формулироваться на языке размерностей банаховых алгебр, а следовательно, стали касаться не отдельных классов, а сразу всех банаховых модулей, либо бимодулей над данной банаховой алгеброй.

Оказалось, что гомологические размерности банаховых алгебр обладают некоторыми специфическими свойствами, не имеющими аналогов в абстрактной алгебре. Один из старейших фактов этого рода — теорема о глобальной размерности ([18, 19], см. также [50]), доказанная А. Я. Хелемским в 1972 году. Эта теорема утверждает, что в классе коммутативных банаховых алгебр А с бесконечным гельфандовским спектром верна оценка dgA^2и, как следствие, в этом случае Н2(А,Х) ф 0 для некоторого банахова Л-бимодуля X. Из этой теоремы, в частности, следует существование нетривиальных (нерасщепимых) сингулярных расширений бесконечномерных функциональных банаховых алгебр.

Тем самым в классе коммутативных банаховых алгебр с беско ± является запрещенным значением для глобальной размерности (а значит, и для биразмерности); это явление связано с рядом особенностей банаховых структур, и прежде всего с наличием недонолняемых замкнутых подпространств в банаховых пространствах.

К настоящему времени оценка с^ А ^ 2 установлена1 для некоторых других классов банаховых алгебр; в частности, она имеет место для достаточно широкого класса так называемых "бипроективных" банаховых алгебр [11, 56] (в частности, для групповых алгебр 1/1(С) и С*{С) любой бесконечной компактной группы [17]), а также для всех бесконечномерных ССБ-С*-алгебр [6], всех бесконечномерных сепарабельных СС11-С*-алгебр [1] и всех весовых сверточных алгебр Ь1(а;) на полупрямой [34].

В диссертации доказана аналогичная теорема (теорема 2.3.1; см. также теорему 2.3.2) для квантовых банаховых алгебр, для каждого из двух типов которых существует соответствующая гомологическая теория [24]. Как один из промежуточных результатов, получен критерий проективности замкнутого идеала в банаховой алгебре С{И) непрерывных функций на компакте, рассмотренной с минимальным квантованием. Этим критерием, как и в классическом случае [16], является паракомпактность спектра идеала.

Следующая задача, рассмотренная в диссертации, относится к гомологической теории квантовых полинормированных алгебр, которая тоже строится в двух вариантах — для двух типов категорий квантовых полинормированных модулей над полинормированными алгебрами. Мы рассматриваем так называемые стягиваемые алгебры — наиболее простые с точки зрения этой теории.

В чистой алгебре верен следующий критерий стягиваемости:

Комплексная алгебра А стягиваема она конечномерна, и полу

1 Также выяснено, что при определённых условиях гомологические размерности банаховых алгебр "хорошо ведут себя" под действием операции проективного тензорного произведения (см. [3, 4, 55, 12, 14, 13]). проста она изоморфна декартову произведению конечного числа полных матричных алгебр с комплексным,и коэффициентам,и (см., например, [8, § 10.7]).

В течение долгого времени этот критерий пытались распространить на различные классы банаховых и топологических алгебр. До сих пор неизвестно, верен ли он для произвольных банаховых алгебр. Для алгебр Аренса-Майкла похожие критерии (но только с бесконечным числом сомножителей) верны при наложении на алгебру некоторых дополнительных условий, например условия коммутативности:

Коммутативная алгебра Аренса-Майкла А стягиваема -ФФ- она топологически изоморфна См для некоторого множества М (см. [20, теорема 1У.5.27]). или определённых требований к геометрии алгебры:

Пусть А — метризуемая алгебра Ареиса.Майкла, которая, является, полупервичной и обладает свойством, аппроксимации. Тогда, А стягиваема, -ФФ- она топологически изоморфна декартову произведению конечного или, счётного семейства полных матричных алгебр (см. [54, теорема 5] или [12, теорема 1.4.8|).

Что касается тех стягиваемых алгебр Фреше (полных метризуемых алгебр), которые не обязательно являются алгебрами Аренса Майкла, то Ю. В. Селивановым [12, следствие 1.3.21], при некоторых достаточно широких ограничениях, было изучено их строение. Кроме того, им было показано (см. [54, теорема 4] или [12, теорема 1.4.3]), что оболочка Аренса-Майкла стягиваемой полупервичной алгебры Фреше, обладающей свойством аппроксимации, изоморфна декартову произведению семейства полных матричных алгебр.

Можно ли в классическом случае отказаться от упомянутых выше ограничений, неизвестно. Но проблема оказывается успешно решаемой в квантовом случае для одного из важных классов кванг товых алгебр, а именно для ^-алгебр. Напомним, что В. Полсен и h

Р. Смит [47] доказали, что квантовая банахова (Э-алгебра стягиваема тогда и только тогда, когда она топологически изоморфна декартову произведению конечного числа матричных С*-алгебр.

В диссертации доказано аналогичное утверждение для соответствующего класса квантовых полинормированных алгебр (теореh ма 3.2.4), а именно, для <2)-алгебр Apenca-Майкла; естественно, тут число матричных алгебр уже не обязано быть конечным. Кроме того, h показано, что если полинормированная (8>-алгебра (не обязательно h являющаяся ^-алгеброй Аренса-Майкла) стягиваема, то её оболочка Apenca-Майкла, понимаемая в смысле квантового функционального анализа, вполне изоморфна декартову произведению некоторого семейства полных матричных С*-алгебр. Таким образом, от ограничений, необходимых в случае классических полинормированных алгебр, тут можно отказаться.

Диссертация состоит из введения, трёх глав и списка литературы, содержащего 64 наименования. Общий объём диссертации .

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Волосова, Нина Владимировна, 2011 год

1. Аристов О. Ю. Теорема о глобальной размерности для неуни-тальных и некоторых других сепарабельных С*-алгебр. Машем, сборник 186 (1995), 3-18.

2. Головин Ю. О. Гомологические свойства гильбертовых модулей над гнездовыми операторными алгебрами. Матем. заметки 41 (1987), вып. 6, 769-775.

3. Головин Ю. О., Хелемский А. Я. Гомологическая размерность некоторых модулей над тензорным произведением банаховых алгебр. Вести. Моск. ун-та. Сер. матем., механ. (1977), № 1, 54-61.

4. Кричевец А. Н. Вычисление глобальной размерности тензорных произведений банаховых алгебр и одно обобщение теоремы Фил-липса. Матем. заметки 31 (1982), вып. 2, 187-202.

5. Курмакаева Е. Ш. Зависимость строгой гомологической размерности С(П) от топологии (I Матем,. заметки 55 (1994), 76-83.

6. Лыкова 3. А. Оценка снизу глобальной гомологической размерности бесконечномерных ССИ-алгебр. Успехи матем. наук 41 (1986), 197-198.

7. Маклейн С. Гомология. М., Мир, 1966.

8. Пирс Р. Ассоциативные алгебры. М., Мир, 1986.

9. Пугач Л.И. Проективные и плоские идеалы функциональных алгебр, их связь с аналитической структурой. Матем,. заметки 31 (1982), вып. 2, 223-229.

10. Селиванов Ю. В. О банаховых алгебрах малой глобальной размерности нуль. Успехи матем. наук 31 (1976), 227.228.

11. Селиванов Ю. В. Бипроективные банаховы алгебры, их строение, когомологии и связь с ядерными операторами. Фупкц. анализ и его приложения 10 (1976), вып. 1, 89-90.

12. Селиванов Ю. В. Когомологии банаховых и близких к ним алгебр. Дисс. на соискание уч. ст. докт. физ.-матем. наук. М., MATH, 2002, 291 с.

13. Селиванов Ю. В. Оценки снизу для гомологических размерностей банаховых алгебр. Матем. сборник 198 (2007), № 9, 133-160.

14. Табалдыев С. Б. Аддитивность гомологических размерностей для некоторого класса банаховых алгебр. Функц. анализ и его приложения 40 (2006), вып. 3, 93 -95.

15. Хелемский А. Я. О гомологической размерности нормированных модулей над банаховыми алгебрами. Матем. сборник 81 (123) (1970), № 3, 430-444.

16. Хелемский А. Я. Описание относительно проективных идеалов в алгебрах С(П). Докл. АН СССР 195 (1970), № 6, 1286-1289.

17. Хелемский А. Я. Об одном методе вычисления и оценки глобальной гомологической размерности банаховых алгебр. Матем. сборник 87 (1972), 122-135.

18. Хелемский А. Я. Глобальная размерность функциональной банаховой алгебры отлична от единицы. Функц. анал. и его приложения 6 (1972), вып. 2, 95-96.

19. Хелемский А. Я. Низшие значения, принимаемые глобальной гомологической размерностью функциональных банаховых алгебр. Труды семинара им. И. Г. Петровского 3 (1978), 223-242.

20. Fragoulopoulou M. Structure of contractible locally C*-algebras. Proc. Amer. Math. Soc. 129 (2001), no. 10, 2889.2896.

21. Ghahramani F., Selivanov Yu. V. The global dimension theorem for weighted convolution algebras. Proc. Edinburgh Math. Soc. 41 (1998), 393-406.

22. Haagerup U. Decomposition of completely bounded maps on operator algebras. Unpublished manuscript, 1980.

23. Haagerup U. Injectivity and decomposition of completely bounded maps. Operator algebras and their connection with topology and er-godic theory. Springer Lecture Notes in Math. 1132, Springer-Verlag, 1985, 170-222.

24. Hilbert D. Uber die Theorie der Algebraischen Formen. Math. Ann. 36 (1890), 437-534.

25. Johnson B. E. Cohomology in Banach algebras. Mem. Amer. Math. Soc. 127 (1972).

26. Kamovitz H. Cohomology groups of commutative Banach algebras. Trans. Amer. Math. Soc. 102 (1962), 352-372.

27. Paulsen V. I. Completely bounded maps on C*-algebras and invariant operator ranges. Proc. Am,er. Math. Soc. 86 (1982), 91-96.

28. Paulsen V. I. Completely bounded homomorphisms of operator algebras. Proc. Amer. Math. Soc. 92 (1984), 225-228.

29. Paulsen V. I. Every completely polynomially bounded is similar to a contraction. J. Fund. Anal 55 (1984), 1-17.

30. Volosova N. V. Contractible quantum Arens-Michael algebras. Banach Center Publ. 91 (2010), 423-440.