Исследование универсальности моделей статистической механики методами машинного обучения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Чертенков Владислав Игоревич

• Чертенков Владислав Игоревич
• кандидат наук
• 2024

Оглавление диссертации кандидат наук Чертенков Владислав Игоревич

1.1 Фазовые переходы

1.2 Намагниченность материалов

1.3 Решеточные спиновые модели

1.3.1 Модель Изинга

1.3.2 Модель Бакстера-Ву

1.3.3 Модель Поттса с д=4

1.4 Классы универсальности

1.5 Классические методы исследования

1.6 Методы Монте-Карло

1.7 Односпиновый алгоритм

1.8 Кластерные алгоритмы

1.8.1 Алгоритм Свендсена-Ванга

1.8.2 Алгоритм Вольфа

1.9 Применимость

2 Методы машинного обучения

2.1 Обзор

2.2 Задача классификации

2.3 План решения задач в машинном обучении

2.4 Нейронные сети

2.5 Архитектуры нейронных сетей

2.6 Процесс обучения нейронных сетей

2.7 Машинное обучение в решеточных спиновых моделях

3 Метод анализа фазовых переходов

3.1 Описание метода

3.2 Обучение на конфигурациях спинов

3.2.1 Модель Изинга

3.2.2 Модель Бакстера-Ву

3.2.3 Модель Поттса ^=4)

3.3 Влияние размера обучающего набора данных

3.4 Влияние количества эпох

3.5 Перекрестное обучение на конфигурациях спинов

3.5.1 Модели Бакстера-Ву и Изинга

3.5.2 Модели 4-к Поттса и Изинга

3.5.3 Модели Бакстера-Ву и 4-к. Поттса

3.6 Выводы

4 Анализ методов кодирования

4.1 Обучение на корреляторах спинов

4.2 Обучение на энергиях связей

4.3 Перекрестное обучение на энергиях связей

4.3.1 Модели Изинга и Бакстера-Ву

4.3.2 Модели Изинга и 4-к. Поттса

4.3.3 Модели Бакстера-Ву и 4-к. Поттса

4.4 Выводы

Заключение

Список литературы

А Графические материалы к главе

В Графические материалы к главе

Список сокращений

РСМ Решеточная Спиновая Модель

Is модель Изинга (Ising)

BW модель Бакстера-Ву (Baxter-Wu)

P4 модель Поттса с 4 состояниями (Potts 4-states)

РГ метод Ренормализационной Группы

МК метод Монте-Карло

БКТ переход Березинского-Костерлица-Таулеса

ИИ Искусственный Интеллект

МО Машинное Обучение

НС Нейронная Сеть

NN Neural Network

FCNN Fully Connected Neural Network

CNN Convolutional Neural Network

ResNet Residual neural Network

RBM Restricted Boltzmann Machine

DBM Deep Boltzmann Machine

GAN Generative-Adversarial Network

PCA Principal Component Analysis

SVD Singular Value Decomposition

KNN K-Nearest Neighbors

SSL Self-Supervised Learning

ROC Receiver Operating Characteristic

AUC Area Under the Curve

TP True Positive

FP False Positive

TN True Negative

FN False Negative

ReLU Rectified Linear Unit

Adam Adaptive Moment estimation

BCE Binary Cross-Entropy

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование универсальности моделей статистической механики методами машинного обучения»

Актуальность исследования

Внедрение методов машинного обучения (МО) для исследования фазовых переходов является перспективным направлением. Алгоритмы МО позволяют решать задачи с большим объемом данных. Нейронные сети (НС) широко применяются в задачах анализа естественного языка, визуального распознавания объектов, прогнозирования временных рядов и инженерных приложениях. Для решения проблем в различных доменных областях алгоритмам не требуется априорное понимание природы данных, а только достаточное количество примеров для обучения. Например, для понимания естественного языка, нейронной сети не нужно знать принципы морфологии и семантики языка.

Анализ количества научных публикаций с 2015 по 2023 год, по данным Google Scholar, показывает рост интереса к инструментам МО в физике конденсированного состояния. Использование машинного обучения для исследования фазовых переходов позволит объединить классические методы статистической физики и передовые подходы к моделированию сложных процессов. Междисциплинарный подход позволит обогатить текущую теоретическую базу новыми методами для более глубокого понимания сложной динамики фазовых переходов и интерпретации физических систем.

Помимо теоретического значения, практическая ценность заключается в появлении новых инструментов, програмных комплексов и методов для работы с фазовыми переходами в реальных системах. А распространение методов МО откроет возможности для создания приложений в материаловедении, физике высоких энергий и других смежных областях.

Степень разработанности темы

В работе [1] предложен подход к анализу фазовых переходов методом обучения с учителем. Решая задачу классификации для модели Изинга на квадратной решетке, численно извлечена критическая температура )с* = 2.266(2) и критический показатель a = 1.0 (2) через коллапс выходных данных НС. Переносом знания получена оценка Т* = 3.65(1) и a = 1.0(3) для модели Изинга с треугольной топологией решетки. Решая задачу регрессии для предсказания температуры спиновых конфигураций [2] осуществляется перенос знания о фазовом переходе с модели Изинга на q-компонентную модель Поттса с точностью )с* до 3 знака после запятой для @ е [2; 10].

Для генерации новых примеров на решетке с сохранением распределения статистик термодинамических показателей [3], используют генеративно-состязательные сети. Решением задачи понижения размерности обучения без учителя [4], извлекается критическая температура )с* = 2.266(4) в модели Изинга. Методами МО исследуют [5—8] фазовый переход в задачах перколяции и БКТ-переход в XY- и q-компонентной часовой модели.

Численное извлечение критической температуры )с* с помощью методов МО неоднократно подтверждается в разных статьях. Относительная погрешность )с* (далее погрешность, см. выражение 2.8) в большинстве работ составляет менее 1%. Критический показатель корреляционной длины a извлекается менее регулярно и с большей погрешностью. Численные оценки a в оригинальной работе [1]

имеют относительную погрешность 20% для квадратной и 30% для треугольной решеток модели Изинга. Многие работы используют метод коллапса кривых, для которого численное решение а лежит в широком диапазоне. В работе [8] применяется другой метод для извлечения критических показателей, однако независимого подтверждения полученным результатам нет.

Цель

Разработать метод для анализа фазовых переходов в решеточных спиновых моделях методами машинного обучения с учителем.

Задачи исследования

• Разработка метода анализа фазовых переходов в решеточных спиновых моделях методами машинного обучения с учителем с использованием нейронных сетей.

• Реализация программного комплекса для исследования фазовых переходов в решеточных спиновых моделях с помощью классических методов и нейронных сетей.

• Применение метода для исследования фазовых переходов в решеточных спиновых моделях классов универсальности Изинга и четырехкомпонент-ного Поттса.

• Измерение точности разработанного метода и исследование факторов, влияющих на точность.

• Разработка метода переноса знания о фазовом переходе в решеточных спиновых моделях.

Научная новизна

1. Предложен метод исследования фазовых переходов в решеточных спиновых моделях на основе масштабирования функции вариации выхода нейронной сети, обученной решать задачу бинарной классификации с учителем. По выходным данным нейронной сети систематически извлекается оценка критической температуры и критический показатель корреляционной длины с высокой точностью.

2. Предложенным методом извлечены критические показатели корреляционной длины и критическая температура для моделей Изинга, Бакстера-Ву, Поттса ^=4). Для последних двух моделей критические показатели извлечены впервые методами МО.

3. Впервые исследовано влияние архитектур нейронных сетей, гиперпараметров обучения и способов предобработки входных данных на точность извлекаемых критических показателей решеточных спиновых моделей.

4. Предложен новый метод предобработки входных данных при перекрестном обучении нейронной сети с целью переноса знания о фазовом переходе между классами универсальности Изинга и четырехкомпонентной модели Поттса.

Теоретическая значимость

Развитие теории о применимости методов машинного обучения с учителем для исследования фазовых переходов в решеточных спиновых моделях Изинга, Баксера-Ву и Поттса с четырьмя состояниями и для переноса знания о фазовом переходе между классами универсальности.

Практическая значимость

1. Описан метод исследования фазовых переходов в решеточных спиновых моделях через масштабирование функции вариации выхода нейронной сети обучения с учителем. Исследованы основные параметры, влияющие на точность, предложены рекомендованные значения параметров.

2. Проведена оценка точности работы предложенного метода для анализа фазовых переходов в решеточных спиновых моделях.

3. Разработано программное обеспечение - "Система исследования фазовых переходов в решеточных спиновых моделях".

Методология и методы

Для исследования решеточных спиновых моделей классическими подходами применялись методы Монте-Карло и конечно-мерный анализ. В разработанном методе моделирования применяются методы глубокого машинного обучения, алгоритмы компьютерного зрения, нейронные сети, обучение с учителем и методы оптимизации. Общими методами исследования являются статистический анализ и численные методы аппроксимации.

Положения выносимые на защиту

• Разработан метод анализа фазовых переходов в решеточных спиновых моделях на основе масштабирования функции вариации выхода нейронной сети решением задачи бинарной классификации с учителем. В методе описан процесс обучения НС, параметры, влияющие на точность извлечения критических характеристик, предложены рекомендованные значения гиперпараметров.

• Установлено, что функция вариации выхода НС, обученной по разработанному в диссертации методу, несет информацию о критическом показателе

корреляционной длины а и критической температуре )с тестируемой решеточной спиновой модели. Относительная погрешность при извлечении равна 0.1-0.2% для )с, 1-3% для а.

Произведена численная оценка критического показателя корреляционной длины а и критической температуры )с для решеточных спиновых моделей Изинга 1/а = 1.02(1), ) = 2.270(5); Бакстера-Ву 1/а = 1.49(2), ) = 2.2691(1); четырехкомпонентного Поттса 1/а = 1.49(4), )с = 0.9101 (1).

Метод численной оценки критических свойств решеточных спиновых моделей проверен с применением нескольких архитектур НС. Метод работает для полносвязной НС с одним скрытым слоем, неглубокой сверхточной НС и глубокой архитектуры ResNet-10 [9] с каскадом сверток. Точность работы каждой архитектуры зависит от свойств спиновой модели и гиперпараметров обучения.

Метод численной оценки критических свойств чувствителен к гиперпараметрам обучения. Увеличение количества итераций обучения НС позволяет лучше решать задачу классификации, но ухудшает точность определения критического показателя а. Увеличение размера обучающего набора данных не влияет на точность извлекаемых критических характеристик при достижении определенного уровня метрик качества классификации. Способ кодирования входных данных влияет на точность извлекаемых критических характеристик а и )с.

Разработан метод кодирования входных конфигураций спинов с помощью энергий связей. Произведена численная оценка критического показателя корреляционной длины а и критической температуры )с для решеточных спиновых моделей Изинга, Бакстера-Ву и Поттса с q=4 через обучение с переносом знания внутри и вне собственного класса универсальности. Результаты совпадают с точным решением, однако, метод не системный и чувствителен к параметрам решеточных спиновых моделей, архитектурам НС и гиперпараметрам обучения.

Степень достоверности

Достоверность исследования подтверждается апробацией основных результатов, выносимых на защиту, на конференциях и публикациями в общедоступных рецензируемых изданиях, индексируемых в международных и отечественных базах цитирования WoS, Scopus и РИНЦ, и рекомендованных ВАК. Полученные результаты в пределах статистических ошибок согласуются с данными численного моделирования классическими методами и точными аналитическими решениями.

Апробация результатов

Публикации:

• Chertenkov V .I. Universality classes and machine learning / Shchur L.N. // Journal of Physics: Conference Series. 2021. N 1740. P. 1-5. (Scopus Q4)

• Chertenkov V .I. Deep machine learning investigation of phase transitions / Burovski E.A., Shchur L.N. // Lecture Notes in Computer Science. 2022. N 13708. P. 397-408. (Scopus Q2)

• Chertenkov V .I. Finite-size analysis in neural network classification of critical phenomena / Burovski E.A., Shchur L.N. // Physical Review E - Statistical, Nonlinear, and Soft Matter Physics. 2023. T. 108. N 3. P. 1-5. (Scopus Q1)

• Sukhoverhova D.D. Validity and limitations of supervised learning for phase transition research / Chertenkov V .I., Burovski E.A., Shchur L.N. // Lecture Notes in Computer Science. 2023. N 14389. P. 314-329. (Scopus Q2)

Секционные доклады:

• IV Международная конференция «Компьютерное моделирование в физике и не только», Россия, Москва, 12-16 октября 2020 г., "Universality classes and machine learning".

• Международная конференция «Суперкомпьютерные дни в России», Россия, Москва, 26-27 сентября 2022 г., "Deep machine learning investigation of phase transitions".

• Межвузовская научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов им. Е.В.Арменского, Россия, Москва, 27 февраля - 7 марта 2023 г., "Исследование спиновых моделей с помощью методов машинного обучения".

• Национальный Суперкомпьютерный Форум НСКФ-2023, Россия, Переславль-Залесский, 28 ноября - 1 декабря 2023 г., "Influence of learning protocols on deep learning studies of phase transitions".

• НИС Вычислительные среды, Москва, МИЭМ НИУ ВШЭ, 14 ноября 2023, "Unsupervised learning of phase transitions via modified anomaly detection with autoencoders".

• Международная конференция «Суперкомпьютерные дни в России», Россия, Москва, 23-24 сентября 2024 г., "Supervised and Transfer Learning for Phase Transition Research".

Зарегистрированное программное обеспечение:

• "Система исследования фазовых переходов в решеточных спиновых моделях".

Глава 1

Фазовые переходы в решеточных спиновых моделях

1.1 Фазовые переходы

Переход вещества из одной фазы материи в другую называется фазовым переходом. Процесс сопровождается структурными и физическими изменениями материала и происходит под внешним воздействием, например, температуры или давления. При изменении симметрии фазы в результате перехода, в каждый момент тело может иметь только одну симметрию, а процесс происходит не непрерывно [10]. Кроме изменения симметрии, процесс фазового перехода может характеризоваться изменениями термодинамических величин и параметра порядка. Последний, указывает на меру упорядоченности системы. По способу изменения термодинамических величин, выделяют два рода перехода:

Переход I рода — характеризуется скачкообразными изменениями и разрывами первых производных свободной энергии (внутренняя энергия, намагниченность); в точке фазового перехода возможно сосуществование двух фаз в состоянии равновесия; процесс сопровождается поглощением или выделением тепла. К фазовому переходу I рода относятся процессы кипения и плавления. При плавлении происходит поглощение тепла, изменяется плотность и симметрия кристаллической структуры.

Переход II рода — отличается непрерывными первыми производными свободной энергии, скачкообразными изменениями и разрывами вторых производных (теплоемкости, восприимчивости); в точке фазового перехода состояния обеих фаз совпадают; не происходит поглощение или выделение тепла. К фазовому переходу II рода относится переход металла в сверхпроводящее состояние.

На рис. 1.1 отражена температурная зависимость намагниченности М ()) для разных типов фазовых переходов.

1.2 Намагниченность материалов

Рассмотрим фазовый переход II рода в металлах. Процесс характеризуется изменением симметрии магнитных моментов в кристалле. При понижении температуры происходит появление высокой симметрии магнитного порядка, что соответствует переходу из парамагнитной (неупорядоченной) фазы в ферромагнитную (упорядоченную) фазу при критической температуре (точка Кюри).

Рис. 1.1: Намагниченности М(Т) при фазовом переходе а) I рода,

б) II рода.

Намагниченность М является параметром порядка фазового перехода, М = 0 выше точки Кюри, М < 0 ниже.

Спонтанная намагниченность - явление, наблюдаемое в ферромагнитных материалах, связанное с возникновением упорядоченной фазы магнитных моментов в отсутствии внешнего магнитного поля [11]. Из теории среднего поля, намагниченность, вблизи критической точки Тс, ведет себя как:

М (Т)-(Т - Тс)р, (1.1)

где Т - температура, V - критический показатель намагниченности. Значение показателя V зависит от структуры кристалла, взаимодействия атомов, наличия примесей.

Диполи магнитных моментов атомов (спины) ферромагнетиков при взаимодействии имеют параллельную ориентацию. Материал разделен на области, называемые доменами [12], в пределах каждого домена спины сонаправлены, что определяет направление целого домена. Границы, количество, форма и размеры доменов зависят от свободной энергии кристалла. Границу между двумя соседними доменами называют доменной стенкой. В пределах доменной стенки изменяется направление магнитного момента. Границы, как и сами домены, являются непостоянными, и могут сдвигаться в зависимости от прикладываемого внешнего магнитного поля. Факторами, влияющими на перемещение доменной стенки, помимо внешнего магнитного поля, являются примеси, точечные дефекты, дислокации. Если убрать действующее на ферромагнетик внешнее магнитное поле, домены не вернутся в свое исходное положение, в котором они были до появления этого поля.

У ферромагнитных материалов спины выстраиваются по направлению приложенного магнитного поля, что соответствует положительной магнитной восприимчивости (х > 0). Согласно теории поля, для некоторых веществ магнитную восприимчивость х в окрестности точки Кюри можно описать с помощью закона Кюри-Вейса [13]:

х(ТЫТ - Тс г,

где у - критический показатель магнитной восприимчивости.

(1.2)

1.3 Решеточные спиновые модели

Решеточные спиновые модели (РСМ) - математические модели статистической физики, позволяющие исследовать фазовые переходы и эффект спонтанной намагниченности в ферромагнетиках.

Будем рассматривать двумерные модели на решетке с линейным размером ! в горизонтальном и вертикальном направлениях с периодическими граничными условиями. В каждом узле находится спин о/, принимающий дискретные значения, # = ! х ! общее число узлов (рис. 1.2). Полная энергия системы описывается Гамильтонианом. Во всех моделях будем считать нулевым внешнее магнитное поле.

а) б) в)

Рис. 1.2: Элементы решеточной спиновой модели: а) спины, б) решетка, в) периодические граничные условия на торе.

1.3.1 Модель Изинга

Изотропная ферромагнитная модель Изинга [14] определена на квадратной решетке, в каждом узле которой находится спин о/ = ±1. Энергия конфигурации задана Гамильтонианом:

Я = -^о/оу, (1.3)

(ч)

где / = 1 константа ферромагнитного взаимодействия между парой спинов, каждый спин взаимодействует с четырьмя соседями, (/, у) соответствует всем парам ближайших соседей, каждая пара спинов учитывается один раз. В модели есть фазовый переход второго рода при критической температуре ). Аналитическое решение для модели в двумерном случае впервые найдено Онсагером [14] (1944), критическая температура = 2//1п( 1 + 72) да 2.269.

1.3.2 Модель Бакстера-Ву

Модель Бакстера-Ву определена на треугольной решетке, в каждом узле также находится изинговский спин о/ = ±1. Модель задана Гамильтонианом:

Н = -/ ^ а,-«,

(1.4)

где суммирование <8, ], к> происходит триплетами, каждый спин взаимодействует с шестью соседями. Аналитическое решение найдено Р.Бакстером и Ф.Ву [15] (1973), критическая температура Тс = 2//1п(1+У2) « 2.269 совпадает с моделью Изинга.

1.3.3 Модель Поттса с q=4

д-компонентная модель Поттса является обобщением модели Изинга (@ = 2). Четырехкомпонентная модель Поттса определена на квадратной решетке, в каждом узле находится спин аг-, принимающий одно из четырех значений Модель задана Гамильтонианом:

где X (а8, ау) символ Кронекера, который равен 1, если а8 = ау и 0 в остальных случаях, взаимодействие <8, ]> происходит по всем парам ближайших соседей, аналогично модели Изинга. Аналитическое решение найдено Р.Поттсом [16] (1952), критическая температура Тс = //1п(1 + У4) « 0.91.

1.4 Классы универсальности

Критические показатели описывают поведение термодинамических величин вблизи точек фазового перехода. Использование критических показателей для описания фазового перехода в решеточных моделях является "универсальным" в том смысле, что не зависит от Гамильтониана Н и критической температуры

где С = (Т - Тс)/Тс приведенная температура, С теплоемкость, Ь корреляционная длина, а, Р, у, X, а критические показатели [17].

Из гипотезы масштабной инвариантности [18, 19] следует ряд соотношений между критическими показателями [20—22]:

(1.5)

<«',7>

Т:

с

М(Т) - (-С)Р при С ! 0-

М (Н) - Н1/х при С ! 0

X(Т) - С-у при С ! 0+,

С(Т) - |-а при С ! 0,

ь(Т) - |С|-а при С ! 0,

а + 2Р + у = 2 3а = 2 - а,

(1.6)

где 3 - размерность пространства. Соотношения (1.6) согласуются с теорией и численными экспериментами, а чтобы извлечь все критические показатели модели достаточно знать два независимых критических показателя.

Как ранее упоминалось, решеточные спиновые модели, описываемые одинаковым набором критических показателей, проявляют универсальное поведение вблизи критической точки. По этому критерию модели можно объединять в классы универсальности, даже если модели отличаются Гамильтонианами и топологией решеток.

Модель Изинга находится в собственном классе универсальности [23, 24]. Модель описывается критическими показателями:

и = 0, V = 1/8, а = 1, у = 7/4.

Модели Бакстера-Ву и Поттса с четырьма состояниями находятся в одном классе универсальности [25, 26]. К этому классу также принадлежат модели Ашкина-Теллера [27] и Тюрбана [28]. Это, например, было подтверждено с помощью численной оценки критических показателей и опубликовано в статье [29]. Класс универсальности четырехкомпонентной модели Поттса описывается критическими показателями:

и = 2/3, V = 1/12, а = 2/3, у = 7/6.

1.5 Классические методы исследования

Статистическая сумма [17] / описывает систему в состоянии термодинамического равновесия. Для модели с Гамильтонианом Я(в), статистическая сумма в каноническом ансамбле:

г = ^ ехр [-Я (в)/:)], (1.7)

(в)

где : - постоянная Больцмана, (в) множество всех состояний системы. Вероятность % (в) системы оказаться в состоянии в равна:

%(в) = г-1 ехр [-Я(в)/:)]. (1.8)

Наблюдаемое термодинамическое состояние системы (энергия, намагниченность) —:

(—) = г-1 £ — (в) ехр [-Я(в)/:)]. (1.9)

(в)

Задав свободную энергию F = —:) 1п /, получим выражение для внутренней энергии *:

* = (Е >

кт 2-т 1п г

= -т2

дт дТ

(Е/Т)

Классические подходы к исследованию позволяют аппроксимировать статистическую сумму / аналитическими и численными методами [17]. Метод клеточного приближения [30] позволяет экстраполировать поведение нескольких клеток (ячеек) на всю систему. Преимущество состоит в простоте решения и качественном предсказании поведения на всем диапазоне температур, кроме критической точки. Другой метод [31], основанный на разложении в ряд по степеням обратной температуры или плотности, позволяет получать правдоподобные предположения о термодинамических функциях вблизи критической точки.

Метод ренормализационной группы [32] (РГ) позволяет путем последовательной перенормировки Гамильтониана исследовать поведение вблизи критических точек на разных масштабах системы. Метод основан на гипотезах масштабной инвариантности и универсальности моделей статистической физики, и позволяет определять критические показатели, класс универсальности модели, законы масштабирования физических величин вблизи точки фазового перехода. Графическое представление о том, как работает перенормировка показано на рис. 1.3: решетка разбивается на блоки, новое значение после перенормировки происходит путем пространственной ренормализации в каждом блоке.

Рис. 1.3: Пространственная ренормализация решетки 4 X 4 в решетку 2 X 2.

Метод трансфер-матрицы [24, 33] позволяет получить приближение статистической суммы / для исследования термодинамических показателей энергии, намагниченности и корреляционной функций. В основе метода лежит спектральный анализ матрицы переходов, сформированной на взаимодействиях между

спинами. Метод позволяет получить приближенное аналитическое решение для некоторых одномерных моделей.

Наиболее универсальным численным способом исследования является метод Монте-Карло. Применительно к исследованию решеточных спиновых моделей, метод позволяет генерировать большое количество конфигураций системы, управляя параметрами распределения. После этапа генерации данных производится вычисление термодинамических показателей системы, их усреднение и статистический анализ свойств фазового перехода - критической температуры и критических показателей. Главным преимуществом метода является универсальность, позволяющая применять его к различным моделям, размерностям пространств и линейным размерам решеток. Основным вызовом является критическое замедление [34], связанное со скоростью перехода системы в новое состояние при локальных обновлениях, что приводит к росту вычислительной сложности алгоритма. Для моделирования решеточных спиновых моделей методом Монте-Карло существует несколько групп алгоритмов, отличающихся эффективностью работы при критическом замедлении. Более подробно метод и его модификации будут рассмотрены далее.

1.6 Методы Монте-Карло

Методы Монте-Карло (МК) с учетом их универсальности, являются очень неэффективными с точки зрения вычислительных ресурсов. Основными факторами являются: 1) медленная сходимость, 2) время релаксации до состояния равновесия, 3) автокорреляции в состоянии равновесия, 4) критическое замедление. Медленная сходимость к точному решению - черта всего метода МК, основанная на том, что статистическая ошибка убывает ~ 1 , где # число наблюдений [34]. Факторы 2-4 свойственны решеточным спиновым моделям, так как в основе моделирования лежит марковский процесс.

Дискретная марковская цепь С задана набором случайных величин хо,^,..., переход между состояниями хг ! хг+1 статистически независим и описывается матрицей переходов % = {?/,у}. Начальное распределение вероятностей со, а стационарное распределение с будем называть состоянием равновесия. Время релаксации - это время, требуемое для достижения состояния равновесия с из начального распределения со, если они не совпадают. После достижения состояния равновесия с, автокорреляции приводят к скоррелированности получаемых выборок. Для того, чтобы поставить вычислительный эксперимент, нужно учитывать эти факторы.

Систематическая ошибка возникает в процессе перехода в состояние равновесия с из со, когда система имеет смещение, вызванное начальными условиями. Для минимизации ошибки, требуется оценить время на переход из со в с одним или несколькими методами, а после исключить из выборки все измерения до достижения Сге/0х. Для оценки Сге/0Д: используют теоретические и эмпирические подходы [35]. По автокорреляционной функции ряда наблюдений вычисляется корреляционное время ССОАА, после чего выбирается время ¿ге/0х = : • Ссогг, уменьшая отклонение с от начального в е-: раз. Эмпирическое правило брать : = 2о. Альтернативным подходом является построение наблюдаемых величин как функций от времени для нескольких реализаций с разными

начальными условиями. В решеточных спиновых моделях часто используют "горячий" старт, инициализируя спины на решетке случайно из равномерного распределения.

Статистическая ошибка возникает в состоянии равновесия при извлечении выборок из с. Для минимизации ошибки, нужно проводить извлечения независимых выборок путем фиксации результатов каждые 2-icраз [34]. Полученные таким образом выборки будем называть нескоррелированными, а их количество N влияет на статистическую ошибку, пропорционально 1/VN. Например, если в результате моделирования погрешность вычисляемого показателя равна е, то для уменьшения погрешности в 10 раз размер нескоррелированной выборки нужно увеличить в 100 раз.

Algorithm 1 Моделирование методом МК

Require:

spins, update,

N¿mg

Ensure:

Cre/ax * 20 • Ccoaa

Data ^ empty() for t ^ 0; t < 20 • tcoAA; t++ do

spins ^ update(spins) end for

while size(Data) < N8mg do

for t ^ 0; t < 2 • tc>AA; t ++ do

spins ^ update(spins) end for

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Чертенков Владислав Игоревич, 2024 год

Список литературы

[1] Juan Carrasquilla и Roger G Melko. «Machine learning phases of matter». В: Nature Physics 13.5 (2017), с. 431—434.

[2] Kimihiko Fukushima и Kazumitsu Sakai. «Can a CNN trained on the Ising model detect the phase transition of the q-state Potts model?» В: Progress of Theoretical and Experimental Physics 2021.6 (2021), 061A01.

[3] Nicholas Walker и Ka-Ming Tam. «InfoCGAN classification of 2D square Ising configurations». В: Machine Learning: Science and Technology 2.2 (2020), с. 025001.

[4] Constantia Alexandrou и др. «The critical temperature of the 2D-Ising model through deep learning autoencoders». В: The European Physical Journal B 93

(2020), с. 1—15.

[5] Wanzhou Zhang, Jiayu Liu и Tzu-Chieh Wei. «Machine learning of phase transitions in the percolation and X Y models». В: Physical Review E 99.3 (2019), с. 032142.

[6] Yusuke Miyajima и др. «Machine learning detection of Berezinskii-Kosterlitz-Thouless transitions in q-state clock models». В: Physical Review B 104.7

(2021), с. 075114.

[7] Kenta Shiina и др. «Machine-learning studies on spin models». В: Scientific reports 10.1 (2020), с. 2177.

[8] Dimitrios Bachtis, Gert Aarts и Biagio Lucini. «Mapping distinct phase transitions to a neural network». В: Physical Review E 102.5 (2020), с. 053306.

[9] Kaiming He и др. «Deep residual learning for image recognition». В: Proceedings of the IEEE conference on computer vision and pattern recognition. 2016, с. 770—778.

[10] ЛД Ландау и ЕМ Лифшиц. «Теоретическая физика. Том 5. Статистическая физика. Часть 1». В: книга (1976).

[11] Алексей Алексеевич Абрикосов. Основы теории металлов. Физматлит, 2010.

[12] Richard P Feynman и др. «The feynman lectures on physics; vol. i». В: American Journal of Physics 33.9 (1965), с. 750—752.

[13] Геннадий Бондаренко, Татьяна Кабанова и Владимир Рыбалко. Материаловедение 3-е изд., пер. и доп. Учебник для СПО. Litres, 2024.

[14] Lars Onsager. «Crystal statistics. I. A two-dimensional model with an orderdisorder transition». В: Physical Review 65.3-4 (1944), с. 117.

[15] RJ Baxter и FY Wu. «Exact solution of an Ising model with three-spin interactions on a triangular lattice». В: Physical Review Letters 31.21 (1973), с. 1294.

[16] Renfrey Burnard Potts. «Some generalized order-disorder transformations». В: Mathematical proceedings of the cambridge philosophical society. Т. 48. 1. Cambridge University Press. 1952, с. 106—109.

[17] Rodney J Baxter. Exactly solved models in statistical mechanics. Courier Corporation, 2007.

[18] Leo P Kadanoff. «Scaling laws for Ising models near Tc». В: Physics Physique Fizika 2.6 (1966), с. 263.

[19] АЗ Паташинский и ВЛ Покровский. «О поведении упорядочивающихся систем вблизи точек фазового перехода». В: ЖЭТФ 50.2 (1966), с. 439— 447.

[20] Benjamin Widom. «Equation of state in the neighborhood of the critical point». В: The Journal of Chemical Physics 43.11 (1965), с. 3898—3905.

[21] Michael E Fisher. «The theory of equilibrium critical phenomena». В: Reports on progress in physics 30.2 (1967), с. 615.

[22] Leo P Kadanoff и др. «Static phenomena near critical points: theory and experiment». В: Reviews of Modern Physics 39.2 (1967), с. 395.

[23] Chen Ning Yang. «The spontaneous magnetization of a two-dimensional Ising model». В: Physical Review 85.5 (1952), с. 808.

[24] Ernst Ising. «Beitrag zur theorie des ferro-und paramagnetismus». Дис. ... док. Grefe & Tiedemann Hamburg, Germany, 1924.

[25] Eytan Domany и Eberhard K Riedel. «Phase transitions in two-dimensional systems». В: Journal of Applied Physics 49.3 (1978), с. 1315—1320.

[26] Robert B Pearson. «Conjecture for the extended Potts model magnetic eigenvalue». В: Physical Review B 22.5 (1980), с. 2579.

[27] Julius Ashkin и Edward Teller. «Statistics of two-dimensional lattices with four components». В: Physical Review 64.5-6 (1943), с. 178.

[28] L Turban. «Self-dual anisotropic two-dimensional Ising models with multispin interactions». В: Journal de Physique Lettres 43.8 (1982), с. 259—265.

[29] Vladislav Chertenkov и Lev Shchur. «Universality classes and machine learning». В: Journal of Physics: Conference Series. Т. 1740. 1. IOP Publishing. 2021, с. 012003.

[30] William Lawrence Bragg и Evan James Williams. «The effect of thermal agitation on atomic arrangement in alloys». В: Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical and Physical Character 145.855 (1934), с. 699—730.

[31] MF Sykes, JW Essam и DS Gaunt. «Derivation of low-temperature expansions for the Ising model of a ferromagnet and an antiferromagnet». В: Journal of Mathematical Physics 6.2 (1965), с. 283—298.

[32] Kenneth G Wilson h John Kogut. «The renormalization group and the expansion». В: Physics reports 12.2 (1974), c. 75—199.

[33] Hendrik A Kramers h Gregory H Wannier. «Statistics of the two-dimensional ferromagnet. Part I». B: Physical Review 60.3 (1941), c. 252.

[34] Alan Sokal. «Monte Carlo methods in statistical mechanics: foundations and new algorithms». B: Functional integration: Basics and applications. Springer, 1997, c. 131—192.

[35] Lee W Schruben. «Detecting initialization bias in simulation output». B: Operations Research 30.3 (1982), c. 569—590.

[36] Nicholas Metropolis h gp. «Equation of state calculations by fast computing machines». B: The journal of chemical physics 21.6 (1953), c. 1087—1092.

[37] W Keith Hastings. «Monte Carlo sampling methods using Markov chains and their applications». B: (1970).

[38] Hideo Yahata h Masuo Suzuki. «Critical slowing down in the kinetic ising model». B: Journal of the Physical Society of Japan 27.6 (1969), c. 1421— 1438.

[39] S Wansleben h DP Landau. «Dynamical critical exponent of the 3D Ising model». B: Journal of Applied Physics 61.8 (1987), c. 3968—3970.

[40] Gene F Mazenko h Oriol T Valls. «Dynamic critical exponent z in some two-dimensional models». B: Physical Review B 24.3 (1981), c. 1419.

[41] Robert H Swendsen h Jian-Sheng Wang. «Nonuniversal critical dynamics in Monte Carlo simulations». B: Physical review letters 58.2 (1987), c. 86.

[42] Ulli Wolff. «Collective Monte Carlo updating for spin systems». B: Physical Review Letters 62.4 (1989), c. 361.

[43] P Tamayo, RC Brower h W Klein. «Single-cluster Monte Carlo dynamics for the Ising model». B: Journal of statistical physics 58 (1990), c. 1083—1094.

[44] Lev N Shchur h Wolfhard Janke. «Critical amplitude ratios of the Baxter-Wu model». B: Nuclear Physics B 840.3 (2010), c. 491—512.

[45] Thomas G Dietterich. «Ensemble methods in machine learning». B: International workshop on multiple classifier systems. Springer. 2000, c. 1—15.

[46] Christopher M Bishop h Nasser M Nasrabadi. Pattern recognition and machine learning. T. 4. 4. Springer, 2006.

[47] Sinno Jialin Pan h gp. «Domain adaptation via transfer component analysis». B: IEEE transactions on neural networks 22.2 (2010), c. 199—210.

[48] Frank Rosenblatt. «The perceptron: a probabilistic model for information storage and organization in the brain.» B: Psychological review 65.6 (1958), c. 386.

[49] Yann LeCun h gp. «Gradient-based learning applied to document recognition». B: Proceedings of the IEEE 86.11 (1998), c. 2278—2324.

[50] Paul Werbos. «Beyond regression: New tools for prediction and analysis in the behavioral sciences». B: PhD thesis, Committee on Applied Mathematics, Harvard University, Cambridge, MA (1974).

[51] David E Rumelhart, Geoffrey E Hinton h Ronald J Williams. «Learning representations by back-propagating errors». B: nature 323.6088 (1986), c. 533— 536.

[52] Diederik P Kingma h Jimmy Ba. «Adam: A method for stochastic optimization». B: arXiv preprint arXiv:1412.6980 (2014).

[53] Xavier Glorot h Yoshua Bengio. «Understanding the difficulty of training deep feedforward neural networks». B: Proceedings of the thirteenth international conference on artificial intelligence and statistics. JMLR Workshop h Conference Proceedings. 2010, c. 249—256.

[54] Yann LeCun, Yoshua Bengio h Geoffrey Hinton. «Deep learning». B: nature 521.7553 (2015), c. 436—444.

[55] Pankaj Mehta h David J Schwab. «An exact mapping between the variational renormalization group and deep learning». B: arXiv preprint arXiv:1410.3831 (2014).

[56] Paul Smolensky h gp. «Information processing in dynamical systems: Foundations of harmony theory». B: (1986).

[57] Alan Morningstar h Roger G Melko. «Deep learning the ising model near criticality». B: Journal of Machine Learning Research 18.163 (2018), c. 1— 17.

[58] Gordon Frank Newell. «Crystal statistics of a two-dimensional triangular Ising lattice». B: Physical Review 79.5 (1950), c. 876.

[59] Berezinskii VL. «Destruction of long-range order in one-dimensional and two-dimensional systems having a continuous symmetry group I. Classical systems». B: Sov. Phys. JETP 32.3 (1971), c. 493—500.

[60] John Michael Kosterlitz h David James Thouless. «Ordering, metastability and phase transitions in two-dimensional systems». B: Basic Notions Of Condensed Matter Physics. CRC Press, 2018, c. 493—515.

[61] Philippe Suchsland h Stefan Wessel. «Parameter diagnostics of phases and phase transition learning by neural networks». B: Physical Review B 97.17 (2018), c. 174435.

[62] Vladislav Chertenkov, Evgeni Burovski h Lev Shchur. «Finite-size analysis in neural network classification of critical phenomena». B: Physical Review E 108.3 (2023), c. L032102.

[63] Arthur E Ferdinand h Michael E Fisher. «Bounded and inhomogeneous Ising models. I. Specific-heat anomaly of a finite lattice». B: Physical Review 185.2 (1969), c. 832.

[64] Diana Sukhoverkhova h gp. «Validity and Limitations of Supervised Learning for Phase Transition Research». B: Russian Supercomputing Days. Springer, 2023, c. 314—329.

[65] Vladislav Chertenkov, Evgeni Burovski h Lev Shchur. «Deep machine learning investigation of phase transitions». B: Russian Supercomputing Days. Springer, 2022, c. 397—408.

[66] Ashish Jaiswal h gp. «A survey on contrastive self-supervised learning». B:

Technologies 9.1 (2020), c. 2.

Приложение А

Графические материалы к главе 3

В Приложении представлены графики функций Р(7), + (7) решеточных спиновых моделей для архитектур НС. Вертикальная пунктирная линия соответствует точному значению критической температуры 72. На графике + (7) изображены две области аппроксимации ненормированной кривой Гаусса и ^+. Сплошные линии соответствуют интервалу, в котором проводилась аппроксимация. Таблицы с численными значениями извлеченных термодинамических величин 72, а находятся в основной части текста.

Обучение на конфигурациях спинов

Модель Изинга

Рис. A.1: Модель Изинга, архитектура FCNN.

Рис. A.2: Модель Изинга, архитектура CNN.

Рис. ^3: Модель Изинга, архитектура ResNet.

Модель Бакстера-Ву

Рис. А.4: Модель Бакстера-Ву, архитектура БСКК.

Рис. А.5: Модель Бакстера-Ву, архитектура СКК.

Рис. А.6: Модель Бакстера-Ву, архитектура Ие8№1;.

Модель Поттса (я=4) Простое кодирование

Рис. А.7: Модель Поттса ^=4), простое кодирование, архитектура

гсш.

Рис. А.8: Модель Поттса ^=4), простое кодирование, архитектура

сш.

Рис. А.9: Модель Поттса ^=4), простое кодирование, архитектура

Ранговое кодирование

Рис. A.10: Модель Поттса (q=4), ранговое кодирование, архитектура FCNN.

Рис. A.11: Модель Поттса (q=4), ранговое кодирование, архитектура CNN.

Рис. A.12: Модель Поттса (q=4), ранговое кодирование, архитектура ResNet.

Двухспиновое кодирование

Рис. A.13: Модель Поттса (q=4), двухспиновое кодирование, архитектура FCNN.

Рис. A.14: Модель Поттса (q=4), двухспиновое кодирование, архитектура CNN.

Рис. A.15: Модель Поттса (q=4), двухспиновое кодирование, архитектура ResNet.

Перекрестное обучение на конфигурациях спинов

Модели Бакстера-Ву и Изинга

Обучаем на Бакстере-Ву, тестируем на Изинге

Рис. А.16: Архитектура РС№№

Рис. А.17: Архитектура СКК.

Обучаем на Изинге, тестируем на Бакстере-Ву

Рис. А.19: Архитектура БСКК.

Рис. А.20: Архитектура С^.

т 9 ■-> ™ • • 1_=48 д 1_=72 « 1_=96

* * А * ■ 1_=144 * 1_=216 ---Тс

♦ * ♦ • *

* <- . • * Ч % *

• 1 = 48 ж ¿. = 72 « 1 = 96 ■ 1 = 144 * ¿.=»216 • ---Тс • • « « « • • ! 1 ! 1 .. « . 1 л ■ •• « 1 • л .. 1 • ■■ ,

• • • !*•>■"•

• •■■•«•■•■■•■•■■••■■■■■■■и * | чг

• 1 = 48 А ¿. = 72 « ¿. = 96 ■ ¿.= 144

* 1 = 216 ---Тс

кяЛйяяятяяяятя*»1л»а»А*а»в

2.23 2.24 2.25 2.26 2.27 2.28 2.29 2.30 2.31

Рис. А.21: Архитектура Яе$№1;.

Модели 4-к Поттса и Изинга

Обучаем на Поттсе, тестируем на Изинге

Рис. А.22: Архитектура РС^.

Рис. А.23: Архитектура С^.

Рис. А.25: Простое кодирование, архитектура БСКК.

Рис. А.26: Простое кодирование, архитектура СКК.

.........1 1 • 1=48 [ 1=72 К 1 « 1=96 ■ 1=144 •

я ■ • • ■ ▲ • ■ и :! • ! . в 4 *

1 = 48 ¿. = 72 /.= 96 1=144

Тс

0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 1.05 1.10 0.89824

0.90324 0.90824

» /.=*7^ .'•• = 96 * = 144

............. ■

0.91424 0.91924

Рис. А.27: Простое кодирование, архитектура Яе8№1;.

Рис. А.28: Ранговое кодирование, архитектура РС№№

Рис. А.29: Ранговое кодирование, архитектура

Рис. А.30: Ранговое кодирование, архитектура Яе8№1;.

Рис. А.31: Двухспиновое кодирование, архитектура БСКК.

Рис. А.32: Двухспиновое кодирование, архитектура СКК.

* • • 1_=48 А |_=72 » 1=96

1 1 ■ 1_=144 ---Тс

1

. * •

у / • •

"*« » ■■■

• 1 = 72 ■ 1 = 96 *■

■ 1.= 144

— ■ Тс ■

» 1 = 72

■ 1 = 96

■ I. = 144 -- Тс

.....^'Лй*

■■ ■■ ■■■■

0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 1.05 1.10 0.89824

Рис. А.33: Двухспиновое кодирование, архитектура Яе$№1;.

Модели Бакстера-Ву и 4-к. Поттса

Обучаем на Поттсе, тестируем на Бакстере-Ву

Рис. А.34: Простое кодирование, архитектура БСКК.

р*1» ■■ II.

■ • 1=48

• л 1=72

А * 1_=96 ■ 1_=144 ---Тс

ф *

*

Ф

# %

Ф ^

*

•

• г

• ч

• • *

1111 11111

0.28 0.24

0.16 0.12

• 1 = 48

д ¿. = 72

« 1 = 96

■ ¿.=»144 ■ **

• ---Тс * " ' '

• • _

• • п • ф • А * г

*

И

т/%

• 1= 48 А 1 = 72 « ¿. = 96 ■ ¿.= 144 ---Тс

2.23 2.24 2.25 2.26 2.27 2.28 2.29 2.30 2.31 2.22919

2.26919 2.26419

Рис. А.35: Простое кодирование, архитектура СКК.

» • " . ■ 'т-..д •. . ^ • 1_=48 д 1=72 « 1_=96 ■ Ь=144 ---Тс

• Vе- \ # # *

• 1 = 48 А 1 = 72 « ¿. = 96 ■ ¿.= 144 ---Тс

^^ ■■*■>■ ■■■■■■■■(■■••■••■•■••■■а

2.23 2.24 2.25 2.26 2.27 2.28 2.29 2.30 2.31

2.26919 2.26419

Рис. А.36: Простое кодирование, архитектура Яе$№1;.

Рис. А.37: Ранговое кодирование, архитектура БСКК.

Рис. А.38: Ранговое кодирование, архитектура

т ■ м.а ааь • • * А»"* • ■ • 1_=48

« ■ д 1=72

• » 1_=96

■ Ь=144

А ---Тс

- •

* *

« Г * • •

• ц • • -

1111 11111

• 1 = 48 1 1 1

А ¿. = 72 1

» ¿. = 96 1 I

■ ¿.=»144 1

. * — Тс " !

• ! -••л!

• . \

• - А..Л К . . .

• •

А • ■ ■ ! \

■■■■■■■Ив

ч.Ч

ш •

А . •

■£ Л-,.

¡V '

• 1 = 48 А ¿. = 72 « ¿. = 96 ■ ¿.= 144 ---Тс

2.23 2.24 2.25 2.26 2.27 2.28 2.29 2.30 2.31

Рис. А.39: Ранговое кодирование, архитектура Яе$№1;.

ИР»*™ ■■■ ■ • • • •

а • 1_=48

д 1=72

* А » 1_=96

■ 1_=144

* ---Тс

*

♦ *

* *

*

А *

Л

• \ я

. -;

2.23 2.24 2.25 2.26 2.27 2.28 2.29 2.30 2.31

• 1 = 48 А 1 = 72 « ¿. = 96 ■ ¿.= 144 ---Тс

I .

1 V" д.

■ " .* • • ! V'. ••• • ■л* ••••••

2.26919 2.26419

Рис. А.40: Двухспиновое кодирование, архитектура БСКК

Рис. А.41: Двухспиновое кодирование, архитектура

Рис. А.42: Двухспиновое кодирование, архитектура Яе$№1;.

Рис. А.43: Простое кодирование, архитектура РС№№

Рис. А.44: Простое кодирование, архитектура

Рис. А.45: Простое кодирование, архитектура Яе$№1;.

Рис. А.46: Ранговое кодирование, архитектура РС№№

0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 1.05 1.10 0.89824 0.90324 0.90824 0.90924 0.91424 0.91924

Рис. А.48: Ранговое кодирование, архитектура Яе8№1;.

Рис. А.49: Двухспиновое кодирование, архитектура БСКК.

Рис. А.50: Двухспиновое кодирование, архитектура СКК.

Рис. А.51: Двухспиновое кодирование, архитектура Яе$№1;.

Приложение В

Графические материалы к главе 4

В Приложении представлены графики функций F(Т), + (Т) решеточных спиновых моделей для архитектур НС. Вертикальная пунктирная линия соответствует точному значению критической температуры Тс. На графике + (Т) изображены две области аппроксимации ненормированной кривой Гаусса о~~ и а+. Сплошные линии соответствуют интервалу, в котором проводилась аппроксимация. Таблицы с численными значениями извлеченных термодинамических величин Тс, V находятся в основной части текста.

Обучение на корреляторах спинов

Модель Изинга

2.10 2.15 2.20 2.25 2.30 2.35 2.40 2.45 2.0692 2.1092 2.1492 2.1892 2.2292 2.2692 2.2392 2.2792 2.3192 2.3592 2.3992 2.4392

т т т

Рис. B.1: Модель Изинга, архитектура БСКК.

2.10 2.15 2.20 2.25 2.30 2.35 2.40 2.45 2.0692 2.1092 2.1492 2.1892 2.2292 2.2692 2.2392 2.2792 2.3192 2.3592 2.3992 2.4392 Т Т Т

Рис. B.2: Модель Изинга, архитектура

Рис. B.3: Модель Изинга, архитектура ResNet.

Модель Бакстера-Ву

2.23 2.24 2.25 2.26 2.27 2.28 2.29 2.30 2.31 2.22919 2.23919 2.24919 2.25919 2.26919 2.26619 2.27619 2.28619 2.29619 2.30619

т т т

Рис. B.4: Модель Бакстера-Ву, архитектура БСКК.

2.23 2.24 2.25 2.26 2.27 2.28 2.29 2.30 2.31 2.22919 2.23919 2.24919 2.25919 2.26919 2.26619 2.27619 2.28619 2.29619 2.30619

т т т

Рис. B.5: Модель Бакстера-Ву, архитектура СКК.

2.23 2.24 2.25 2.26 2.27 2.28 2.29 2.30 2.31 2.22919 2.23919 2.24919 2.25919 2.26919 2.26419 2.27419 2.28419 2.29419 2.30419

т т т

Рис. B.6: Модель Бакстера-Ву, архитектура ResNet.

Обучение на энергиях связей Модель Изинга

- 1_=48 1_=72 1_=96 Ь=144 1=216 -■ Тс

4

¿. = 48 ¿. = 72 ¿. = 96 1= 144 1 = 216 Тс

ш

0.00 М4*в44ААв4141вввввав4ввввавввввааааа*^М«в1 иица■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■

2.10 2.15 2.20 2.25 2.30 2.35 2.40 2.45 2.0692 2.1092 2.1492 2.1892 2.2292 2.2692 2.2392 2.2792 2.3192 2.3592 2.3992 2.4392

*

¿. = 48 1 = 72 ¿. = 96 1= 144 1 = 216 Тс

Рис. Б.7: Модель Изинга, архитектура FCNN.

Рис. Б.8: Модель Изинга, архитектура CNN.

Рис. Б.9: Модель Изинга, архитектура ResNet.

Модель Бакстера-Ву

Рис. Б.10: Модель Бакстера-Ву, архитектура FCNN.

Рис. Б.11: Модель Бакстера-Ву, архитектура CNN.

Рис. Б.12: Модель Бакстера-Ву, архитектура ResNet.

Модель Поттса ^=4) Кодирование без стандартизации

— • 1_=48 Д 1=72 м |_=96

1 = 72 1 = 96 1=144

•• 1 = 48 1 = 72 ' « (. = 96 * • ■• ¿=144

---Тс

^Мя Л.-""

0.900 0.905 0.910 0.915 0.920 0.89524 0.90024 0.90524 0.91024

0.90724 0.91224 0.91724

Рис. Б.13: Модель Поттса ^=4), архитектура FCNN.

Рис. Б.14: Модель Поттса (д=4), архитектура CNN.

Рис. Б.15: Модель Поттса ^=4), архитектура ResNet.

Кодирование со стандартизации

1.0

0.900 0.905 0.910 0.915 0.920 0.89524 0.90024 0.90524 0.91024 0.90724 0.91224 0.91724 0.92224

Т Т Т

Рис. Б.16: Модель Поттса ^=4), архитектура FCNN.

0.900 0.905 0.910 0.915 0.920 0.89524 0.90024 0.90524 0.91024 0.90724 0.91224 0.91724 0.92224

Т Т Т

Рис. Б.17: Модель Поттса (д=4), архитектура CNN.

Рис. Б.18: Модель Поттса ^=4), архитектура ResNet.

Перекрестное обучение на энергиях связей

Модели Изинга и Бакстера-Ву

Обучаем на Изинге, тестируем на Бакстере-Ву

2.23 2.24 2.25 2.26 2.27 2.28 2.29 2.30 2.31 2.22919 2.23919 2.24919 2.25919 2.26919 2.26419 2.27419 2.28419 2.29419 2.30419

т т т

Рис. Б.19: Архитектура CNN.

Рис. Б.20: Архитектура ResNet.

Обучаем на Бакстере-Ву, тестируем на Изинге

Рис. Б.21: Архитектура CNN.

Рис. Б.22: Архитектура ResNet.

Модели Изинга и Поттса ^=4) Обучаем на Поттсе, тестируем на Изинге

Рис. Б.23: Кодирование без стандартизации. Архитектура CNN.

Рис. Б.24: Кодирование без стандартизации. Архитектура ResNet.

Рис. Б.25: Кодирование со стандартизацией. Архитектура CNN.

Рис. Б.26: Кодирование со стандартизацией. Архитектура ResNet.

Обучаем на Изинге, тестируем на Поттсе

Рис. Б.27: Кодирование без стандартизации. Архитектура CNN.

Рис. Б.28: Кодирование без стандартизации. Архитектура ResNet.

Рис. Б.29: Кодирование со стандартизацией. Архитектура CNN.

Рис. Б.30: Кодирование со стандартизацией. Архитектура ResNet.

Модели Бакстера-Ву и Поттса (я=4)

Обучаем на Поттсе, тестируем на Бакстере-Ву

Рис. Б.31: Кодирование без стандартизации. Архитектура CNN.

Рис. Б.32: Кодирование без стандартизации. Архитектура ResNet.

Рис. Б.33: Кодирование со стандартизацией. Архитектура CNN.

Рис. Б.34: Кодирование со стандартизацией. Архитектура ResNet.

Обучаем на Бакстере-Ву, тестируем на Поттсе

Рис. Б.35: Кодирование без стандартизации. Архитектура

Рис. Б.36: Кодирование без стандартизации. Архитектура ResNet.

Рис. Б.37: Кодирование со стандартизацией. Архитектура CNN.

Рис. Б.38: Кодирование со стандартизацией. Архитектура ResNet.