Классификация простых ростков эквивалентных функций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат наук Асташов, Евгений Александрович

• Асташов, Евгений Александрович
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Асташов, Евгений Александрович

Оглавление

1 Введение

2 Пространства струй эквивариантных ростков

2.1 Линеаризуемость действия конечной группы на комплексном пространстве

2.2 Эквивариантные ростки аналитических функций

2.3 Эквивариантные ростки бирациональных автоморфизмов комплексных пространств

2.4 Необходимое условие эквивариантной простоты ростка

2.5 Доказательство теоремы 1

2.6 Эквивариантные квадратичные формы

2.7 Эквивариантная лемма Морса с параметрами

3 Методы классификации эквивариантных ростков

3.1 Метод полных трансверсалей

3.2 Теорема о конечной определенности

3.3 Версальные деформации

3.4 Геометрическая интерпретация

4 Доказательство теоремы 2

4.1 Случай (1.6)

4.2 Случай (1.7)

4.3 Случай (1.8)

4.4 Случай (1.9)

4.5 Случай (1.10)

5 Доказательство теоремы 3

5.1 Случай (1.12)

5.2 Случай (1.13)

5.3 Случай (1.14)

5.4 Случай (1.15)

5.5 Случай (1.16)

5.6 Случай (1.17)

5.7 Случай (1.18)

5.8 Случай (1.19)

5.9 Случай (1.20)

6 Некоторые обобщения

6.1 Случай скалярного действия группы Ът (т ^ 3) на Сп

6.2 Случаи действий группы Ът (т ^ 3) на С2 и С3 с одной нетривиальной компонентой

Заключение

Список публикаций по теме диссертации

Литература

Глава

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Классификация простых ростков эквивалентных функций»

Введение

При рассмотрении многообразий, на которых заданы действия фиксированной группы О, возникает понятие эквивариантного отображения (то есть отображения, сохраняющего действие группы).

Определение 1. Отображение О-многообразий /: М ^ N называется эквива-риантным относительно заданных действий группы О, если для каждой точки х € М и каждого элемента а € О выполнено равенство

/(а • х) = а • /(х).

(Символом «•» обозначается действие элемента группы О на точку многообразия М или N соответственно.)

В частности, это понятие применимо к аналитическим функциям многих переменных и их росткам, а также к бирациональным автоморфизмам комплексных пространств и их росткам. В случае, когда действие группы О на многообразии N тривиально, отображение / называют инвариантным относительно действия группы О на многообразии М.

Задачи, связанные с рассмотрением аналитических функций многих переменных или их ростков, эквивариантных относительно заданной пары комплексных представлений какой-либо конечной абелевой группы О, возникают в алгебраической геометрии, топологии, теории особенностей и других разделах математики. Так, в работе [1] рассматриваются ростки комплексно-аналитических функций

многих переменных, инвариантных относительно действия группы О = Ъ2 на Сп по первой координате:

(-1) • (¿1, ¿2, . . . , ¿и) = (-¿1, ¿2, . . . , Хи).

Рассмотрение таких ростков связано с изучением особенностей функций на многообразии с гладким краем: при переходе от многообразия Сп с краем х1 =0 к его двулистному накрытию, разветвленному вдоль края (то есть при замене переменных х1 = ¿2, х = при % ^ 2), росток f (х1, ... ,хп) отображается в росток /(¿2, ¿2,..., Хп), инвариантный относительно указанного выше действия.

В работе [2] рассматриваются ростки нечетных функций, то есть функций, эк-вивариантных относительно нетривиальных скалярных действий группы О = Ъ2 на Сп и на С. Такие ростки изучаются в связи с задачей описания особенностей каустик Вигнера на оболочках лагранжевых подмногообразий аффинного сим-плектического пространства.

На множестве ростков аналитических функций, эквивариантных относительно заданной пары действий группы О на пространствах Сп и С, существует естественное отношение эквивалентности.

Определение 2. Два эквивариантных ростка /,д: (Сп, 0) ^ (С, 0) будем называть эквивариантно правоэквивалентными (в дальнейшем для краткости будем называть их просто эквивалентными) относительно заданной пары действий группы О, если существует эквивариантный относительно того же действия группы О на Сп росток бирационального автоморфизма Ф: (Сп, 0) ^ (Сп, 0), для которого д = / о Ф.

Аналогичным образом можно определить левую и двустороннюю эквивалентности эквивариантных ростков, однако в настоящей работе под эквивалентностью эквивариантных ростков всегда будет пониматься именно правая эквивалентность.

Эквивариантные ростки аналитических функций многих переменных с критической точкой в начале координат могут иметь достаточно сложные вырождения

(как и в неэквивариантном случае), поэтому классификация таких ростков всегда содержит модули (непрерывные параметры). Однако для многих конечных абелевых групп О и их комплексных представлений существуют специальные вырождения, вблизи которых модулей нет; такие вырождения мы будем называть эквивариантно простыми.

Определение 3. Росток эквивариантной функции /: (Сп, 0) ^ (С, 0) с критической точкой 0 Е Сп назовем эквивариантно простым относительно заданных представлений группы О, если:

• при всех достаточно больших г Е N достаточно малая окрестность некоторой (а значит, и любой) точки его орбиты в пространстве г-струй ростков экви-вариантных функций (Сп, 0) ^ (С, 0) пересекается лишь с конечным числом других орбит (такие орбиты называются примыкающими к орбите ростка #);

• число примыкающих орбит в пространстве г-струй ростков эквивариантных функций (Сп, 0) ^ (С, 0) остается ограниченным при г ^ то.

Список нормальных форм эквивариантно простых особенностей, тем самым, дает наиболее просто устроенную часть классификации всех эквивариантных особенностей (для данной группы О и ее представлений). В связи с этим возникает общая задача классификации ростков аналитических функций (Сп,0) ^ (С,0), эквивариантно простых относительно различных пар комплексных представлений заданной конечной абелевой группы О.

Решение этой задачи в неэквивариантном случае дается в работе В. И. Арнольда [3]. Именно, доказано, что росток функции многих переменных в критической точке прост тогда и только тогда, когда он приводится к одной из следующих нормальных форм:

Лк : (¿1,..., *п) ^ ¿к+1 + г2 + ... + 4 (к ^ 1);

Бк : (¿1,..., ¿п) ^ ¿2 + ¿2к-1 + ¿3 + ... + ¿П (к ^ 4);

Ее: (¿1,..., ¿п) ^ ¿3 + 4 + ¿3 +... + ¿П;

Е : (¿1,..., ¿п) ^ ¿3 + + ¿3 + ... + ¿П;

Ев : (¿1,..., ¿п) ^ ¿3 + 4 + ¿з + ... + ¿П.

п

п

2

п

2

п

(1.1)

В уже упомянутой работе [1] дается классификация простых особенностей, инвариантных относительно действия группы Ъ2 на Сп по первой координате. В этом случае росток инвариантной функции многих переменных в критической точке прост тогда и только тогда, когда он приводится к одной из следующих нормальных форм:

Бк : (¿1,..., ¿п) ^ ¿Р + ¿2 + ... + ¿П (к ^ 2); Ск : (¿1,..., Хп) ^ ¿2Х2 + ¿2к + ¿з + ... + ¿П (к ^ 2); : (¿1,... , Хп) ^ + ¿3 + ¿1 + ... + ¿П.

В работе [2, раздел 3] дается классификация простых нечетных особенностей. В частности, доказано, что при п ^ 3 таких особенностей не существует вовсе, а при п = 2 список нормальных форм простых нечетных особенностей имеет следующий вид:

^2к/2 : (¿1, ¿2) ^ ¿2Х2 + х2к-1 (к ^ 2);

Ев/2 : (¿1 ,¿2) ^ ¿3 + ¿5;

^10/2 : (¿1 ,¿2) ^ ¿3 + Х1Х4;

Е12/2 : (¿1 ,¿2) ^ ¿3 + Х£.

Имея список нормальных форм простых особенностей, эквивариантных относительно действий некоторой конечной абелевой группы, можно изучать, например, вопрос о том, какие из этих особенностей могут иметь функции, заданные многочленами фиксированной степени, мультистепени или квазистепени. Изучению такого рода вопросов в неэквивариантном случае посвящены, например, работы [4], [5], [6], [7], [8], [9].

Основная цель настоящей работы состоит в классификации с точностью до правой эквивалентности особых ростков функций (Сп, 0) ^ (С, 0), эквивариантно простых относительно различных представлений циклических групп Ът конечного порядка на Сп и С.

Формулировке основных результатов предпошлем одно общее замечание о действиях конечных групп на комплексных пространствах. Отметим, что комплексное представление конечной группы всегда линеаризуемо (доказательство см. в

главе 2). Поэтому для данной конечной абелевой группы О число всевозможных пар её представлений на пространствах Сп и С конечно (при фиксированном п). Поскольку всякое конечномерное комплексное представление представимо в виде прямой суммы одномерных представлений, отсюда следует, что действие на Сп каждой образующей любой конечной группы О задается диагональной матрицей размера п х п, и эти матрицы удовлетворяют групповым соотношениям (если таковые имеются в группе О). В частности, действие образующей группы О = Ът на Сп задается диагональной матрицей, в которой на диагонали стоят корни степени т из единицы.

Начнем с общего результата для случая согласованных скалярных действий конечной циклической группы Ът (не обязательно простого порядка).

Теорема 1. Пусть группа О = Ът действует на Сп и на С скалярно умножением на один и тот же примитивный корень степени т из единицы:

( (2т \ (2т \ \

а • (¿1,..., ¿п) = ( ехЫ — 1 ¿1,..., ехр I — 1 х„ \ ;

/2пЛ

а • г = ехр - г

т

(1.2)

(а Е образующая; ^ Е С, £ Е

При всех т ^ 2 и п =1 росток д является эквивариантно простым относительно представлений (1.2) тогда и только тогда, когда он -эквивалентен одному из следующих ростков:

Лтз : х ^ жт5+1 (5 Е (1.3)

При т = п = 2 росток д является эквивариантно простым относительно представлений (1.2) тогда и только тогда, когда он -эквивалентен одному из следующих ростков:

Озк/з : (¿1, ¿з) ^ ^¿2 + 4к-1 (к ^ 2);

2к/2

Ев/2 : (¿1 ,¿2) ^ ¿3 + 4; «/10/2 : (¿1 ,¿2) ^ ¿3 + Е12/2 : (¿1 ,¿2) ^ ¿3 + 4.

(1.4)

При max{m,n} ^ 3 и min{m,n} ^ 2 не существует ростков функций (Cn, 0) ^ (C,0), эквивариантно простых относительно представлений (1.2).

Перейдем к результатам для действий циклических групп Zp простого порядка p. В такой группе можно выбрать образующую p — 1 способами. При замене образующей задание действий группы меняется, однако результаты классификации эквивариантно простых ростков для соответствующих представлений совпадают или отличаются только перестановкой переменных. В частности, список представлений группы Z3 на Cn (n = 2,3) и C, приведенный в теоремах 2 и 3, — не исчерпывающий, однако с учетом сказанного выше все случаи, не рассмотренные явно, легко сводятся к рассмотренным. Отметим еще, что в настоящей работе мы рассматриваем только случаи нетривиальных действий группы Zp на C.

Классификация эквивариантно простых ростков функций двух переменных в случае действия группы G = Z3 дается следующей теоремой.

Теорема 2. Пусть действие группы Z3 на C2 и на C задано формулами

а • (x,y) = (rpx,Tqy); а • z = Trz (p,q,r E N), (1.5)

где а E Z3 — образующая, t = exp(2ni/3). Пусть f: (C2,0) ^ (C, 0) — росток с особенностью в нуле, эквивариантный относительно представлений (1.5) при некоторых p,q,r E N. Росток f является эквивариантно простым относительно этих представлений тогда и только тогда, когда он эквивалентен в смысле определения 2 одному из следующих ростков (слева — набор (p,q,r) mod 3, справа — соответствующий список нормальных форм эквивариантно простых

ростков):

(0,1,1)

xy;

,k

xky + y4 (k ^ 2);

3 7

x y + y ;

xky + xy4 (k ^ 3); x2y + y3k+1 (k ^ 3);

(0,1, 2)

y2; xy2;

„К .2

(1,1,1) (1,1, 2)

(1,2,1)

xky2 + y5 (k ^ 2);

x3y2 + y8;

xky2 + xy5 (k ^ 3);

x2y2 + y3k+2 (k ^ 3);

не существует;

3k+2 I „.2

x

+ y2 (k ^ 0); 3k+1 + y2 (k ^ 1);

x

x2y + y3k-1 (k ^ 2);

43

x + xy ;

(1.6)

(1.7)

(1.8) (1.9)

(1.10)

x4 + y5.

Теперь приведем классификацию эквивариантно простых ростков функций трех переменных в случае действия группы G = Z3.

Теорема 3. Пусть действие группы Z3 на C3 и на C задано формулами

а • (x, y, z) = (tpx, tqy,Trz); a • w = тsw (p, q,r, s G N),

(1.11)

где a G Z3 — образующая, т = exp(2ni/3). Пусть f : (C3, 0) ^ (C, 0) — росток с особенностью в нуле, эквивариантный относительно представлений (1.11) при некоторых p, q, r, s G N. Росток f является эквивариантно простым относительно этих представлений тогда и только тогда, когда он эквивалентен в

смысле определения 2 одному из следующих ростков (слева — набор (p, q, r, s) mod 3, справа — соответствующий список нормальных форм эквивариантно простых ростков):

(0, 0,1,1)

;

Fi(x>y) ■z +z 4;

(x2 + y3) ■ z + z7; (x3 + y3) ■ z + z7; (x2 + y2) ■ z + z3k+1 (k > 3);

(1.12)

(0,0,1,2)

(0,1, (0,1,

1,1) 1,2)

(0, 1, 2, 1)

(1,1, (1,1, (1,1, (1,1,

1,1) 1,2) 2,1) 2, 2)

z2;

xz ;

Fi(x,y) ■ z2 + z5; (x2 + y3) ■ z2 + z8; (x3 + y3) ■ z2 + z8; (x2 + y2) ■ z2 + z3k+2 (k ^ 3); xy + z3k+1 (k ^ 1); не существует;

F2(x,y) + z 2 ;

xy + z3k+2 (k ^ 1);

xz2 + y3k+1 (k ^ 1);

xz2 + y3k+2z (k ^ 0); не существует;

3k+2 , „.2 , „2

x

+ y2 + z2, k ^ 0;

не существует; x2 + F3(z, y),

(1.13)

(1.14)

(1.15)

(1.16)

(1.17)

(1.18)

(1.19)

(1.20)

где Fi — любой (неэквивариантно) простой росток функции двух переменных типов Ak, Dk,Ek (см. формулы (1.1)); F2 — любой эквивариантно простой ро-

сток функции двух переменных из теоремы 1, случай (1.6); Е3 — любой эквива-риантно простой росток функции двух переменных из теоремы 1, случай (1.10).

Структура работы

Диссертация состоит из шести глав, включая введение, заключения, списка публикаций по теме диссертации и списка литературы.

В главе 1, являющейся введением, описывается структура диссертации и история рассматриваемых вопросов; определяется область исследования; обосновывается актуальность темы и научная новизна полученных результатов; описываются основные результаты диссертации.

В главе 2 даётся описание действия конечной циклической группы на комплексном пространстве и соответствующих пространств эквивариантных функций, а также группы эквивариантных автоморфизмов комплексного пространства и её действий на пространствах струй эквивариантных ростков. Формулируется и доказывается необходимое условие эквивариантной простоты ростка для случая циклической группы простого порядка. Дается также геометрическая интерпретация этого условия. С помощью этого условия доказывается отсутствие эквивариантно простых ростков в случае согласованных скалярных действий конечной циклической группы на пространствах Сп и С.

В главе 3 описывается метод полных трансверсалей и формулируется теорема о конечной определенности применительно к классификации эквивариантных ростков. Дается также геометрическая интерпретация этой теоремы.

В главе 4 приводится доказательство основных классификационных результатов для эквивариантно простых особенностей двух переменных в случае действия группы из трёх элементов.

В главе 5 приводится доказательство основных классификационных результатов для эквивариантно простых особенностей трёх переменных в случае действия группы из трёх элементов.

В главе 6 некоторые из полученных в предыдущих главах результатов обобщаются на случаи большего числа переменных и случаи действия других цикличе-

ских групп простого порядка.

Список основных результатов, выносимых на защиту

Результаты, выносимые на защиту являются новыми. В диссертации получены следующие основные результаты.

1. Получены необходимые и достаточные условия эквивариантной простоты ростка относительно циклических групп простого порядка в аналитической и геометрической форме.

2. Доказано отсутствие эквивариантно простых ростков в случае согласованных скалярных действий конечной циклической группы на пространствах Сп и С.

3. Получена полная классификация эквивариантно простых ростков функций двух и трёх переменных относительно всевозможных нетривиальных действий группы из трёх элементов.

4. Получена классификация эквивариантно простых ростков функций многих переменных относительно некоторых нетривиальных действий циклических групп простого порядка.

Методы исследования

В работе используются результаты и методы топологической теории особенностей. Результаты диссертации опираются на работы В. И. Арнольда о классификации простых особенностей в пространстве Сп и на многообразиях с краем, метод полных трансверсалей для классификации особенностей Дж. Брюса, Н. Кирка и А. Дюплесси, методы теории Морса, а также на некоторые результаты и методы теории особенностей, изложенные в работах В. И. Арнольда, А. Н. Варченко, С. М. Гусейн-Заде. Указанные методы обобщены автором для применения в экви-вариантном случае.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались на следующих семинарах и конференциях.

1. Семинар «Топология особенностей» под руководством проф. С. М. Гусейн-Заде (Москва, 2014-2016 гг.).

2. Международная школа-семинар "XVII Diffiety school" (Италия, Лиццано ин Бельведере, июль 2014 года).

3. Международная школа-семинар "Geometrie Algebrique en Liberte" (Бельгия, Лёвен, июнь 2015 года).

4. Международная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов-2016» (Москва, апрель 2016 года).

5. Семинар «Алгебраическая топология и её приложения» под руководством чл.-корр. РАН В. М. Бухштабера, проф. А. В. Чернавского, проф. И. А. Дын-никова, проф. Т. Е. Панова, доц. Л. А. Алания, проф. А. А. Гайфуллина, доц. Д. В. Миллионщикова (Москва, апрель 2016 года).

6. Международная школа-семинар "Jeunes Singularitistes à Nice" (Франция, Ницца, апрель 2016 года).

7. Международная конференция "DIFF2016" по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, июль 2016 года).

8. Международная конференция «Анализ, вероятность и геометрия» (Москва, сентябрь 2016 года).

9. Семинар «Избранные задачи математического анализа и теории чисел» под руководством проф. М. П. Минеева, проф. В. Н. Чубарикова (Москва, ноябрь 2016 года).

Публикации

Результаты диссертации опубликованы в двух статьях автора [1.1] и [1.2], из них в журналах из перечня ВАК — 2 статьи.

Благодарности

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю д.ф.-м.н., профессору Сабиру Меджидовичу Гусейн-Заде за постановку задачи, помощь и советы на всех этапах работы над диссертацией, многочисленные полезные обсуждения. Автор благодарен к.ф.-м.н., доценту Илье Александровичу Богаевско-му за интерес к работе и полезные обсуждения.

Автор выражает благодарность участникам семинара «Топология особенностей» за полезные замечания, комментарии и дискуссии. Автор выражает благодарность всему коллективу кафедры высшей геометрии и топологии механико-математического факультета МГУ за дружелюбную атмосферу, всестороннюю поддержку и интерес к работе.

Глава 2

Пространства струй эквивариантных ростков

2.1 Линеаризуемость действия конечной группы на комплексном пространстве

При рассмотрении всевозможных пар комплексных действий данной конечной абе-левой группы на пространствах Сп и С важное значение имеет следующий хорошо известный результат (для полноты изложения приведем его здесь с доказательством).

Теорема 4. Пусть конечная группа С действует на пространстве Сп. Тогда существует система координат на Сп, в которой это действие линеаризуется.

Доказательство. Пусть (ж1?..., хп) — некоторая система координат на Сп. Каждому элементу а € С соответствует линейный оператор на касательном пространстве Ла: Т0СП ^ ТоСп. Рассмотрим систему координат (у1?..., уп), заданную формулами

и(р) = С £ Аахг(а-1р), (2.1)

|С|

где р € Сп — произвольная точка.

Докажем, что в системе координат (2.1) действие группы линеаризуется. В самом деле, пусть т € С — произвольный элемент группы. Тогда для каждой точки

р Е Сп имеем

Уг (тр) = ^хг(а-1тр) = хг( (т-1а)-1р)

= ^ Е Хг(а-1р)= АУг(р).

Значит, координата точки тр есть линейная комбинация координат (в той же системе) точки р, что и требовалось доказать. □

Замечание. Поскольку всякое конечномерное комплексное представление пред-ставимо в виде прямой суммы одномерных представлений, из предыдущей теоремы следует, что действие на Сп каждой образующей любой конечной группы О задается диагональной матрицей размера п х п, и эти матрицы удовлетворяют групповым соотношениям (если таковые имеются в группе О). В частности, если О = Ът, то действие образующей этой группы задается диагональной матрицей, в которой на диагонали стоят корни степени т из единицы.

Замечание. Утверждение теоремы 4 является частным случаем теоремы Бохнера о линеаризации (см. [10], а также [11, теорема 2.2.1]).

2.2 Эквивариантные ростки аналитических функций

Определение 4. Пусть а = (а1,..., ап) — упорядоченный набор натуральных чисел (весов). Росток д : (Сп, 0) ^ (С, 0) называется а-квазиоднородным степени г, если для всех £ Е С выполнено равенство

д(£а1 хь..., г°пХп) = £гд(х1,... , Хп).

Число г называют также а-квазистепенью ростка д и обозначают dega д.

Каждый росток голоморфной функции /: (Сп, 0) ^ (С, 0) задаётся в окрестности начала координат в Сп некоторым рядом. Условие эквивариантности этого ростка относительно действий группы Ът на Сп и С равносильно тому, что квазистепени (с некоторыми весами) всех мономов ростка / дают один и тот же

определённый остаток по модулю т. Если образующая а € Zто действует на С по формуле

а • (zi,... ,zn) = ^ех^^Пт1^ zi,..., exp ^^^J znJ , (2.2)

то в качестве набора весов можно взять а = (а1,..., ап), где

J qj mod m, если qj ф 0 (mod m), aj = < (2.3)

I m, если qj ф 0 (mod m).

При таком выборе весов всегда будет не более чем конечное число слагаемых каждой квазистепени. Отметим, однако, что указанный способ выбора весов — не единственный, обладающий таким свойством.

Определение 5. Набор весов а = (а1,...,ап) Е Nn будем называть допустимым относительно представления (2.2) группы Zm на Cn, если все мономы, эк-вивариантные относительно представления (2.2) группы Zm на Cn и некоторого представления этой же группы на C, имеют квазистепени с весами а, которые дают одинаковый остаток по модулю m, причем существует не более чем конечное число слагаемых каждой квазистепени.

В частности, набор (2.3) является допустимым относительно представления (2.2).

Пример. Пусть группа G = Z3 действует на C2 и на C по формулам:

а • (x,y) = (тх, т2у); а • z = tz, (2.4)

где т = exp(2ni/3). Если взять а = (1, 2) (набор, построенный по формулам (2.3)), то все мономы, эквивариантные относительно указанных действий, будут иметь а-квазистепени, делящиеся на 3 с остатком 1. Если взять в = (2,1), то все мономы, эквивариантные относительно указанных действий, будут иметь в-квазистепени, делящиеся на 3 с остатком 2. Легко видеть, что мономов каждой а-квазистепени и мономов каждой в-квазистепени существует не более чем конечное число. Поэтому а и в — различные наборы весов, допустимые относительно представлений (2.4).

Можно интерпретировать понятие допустимого набора весов геометрически. Для этого каждому моному zfl... z^" сопоставляется точка (k1,..., kn) Е Z^0.

Мономам а-квазистепени d соответствуют точки, лежащие на гиперплоскости, заданной уравнением aiki + ... + ankn = d c вектором нормали (ai,..., an). Набор а является допустимым, если:

• каждая точка с целочисленными неотрицательными координатами, которая отвечает эквивариантному моному, содержатся в одной из гиперплоскостей с уравнением a1k1 + ... + ankn = d, где d Е N;

• каждая такая гиперплоскость содержит не более чем конечное число таких точек;

• в уравнениях этих гиперплоскостей свободные члены сравнимы по модулю m.

Отсюда следует, в частности, что такая гиперплоскость не должна быть параллельна ни одной из координатных осей, поэтому в допустимом наборе для все i = 1,..., n выполняется условие ai = 0.

2.3 Эквивариантные ростки бирациональных автоморфизмов комплексных пространств

Пусть группа G = Zm действует на Cn и на C по формулам (2.2). Каждый росток эквивариантного автоморфизма (Cn, 0) ^ (Cn, 0) задаётся с помощью n рядов вида

Zk = а J (fc) (k), (2.5)

J (fc)gz™0

где J(k) = ..., — мультииндекс суммирования, aJ(k) Е C — коэффициен-

~J(k) ~jik) ~j(k) s-^n .(k) _L

ты, z1,..., zn — новые переменные, zJ = z^ ... z; , причём если s=1 js ^ qk (mod m), то aJ(k) = 0 (условие эквивариантности автоморфизма), а матрица коэффициентов линейных частей этих рядов — невырожденная. Нас будет интересовать действие такого ростка на струи ростков эквивариантных функций. Под струёй в этом случае понимается сумма всех мономов ограниченной квазистепени (в смысле выбранного допустимого набора весов).

Лемма 1 (о действии эквивариантного автоморфизма на ненулевую струю экви-вариантного ростка минимальной квазистепени). Пусть ^ : (Сп,0) ^ (Сп,0) — росток бирационального автоморфизма, эквивариантный относительно действия (2.2) группы Ът на Сп и заданный формулами (2.5). Пусть /: (Сп, 0) ^ (С, 0) — росток аналитической функции, эквивариантный относительно действия (2.2) группы Жто на Сп и некоторого действия этой же группы на С. Пусть а = (а1,..., ап) — набор весов, допустимый относительно представления (2.2). Пусть г — наименьшее натуральное число, для которого г-струя ростка / в смысле выбранного набора весов — ненулевая. Тогда г-струя ростка / о ^ в смысле выбранных весов зависит только от тех членов рядов (2.5), показатели степеней которых удовлетворяют условию

п

£ а^ = «. (2.6)

Доказательство леммы легко получается из правила умножения рядов.

2.4 Необходимое условие эквивариантной простоты ростка

Из леммы 1 на конечномерном пространстве ненулевых струй эквивариантных ростков наименьшей квазистепени действует группа линейных операторов, зависящих от параметров. Число этих параметров (то есть размерность группы) равно суммарному числу решений в уравнений (2.6) относительно переменных Ъ«к)} для к = 1,...,п; обозначим это число Если ^ превышает размерность пространства струй наименьшей квазистепени, то существуют непрерывные семейства орбит действия этой группы. Отсюда вытекает следующее утверждение.

Лемма 2 (необходимое условие эквивариантной простоты ростка). Рассмотрим росток аналитической функции /: (Сп, 0) ^ (С, 0), эквивариантный относительно действия (2.2) группы Жто на Сп и некоторого действия этой же группы на С. Пусть а = (а1,... ,ап) — набор весов, допустимый относительно представления (2.2). Пусть (г — 1)-струя ростка / в смысле набора весов « — тождественно нулевая. Если размерность пространства квазиоднородных многочле-

нов квазистепени r в смысле выбранного набора весов больше определенной выше размерности d, то росток f —не простой.

Доказательство. Рассмотрим пространство r-струй (в смысле набора весов а) эквивариантных ростков с тождественно нулевой (r — 1)-струёй. Оно совпадает с пространством квазиоднородных многочленов квазистепени r; обозначим его размерность /. Действие группы ростков эквивариантных бирациональных автоморфизмов (Cn, 0) индуцирует на нем действие d-параметрического семейства линейных операторов. Отсюда следует, что существуют (/ — d)-параметрические семейства орбит в пространстве r-струй ростков функций; к одному из таких семейств принадлежит орбита ростка f. Значит, росток f не является эквивариантно простым. □

2.5 Доказательство теоремы 1

Применим лемму 2 для доказательства теоремы 1.

Рассмотрим сначала случай n = 1. В этом случае любой росток, эквивариант-ный относительно представлений (1.2), представим в виде линейной комбинации мономов ^s> asxms+1 и эквивалентен своему младшему моному xmso+1. При этом достаточно малая окрестность орбиты такого ростка в пространстве r-струй эквивариантных ростков (C, 0) ^ (C, 0) при r > ms0 + 1 пересекается лишь с конечным числом других орбит, а именно с орбитами ростков xms+1, где 1 ^ s < s0. Кроме того, различные ростки вида (1.3) попарно неэквивалентны, поскольку имеют разную кратность критической точки в нуле. Отсюда следует первое утверждение теоремы.

Теперь рассмотрим случай n > 2. При m = 2 утверждение теоремы следует из [2, теорема 3.17]. Поэтому далее будем рассматривать только случай m > 3.

Моном z^ ... ¿П" эквивариантен относительно представлений (1.2) тогда и только тогда, когда k1 + ... + kn = 1 (mod m). Отсюда, в частности, следует, что m-струя эквивариантного ростка с критической точкой в нуле будет нулевой.

Покажем, что уже классификация (m + 1)-струй эквивариантных ростков с

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Асташов, Евгений Александрович, 2017 год

Литература

[1] В. И. Арнольд. Критические точки функций на многообразии с краем, простые группы Ли , Ck, и особенности эволют // Успехи математических наук, 33:5 (1978), 91-107.

[2] W. Domitrz, M. Manoel, P. de M. Rios. The Wigner caustic on shell and singularities of odd functions // Journal of Geometry and Physics, 71 (2013), 58-72.

[3] В. И. Арнольд. Нормальные формы функций вблизи вырожденных критических точек, группы Вейля Ak, Dk, Ek и лагранжевы особенности // Функциональный анализ и его приложения, 6:4 (1972), 3-25.

[4] J. Kollar. An effective Lojasiewicz inequality for real polynomials // Periodica math. hung., 38:3 (1999), 213-221.

[5] С. М. Гусейн-Заде, Н. Н. Нехорошев. Об особенностях типа Ak на плоских кривых фиксированной степени // Функциональный анализ и его приложения, 34:3 (2000), 69-70.

[6] Е. А. Асташов. Алгебраические кривые фиксированной степени со сложными особенностями // "Дни студенческой науки. Весна-2011." Сборник научных трудов - М.: МЭСИ (2011), 28-38.

[7] S.Yu. Orevkov. Some examples of real algebraic and real pseudoholomorphic curves // Perspectives in Analysis, Geometry and Topology . Progr. in Math. 296, Birkhauser/Springer, N. Y. (2012), 355-387.

[9

[10

11 12

13

14

15

16

17

18

19

E. Astashov. On algebraic hypersurfaces of fixed degree in Cn with prescribed singularities // Proc. Int. miniconf. "Qualitative theory of differential equations and applications" (16 June 2012). M.: MESI (2013), 5-19.

Е. А. Асташов. Об особенностях типа Ak на кривых и поверхностях заданной степени, квазистепени и мультистепени // Вестник Московского университета. Серия 1. Математика. Механика, 6 (2015), 3-9.

S. Bochner. Compact groups of differentiable transformations // Ann. Math., 2:46 (1945), 372-381.

J.J. Duistermaat, J. A. C. Kolk. Lie groups // Springer, 2000.

Дж. Милнор. Теория Морса: пер. с англ. Изд. 2-е // М.: Изд-во ЛКИ, 2008.

J.W. Bruce, N.P. Kirk, A. A. duPlessis. Complete transversals and the classification of singularities // Nonlinearity, 10 (1997), 253-275.

В. И. Арнольд, А. Н. Варченко, С. М. Гусейн-Заде. Особенности дифференцируемых отображений // М.: МЦНМО, 2009.

В. И. Арнольд. Особенности гладких отображений // Успехи матем. наук, 23:1 (1968), 101-114.

M. Artin. On the solution of analytic equations // Invent. Math. 5 (1968), 299-291.

J.-C. Tougeron. Ideaux des fonctions differentiables // Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 18:1 (1968), 177-240.

А. М. Самойленко. Об эквивалентности гладкой функции полиному Тейлора в окрестности критической точки конечного типа // Функц. анализ и его приложения, 2:4 (1968), 63-69.

J. W. Bruce,A. A. du Plessis, C. T. C. Wall. Determinacy and unipotency // Invent. Math. 88 (1987), 521-54.

Дж. Мазер. Структурная устойчивость отображений, в сб. «Особенности дифференцируемых отображений» // М.: Мир (1968), 216-217.

[21] P. Slodowy. Einige Bemerkungen zur Entfaltung symmetrischer Funktionen // Math. Z., 158 (1978), 157-170.

[22] P. H. Baptistelli, M. G. Manoel. The classification of reversible-equivariant steady-state bifurcations on self-dual spaces // Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 145:2 (2008), 379-401.

[23] M. Giusti. Classification des singularites isolées simples d'intersections completes // Proceedings of symposia in pure mathematics, 40:1 (1983), 457-494.