Изогеометрическая интерполяция нелокальными кубическими сплайнами и их обобщениями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, кандидат наук Богданов, Владимир Васильевич

• Богданов, Владимир Васильевич
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Богданов, Владимир Васильевич

Оглавление

Стр.

Введение

Глава 1. Трёхдиагональные системы с нестрого якобиевой матрицей

1.1. Вводные замечания

1.2. Задача о наследовании решением системы линейных уравнений знаковой схемы правой части

1.3. Условия неотрицательности решения системы с нестрого якобиевой матрицей и диагональным преобладанием по строкам или

по столбцам

Глава 2. Условия изогеометрической интерполяции классическими кубическими сплайнами класса С2

2.1. Комонотонность и ковыпуклость при сплайн-интерполяции

2.2. Представления сплайнов, приводящие к системам с диагональным преобладанием по столбцам

2.3. Условия комонотонной интерполяции кубическими сплайнами

Глава 3. Изогеометрическая интерполяция обобщёнными кубическими

сплайнами класса С2

3.1. Обобщенные нелокальные кубические сплайны

3.2. Оптимальность параметров при выпуклой интерполяции

3.3. Численная реализация алгоритма выбора управляющих параметров сплайна

Заключение

Литература

104

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Изогеометрическая интерполяция нелокальными кубическими сплайнами и их обобщениями»

Введение

К геометрическим характеристикам функции обычно относят свойства её графика, которые принято называть /с-монотонностью. Для гладкой функции /(х) под ^-монотонностью мы понимаем знакопостоянство к-ой производной (х). В принципе, понятие /с-монотонности можно и не связывать с гладкостью функции, но мы на этом останавливаться не будем. При невысоких значениях к для /с-монотонности есть специальные названия: к = 0 — знакопостоянство, к = 1 — монотонность, к = 2 — выпуклость (вниз или вверх). Иногда /с-монотонность, аналогично, называют /с-выпуклостью. Для функций, не обладающих свойством к-монотонности, интерес представляет возможность разбиения области задания на промежутки /с-монотонности, что характеризует свойство кусочной к-монотонности функции. Смена знака производной порядка к характеризует изменение направления /с-монотонности функции.

Геометрические свойства функции /, заданной на отрезке [а, Ь] дискретно своими значениями /г = /(хг) в некоторых точках хг, образующих сетку

Д : а = хо < XI < ... < хп = 6,

в отсутствие иной информации характеризуются знаками разделённых разностей порядка к, которые для всех возможных г определяются рекур-рентно:

г!0) = /., = («Т11 - - *.)•

Такая характеристика обусловлена тем, что для достаточно гладкой функции существует £гк е [хг,хг+к], такое что к\ =

Дискретные данные {/г} с неотрицательными разделёнными разностями порядка к также будем называть /с-монотонными. Очевидно, что если функция / является /с-монотонной, то ^-монотонным является и набор её сеточных значений /г = /(хг), т.е. > 0 для всех возможных г.

Произвольные сеточные данные, не являющиеся /¿-монотонными, характеризуются участками /¿-монотонности, в этом смысле будем говорить о кусочно /¿-монотонных данных. Изменение знака разделённых разностей порядка к на границе участков /¿-монотонности 5< 0 будем называть изменением направления к-монотонности данных.

Аппроксимацию, согласованную с кусочной /¿-монотонностью данных, представляющих заданную на сетке функцию, называют сохраняющей кусочную /¿-монотонность или /¿-комонотонной.

Данная работа посвящена вопросам интерполяции данных с учетом их /¿-монотонности и кусочной /¿-монотонности для к = 1,2, т.е. комо-нотонной (к = 1) и ковыпуклой (к — 2) интерполяции сплайнами. В этих случаях первую и вторую разделённые разности принято обозначать /[жг, Хг+г] = и /¡£¿-1, х^, Х{+\] = <5^, в последнем случае для краткости будем использовать обозначение д{ = /[^-1,^5^+1]-

В настоящее время основным аппаратом интерполяции в практических задачах, особенно при большом числе точек, являются полиномиальные сплайны.

Хотя кусочно гладкие функции используются с незапамятных времён, впервые полиномиальные сплайны, как объект исследования, появились в работе И.Шёнберга [88]. С развитием вычислительных средств теория сплайнов стала развиваться стремительно. Простота, алгоритмичность и открытость для внедрения в сплайновую конструкцию самых разных математических объектов в сочетании с изобилием представлений сплайнов, превратили их в универсальный аппарат решения задач вычислительной математики и теории приближений.

Первая монография по сплайнам Дж. Алберга, Э. Нильсона, и Дж. Уол-ша, появившаяся в 1967 году на английском языке и переведенная в 1972 году Ю. Н. Субботиным под редакцией С. Б. Стечкина [1] послужила толчком к русскоязычному изложению развивающейся теории. И уже в 1976 году

вышла книга С. Б. Стечкина и Ю.Н. Субботина [46], посвящённая сплайнам в вычислительной математике. Чуть позже в монографии Ю. С. Завьялова, Б. И. Квасова и В. Л. Мирошниченко [26] были изложены методы построения, исследования и применения сплайн-функций в численном анализе, причем большое внимание в книге уделено построению алгоритмов, эффективно реализуемых на ЭВМ. В монографии К. деБора [7] акцентируется внимание на важности представления сплайн-функций в виде линейных комбинаций В-сплайнов, предлагается большое число программ на ФОРТРАНе и также рассматриваются те разделы из теории сплайнов, которые полезны при вычислениях.

В монографии Л. Шумейкера [89] рассматриваются алгебраические, аналитические и аппроксимационно-теоретические свойства различных пространств сплайнов. Монография Н. П. Корнейчука [32] посвящена использованию сплайнов в теории приближений. Вариационный подход к теории сплайнов представлен в работах В. А. Василенко [8] и его ученика А. И. Роженко [43], [44], который, кроме того, дал стройное изложение абстрактной теории сплайнов. В монографии А. И. Гребенникова [19] изложены элементы теории сплайнов на основе двух подходов: метода регуляризации Тихонова и определения сплайна как гладко склеенной кусочной функции. В одной из глав книги даны постановка и решение задачи изо-геометрической аппроксимации, т.е. приближения функций с сохранением их геометрических свойств. Методы изогеометрической аппроксимации сплайнами составляют содержание книги [28] Б. И. Квасова.

Полиномиальным сплайнам, пространства которых Л. Шумейкер относил к простейшим формам пространств сплайнов, в той или иной степени посвящены упомянутые монографии и огромное количество журнальных публикаций. Именно простота и вычислительная эффективность полиномиальных сплайнов стали основой их широкого применения в численных методах. Наиболее популярны и востребованы в практических задачах ку-

бические сплайны. Однако присущая им некоторая "жёсткость" может проявляться при интерполяции данных как численно, так и визуально.

Д. Швейкерт в работе [90] обратил внимание на посторонние точки перегиба при интерполяции кубическим сплайном выпуклых данных и предложил средство устранения этой излишней жёсткости. Введённые им понятия натяжения и параметра управления определили новое направление развития теории сплайнов. Введя с структуру сплайна гиперболические функции с параметром, он получил гладкую кусочную конструкцию, которая с увеличением параметра натяжения в пределе давала конструкцию линейного сплайна, гарантирующего выпуклость интерполяции. В монографии К. деВора [7] сплайны с натяжением (напряжённые слайны) строятся на основе экспоненциальных функций с параметром, только уже со своим на каждом интервале сетки; в отличие от сплайна Швейкерта, в котором натяжение применялось ко всему сплайну, даже там, где этого не требовалось. Это дало право говорить о нелокальной конструкции с локальным натяжением. Предпочитая не сильно уходить от кубического сплайна, во многом идеальной конструкции, К. деВор предложил использовать натяжение для кусочно полиномиальных интерполяций понижая гладкость функции между узлами сетки введением фиктивных дополнительных узлов. Г. Шпэт [92] ввел в обращение понятие рационального сплайна, предложив использовать в структуре кубического сплайна рациональную функцию с параметром. Обобщение этой конструкции на более широкий класс функций предложил С. Пруэс [80].

Все конструкции, в которых так или иначе используются параметры натяжения, принято называть обобщенными сплайнами; они и обозначили один из путей подавления нежелательных осцилляций. Названия функций, внедрённых в структуру, определили и названия таких сплайнов. Экспоненциальные сплайны, например, рассматривались в работах С. Пруэса [80], П. Рентропа [83], Г. Шпэта [92], Б. МакКартина [75]. Р. Соанес ввёл в

рассмотрение сплайны переменной степени (УР-сплайны) [91]. Взвешенные сплайны исследовали К. Салкаускас [84], Т. Фоли [68], В. Л. Мирошниченко [39].

Другой путь связан с повышением степени кусочно полиномиальных функций. Сплайны высоких степеней, имеющие преимущество в гладкости, тем не менее, как и кубические, "жестковаты" с точки зрения интерполяции сильно меняющихся данных. В работах [74] и [78] было показано, например, что невозможно на сетке с фиксированными узлами интерполировать выпуклые данные гладкой выпуклой кусочно полиномиальной функцией ограниченной степени независимо от данных и узлов. Действительно, оценка нижней границы для этой степени, которая дана в работах [74], [78], показывает, что степень может оказаться сколь угодно большой при выпуклой интерполяции некоторых данных.

Ещё один путь — это радикально меняющий картину уход от самой интерполяции в сторону аппроксимации [73], [86], [26], [18], [53], [54], [11]. Интересные результаты получены Ю. Н. Субботиным для параболических сплайнов и их некоторых обобщений [48], [49], [50], и Е. В. Шевалдиной для кубических сплайнов [55]. Особое место занимает вопрос об аппроксимации /с-монотонных данных полиномами (Д. Левиатан, И. А. Шевчук, Г. А. Дзю-бенко, К. Копотун [64], [65], [70]). Однако он носит в основном теоретический характер. Довольно интересное направление могут представлять гибридные методы, сочетающие локальную аппроксимацию и частичную интерполяцию. Но эта тема выходит за рамки представленной работы.

Таким образом, учитывая направление исследований, можно заключить, что задача извлечь максимум полезного из конструкции кубического сплайна не теряет своей актуальности.

Кубический сплайн представляет собой функцию 3(х), являющуюся на каждом сеточном интервале [а^, а^+х] полиномом, степени не выше трёх, причём полиномы соседних интервалов гладко склеены (либо нет) в уз-

лах сетки. Сплайны <5(ж), значения которых во внутренних узлах сетки совпадают Б(х{ — 0) = Б{хг + 0), реализуют на всём отрезке [а, Ь] гладкость С0. Кубические сплайны Б(х) бесконечной гладкости на всём отрезке являются полиномами не более чем 3 степени. Наибольший интерес представляют сплайны максимальной конечной гладкости С2, а также сплайны класса только один раз непрерывно дифференцируемые в узлах. Разность между минимальным возможным порядком гладкости в узлах сетки, не понижающим порядок гладкости между узлами, и минимальным имеющимся порядком гладкости в узлах называется дефектом сплайна.

Кубические сплайны минимального дефекта (дефекта один) являются классическими класса С2 нелокальными сплайнами. Эта нелокальная конструкция служит отправной точкой исследования, представленного данной работой.

Заметим, что кубические сплайны — это общепризнанное разумное сочетание степени и гладкости с точки зрения точности приближения, порядков сходимости и устойчивости вычислений. Однако упомянутая выше "жёсткость", которая неизбежно преследует нелокальность и повышенную гладкость, вынуждает зачастую жертвовать ими, понижая гладкость до С1 (в узлах сетки). Оправдывая разрывы второй производной, апеллируют к преимуществу локальности С1-сплайнов, которая позволяет управлять формой графика сплайна, меняя его параметры только на тех интервалах, где проявляется неудовлетворительное качество интерполяции. Историю этого вопроса наряду с описанием самих методов можно найти в работах [39], [59], [68], [69], [81], [82]. Некоторые исследователи предпочитают локальные конструкции без понижения общей гладкости С2 — понижают гладкость между узлами, "разрывая" третью производную в некоторых внутренних точках интервалов сетки, и тем самым получая право на дополнительные параметры [28], [81].

Имеется большое количество интерполяционных задач, в которых важ-

но, чтобы решение обладало такими свойствами как знакопостоянство, монотонность или выпуклость, т.е. сохраняло геометрическую форму данных. Задача построения сплайнов с заданными геометрическими свойствами была формализована А. И. Гребенниковым [18], который назвал её задачей изогеометрической аппроксимации. Для построения изогеометрической аппроксимации им предложены методы, основанные на локальной сплайн-аппроксимации. В работе Ю. А Флёрова [51] использовался ещё термин "консервативная интерполяция", который фокусирует внимание на сохранении качественных характеристик исходных данных при интерполяции заданных значений функции.

Часто, подчёркивая согласованность геометрических свойств интерпо-лянта с данными, интерполяцию называют формосохраняющей (shape-preserving) [63], [67], [71], [81].

Под задачей формосохраняющей интерполяции понимается требование, чтобы интерполянт S(x) или какая-либо его производная S^(x) были знакопостоянными на тех участках, на которых знакопостоянны (с тем же знаком) интерполируемая функция f(x) или, соответственно, её производная f{k)(x).

Качество метода оценивается возможностью контроля за сохранением интерполянтом (в том или ином смысле) характера /с-монотонности, поскольку методы, допускающие посторонние изгибы, всплески и осцилляции, не характерные интерполируемым данным не всегда достоверно отражают природу функциональных зависимостей.

Здесь возникают две задачи.

Первая касается выявления простых и надёжных способов определения ещё до этапа построения интерполирующей функции возможно ли выбранным методом получить для конкретных данных интерполяцию, согласованную с кусочной, вообще говоря, /с-монотонностыо данных. Для локальных методов fc-монотонной сплайн-интерполяции класса С1 такие условия бы-

ли установлены теоремами о необходимых и достаточных условиях монотонности сплайна [69] или его выпуклости [87] на всей области задания. В нелокальных методах монотонной и выпуклой интерполяции класса С2 для проверки условий приходилось сначала фактически строить сам сплайн. Явные формулы априорной проверки появились с публикацией результатов В. Л. Мирошниченко [76], [37]. Им и установлены первые достаточные условия монотонности и выпуклости нелокального сплайна. Некоторые достаточные условия рассматривались в работах В. И. Пинчукова [41], [42]. Ю. С. Волков для предложенного им нового представления нелокального сплайна через разложение его производной по базису из параболических 5-сплайнов получил достаточные условия монотонности [14], отличные от условий Мирошниченко, пользовавшегося традиционным поинтер-вальным представлением сплайна. Для сплайнов второй степени условия /с-монотонности исследовали Ю. С. Волков и В. Т. Шевалдин [17].

Задача нелокальной интерполяции с ограничениями на знаки производных изучена слабо, поскольку является чрезвычайно сложной. Из публикаций на эту тему следует, что подходы к её решению, в общем-то, отсутствуют. На начальных этапах исследований в направлении формосохра-нения при интерполяции нелокальными сплайнами комонотонность и ко-выпуклость вообще не обсуждалась, хотя уже были известны результаты о существовании неинтерполяционных полиномиальных аппроксимаций с подобными свойствами [77], [72]. Попытка разобраться в этом вопросе предпринималась в работах Ю. С. Завьялова [25] и автора [2]. Однако вопрос об условиях комонотонности и ковыпуклости нелокальной сплайн интерполяции классическим кубическим сплайном класса С2, ввиду невозможности использования для этих целей традиционного классического представления сплайна и отсутствия в то время других подходящих его представлений, не ставился, хотя задел в виде результатов работы [22] к этому времени уже был.

Отсутствие средств априорной проверки существования для заданной на сетке функции комонотонной или ковыпуклой интерполяции даже классическим сплайном класса С2 говорит об актуальности этой тематики.

Целью диссертации в этом направлении является вывод простых, и легко проверяемых априорных условий комонотонности и ковыпуклости нелокальной интерполяции классическими кубическими сплайнами.

Вторая задача связана непосредственно с построением комонотонной или ковыпуклой интерполяции. Интерес в этой связи представляют методы, допускающие расширение классической конструкции за счёт введения управляющих параметров, так что сама классическая конструкция получается как частный случай, если для неё выполнены условия комонотонной или ковыпуклой интерполяции, и если такая конструкция не выдерживает проверку, то задача сводится к выбору подходящих параметров при переходе к более общему представлению.

Здесь можно обозначить три направления исследований. Первое направление связано с локальными конструкциями, которые ввиду явного задания легко строятся и модифицируются.

Как уже отмечалось, локальные методы сплайн-интерполяции хорошо изучены и представлены в литературе. Практически все они в той или иной степени стали опираться на теоремы о необходимых и достаточных условиях монотонности [69] или выпуклости [87] сплайнов. Комонотонная и ковыпуклая интерполяция в силу локальности сплайна не является проблемой и достигается одним из методов натяжения.

Недостаточная гладкость или требование дополнительной, но, как правило, недоступной информации о производных интерполируемой функции, привлекает внимание ко второму направлению, использующему нелокальные конструкции, в которых не требуется иной информации о функции, кроме заданных её сеточных значений и краевых условий в виде, например,

известных значений первой или второй производной на концах отрезка.

В задаче нелокальной монотонной или выпуклой сплайн-интерполяции, изначально предлагались методы, в которых выбор параметров натяжения на проблемных участках либо был сильно ограничен за счет фактического уменьшения количества параметров, чтобы не нарушать условия применимости метода, либо носил скорее эвристический характер. С публикацией результатов В. Л. Мирошниченко [76], [37], в которых впервые были приведены явные формулы априорной поверки качества данных для целей формосохранения, появились и методы автоматического выбора параметров. А идея Ю. С. Завьялова [22] заложила возможности гарантированного выбора параметров при построении нелокальной комонотонной или ковы-пуклой сплайн-интерполяции.

И наконец, третье направление, которое только условно можно отнести к интерполяции, это частичный отказ от интерполяции. Однако даже о полиномиальной комонотонной и ковыпуклой аппроксимации с хорошим приближением хотя и написано немало, но конструктивные методы их построения отсутствуют. Следует, пожалуй, отметить, что сочетание свойств локальной аппроксимации и частичной интерполяции довольно интересная в этом направлении тема. Точность приближения в таких случаях становится во главу угла при обсуждении вопроса о том, что считать нежелательными осцилляциями. Известны алгоритмы (Б. М. Шумилов [56]) уменьшения погрешности приближения при аппроксимации нелокальными сплайнами.

Задача построения априори комонотонных и ковыпуклых нелокальных сплайнов актуальна и в настоящее время, а разработка новых средств во втором направлении позволяет решать её весьма эффективно.

Целью диссертации в этом направлении является разработка таких методов и алгоритмов автоматического выбора параметров сплайна, которые гарантируют изогеометрические свойства сплайна с возможностью их про-

верки до этапа его построения.

В зависимости от целей интерполяции рассматриваются как локальные (эрмитовы) кубические сплайны класса С1, так и нелокальные класса С2. Форма локальных сплайнов на примыкающих к узлу хг интервалах определяется заданными узловыми значениями тг = З'(хг), называемыми "наклонами" (это либо известные узловые значения производной функции Л = }'{хг), либо явным образом вычисляемые их приближённые значения). Меняя наклоны, можно управлять формой графика локального сплайна S(x), без потери его гладкости С1. При нелокальной интерполяции такие параметры, как наклоны априори не известны и не задаются: они связаны неявно системой линейных уравнений и не могут быть изменены произвольно, без понижения класса гладкости интерполянта.

Интерполяционный локальный кубический сплайн на промежутке [xuxl+i\ может быть представлен [37] через значения и наклоны

S(x) = и2(и + St) ft + t2(t + 3u)fl+i + кгиНтг + кгг2итг+1, (1)

где t = (х — хг)/Нг — локальная переменная (0 < t < 1) на интервале сетки, и = 1 — t. Если заданы только интерполяционные данные {/г}, то наклоны {тг} являются свободными параметрами сплайна.

Локальным конструкциям уделяется довольно много внимания, поскольку они не требуют решения систем и задаются явными формулами. Среди проблем, связанных с изогеометрической интерполяцией, естественно возникает проблема выбора параметров тъ. При монотонной интерполяции, например, этот выбор обусловлен тем, чтобы сплайн оставался, монотонным и между узлами (на интервалах сетки), если наклоны ти ml+i на концах промежутка [хихг+-\\ одного знака. Поскольку пары параметров (тг, тг+1) используются на каждом интервале, то они должны выбираться согласованно по всем узлам сетки, и это накладывает на них ограничения. Вопрос ограничений был полностью решён в прорывной работе Ф. Фритча

и Р. Карлсона [69], в которой даны необходимые и достаточные условия монотонности сплайна налагаемые на данные, а именно описаны области пар параметров (гщ, 7111+1) € Я?, обеспечивающих монотонность эрмитова сплайна на соответствующем интервале сетки. Оказалось, что в нормировке граница этой области, расположенной в неотрицательном квадранте (рис. 1), описывается начальными отрезками [0,3] осей координат и большей дугой эллипса, касающегося осей в точках (0,3) и (3, 0) плоскости.

Рис. 1. Выпуклая область параметров (т»//^, х^+х], Шг+х//^, £,+1]), гарантирующих монотонность звена сплайна на промежутке [х^а^+х]

В случае нарушения условий там же предложен простой алгоритм изменения массива параметров т*, обеспечивающий принадлежность пар параметров описанным областям для гарантированного выполнения указанных условий монотонности сплайна. В работе [66] было предложено видоизменение алгоритма таким образом, что выбор параметров гп{, обеспечивает не только монотонность сплайна, но и даёт максимально возможный для кубических сплайнов порядок приближения 0{КА), К = тах/г; при интер-

г

поляции монотонной функции / 6 С4[а, Ь] (т.е. при варьировании массива

гп{ можно сохранить порядок приближения, имеющийся у начальной немонотонной интерполяции).

Ясно, что выбор нулевых значений т^ гарантирует попадание всех пар (гпг, гП{+1) в область монотонности Фритча и Карлсона и, следовательно, задача монотонной интерполяции эрмитовыми кубическими сплайнами класса С1 всегда имеет решение.

Когда изменение известного априори массива {гп{} нежелательно, то переходят к обобщениям кубического сплайна, с использованием параметров натяжения.

Отметим, что впоследствии аналогичные условиям Ф. Фритча и Р. Карлсона необходимые и достаточные условия монотонности для обобщенных конструкций кубического сплайна были получены Ю. С. Завьяловым совместно с автором данной работы [20]. Было доказано, в частности, что области параметров, удовлетворяющих этим условиям являются выпуклыми, для широкого класса обобщенных в смысле Г. Шпэта [92] или С. Пруэса [80] сплайнов. Выпуклость этих областей позволяет строить их аппроксимации (например, многоугольные), удобные для создания алгоритмов автоматического выбора параметров натяжения.

Сложнее в задаче интерполяции обстоит дело с выпуклостью эрмитова сплайна. Выпуклый эрмитов сплайн существует далеко не для любых выпуклых данных. Условия, которым должны удовлетворять данные, чтобы эрмитов сплайн был выпуклым сформулированы в работе Й. Шмидта и В. Гесса [87]. Там же предложен алгоритм вычисления параметров выпуклого сплайна с одновременной проверкой условий его существования.

Перейдём к нелокальной конструкции сплайна (1) гладкости С2. Параметры {гпг} определяются из трёхдиатональной системы линейных уравнений.

\irrbi-1 + 2171г 4- 1 = г = 1,..., п - 1, (2)

ГДе = 3(1ЛгЦХг,Х{+1\ + \г/[Х{-1, Х^), Хг = Ы/{Ы-1 + Ы), ¿¿1 = 1- А*.

Недостающие два условия в концевых точках отрезка [а, Ъ} могут задаваться разными способами [26], например, в виде

Б'(а) = Л, = Л, (3)

либо

5» = С в'ХЬ) = К, (4)

где Л, Л или /а > Л' ~~ значения первых и, соответственно, вторых производных функции в концах отрезка. Они должны быть известны или заданы неким образом при постановке задачи интерполяции.

Для замыкания системы уравнений добавим два уравнения, вытекающие из краевых условий (3) или (4). В первом случае добавляем уравнения:

т0 = /о, тп = Л, (5)

а во втором —

2т0 + т 1 = 3/[ж0,ж1] - (йо/2)/о>

(6)

тп_1 + 2шп = 3/[хп_1, хп] - (/гп_1/2)Л-

Поскольку представление (1) позволяет связать линейными соотношениями узловые значения первых и вторых производных нелокального сплайна Б^х), то существуют другие представления сплайна 3(х) и системы для определения его параметров.

Кубический сплайн € С2, интерполирующий значения {/¿}, на

каждом отрезке [х^т] представляется в виде:

= сг(х) + ф{1 — ¿)/г2М^ + 0(^)/г2Мг+1, (7)

где

При этом неизвестные значения параметром М{ (которые называются моментами) находятся из системы линейных уравнений

\LiMi-x + 2Мг + ХМ+1 = г = 1,... ,п - 1, (8)

где (¿г = 6£г- Для получения замкнутой системы уравнений относительно неизвестных {М^} необходимо добавить два уравнения, вытекающие из краевых условий (3) или (4). В первом случае добавляемые уравнения таковы:

2 М0 + Мг = ¿о, Мп_ 1 + 2 Мп = (9)

а во втором —

М0 = с/0, Мп = (¿п, (10)

где ¿20 = 6(/[жо,Ж1] - /о)/(ж! - х0), ¿¿п = 6(/ь - ¡[хп-1,хп\)/(хп - жп_1) в первом случае и ¿о = , с£п = f¡}' во втором.

Как уже отмечалось, нелокальные конструкции, к которым относятся классические сплайны, в том числе, и самый популярный — классический кубический сплайн класса С2 — игнорируют наследование свойств, подобных /с-монотонности, и могут давать решения с нежелательными изгибами или всплесками.

В публикациях, посвященных изогеометрической интерполяции, нелокальные сплайновые конструкции оцениваются как желательные, но сложные в управлении параметрами сплайна, в силу их неявного описания, связанного с системой линейных уравнений. Дело в том, что устанавливая условия существования изогеометрического нелокального сплайна, очень непросто избежать решения систем, аналогичных системам для классического сплайна. Иногда при этом для определения параметров, обеспечивающих выполнение ограничений на производные, приходится в добавок решать системы неравенств того же порядка, как, например, в работе [67]. При отрицательном ответе на вопрос о существовании формосохраняющего

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Богданов, Владимир Васильевич, 2014 год

Литература

1. Ал берг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и её приложения. — М.: Мир, 1972. — 316 с.

2. Богданов В.В. Об алгоритме построения обобщённого сплайна, сохраняющего направления выпуклости данных // Вычислительные системы. — Новосибирск: ИМ СО РАН, 1997. — Вып. 159: Сплайн-функции и их приложения. — С. 72-86.

3. Богданов В. В., Волков Ю. С. Выбор параметров обобщенных кубических сплайнов при выпуклой интерполяции // Сиб. журн. вы-числ. математики. — 2006. — Т. 9, № 1. — С. 5-22.

4. БОГДАНОВ В. В. Комонотонная интерполяция кубическим сплайном в случае одной перемены направления монотонности // Методы сплайн-функций. Российская, конф., посвященная 80-летию со дня рождения Ю.С. Завьялова: Тез. докл. Новосибирск, 2011. — С. 20-21.

5. БОГДАНОВ В. В. Достаточные условия комонотонной интерполяции кубическими сплайнами класса С2 // Мат. труды. — 2011. — Т. 14, №2. - С. 3-13.

6. богданов в. в. Достаточные условия неотрицательности решения системы уравнений с нестрого якобиевой матрицей // Сиб. матем. журн. - 2013. - Т. 54, № 3. - С. 544-550

7. де бор К. Практическое руководство по сплайнам. — М.: Радио и связь, 1985. - 304 с.

8. василенко в. А. Сплайн-функции: теория, алгоритмы, программы. — Новосибирск: Наука, 1983. — 215 с.

9. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления — М.: Наука, 1984. -320с.

10. волков Ю.С. Применение рациональных кубических сплайнов для расчёта динамических характеристик двигателя // Вычислительные

системы. — Новосибирск: ИМ СО РАН, 1995. — Вып. 154: Сплайны и их приложения. — С. 65-72.

11. Волков Ю. С., Стрелкова Е. В., Шевалдин В. Т. Локальная аппроксимация сплайнами со смещением узлов // Матем. тр. — 2011. - Т. 14, № 2 - С. 73-82

12. волков Ю. С. О неотрицательном решении системы уравнений с симметрической циркулянтной матрицей // Матем. заметки. — 2001. - Т. 70, вып. 2. - С. 170-180.

13. Волков Ю.С. Новый способ построения интерполяционных кубических сплайнов // ДАН. - 2002. - Т. 382, № 2. - С. 155-157.

14. Волков Ю. С. О монотонной интерполяции кубическими сплайнами // Вычислительные технологии. — 2001. — Т. 6, № 6. — С. 14-24.

15. ВОЛКОВ Ю. С. Новый способ построения интерполяционных кубических сплайнов // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. — 2004. — Т. 44, № 2. - С. 231-241.

16. волков Ю. С. О построении интерполяционных полиномиальных сплайнов // Вычислительные системы. — Новосибирск: ИМ СО РАН, 1997. — Вып. 159: Сплайн-функции и их приложения. — С. 3-18.

17. Волков Ю.С., Шевалдин В. Т. Условия формосохранения при интерполяции сплайнами второй степени по Субботину и по Марсде-ну // Труды Института математики и механики УрО РАН. — 2012. — Т. 18, № 4. - С. 145-152.

18. Гребенников А. И. Изогеометрическая аппроксимация функций. // Численный анализ на ФОРТРАНе. Методы и алгоритмы. — М., 1978. - С. 48-55.

19. гребенников А. И. Метод сплайнов и решение некорректных задач теории приближений. — М.: Изд-во МГУ, 1983. — 208 с.

20. Завьялов Ю.С., Богданов В.В Изогеометрическая эрмитова интерполяция обобщёнными кубическими сплайнами. // Сплайны и их приложения. — Новосибирск, 1991. — Вып. 142: Вычислительные системы. — С. 15-46.

21. ЗАВЬЯЛОВ Ю.С. О теории обобщённых кубических сплайнов // Вычислительные системы. — Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1990. — Вып. 137: Приближение сплайнами. — С. 50-90.

22. Завьялов Ю. С. О неотрицательном решении системы уравнений с нестрого якобиевой матрицей // Сиб. матем. журн. — 1996. — Т. 37, №6. - С. 1303-1307.

23. Завьялов Ю.С. Монотонная интерполяция обобщенными кубическими сплайнами класса С2 // Вычислительные системы. — Новосибирск: ИМ СО РАН, 1992. — Вып. 147: Интерполяция и аппроксимация сплайнами. — С. 44-67.

24. завьялов Ю. С. Выпуклая интерполяция обобщенными кубическими сплайнами класса С2 // Вычислительные системы. — Новосибирск: ИМ СО РАН, 1995. —Вып. 154: Сплайны и их приложения. — С. 15-64.

25. завьялов Ю.С. Интерполяция обобщёнными кубическими сплайнами класса С2 с переменами направления монотонности и выпуклости // Вычислительные системы. — Новосибирск: ИМ СО РАН, 1997. — Вып. 159: Сплайн-функции и их приложения. — С. 19-71.

26. Завьялов Ю.С., Квасов Б. И., Мирошниченко В. Л. Методы сплайн-функций. — М.: Наука, 1980. — 352 с.

27. Ильин В. П., Кузнецов Ю.И. Трёхдиагональные матрицы и их приложения. — М.: Наука, 1985. — 208 с.

28. квасов Б. И. Методы изогеометрической аппроксимации сплайнами — М.: Физматлит, 2006. — 360 с.

29. Кирушев В. А., Малоземов В. Н. Интерполяция положительных данных при помощи неотрицательных натуральных кубических сплайнов // Вестник СПбГУ. Сер. 1. - 1995. - Вып. 2 (№8). - С. 2530.

30. Кирушев В. А., Малоземов В.Н. Об одном алгоритме построения неотрицательного кубического сплайна // Журн. вычисл. мат. и матем. физики. - 1997. - Т. 37, № 4. - С. 387-394.

31. КОЛЛАТЦ JI. Функциональный анализ и вычислительная математика. М.: Мир, 1969 - 448 с.

32. КОРНЕЙЧУК Н. П. Сплайны в теории приближений. — М.: Наука, 1984. - 352 с.

33. Корнейчук Н.П., Бабенко В.Ф., Лигун A.A. Экстремальные свойства полиномов и сплайнов. — Киев: Наукова думка, 1992. — 304 с.

34. малозёмов В. Н., ПевныЙ А. Б. Полиномиальные сплайны: Учеб. пособие. - Л.: Изд-во ЛГУ, 1986. - 120 с.

35. МАРКУС М., Минк X. Обзор по теории матриц и матричных неравенств. — М.: Наука, 1972. — 232 с.

36. Мирошниченко В. Л. Интерполяция функций с большими градиентами // Методы аппроксимации и интерполяции. Материалы Все-союзн. конф. - Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1981. - С. 98-107.

37. мирошниченко В. Л. Достаточные условия монотонности и выпуклости для интерполяционных кубических сплайнов класса С2 // Вычислительные системы. — Новосибирск: им СО АН СССР, 1990. — Вып. 137: Приближение сплайнами. — С. 31-57.

38. мирошниченко В. Л. Достаточные условия монотонности и выпуклости для интерполяционных параболических сплайнов // Вычислительные системы. — Новосибирск: им СО АН СССР, 1991. — Вып. 142: Сплайны и их приложения. — С. 3-14.

39. Мирошниченко В. Л. Изогеометрические свойства и погрешность аппроксимации взвешенных кубических сплайнов //Вычислительные системы. — Новосибирск: ИМ СО РАН, 1995. — Вып. 154: Сплайны и их приложения. — С. 127-154.

40. МИРОШНИЧЕНКО В. Л. Оптимизация вида рационального сплайна // Вычислительные системы. — Новосибирск: ИМ СО РАН, 1997. — Вып. 159: Сплайн-функции и их приложения. — С. 87-109.

41. ПИНЧУКОВ В. И. Е1ЧО-модификация нелокального кубического сплайна на равномерной сетке // Вычисл. технологии. — 2000. — Т. 5, № 6. - С. 62-69.

42. ПИНЧУКОВ В. И. Монотонный нелокальный кубический сплайн // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. — 2001. — Т. 41, № 2. — С. 200206.

43. роженко А. И. Абстрактная теория сплайнов: Учеб. пособие. — Новосибирск: Изд. центр НГУ, 1999. — 176 с.

44. роженко А. И. Теория и алгоритмы вариационной сплайн-аппроксимации. — Новосибирск: Изд. ИВМиМГ СО РАН, 2005. — 244 с.

45. Стечкин С. Б. Субботин Ю. Н. Добавления // Теория сплайнов и её приложения / Дж. Алберг, Э.Нильсон, Дж.Уолш. — М.: Мир, 1972. - С. 270-309.

46. Стечкин С. Б. Субботин Ю. Н. Сплайны в вычислительной математике. — М.: Наука, 1976. — 248 с.

47. СУББОТИН Ю. Н. О кусочно полиномиальной интерполяции // Матем. заметки. - 1967. - Т. 1, № 1. - С. 63-70.

48. СУББОТИН Ю. Н. Наследование свойств монотонности и выпуклости при локальной аппроксимации // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. - 1993. - Т. 33, № 7. - С. 996-1003.

49. СУББОТИН Ю. Н. Аппроксимации полиномиальными и тригонометрическими сплайнами третьего порядка, сохраняющие некоторые свойства аппроксимируемых функций // Тр. ИММ УрО РАН — 2007. - Т. 13, № 2. - С. 156-166.

50. СУББОТИН Ю. Н. Формосохраняющая экспоненциальная аппроксимация // Изв. вузов. Матем. - 2009, № И - С. 53-60.

51. ФЛЁРОВ Ю. А. Локальный синтез плоских кривых методом введения простых дополнительных узлов. // Проблемы прикладной математики и информатики. — М., 1987. — С. 231-239.

52. ХОРН Р., ДЖОНСОН Ч. Матричный анализ. — М.: Мир, 1989. — 656 с.

53. ШЕВАЛДИН В. Т. Аппроксимация локальными параболическими сплайнами с произвольным расположением узлов // Сиб. журн. вы-числ. математики. - 2005. - Т. 8, № 1. — С. 77-88.

54. ШЕВАЛДИНА Е. В. Аппроксимация локальными экспоненциальными сплайнами с произвольными узлами // Сиб. журн. вычиел. математики. - 2006. - Т. 9, № 4. - С. 391-402.

55. ШЕВАЛДИНА Е. В. Наследование свойств k-монотонности при аппроксимации локальными кубическими сплайнами // Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 40-й Региональной молодежной конференции. Екатеринбург: УрО РАН, 2009. — С. 106-110.

56. ШУМИЛОВ Б. М. Сплайн-аппроксимационные схемы, точные на многочленах // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. — 1992. — Т. 32, № 8. - С. 1187-1196.

57. AKIMA Н. A new method of interpolation and smooth curve fitting based on local procedures. — J. Assoc. Comput. Mech. — 1970. — V. 17. — P. 589-602.

58. de BOOR C. Splines as linear combinations of B-splines. A survey // Approxim. Theory, II: Proc. / Intern. Sympos., Austin, 1976. — New York: Academic Press, 1976. — P. 1-47.

59. burmeister w., Hess w., Schmidt J.W. Convex spline interpolants with minimal curvature // Computing. — 1985. — V. 35. — P. 219-229.

60. COSTANTINI P. On Monotone and Convex Spline Interpolation // Math. Comput. - 1986. - V. 46, №. 173 - P. 203-214.

61. COSTANTINI P., MORANDI R. Monotone and convex cubic spline interpolation // Calcylo. - 1984. - V. 21 — P. 281-294.

62. COSTANTINI P., MORANDI R. An algorithm for computing shape-preserving cubic spline interpolation to data // Calcolo/ — 1984. — V. 21, P. 295-305.

63. Dietze S., Schmidt J.W. Determination of shape preserving spline interpolants with minimal curvature via dual programs //J. Approxim. Theory. - 1988. - V. 52, №. 1. - P. 43-57.

64. Dzyubenko G.A., GilewiczJ., Shevchuk I. A. New phenomena in coconvex approximation / Analysis Mathematica. — 2006. — V. 32, №. 2. - P. 113-121.

65. Dzyubenko G.A., KopotunK., Prymak A.V. Three-monotone spline approximation //J. Approxim. Theory. — 2010. — V. 162, №. 12. — P. 2168-2183.

66. Eisenstst S. C., Jackson K. R., Lewis J. W The order of monotone piecewise cubic interpolation // SIAM J. Numer. Anal. — 1988. — V. 22, № 6. - P. 1220-1237.

67. FlOROT J.C., TABKA J. Shape-preserving C2 cubic polynomial interpolating splines // Math. Comput. — 1991. — V. 57, № 195. — P. 291-298.

68. FOLEY T.A. Intepolation with interval and point tention controls using cubic weighted ^-splines // ACM Transactions on mathematical software. - 1987. - V. 13, № 1. -P. 68-96.

69. fritsch f. N., Carlson R. E. Monotone piecewise cubic interpolation // SIAM J. Numer. Anal. — 1980. — V. 17, № 2. — P. 238-246.

70. kopotun K., Leviatan D., Shevchuk I. A. Are the degrees of the best (co)convex and unconstrained polynomial approximations the same? // Ukrainian Mathematical Journal. — 1910. — V. 62, № 3. — P. 420-440.

71. kvasov B. I. Methods of shape-preserving spline approximation. — Singapore: World Scientific, 2000. - 338 p.

72. leviatan D. Monotone and Comonotone Polynomial Approximation Revisited // J. Approx.Theory. - 1988. - V. 53, № 1. - P. 1-16.

73. Lyche T., schumaker L. L. Local spline approximation methods // J. Approx.Theory. - 1975. - V. 15, № 4. - P. 294-325.

74. McAllister D. F., roulier J. A. Interpolation by convex quadratic splines. // Math. Comput. - 1978. - V. 32. - P. 1154-1162.

75. McCARTlN B.J. Computation of exponential splines // SIAM J. Sci. Stat. Comput. - 1990. - V. 11, № 2. - P. 242-262.

76. mlroshnlchenko v.l. Convex and monotone spline interpolation // Constructive theory of function'84. Proceed. Intern. Conf., Varna. — Sofia: Publishing House of Bulgarian Academy of Sciences, 1984. — P. 610-620.

77. Newman D. J. Efficient comonotone approximation // J. Approx. Theory. - 1979. - V. 25. - P. 189-192.

78. passow E., Roulier J. A. Monotone and convex spline interpolation // SIAM J. Numer. Anal. 1977. - V. 14. - p. 904-909

79. pruess S. Properties of splines in tension //J. Approx. Theory. — 1976. - v. 17. - p. 86-96.

80. pruess S. Alternatives to the exponential spline in tension // Math. Comput. - 1979. - V. 33, № 148. - P. 1273-1281.

81. pruess S. Shape-preserving C2 cubic spline interpolation // IMA J. Numer. Anal. - 1993. - V. 13, № 4. - P. 493-507.

82. RENKA R.J. Interpolatory tension splines with automatic selection of tension factors // SIAM J. Sci. Stat. Comput. — 1987. — V. 8, № 3. — P. 393-415.

83. rentrop P. An algorithm for computation of the exponential spline // Numer. Math. - 1980. - V. 35. - P. 81-93.

84. salkauskas K. C1 splines for interpolation of rapidly varying data // Rocky Mountain J. of Math. - 1984. - V. 14, № 1. - P. 239-250.

85. Sapidis N.S., Kaklis P.D., Loukakis T.A. A method for computing the tension parameters in convexity-preserving spline-intension interpolation // Numer. Math. — 1988. — V. 54. — P. 179-192.

86. Schmidt J. W., Hess W. Shape-preserving C2 histopolation //J. Approx.Theory. - 1993. - V. 75. - P. 325-345.

87. Schmidt J. W., Hess W. Schwach verkoppelte ungleichungsysteme und konvexe Spline-Interpolation // Elem. Math. — 1984. — V. 39. — P. 85-95.

88. schoenberg I.J. Contributions to the problem of approximation of equidistant data by analytic functions // Quart. Appl. Math. — 1946. — V. 4, n. 1. - P. 45-99, 112-141.

89. Schumaker L. L. Spline functions: Basic theory. N. Y.: Wiley, 1981. — 553 p.

90. schweikert D. G. An interpolation curve using a spline in tension // J. Math. Phys. - 1966. - Vol. 45. - P. 312-317.

interpolation // Proc. Army numer. Anal. Comp. Conf. Res. Triangle Park, 1976. - P. 141-152.

92. späth H. Exponential spline interpolation // Computing. — 1969. — V. 4. - P. 225-233.

93. späth H. Spline algoriths for curves and surfaces. — Winnipeg: Utilitas Mathematica Publ. Inc., 1974.