Исследование проблем принятия решений в пространствах нечетких бинарных отношений и /или/ в условиях неполной информации тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.09, кандидат физико-математических наук Кудряшова, Татьяна Евгеньевна

• Кудряшова, Татьяна Евгеньевна
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кудряшова, Татьяна Евгеньевна

Введение

1 Исследование методов Парных Экспертных Оценок (ПЭО)

1.1 Анализ линейных моделей, методов ПЭО.

1.1.1 Линейные модели.

1.1.2 Многомерные парные сравнения.

1.1.3 Метод Саати.

1.1.4 Аддитивный и мультипликативный методы ПЭО . 17 ) 1.1.5 Комбинаторные методы.

1.2 Манипулирование в задачах социального выбора.

1.2.1 Манипулирование

1.2.2 Способы манипулирования группами.

2 Групповые решения в пространствах нечетких бинарных отношений

2.1 Пространства нечетких бинарных отношений.

2.1.1 Структуры и пространства нечетких бинарных отношений.

2.1.2 Выпуклые множества и выпуклые оболочки в пространствах нечетких бинарных отношений

2.2 Пространства нечетких частичных порядков (Ф, Д, а) . . 49 ^ 2.2.1 Полнота пространства (Ф, Я,, а).

2.2.2 Метрика в пространстве (Ф,11, сг).

2.2.3 Базис выпуклого множества.

2.2.4 Ядро выпуклой оболочки.

2.2.5 Алгоритм «^-ядро».

2.3 Групповые решения в пространстве нечетких частичных порядков.

2.3.1 Модель пространства (Ф, Я, а).

2.3.2 Построение единственного группового решения

3 Методы решения одноэтапной задачи стохастического программирования с вероятностными целевой функцией и условиями

3.1 Решение одноэтапной задачи стохастического программирования с вероятностными целевой функцией и условиями

3.1.1 Два алгоритма решения задачи.

3.2 Исследование устойчивости решений.

3.2.1 Устойчивость решений задач стохастического нелинейного программирования

3.2.2 Абсолютная плановая устойчивость по вероятностному распределению

4 Практическая реализация модели распределения ресурсов

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование проблем принятия решений в пространствах нечетких бинарных отношений и /или/ в условиях неполной информации»

Диссертационная работа является попыткой продолжить исследования проблем принятия решений в пространствах нечетких бинарных отношений и / или / в условиях неполной информации.

Экспертные методы используются главным образом в ситуациях, которые характеризуются большой сложностью решаемой проблемы и неопределенностью исследуемых объектов. Экспертные оценки, призванные разрешить эту неопределенность, часто представляются в форме бинарных отношений, позволяющих однозначно ответить на вопрос: какие объекты из оцениваемой совокупности находятся или не находятся в данном отношении. В то же время однозначный ответ на такой вопрос не всегда возможен. Часто бывает, что более точным был бы ответ, содержащий в себе оценку той степени, с которой объекты находятся в данном отношении. Конечно, содержательная интерпретация такой меры может быть иной. Например, она может пониматься как степень уверенности в том, что объекты находятся в данном отношении. Язык теории нечетких множеств дает возможность представлять такие величины и, тем самым, оказывается во многих случаях более адекватным условием экспертной оценки, чем обычная («четкая») теория.

Развивая геометрический подход к проблеме группового выбора в нечетком случае, необходимо внимательно рассмотреть вопрос, что нового дает развиваемый подход при использовании информации нового вида — нечетких отношений предпочтения.

С этой целью в первую очередь предпринимается исследование свойств и структур нечетких отношений. Оказывается, что многие структурные свойства четких отношений, как правило, непосредственно не эксплицируются на нечеткий случай, что затрудняет построение и исследование пространств нечетких отношений. Однако для случая отношений частичного порядка такая экспликация возможна и будет в дальнейшем реализована построением метрического и геометрического подходов к решению проблемы группового выбора.

С развитием экономики повышается потребность использовать в практике экономических решений оптимизационные модели. В задачах планирования, управления и исследования параметры могут иметь вероятностные характеристики, полученные в результате анализа опытных данных, обработки статистического материала или на основании изучения процессов, подлежащих моделированию. Необходимо системное рассмотрение проблем, которыми занимается теория стохастического программирования.

Моделирование является одним из методов прогнозирования развития сложных экономических регионов, одним из которых является Санкт-Петербург. Важнейшим этапом по принятию решений относительно управления и анализа бюджетного финансирования является проблема распределения ресурсов, в частности, распределения расходной части бюджетных средств.

Полученные результаты проводимых исследований могут успешно применяться при моделировании реальных экономических процессов. Использоваться в задачах распределения ресурсов — в экономике, политике, при принятии инвестиционных, социальных и политических решений, а так же в дальнейших исследованиях в области принятия решений, когда исходная информация нечеткая или неполная.

Целью данной диссертационной работы является: • анализ для малых групп методов парных эскпертных оценок;

• исследование вопросов манипулирования и контрманипулирования в задачах социального выбора;

• исследование задачи построения групповых эксперных решений, удовлетворяющих классическому принципу единогласия Парето, когда исходные данные представлены в виде нечетких бинарных отношений;

• исследование свойств и структур нечетких отношений;

• исследование пространства нечетких частичных порядков;

• решение проблемы группового выбора — построение единственного группового решения в пространстве нечетких частичных порядков;

• разработка, а также сравнение методов решения одноэтапной задачи стохастического программирования с вероятностной целевой функцией и вероятностными условиями;

• применение разработанного подхода к прикладным математическим задачам.

В первой главе работы представлен анализ для малых групп методов парных эскпертных оценок. Представлено исследование вопросов манипулирования и контрманипулирования в задачах социального выбора.

Во второй главе диссертации проводится исследование свойств и структуры нечетких отношений. Рассмотрены геометрические структуры в произвольном пространстве нечетких отношений. Полученные результаты развиваются для пространства нечетких частичных порядков, для которых вводится также метрическая структура. Заключительная часть второй главы посвящена решению проблемы группового выбора в пространствах нечетких частичных порядков, разработке способа построения единственного группового решения.

Третья глава исследует методы решения одноэтапной задачи оптимизации при вероятностных ограничениях и целевой функции. Рассмотрена модель одноэтапной задачи стохастического программирования с вероятностными целевой функцией и условиями — модель Ка-таока, построен ее детерминированный эквивалент. Разработаны два метода решения найденного детерминированного эквивалента, блок-схемы методов.

Исследуется два вида устойчивости решений: устойчивость решений задач стохастического нелинейного программирования и абсолютная плановая устойчивость по вероятностному распределению. Проводится исследование и сравнение работы двух новых методов на примере практического применения модели.

В заключительной главе диссертационной работы представлено математическое решение конкретной задачи минимизации затрат, имеющей практическое применение в распределении расходной части бюджета города по социальным направлениям. Для решения задачи были использованы исходные данные из постановления Правительства Санкт-Петербурга о «Программе социально-экономического развития Санкт-Петербурга на 2005-2008 годы», по различным направлениям на 2005-2008 годы.

В результате решения практической задачи — получению распределение затрат для набора показателей.

Результаты диссертационной работы докладывались на семинарах кафедры математической теории экономических решений, на ежегодных научных конференциях факультета ПМ-ПУ СПбГУ «Процессы управления и устойчивость»(2003-2006), на международной конференции «Устойчивость и процессы управления»(Санкт-Петербург 2005г.). По результатам работы имеется 12 печатных работ.

Все выше сказанное говорит об актуальности темы исследования.

Заключение диссертации по теме «Дискретная математика и математическая кибернетика», Кудряшова, Татьяна Евгеньевна

Заключение

Таким образом в диссертационной работе получены следующие результаты:

• проведен анализ для малых групп методов парных эскпертных ^ оценок;

• исследованы вопросы манипулирования и контрманипулирования в задачах социального выбора;

• исследована задача построения групповых эксперных решений, удовлетворяющих классическому принципу единогласия Парето, когда исходные данные представлены в виде нечетких бинарных отношений;

• исследованы свойства и структура нечетких отношений;

• исследовано пространство нечетких частичных порядков;

• решена проблема группового выбора-построено единственное групповое решение в пространстве нечетких частичных порядков;

• разработаны два новых метода, интерполяционный и итеративный, решения одноэтапной задачи стохастического программирования с вероятностными целевой функцией и условиями;, проведено сравнение этих методов; исследована устойчивость

• решена задача минимизации затрат, имеющей практическое применение в распределении расходной части бюджета города по со-I циальным направлениям. Исходные данные взяты из постановления Правительства Санкт-Петербург о «Программе социально-экономического развития Санкт-Петербурга на 2005-2008 годы», в котором получены показатели города по различным направлениям на 2005-2008 годы. Результат практической задачи — полу-ченно распределение затрат для набора показателей. I

Тайшща началБных данных .№1 Рассматривается 31 напр явление. требуютее городского бюджеттар овяшм. Доя каждого направления даны начальные и конечные ¡иачешш

2005г. 2006г. 2007г. 2008г. единицы из мер енгя

1. Транспорт

1 Количеств мостовье пер еходов 403 404 405 406 ед.

2 Колнчеетво путепр оводов •37 42.3 47.7 53 ед.

3 Количество пешеходных тоннелей 15 20 25 30 ед.

4 Количество стояночных мест на ог аншованных автостоянках 384.6 416.4 448.;? 480 тыс ед.

Ир отяжность улично-дор ожной сети, охваченной АСУ ДЦ 830.3 1660.5 2490;S 3321 км

6 Количество светофорных постов, охваченных АСУ ДД 253 506 759 1012 ед.

7 Плотность транспортной сети в городе 2394. 2451 2508 2565 570(кг.ькв. км)

S Плотность тр анспортной сети в пригородном р айпне 936 1144 1352' 1560 ~80(км;кв. км)

Суммарная вместимость наземного автотранспорта 211 230.7 250.3 270 ' тыс. мест

10 Суммарная вместимость наземного электх»отранспорта 220 233.3 246.7 260 тыс. мест

11 Суммарная вместимость метх> ополи тена 197 201.3 205.7 210 тыс. мест

12 Число летковых и маршрутных так с омоторов. 1 1.5 2 2.5 ед. на 1000 чел

13 Число по двйжног о со с т ава наз емн or о тр анспор та, обор уд ованн ог о 98 105.3 .112.7 120 ед

14 Количество автовокзалов на город 1 1.3 17 2 ед.

2. 3;ф авоохр аненне

2.1 Амбулаторпо-по.шж.шпнгжеские учр еждення

15 Обеспеченноть врачебным nejjсоналом 41 42.3 43.7 45 спец-ов на 10000 ч?л.

16 ооеспеченность ср едннм мед. персоналом т 67.3 68.7 70 сп ец-ов на 10000 ч?л.

2.3. Стационары

17 Обеспеченность оольнмчныш койками интенсивного лечения 17 17.3 17.7 18 ед. на 10000 чел.

18 Обеспеченность больничными койками восстановительног о лечеш 3.7 4.3 ^ ед. на 10000 чел.

19 О б есп еч енно с ть с тацион ар амн дневног о пр ебываши а. 1.2 1:з 1.5 ед. на 10000 чел.

20 Обеспеченность средштммед. персоналом 63 65.3 67.7 70 спец-ов на 10000 чал.

21 О 6 есп еч енно с ть всп омога тельн ым пер сон алом 74. 76 78 80 спец-ов на 10000 чал.

3. Социально обслуживания населения

Л-> — л. Всего стационарных учреждений 28 34.7 4.1.3 4S ед

23 Всего нестационарных учреждений 36 47.3 58,7 70 ед.

24 Численность социальных работников 94 104.3 114 Л 125 спец-ов на 1000 обслу>:жив.

25: Количество отделений сощ^алъно-меднщвдского обслуживания на ? 68.5 77.2 85.8 94.5 ед

26 Численно медицинских работников 69 79.3 89.7 100 спец-ов на 1000 обслужив.

27 Количесвто совднально-раебилитационных отделений 15 17.7 20.3 23 ед.

2S Обеспеченное ть специалист амн 16 27.3 38.7 50 спец-ов на 1000 обслу^сив.

29 Количество центров социальной помощи семье н детям ■у 7 .13;3. 19 ед.

30 Количество учреждений, оказывающих услуги лицам БОМЖ и освЧ 10 13.7 17.3. 21 ед.

31 Всего домов для одиноких пожилых гр аждани инвалидов 11 15.7 20.3 25 ед.

Та&таца ншапьвых данных Ж Вектор С^, V/) задает приоритеты финансирования Нам известны м.о. и дисперсия для ш)

Этапы а С н Й

Ъ 8 В л ьо м.о. С(1, ш) =

2005-06 1006-07 2007-08

1.213664 0.664633 1.121713 1.005619 0.642994 0.525593 0.763312 1.843195 0.620311 0.459748 0.214696 1.706646 1.568284 0.478233 0.995453 0.926681 0.853539 0.580636 1.464194 0.835659 1.079107 1.143056 1.853909 1.403153 0.399933 1.23752 1.045859 1.065354 1.161909 1.080818 1.04458

1.15465 1.09149 0.75086 1.52572 2.10004 1.7244 0.73473 2.09267 0.2802 1.02553 0.79048 0.4162 1.37216 0.50444 1.31882 0.6231 1.3016 0.28015 0.22066 0.20374 1.28072 1.64319 0.23614 0.85531 0.72324 0.96555 1.31621 0.5648 1.38278 1.691 32 0.82147

0.55687 1.35087 1.09226 0.85541 0.78052 0.98718 1.01964 0.02813 0.72085 1.21391 0.2945 0.79109 1.21126 1.34987 1.13701 1.32518 0.84017 1.67335 1.70114 0.95877 0.97747 1.4173 1.08436 0.44408 0.48902 1.02341 0.95401 1.16964 1.13748 0.77142 1.64684

Число (5 0<(5<0.5 а а-вектор а>0.5

0.68 0.64 0.71 0.61 0.85 0.85 0.81 0.52 0.93 0.67 0.52 0.64 0.75 0.92 0.83 0.72 0.61 0.8 0.55 0.74 0.93 0.53 0.83 0.99 0.65 67 0.6 0.95 0.96 0.6 0.91

Частный случай задачи для 3-х направлений интерполяционный метод:

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кудряшова, Татьяна Евгеньевна, 2006 год

1. Абрамов Л.М., Бочкарева И.М. О Задаче стохастического про-граммирования с вероятностными ограничениями. — В кн.: Он-тимальное планирование. Вып. 16-Новосибирск, 1970.-е. 3-9.

2. Быкова И.Ю. Исследование проблем принятия решений в услови- ях неполной информации: Дисс. канд. физ.-мат. наук.-СПб, 1999.-160с.

3. Белман Р., Заде Л. Принятие решений в расплывчатых условиях // В кн.: Вопросы анализа и процедуры принятия решений. —М.:Мир, 1976.-С. 172-215.

4. Бешелев Д., Гурвич Ф.Г. Математико-статистические методы экспертных оценок. М.: Статистика, 1980.-263 с.

5. Биркгоф Г. Теория структур. М.: ИЛ, 1952.

6. Брук Б.Н., Бурков Б.Н. Методы экспертных оценок в задачах упо- рядочения объектов. Известия АН СССР. Техническая кибернети-ка, 1972 № 3.

7. Вемяе Г.В. Качество телефонной передачи и его оценка. М.: Связь, 1970.

8. Вилкас Э.Й., Майминас Е.З. Решения: теория, информация, мо- делирование. — М.: Радио и связь, 1981.-328с.

9. Раврилец Ю.Н. Целевые функции социально-экономического пла- нирования. М.: Экономика, 1983.-275с.

10. Вольский В.И., Лезина З.М. Ролосование в малых группах. —М.: Наука, 1991.-192С.И. Рермейер Ю.Б. Введение в теорию исследования онераций. — М.Наука, 1971.-383с.

11. Демьянов В.Ф., Васильев Л.В. Недифференцируемая оптимиза- ция. М.: Наука, 1981.-384с.

12. Дэвид Г. Метод парных сравнений. М.: Статистика, 1978.-144 с.

13. Дюбуа Д., Прад А. Теория возможностей. Приложения к пред- ставлению знаний в информатике: Пер. с фр. —М.: Радио и связь,1990.-288С.

14. Евланов Г., Кутузов В.А. Экспертные оценки в унравлении. М.: Экономика, 1978.-133 с.

15. Жуковин В.Е. Модели и процедуры принятия решений. Тбилиси, Мецниераба, 1981.-118с.

16. Заде Л.А. Основы нового нодхода к анализу сложных систем и прицедуры принятия решений // Математика сегодня. М.: Знание,1974.-273С.

17. Зубов В.И., Петросян Л.А. Задача распределения капиталовложе- ний. - Л.: Изд-во ЛГУ, 1971.-24с.

18. Зубов В.И., Петросян Л.А. Математические методы в нланирова- нии. - Л.: Изд-во ЛГУ, 1982.-112с.

19. Канлинский А.И., Позняк А.С, Пропой А.И. Условия оптималь- ности для некоторых задач стохастического программирования //Автоматика и телемеханика.-1971.-№10.-с.87-94.

20. Карманов В.Г. Математическое программировапие. М.: Паука, 1975.-272С.

21. Кини Р.Д., Райфа X. Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замеп.,ения. —М.: Радио и связь, 1981.-560с.

22. Кирута А.Я., Рубинов A.M., Яновская Е.В. Оптимальный выбор распределений в сложных социально-экономических задачах (ве-роятностный подход). — Ленинград: Паука, 198О.-167с.115

23. Ковалев В.В. Методы оценки инвестиционных проектов. М.: Фи- нансы и статистика, 1998.-144с.

24. Колбин В.В. Стохастическое программирование. Итоги науки. Теория вероятностей. Мат. Статистика. Теоретическая киберне-тика. М., 1970.-119С.

25. Колбин В.В., Кудряшова Т.Е. Манипулирование в социальном вы- боре - СПб: СПбГУ, 2002. - 19с.

26. Колбин В.В., Кудряшова Т.Е. Прогнозирование результатов в за- дачах социального выбора// Процессы управления и устойчиво-сти: Труды XXXIV научной конференции студентов и аспирантовфакультета ПМ-ПУ. - СПб: ООП ПИИ Химии СПбГУ, 2003. - с.532-536.

27. Колбин В.В., Кудряшова Т.Е, Пронькина Ж.В. Оптимизация ин- вестиционного портфеля// Процессы управления и устойчивости:Труды XXXV научной конференции студентов и аспирантов фа-культета ПМ-ПУ. - СПб: ООП ПИИ Химии СПбГУ, 2004. - с.624-628.

28. Колбин В.В., Кудряшова Т.Е. Модели и методы парных эксперт- ных оценок (ПЭО). - СПб: СПбГУ, 2006.-90с.

29. Колбин В.В., Кудряшова Т.Е. Групповые решения в простран- ствах нечетких бинарных отношений - СПб: СПбГУ, 2006.-43с.

30. Колбин В.В., Кудряшова Т.Е. Исследование групповых решепий в условиях нечетких данных // Процессы управления и устойчиво-сти: Труды XXXVn научной конференции студентов и аспирантовфакультета ПМ-ПУ. - СПб: ООП ПИИ Химии СПбГУ, 2006. - с.569-573.116

31. Колбин В.В., Кудряшова Т.Е. Манипулирование в социальном вы- боре // Устойчивоть и процессы управления — СПб: ООП НИИХимии СПбГУ, 2005. с.654-657.

32. Колбин В.В. Голосование в малых грунпах // Учебное пособие к специальному курсу «Теория решений», ООП ПИИ Химии СПб-ГУ, 2001. - 68с.

33. Колбин В.В., Шагов А.В. Модели принятия решений: Учебное по- собие к специальному курсу "Теория решений". —СПб: ООП ПИИХимии СПбГУ, 2002.-48С.

34. Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств. —М.: Наука, 1982,-482с.

35. Кудряшова Т.Е. Проблемы распределения риска// Процессы управления и устойчивости: Труды ХХХП научной конференциистудентов и аспирантов факультета ПМ-ПУ. — СПб: ООП НИИХимии СПбГУ, 2001.-С.395-399.

36. Кудряшова Т.Е. Аддитивный и мультипликативный методы пар- ных экспертных оценок// Процессы управления и устойчивости:Труды XXXVI научной конференции студентов и аспирантов фа-культета ПМ-ПУ. - СПб: ООП ПИИ Химии СПбГУ, 2005. - с.510-516.

37. Кудряшова Т.Е., Чередниченко СП. Методы манипулирования голосованием в социальных группах // Экономика, экология и об-ш,ество России в 21-м столетии: Труды 4-й Международной науч.-практ. конф. Том 1 - СПб: Изд-во СПбГТУ, 2002. - с. 268-270.

38. Кузьмин В.В., Овчинников СВ. Построение групповых решений в пространствах четких бинарных отношений. М.: ВПИИСИ, 1979.117

39. Лезина З.М. Процедуры коллективного выбора // Автоматика и телемеханика. —1987.-8.-C.3-35.

40. Льюс Р.Д., Райфа X. Игры и решения. —М.: Иностранная лите- ратура, 19б1.-642с.

41. Макаров И.М., Виноградская Т.М., Рубчинский А.А., Соколов В.Б. Теория выбора и принятие решений. —М.:Наука, 1982-328с.

42. Мирзоахмедов Ф., Михалевич М.В. Прикладные аспекты стоха- стического программирования. Душанбе, <Маориф», 1989.-340с.

43. Молодцов Д.А. Устойчивость принципов оптимальности. —М.: Па- ука, 1987.-280С.

44. Мулен Э. Кооперативное принятие решений: Аксиомы и модели. — М.: Мир, 19.-91-463С.

45. Пейман Дж. фон, Моргенштерн О. Теория игр и математическое поведение.-М.: Паука, 1970.-707с.

46. Печеткие множества в моделях управления и искусственного ин- теллекта/Под ред. Д.А. Поспелова. —М.: Паука, 1986.-312с.

47. Печеткие множества и теория возмоджностей. Последние дости- жения: Пер. с англ./Под ред. P.P. Ягера. —М.: Радио и связь,1986.-408С.

48. Орловский А. Проблемы принятия решений при нечеткой ис- ходной информации. —М.: Паука, 1981.-208с.

49. Петросяп Л.А. Дифференциальная игра распределепия капита- ловложений и ресурсов // Управляемые динамические системы.-Саранск, 1991.-е. 4-11.

50. Петросян Л.А. Задача распределения капиталовложений по от- раслям. Теоретико-игровой подход // Математические методы всоциальных науках.-Вильнюс, 1981.-Вьш. 14.-е. 51-59.118

51. Подиновский В.В., Ногин В.Д. Парето-оптимальные решений мно- гокритериальных задач.М.: Наука, 1982.-254с.

52. Нытьев Ю.П. Возможность. Элементы теории и применения. —М.: Эдиториал УРСС, 2000.-192с.

53. Райхман Э.П. Экспертные методы в оценке качества товаров. М.: Экономика, 1974. 151 с.

54. Саати Т. Нринятие решений. Метод анализа иерархий М.: Радио и связь, 1993. Автоматика и телемеханика. 1997. № 10. 175-179.

55. Современное состояние теории исследования операций/Под ред. Н.Н. Моисеева. —М.: Наука, 1979.-464с.

56. Статистические методы анализа экспертных оценок. М.: Наука, 1977.

57. Хитров Г.М., Хованов Н.В. Нростая модель обмена: основные предположения и ближайшие следствия. Вестник СНбГУ, сер. 5,1992, вып. Ш (№26), с. 101-106.

58. Чередниченко Н., Кудряшова Т.Е. Устойчивость принципов оп- тимизации в экономике// Экономика, экология и обш,ество Россиив 21-м столетии: Труды 4-й Международной науч.-практ. конф.Том 4 - СНб: Изд-во СНбГТУ, 2002. с. 119-120.

59. Чередниченко Н., Кудряшова Т.Е. Устойчивость задач многоце- левой оптимизации// Нроцессы управления и устойчивости: Тру-ды XXXHI научной конференции студентов и аспирантов факуль-тета НМ-НУ. - СНб: ООН ННН Химии СНбГУ, 2002. - с.517-520.

60. Фишберн Н.С. Теория полезности для принятия решений. — М.: Наука, 1978.-352С.

61. Юдин Д.Б. Задачи и методы стохастического программирования. М.: Советсткое радио, 1979.-392с.119

62. Юдин Д.Б. Математические методы управления в условиях неполной информации.М.: Советское радио, 1974.-400с.

63. Fishburn Р.С. А general theory of subjective probabilities and expected utilities.Ann. Math.Statistisc 40, 1969.-p. 1419-1429.

64. Fishburn P.С Even-chance lotteries in social choice theory // Theory andDecision.-1972.-Vol.3.-p.l8-40.

65. Gibbard A. Manipulation of voiting schemes: a general rezult // Econometrica.-1973.-41.-P.587-601.

66. Kail P. Stochastic programming // European J. Oper.Res. -1982.- Vol.lO.-p.l25-130.

67. Kataoka S. «On Stochastic Programming I: Stochastic Programming and its Application to Production Horizon Problem», HititsubashiJournal Arts Science, 1962 г., №2. 23-35.

68. Kaufmann A. Introduction the Theory of the Fuzzy Subset. Vol. I, New Jork, Academic: Press, 1975.

69. Keeney R.L. Quasi - separable utility function // Naval Research 1.ogistics Quartery -1968.-15.P.551-565.

70. Keeney R.L. Multiplicative utility function // Operations Reserch. — 1974.-22.-P.22-34.

71. Kolbin V.V. "Stochastic programming"Boston - USA, 1977r.

72. Kolbin V.V. Systems Optimization Methodology. World Siencetific Publicom // Singapore, 2000 part I, part IL

73. Mouhn H. Choosing from a tournament // Social Choice and Welfare. - 1986-3.-R271-291.

74. Negoita C.V., Minou S., Stan E. On considering imprecision in dynamic linear programming // ECEESR.-1976.-3.-P.83-95.120

75. Sengupte J.K., Tintner G. A review of stohastic linear programming // Internat. Statist. Rev.-1971.-VoL39.-p.l97-223.

76. Wets R. Stohastic programs with fixed recourse // SIAM Rev.-1974.- Vol.l6.-p.309-339.

77. Yilmaz M.R. Multiattribute utility theory: a survey // Theory and Decision.-1978.-Vol.9.-№4.-p.317-347.

78. Zadeh L.A. Fuzzy Sets // Information and Control.-1965.-vol 8.-p. 338-353.

79. Zadeh L.A. Similarity Relations and Fuzzy Orderings. Information Siences.-vol. 3-1971.-p. 177-200.121