Хаотическое движение атомов в периодических полях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Аргонов, Виктор Юрьевич

• Аргонов, Виктор Юрьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Аргонов, Виктор Юрьевич

Введение

Глава I Управление движением атомов с помощью электромагнитного поля: обзор литературы

Глава II Гамильтонова динамика атомно-полевой системы

§ 1 Уравнения движения.

§ 2 Динамика системы при точном атомно-полевом резонансе.

§ 3 Осцилляции Раби вне резонанса и резонанс Доплера-Раби.

§ 4 Хаос и фрактальные свойства механического движения атома.

§ 4.1 Хаотическое блуждание атома и полёты Леви.

§ 4.2 Исследование хаотического движения методом отображения Пуанкаре

§ 4.3 Фрактальные свойства движения атома.

Глава III Диссипативная динамика атомно-полевой системы: уравнения движения и механические эффекты

§ 1 Уравнения движения.

§ 2 Движение атома под действием силы трения

§ 3 Хаос и фрактальные свойства в механическом движении атома.

§ 3.1 Диссипативное хаотическое блуждание атома.

§ 3.2 Диссипативные фракталы

Глава IV Диссипативная динамика атомно-полевой системы: синхронизация, аттракторы, бифуркации

§ 1 Синхронизация.

§ 2 Приближённые аналитические решения

§ 3 Структура бассейнов притяжения аттракторов.

§ 4 Бифуркации при изменении параметров.

§ 5 Спектры флуоресценции.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Хаотическое движение атомов в периодических полях»

Данная работа находится на стыке двух быстро развивающихся научных дисциплин: физики взаимодействия атомов с когерентным электромагнитным излучением и теории нелинейных колебаний.

Теоретическое и экспериментальное исследование взаимодействия атомов с лазерным полем, помимо чисто академического интереса, имеет сегодня большое практическое значение. Если первоначально основным приложением было создание сверхнизких температур атомного движения, то сейчас большой интерес представляет непосредственное управление движением атомов, атомный лазер, излучающий когерентные пучки атомов, квантовый компьютер на плененных атомах и ионах. Особую важность приобрела проблема одновременного управления как внешними (механическими), так и внутренними степенями свободы атомов, когда требуется учёт эффектов, связанных как с механическим движением, так и с динамикой внутренней энергии и дипольного момента атома.

Взаимодействие атомов с полем излучения и лазерная оптика представляют интересное поле исследования для нелинейной динамики. Помимо успехов в лазерной технике и в экспериментах с холодными атомами, последние деся-тиления были ознаменованы быстрым развитием вычислительной техники. Стало возможным широкое применение численных методов анализа нелинейных уравнений, позволяющих выявлять закономерности, не допускающие точного аналитического описания.

Существование неинтегрируемых систем дифференциальных уравнений было открыто в конце 19 века. Принципиальное значение для этого имели работы А. Ляпунова и А. Пуанкаре. Исследование проблем устойчивости, изначально рассматривавшееся математиками как чисто техническая задача, привело в 1892 году к фундаментальному открытию. В работе [1] Пуанкаре доказал, что в задаче трех тел могут возникать неустойчивые орбиты с чрезвычайно сложным поведением. Новое явление, вноследствие названное динамическим или детерминированным хаосом, заключалось в том, что совершенно детерминированная система из малого числа уравнений может в отсутствие какого-либо случайного возмущения иметь решения со стохастическими свойствами (см., напр., [2, 3, 4, 5]). Такие решения не являются ни периодическими, ни квазииериодическими, и, как правило, не могут быть описаны аналитическим выражением. На больших временных масштабах детерминированное хаотическое движение практически не отличается от случайного, так как из-за неустойчивости ошибка предсказания экспоненциально растёт.

Развитие теории нелинейных колебаний в 20 веке (в значительной степени связанное с именами отечественных учёных Мандельштама, Андронова, Витта, Боголюбова, Колмогорова, Понгрягина, Чирикова, Арнольда и др.) позволило, помимо явления динамического хаоса, выявить "обратную сторону" нелинейного мира — возможность самоорганизации. Первым, наиболее простым и фундаментальным её проявлением стали автоколебагшя [6] устойчивые периодические процессы, самостоятельно возвращающиеся к своему выделенному ритму после воздействия внешнего возмущения. В работах отечественных и зарубежных учёных конца 20-х - начала 30-х гг., фактически, был заложен фундамент таких междисциплинарных направлений, как теория катастроф, синергетика, теория диссинативных систем. В 30-х гг. советскими учёными был проведён ряд оригинальных радиотехнических экспериментов, призванных на практике проиллюстрировать новые теоретические достижения (см. напр. [7, 8]). Начиная с этого времени, теория нелинейных колебаний перестаёт быть исключительно разделом математики. Помимо механических явлений, она находит приложения в электронике, химии, биологии, экологии и даже в гуманитарных науках.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Аргонов, Виктор Юрьевич

Основные результаты, полученные в этой главе, опубликованы в работах (95, 96].

Заключение

В рамках полуклассического подхода теоретически и численно исследована гамильтонова и диссипативная динамика взаимодействия внутренних и внешних степеней свободы двухуровневого атома с полем стоячей световой волны. Обнаружен и описан ряд новых динамических эффектов.

Отметим обнаружение и изучение в гамильтоновой и диссипативной системах детерминированного хаоса. Был обнаружен новый эффект хаотического блуждания атома в поле периодической стоячей волны с аномальными статистическими свойствами (а именно, полётами Леви и алгебраическими "хвостами" функций распределения) и фрактальными свойствами. Обнаружение динамических атомных фракталов, позволившее выявить скрытый порядок в хаотической динамике атомно-полевой системы, стало, насколько нам известно, новым результатом в теории взаимодействия атомов с лазерным излучением.

В гамильтоновом случае обнаружен и описан эффект усиления осцилляций Раби при совпадении расстройки резонанса с доплеровским сдвигом, названный резонансом Донлера-Раби.

В диссипативном случае обнаружен и описан эффект синхронизации внутренних и внешних степеней свободы атома. В фазовом пространстве системы для различных значений параметров и начальных условий обнаружена большая серия притягивающих множеств, включающая как устойчивые предельные циклы различного периода, так и хаотические странные аттракторы. Выявлены различные типы бифуркаций предельных циклов при изменении параметров системы. Следует отметить нетривиальную структуру бассейнов притяжения как хаотических, так и регулярных притягивающих множеств. В частности, для циклов периодов 1 и 3 было обнаружено явление ри/уушн-га, или изрешечивания, бассейнов притяжения, состоящее в том, что в сколь угодно малой окрестности точки одного бассейна (конкретно, цикла периода 3) есть точка, принадлежащая другому бассейну притяжения (цикла периода 1). Этот эффект, известный в литературе для хаотических и странных аттракторов, для устойчивых предельных циклов, насколько нам известно, обнаружен впервые.

Помимо этого, мы обнаружили ряд уже известных регулярных динамических эффектов, что позволило сопоставить наши результаты с результатами других авторов, полученными различными методами, и удостовериться в их правильности. В частности, наше описание таких механических эффектов, как ускорение и замедление атомов с иомощыо ноля, группирование атомов по скоростям и зависимость силы трения от скорости хорошо согласуется качественно и количественно с теоретическими работами А. П. Казанцева и ДР

Помимо уже упомянутых наших основных работ [91, 92, 94, 95, 96], результаты исследования опубликованы в статьях [101, 102, 103, 104, 105].

Работа выполнена при поддержке:

• Российского фонда фундаментальных исследований (проекты № 01-0206020, № 99-02-17269, № 03-02-06895, № 02-02-17796)

• Программы фундаментальных исследований Президиума РАН "Математические методы в нелинейной динамике" (проект № 4.17 "Статистические методы в теории хаотического рассеяния в гамильтоновых системах")

• Программы Президиума Дальневосточного отделения РАН (проекты №

03-Ш-Г-02-008 "Диссииатиная динамика холодного атома в поле стоячей световой волны", № 03-III-A-02-124 "Квантовые фракталы", № 04-Ш-Г-02-46 "Хаос, фракталы и странные аттракторы во взаимодействии движущегося атома с классическим полем излучения в резонаторе", №

04-III-A-02-45 "Квантовый хаос во взаимодействии атомов с фотонами", № 05-Ш-Г-02-005 "Синхронизация и бифуркации внутренних и внешних степеней свободы атомов в лазерном поле", № 05-III-A-02-100 "Декоге-рентность атомов в собственном поле излучения").

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Аргонов, Виктор Юрьевич, 2005 год

1. Пуанкаре А. Новые методы небесной механики. Избранные труды. Т. 1, 2. М.: Наука, 1971, 1972.

2. Крылов Н. С. Работы по обоснованию статистической физики. М. -Л.: Изд-во АН СССР, 1950.

3. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярное и стохастическое движение. М.: Мир, 1984. 528 с.

4. Заславский Г. М., Сагдеев Р. 3. Введение в нелинейную физику. М.: Наука, 1988. - 368 с.

5. Рабинович М. И., Трубецков Д. И. Введение в теорию колебаний и волн. М.: Наука, 1984. - 432 с.

6. Андронов А., Витт А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний. М.: Наука. 1981. 568 с.

7. Мандельштам Л. И., Папалекси Н. Д., Андропов А. А., Витт А. А., Горелик Г. С., Хайкин С. Э. Новые исследования нелинейных колебаний.

8. М.: Гос. изд-во по вопросам радио, 1936.

9. Бендриков Г. А., Горелик Г. С. Применение Брауновской трубки к исследованию движения изображающей точки на плоскости переменных Ван-дер-Поля // ЖТФ. 1935, Т. 5, № 4, С. 620-626.

10. Аскарьян Г. А. Воздействие градиента поля интенсивного электромагнитного луча на электроны и атомы // ЖЭТФ. 1962. Т. 42, № 6. С. 1567-1570.

11. Летохов В. С. Сужение донлеровской линии в стоячей световой волне // Письма в ЖЭТФ. 1968. Т. 7, № 9. С. 348-351.

12. Letokhov V. S., Pavlik В. D. Spectral line narrowing in a gas by atoms trapped in standing light wave // Appl. Phys. 1976. Vol. 9, № 2. P. 229237.

13. Казанцев А. П., Сурдутович Г. П., Яковлев В. П. Механическое действие света на атомы. М.: Наука, 1991. - 190 с.

14. Казанцев А. П. Ускорение атомов резонансным полем //' ЖЭТФ. 1972. Т. 63, № И. С. 1628-1634.

15. Казанцев А. П. Ускорение атомов светом // ЖЭТФ. 1974. Т. 66, № 5. С. 1599 1612.

16. Frish О. R. Experimenteller Nachweis des Einsteinschen Strahlungsriickstasses // Ztschr. Pliys. 1933. Bd. 86. S. 42-48.

17. Ashkin A. Atomic beam deflection by resonance-radiation pressure /7 Phys. Rev. Lett. 1970. Vol. 25, № 19. P. 1081 1088.

18. Schieder R., Walt her H., Woste L. Atomic beam deflection by the light of a tunable dye laser // Opt. Comm. 1972. Vol. 5, № 5. P. 337 -340.

19. Jacquinot. P., Liberman S., Picque J. L., Pinard Л. High resolution spectroscopic application of atomic beam deflection by resonant light // Opt. Comm. 1973. Vol. 8, № 2. P. 163-165.

20. Hansch T. W., Schawlow A. L. Cooling of gases by laser radiation /,/ Opt. Comm. 1975. Vol. 13, № 1. P. 68-71.

21. Letokhov V. S., Minogin V. G., Pavlik B. D. Cooling and trapping of atoms and molecules by a resonant laser field // Opt. Comm. 1976. Vol. 19. № 1. P. 72-75.

22. Летохов В. С., Миногин В. Г., Павлик Б. Д. Охлаждение и пленение атомов и молекул резонансным световым полем // ЖЭТФ. 1977. Т. 72, № 4. С. 1328-1341.

23. Андреев С. В., Балыкин В. И., Летохов В. С. Миногин В. Г. Радиационное замедление и монохроматизация пучка атомов натрия до 1,5 К во встречном лазерном луче // Письма в ЖЭТФ. 1981. Т. 34, № 8. С. 463-467.

24. Phillips W., Metcalf Н. Laser deceleration of an atomic beam /7 Phys. Rev. Lett, 1982. Vol. 48, № 9. P. 596-599.

25. Raab E. L., Prentiss A., Cable A. et al. Trapping of neutral sodium atoms with radiation pressure // Phys. Rev. Lett. 1987. Vol. 59, № 23. P. 2631 2634.

26. Шварцшильд Б. Сфокусированный лазерный луч создаёт оптическую ловушку для нейтральных атомов // Физика за рубежом. Сер. А (исследования). М.: Мир, 1988. С. 127-135.

27. Balykin V. I., Letokhov V. S., Minogin V. G„ Zueva Т. V. Collimation of atomic beams by resonant laser radiation pressure // Appl. Phys. 1984. Vol. 35, № 3. P. 149-153.

28. Павлик Б. Д. Холодные и ультрахолодные атомы. Киев: Наукова думка, 1993.

29. Bezverbny A. V. Influence of the Spatial Rotation of a Polarization Plane on the Radiative Friction Force in Light Fields with Polarization Gradients // JETP Letters. 2001. Vol. 74, № 3. P. 144-148.

30. Безвербный А. В., Шаповалов А. В. Стохастическая динамика атомов в резонансном световом иоле в квазиклассическом приближении //Оптика и спектроскопия. 2004. Т. 97, № 1. С. 88-95.

31. Chu S., Cohen-Tannoudji С., Phillips W. D. Nobel lectures. // Rev. Mod. Phys. 1998. Vol. 70, P. 685.

32. Rarity J., Weisbuch C. (eds.) Microcavities and Photonic Bandgaps: Physics and Applications. Dordrecht: Kluwer, 1996.

33. Raimond J. M., Brune M., Haroche S. Colloquium: Manipulating quantum entanglement with atoms and photons in a cavity. Rev. Mod. Phys. 2001. Vol. 73. P. 565-582.

34. Hood C. J., Lynn T. W., Doherty A. C., Parkins A. S., Kimble H. Л. The atom-cavity microscope: single atoms bound in orbit by singlephotons // Science. 2000. Vol. 287. P. 1447-1453.

35. Miinstermann P., Fischer Т., Maunz P., Pinkse P. W. H., Rempe G. Dynamics of single-atom motion observed in a high-finesse cavity /7 Phys. Rev. Lett. 1999. Vol. 82. P. 3791-3794.

36. Wineland D. J, Monroe C., Itano W. M., Leibfried D., King В. E., Meekhof D. M. Experimental issues in coherent quantum-state manipulation of trapped atomic ions //J. Res. Natl. Inst. Stand. Technol. 1998. Vol. 103. P. 259-328.

37. Monroe С., Meekfov D. M., King В. E., Itano W. M. and Wineland D. J. Demonstration of a fundamental quantum logic gate // Phys. Rev. Lett. 1995. Vol. 75, P. 4714-4717.

38. Cirac J. I., Zoller P. Quantum Computations with Cold trapped Ions // Phys. Rev. Lett. 1995. Vol. 74. P. 4091-4094.

39. Cirac J. I., Parkins A. S., Blatt R., Zoller P. Quantum motion of trapped ions // Adv. At. Mol. Phys. 1996. Vol. 37. P. 237.

40. Ye J., Vernooy D. W., Kimble H. J. Trapping of single atoms in cavity QED // Phys. Rev. Lett, 1999. Vol. 83. P. 4987-4990.

41. Гуртовник A. C. // Изв. вузов: Радиофиз. 1958. Т. 1, № 5- 6. С. 83.

42. Kikuchi С., Lambe J., Makhov G., Terhune R. W. Ruby as a Maser Material // Л. Appl. Phys. 1959. Vol. 30, № 7. P. 1061 1067.

43. Makhov G., Gross L. G., Terhune R. W., Lambe Л. Effect of Nuclear Polarization on the Behavior of Solid State Masers / J. Appl. Phys. 1960. V. 31, № 5. P. 936-938.

44. Grasiuk A. Z., Oraevsky A. N. Transient processes in a beam maser // in Proc. of the 4th Int. Congress on Microwave Tubes. Holland, Sheveningen, 1962. P. 446.

45. Грасюк A. 3., Ораевский A. H. // Радиотехн. и электрон. 1964. Т. 9, № 3. С. 524.

46. Haken Н. Analogy between higher instabilities in fluids and laser // Phys. Lett. 1975. Vol. A53. P. 77-78.

47. Lorenz E. N. Deterministic non-periodic flow j j J. Atm. Sci. 1963. Vol. 20, № 20. P. 130-148.

48. Ханин Я. И. Основы динамики лазеров. М.: Наука, Физматгиз, 1999. 368 с.

49. Хандохин П. А., Ханин Я. И. Автостохастический режим генерации твердотельного кольцевого лазера с низкочастотной периодической модуляцией потерь // Квант, электрон. 1984. Т. 11. № 7. С. 1483 1487.

50. Dangoisse D., Glorieux P., Hennequin D. Chaos in a CO2 laser with modulated parameters: Experiments and numerical simulations // Phys. Rev. 1987. Vol. A36. P. 4775.

51. Белобров П. И., Заславский Г. М., Тартаковский Г. X., Стохастическое разрушение связанных состояний в системе атомов, взаимодействующих с полем излучения // ЖЭТФ. 1976. Т. 71. JV-° 5(11). С. 1799 1812.

52. Jaynes Е. Т., Cummings F. W. Comparison of quantum and semiclassical radiation theories with application to the beam maser. // Proc. IEEE. 1963. Vol. 51. P. 89-109.

53. Kon'kov L. E., Prants S. V. Quantum chaos in the group-theoretical picture // Journal of Mathematical Physics. 1996. Vol. 37. P. 1204-1217.

54. Кирилюк И. Jl., Пранц С. В. Механизм возникновения гамильтонова хаоса в базовой модели оптики // Оптика и спектроскопия. 2000. Т. 89. № 6. Р. 978-983.

55. Schlicher P.R. Jaynes-Cummings model with atomic motion. // Opt. Comm. 1989. Vol. 70, № 2. P. 97-102.

56. Prants S. V., Yacoupova L. S. The Jaynes-Cummings model with modulated field-atom coupling in resonator quantum electrodynamics // Journal of Modern Optics. 1992. Vol. 39. P. 961-971.

57. Prants S. V., Kon'kov L .E. Dynamical chaos in the interaction of movingatoms with a cavity field // Phys. Lett. A. 1997. Vol. 225, N. 1. P. 33 38.

58. Prants S. V. Control of quantum states in nonstationary cavity QED systems. // Quantum Communication, Computing and Measurement ed. by Hirota O., Holevo A. S., Caves С. M. N. Y.: Plenum Press, 1997. P. 513 520.

59. Prants S. V., Kon'kov L. E., Kirilyuk I. L. Semiclassical interaction of two-level moving atoms with a cavity field: from integrability to Hamiltonian chaos // Phys. Rev. E. 1999. Vol. 60. P. 335 346.r

60. Пранц С. В., Юсупов В. И. Структурный хаос в обратимом спонтанном излучении // Квантовая электроника. 2000. Т. 30. № 7. С. 647 652.

61. Пранц С. В. Структуры и хаос в параметрических осцилляциях Раби и Оптика и спектроскопия. 2001. Т. 90, № 5. С. 794 799.

62. Ioussoupov V. I., Kon'kov L. Е., Prants S. V. Structural Hamiltonian chaos in the coherent parametric atom-field interaction // Physiea D. 2001. Vol. 155, № 3/4. P. 311-322.

63. Prants S. V. Intermittency and dynamical chaos // Phys. Rev. E. 2000. Vol.61, № 2. P. 1386-1389.

64. Graham R., Schlautmann M., Zoller P. Dynamical localization of atomic-beam deflection by a modulated standing light wave // Phys. Rev. A. 1992. Vol. 45. P. 19-22.

65. Moore F. L., Robinson J. C., Bharucha C., Williams P. E., Raizen M. G. Observation of dynamical localization in atomic momentum transfer: a new testing ground for quantum chaos // Phys. Rev. Lett. 1994. Vol. 73. P. 2974 2977.

66. Bardroff P. J., Bialynicki-Birula I., Krahmer D. S., Kurizki G., Mayr E., Stifter P., Schleich W. P. Dynamical Localization: Classical versus Quantum Oscillations in Momentum Spread of Cold Atoms // Phys. Rev. Lett. 1995. Vol. 74, № 20. P. 3959 3962.

67. Robinson J. C., Bharucha C., Moore F. L., Jahnke R., Georgakis G. A., Niu Q., Raizen M. G., Bala Sundaram. Study of Quantum Dynamics in the Transition from Classical Stability to Chaos //' Phys. Rev. Lett. 1995. Vol. 74, № 20. P. 3963-3966.

68. Latka M., West B. W. Nature of Quantum Localization in Atomic and Momentum Transfer Experiments // Phys. Rev. Lett. 1995. Vol. 74, № 23. P. 4202-4205.

69. Graham R., Miyazaki S. Dynamical localization of atomic de Broglie waves: The influence of spontaneous emission // Phys. Rev. A. 1996. Vol. 53, № 4. P. 2683-2693.

70. Goetsch P., Graham R. Decoherence by spontaneous emission in atomic-momentum transfer experiments // Phys. Rev. A. 1996. Vol. 54, № 6. P. 5345-5348.

71. Hensinger W. K., Truscott A. G., Upcroft В., Heckenberg N. R., Rubinsztein-Dunlop H. Atoms in an amplitude-modulated standing wave dynamics and pathways to quantum chaos //J. Opt. B: Quantum Semi-class. 2000. Opt. 2. P. 659-667.

72. Hensinger W. K., Haffner H., Browaeys A., Heckenberg N. R., Helmerson K., McKenzie C., Milburn G. J., Phillips W. D., Rolston S. L., Rubinsztein-Dunlop H., Upcroft B. Dynamical tunnelling of ultracold atoms // Nature. 2001. Vol. 412. P. 52- 55.

73. Hensinger W. K., Heckenberg N. R., Milburn G. J., Rubinsztein-Dunlop H. Experimental tests of quantum nonlinear dynamics in atom optics Л. Opt, B: Quantum Semiclass. 2003. Opt. 5. P. R83 R120.

74. Artuso R., Rebuzzini L. Effects of a nonlinear perturbation on dynamical tunneling in cold atoms // Phys. Rev. E. 2003. Vol. 68. Art, 036221.

75. Reichl L. E. The transition to chaos in conservative classical systems: quantum manifestations. Berlin: Springer-Verlag, 1991.

76. Moore F. L., Robinson J. C., Bharucha C. F., Sundaram В., Raizen M. G. Atom optics realization of the quantum J-kicked rotor // Phys. Rev. Lett, 1995. Vol. 75, № 25. P. 4598-4601.

77. Frey M. Т., Dunning F. B. Realization of the kicked atom // Phys. Rev. A. 1999. Vol. 59, № 2. P. 1434-1443.

78. Williams M. E. К., Sadgrove M. P, Daley A. J., Gray R. N. C., Tan S. M., Parkins A. S., Leonhardt R., Christensen N. Measurements of diffusion resonances for the atom optics quantum kicked rotor //J. Opt. B: Quantum Semiclass. 2004. Opt. 6. P. 28-33.

79. Bienert M., Haug F., Schleich W. P., Raizen M. G. KickedRotor in Wigner Phase Space // Fortschritte der Physik. 2003. Vol. 51, № 4-5. P. 474 -486.

80. Миногин В. Г., Летохов В. С. Давление лазерного излучения на атомы. М.: Наука, 1986.

81. Ott Е. Chaos in Dynamical Systems. Cambridge: Cambridge University Press, 1993.

82. Будянский M. В., Улейский M. Ю., Пранц С. В. Фракталы и динамические ловушки в простейшей модели хаотической адвекции с топографическим вихрем // Докл. РАН, 2002. Т. 386, № 5. С. 686-689.

83. Bliimel R., Reinhardt W. P. Chaos in Atomic Physics. Cambridge: Cain-bridge University Press, 1997.

84. Shore B. W., Meystre P., Stenholm S. Is a quantum standing wave composed of two traveling waves? // J. Opt. Soc. Am. B. 1991. Vol. 8. P. 903 910.

85. Пранц С. В. Взаимодействие нелинейных резонансов в квантовой ре-зонаторной электродинамике // Письма в ЖЭТФ. 2002. Т. 75, № 2. С. 63-65.

86. Пранц С. В., Коньков JT. Е. Хаотическое блуждание атома в когерентном иоле стоячей световой волны // Письма в ЖЭТФ. 2001. Т. 73, № 4. С. 200-204.

87. Zaslavsky G. М. Physics of Chaos in Hamiltonian Systems. London: Imperial Colledge Press, 1998.

88. Prants S. V., Sirotkin V. Yu. Effects of Rabi oscillations on the atomic motion in a standing-wavy cavity // Phys. Rev. A. 2001. Vol. 64, № 3. Art. 033412.

89. Аргонов В. Ю., Пранц С. В. Фракталы и хаотическое рассеяние атомов в ноле стационарной стоячей световой волны ЖЭТФ. 2003. Т. 123, № 5. С. 946-961.

90. Schroeder М. Fractals, Chaos, Power Laws. N. Y.: W. H. Freeman and Company, 1990.

91. Аргонов В. К)., Пранц С. В. Нелинейная динамика атома в резонаторе;: Хаос, фракталы, полёты Леви, странные аттракторы // в сб. трудов ДВО РАН "Нелинейные динамические процессы". Владивосток: Дальнаука, 2004. С. 101-122.

92. Аргонов В. К)., Пранц С. В. Синхронизация и бифуркации внутренних и внешних степеней свободы атома в стоячей световой волне // Письма в ЖЭТФ. 2004. Т. 80, № 4. С. 260-264.

93. Argonov V. Yu. Prants S. V. Synchronization of internal and external degrees of freedom of atoms in a standing laser wave Электронный ресурс]

94. E-print archive. 2004. quant-ph/0409108 (http://xxx.lanl.gov/abs/quant-ph/0409108).

95. Huygens Ch. Horologium Oscillatorium. Parisiis: Apud F. Muguet., 1673. English translation: The Pendulum Clocks. Ames: Iowa State University Press, 1986)].

96. Андронов А. А., Витт А. А. К математической теории захватывания // Журн. прикл. физики, 1930, Т. 7, № 4, С. 3-20.

97. Sommerer J. С., Ott Е. A Physical System with Qualitatively Uncertain Dynamics // Nature. 1993. Vol. 365. P. 138 140.

98. Анищенко В. С., Вадивасова Т. Е., Астахов В. В. Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем. Саратов: Изд-во Саратовского Университета, 1999. 368 с.

99. Sirotkin V. Yu., Prants S. V. Dynamics of interaction Between Internal and External Degrees of Freedom of an Atom in the Resonance Standing-Wave Light Field // Journal of Russian Laser Research. 2000. Vol. 21. P. 585 602.

100. Sirotkin V. Yu., Prants S. V. Random Walking of a Two-Level Atom in a Standing-Wave Field // in Proc. SPIE, Vol. 4750. USA, Washingon, 2002.1. P. 97-103.

101. Аргонов В. Ю. Нелинейная динамика движения холодного атома в пространственно периодическом поле стоячей световой волны // в сб. трудов ТОЙ ДВО РАН "Океанологические Исследования". Владивосток: Дальнаука, 2003. С. 133-139.

102. Prants S. V., Argonov V. Yu. Atomic fractals in cavity QED Электронный ресурс] / E-print archive. 2002. Physics/0206005. -(http: //xxx. lanl .gov/abs/physics/0206005).