Исследование плоских колебаний и вращений спутника на эллиптической орбите под действием гравитационных сил и светового давления тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.01, кандидат физико-математических наук Гродман, Дмитрий Леонидович

• Гродман, Дмитрий Леонидович
• кандидат физико-математических наук
• 2001

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Гродман, Дмитрий Леонидович

Введение.

Глава'1. Симметричные периодические движения обратимой системы.

§ 1.1. Необходимые и достаточные условия существования. Метод построения решений.

§ 1.2. Задача о продолжении по параметру.

§ 1.3. Колебания обратимой системы близкой к консервативной с одной степенью свободы.

Известные случаи.

§ 1.4. Колебания обратимой системы близкой к консервативной с одной степенью свободы.

Неисследованный случай.:.

Глава 2. Колебания и вращения динамически симметричного спутника на эллиптической орбите под действием гравитационных сил и светового давления.

§ 2.1. Уравнения движения спутника.

§ 2.2 Динамически симметричный спутник на круговой, слабоэллиптической и произвольной эллиптической орбите.

§ 2.2.1. Динамически симметричный спутник на круговой орбите.

§ 2.2.2 Динамически симметричный спутник на слабоэллиптической орбите.

§2.2.3. Динамически симметричный спутник на произвольной эллиптической орбите.

Глава 3. Периодические движения спутника под действием гравитационных сил и светового давления.

§ 3.1. Спутник на круговой орбите при отсутствии солнечного давления.

§ 3.2. Спутник на эллиптической орбите при отсутствии солнечного давления.

§ 3.3. Спутник на эллиптической орбите под действием гравитационных сил и солнечного давления.

§ 3.4.2л--периодические колебания и вращения.

§ 3.5. 4л- -периодические колебания и вращения.

§ 3.6. 6я--периодические колебания и вращения.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование плоских колебаний и вращений спутника на эллиптической орбите под действием гравитационных сил и светового давления»

Исследование движения искусственного спутника Земли (ИСЗ) является одной из самых интересных в прикладном смысле задач небесной механики на сегодняшний день. Факторы, оказывающие влияние на движение ИСЗ, принято подразделять на две группы: гравитационные и негравитационные.

Основные гравитационные факторы обусловлены нецентральностью земного гравитационного потенциала, притяжением Луны и Солнца, действием лунно-солнечных приливов, притяжением атмосферы Земли.

Наиболее значительными негравитационными факторами являются [19,66] тормозящие эффекты атмосферы, магнитное поле Земли, влияние давления прямого солнечного излучения [20,58], влияние отраженной Землей радиации, а также дополнительные эффекты от светового давления - эффект Ярковского от Солнца, эффект Ярковского от Земли, эффект Пойнтинга-Робертсона от Солнца и Земли [16].

Движение ИСЗ под действием гравитационных факторов хорошо изучено различными методами: аналитическими, качественными и численными. Наибольшие возмущения в движении спутника (особенно малоапогейных) связаны [24] со второй зональной гармоникой потенциала притяжения Земли. Остальные гравитационные и негравитационные факторы оказывают на движение ИСЗ влияние в сотни и тысячи раз меньшее. Среди негравитационных эффектов преобладающее действие на спутники на высоте до 500 км оказывает аэродинамический момент [66]. Момент сил светового давления является одним из основных возмущающих факторов, начиная с высоты 1020 км [19], поэтому для высокоорбитальных спутников световое давление является главным возмущающим фактором негравитационного характера.

Возмущения, создаваемые световым давлением, особенно значительны для ИСЗ с большой парусностью, т.е. с большим отношением площади поперечного сечения к массе. К таким ИСЗ относятся, прежде всего, спутники-баллоны, а также спутники, несущие обширные солнечные батареи. Необходимость изучения влияния светового давления на движение ИСЗ обусловлена желанием расширить область применения космической техники и стремлением повысить точность теорий движения средне- и высокоорбитальных спутников.

Исследование влияния светового давления на движение ИСЗ началось вскоре после первых запусков искусственных спутников: необходимо было объяснить ряд неожиданных эффектов в эволюции орбит, не согласующихся с теориями движения, учитывающими лишь гравитационные и атмосферные возмущения. В общем потоке работ, посвященных данному вопросу, можно выделить несколько основных направлений.

Во-первых, исследования общих задач эволюции орбит под действием светового давления без учета движения спутника относительно центра масс. Внешняя оболочка спутника при этом считается сферой. Во-вторых, учет влияния светового давления на движение спутников сложно геометрической формы. Здесь необходимо учитывать движение спутника относительно центра масс. В-третьих, разработка различных методов учета тени Земли и исследование вызываемых ей возмущений. В-четвертых, исследование отраженной от Земли радиации.

В данной диссертации исследуются плоские симметричные периодические движения спутника вокруг его центра масс под действием гравитационного момента и момента солнечной радиации. При этом центр масс спутника движется по эллиптической кеплеровой орбите.

Уравнение относительного движения спутника относительно его центра масс, который движется в центральном гравитационном поле по эллиптической орбите, было получено В.В. Белецким в 1956 г. и опубликовано в 1959 г. [25]. Предполагается, что главная ось инерции спутника, момент инерции относительно которой равен В, все время перпендикулярна плоскости орбиты. Моменты инерции относительно двух других главных осей обозначим А и С. Тогда уравнение Белецкого имеет вид

1 + е cos v)a — 2е oí sin v + fi sin a cos a = 4e sin и. (A)

Здесь а- угол между радиус-вектором центра масс и осью инерции, относительно которой момент инерции равен С; ju = 3(А-С)/В - инерционный параметр; е - эксцентриситет орбиты; V - истинная аномалия. Это уравнение представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка с периодическими коэффициентами и имеет два параметра ей /л, область допустимых значений которых лежит в области = {0<е<1,-3<//<3}

Укажем, что уравнение (А) инвариантно относительно каждой из замен [24] у,а,е,ц ->у + ти,а,-е,1л

Это обстоятельство значительно упрощает его анализ.

При г = 0 уравнение Белецкого является уравнением математического маятника и интегрируется в эллиптических функциях [45,66, 67,69,70]. При /л - 0 оно также интегрируется в явном виде [24,24,29]. Используя методы регулярных возмущений, можно исследовать решения уравнения Белецкого при малых е и при малых ц. В остальных случаях решения уравнения находились и исследовались численно.

Среди всех возможных движений наиболее интересными являются периодические.

Пусть задана 2к -периодичная по / и у система х' = Х(х,у,0,у' = У(х,у,0 (х-/-вектор, у-л-вектор).

Тогда движение этой системы х = ^(0,у = ^(0 называется [80] 2кк-периодичесшм, если р{1 + 2Т*) = (р{1\\!/{г + 2Г*) = у/{1) + 2ттт,т е%п,Т* = тгк

Это решение описывает как колебательное {ш-0), так и вращательное {шф 0) движения. Такие решения еще называют [32] обобщенно периодическими решениями (ОПР)

В работе [70] наиболее полно описаны периодические колебания спутника в плоскости эллиптической орбиты относительно центра масс. Для слабоэллиптических орбит указан класс симметричных периодических решений, удовлетворяющим простым краевым условиям. С помощью численных методов эти решения продолжены в область больших значений эксцентриситета. Исследуются 2л-, 4л-, 6л--симметричные периодические решения. Для 2к -периодических решений результаты представлены в виде зависимости начальной скорости от эксцентриситета при некоторых значениях инерционного параметра ц. Исследовано ветвление найденных решений.

В работе [69] рассмотрены вращательные периодические решения уравнения Белецкого. Для случаев слабоэллиптической орбиты и почти симметричного спутника указан класс симметричных периодических решений. Эти решения продолжены численно в область больших значений эксцентриситета орбиты и инерционного параметра спутника. Исследованные решения описывают относительные вращения спутника, когда за один оборот центра масс спутник совершает одно прямое или обратное вращение. Представлены области устойчивости найденных вращений.

В работе [33] были исследованы симметричные ОПР, где было применено изображение семейств таких решений их характеристиками в сечениях фазового пространства.

Следует заметить, что существуют и несимметричные порождающие ОПР. В [35] на семействах симметричных периодических решений были вычислены подсемейства, от которых ответвляются несимметричные семейства ПР. Также, в работе [68] для е < 0.98 было вычислено семейство несимметричных периодических решений, ответвляющихся от симметричного семейства решений. В [18,36] оно вычислено для е > 0.98, а настоящему времени - до в = 0.999.

Для многих космических прикладных задач в областях коммуникации, прогнозирования погоды, военной обороны, научно-исследовательской деятельности, геодезии и других, применяются искусственные спутники Земли. Очень важным является поддерживать фиксированную ориентацию ИСЗ относительно Земли. Однако из-за возмущений окружающей среды с течением времени спутник может существенно отклоняться от такой предпочтительной орбиты. Для высокоорбитальных спутников давление прямой солнечной радиации является одним из основных возмущающих факторов [4].

Первыми публикациями, посвященными исследованию влияния на ИСЗ возмущающих эффектов солнечной радиации без учета влияния тени Земли, по-видимому, были работы Musen [13] и Shapiro и др. [14]. В этих работах было проведено сравнение результатов наблюдений ИСЗ Vanguard 1 с результатами численного интегрирования уравнений его движения. На основе этого были получены первые оценки величины светового давления. Последовавшие вскоре запуски легких спутников-баллонов Echol, Echo2, Dash2 и Pageos позволили существенно улучшить эти оценки. Особенную роль здесь сыграл запуск спутника-сферы Echol (диаметр внешней оболочки 30 м, масса 60 кг). Полученный в результате наблюдений этого спутника обширный материал использовался затем при разработке и проверке аналитических теорий движения ИСЗ, учитывающих световое давление.

Широкое распространение в задачах изучения влияния светового давления на движение ИСЗ получил метод Y. Kosai [8,9]. Метод основан на разложении орта направления "Земля-Солнце" по осям орбитальной системы координат, связанной с центром масс спутника. Выражая проекции этого орта через элементы орбиты спутника и долготу Солнца, Kosai удалось аналитически проинтегрировать уравнения возмущенного движения на одном орбитальном витке в предположении о неизменности элементов орбиты и положения Солнца. Тень 'от Земли учитывалась численно. Этот метод применялся впоследствии во многих исследованиях. Особо, следует отметить работы E.H. Поляховой [15,59, 62].

Предметом большего числа публикаций была проблема резонанса, определяемого соизмеримостью средней угловой скорости движения Солнца по эклиптике с угловыми скоростями вековых движений перигея и восходящего узла орбиты под влиянием гравитационных эффектов несферичности Земли. Теоретические исследования указанного эффекта принадлежат Р. Musen [13], I. I. Shapiro [17], D. Brouwer [1,2], E. H. Поляховой [61-63], M. Hough [6,7].

Существенное место в аналитических теориях движения с учетом радиационных возмущений занимает теория движения в нецентральном поле с использованием в качестве промежуточной орбиты траектории, представляющей собой строгое решение обобщенной задачи двух неподвижных центров. Подробная аналитическая теория ИСЗ-баллонов основывалась на базе предельной задачи двух неподвижных центров. Она была создана в работах A.JI. Куницына, Ю.Н. Исаева, А.И. Прокофьева [47-51].

Работы [2,6,7,8,9,13-15,17, 59,61,62] были посвящены исследованиям движениям сферических спутников-баллонов. Для спутников такого типа существенными характеристиками являются парусность и отражательная способность, тогда как ориентация спутника относительно Солнца не играет никакой роли. Однако реальные ИСЗ зачастую представляют собой объекты весьма сложной формы, и расчет действующих на них сил светового давления оказывается довольно сложной задачей. Отдельно исследовались спутники в форме диска, цилиндра, гантели и более сложных конфигураций. В тесной связи с этими работами находятся исследования, посвященные движению космических аппаратов относительно центра масс в световом потоке и их трехосной стабилизации при помощи светового давления. Разработка способов управления ориентацией при помощи момента сил светового давления неизбежно сталкивается с проблемой оптимизации конструкций приспособлений наилучшим образом использующих световой поток для этой цели: отражающих поверхностей, солнечных стабилизаторов, комбинации черно-белых покрытий и др., позволяющих осуществить пассивную стабилизацию спутника. Обширный обзор работ в этой области приведен В.А. Сарычевым [66]. Отметим работы E.H. Поляховой [58,60,64], В.В. Белецкого [27,28], А.Ю. Когана [54] и В.В. Сидоренко [71,72].

Ряд научных статей освещает вопросы стабилизации гелиосин-хронных орбит ИСЗ силой светового давления и изменение высоты орбиты ИСЗ силой светового давления, например, [81-83].

В работе Flanagan и Modi [3] рассматриваются колебания спутника в плоскости эллиптической под действием гравитационного момента и момента сил солнечного излучения. Предполагается, что орбита лежит в плоскости эклиптики. Такое уравнение имеет вид [3]

1 + е cos v)a — 2е(а + 1) sin v + ¡J> sin a cos a c( 1 + ef . (B) -—---—- sin(^ + a — cp) | sin(í/ + a — <p) |

1 + ecos v)

Здесь с - параметр солнечного давления, зависящий от орбиты спутника, отражающих и переотражающих свойств его поверхности, а также параметра распределения массы спутника. Угол (р - угол между направлением на Солнце и в перигей орбиты (вершина угла лежит в центре Земли).

Это нелинейное, неавтономное дифференциальное уравнение, содержащее три параметра е,[л,с, усложняется наличием в правой части модуля. В работе [3] исследовалось линеаризованное уравнение с использованием аналитического WKBJ метода и численного интегрирования. Из проведенного анализа следует удовлетворительная точность приближенного аналитического решения, отмечена возможность значительного влияния солнечного излучения на ориентацию спутника, если не накладывать некоторых ограничений на конструкцию спутника.

В [10] аналогичная задача (эллиптическая орбита лежит в плоскости эклиптики) решена применительно к спутнику-циллиндру, также совершающему колебания в плоскости эллиптической орбиты под действием гравитационного момента и момента сил солнечного излучения. Анализ свойств решений (зависимость амплитуды колебаний от инерционного параметра /и и параметров, определяющих момент сил солнечного излучения, вопросы устойчивости) уравнения колебаний спутника был проведен с использованием численного интегрирования. Методом преобразования за период в пространстве «^^определена область начальных данных, соответствующих колебательным движениям спутника

Исследование динамики осесимметричного (спутник-циллиндр), медленно вращающегося вокруг оси симметрии спутника, было проведено [11,12]. Предполагается, что центр давления лежит на оси симметрии спутника и не совпадает с его центром масс. Проекция суммарного момента на ось симметрии равна нулю, что приводит к цикличности одной из угловых координат. Следовательно, уравнения движения представляют собой систему двух нелинейных неавтономных дифференциальных уравнений второго порядка. В [12] свойства решений этой системы исследуются численно. В [11] методом осреднения получено приближенное общее решение уравнений движения. Предполагалось, что амплитуды колебаний спутника малы.

В работе [28] рассматривается плоское движение относительно центра масс симметричного зонтообразного спутника на круговой орбите под действием гравитационного и солнечного светового моментов. С помощью асимптотического метода изучаются малые колебания спутника в окрестности главного резонанса. Получена приближенная амплитудно-частотная характеристика вынужденных колебаний. Проведено численное построение зон параметрической неустойчивости периодических колебаний спутника.

Большое количество задач небесной механики описывается системами, обладающими свойством обратимости [78]. Для таких систем В.Н. Тхаем был предложен метод построения множества всех симметричных периодических движений [74,75,79,80]. Построение этого множества можно проводить численно, этот процесс заключается в построении пересечения неподвижного множества обратимой системы и образа этого множества через полупериод. Данный подход свободен от недостатка, присущего численному определению неподвижных точек соответствующего отображения, задаваемого дифференциальными уравнениями. Если в последнем методе неподвижная точка определена с некоторой (быть может) большой точностью, то нет гарантии, что эта точка отвечает не тору, а периодическому движению. С помощью данного метода дано принципиальное решение проблемы построения и классификации всех симметричных периодических движений для Задачи Хилла, ограниченной задачи трех тел (в том числе фотогравитационной), тяжелого твердого тела неподвижной точкой, тяжелого твердого тела на шероховатой плоскости.

Теория периодических движений обратимых систем последовательно развивалась в последующих работах. В [77] решается вопрос о продолжении по параметру симметричных периодических решений автономной или периодической обратимой системы. Рассматриваются негрубые случаи, когда порождающая система не гарантирует продолжимость решения.

В [76] решается задача о периодических движениях системы с малым параметром. Исследуются негрубые случаи, когда задача не решается порождающей системой, полученной при нулевом значении малого параметра. Систематически разрабатывается идея Ляпунова об использовании новой порождающей системы, уже содержащей малый параметр. Исследуются системы общего вида, обратимые системы, близкие к обратимым.

В [80] рассматриваются автономные или периодические по независимой переменной t системы, заданные на R'xT" (TT - тор размерности п). Исследуются 2кк -периодические вращательные движения (содержащие колебательные движения), замкнутые на Е' хТ" (через время А/= 2тик, к<= N, для 2/г -периодической по t системы). Показано, что для таких движений справедлива теория, аналогичная теории для колебательных движений. Для обратимой системы даны необходимые и достаточные условия существования периодического вращательного движения, предложен метод построения всех таких движений. Здесь, также, рассмотрена возмущенная задача Белецкого, сделан важный вывод о продолжении по малому параметру почти всех 2пк -периодических колебаний и вращений и об устойчивости этих движений.

Систематическое исследование задач, основанных на свойстве обратимости, проводилось в последние годы под руководством В.Н. Тхая в работах: Д.Л. Гродмана [41], Д.Л. Гродмана и В.Н. Тхая [42,43] - исследование периодических движений спутника под действием гравитационных сил и солнечного давления; Ю.Д. Глухих - [38], Ю.Д. Глухих и Т.В. Грихановой [39], Ю.Д. Глухих и В.Н. Тхая [40] - исследование периодических движений спутника под действием гравитационного и аэродинамического моментов; И.И. Косенко И.И. предельная задача о колебаниях спутника на эллиптической орбите с учетом солнечного давления [55,56]. В [80] В.Н. Тхаем рассмотрена возмущенная задача Белецкого, сделан важный вывод о продолжении по малому параметру почти всех 2жк -периодических колебаний и вращений и об устойчивости этих движений. Задачи обладают свойством симметрии (обратимости) и во всех работах явно используется это свойство. Оказалось, что методы исследования обратимых систем являются наиболее эффективными для этих задач.

Надо отметить, что задачу (В) можно исследовать без учета свойства обратимости, используя хорошо разработанную в работах А. Пуанкаре [65], A.A. Андронова [21], A.A. Витта, С.Э. Хайкина [22, 23], Б.В. Булгакова [34], И.Г. Малкина [57], Г.В. Каменкова [52], H.H. Боголюбова и Ю.А. Митропольского [31], В.Г. Веретенникова [37] и др. теорию нелинейных колебаний. Конечно, при этом получатся те же результаты, что и при применении методов исследования обратимых систем. Однако исследование становится более трудоемким, а результаты - недостаточно полными. Например, для определения характеристических показателей необходимо строить 2 решения задачи Коши, вместо одного, как при применении теории обратимых систем. Более того, ряд случаев, грубых с точки зрения теории обратимых систем, являются негрубыми в общей теории. Это значительно усложняет задачу.

Приведенный выше обзор работ, посвященных данной области исследования, не претендует на полноту и отражает лишь небольшую часть полученных результатов, непосредственно относящихся к теме диссертации.

В данной диссертации исследуются симметричные колебательные и вращательные периодические движения спутника, описывающиеся уравнением (В) в тех случаях, когда оно является обратимым, ^ что позволяет единым методом [80] исследовать симметричные колебательные и вращательные движения. При этом имеющиеся теоретические результаты [76] позволяют также получить выводы для случаев, близких к рассматриваемым.

В первой главе диссертации приводятся теоретические результаты, на основе которых исследуется поставленная задача. В § 1.1. для обратимой системы 2-го порядка конкретизируются результаты, полученные в [80]. Здесь приводятся необходимые и достаточные условия существования симметричного периодического решения автономной и 2тгк -периодической системы и дается описание метода В.Н. Тхая построения движений как колебательных, так и вращательных. Последние не являются периодическими в общепринятом смысле, но если перейти от фазовой плоскости к фазовому цилиндру, они так же, как и колебательные, представляются замкнутой интегральной кривой. Описанный метод дает корректное решение задачи численного построения всех симметричных периодических движений обратимой системы. Симметричным периодическим движениям принадлежат точки пересечения неподвижного множества М и его образа Мт через полупериод {т = тик для 2л:к-периодического решения). Процесс построения решений проводится численно. Здесь возникают две задачи: а) построение множества Мт - эта задача решается стандартным способом с использованием численного интегрирования; б) нахождение точек, принадлежащих пересечению М и \Г - в общем случае представляет сложную задачу, так как множество Мг строится численно с некоторой точностью. Однако в случае системы второго порядка проблема решается корректно с использованием теоремы Коши о промежуточном значении непрерывной функции [80,75].

Важно, что в результате численного исследования выводится точный качественный результат о существовании искомого решения. Начальную точку для такого движения всегда можно вычислить с необходимой точностью.

В § 1.2. рассматривается задача о продолжении по параметру симметричных периодических решений обратимой системы. В применении к системам 2-го порядка излагаются результаты В.Н. Тхая [77,76] При этом рассматриваются два различных случая:

- грубый, когда вопрос о существовании при ненулевом значении малого параметра в автономной или периодической системе решается только порождающей системой, полученной из (1.2.1) при ц - 0;

- негрубый, когда порождающая система не гарантирует продолжимость решения и необходимо привлекать члены, зависящие от малого параметра. В этом случае необходимо указать условия продолжимости.

Кроме того, рассматривается система 2-го порядка, близкая к обратимой. Формулируется условие продолжения симметричного периодического решения. Предполагая выполненным это условие, выписываются два первых по малому параметру приближения для решения.

В § 1.3. приводятся ранее полученные другими авторами результаты исследования колебаний системы близкой к консервативной с одной степенью свободы для возмущений общего вида, и для обратимых возмущений. В первом случае А.М. Кацом [53] были получены условия существования колебательного движения, выписано я-е приближение. Вращательные движения исследованы В.Н. Тхаем [80]; в случае возмущений общего вида, условия существования такого движения сводятся к наличию простого корня амплитудного уравнения. В случае обратимых возмущений вращательное движение всегда продолжается по параметру. В.Н. Тхай также исследовал, в случае обратимых возмущений, колебания, симметричные относительно оси ординат. Оказывается [80], если с1Т(И* ) ^ 0 (Т - период движения консервативной системы, Н - параметр семейства, к - К отвечает искомому периодическому движению), то колебательные движения существуют и в возмущенной системе.

В § 1.4. исследуются, в случае обратимых возмущений, колебания симметричные относительно оси абсцисс. Рассматривается аналитический случай. Доказано, что в этом случае колебательное движение всегда продолжается по малому параметру, предложен алгоритм последовательного вычисления любого приближения. Каждое из приближений представляет собой четную 2п -периодическую функцию. Результаты § 1.4. принадлежат автору и анонсированы [41].

Во второй главе диссертации исследуются симметричные периодические движения динамически симметричного спутника (случай // = 0) действием гравитационных сил и светового давления. В § 2.1 формулируется задача о движении спутника под действием гравитационных сил и солнечного давления, выводятся уравнения относительного плоского движения (В), когда центр масс движется по заданной эллиптической орбите с эксцентриситетом е.

В случае динамически симметричного спутника уравнение (В) приводится к виду 2esinv , с{ \ + е)3 . . х--х ——---—-sin jc I sin jc J, x = a + v - <p (C)

1 + e cos v (\ + e cos v) причем угол x описывает вращения спутника в абсолютном пространстве. Уравнение (С) так же, как и (В) является обратимым.

§ 2.2 посвящен исследованию колебаний и вращений динамически симметричного спутника. В § 2.2.1. рассмотрен случай круговой орбиты (е = 0). С помощью метода фазовой плоскости анализируются возможные периодические движения при различных значениях энергии.

В § 2.2.2 рассматривается вопрос о существовании периодических по у колебательных и вращательных движений спутника на слабоэллиптической орбите (е«1). Эта задача сводится [80] к отбору тех периодических решений автономного уравнения движения спутника на круговой орбите, которые продолжаются по параметру е в классе обратимых возмущений. Для колебательных движений проверяется dT(с, Е*) условие продолжения - ^ 0 . Данное условие оказывается d Е выполненным - это следует из графика зависимости периода колебаrp(U\ тельных движений T(/z) от значений энергии h (T(c,h) = ,

Jc

Е = ch), на основе этого факта сделано утверждение о существовании на слабоэллиптической орбите колебаний, близких к колебаниям на круговой орбите.

Построен график зависимости параметра солнечного давления от значений энергии для колебаний при различных значениях периода. Отсюда следует, что существует "запрещенные" значения параметра с для колебаний на слабоэллиптической орбите.

Для вращательных движений построены аналогичные графики и сделано на основании изложенных в § 1.3 результатов В Н. Тхая утверждение о существовании на слабоэллиптической орбите 2як-периодических по V (к еШ) вращательных движений динамически симметричного спутника,, рождающихся из вращений на круговой орбите с периодом

В § 2.2.3. подробно исследован динамически симметричный спутник на произвольной орбите. Здесь приведены результаты, полученные для 2 ж, 4 я; 6 ^-периодических колебаний и вращений спутника для различных значений параметра солнечного давления и эксцентриситета. Результаты представлены в виде зависимости начальных значений угла - для колебаний, и скорости - для вращений, отвечающим периодическим движениям, от эксцентриситета при фиксированных значениях параметра солнечного давления. Для спутника с солнечным параметром с = 1 и периодом 2п подробно проанализированы периодические колебательные режимы. Оказалось, что для одного параметра г может существовать несколько колебательных режимов (их за исключением конечного числа е* всегда пара), каждый из них имеет отличное от другого поведение на фазовой плоскости.

Решения уравнения (С) описывают движения в абсолютном пространстве, поэтому для того, чтобы выяснить, как изменяется угол а, определяющий положение спутника в относительной системе координат, приведены графики изменения углов х и а при одном полном обороте центра масс спутника по орбите V е [0,2л]. Для всех колебательных режимов в относительном движении спутник совершает несколько колебаний и одно обратное вращение. Результаты для колебаний получены для значений параметров с = 1; 0.5,0.1. Выполнен сравнительный анализ этих результатов.

Для 4лг и 6л: -периодических колебаний результаты получены для с = 1;0.1.

При исследовании вращательных движений начальные значения скоростей, соответствующих 2яти -периодическим вращениям (т число оборотов центра масс спутника по заданной эллиптической орбите, п - число оборотов вокруг центра масс в абсолютной системе координат) находились для различных значений эксцентриситета при фиксированных значениях параметра солнечного давления. Результаты получены для 2 л; 4/г, 6/г-периодических вращений спутника со следующими значениями параметров: с = 1;0.5;0.1 и п = +1;±2,±3. Сделан вывод об отсутствии качественных различий у 2п-, Ая-т&бти -периодических вращений, изменяются лишь значения начальной скорости. Кроме того, чем больше число оборотов центра масс (т), тем меньше энергии необходимо затратить для реализации вращений с заданном числе оборотов (п) вокруг центра масс.

В третьей главе диссертации исследуются периодические движения спутника произвольной геометрической формы на эллиптической орбите. § 3.1 и § 3.2 содержит известные результаты по спутнику в отсутствии светового давления на круговой орбите и на эллиптической орбите соответственно. В § 3.3 излагается процедура исследования периодических колебательных и вращательных движений спутника при различных значениях параметров задачи. Исследование устойчивости найденного периодического решения проводится [73] построением на интервале [0, 2лт] одного частного решения системы уравнений, включающей уравнение (В) и уравнение в вариациях. При этом одновременно строятся 2ят-периодическое решение с начальной точкой х0 = 0, Хо и частное решение уравнения в вариациях с начальной точкой >>0 = 1, уо = 0. Если \у(2лт)\ < 1, то характеристические показатели - чисто мнимые, при \у(2лт)\ > 1 имеем неустойчивость по первому приближению [30]. В случае чисто мнимых характеристических показателей исследуемое симметричное периодическое движение обратимого уравнения (В) почти всегда устойчиво по Ляпунову [44], если исключить резонансы до четвертого порядка включительно.

В § 3.4 исследуются 2я -периодические движения спутника в плоскости эллиптической орбиты под действием гравитационного момента и момента солнечного давления в предположении ср = 0 р-тг). Результаты представлены в виде графиков зависимости начальных значений скорости от эксцентриситета для различных значений инерционного и солнечного параметра. Для 2п -периодических колебаний и вращений с п~\ для различных значений с построены разбиения области возможных значений параметров Я = {0 < е < 1,- 3 < // < 3} на области, в которых существует одинаковое число решений. Исследованы вращения с п = ±1;±2, а также быстрые вращения с л = ±25. В § 3.5 и § 3.6 исследуются 4ят и втг-периодические движения. При этом исключаются уже найденные 2тс -периодические движения.

Отметим, что в диссертации приведены результаты обширных численных исследований. Так для получения зависимости начальных значений скорости от эксцентриситета с шагом he = 200 при фиксированных значениях с и (одной кривой) требуется около 3 минут на мощном компьютере с процессором AMD Athlon 750 Mhz (класс Pentium III). На одном рисунке, например, на Рис. 3.2, представлено до 10 таких кривых.

На защиту выносятся следующие основные положения и результаты:

1. Наиболее эффективным методом исследования колебаний и вращений спутника в плоскости эллиптической орбиты под действием сил различной природы является разработанная в последние годы В.Н. Тхаем теория периодических движений обратимых систем.

2. В аналитическом случае все симметричные относительно оси абсцисс колебания консервативной системы с одной степенью свободы "сохраняются" при действии обратимых возмущений.

3. Результаты по исследованию динамически симметричного спутника на круговой (е = 0) и слабоэллиптической орбитах

4. Результаты численного построения и анализа 2ж, и 6к-периодических симметричных колебаний и вращений динамически симметричного спутника на произвольной орбите для различных значений параметра солнечного давления.

5. Результаты по численному построению и анализу 2л, 4л- и вк -периодических симметричных колебаний и вращений произвольного спутника на эллиптической орбите для различных значений солнечного и инерционного параметра.

Основные результаты докладывались на семинаре по механике космического полета в МГУ (руководитель член-корреспондент

РАН В.В. Белецкий, 1998), на семинаре по классическим математическим моделям в МГАПИ (руководитель профессор В.Н. Тхай,

1999, 2000), на семинаре в ГАИШ (руководитель профессор H.A.

Герасимов), а также на конференциях:

- Всероссийской конференции с международным участием "Проблемы небесной механики", 3-6 июня, 1997, Санкт-Петербург;

- Третьем международном симпозиуме по классической и небесной механике, 23-28 августа, 1998, Великие Луки.

- Пятой международной конференции "Нелинейные колебания механических систем", 13-16 сентября, 1999, Нижний Новгород.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая механика», Гродман, Дмитрий Леонидович

Заключение.

В диссертации исследовались плоские колебания и вращения спутника на эллиптической орбите под действием гравитационных сил и светового давления. В диссертации получены следующие основные результаты:

1. В аналитическом случае все симметричные относительно оси абсцисс колебания консервативной системы с одной степенью свободы "сохраняются" при действии обратимых возмущений.

2. Результаты по исследованию динамически симметричного спутника на круговой (е = 0) и слабоэллиптической орбитах

3. Результаты численного построения и анализа 2ж, \п и 6л--периодических симметричных колебаний и вращений динамически симметричного спутника на произвольной орбите для различных значений параметра солнечного давления.

4. Результаты по численному построению и анализу 2тг, и Ьп -периодических симметричных колебаний и вращений произвольного спутника на эллиптической орбите для различных значений солнечного и инерционного параметра.

5. Исследование поставленной задачи показало, что наиболее эффективным методом определения колебаний и вращений спутника в плоскости эллиптической орбиты под действием сил различной природы является разработанная в последние годы В.Н. Тхаем теория периодических движений обратимых систем.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Гродман, Дмитрий Леонидович, 2001 год

1. Brouwer D. Analytical "study of resonance caused by solar radiation pressure //Dynamics of satellites. 1963. Berlin e.a., Springer, p. 34-39.

2. Brouwer D. Minor secular and long period effects // Use Artific. Sat. Geod. Symp., Amsterdam. 1963. p. 70-73.

3. Flanagan R.C., Modi V.J. Attitude dynamics of a gravity oriented satellite under the influence of solar radiation pressure // Aeronaut. J. 1970. V. 74. № 718. P. 835-841.

4. Flanagan R.C., Modi V.J. Radiation Forces on a Flat Plate in Close Earth Orbits. Proceedings of the second Canadian Congress of Applied Mechanics, pp 249-250. Waterloo, Canada, 1969.

5. Heinbockel J.H., Struble RA. Periodic solutions for differential systems with symmetries // J. Soc. Indust. Appl. Math. 1965. V. 13. №2. P. 425440

6. Hough M.E. Orbits near critical inclination, including lunisolar perturbations // Celestial Mechanics, 1981. vol. 25, №2, p. 111-137.

7. Hough M.E. Sun synchronous orbits near critical inclination // Celestial Mechanics, 1981. vol. 25, №2, p. 137-159.

8. Kosai Y. Effects of solar radiation pressure on the motion of an artificial satellite // Smits. Astr. Obs. Sp. Rep. 1961, №56, p. 1-11.

9. Kosai Y. Effects of solar radiation pressure on the motion of an artificial satellite 11 Smitson. Contribs. Astrophys. 1961, №6, p. 109-112.

10. Modi V.J., Pande КС. Solar pressure induced librations of spinning axi-symetric satellites // J. Spacecraft and Rockets. 1973. 10. №9. p. 615617.

11. Ъ.Musen P. The influence of the solar pressure on the motion of an artificial satellite // J. Geophys. Res. 1960, 65, №5, p. 1391-1396.

12. Parkinson R.W., Jones H., Shapiro I.I. The effects of solar radiation pressure on Earth satellite orbits // Science. 1960. 131, №3404, p. 920921.

13. Poljakhova E.N. Solar radiation pressure and the motion of Earth satellites //AAIA Journ. 1963. 1, №12, p. 2893-2909.

14. Robertson H.P. Dynamical effects of radiation in the solar system // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, London. 1937. Vol. 97. №6. p. 423-438.

15. Shapiro II. The prediction of satellite orbits // Dynamics of satellites (ed. M. Roy), Berlin, Springer. 1973, p. 257-312.

16. Ю.Аксенов Е.П. Теория движения искусственных спутников Земли // Наука, 1977.

17. Андронов A.A. Собрание трудов. Изд. АН СССР, 1956.

18. И.Андронов A.A., Витт A.A. и Хайкин С.Э. Теория колебаний. 2-е изд., дополн., Физматгиз, 1953.

19. Андронов А.А к Хайкин С.Э. Теория колебаний. ОНТИ, 1937.

20. Белецкий В.В. Движение искусственного спутника относительно центра масс. М.: Наука, 1965. 416 с.

21. Белецкий В.В. О либрации спутника // Сборник "Искусственные спутники Земли". 1959. №3. М: АН СССР. С. 13-31.

22. Белецкий В.В., Старостин E.JI. Плоские колебания спутника под действием гравитационного и светового моментов // Космические исследования. 1990, т. 28, № 4, стр. 496-505.

23. Белецкий В.В., Хентов A.A. Резонансные вращения небесных тел. Н. Новгород: Нижегородский гуманитарный центр, 1995, 430 с.

24. Бибиков Ю.Н. Многочастотные нелинейные колебания и их бифуркации. Л.: ЛГУ, 1991. 144с.

25. Боголюбов H.H. и Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. Физматгиз, 1958.

26. Ъ2.Брюно А.Д. Семейство периодических решений уравнения Белецкого // ИПП им. Келдыша. Препринт №51 за 2000 г.

27. ЪЪ.Брюно А.Д., Петрович В.Ю. Вычисление периодических колебаний спутника. Регулярный случай. Препринт № 65. М.: ИПМ РАН, 1993.

28. Булгаков Б.В. Колебания. Гостехиздат, 1954.3З.Варин В.П. Критические семейства периодических решений колебаний спутника. Препринт №101. М.: ИПМ РАН, 1996.

29. Варин В.П. Периодические решения уравнения Белецкого и их вырождения. Препринт №23. М.: ИПМ РАН, 1999.

30. Веретенников В.Г. Устойчивость и колебания нелинейных систем. М: Наука. 1984. 320 с.

31. Глухих Ю.Д., Тхай В.К Периодические движения механической системы с одной степенью свободы // Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. М.: Изд-во ВЦ РАН, 1999. С. 100-112.

32. Гродман Д.Л. Колебания обратимой системы, близкой к консервативной с одной степенью свободы // Нелинейные колебания механических систем. Тез. докл. Н. Новгород, 1999.

33. Гродман Д.Л., Тхай В.Н. Вращение динамически симметричного спутника на эллиптической орбите под действием гравитационных сил и светового давления // Моделирование и исследование сложных систем. М.: Изд-во МГАПиИ, 1998. Ч. 3. С. 376-385.

34. A4.Зимовщиков A.C., Тхай В.Н. Об устойчивости треугольных решений неограниченной задачи трех тел // Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. М.: Вычислительный центр РАН, 1998. С. 117-130.

35. Златоустов В.А., Охоцимский Д.Е., Сарычев В.А., Торжевский А.П. Исследование колебаний спутника в плоскости эллиптической орбиты //Космические исследования. 1964. Т. 2. Вып. 5. С. 657-666.

36. Исаев Ю.Н. , Куницын А.Л. Влияние светового давления на движение спутника-баллона // Сб. Пробл. мех. управляемого движения. Пермь. 1972. №1. стр. 109-119.

37. AI.Исаев Ю.Н. , Куницын А.Л. Уравнение для оскулирующих квазике-плеровских элементов в теории возмущенного движения спутникабаллона // Сб. Пробл. мех. управляемого движения. Пермь. 1972.2. стр. 65-70.

38. Исаев Ю.Н. , Куиицын A.JI. Эволюцйя орбиты спутника под влиянием светового давления // Мех. тверд, тела. Респ. Межвед. Сб. Киев. 1972. №4стр. 134-141.

39. Исаев Ю.Н. Анализ возмущенного движения спутника-баллона // Тр. шестых Чтений, посвящ. разраб. науч. наследия и развитию идей К.Э. Циалковского, Калуга. 1971. Секц.: Механика космич. полета. М., 1973, стр. 70-81.

40. Каменков Г.В. Избранные труды. М.: Наука, Т. 1. 1971. 260 с. Т.2. 1972. 214 с.53 .КацА.М. Вынужденные колебания нелинейных систем с одной степенью свободы, близких к консервативным // ПММ т. XIX, стр. 1331, 1955

41. Коган А.Ю., Кирсанова Т.С. Термомеханические явления в движении относительно центра масс КА с солнечным стабилизатором // Космические исследования. 1992. т. 30, № 3, стр. 312-320.

42. ЪЪ.Косенко И.И. Проекционный метод вычисления периодических решений в возмущенных задачах механики // Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. М.: ВЦ РАН, 2000. С. 50-59.

43. Косенко И.И. Регуляризация предельной задачи о колебаниях спутника на эллиптической орбите с учетом солнечного давления // Вторые Поляховские чтения. Избр. Тр. Спб: Изд-во НИИ Химии С.-Петербурского ун-та, 2000. С. 96-108.

44. Ы.Малкин И.Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. М.: Гостехиздат. 1956. 491 с.

45. Полякова E.H. Возмущающее влияние светового давления Солнца на движения ИСЗ // Итоги науки и техники, сер. Исследования космического пространства. Москва. ВИНИТИ. 1980. т. 15, стр. 82-113.

46. Полякова E.H. Долгопериодические возмущения ИСЗ под действием светового давления Солнца // Вестник Ленинградского университета. 1970, №7 , стр. 144-152.

47. Поляхова E.H. Космический полет с солнечным парусом // Москва. Наука, 1986.61 .Поляхова E.H. О некоторых частных случаях эволюции орбит легких. спутников Земли // Вестник Ленинградского университета. 1971, №19, стр. 133-139.

48. Поляхова E.H. Световое давление и движение спутников Земли // Бюллетени Института теоретической астрономии АН СССР. 1963, 9, №1 (104), стр. 15-45.

49. Поляхова E.H. Световое давление и движение спутников Луны // Бюллетени Института теоретической астрономии АН СССР. 1964, 9, №6 (106), стр. 440-447.

50. Поляхова E.H., Шмыров A.C. Физическая модель сил давления солнечной радиации на плоскость и сферу // Вестник С.-Петербургского университета. Сер. 1. 1994. вып. 2/

51. Пуанкаре А. Избр. тр. Новые методы небесной механики. Т. 1. М.: Наука, 1971. 771 с.

52. Сарычев В.А. Вопросы ориентации искусственных спутников // Итого науки и техники. Исследование космического пространства. 1978. Т. 11.223 с.

53. Сарычев В.А., Златоустов В.А., Сазонов В.В. Численное исследование дифференциальных уравнений второго порядка. Отчет. М.: ИПМ АН СССР. 1976.

54. Сарычев В.А., Сазонов В.В., Златоустов В.А. Несимметричные периодические колебания спутника в области эллиптической орбиты //Космические исследования. 1980. Т. 18. Вып. 1. С. 3-10

55. Сарычев В.А., Сазонов В.В., Златоустов В.А. Периодические вращения спутника в плоскости эллиптической орбиты // Космич. исследования. 1979. Т. 17. №2. С. 190-207

56. Сарычев В.А., Сазонов В.В., Златоустов В.А. Периодические колебания спутника в плоскости эллиптической орбиты // Космич. исследования. 1976. Т. 15. №6. С. 809-834

57. Х.Сидоренко В.В. Динамика спутника с солнечно-гравитационной системой ориентации // Космические исследования. 1994. Т. 32. № 1. С. 36-48.

58. Тхай В.Н. Неподвижные множества и симметричные периодические движения обратимых механических систем // ПММ. 1996. Т. 60. Вып. 6. С. 959-971.le.Txaü В.Н. О методе Ляпунова-Пуанкаре в теории периодических движений // ПММ. 1998. Т. 62. Вып. 3. С. 355-371

59. Тхай В.Н. О продолжении периодических движений обратимой системы в негрубых случаях. Приложение к N-планетной задаче // ПММ. 1998. Т. 62. Вып. 1. С. 56-72.1%.Тхай В.Н. Обратимость механических систем // ПММ. 1991. Т. 55. Вып. 4. С. 578-586.

60. Тхай В.Н. Обратимые механические системы // Вторые Поляхов-ские чтения. Избр. Тр. Спб: Изд-во НИИ Химии С.-Петербурского ун-та, 2000. С. 115-126.

61. Тхай В.Н. Вращательные движения механических систем // ПММ. 1999. Т.63. Вып. 2,199981 .Щербакова H.H. Стабилизация и изменение орбиты ИСЗ силой светового давления // Диссертация канд. Физ. Мат. Наук. М.: МГУ им. В.В. Ломоносова. 1999. 89 л.

62. Щербакова H.H., Белецкий В.В., Сазонов В.В. Стабилизация гелио-синхронных орбит ИСЗ силой светового давления // Космические исследования. Краткие сообщения. 1996. Т. 34. №3. С. 332-334.

63. Щербакова H.H., Сазонов В.В. Изменение высоты орбиты ИСЗ силой светового давления // Препринт. 1999.