Исследование однопродуктовой модели экономики с учетом инерционных свойств вводимых и выводимых производственных фондов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 08.00.13, кандидат физико-математических наук Борисова, Светлана Валерьевна

• Борисова, Светлана Валерьевна
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Борисова, Светлана Валерьевна

Введение.

Глава 1. Однопродуктовая модель экономики с учетом инерционных свойств вводимых и выводимых фондов

1.1. Описание характеристик модели.

1.2. Постановка задачи. Принцип дифференциальной оптимизации

Глава 2. Исследование модели в случае экзогенно заданной функции капиталовложений.

2.1. Постановка задачи

2.2. Случай отсутствия инерционности при вводе новых фондов

2.3. Учет инерционных свойств при вводе новых фондов.

2.4. Теорема эквивалентности. Существование и единственность оптимальной траектории.

2.5. Интерпретация полученных результатов. Примеры численной реализации.

Глава 3. Исследование модели в случае эндогенно заданной функции капиталовложений.

3.1. Постановка задачи

3.2. Оптимальная траектория. Теорема эквивалентности

3.3. Существование и единственность оптимальной траектории

3.4. Результаты численной реализации^.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование однопродуктовой модели экономики с учетом инерционных свойств вводимых и выводимых производственных фондов»

Диссертация посвящена исследованию проблемы оптимизации сроков службы производственных мощностей и режимов ввода новых фондов для однопродуктовой модели экономики.

Производственная структура любой экономической системы подвержена изменениям во времени, обусловленными различными причинами, в том числе развитием научно-технического прогресса и ростом фондовооруженности. В связи с этим встают сложные задачи моделирования интенсивного развития экономических и научно-технических систем и управления этим развитием [9, 20, 21, 7]. Одной из важнейших прикладных задач является моделирование и оптимизация сроков функционирования производственных мощностей экономических систем.

Такие модели имеют приложения на различных уровнях управления экономикой (экономика страны, региона, отрасль, отдельное предприятие и т.п.). На высоких уровнях управления такие модели оптимизируют распределение ресурсов между отраслями и техническую политику [9, 11]. На более низких уровнях (отрасль, предприятие) они описывают процессы замены, обновления и распределения машин и оборудования в экономической системе и могут быть использованы для таких конкретных задач как расчет (и оптимизация) плана материально-технического снабжения, определения потребностей в машинах и оборудовании и др. Наиболее перспективным является применение данного класса моделей для задач прогнозирования и долгосрочного планирования в масштабах народного хозяйства или в фондоемких отраслях и производствах с интенсивным техническим прогрессом.

Однако возможность практического применения таких моделей сдерживается недостаточным развитием анализа качественных свойств и прикладной интерпретации моделей, теории и численных методов решения возникающих в этом случае математических задач (характерными чертами этих задач являются нелинейность).

Наиболее известным примером макроэкономической модели с овеществленным техническим прогрессом является модель Солоу [25]. Согласно модели Солоу технический прогресс воплощен в основных производственных фондах: фонды, созданные недавно, более эффективны по сравнению с выпущенными в более ранние моменты времени, а фонды, созданные в одном году, имеют одинаковую эффективность. Это описывается следующим образом: пусть %(г, t) — количество основных фондов, созданных в момент г и остающихся в строю в текущий момент t, <p(r,t) — количество рабочей силы на основных фондах х(г, £), тогда совокупный выпуск продукции в момент времени t выражается интегралом t

X(t)= J t/(r,f,x(r,f),¥>(r,0)<fr, (0.1) оо где U — производственная функция, выбранная в форме функции Кобба-Дугласа:

U = 0 < /? < 1, (0.2) где р — темп овеществленного прогресса [9].

В каждый момент времени t задана совокупная рабочая сила N(t)

Предполагается, что основные фонды выбывают вследствие физического износа с постоянным темпом износа: г) — инвестиции момента г, д — норма амортизации в связи с физическим износом.

Распределение рабочей силы в соответствии с различной технологией производства подчиняется требованию максимизации выпуска.

В модели Солоу исследуется только случай равномерных темпов износа. Модель Солоу не учитывает действительно динамическое, неравномерное развитие экономики.

Новым этапом в развитии таких моделей стали динамические модели, позволяющие управлять динамикои сворачивания устаревших основных фондов [17, 10, 22]. Если раньше время службы фондов в основном определялось только лишь с точки зрения их физического износа, и это время значительно превышало срок службы любой единицы трудовых ресурсов, то теперь в связи с развитием научно-технического прогресса срок службы фондов в большей степени определяется их моральным износом. Появление новых, более совершенных технологий многократно сокращает срок службы фондов, а в отдельных отраслях это время составляет лишь несколько лет (например, в области электронной промышленности, компьютерных технологий). Поэтому, если в первом случае происходит t

0.3) оо

Х(т, *) =/(г)е^Л S >0, всего лишь замена старого оборудования на новое, то во втором — полная реконструкция фондов, т.е. наименее эффективные выводятся из производства (и в дальнейшем не используются), а высвобождающиеся трудовые ресурсы направляются на вновь создаваемые фонды.

Такие модели впервые были введены Канторовичем JI.B. [17] в 1959 г. Однако их дальнейшее исследование не проводилось, и только в 1973 г. появляется работа [18], в которой приведена однопродуктовая макроэкономическая динамическая модель.

Принципиально новым в модели Канторовича является введение новой функции m(t) — временной границы использования фондов: все фонды, созданные ранее момента m{t), в момент t выводятся из производства. С учетом обозначений модели (0.1) — (0.3) получаем следующую модель: t

X(t) = J U(r,t,x(T)Mr))dr, (0.4) m(t) t

N(t)= J ф)(1т (0.5) m(t) физический износ не учитывается: д = 0). При этом функция m(t) является эндогенной переменной модели.

В рамках модели (0.4) — (0.5) Л.В.Канторовичем был предложен принцип дифференциальной оптимизации. Согласно этому принципу способ вывода устаревших и структура вновь созданных основных фондов являются оптимальными, если они обеспечивают максимальный темп роста национального дохода в текущий момент времени.

Независимо от работы [18] Глушков В.М. предложил в 1977 г. двухпродуктовую макроэкономическую модель [10], дополняющую модель Канторовича [18]. Эта модель описывает две группы производства: А производство средств производства и: Б — производство предметов потребления. Она характеризуется следующими соотношениями: уравнение баланса потребления: t

X(t)= J Ъ(т,1)[1-у(тМт)йт, (0.6) m(t) уравнение баланса трудовых ресурсов: t

N(t)= J tp(r)dT, (0.7) m(t) уравнение роста фондов: t p(t) = J a(T,t)y{T)ip(T)dr, 0<y(f)<l, m(t)<t, (0.8) m(t) где у(т) — относительная доля рабочих мест, созданных в момент т и идущих на создание новых рабочих мест (в группу A), a(r,t) и b(r,t) производительности (в группах А и Б) в момент t рабочих мест, созданных в момент г.

В рамках модели (0.6) — (0-8) возможны постановки различных задач, например, задачи прогноза развития экономических систем [24]. При моделировании интенсивного развития экономических систем одной из них является задача прогноза с управлением процессами сворачивания рабочих мест — с неизвестной функцией m{t). Приведем пример такой задачи: максимизировать выпуск за некоторый плановый промежуток времени [to,T] при заданных трудовых ресурсах N(t), т.е. определить функции y(t), <p(t), m(t), t G [to,T], доставляющие максимум функционала при ограничениях (0.7) — (0.8).

Такие задачи являются задачами оптимального управления и наиболее сложными при исследовании.

В моделях Канторовича и Глушкова, в отличие от модели Солоу, наряду с овеществленным уровнем описания научно-технического прогресса, содержится возможность управления и оптимизации развития экономических систем в условиях научно-технического прогресса за счет изменения политики обновления основных фондов.

В современных высокотехнологических производствах появилась еще одна важная тенденция: время жизни основных фондов сопоставимо с временем их ввода на проектную мощность. Ввод в производство новых, более совершенных фондов требует некоторого времени на их освоение, т.е. вводимые фонды начнут давать отдачу лишь через некоторый, характерный для данной экономической системы, интервал времени. Таким образом, встает вопрос не только о поиске оптимальных сроков службы фондов, но и режимов ввода новых фондов. Именно этой проблеме и посвящена диссертация.

Актуальность темы и цель работы в свете сказанного выше связана с тем, что решение указанной проблемы позволяет обеспечить научно обоснованный выбор политики развития производства в условиях т t max

0.9) о m(t) научно-технического прогресса и роста фондовооруженности производства.

Основная цель. Поиск оптимальной политики вывода из производства устаревших фондов и ввода новых (более совершенных) в рамках построенной однопродуктовой модели. Для достижения этой цели в качестве критерия оптимальности используется "принцип дифференциальной оптимизации", предложенный Канторовичем JI.B. [19].

Научная новизна диссертации состоит в том, что наряду с инерционными свойствами выводимых фондов исследована также возможность наличия инерционных свойств при вводе новых фондов. На основе проведенного автором исследования удалось выделить и описать все возможные режимы развития системы.

Теоретическая и практическая ценность. Исследована сложная нелинейная система функционально-дифференциальных уравнений. Полученные результаты могут быть использованы для количественного оценивания характеристик оптимальной политики замещения производственных фондов.

Диссертация состоит из трех глав и одиннадцати параграфов.

Первая глава диссертации посвящена описанию модели. В параграфе 1.1 дано описание основных характеристик рассматриваемой экономической системы. В параграфе 1.2 приводится постановка задачи и формулировка принципа дифференциальной оптимизации.

Вторая глава посвящена исследованию модели в случае экзогенно заданной функции капиталовложений. В параграфе 2.1 дана точная формулировка принципа дифференциальной оптимизации. В параграфе 2.2 исследован вариант, когда вводимые в производство фонды имеют мгновенную отдачу, описаны все возможные режимы развития системы в этом случае. Параграф 2.3 посвящен исследованию системы в случае, когда вводимые фонды требуют времени на ввод в производство и освоение. В параграфе 2.4 сформулированы и доказаны основные теоремы: теорема эквивалентности принципа дифференциальной оптимизации системе уравнений, описывающей оптимальную траекторию развития экономической системы; теорема существования и единственности решения такой нелинейной системы. Параграф 2.5 посвящен результатам численных экспериментов. В этом параграфе описаны возможности перехода с режима на режим и приведены результаты проведенных расчетов.

Третья глава посвящена исследованию модели в случае, когда интенсивность ввода капиталовложений определяется внутри системы. В параграфе 3.1 приведена точная формулировка принципа дифференциальной оптимизации для такой задачи. В параграфе 3.2 получена система уравнений, описывающая оптимальную траекторию развития системы; сформулирована теорема эквивалентности. В параграфе 3.3 сформулирована и доказана теорема существования и единственности оптимальной траектории для исследуемой задачи. Параграф 3.4 посвящен результатам численной реализации модели.

По теме диссертации автором опубликовано три работы.

Результаты работы докладывались автором на научных семинарах: "Дифференциальные уравнения и их приложения" (ЦЭМИ РАН), "Многомерный статистический анализ и вероятностное моделирование реальных процессов" (ЦЭМИ РАН), "Математическая экономика" (ф-т ВМК, МГУ им. М.В.Ломоносова).

Заключение диссертации по теме «Математические и инструментальные методы экономики», Борисова, Светлана Валерьевна

Заключение

В диссертации описана однопродуктовая динамическая модель экономики с учетом инерционных свойств вводимых в производство и выводимых из него производственных фондов.

Сформулирован принцип дифференциальной оптимизации, на основании которого выбирается оптимальная политика вывода старых и ввода новых, более совершенных фондов. Согласно принципу дифференциальной оптимизации переменные модели выбираются таким образом, чтобы обеспечить максимальный темп роста национального дохода.

Описанная модель исследуется в случае как экзогенно, так и эндогенно заданной функции капитальных вложений x{t)- Выделяются два основных режима поведения системы: А. вводимые фонды имеют мгновенную отдачу, т.е. не требуют времени на ввод в производство и освоение; В. при вводе новых фондов требуется определенное время на их внедрение и освоение.

В качестве производственной функции U(t, Х, <р) выбрана хорошо известная функция Кобба-Дугласа.

Проведенное в работе исследование дает возможность для применения количественных методов оценивания политики вывода устаревших и ввода новых, более совершенных фондов.

Методы качественного оценивания характеристик оптимальной политики замещения фондов основаны на методах нелинейно анализа и теории эксремальных задач и приводят к конкретным результатам, наиболее существенными из которых автор диссертации считает следующие: доказана теорема эквивалентности принципа дифференциальной оптимизации (формально, в каждый момент времени t > t (где t — начальный момент времени) вдоль траектории, удовлетворяющей уравнению дифференциальной оптимизации, производная национального дохода P7(t) должна принимать максимально возможное значение) некоторой системе уравнений, называемой уравнением дифференциальной оптимизации, которой удовлетворяют переменные модели; доказано существование и единственность решения уравнения дифференциальной оптимизации; в зависимости от изменений внешних характеристик системы (потоков трудовых ресурсов и возможностей освоения вводимых капиталовложений) описаны все возможные режимы поведения уравнения дифференциальной оптимизации и переходы с одного режима на другой.

Таким образом, построенная модель может иметь приложение при прогнозировании и планировании развития экономической системы в услоиях развития технического прогресса, приводящего к необходимости замены и обновления фондов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Борисова, Светлана Валерьевна, 2000 год

1. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. — М.: Наука, 1979.

2. Ашманов С.А. Введение в математическую экономику. — М.: Наука, 1984.

3. Бахвалов Н.С. Численные методы (анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения). — М.: Наука, 1973.

4. Бекларян J1.A. Введение в качественную теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом и их приложения. — М.: ЦЭМИ РАН, 1996.

5. Бекларян JI.A, Борисова С.В. Однопродуктовая динамическая модель производства с инерционными свойствами системы// Препринт Й WP/98/045-M.: ЦЭМИ РАН, 1998 — 22с. (рус).

6. Бекларян JI.A, Борисова С.В. Однопродуктовая модель производства с учетом инерционных свойств вводимых и выводимых фондовую/Препринт Л WP/2000/093-M.: ЦЭМИ РАН, 2000 — 56с. (рус).

7. Бескровный И.М. Проблемы использования макроэкономических моделей для задач планирования в условиях интенсивного развития// Вопр. радиоэлектроники. Сер. АСУПР. — 1984. — Вып. 2. с.3-12.

8. Борисова С.В. Модель производства с учетом инерционных свойств вводимых и выводимых фондов// Аудит и финансовый анализ, 1999, N 2, с. 5 — 18 (рус).

9. Браун М. Теория и измерение технического прогресса. — М.: Статистика, 1971.

10. Глушков В.М. Об одном классе динамических макроэкономических моделей// Управляющие машины и системы, 1977, N 2, с. 3—6.

11. Глушков В.М., Иванов В.В., Яненко В.М. Моделирование развивающихся систем. — М.: Наука, 1983.

12. Голосовский С.И., Гринчель Б.М. Измерение влияния научно-технического прогресса на эффективность общественного производства. — М.: Наука, 1981.

13. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике. — М.: Издательство "ДИС", 1998.

14. Зорич В.А. Математический анализ. — М.: Наука, ч. I, 1981.

15. Иванилов Ю.П., Лотов А.В. Математические модели экономики. — М.: Наука, 1979.

16. Канторович JI.В., Акилов Р.П. Функциональный анализ. — М.:Наука, 1977.

17. Канторович JI.B., Горьков Л.И. Функциональные уравнения одно-продуктовой модели// Доклады АН СССР, 1959, 129 , N 4, с. 732— 736.

18. Канторович Л.В., Жиянов В.И. Однопродуктовая динамическая модель экономики, учитывающая структуру фондов при наличии технического прогресса// Доклады АН СССР, 1973, 211, N 6, с. 1280—1283.

19. Канторович Л.В., Жиянов В.И., Хованский А.Г. Принцип дифференциальной оптимизации в применении к однопродуктовой динамической модели экономики// Сибирский математический журнал, 1978, т. XIX, N 5, с. 1053—1064.

20. Лотов А.В. Введение в экономико-математическое моделирование.— М.: 1984.

21. Математическое моделирование экономичекских процессов/ Под ред. И.В.Котова. — Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1980.

22. Петров А.А., Поспелов И.Г. Системный анализ развивающейся экономики. I-IV.// Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. — 1979. — N 2. с.18-27; N3. с.28-38; N 4. с.11-23; N 5. с.13-24.

23. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Мир, 1970.

24. Яценко Ю.П. Интегральные модели систем с управляемой памятью. — Киев: Наукова думка, 1991.

25. Sollow R. Investment and Technical Progress// Mathematical Methods in the Social Science. — Stanford Univ. Press, 1960. — P. 89—104.