Изменение энергетического спектра космических лучей сверхвысоких энергий при распространении в магнитных полях Галактики тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.23, кандидат физико-математических наук Тимохин, Алексей Викторович

• Тимохин, Алексей Викторович
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Тимохин, Алексей Викторович

Введение.

Глава 1 Источники галактических космических лучей

KJ1). Распространение KJ1 в Галактике.

1.1 Гипотезы происхождения КЛ.

1.2 Ускорение в остатках сверхновых.

1.3 Распространение КЛ в Галактике.

1.4 Магнитные поля Галактики.

Глава 2 Расчет спектра КЛ у Земли. Комбинирование диффузионной модели и метода численного счета траекторий.

2.1 Диффузионная модель.

2.2 Конфигурация магнитного поля.

2.3 Решение уравнения диффузии.

2.4 Численное моделирование траекторий.

2.5 Задание случайного магнитного поля.

2.6 Комбинированный метод расчета спектра КЛ у Земли.

Глава 3 Зависимость времени жизни КЛ в Галактике от энергии.

3.1 Общий вид зависимости времени жизни КЛ в Галактике от энергии.

3.2 Зависимость времени жизни КЛ от модели регулярного магнитного поля, его напряженности и распределения источников.

3.3 Расчет энергетической зависимости количества вещества, пройденного протонами КЛ при распространении в Галактике.

Глава 4 Изменение парциальных спектров ядер KJ1 вследствие взаимодействия с межзвездной средой.

Глава 5 Природа излома в энергетическом спектре KJ при энергии ~З Ю15 эВ.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Изменение энергетического спектра космических лучей сверхвысоких энергий при распространении в магнитных полях Галактики»

Актуальность темы

Вопрос о происхождении космических лучей (KJI) сверхвысоких энергий является одним из наиболее важных в физике космических лучей и до сих пор не решен. В последние годы возникло много гипотез относительно происхождения таких частиц, их образование связывают с работой ускорительных механизмов (bottom-up) внутри Галактики или в метагалактических объектах. Кроме того, рассматриваются неускорительные механизмы (top-down) образования KJI сверхвысоких энергий, в процессах распада экзотических массивных частиц (Х-частиц).

Предполагается, что космические лучи с энергиями вплоть до 1017-1018 эВ имеют галактическое происхождение. При этом основными кандидатами на роль источников галактических KJI традиционно являются остатки взрывов сверхновых. Хотя популярная модель ускорения KJI ударными волнами в расширяющихся оболочках сверхновых (см., например, [1,2]) почти приобрела в настоящее время статус «стандартной теории», в ней остается ряд нерешенных проблем. Кроме того, не вполне ясна возможная роль других механизмов ускорения, приводящих к иным энергетическим спектрам КЛ в источниках [3].

Одной из особенностей энергетического спектра KJI является излом (колено) при энергии -3-1015 эВ, который может служить в качестве «пробного камня» для теорий происхождения KJ1. Хотя излом в спектре был обнаружен около 50 лет назад [4], дискуссии в научном сообществе по поводу его происхождения далеки от завершения.

Наиболее естественная интерпретация излома состоит в том, что он является отражением соответствующего изменения в энергетическом спектре первичных космических лучей (ПКЛ) (см., например, [5]). В рамках галактического происхождения KJI «колено» в спектре может являться либо следствием их распространения в галактическом пространстве, либо может быть вызвано особенностью ускорения КЛ в источниках.

Проверка гипотез происхождения KJ1 и природы излома в их энергетическом спектре при энергии ~ 3-1015 эВ с использованием имеющихся экспериментальных данных о спектрах KJI осложняется тем, что спектры в источниках и у Земли отличаются друг от друга. Наблюдаемый в наземных экспериментах и в космосе энергетический спектр KJI у Земли обусловлен как особенностями спектра в источниках, так и процессом распространения в галактическом пространстве. Изменения в спектре КЛ в процессе их распространения в Галактике связаны с тем, что существует зависимость времени жизни КЛ от энергии (частицы с низкими энергиями лучше удерживаются магнитными полями Галактики и, следовательно, аккумулируются и спектр становится более мягким, чем в источниках).

Кроме того, определенные изменения в исходный спектр вносит взаимодействие частиц КЛ с веществом межзвездной среды, в результате чего происходит как убыль тяжелых ядер КЛ, так и некоторый прирост в интенсивности легких ядер, причем ядра меньших энергий проходят больший путь, т.е. их убыль более интенсивна. Таким образом, парциальные спектры тяжелых групп ядер ПКЛ должны быть более жесткими. Предполагаемый слабый рост сечения взаимодействия ядер при увеличении энергии не оказывает существенного влияния на этот вывод. Результаты расчетов изменения спектров различных групп ядер вследствие взаимодействия с межзвездной средой приведены в главе 4.

Суммируя сказанное, можно представить связь между энергетическим спектром KJI в источниках Q(E)w спектром у Земли 1(E) соотношением:

Г 1 1 У

1(E) СС 0(E) + , (1)

ТеЛЕ) Ты(Е)) где tesc (Е) - время жизни KJ1 в Галактике, связанное с удержанием заряженных частиц магнитными полями; Tint(E)~ время, связанное с взаимодействием ядер KJI с межзвездным веществом.

В рамках модели ускорения KJ1 на фронте ударной волны сверхновых спектр в источнике имеет показатель степени уs = -2, вплоть до максимальной энергии ускорения, которая может достигать области «колена» или даже превышать ее по некоторым моделям. Для согласования теоретического спектра с результатами измерения спектра у Земли, имеющего показатель степени при энергии у - —2.7 принимается зависимость времени жизни т(Е) ~ Е~0'7 во всем диапазоне рассматриваемых энергий.

Одной из основных целей данной работы являлось получение расчетной зависимости Tesc(E) методом численного счета траекторий, основанном на моделировании движения частиц KJI в магнитном поле Галактики. Кроме того, на основе расчетных данных о времени жизни KJI можно получить количественные оценки изменения их спектра из-за взаимодействия ядер KJI с веществом межзвездной среды при распространении в Галактике.

Метод численного счета траекторий является эффективным методом расчета спектра KJI у Земли при проверке гипотез об их источниках и моделей конфигурации магнитных полей Галактики. Но время расчета одной траектории обратно пропорционально энергии частицы; таким образом, становится затруднительным набрать достаточную статистику при малых энергиях частиц ввиду ограниченной мощности вычислительных ресурсов.

Для области меньших энергий выгоднее использовать диффузионную модель и рассчитывать энергетический спектр KJ1 у Земли путем решения уравнения диффузии для концентрации KJT в Галактике. Для этого метода нет вычислительных проблем, присущих численному счету траекторий, но диффузионное приближение имеет определенные границы применимости по энергии частиц.

Одной из целей данной работы являлся расчет спектра KJ1 в диапазоне энергий 1014-1018 эВ с помощью метода численного интегрирования траекторий KJI и сравнение рассчитанного спектра со спектром в той же области энергий, полученным (при тех же предположениях) при решении уравнения диффузии для концентрации KJI в Галактике. Таким образом, можно установить верхнюю границу применимости диффузионной модели распространения KJI в Галактике и осуществлять расчеты спектра у Земли в широком диапазоне энергий KJI (10 -10 эВ), комбинируя результаты расчета спектра в рамках диффузионной модели для низких энергий, и численного счета траекторий для верхней части спектра.

Для исследования процессов распространения KJ1 в Галактике существенно знание магнитных полей Галактики. К сожалению, вопрос о точной конфигурации магнитного поля Галактики остается открытым - на основании имеющихся экспериментальных данных возникают различные модели магнитного поля Галактики [3, 6, 7, 8, 9, 10, 11]. Обзор современных представлений о структуре магнитных полей Галактики приведен в главе 1.

В данной работе были проведены расчеты зависимости Tesc(E) в рамках различных моделей регулярного магнитного поля Галактики, чтобы проверить, насколько неопределенность наших знаний может повлиять на вид зависимости Tesc(E).

Целью диссертационной работы является исследование распространения KJI в магнитных полях Галактики и определение изменений в их энергетическом спектре, связанных с процессом распространения, что позволяет сопоставлять спектры в источниках, следующие из теорий происхождения KJ1, и экспериментальные данные о спектре КЛ у Земли.

Научные результаты и новизна работы

В диссертации впервые:

1. Проведены расчеты энергетического спектра КЛ в широком диапазоне энергий 10-10 эВ, комбинированием решения

19 IЯ уравнения диффузии для плотности КЛ при энергиях

Ю'МО10 эВ с методом численного счета траекторий при энергиях 1014

Ю20 эВ.

2. Прямым сопоставлением результатов расчета спектров КЛ у

Земли, полученных двумя разными методами, установлена граница применимости диффузионной модели распространения KJI в Галактике. 3. Результаты численного счета траекторий применены для количественных оценок изменений в парциальных спектрах KJI сверхвысоких энергий вследствие взаимодействия с межзвездной средой (с использованием модели QGSJET).

Положения, защищаемые в диссертационной работе, заключаются в следующем:

1. Комбинированный метод, сочетающий решение уравнения диффузии для концентрации космических лучей в Галактике и численное интегрирование траекторий, позволяет эффективно рассчитывать спектр KJI в диапазоне энергий 1012-102° эВ.

2. Установлена граница применимости диффузионного подхода к проблеме распространения KJ1 в Галактике - энергия протона

17 должна быть не более 10 эВ.

3. Зависимость времени жизни KJ1 от энергии вида т ~ Е0~а, где а =0.7-0.8, имеет место лишь в узком интервале (не более двух порядков) по Е0. Это затрудняет согласование наблюдаемого у Земли спектра KJI с выводами стандартной модели ускорения KJI на фронте ударной волны сверхновой.

4. Вид зависимости времени жизни КЛ в Галактике от энергии при Е> 1017эВ слабо меняется при использовании различных моделей регулярного магнитного поля Галактики.

5. Учет поглощения ядер КЛ в результате взаимодействия с протонами межзвездной среды приводит к тому, что парциальные спектры становятся жестче (показатель парциального спектра железа меняется на Ау = 0.10-^-0.15). 6. Излом в энергетическом спектре KJI у Земли при энергии -3-1015 эВ не может быть объяснен в рамках чисто диффузионных представлений, если считать окончательными данные эксперимента KASCADE об изломах в парциальных спектрах ядер различных групп. Изменение спектра, которое получается в рамках диффузионной модели, недостаточно, и надо предполагать изменение спектра в источниках.

Апробация работы

Материалы диссертации докладывались и обсуждались на научных семинарах НИИЯФ МГУ, а также на следующих рабочих встречах и конференциях.

• 28-я и 29-я Всероссийские конференции по космическим лучам, Москва 2004, 2006;

• Aspen, Colorado, USA, April 2005; iL

• 29 International Cosmic Ray Conference, August 03 -10, 2005, Pune, India;

• 19th European Cosmic Ray Symposium (ECRS 2004), Florence, Italy,30 Aug-3 Sep2004;

• Ломоносовские чтения, 2005, 2006

Основные результаты диссертации представлены в 6 публикациях:

• Калмыков Н.Н., Тимохин А.В., "Время жизни космических лучей в Галактике и переход от энергетического спектра космических лучей в источниках к наблюдаемому спектру",

Известия Российской Академии наук, Серия физическая, 68 №11 (2004) 1624-1626

Horandel J.R., Kalmykov N.N., Timokhin A.V., "An analysis of super-high energy cosmic ray propagation in the Galaxy", Proc. of the 29th International Cosmic Ray Conference, August 3-10, Pune, India, 2005, 3 (2005) 165-168

Horandel J.R., Kalmykov N.N., Timokhin A.V., "Some Aspects of the Propagation of Super-High Energetic Cosmic Rays in the Galaxy", International Journal of Modern Physics A, 20 issue 29 (2005) 6825-6827

Калмыков H.H., Тимохин A.B., "Влияние распространения космических лучей в галактике на их энергетический спектр", Вестник Московского университета, Серия 3, Физика, Астрономия, 3 (2006) 33-37

Horandel J.R., Kalmykov N.N., Timokhin A.V., "The end of the galactic cosmic ray energy spectrum - a phenomenological view", J. Phys.: Conf. Ser., 47 (2006) 132-141

Horandel J.R., Kalmykov N.N., Timokhin A.V., "Propagation of super high-energy cosmic rays in the Galaxy", Astropart.Phys. 27 (2007) 119-126

Вклад автора

Созданы новые программы на основе метода численного интегрирования траекторий, позволяющие моделировать распространение KJI в Галактике.

С использованием разработанных программ выполнены расчеты времени жизни и энергетического спектра KJI у Земли в диапазоне энергий Ю14-1020 эВ для различных моделей магнитного поля Галактики и предположений об источниках галактических KJI. 3. Разработаны и реализованы программы расчета взаимодействия ядер KJI с веществом межзвездной среды при использовании данных о количестве пройденного вещества, полученных моделированием траекторий KJ1 в Галактике.

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения и списка литературы; содержит 31 рисунок и 1 таблицу; список литературы включает 68 наименований. Объем диссертации -102 страницы.

Заключение диссертации по теме «Физика высоких энергий», Тимохин, Алексей Викторович

Основные результаты и выводы диссертационной работы заключаются в следующем:

1. Реализован комбинированный метод расчета спектра KJI в диапазоне энергий 1012-102° эВ, сочетающий решение уравнения диффузии для концентрации космических лучей в Галактике и численное интегрирование траекторий, и показана его высокая эффективность.

2. Установлена граница применимости диффузионного подхода к проблеме распространения KJ1 в Галактике - энергия протона

1 п должна быть не более 10 эВ.

3. Зависимость времени жизни KJI от энергии вида т ~ Е0~а, где а = 0.7-0.8, имеет место лишь в узком интервале (не более двух порядков) по Eq . Это затрудняет согласование наблюдаемого у Земли спектра KJI с выводами стандартной модели ускорения на фронте ударной волны сверхновой.

4. Вид зависимости времени жизни КЛ в Галактике от энергии при Е> 1017эВ слабо меняется при использовании различных моделей регулярного магнитного поля Галактики.

5. Учет поглощения ядер КЛ в результате взаимодействия с протонами межзвездной среды приводит к тому, что парциальные спектры становятся жестче (показатель парциального спектра железа меняется на А/ = 0.10 ^ 0.15).

6. Излом в энергетическом спектре К Л у Земли при энергии -3-1015 эВ не может быть объяснен в рамках чисто диффузионных представлений, если считать окончательными данные эксперимента KASCADE об изломах в парциальных спектрах ядер различных групп. Изменение спектра, которое получается в рамках диффузионной модели, недостаточно, и надо предполагать изменение спектра в источниках.

Автор работы выражает благодарность:

- Николаю Николаевичу Калмыкову - за детальные разъяснения стоящей проблемы, постоянную помощь и руководство, без чего выполнение данной работы не могло быть возможным.

- Алексею Игоревичу Павлову - за возможность использования расчетов спектра диффузионной модели в данной работе.

- Йоргу Р. Хоранделу (Jorg R. Horandel) - за ценные замечания при подготовке публикаций.

- Владимиру Петровичу Сулакову - за помощь и консультации в вопросах программирования.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Тимохин, Алексей Викторович, 2007 год

1. Ellison D.C. et al., "Galactic Cosmic Rays from Supernova Remnants: 1. Shock Acceleration of Gas and Dust", Ap. J. 487 (1997) 197-217

2. Бережко Е.Г., Ксенофонтов JI.T., "Состав космических лучей, ускоренных в остатках сверхновых", ЖЭТФ 116 вып. 3(9)1999) 737-7593. "Астрофизика космических лучей", Под редакцией Гинзбурга В.Л, М.: Наука., 528с. (1990)

3. Куликов Г.В., Христиансен Г.Б., "О спектре широких атмосферных ливней по числу частиц", ЖЭТФ 35 вып. 3(9) (1958) 635-640

4. Kalmykov N.N., Khristiansen G.B., "Cosmic Rays of Superhigh and Ultrahigh Energies", Topical Review, J.Phys.G.: Nucl.Part. 21 (1995) 1279-1301

5. Ptuskin V.S., Rogovaya S.I., Zirakashvili V.N. et al., "Diffusion and Drift of Very High Energy Cosmic Rays in Galactic Magnetic Fields", Astron. Astrophys. 268 (1993) 726-735

6. Горчаков E.B., Харченко И.В., Изв. РАН. Сер. физ. 64 №72000) 1457

7. Rand R.J., Kulkarni S.R., "The Local Galactic Magnetic Field", Astrophys.J, 343 (1989) 760-772

8. Зиракашвили B.H., Почепкин Д.Н., Птускин B.C. и др., "Численное моделирование распространения КЛ сверхвысоких энергий в галактических магнитных полях", Изв. РАН, Сер. физ, 59 (1995) 153-157

9. Рузмайкин АА., Соколов Д.Д., Шукуров A.M., "Магнитные поля галактик", Москва, Наука, (1988), 279 стр.

10. Prouza М., Smida R., "The Galactic Magnetic Field and Propagation of Ultra-High Energy Cosmic Rays", Astronomy & Astrophysics, 410 (2003) 1-10

11. A.M.Hillas, "The Origin of Ultra-High Energy Cosmic Rays", Ann Rev. Astron. Astrophys. 22 (1984) 425-444

12. S.Yoshida and H.Dai. "The Extremely High Energy Cosmic Rays". astro-ph/9802294

13. Зацепин Г.Т., Кузьмин В.А., "О верхней границе спектра космических лучей", Письма в ЖЭТФ, 4 (1966) 114-116

14. Greisen К., "End to the Cosmic-Ray Spectrum?", Phys. Rev. Lett., 16(1966) 748-750

15. Yoshida S. and Teshima M., "Energy Spectrum of Ultra-High Energy Cosmic Rays with Extra-Galactic Origin", 1993, Prog. Theor. Phys. 89 No. 4 (1993) 833-845

16. Protheroe R. J. and Johnson P.A., "Propagation of Ultra High Energy Protons over Cosmological Distances and Implications for Topological Defect Models", Astropart. Phys. 4 (1996) 253-285

17. Berezinsky V., "Ultra High Energy Cosmic Rays", astro-ph/9802351

18. Cronin J.W., "Cosmic Rays: the Most Energetic Particles in the Universe", Rev. Mod. Phys., 71 (1999) 165-172

19. Крымский Г.Ф., "Регулярный механизм ускорения заряженных частиц на фронте ударной волны", ДАН СССР, 234(1977) 1306-1308

20. Bell A.R. "The Acceleration of Cosmic Rays in Shock Fronts", MonNot. RAS, 182(1978) 147

21. Fermi E., "On the Origin of the Cosmic Radiation", Phys. Rev. 75 (1949) 1169- 1174

22. Bell, A. R., Lucek, S. G., "Cosmic Ray Acceleration to Very High Energy through the Non-Linear Amplification by Cosmic Rays of the Seed Magnetic Field", Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 321 Issue 3 (2001) 433-438

23. Ptuskin V.S., Zirakashvili V.N., "On the Spectrum of High-Energy Cosmic Rays Produced by Supernova Remnants in the Presence of Strong Cosmic-Ray Streaming Instability and Wave Dissipation", Astron. Astrophys. 429 (2005) 755-765

24. Hwang et al., "Thermal and Nonthermal Emission from the Forward Shock in Tycho's Supernova Remnant", Astrophys.J. 581 (2002)1101-1115

25. Bamba et al., "Fine Structures of Shock of SN 1006 with the Chandra Observation", ApJ, 589 (2003) 827-851

26. Voelk H.J., Berezhko E.G., Ksenofontov L.T., "Magnetic Field Amplification in Tycho and other Shell-type Supernova Remnants", Astron.Astrophys. 433 (2005) 229-240

27. Aharonian F. et al., "Detection of TeV y-ray Emission from the Shell-Type Supernova Remnant RX J0852.0-4622 with HESS", Astronomy and Astrophysics, 437 Issue 1 July I (2005) L7-L10

28. Aharonian F. et al., "High-Energy Particle Acceleration in the Shell of a Supernova Remnant", Nature 432 (20Q4) 75-77

29. Aharonian F. et al., "The Crab Nebula and Pulsar between 500 GeV and 80 TeV: Observations with the HEGRA Stereoscopic Air Cerenkov Telescopes", The Astrophysical Journal, 614 part 1 (2004) 897-913

30. Gemot Maier, "Cosmic ray anisotropy with the KASCADE experiment", International Journal of Modern Physics A. 20 №29 (2005) 6840-6842

31. Wefel J.P, "Cosmic Rays, Supernovae, and the Interstellar Medium", eds. M.M. Shapiro et al, NATO ASI Series C, 337 (1991)29

32. Пикельнер С.Б, "Кинематические свойства межзвездного газа в связи с изотропией космических лучей", ДАН СССР, 88 (1953)229-232

33. Spitzer L, "On a possible interstellar galactic corona", Astrophys.J, 124 (1956) 20-34

34. Пикельнер С.Б, Шкловский И.С, "Исследование свойств и диссипация энергии газовой короны Галактики", Астрон. ж, 34(1957) 145-158

35. Гинзбург B.JI, Сыроватский С.И, "Происхождение космических лучей", Москва, Изд. АН СССР. (1963) 384 стр.

36. Klein U, Wielebinski R, Beck R, "A Survey of the Distribution of 2.8 cm-wavelength Radio Continuum in Nearby Galaxies", Astron. Astrophys, 133 (1984) 19-26

37. Han J.L, "Magnetic fields in our Galaxy: How much do we know? (II) Halo fields and the global field structure", AIP Conference Proceedings 609 (2002) 96-101

38. Simard-Nomandin M, Kronberg P.P., "Rotation Measures and the Galactic Magnetic Field", Astrophys. J. 242 (1980) 74-94

39. Frick P, Stepanov R, Shukurov A, Sokoloff D, "Structures in the rotation measure sky", Monthly Notices of the Royal Astronomical Society 325 (2) (2001) 649-664

40. Rand R. J., Lyne A.G., "New Rotation Measures of Distant Pulsars in the Inner Galaxy and Magnetic Field Reversals", Mon. Not. R. Astron. Soc. 268 (1994) 497-505

41. Han J. L, Qiao G. J., "The Magnetic Field in the Disk of Our Galaxy", Astron. Astrophys. 288 (1994) 759-772

42. Honda M., "A simulation of High-Energy Cosmic-Ray Propagation", Astrophysical Journal, 319 Aug. 15 (1987) 836-841

43. Beck R., "Galactic and Extragalactic Magnetic Fields", Space Science Reviews, 99 (2001) 243-263

44. Hamilton P.A., Lyne A.G., "Faraday Rotation Measurements on 163 Pulsars", Mon. Not. R. Astron. Soc. 224 (1987) 1073-1081

45. Khristiansen G.B., Fomin Yu.A., Kalmykov N.N. et al., "The energy Spectrum and the Mass Composition of the Primary Cosmic Rays around the Knee", Proc. 24th ICRC (Roma), 2 (1995) 772-775

46. Hillas M., "Is the Cosmic-Ray Residence Time E"0,6 (Spallation) or E',/3 (Anisotropy, Turbulence)?", ICRC 26th Proc. 4 (1999) 225229

47. Мак-Кракен Д., Дорн У., "Численные методы и программирование на Фортране", Изд. "Мир", Москва, (1977)

48. Эстербю О., Златев 3., "Прямые методы для разреженных матриц", Москва, "Мир", (1987)

49. Thielheim К.О., Langhoff W., "Trajectories of High Energy Cosmic Rays in the Galactic Disk", Proc.Phys.Soc.A., 1 (1968) 694

50. Karakula S. et al., Proc.Phys.Soc.A, 5 (1972) 904

51. Михайлов A.A. и др., "Космическое излучение предельно высокой энергии", Новосибирск: Наука, (1991) гл.12.

52. Горчаков Е.В., Харченко И.В., "Распространение космических лучей сверхвысоких энергий в галактическом магнитном поле", Изв. АН., Сер.физ., 3 (2001) 444

53. Smith A.G., Clay R.W., "Galactic Anisotropy above 1 EeV", Proc. 24th ICRC, 2 (1995) 784

54. Калмыков H.H., Тимохин A.B., "Влияние распространения космических лучей в Галактике на их энергетический спектр", Вестник Московского университета, Сер. 3, Физика, Астрономия, (2006) 33

55. Giller М., Osborne J.L., Wdowczyk J., Zielinska M., "Cosmic Ray Anisotropies at Very High Energies Expected for New Models of the Galactic Magnetic Field", J. Phys. G: Nucl. Part. Phys. 20 No 10 (October 1994) 1649-1664

56. Калиткин H.H., Численные методы, Учебное пособие. М.: Наука, 1978.-512 с.

57. Свешников А.Г., Якунин С.А., "Математическое моделирование нестационарных процессов в плазмооптических системах", Журнал вычислительной математики и математической физики, 23 №5 (1983) 1141

58. Харченко И.В., "Исследование происхождения космических лучей сверхвысоких энергий на основе анализа их траекторий в магнитном поле Галактики", Диссертация канд. физ.-мат. наук, Москва, НИИЯФ МГУ, (2001)

59. Kodaira К., "Distribution of the Galactic Supernova Remnants", Publ. Astron. Soc. Japan, 26 (1974) 255-261

60. Sveshnikova L.G., "The Knee in Galactic Cosmic Ray Spectrum and Variety in Supernovae", Astron.Astrophys. 409 (2003) 799808

61. Yanasak N.E. et al., "Measurement of the Secondary Radionuclides 10Be, 26A1,36C1,54Mn, and 14C and Implications for the Galactic Cosmic-Ray Age", Astrophys. J. 563 (2001) 768-792

62. Kalmykov N.N. et al., "Quark-Gluon-String Model and EAS Simulation Problems at Ultra-High Energies", Nucl. Phys. В (Proc. Suppl.), 52 issue 3 (1997) 17-28

63. Horandel J.R., "On Total Inelastic Cross-Sections and the Average Depth of the Maximum of Extensive Air Showers", J. Phys. G: Nucl. Part. Phys. 29 (2003) 2439-2464

64. Horandel J.R., "On the Knee in the Energy Spectrum of Cosmic Rays", Astropart. Phys. 19 (2003) 193-220

65. Ulrich H. et al., "Primary energy spectra of cosmic rays selected by mass groups in the knee region", Proc. 27th ICRC, Hamburg, 1 (2001)97-100

66. Hoerandel J.R., Kalmykov N.N., Pavlov A. I., "The Knee in the Energy Spectrum of Cosmic Rays in the Framework of the Poly-Gonato and Diffusion Models", Proc. of the 28th Intern. Cosmic Ray Conf., (2003), Trukuba, Japan, p.243

67. Тер-Антонян C.B., Талант И.А., Гаряка А.П. и др., "Энергетические спектры первичных ядер в области 1015-1017 эВ по результатам эксперимента ГАММА", 29-я Российская конференция по космическим лучам, Москва, (2006)

68. Т. Antoni et al., "KASCADE Measurements of Energy Spectra for Elemental Groups of Cosmic Rays: Results and Open Problems", Astroparticle Physics, 24 (2005) 1-25