Исследование линейных математических моделей соболевского типа высокого порядка тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Замышляева, Алена Александровна

• Замышляева, Алена Александровна
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Замышляева, Алена Александровна

Содержание

ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОГЛАШЕНИЯ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ И СТОХАСТИЧЕСКИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ВОЛН В СМЕКТИКАХ, ПЛАЗМЕ И МОЛЕКУЛАХ ДНК

1.1. Относительно р-ограниченные операторы и проекторы

1.2. Пропагаторы. Вырожденные косинус и синус оператор-

функции

1.3. Фазовое пространство

1.4. Математические модели с условием Коши

1.5. Математическая модель с1е Сеппев линейных волн в

смектиках

1.6. Математические модели с условием Шоуолтера- Си-

дорова и начально-конечным условием

1.7. Математическая модель линейных волн в незамагни-

ченной плазме с начально-конечным условием

1.8. Задача Коши для стохастического неполного уравне-

ния соболевского типа

1.9. Детерминированная и стохастическая модели колеба-

ний в молекуле ДНК

ГЛАВА 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВОЛН В ДИСПЕРГИРУЮЩИХ СРЕДАХ

2.1. Относительно р-секториальные операторы. Пропага-

торы

2.2. Математические модели с начальным условием Коши

или начально-конечным условием

2.3. Линеаризованная математическая модель Benney - Luke

2.4. Задача Коши для стохастического неполного уравне-

ния соболевского типа с относительно р-секториальным оператором

2.5. Стохастическая модель распространения волн на мел-

кой воде

ГЛАВА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПРОДОЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ В СТЕРЖНЕ И В КОНСТРУК-

ЦИИ

3.1. Относительно полиномиально ограниченные пучки

3.2. Относительно спектральные проекторы и относитель-

но присоединенные векторы

3.3. Пропагаторы полного уравнения соболевского типа высокого порядка. Семейство вырожденных М, Ы-функций

3.4. Морфология фазового пространства

3.5. Задача Коши для уравнения соболевского типа с от-

носительно полиномиально ограниченным пучком

3.6. Математическая модель линейных волн в плазме во

внешнем магнитом поле

3.6. Математическая модель колебаний в конструкции из

стержней

3.7. Задача Коши для стохастического уравнения соболевского типа высокого порядка

3.8. Детерминированная и стохастическая модели Бусси-

неска - Лява в области

ГЛАВА 4. ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ БУССИНЕСКА - ЛЯВА

4.1. Алгоритм численного метода исследования математической модели Буссинеска - Лява в области

4.2. Алгоритм численного метода исследования математической модели Буссинеска - Лява на графе

4.3. Алгоритм численного метода исследования стохасти-

ческой модели колебаний в молекуле ДНК

4.4. Описание программного комплекса Моделирование волн Буссинеска - Лява

4.5. Описание программы Моделирование колебаний в мо-

лекуле ДНК

ГЛАВА 5. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ ДЛЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ БУССИНЕСКА

- ЛЯВА

5.1. Вычислительный эксперимент для математической модели продольных колебаний в стержне

5.2. Вычислительный эксперимент для математической модели продольных колебаний в конструкции из тонких упругих стержней

5.3. Вычислительный эксперимент для математической модели ионно-звуковых волн в плазме в прямоугольной области

5.4. Вычислительный эксперимент для математической модели распространения волн на мелкой воде в круге

5.5. Вычислительный эксперимент для стохастической мо-

дели колебаний в молекуле ДНК

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЯ

ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОГЛАШЕНИЯ

1. Множества, как правило, обозначаются заглавными буквами готического алфавита. Исключение составляют множества с уже устоявшимися названиями, например:

N — множество натуральных чисел;

М — множество действительных чисел;

С — множество комплексных чисел; — пространства Лебега;

И^р(П) — пространства Соболева и т.д. Элементы множеств обозначаются строчными буквами латинского или, в особых случаях, греческого алфавитов. Например,

8рап{<р1,у>2, • • •, 4>т}

обозначает линейную оболочку векторов <¿>2, • ■ •,

2. Множества отображений множеств (т.е. множества операторов) обозначаются рукописными заглавными буквами латинского алфавита, например:

£(11; — множество линейных непрерывных операторов, определенных на пространстве Я и действующих в пространство З-;

— множество линейных замкнутых операторов, плотно определенных в пространстве Я и действующих в пространство

С°°(Я; — множество операторов, имеющих непрерывные производные Фреше любого порядка, определенных на 11 и действующих в Отметим, что вместо £(11;Я), С/(11;Я) и С°°(11;Я) ради краткости будем писать соответственно £(Я), С1(Я) и С°°(Я). Элементы множеств операторов мы будем обозначать заглавными буквами латинского алфавита. Кроме того, символами I и О мы будем обо-

6

значать соответственно 11 единичный "и 11 нулевой "операторы, области определения которых ясны из контекста.

dorn А — область определения оператора А, im А — образ оператора А. ■

3. Все рассуждения проводятся в вещественных банаховых пространствах, однако при рассмотрении "спектральных"вопросов вводится их естественная комплексификация. Все контуры ориентированы движением "против часовой стрелки "и ограничивают область, лежащую "слева"при таком движении.

4. Выражение "точно тогда, когда"заменяет выражение "тогда и только тогда, когда".

5. Символ > лежит в конце доказательства.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование линейных математических моделей соболевского типа высокого порядка»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность исследования

В настоящее время имеется огромное число теоретических и прикладных работ, посвященных изучению уравнений и систем, не разрешенных относительно старшей производной. Возрастание интереса к таким уравнениям обусловлено необходимостью исследования математических моделей, соответствующих важным прикладным задачам, в частности, в области физики атмосферы, физики плазмы, теории электрических цепей, теории ползучести металлов, динамики колебаний стратифицированной жидкости, теории фильтрации, биологии и других [31].

Теория уравнений соболевского типа переживает пору бурного расцвета. Сформировались научные направления, вокруг которых сложились научные школы. Наибольший прогресс был достигнут в области линейных уравнений соболевского типа, именно здесь находится большинство из вышедших монографий.

В монографии В.Н. Врагова [12] впервые выделяется класс неклассических уравнений математической физики и изучаются начально-краевые задачи для линейных уравнений вида

Ьй = Ми + /, (0.0.1)

где Ь и М - дифференциальные операторы по пространственным переменным.

В монографии А. Фавини и А. Яги [109] построена теория полугрупп операторов, разрешающих дифференциальные включения

жí е А(.т)

с линейным многозначным оператором. К такому включению сводится линейное уравнение соболевского типа вида (0.0.1), если M -(L, сг)-ограниченный оператор в случае устранимой особой точки в бесконечности. Теория проиллюстрирована различными примерами и приложениями к дифференциальным уравнениям с частными производными.

В монографии Г.В. Демиденко, C.B. Успенского [105] рассматриваются линейные дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно старшей производной, а также их системы, которые в операторной форме могут быть записаны следующим образом:

1-1

A0Dltu + J2Ai-kDtU = f,

/с=0

где Aq. Ai, ..., Ai - линейные дифференциальные операторы относительно вектора переменных х = (х\,... ,хп), причем оператор Ао не удовлетворяет условию невырожденности. Изучаются краевые задачи для таких уравнений с использованием метода, основная суть которого заключается в построении последовательностей приближенных решений и получении оценок в соответствующих нормах.

Монография С. Г. Пяткова [129] посвящена исследованию разрешимости краевой нелокальной задачи для неоднородного линейного уравнения (0.0.1), где операторы L,M - самосопряженные и определенные в гильбертовом пространстве. Доказано существование сильного решения данной задачи и показано, что при выполнении некоторых условий разрешимости (условия ортогональности) решение краевой задачи является гладким.

В монографии И.В. Мельниковой и А.И. Филенкова [118] полу-

чены необходимые и достаточные условия равномерной корректности линейной задачи в терминах условий типа Хилле - Иосиды и расщепления пространств в прямые суммы.

А.И.Кожанов [32]—[34], распространяя теорию уравнений математической физики составного типа на уравнения нечетного порядка в многомерных пространствах, рассматривает уравнения вида

AD*m+1u+ Ви = f{x,t),

где А и В эллиптико-параболические операторы. Для линейных уравнений решается вопрос о выделении таких классов уравнений, для которых возможна постановка корректной краевой задачи в терминах коэффициентов при частных производных в операторах А и В.

Несмотря на то, что большинство работ относятся к линейным уравнениям соболевского типа, исторически первой является монография P.E. Шоуолтера [134], в которой рассматриваются как линейные уравнения вида (0.0.1), так и полулинейные дифференциально-операторные уравнения, определенные в полугильбертовых пространствах, т.е. пространствах, имеющих нехаусдорфову топологию. Все абстрактные результаты этой монографии снабжены конкретными прикладными примерами. Начиная с работ P.E. Шоуолтера стало принято как абстрактные уравнения вида (0.0.1), так и их конкретные интерпретации называть уравнениями соболевского типа.

В монографии Н. А. Сидорова, Б. В. Логинова, А. В. Синици-на и М. В. Фалалеева [117] изучены полулинейные уравнения и их обобщения. Разработаны приложения метода Ляпунова - Шмидта, а также доказано существование и единственность решения в клас-

се непрерывных функций задачи Коши для неоднородного уравнения (0.0.1) с сильно измеримой и интегрируемой по Бохнеру неоднородностью и дополнительными условиями на оператор N (типа ограничений). Показано существование ги-периодического решения задачи Коши для неоднородного уравнения (0.0.1) замкнутыми плотно определенными операторами и ^-периодической неоднородностью.

В монографии А.Г. Свешникова, А.Б. Алыпина, М.О. Корпу-сова, Ю.Д. Плетнера [58] рассматриваются проблемы глобальной и локальной разрешимости, как в классическом, так и в сильном и слабом обобщенном смыслах, широких классов задач Коши и начально-краевых задач для линейных и нелинейных уравнений в частных производных высоких порядков, включая уравнения соболевского типа и псевдопараболические уравнения. В случае локальной разрешимости для ряда классов задач получены двусторонние оценки времени разрушения решений. Помимо аналитических методов предложены и реализованы численные методы решений конкретных задач.

В монографии Ю. Е. Бояринцева, В. Ф. Чистякова [5] и В.Ф. Чистякова, A.A. Щегловой [87] предметом изучения является алгебро-дифференциальные неоднородные системы вида (0.0.1) с вырожденной при всех t £ [0,Т] или прямоугольной матрицей L(t). Доказаны теоремы существования и единственности задачи Коши для алгебро-дифференциальных систем вида (0.0.1) с регулярной и сингулярной парой постоянных (т х п)-матриц L и М [87].

Данная диссертационная работа выполнена в рамках направления, возглавляемого Г.А. Свиридюком. В его совместной с В.Е. Фе-

доровым монографии [138] вводятся и изучаются относительно спектрально ограниченные операторы и порождаемые ими разрешающие группы, выделяются достаточные (а в некоторых случаях и необходимые) условия относительно спектральной ограниченности. Также вводятся в рассмотрение относительно р - секториальные операторы и порождаемые ими аналитические разрешающие полугруппы и относительно р - радиальные операторы и порождаемые ими сильно непрерывные разрешающие полугруппы. В эту монографию вошли результаты Г.А. Свиридюка и его учеников Т.А. Бо-каревой [4], JI.J1. Дудко [18], A.B. Келлер [29], В.Е. Федорова [83], A.A. Ефремова [20], Г.А. Кузнецова [40]. После выхода монографии были защищены кандидатские диссертации С.А. Загребиной [21], C.B. Брычева [6], A.A. Замышляевой [166], H.A. Манаковой [47] и других, докторские диссертации В.Е. Федорова [84] и A.B. Келлер [30].

Данная диссертационная работа посвящена исследованию математических моделей на основе неклассических уравнений математической физики высокого порядка:

Математическая модель de Gennes линейных волн в смектиках. В [43] приведен вывод уравнения звуковых волн в смектиках, впервые полученного P.G.de Gennes и имеющего вид

д2 А д2 А

= с^—Д2и, ai > 0,

гдеД3 = Д2 + ^, А2 = щ + щ.

Исходная модель имеет смысл в цилиндрической области по переменным {z,x\)x2\ € [a, b] х Г2. В случае установившихся звуковых колебаний и(х\, х2, z, t) = v(x\, х2, z) ехр(—iuit) в смектике

исходное уравнение примет вид д2

{A2v + a2v) + a2A2v = 0, а2 = ь?ах 1 (0.0.2)

dz2

и вместе с начально-краевыми условиями представляет математическую модель de Gennes.

Математические модели колебаний в молекуле ДНК. В

работе исследуется математическая модель:

и(ж,0) = и0(х), й(х,0) = щ(х),

х е и, (о.о.з)

v(x,0) = v0{x), v(x, 0)=vi(x),

u(x, t) = v(x, t) = 0, (x, t) Edüx R, (0.0.4)

(b + A)ü = aAu + f(u, v) + W\, q

(b + A)v = dAv + g(u, v) + w2. Коэффициенты a,b,d € Ж связывают размеры молекулы, линейную плотность и силу межмолекулярного взаимодействия, функции и и V определяют продольную и поперечную деформацию, функции w\,w2 задают внешнее воздействие на молекулу, детерминированное или случайное. Система уравнений (0.0.5) при п = 1 моделирует колебания в крупных молекулах, в том числе в молекулах ДНК [121], [139]. При п = 1 данная математическая модель наиболее близка к модели, предложенной PL. Christiansen [102], в которой учитывается, кроме всего прочего, эффект спирали. В модели [122] цепочки нуклеотидов предполагаются параллельными.

Линеаризованная математическая модель Benney - Luke.

В цилиндре [0, /] х М рассмотрим линеаризованное уравнение Benney - Luke[97]

utt ~ uxx + auxxxx - buxxtt = 0, (0.0.6)

с краевыми условиями Бенара

и(0, г) = ^(о, г) = и{1, г) = ихх{1, г) = о, (0.0.7)

Математическая модель (0.0.6), (0.0.7) с тем или иным начальным условием описывает двустороннее распространение длинных волн на мелкой воде с учетом поверхностного натяжения. Параметры а и Ь таковы, что а — Ь = а — 1/3, где а - число Бонда, учитывающее поверхностное натяжение и гравитационные силы.

Математическая модель распространения волн на мелкой воде.

Пусть ограниченная область из К", п Е N с границей дП класса С°°. В цилиндре х Е рассмотрим математическую модель распространения волн на мелкой воде [113], при условии потенциальности движения и сохранения массы в слое:

Функция и(х,{) определяет высоту волны в момент времени £ в точке х. Коэффициенты Л, а связывают глубину, гравитационную постоянную и число Бонда. Уравнение (0.0.8) впервые получено Л.У. Boussinesque [99], в невырожденном случае исследовалась Д.Г. Ар-хиповым [3].

Математические модели линейных волн в плазме. Уравнение

(Л - Д)й = а2Ли + /, и(х, 0) = щ(х), й(х, 0) = щ(х), х 6 Г2 и(х,г)= 0, (ж,*)еЗПхК.

(0.0.8) (0.0.9) (0.0.10)

3 (0.0.11)

полученное впервые Ю.Д. Плетнером [58], описывает линейные волны в плазме во внешнем магнитном поле [36], [93]. Функция Ф представляет обобщенный потенциал электрического поля, константы Ыд, и Гд характеризуют ионную гирочастоту, частоту Ленгмю-ра и радиус Дебая соответственно. Заметим, что уравнение

д2

— (ДФ - Ф) + ДФ = 0 (0.0.12)

оЬ1

описывает линейные волны в "незамагниченной" плазме[13],[26]. В работе исследуются математические модели линейных волн в плазме с различными начально-краевыми условиями.

Математическая модель колебаний в конструкции.

Пусть С = С(У;£) - конечный связный ориентированный граф, где V = {Уг} - множество вершин, а Е — {Е- множество дуг. Мы предполагаем, что каждая дуга имеет длину 13 > 0 и толщину й3 > 0. На графе С рассмотрим уравнения

Хща-щхха = а(изх^-Х'и^)+Р(изхх-Х"и3) для всех х е (0,^), £ е М.

(0.0.13)

Для уравнений (0.0.13) в каждой вершине Уг зададим краевые условия

^ <^(0,*)- ^ с1кикх(1к,Ь) = 0; (0.0.14)

Е]еЕа{У1) ЕкеЕи(Уг)

иа(о,г) = и3(о,ь) = ик{1к,ь) = ит(1т,г), , (0.0.15)

для всех Е3}Е3 е Еа(Уг), Ек)Ет € Еш(Уг). Здесь через Еа^\Уг) обозначено множество дуг с началом (концом) в вершине Уг. Если

дополнить (0.0.14), (0.0.15) начальным условием

щ(х,0) = Щj(x), и^(х,0) = и^(х), для всех х € (0,^), (0.0.16)

то мы получим математическую модель, представляющую процессы колебаний в конструкции из тонких упругих стержней. Функции щ(х,Ь) определяют продольное смещение в точке х в момент времени Ь на ^-м элементе конструкции. Параметры А, А', А", а и (3 характеризуют материал из которого изготовлена конструкция.

Математические модели Буссинеска — Лява. Рассмотрим уравнение [46]

(А - А)ии = а(А - А')щ + /?(Д - А")и + д, (0.0.17)

заданное в цилиндрической области Пх1. Коэффициенты а, (3, А, А', \" € К , искомая функция и(х, ¿) может иметь различный физический смысл в зависимости от моделируемого явления. Например, при определенном выборе коэффициентов уравнение (0.0.17) преобразуется в уравнение С.Л. Соболева [77], и будет описывать малые колебания вращающейся жидкости. Кроме того, уравнение (0.0.17) является более общим случаем уравнения

д2р о д2р 2 д3р 2 дАр ,пп1п.

где р - плотность, со - скорость звука, г - время релаксации, первый член в правой части отвечает за затухание звуковой волны вследствие теплопроводности и вязкости, а второй регулирует дисперсионные эффекты [79]. Уравнение (0.0.18) описывает распространение гравитационно-гироскопических волн в диспергирующих средах [28],[98], например, поверхностно-акустические волны. Внутренние гравитационно-гироскопические волны исследовались в работах Б.А. Искандерова [27].

Уравнение Буссинеска - Лява при п — 1 описывает продольные колебания упругого стержня с учетом инерции [80], параметры А, А', А" ,а и (3 характеризуют материал из которого изготовлен стержень, и связывают между собой плотность, модуль Юнга, коэффициент Пуассона и коэффициент упругости. Уравнение вида (0.0.17) применяется к изучению затухающих малых возмущений свободной поверхности жидкости, причем а - коэффициент гидродинамического сопротивления среды. Отрицательные значения параметра А не противоречат физическому смыслу поставленной задачи.

Математические модели (0.0.2), (0.0.3)-(0.0.5), (0.0.6)-(0.0.7), (0.0.8)—(0.0.10), (0.0.12) с тем или иным начальным (начально-конечным) условием в подходящих банаховых пространствах могут быть редуцированы к соответствующим задачам для неполного уравнения соболевского типа высокого порядка

Ьи{п) = Ми + / (0.0.19)

с относительно р-ограниченным или относительно р-секториальным оператором в правой части.

Математические модели (0.0.11), (0.0.17), (0.0.13)-(0.0.16) удается исследовать методами теории полных уравнений соболевского типа высокого порядка

Аи{п) = Вп^и{п-1) + ... + В0и + / (0.0.20)

с относительно полиномиально ограниченным пучком операторов.

Стандартной задачей для указанных уравнений является задача Коши

и{т){0) = ит,т - 0,...,п- 1 (0.0.21)

17

Наряду с задачей (0.0.21) мы будем рассматривать задачу Шоуол-тера - Сидорова

Ь(и{т\0) — ит) = 0, т = 0,..., п - 1. (0.0.22)

Обе задачи в зависимости от методов исследования могут пониматься в различных смыслах (классическом, обобщенном, ослабленном, сильном и т.д.), однако очевидно, что задача (0.0.22) более общая, нежели (0.0.21). В тривиальном случае (существование обратного оператора V) обе задачи совпадают, а значит, совпадают и их решения. Однако, задача Шоуолтера - Сидорова для уравнений соболевского типа более естественна, нежели задача Коши [72].

К настоящему времени выделены классы операторов М, для которых доказано совпадение задач (0.0.21), (0.0.22) (значит, и решений) для уравнений вида (0.0.19). Они оказались достаточно широкими, чтобы вместить (в подходящих функциональных пространствах) многие неклассические модели, причем даже в случае кег Ь ф {0}. Этот результат получен и для более общей, чем (0.0.22) задачи

Р(^т)(0) -ит) = 0,ш - 0,..., 7?, - 1, (0.0.23)

где Р - спектральный проектор, которую мы также будем называть задачей Шоуолтера - Сидорова. При проведении вычислительных экспериментов условия Шоуолтера - Сидорова предпочтительнее, нежели условия Коши, так как не возникает необходимости проверки принадлежности начальных значений фазовому пространству уравнения.

Естественным обобщением задачи (0.0.23) является, так назы-

ваемая [24], начально-конечная задача

Ргп(и^т\0) - и°т) = 0, Р}1П{и^\Т) - итт) = 0, т — 0, ...,п - 1.

(0.0.24)

Здесь Ргп и Р/гп - специальным образом построенные относительно спектральные проекторы. Термин "начально-конечная задача" появился относительно недавно, и отражает тот факт, что при постановке такой задачи для уравнения (0.0.19) или (0.0.20) часть данных задается в начале временного промежутка [0,Т], а другая часть - в конце. Первоначально такая задача называлась "задачей сопряжения" и рассматривалась как обобщение задачи с данными на свободной поверхности. Именно в этом контексте была построена теория таких задач для линейных уравнений соболевского типа первого порядка и разработаны приложения этой теории [24]. Мы распространим эти идеи и методы на случай уравнений соболевского типа высокого порядка.

Целью работы является разработка и реализация в виде программного комплекса методов аналитического и численного исследования линейных математических моделей соболевского типа высокого порядка. Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Разработать аналитический метод исследования математических моделей как начальных (начально-конечной) задач для неполного уравнения соболевского типа высокого порядка с относительно р-ограниченным оператором;

2. Исследовать математическую модель с!е Сеппев звуковых волн в смектиках как задачу Коши для неполного уравнения соболевского типа высокого порядка с относительно р-ограниченным опера-

тором;

3. Исследовать математическую модель колебаний в молекуле ДНК как задачу Коши для стохастического неполного уравнения соболевского типа высокого порядка;

4. Исследовать математическую модель линейных ионно-звуковых волн в "незамагниченной" плазме как начально-конечную задачу для неполного уравнения соболевского типа высокого порядка с относительно р-ограниченным оператором;

5. Разработать аналитический метод исследования математических моделей как начальных (начально-конечной) задач для неполного уравнения соболевского типа высокого порядка с относительно р-секториальным оператором;

6. Исследовать линеаризованную математическую модель Веппеу-Ъике как задачу Коши для неполного уравнения соболевского типа высокого порядка с относительно р-секториальным оператором;

7. Исследовать стохастическую модель распространения волн на мелкой воде как задачу Коши для стохастического неполного уравнения соболевского типа высокого порядка с относительно р-секто-риальным оператором;

8. Разработать аналитический метод исследования математических моделей как начальных (начально-конечной) задач для полного уравнения соболевского типа высокого порядка с относительно полиномиально ограниченным пучком операторов;

9. Исследовать математическую модель ионно-звуковых волн в плазме во внешнем магнитом поле и математическую модель колебаний в конструкции из стержней как задачи Коши для полного уравнения соболевского типа высокого порядка с относительно полиноми-

ально ограниченным операторным пучком;

10. Исследовать детерминированную и стохастическую модели Бус-синеска - Лява в области как задачу Коши для детерминированного и стохастического полного уравнения соболевского типа высокого порядка;

11. Разработать и обосновать алгоритм метода численного исследования математических моделей на основе уравнений соболевского типа высокого порядка;

12. Реализовать в виде программного комплекса алгоритмы компьютерного моделирования волн Буссинеска-Лява на отрезке, на графе, в прямоугольнике, в круге, базирующиеся на разработанном методе численного исследования;

13. Разработать алгоритм метода численного исследования стохастической модели колебаний в молекуле ДНК с последующей реализацией в виде программы для ЭВМ.

Научная новизна. Результаты диссертационной работы содержат подробное аналитическое и численное исследование указанных математических моделей: представлены постановки задач, соответствующих математическим моделям, доказаны теоремы о существовании и единственности решения, разработаны и обоснованы численные методы решения. Отметим, что предлагаемые в данной работе алгоритмы могут быть адаптированы к исследованию других математических моделей соболевского типа. Разработан программный комплекс, позволяющий проведение вычислительных экспериментов.

Все результаты, выносимую на защиту, являются новыми и по-

лучены автором лично. Достоверность полученных результатов обеспечена полными доказательствами всех утверждений, причем математическая строгость доказательств соответствует современному уровню.

Историография вопроса. Современное состояние. Впервые уравнения, не разрешенные относительно старшей производной, по видимому, изучались в работе А. Пуанкаре [128] в 1885 году. Затем они рассматривались в некоторых работах математиков и механиков. В первую очередь это было связано с исследованиями конкретных уравнений гидродинамики.

Особенно большой интерес к уравнениям вида (0.0.20) появился в связи с результатами C.W. Oseen [127], F.K.G Odqvist, J. Leray [44], J. Leray и J. Schauder, E. Hopf по системе Навье-Стокса (vt — vAv + Vp = 0, div v = 0) и исследованиями С.JI. Соболева [77] задачи о малых колебаниях вращающейся жидкости, проведенными им в 40-е годы. Этот цикл работ был первым глубоким исследованием уравнений, не разрешенных относительно старшей производной, и лег в основу нового направления, которое первоначально развили ученики С.Л. Соболева P.A. Александрян [1], Г.В. Вира-бян, Р.Т. Денчев, Т.П. Зеленяк, В.Н. Масленникова, С.А. Гальперн [15] и другие. Хорошо известно также, что после появления работ С.Л. Соболева, И.Г. Петровский отмечал необходимость изучения общих дифференциальных уравнений и систем, не разрешенных относительно старшей производной по времени (системы, не принадлежащие типу систем Ковалевской) (цит. по [105]).

В литературе уравнения вида (0.0.20) и конкретные его интерпретации часто называют уравнениями соболевского типа, отдавая честь

первооткрывателю. В дальнейшем всюду мы считаем этот термин синонимом терминов "псевдопараболические уравнения" ([34]), "уравнения типа Соболева"([59], [62], [65], "уравнения типа Соболева-Гальперна" ([54], [37]) и "уравнения не типа Коши-Ковалевской" ([45]). Кроме того, мы считаем уравнения соболевского типа самостоятельной частью обширной области неклассических уравнений математической физики.

Возрастание интереса к уравнениям, не разрешенным относительно старшей производной, обусловлено было необходимостью решения важных прикладных задач, в частности, в области физики атмосферы, физики плазмы, а также естественным стремлением математиков к изучению новых математических объектов. В связи с этим можно выделить два направления исследований - решение некоторых задач для конкретных уравнений и систем математической физики [14], [35], [41], [7], [8], [116], [140], [141] и изучение абстрактных уравнений типа (0.0.19, (0.0.20)) и систем математической физики [11], [38], [39],[57].

К первому направлению следует отнести работы, в которых результат о разрешимости начально-краевых задач для таких уравнений и систем получается посредством коэрцитивных оценок как следствие из какой-либо глубокой топологической теоремы типа теоремы о неподвижной точке. К этому разделу можно отнести результаты С.А.Гальперна [15], А.Г.Костюченко и Г.И.Эскина [37], В.Н.Врагова [12], А.И.Кожанова [32] - [34] и многих других.

Ко второй части относятся работы, в которых объектом исследования выступают абстрактные операторные уравнения вида (0.0.20), а конкретные, начально-краевые задачи для дифференциальных

уравнений служат иллюстративными примерами общих абстрактных результатов. В настоящее время в этой области активно и плодотворно работают И.В.Мельникова и ее ученики [48] - [53], [2], Н.А.Сидоров [73],[135] и его ученики [74],[75], [82], [81], R.E.Showalter [131], [132], W. Arendt [95], P.Colli [101], A.Favini, A.Jagi [107], [108]. К этому же разделу следует отнести работы Г.А.Свиридюка и его учеников ([59] - [69], [4], [6], [18], [20], [21], [29], [40], [83], [92] и др.).

В большей части работ, посвященных теории краевых задач для уравнений (0.0.20), рассматривался случай, когда оператор при старшей производной невырожден ([90], [91], [96], [100], [114], [126], [143] - [145],[42]). Естественно, что постановки задач имеют свои особенности по сравнению с классическими уравнениями, однако для некоторых классов уравнений установлены результаты о разрешимости задач, которые являются аналогами соответствующих классических теорем [85], [105]. Если условие невырожденности нарушается, то необходимы дополнительные требования на данные задачи типа условий ортогональности. Впервые этот факт был замечен в работах С.А.Гальперна [15]. Аналогичная особенность для смешанных краевых задач в четверти пространства была обнаружена в работах Г.В.Демиденко [17].

В [39], [25] основательно изучена задача (0.0.21), (0.0.20) в случае фредгольмова оператора А (т.е. indA = 0). В частности, здесь содержится исследование феномена "несуществования решения", т.е. показано, что задача (0.0.21), (0.0.20) может быть однозначно разрешима точно тогда, когда начальные значения лежат в некотором подпространстве Я1 С Я конечной размерности.

Г.А.Свиридюк ввел понятие фазового пространства, уравнения

(0.0.19), как множества, содержащего все его решения и являющегося замыканием множества допустимых начальных значений задачи Коши для этого уравнения. Впервые термин "фазовое пространство" в данном контексте появился в работах [61], где заменил собой ранее употреблявшийся термин "многообразие решений"[59].

Фазовое пространство уравнения (0.0.19) при п = 1 изучено достаточно полно. Прежде всего здесь следует отметить работы Г.А.Свиридюка [60], [63], в которых полностью изучены фазовые пространства уравнения (0.0.19, (0.0.20)) в случаях, когда оператор М (Ь,сг)- ограничен и (£,р)-секториален.

Работа [63] стала основой для многих глубоких исследований. Среди всех отметим результаты В.Е.Федорова ([65], [66],[83][84]), в которых всесторонне изучены фазовые пространства уравнений (0.0.19) при п = 1 при условии (Ь,р)-радиальности оператора М. В настоящее время эти результаты обобщают результаты А.Раут1 и A.Jagi [109] и служат основой для многочисленных приложений.

Первые результаты о разрешимости и корректности задачи Коши (0.0.21),(0.0.19) при п = 2 были получены методом сведения к задаче Коши для уравнения первого порядка в произведении пространств и исследования резольвенты получающегося оператора-матрицы [38], [136]. На пути сведения к уравнению первого порядка [10], [38], [123]-[125] получены достаточные условия на операторы Ь и М в случае, когда один из них можно считать "главным". Здесь не были получены условия необходимые и достаточные для корректности Задачи Коши (0.0.21),(0.0.19)в общем случае, так как при сведении к системе появляются дополнительные условия на решение или на операторы, обусловленные методом. Требование кор-

ректности задачи Коши для получаемых систем, как показано X. Фатторини [106], в общем случае сильнее требования корректности задачи Коши (0.0.21),(0.0.19).

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Замышляева, Алена Александровна, 2013 год

Список литературы

1. Александрян, P.A. Спектральные свойства операторов порожденных системами дифференциальных уравнеий типа Соболева / P.A. Александрян // Тр. ММО. - 1960. - Т. 9. - С.455-505.

2. Ануфриева, У.А. Вырожденная задача Коши для уравнения второго порядка. Критерий корректности / У.А. Ануфриева //Дифференц. уравн. - 1998. - Т. 34. №8. - С. 1131-1133.

3. Архипов, Д.Г. Новое уравнение для описания неупругого взаимодействия нелинейных локализованых волн в диспергирующих средах / Д.Г. Архипов, Г.А. Хабахпашев // Письма в ЖЭТФ. - 2011. - Т. 93, № 8. - С. 469-472.

4. Бокарева, Т.А. Исследование фазовых пространств уравнений типа Соболева с относительно секториальными операторами: дисс. ... канд. физ.-мат. наук / Т.А. Бокарева. - СПб, 1993.

5. Бояринцев, Ю.Е. Алгебро-дифференциальные системы: методы решения и исследования / Ю.Е. Бояринцев, В.Ф. Чистяков. - Новосибирск: Наука, 1998. 224 с.

6. Брычев, C.B. Исследование математической модели экономики коммунального хозяйства малых городов: дис. ... канд. физ.-мат. наук / C.B. Брычев. - Челябинск, 2002.

7. Вадиаа А. Малые колебания плоского маятника с полостью, заполненной одной идеальной капиллярной жидкостью // Деп. в ГНТБ Украины. №98-Ук94.

8. Вадиаа А. Малые колебания пространственного маятника с полостью, заполненной системой несмешивающихся идеальных жидкостей // Деп. в ГНТБ Украины. №100-Ук94.

9. Вайнберг, М. М. Вариационный метод и метод монотонных операторов в теории нелинейных уравнений / М. М. Вайнберг. - М.: Наука, 1972. - 415 с.

10. Васильев, В.В. Полугруппы операторов, косинус оператор-функции и линейные дифференциальные уравнения / В.В. Васильев, С.Г. Крейн, С.И. Пискарев // Итоги науки и техн. Сер. Матем. анализ. Изд. ВИНИТИ. - 1990. - Т. 28. - С. 87-202.

11. Вишик, М.И. Задача Коши для уравнений с операторными ко-эффициентаим, смешанная краевая задача для систем дифференциальных уравнений и приближенный метод их решения / М.И. Вишик // Матем. сб. - 1956. - Т. 38, №1. - С. 51-148.

12. Врагов В.Н. Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. - Новосибирск: НГУ, 1983.

13. Габов, С.А. Новые задачи математической теории волн / С.А. Габов. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 1998.

14. Габов, С.А. Задачи динамики стратифицированных жидкостей / С.А. Габов, А.Г. Свешников. - М.: Наука, 1986.

15. Гальперн, С.А. Задача Коши для общих систем линейных уравнений с частными производными / С.А. Гальперн // УМН. - 1963. - Т. 18, вып. 2. - С. 239-249.

16. Гликлих, Ю.Е. Изучение уравнений леонтьевского типа с белым шумом методами производных в среднем случайных процессов / Ю.Е. Гликлих // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2012. - №27. -С. 24-34.

17. Демиденко, Г.В. Уравнения и системы, не разрешенные относительно старшей производной /Г.В. Демиденко, C.B. Успенский. - Новосибирск: Научная книга, 1998.

18. Дудко, JI.JI. Исследование полугрупп операторов с ядрами: дисс. ... канд. физ.-мат. наук / JI.JI. Дудко. - Новгород, 1996.

19. Егоров, И.Е. Неклассические дифференциально-операторные уравнения / И.Е. Егоров, С.Г. Пятков, C.B. Попов. - Новосибирск: Наука, 2000.

20. Ефремов, A.A. Исследование оптимального управления линейными уравнениями типа Соболева: дис. ... канд. физ.-мат. наук / A.A. Ефремов. - Челябинск, 1996.

21. Загребина, С.А. Исследование математических моделей фильтрации жидкости: дис. ... канд. физ.-мат. наук / С.А. Загребина. - Челябинск, 2002.

22. Загребина, С.А. О задаче Шоуолтера - Сидорова / С.А. Загребина // Изв. вузов. Математика. - 2007. - № 3. - С. 22 -28.

23. Загребина, С.А. Уравнение Баренблатта - Желтова - Кочиной с белым шумом / С.А. Загребина, Е.А. Солдатова // Обозре-

ние приклад, и пром. математики. - М., 2012. - Т. 19, вып. 2.

- С. 252-254.

24. Загребина, С.А. Начально-конечные задачи для неклассических моделей математической физики / С.А. Загребина // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2013. - Т. 6, №2. - С. 5-24.

25. Зубова, С.П. О линейном дифференциальном уравнении с фредгольмовым оператором при производной / С.П. Зубова, К.И. Чернышов // Диффер. уравн. и их применения. - 1976.

- №14. - С.21-39.

26. Икези, X. Экспериментальное исследование солитонов в плазме // Солитоны в действии. - М.: Мир, 1981. - С. 163-184.

27. Искандеров, Б.А. Смешанная задача уравнения гравитационно-гироскопических волн в приближении Бус-синеска в неограниченной цилиндрической области / Б.А. Искандеров, Д.Ю. Мамедов, С.Э. Сулейманов // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. - 2009. - Т. 49, № 9. - С. 1659-1675.

28. Карпман, В.И. Нелинейные волны в диспергирующих средах / В.И. Карпман. - М.: Наука, 1973.

29. Келлер, A.B. Исследование ограниченных решений линейных уравнений типа Соболева: дис. ... канд. физ.-мат. наук / A.B. Келлер. - Челябинск, 1997.

30. Келлер, A.B. Численное исследование задач оптимального управления для моделей леонтьевского типа: дис. ...докт. физ.-мат. наук / A.B. Келлер. - Челябинск, 2011.

244

31. Ковалев, Ю. М. Математическое моделирование тепловой составляющей уравнения состояния молекулярных кристаллов / Ю. М. Ковалев // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2013. - №1, вып. 6. - С. 34-42.

32. Кожанов, А.И. Краевые задачи для уравнений математической физики нечетного порядка / А.И. Кожанов. - Новосибирск: НГУ, 1990.

33. Кожанов, А.И. Существование "почти регулярных"решений граничной задачи для одного класса линейных соболевских уравнений нечетного порядка / А.И. Кожанов // Матем. заметки Якут.гос. ун-та. - 1997. - Т.4, №1. - С.29-37.

34. Кожанов, А.И. О свойствах решений для одного класса псевдопараболических уравнений / А.И. Кожанов // ДАН СССР. - 1992. - Т. 326, №5. - С. 781-786.

35. Копачевский, Н.Д. Операторные методы в линейной гидродинамике: Эволюционные и спектральные задачи /Н.Д. Копачевский, С.Г. Крейн, Нго Зуй Кан. - М.: Наука, 1989.

36. Корпусов, М.О. Разрушение в неклассических волновых уравнениях / М.О. Корпусов. - М.: Книжный дом "ЛИБРОКОМ", 2010.

37. Костюченко, А.Г. Задача Коши для уравнений типа Соболева-Гальперина / А.Г. Костюченко, Г.И. Эскин // Тр. ММО. -1961. -Т.10. - С. 273-285.

38. Крейн, С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве / С.Г. Крейн. - М.: Наука, 1967. - 275 с.

39. Крейн, С.Г. Сингулярно возмущенные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве / С.Г. Крейн, К.И. Чер-нышов // Препринт Ин-та матем. СО АН СССР. - Новосибирск, 1979. - 18 с.

40. Кузнецов, Г.А. Исследование относительно спектральных свойств линейных операторов: дис. ... канд. физ.-мат. наук / Г.А. Кузнецов. - Челябинск, 1999.

41. Ладыженская, O.A. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости / O.A. Ладыженская. - М.: Наука, 1970.

42. Лакеев, A.B. К реализации непрерывных квазилинейных систем с автономными операторами в гильбертовом пространстве / A.B. Лакеев, В.А. Русанов, В.А. Козырев // Пробл. управл. - 2013. - т. - С. 7-18.

43. Ландау, Л.Д. Теоретическая физика. В 10 ч. Ч. 7. Теория упругости / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. - М.: Наука, 1987.

44. Лере, Ж. Гиперболические дифференциальные уравнения / Ж. Лере. - М.: Наука, 1984.

45. Лионе, Ж,-Л. Неоднородные граничные задачи и их приложения / Ж.-Л. Лионе, Э. Мадженес. - М.: Мир, 1971.

46. Ляв, А. Математическая теория упругости /А. Ляв; пер. с англ. Б.В. Булгаков, В.Я. Натанзон. - Москва; Ленинград: ОН-ТИ, 1935.

47. Манакова, Н. А. Исследование задач оптимального управления для неклассических уравнений математической физики: дис. ... канд. физ.-мат. наук / Н. А. Манакова; Челяб. гос. ун-т. - Челябинск, 2005.

48. Мельникова, И.В. Корректность вырожденной задачи Коши в банаховом пространстве / И.В. Мельникова, М.А. Алынанский // ДАН. - 1994. - Т. 336, №1. - С. 17-24.

49. Мельникова, И.В. Вырожденная задача Коши в банаховых пространствах / И.В. Мельникова // Изв. УрГУ. Матем. и мех.

- 1998. - Т. 3, №1. - С. 147-160.

50. Мельникова И.В. Метод интегрированных полугрупп для задачи Коши в банаховом пространстве/ И.В. Мельникова // Сиб. матем. журн. - 1999. - Т.40, №1. - С. 119-129.

51. Мельникова, И.В. Обобщенная корректность задачи Коши и интегрированные полугруппы / И.В. Мельникова, М.А. Аль-шанский // ДАН. - 1995. - Т.343, №4. - С. 448-451.

52. Мельникова, И.В. Интегрированные полугруппы и С-полугруппы. Корректность и регуляризация дифференциально-операторных задач / И. В. Мельникова, А.И. Филинков // Успехи матем. наук. - 1994. - Т. 49, №6.

- С. 111-150.

53. Мельникова, И.В. Интегрированное семейство М, TV-функций / И.В. Мельникова, А.И. Филинков // ДАН. - 1993. - Т. 46, т.- С. 214-219.

54. Павлов, A.JI. Задача Коши для уравнений типа Соболева -Гальперна в пространствах функций степенного роста / A.J1. Павлов // Матем. сб. - 1993. - Т. 184, №11. - С. 3-20.

55. Панков, A.A. Нелинейные эволюционные уравнения с необратимым операторным коэффициентом при производной /A.A. Панков, Т.Е. Панкова // Докл. Акад. наук Украины. - 1993. -№ 9. - С. 18 - 20.

56. Дифференциальные уравнения на геометрических графах / Ю.В. Покорный, О.М. Пенкин, В.Л. Прядиев [и др.]. - М.: Физматлит, 2005. - 272 с.

57. Попов, C.B. Гладкость решений краевых задач для операторно-дифференциального уравнения высшего порядка / C.B. Попов // Матем. заметки Якут. гос. ун-та. -1998. - Т. 5, М. - С. 106-112.

58. Свешников, А.Г. Линейные и нелинейные уравнения соболевского типа / А.Г. Свешников, A.B. Алынин, М.О. Корпусов, Ю.Д. Плетнер. - М.: Физматлит, 2004.

59. Свиридюк, Г.А. Задача Коши для линейного операторного уравнения типа Соболева с неположительным оператором при производной / Г.А. Свиридюк // Дифференц. уравн. - 1987. -Т. 23, №10. - С. 1823-1825.

60. Свиридюк, Г.А. Задача Коши для линейного сингулярного операторного уравнения типа Соболева / Г.А. Свиридюк // Дифференц. уравн. - 1987. - Т. 23, №12. - С. 2168-2171.

61. Свиридюк, Г. А.Фазовые пространства одного класса операторных уравнений / Г.А. Свиридюк, Т.Г. Сукачева // Дифференц. уравн. - 1990. - Т. 26, №2. - С. 250-258.

62. Свиридюк, Г.А. Фазовые пространства линейных динамических уравнений типа Соболева / Г.А. Свиридюк, Т.В. Апетова // ДАН. - 1993. - Т. 330, №6. - С. 696-699.

63. Свиридюк, Г.А. К общей теории полугрупп операторов / Г.А. Свиридюк // Успехи матем. наук. - 1994. - Т. 49, №4. - С.47-74.

64. Свиридюк, Г.А. Линейные уравнения типа Соболева и сильно непрерывные полугруппы разрешающих операторов с ядрами / Г.А. Свиридюк // ДАН. - 1994. - Т. 337, №5. - С. 581-584.

65. Свиридюк, Г.А. Аналитические полугруппы с ядрами и линейные уравнения типа Соболева / Г.А. Свиридюк, В.Е. Федоров // Сиб. матем. журн. - 1995. - Т. 36, №5. - С. 1130-1145.

66. Свиридюк, Г.А. Относительно сильно радиальные операторы и сильно непрерывные полугруппы операторов с ядрами /Г.А. Свиридюк, В.Е. Федоров // Успехи матем. наук. - 1995. - Т. 50, т.- С. 142.

67. Свиридюк, Г.А. Полугруппы операторов с ядрами / Г.А. Свиридюк, В.Е. Федоров // Вестник ЧелГУ. Матем. и мех. Челябинск. - 2002. - №1. - С. 42-70.

249

68. Свиридюк, Г.А. Задача Коши для линейных уравнений типа Соболева высокого порядка / Г.А. Свиридюк, О.В. Вакарина // Дифференц. уравн. - 1997. - Т. 33, №10. - С. 1410-1418.

69. Свиридюк Г.А., Вакарина О.В. Линейные уравнения типа Соболева высокого порядка / Г.А. Свиридюк, О.В. Вакарина // ДАН. - 1998. - Т.393, №3. - С. 308-310.

70. Свиридюк, Г.А. Задача Веригина для линейных уравнений соболевского типа с относительно р-секториальными операторами / Г.А. Свиридюк, С.А. Загребина // Дифференц. уравнения. - 2002. - Т.38, № 12. - С. 1646 - 1652.

71. Свиридюк, Г.А. Уравнения соболевского типа на графах / Г.А. Свиридюк // Некласс, уравн. матем. физики.- Новосибирск: ИМ СО РАН, 2002. - С.221-225.

72. Свиридюк, Г.А. Задача Шоуолтера - Сидорова как феномен уравнений соболевского типа / Г.А. Свиридюк, С.А. Загребина // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. - Иркутск, 2010. - Т. 3, .№1. - С. 51-72.

73. Сидоров, H.A. Общие вопросы регуляризации в задачах теории ветвления / H.A. Сидоров. - Иркутск: Иркут. ун-т, 1982. - 312 с.

74. Сидоров, H.A. О применении некоторых результатов теории ветвления при решении дифференциальных уравнений / H.A. Сидоров, О.А Романова // Дифференц. уравн. - 1983. - Т. 19, N 9. - С. 1516-1526.

75. Сидоров, H.A. Обобщенные решения дифференциальных уравнений с фредгольмовым оператором при старших производных / H.A. Сидоров, М.В. Фалалеев // Дифференц. уравнения. - 1983. - Т. 19, №9. - С. 1516-1526.

76. Сидоров H.A. Об одном классе вырожденных дифференциальных уравнений с конвергенцией / H.A. Сидоров // Мат. заметки. - 1984. - Т.25, №4. - С. 569-578.

77. Соболев, С.Л. Об одной новой задаче математической физики / С.Л. Соболев // Изв. АН СССР, сер. матем. - 1954. - Т. 18. - С. 3-50.

78. Соболев, С.Л. Применение функционального анализа к математической физике / С.Л. Соболев. - Л.: Наука, 1961.

79. Солдатов, А.П. Краевые задачи с нелокальными условиями A.A. Самарского для псевдопараболического уравнения высокого порядка / А.П. Солдатов, М.Х. Шхануков // ДАН. -1987. - Т. 297. № 3. - С. 547-552.

80. Уизем, Дж. Линейные и нелинейные волны / Дж. Уизем. - М.: Мир, 1977.

81. Фалалеев, М.В. Фундаментальные оператор-функции сингулярных дифференциальных операторов в банаховых пространствах / М.В. Фалеев // Сиб. мат. журн. - 2000. - Т. 41, №5. - С. 1167-1182.

82. Фалалеев, М.В. Системы дифференциальных уравнений с вырождением в банаховых пространствах / М.В. Фалеев, О.В. Коробова // Сиб. мат. журн. - 2008. - Т. 49, №4. - С. 916-927.

251

83. Федоров, В.Е. Исследование разрешающих полугрупп уравнений типа Соболева: дис. ... канд. физ.-мат. наук / В.Е. Федоров. - Челябинск, 1996.

84. Федоров, В. Е. Исследование разрешающих полугрупп линейных уравнений соболевского типа в банаховых и локально выпуклых пространств: дис. ... д-ра физ.-мат. наук / В. Е. Федоров. - Челябинск, 2005. - 271 с.

85. Хермандер, Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными / Л. Хермандер. - М.: Мир, 1986-88.

86. Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы.-М.: ИЛ, 1962,- 829

87. Чистяков, В. Ф. Избранные главы теории алгебро-дифференциальных систем / В. Ф. Чистяков, А. А. Щеглова. - Новосибирск: Наука, 2003. - 320 с.

88. Шеметова, В.В. Исследование одного класса уравнений соболевского типа на графах: дис. ... канд. физ.-мат. наук / В.В. Шеметова - Магнитогорск, 2005.

89. Шестаков, А.Л. О новой концепции белого шума / А.Л. Ше-стаков, Г.А. Свиридюк // Обозрениеприклад. и пром. математики. - М., 2012. - Т. 19, вып. 2. - С. 287-288.

90. Шкляр, А.Я. Корректность задачи Коши для трехчленных дифференциально-операторных уравнений высших порядков / А.Я. Шкляр // Укр. мат. журн. - 1993. - Т. 45, №5. - С. 707-714.

91. Шкляр А.Я. Корректность задачи Коши полных дифференциально- операторных уравнений второго порядка // Укр.мат.ж. 1996. Т.48, №7. С.999-1006.

92. Якупов, М.М. Фазовые пространства некоторых задач гидродинамики: дис. .. .канд. физ.-мат. наук / М.М. Якупов. - Челябинск, 1999.

93. Al'shin, A.B. Blow-up in nonlinear Sobolev type equations /A.B. Al'shin, M.O. Korpusov, A.G. Sveshnikov. - Series in nonlinear analisys and applications, 15, De Gruyter, 2011.

94. Arato, M. Linear Stohastic Systems with Constant Coefficients. A Statistica-1 Approach. Berlin; Heidelberg / M. Arato. - N.Y.: Springer-Verlag, 1982.

95. Arendt, W. Integrated solutions to implicit differential equations / W. Arendt, A. Favini // Rend. Sem. Mat. Univ. Pol. Torino. -1993. - V. 51, m. - P. 315-329.

96. Autret L., Laubenfels R. Полуаналитические векторы и некорректные задачи Коши второго порядка // С.г.Acad.Sei. Ser.l. 1995. V. 321, №3. С. 271-275.

97. Benney D.J. Interactions of permanent waves of finite amplitude / D.J. Benney, J.С. Luke // J. Math. Phys. - 1964. - №- 43. -P. 309-313.

98. Böhm, M. Diffusion in fissured media / M. Böhm, R.E. Showalter // SIAM J. Math. Anal. 1985. - V.16, № 3. - P. 500-519.

99. Boussinesq, J.V. Essai sur la théorie des eaux courantes, Mém. Pésentés Divers Savants Acad. Sci. Inst. France. - 1877. - № 23. - P. 1-680.

100. Chinni, A. Уравнения с частными производными в банаховом пространстве с нильпотентными операторами / A. Chinni, Р. Cubiotte // Ann. Pol. Math. - 1996. - V. 65, №1. - P. 67-80.

101. Colli, P. О некоторых вырождающихся уравнениях второго порядка смешанного типа / P. Colli, A. Favini //FunKc. Ekvac. -1995. - V. 38, №3. - P. 473-489.

102. Cristiansen, P.L. On a Toda lattice model with a transversal degree of freedom / P.L. Cristiansen, V. Muto, P.S. Lomdahl // Nonlinearity. - 1990. - № 4. - P. 477-501.

103. Da Prato, G. Una carratterizazione dei generatori di funzioni coseno astratoe / G. Da Prato, E. Giusti // Boll. Unione mat. ital. - 1967. - V. 22. - P. 357-362.

104. Da Prato, G. Stochastic equations in infinite dimensions / G. Da Prato, J Zabczyk. - Cambridge: Cambridge University Press, 1992.

105. Dcmidenko, G.V. Partial differential equations and systems not solvable with respect to the highest order derivative / G.V. Demidenko, S.V. Uspenskii. - N.Y.; Basel;Hong Kong: Marcel Dekker, Inc., 2003.

106. Fattorini, H.O. Ordinary differential equations in linear topological spaces. I, II / H.O. Fattorini // J. Different. Equat. -1969. - V. 5, №1,6. - P. 72-105, 50-70.

107. Favini, A. Multivalued linear operators and degenerate evolution equations / A. Favini, A. Yagi // Ann. Mat. pur. ed appl. - 1993. - V.CLXIII. - P. 353-384.

108. Favini, A. Abstract second order differential equations with applications / A. Favini, A. Yagi // Funkc. Ekvac. - 1995. - V. 38, №1. - P. 81-99.

109. Favini A. Degenerate differential equations in Banach spaces / A. Favini, A. Yagi. - New York; Basel; Hong Kong: Marcel Dekker, Inc., 1999.

110. Gliklikh, Yu.E. Global and Stochastic Analysis with Applications to Mathematical Physics / Yu.E. Gliklikh. - London; Dordrecht; Heidelberg; N.-Y.: Springer, 2011.

111. Jin Liang Непрерывность по норме пропагаторов (при t>0) абстрактных дифференциальных уравнений произвольного порядка в гильбертовом прстранстве / Jin Liang, Tijun Xiao // J. Math. Anal, and Appl. - 1996. - V. 204, №1. - P. 124-137.

112. Jin Liang, Tijun Xiao Характеризация непрерывных по норме пропагаторов абстрактных дифференциальных уравнений второго порядка / Jin Liang, Tijun Xiao // Comput. and Math. Appl. - 1998. - V. 36, №2. - P. 87-94.

113. Капо, T. A mathematical justification for Korteweg-de Vries equation and Boussinesq equation of water surface waves / Т. Капо, T. Nishida // Osaka J. Math. - 1986. - № 23. - P. 389413.

114. Kim Du Jin Начальная задача для операторно-дифференциального уравнения высокого порядка / Kim Du Jin // Kwahagwon tongbo-Bull.Acad.Sci.D.PR Korea. - 1992.

- №6. - P. 8-11.

115. Kovdcs, M. Introduction to stochastic partial differential equations / M. Kovdcs, S. Larsson // Proceedings of «New Directions in the Mathematical and Computer Sciences», National Universities Commission, Abuja, Nigeria, October 8-12, 2007. Publications of the ICMCS. - 2008. - V. 4. - P. 159-232

116. Leis, R. Начально-краевая задача теории упругости для сред с кубической симметрией / R. Leis // Bonn. math.Schr. - 1993.

- №239. - P. 11-20.

117. Lyapunov-Shmidt methods in nonlinear analysis and applications / N. Sidorov, B. Loginov, A. Sinithyn, M. Falaleev. - Dordrecht; Boston; London: Kluwer Academic Publishers, 2002.

118. Melnikova I. V. The Cauchy problem. Three approaches Monograhps and Surveys in Pure and Applied Mathematics / I. V. Melnikova, A. L. Filinkov. - London; N. Y.; Washington, 2001.

119. Melnikova, I.V. Abstract Stochastic Equations II. Solutions In Spaces Of Abstract Stochastic Distributions / I.V. Melnikova, A.I. Filinkov, M.A. Alshansky // J. of Mathematical Sciences.

- 2003. - V. 116, №5. - P. 3620-3656.

120. Melnikova, I.V. Generalized solutions to abstract stochastic problems / I.V. Melnikova, A.I. Filinkov //J. Integ. Transf. and Special Funct. - 2009. Vol. 20, No. 3-4, p. 199-206.

121. Muto, V. A Toda lattice model for DNA: thermally genereted solitons / V. Muto, Ac. Scott, PI. Cristiansen // Physica D . -1990. - № 44. - P. 75-91.

122. Muto, V. Thermally genereted solitons in a Toda lattice model of DNA / V. Muto, Ac. Scott, PI. Cristiansen // Physics letter. -1989. - № 163A. - P. 33-36.

123. Neubrander, F. Well-posedness of higher order abstract Cauchy problems / F. Neubrander // Transl. amer. Math. Soc. - 1986. -V. 295, №1. - P. 257-290.

124. Neubrander, F. Integrated semigroups and their applications to the abstract Cauchy problem / F. Neubrander // Pacific J. Math. - 1988. - V. 135. - P. 111-155.

125. Neubrander, F. Integrated semigroups and their applications to complete second order Cauchy problems / F. Neubrander // Semigroup Forum. - 1989. - V. 38. - P. 233-251.

126. Oka Hirokazu Об одном классе полных линейных дифференциальных уравнений второго порядка / Oka Hirokazu // Proc. Amer. Math. Soc. - 1996. - V. 124, №10. - P. 3143-3150.

127. Oseen, C.W. Hydrodynamik / C.W. Oseen/ - Leipzig, 1927.

128. Poincare, H. Sur l'equilibre d'une masse fluide animee d'un mouvement de rotation / H. Poincare // Acta Math. - 1885. -V. 7. - P. 259-380.

129. Pyatkov, S. G. Operator theory. Nonclassical problems / S. G. Pyatkov. - Utrecht; Boston; Tokyo: VSP, 2002.

130. Shestakov, A.L. On Optimal Measurement of the "White Noise"/ A.L. Shestakov, G.A. Sviridyuk // Вести. Юж.-Урал. гос. унта. Сер. Математич. моделир. и программ. - 2012. -№27. - С. 99-108.

131. Showalter, R.E. Partial differential equations of Sobolev-Galperin type / R.E. Showalter // Pacific J. Math. - 1963. - V. 31, №3. -P. 787-793.

132. Showalter, R.E. Well-posed problems for partial differential equations of order 2m + 1 / R.E. Showalter // SIAM J. Math. Anal. - 1970. - V. 1, №2. - P. 214-231.

133. Showalter R.E. Nonlinear degenerate evolution equations and partial differential equations of mixed type / R.E. Showalter // SIAM J. Math. Anal. - 1975. - V.6, №1. - P.25-42.

134. Showalter, R.E. Hilbert space methods for partial differential equations / R.E. Showalter. - Pitman; London; San Francisco; Melbourne, 1977.

135. Sidorov N., Loginov В., Sinytsyn A., Falaleev M. Lyapunov-Schmidt method in nonlinear analysis and applications. Dordrecht Harbound: Kluwer Academic Publishers, 2002.

136. Sova, M. Problems de Cauchy pour equations hyperboliques operationneles a coefficients constants nonbornes / M. Sova // Ann. scuola norm, super. Pisa. Sci. fis. e mat. - 1968. - V. 22, №1.

- P. 67-100.

137. Sova, M. Cosine operator functions / M. Sova // Rozpr. Math. -1966. - V. 49. - P. 1-47.

138. Sviridyuk, G.A. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators / G.A. Sviridyuk, V.E. Fedorov. -Utrecht; Boston; Koln; Tokyo:: VSP, 2003. - 268 p.

139. Techera, M. Nonlinear model of the DNA molecule / M. Techera, LI. Daemen, Ew. Prohofsky // Physics review A. - 1989. - №40.

- P. 6636-6642.

140. Vadiaa, А. Собственные колебания плоского маятника с полостью, заполненной системой несмешивающихся вязких жидкостей // Spectral and Evol.Probl.: CROMSH-IV. Simferopol, 1995. P. 83-85.

141. Vadiaa, А. Малые колебания плоского маятника с полостью, частично заполненной идеальной капиллярной жидкостью / A. Vadiaa, N.D. Kopachevski // Spectral and Evol.Probl.: CROMSH-IV. Simferopol, 1995. P. 98-102.

142. Wang, H. C-cosine operator functions and abstract 2nd order Cauchy problem / H. Wang // Northeast. Math. J. - 1995. -V. 11, №1. - P. 85-94.

143. Xiao, Т. Задача Коши для одного класса абстрактных уравнений высокого порядка / Т. Xiao, J. Liang // Chin. Ann. Math. A. - 1997. - V. 18, №2. - P. 135-144.

144. Xiao, Т. Задача Коши для абстрактного дифференциального уравнения высокого порядка / Т. Xiao, J. Liang // Chin. Ann. Math. A. - 1993. - V. 14, №5. - P. 523-535.

145. Xiao, Т. Полугруппы, возникающие из упругих систем с диссипацией / Т. Xiao, J. Liang // Comput and Math. Appl. - 1997.

- V.33, №10. - P. 1-9.

146. Zheng, Q. Exponential bounded C-cosine operator functions / Q. Zheng, Ya. Lei // J. Syst. Sci. and Math. Sci. - 1996. -V. 16, №3.

- P. 242-252.

147. Zheng, Q. Интегрированные косинус-функции / Q. Zheng // Int. J. Math, and Math. Sci. - 1996. - V. 19, №3. - P. 575-580.

148. Zheng, Q. Strongly continious M, iV-families of bounded operators/ Q. Zheng // Int. Equat. Oper. Th. - 1994. - №19.

- P. 106-119.

149. Замышляева, А.А. Об одной начально-краевой задаче для уравнения Баренблатта-Желтова-Кочиной / А.А. Замышляева // Студент и научно-технический прогресс, г. Челябинск, 1997 г.: тез. докл. - Челябинск, 1997. - С. 9-11.

150. Замышляева, А.А. Об одной начально-краевой задаче для уравнения теории фильтрации // / А.А. Замышляева // "Студент и научно-технический прогресс г. Новосибирск, 1988 г.,

материалы XXXV междунар. науч. студ. конф. - Новосибирск,

1997. - С. 36-37.

151. Замышляева, A.A. Задача Коши для неполного уравнения соболевского типа высокого порядка / A.A. Замышляева // "Студент и научно-технический прогресс г. Новосибирск, 1988 г., материалы XXXVI междунар. науч. студ. конф. - Новосибирск, 1998. - С. 44-45.

152. Замышляева, A.A. Неполные уравнения соболевского типа / A.A. Замышляева // Воронежская весеняя математическая школа: Современные методы в теории краевых задач (Понтря-гинские чтения - IX), г. Воронеж, 1998 г.: тез. докл. - Воронеж,

1998. - С. 80.

153. Замышляева A.A. Неполные линейные уравнения соболевского типа высокого порядка // Рук. деп. ВИНИТИ, 1998, № 2001-В98. 33 с.

154. Замышляева, A.A. Линейные уравнения соболевского типа высокого порядка / A.A. Замышляева // Воронежская весеняя математическая школа: Современные методы в теории краевых задач (Понтрягинские чтения - X), г. Воронеж, 1999 г.: тез. докл. - Воронеж, 1999. - С. 104.

155. Замышляева, A.A. Семейство М, N оператор-функций одного класса уравнений соболевского типа / A.A. Замышляева // "Проблемы физико-математического образования в педагогических вузах России на современном этапе г. Магнитогорск,

1999 г., матер, всерос. научно-практ. конф. - Магнитогорск, 1999. - С. 14.

156. Замышляева, A.A. Семейство M, N оператор-функций / A.A. Замышляева // Четвертый сиб. конгресс по прикладной и индустриальной математике ИНПРИМ, г. Новосибирск, 2000 г.: тез.докл. - Новосибирск, 2000. - С. 58.

157. Замышляева, A.A. Полиномиально сг-ограниченные пучки / A.A. Замышляева // "Дифференц. и интегр. уравн. межд. конф., г. Одесса, 2000 г.: тез. докл. - Одесса, 2000. - С. 108-109.

158. Замышляева, A.A. Полиномиально сг-ограниченные пучки и пропагаторы / A.A. Замышляева // Алгоритмический анализ неустойчивых задач, всерос. конф., г. Екатеринбург, 2001 г.: тез. докл. - Екатеринбург, 2001. - С. 149-150.

159. Замышляева, A.A. Фазовое пространство уравнения соболевского типа второго порядка / A.A. Замышляева // "Дифференциальные и интегральные уравнения. Математические модели межд. конф., г. Челябинск, 2002 г.: тез. докл. Челябинск, 2002. - С. 38.

160. Замышляева A.A. Задача Коши для линейного уравнения соболевского типа второго порядка // Уравнения соболевского типа. Сб. науч. работ. ЧелГУ. 2002. С. 16-29.

161. Замышляева, A.A. Задача Коши для неоднородного уравнения соболевского типа второго порядка / A.A. Замышляева / A.A. Замышляева // Актуальные проблемы прикладной математи-

ки и механики, Всерос. науч. конф., г. Екатеринбург, 2003 г.: тез. докл. - Екатеринбург, 2003. - С. 37.

162. Замышляева, A.A. Фазовые пространства одного класса линейных уравнений соболевского типа второго порядка / A.A. Замышляева // Вычислит, технол. - 2003. - Т. 8, №4. - С. 4554.

163. Замышляева, A.A. Задача Коши для неоднородного уравнения соболевского типа высокого порядка / A.A. Замышляева // Современные методы теории функций и смежные проблемы, г. Воронеж, 2003 г., Матер, конф. - Воронеж, 2003. - С. 105106.

164. Замышляева, A.A. Регулярные пучки матриц / A.A. Замышляева, О.Ю. Бородина // Вестник ЧелГУ. Матем., мех. и ин-формат. - 2003. - т. - С. 22-33.

165. Замышляева, A.A. Достаточные условия полиномиальной ограниченности пучка операторов / A.A. Замышляева, A.B. Уткина // Вестник ЧелГУ. Матем., мех. и информат. - 2003. - №1. - С. 66-73.

166. Замышляева, A.A. Исследование одного класса линейных уравнений соболевского типа высокого порядка: дис. ... канд. физ.-мат. наук / A.A. Замышляева. - Челябинск, 2003.

167. Замышляева, A.A. О задаче Коши для одного класса уравнений соболевского типа / A.A. Замышляева // Алгоритмический анализ неустойчивых задач всерос. конф., г. Екатеринбург, 2004 г.: тез. докл. - Екатеринбург, 2004. - С. 164.

168. Замышляева, A.A. Относительно присоединенные векторы в исследовании фазового пространства уравнения соболевского типа высокого порядка / A.A. Замышляева // Вестник МаГУ. Серия: Математика. - 2006. - №9. - С. 28-40.

169. Замышляева, A.A. Уравнение Буссинеска - Лява на графе / A.A. Замышляева // Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения межд. конф., поев. 100-летию со дня рождения академика И.Н. Векуа, г. Новосибирск, 2007 г.: тез. докл. - Новосибирск, 2007. - С. 15.

170. Замышляева, A.A. Уравнение Буссинеска - Лява на графе / A.A. Замышляева // Известия Челябинского научного центра. 2007, 4 с. (электронная)

171. Замышляева, A.A. Решение задачи Коши для уравнения соболевского типа высокого порядка / A.A. Замышляева // Дифференциальные уравнения и смежные проблемы: труды меж-дунар. науч. конф. г. Стерлитамак. - Уфа, 2008. - Т.1. - С.101-105.

172. Замышляева, A.A. Об одном уравнении соболевского типа на графе / A.A. Замышляева // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2008. -№27(127), вып. 2. - С. 45-49.

173. Замышляева, A.A. Решение одного уравнения соболевского типа на графе / A.A. Замышляева // Обозрение приклад, и пром. математики. - 2009. - Т. 16, вып. 2. - С. 332-333.

174. Замышляева, A.A. Уравнение de Gennes звуковых волн в смек-тиках / A.A. Замышляева // Обозрение приклад, и пром. математики. - 2009. - Т. 16, вып. 4. - С.655-656.

175. Замышляева, A.A. О задаче Коши для уравнения соболевского типа с относительно диссипативным пучком операторов / A.A. Замышляева, О.Н. Цыпленкова // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна, г. Воронеж, 2010 г.: тез. докл. - Воронеж, 2010. - С.62-63.

176. Замышляева, A.A. Начально-конечная задача для уравнения Буссинеска - Лява / A.A. Замышляева, A.B. Юзеева // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2010. - № 27 (127), вып. 5. - С. 23-31.

177. Замышляева, A.A. Начально-конечная задача для одного уравнения соболевского типа на графе / A.A. Замышляева // Обозрение приклад, и пром. математики. - 2010. - Т. 17, вып. 5. - С.675-676.

178. Замышляева, A.A. Начально-конечная задача для уравнения Буссинеска - Лява на графе / A.A. Замышляева, A.B. Юзеева // Известия Иркутского гос. ун-та. Сер. "Математика". - 2010. -Т.З, №2. - С.18-29.

179. Замышляева, A.A. Задача оптимального управления для одного уравнения соболевского типа / A.A. Замышляева, О.Н. Цыпленкова // Всероссийский научный семинар "Неклассические уравнения математической физики посвященный 65265

летию со дня рождения профессора В.Н. Врагова (10-13 ноября 2010 г.): тез. докл. 4.1. - Якутск, 2010. - С.53-56.

180. Замышляева, A.A. Задача оптимального управления для уравнения соболевского типа второго порядка / A.A. Замышляева, О.Н. Цыпленкова // Неклассические уравнения математической физики: сб. науч. работ / под ред. А.И. Кожанова. - Новосибирск, 2010. - С. 95-101.

181. Замышляева, A.A. Оптимальное управление решениями задачи Шоуолтера - Сидорова для уравнения Буссинеска - Лява / A.A. Замышляева, О.Н. Цыпленкова // "Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика" межд. конференция , посвященная 90-летию со дня рождения академика H.H. Яненко, г. Новосибирск, 2011 г.: тез. докл. - Новосибирск, 2011. - С. 65.

182. Замышляева, A.A. Об одном классе полулинейных уравнений соболевского типа // A.A. Замышляева, Е.В. Бычков // Сам-Диф - 2011: конф. "Дифференциальные уравнения и их приложения г. Самара, 2011 г.: тез. докл. - Самара, 2011. - С.45.

183. Замышляева, A.A. Оптимальное управление решениями начально-конечной задачи для уравнения соболевского типа второго порядка / A.A. Замышляева, О.Н. Цыпленкова // Алгоритмический анализ неустойчивых задач междунар. конф., посвящ. памяти В.К. Иванова, г. Екатеринбург, 2011 г.: тез. докл. - Екатеринбург, 2011. - С. 230-231.

184. Замышляева, A.A. Об одном полулинейном уравнении соболевского типа второго порядка / A.A. Замышляева, О.Н. Цып-ленкова // Алгоритмический анализ неустойчивых задач между нар. конф., посвящ. памяти В.К. Иванова, г. Екатеринбург,

2011.: тез. докл. - Екатеринбург, 2011. - С. 228-229.

185. Замышляева, A.A. Начально-конечная задача для неоднородного уравнения Буссинеска- Лява / A.A. Замышляева // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2011. - №37 (254), вып. 10. - С. 22-29.

186. Замышляева, A.A. Фазовое пространство уравнения соболевского типа высокого порядка / A.A. Замышляева // Известия Иркутского гос. ун-та. Сер. "Математика". - 2011. - Т.4, №4. - С. 45-57.

187. Замышляева, A.A. Оптимальное управление решениями начально-конечной задачи для уравнения Буссинеска - Лява / A.A. Замышляева, О.Н. Цыпленкова // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. -

2012. - №5 (264), вып. 11. - С. 13-24.

188. Замышляева, A.A. Фазовое пространство модифицированного уравнения Буссинеска / A.A. Замышляева, Е.В. Бычков // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2012. - № 18(277), вып. 12. - С. 13-19.

189. Замышляева, A.A. Фазовое пространство полулинейного уравнения Буссинеска - Лява / A.A. Замышляева, Е.В. Бычков //

Обозрение приклад, и пром. математики. - 2012. - Т. 19, вып. 2. - С. 256-257.

190. Замышляева, A.A. Уравнения соболевского типа второго порядка с относительно диссипативным пучком операторов / A.A. Замышляева, О.Н. Цыпленкова // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: Физико-математические науки. - 2012. - №2. - С. 26-33.

191. Замышляева, A.A. Оптимальное управление решениями начально-конечной задачи для уравнения Буссинеска - Лява на графе / A.A. Замышляева, О.Н. Цыпленкова // Обратные и некорректные задачи: тез. докл. конф., посвящ. 80-летию со дня рождения академика М.М. Лавретьева, г. Новосибирск, 2012. - Новосибирск, 2012. - С. 370.

192. Замышляева, A.A. Исследование модели продольных колебаний в молекуле ДНК / A.A. Замышляева, Е.В. Бычков // Обратные и некорректные задачи: тез. докл. конф., посвящ. 80-летию со дня рождения академика М.М. Лавретьева, г. Новосибирск, 2012. - Новосибирск, 2012. - С. 369.

193. Замышляева, A.A. Стохастические неполные линейные уравнения соболевского типа высокого порядка с аддитивным белым шумом / A.A. Замышляева // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2012. - №40(299), вып. 14. - С. 73-82.

194. Замышляева, A.A. Вырожденные косинус и синус оператор-функции / A.A. Замышляева // Неклассические уравнения

математической физики: сб. науч. работ / под ред. А.И. Ко-жанова. - Новосибирск, 2012. - С.105-117.

195. Замышляева, A.A. Линейные уравнения соболевского типа высокого порядка / A.A. Замышляева. Челябинск: Издательский центр ЮУрГУ, 2012.

196. Замышляева, A.A. Задача Коши для стохастической модели Буссинеска - Лява с аддитивным белым шумом / A.A. Замышляева // Измерения: состояние, перспективы развития между-нар. науч.-практич. конф., г. Челябинск, 2012 г.: тез. докл. В 2 т. - Челябинск, 2012. - Т.1. - С. 105-106.

197. Замышляева, A.A. Задача Коши для стохастического уравнения соболевского типа высокого порядка / A.A. Замышляева // Дифференциальные уравнения и их приложения межд. конф., г. Белгород, 2013 г.: тез. докл. - Белгород, 2013. - С. 65.

198. Замышляева, A.A. Стохастические уравнения соболевского типа высокого порядка / A.A. Замышляева // Международная летняя математическая школа памяти В. А. Плотникова межд. конф., г. Одесса, 2013 г.: тез. докл. - Одесса, 2013. - С. 55.

199. Замышляева, A.A. Оптимальное управление решениями задачи Шоуолтера - Сидорова для уравнения Буссинеска - Лява на графе / A.A. Замышляева, О.Н. Цыпленкова // СамДиф -2013: Дифференциальные уравнения и их приложения, всерос. науч. конф., г. Самара, 2013 г.: тез. докл. - Самара, 2013. - С. 34-35.

200. Замышляева, А.А. Математическая модель Буссинеска - Лява / А. А. Замышляева, А.С. Муравьев // СамДиф - 2013: Дифференциальные уравнения и их приложения, всерос. науч. конф., г. Самара, 2013 г.: тез. докл. - Самара, 2013. - С. 35-36.

201. Замышляева, А. А. О численном исследовании математической модели распространения волн на мелкой воде / А.А. Замышляева, Е.В. Бычков // Математические заметки ЯГУ. - 2013. -Т. 20, т. - С. 27-34.

202. Zamyshlyaeva, A.A. Strongly continuous operator semigroups. Alternative approach / A.A. Zamyshlyaeva // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование.

- 2013. - №2, вып. 6. - С. 40-48.

203. Замышляева, А.А. Аналитическое исследование математической модели Буссинеска - Лява с аддитивным белым шумом / А.А. Замышляева // Глобальный научный потенциал (Раздел математические методы и модели). - 2013.- Ш7 (28). - С.44-50.

204. Замышляева, А.А. Стохастическая математическая модель ионно-звуковых волн в плазме / А.А. Замышляева // Естественные и технические науки (Раздел математическое моделирование, численные методы и комплексы программ). - 2013.

- №4. - С.284-292.

205. Замышляева, А.А. Об алгоритме численного моделирования волн Буссинеска -Ллява / А. А. Замышляева // Вестник ЮУрГУ. Серия: Компьютерные технологии, управление, радиоэлектроника. - 2013. - Т. 13. - №4. - С. 24-32.

206. Замышляева, A.A. Оптимальное управление решениями задачи Шоуолтера-Сидорова-Дирихле для уравнения Буссинеска-Лява / A.A. Замышляева, О.Н. Цыпленкова // Дифференциальные уравнения. - 2013. - Т. 49. - №11. - С. 1390-1398.

207. Свиридюк, Г.А. Об одном классе неполных уравнений типа Соболева / Г.А. Свиридюк, A.A. Замышляева // Алгоритмический анализ неустойчивых задач всерос. конф., г. Екатеринбург, 1998 г.: тез. докл. - Екатеринбург, 1998. - С. 225-226.

208. Свиридюк, Г.А. Неполные уравнения соболевского типа высокого порядка / Г.А. Свиридюк, A.A. Замышляева // Третий сиб. конгресс по прикладной и индустриальной математике ИНПРИМ-98, г. Новосибирск, 1998 г.: тез.докл. - Новосибирск, 1998. - С.39.

209. Свиридюк, Г.А. Морфология фазовых пространств одного класса линейных уравнений типа Соболева высокого порядка / Г.А. Свиридюк, A.A. Замышляева // Вестник ЧелГУ. Матем. и мех. Челябинск. - 1999, №2. - С. 87-102.

210. Свиридюк, Г.А. Фазовые пространства одного класса линейных уравнений соболевского типа высокого порядка / Г.А. Свиридюк, A.A. Замышляева // Дифференциальные уравнения. - 2006. - Т.42, №2. - С. 252-260.

211. Zamyshlyaeva A.A. The Cauchy problem to the Sobolev type equation of the second order // Abstracts Sci.Int.Conf "Ill-posed and inverse problems". Novosibirsk. - 2002. - P. 177.

212. Zamyshlyaeva, A.A. On the Cauchy problem for one Sobolev type equation of the second order equation // Kolmogorov and contemporary mathematics: Abstracts of the Int. Conf. Moscow: Moscow State University. - 2003. - P. 262-263.

213. Zamyshlyaeva, A.A. On the Cauchy problem for the nonhomogenious Sobolev type equation of the second order / A.A. Zamyslyaeva // Nonlinear partial differential equations: Abstracts of the Int. Conf. Alushta, Institute of Applied Mathematics and Mechanics of NASU. - 2003. - P. 223.

214. Zamyshlyaeva, A.A. The Sobolev type equation of the second order with polynomially bounded operator pencil / A.A. Zamyshlyaeva // Межд. школа-семинар по геометрии и анализу. Ростов-на-Дону, 2004. - С. 171.

215. Zamyshlyaeva, A.A. The Cauchy problem for the second order semilinear Sobolev type equation / A.A. Zamyshlyaeva, E.V. Bychkov // Global and Stochastic Analysis.- 2012. - Vol. 2, No. 1. - P. 159-166.

216. Zamyshlyaeva, A.A. Strongly continuous operator semigroups. Alternative approach / A.A. Zamyshlyaeva // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2013. - №2, вып. 6. - С. 40-48.

217. Программа для нахождения решения начально-конечной задачи для уравнения Буссинеска - Лява: свидетельство №2012619933/ Замышляева А.А., Цыпленкова О.Н. (RU); правообладатель ФГБОУ ВПО "Южно-Уральский государствен-

ный университет (НИУ)". - 20126179003; заявл. 20.09.2012; за-регистр. 02.11.2012, реестр программ для ЭВМ.

218. Моделирование колебаний в молекуле ДНК: Свидетельство №2013611741 / Замышляева A.A., Бычков E.B. (RU); правообладатель ФГБОУ ВПО 11 Южно-Уральский государственный университет (НИУ)". - 2012661363; заявл. 19.12.2012; заре-гистр. 04.02.2013, реестр программ для ЭВМ.

219. Программный комплекс "Моделирование волн Буссинеска -Лява": Свидетельство №2013617901 / Замышляева A.A.(RU); правообладатель ФГБОУ ВПО "Южно-Уральский государственный университет (НИУ)". - ; заявл. 15.07.2013; зарегистр. 27.08.2013, реестр программ для ЭВМ.