Исследование некоторых нелинейных управляемых процессов на конечном и бесконечном промежутках времени тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Пучкова, Алёна Игоревна

• Пучкова, Алёна Игоревна
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Пучкова, Алёна Игоревна

Оглавление

Введение

1 Специальная экономическая модель распределения ресурсов на бесконечном промежутке времени

1.1 Постановка задачи

1.2 Предварительные результаты

1.3 Исследование задачи (1.1) при а > и+ и хо ^ а

1.4 Исследование задачи (1.1) в случае xq > а > и+

1.5 Принцип максимума Понтрягина

1.6 Решение краевой задачи в случае xq > х*

1.7 Решение краевой задачи в случае xq £ (а, ж*]

1.8 Доказательство теоремы 3

1.9 Второй способ доказательства теоремы 3

1.9.1 Исследование значения функционала от управления с одной точкой переключения

1.9.2 Существование оптимального управления

1.9.3 Вид оптимального решения

1.10 Пример

1.10.1 Исследование сопряжённого уравнения (1.10)

1.10.2 Исследование управляющего режима с одной точкой переключения

1.10.3 Доказательство оптимальности построенной пары

2 Биологическая модель, описывающая процесс роста ко-

лонии микроорганизмов

2.1 Постановка задачи. Предварительные результаты

2.2 Формулировка основного результата

2.3 Доказательство теоремы 5 при (т/о, ко) £ / и ко ^ 1

2.4 Доказательство теоремы 5 для случая ко = ^(г/о) (начальная точка (уо, ко) находится на линии OB)

2.5 Доказательство теоремы 5 для случая (уо, ко) £ I и

0 < к0 < 1

2.6 Оптимальное время в задаче быстродействия (3.6)

2.7 Дополнительные утверждения

2.8 Сравнение двух режимов управления

3 Модель ведения рыбного хозяйства

3.1 Постановка задачи со свободным правым концом. Формулировка основного результата

3.2 Принцип максимума Понтрягина. Исследование задачи на существование особых режимов

3.3 Структура оптимального управления

3.4 Исследование управления вида (3.17)

3.5 Пример 1

3.6 Задача с фиксированными концами

3.7 Пример 2

Заключение

121

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование некоторых нелинейных управляемых процессов на конечном и бесконечном промежутках времени»

Введение

Физические процессы, имеющие место в технике, как правило управляемы, т. е. могут осуществляться различными способами в зависимости от воли человека. В связи с этим возникает вопрос о нахождении наилучшего в том или другом смысле или, как говорят, оптимального управления процессом. Речь может идти, например, об оптимальном управлении в смысле быстродействия, т. е. о достижении цели процесса за кратчайшее время, о достижении этой цели с минимальной затратой энергии и т. п.

В пятидесятых годах XX века многочисленные потребности прикладных дисциплин (техники, экономики, военных наук и др.) стимулировали постановку и рассмотрение нового класса задач, исследование которых привело к рождению новой науки - оптимального управления. Основы теории оптимального управления были заложены академиком Л.С. Понтрягиным и группой его учеников [1]. Теория оптимального управления получила всеобщее признание как фундаментальное теоретическое достижение и нашла широкое применение в приложениях.

Оптимальное управление охватывает обширный круг задач, в которых необходимо получить гарантированный результат наименьшими затратами. Например, задачи ядерной энергетики (управление охлаждением реактора), робототехники (движение роботов, управление всевозможными станками и автоматами), механики полета (самонаводящиеся ракеты, автопилоты, автоматическая стыковка на орбите, управление самолетом), экономики (задачи долговременного планирования), экологии (расчёт допустимого воздействия на экосистему), биофизики и т. д.

Основным объектом задачи оптимального управления является управ-

ляемая динамическая система. Это понятие включает в себя достаточно широкий класс объектов, изменяющихся во времени. К управляемым системам, например, относятся различные экономические объекты (от фирмы до государства), всевозможные роботы и автоматы, летательные аппараты, атомный реактор, экосистемы и т. д. Пусть поведение управляемой системы в каждый момент времени t полностью описывается фазовым вектором х(Ь) — (х\({). • • ■) хп^))Т-

Управляемая система зависит от набора параметров, характеризующих управляющее воздействие на неё - от управления. Таким образом, задаётся управляющий параметр и^) = (глх, г/-2, • • • , г/,т(£))т. Ясно, что в конкретных физических объектах управление и(Ь) не может быть произвольным. Обычно предполагают, что вектор управления и({) выбирается из некоторого наперёд заданного множества - класса допустимых управлений

и{Ь) е У.

В соответствии с тем, как выражается зависимость вектора фазового состояния ж(^) от управления рассматриваются различные динамические объекты. Например, эта зависимость может описываться системой обыкновенных дифференциальных уравнений

х = /(£. ж, и).

В этом случае, зная значение управления в каждый момент времени £ и начальное условие хо, можно определить состояние объекта как решение дифференциального уравнения

х = /(£, х, и{г)), ж(£0) = х0.

Предположим, что нам задан начальный момент времени ¿о и множество Мо начальных состояний объекта. Кроме того, нужно управлять объектом так, чтобы в какой-то конечный момент времени ¿1 объект перешёл на некоторое множество М\ конечных состояний. Будем считать,

что допустимое управление и(£) переводит объект из начального множества Мо в конечное множество М\ на отрезке времени [¿О, ¿і], если соответствующее этому управлению -и(£) фазовое состояние объекта х(Ь) удовлетворяет условиям

Заметим, что конечный момент времени ¿1 может быть не фиксированным, а определяться из условия попадания вектора ж(£) на конечное множество М\. Задачи оптимального управления могут рассматриваться как на конечном, так и на бесконечном промежутке времени, при этом ¿1 = +оо.

Пусть заданы многозначное отображение Х(£) С Яп и функционал

Задача оптимального управления заключается в нахождении такого допустимого управления "и*(£), £ Е [£0,^1], и соответствующей ему траектории ж*(£), £ Е [£о, £1], переводящих объект из начального множества Мо в конечное множество М\ таким образом, что при этом функционал качества J(x,u) принимает минимальное значение и выполняется включение £*(£) Е Х(£) для любого £ € [£о, £1].

Задача в такой постановке называется задачей оптимального управления с фазовыми ограничениями, вследствие наличия ограничения на фазовые координаты: ж(£) Е Х^), £ Е [¿О;^]- Когда фазовое ограничение отсутствует, задача превращается в обычную задачу оптимального управления.

В задачах оптимального управления центральным результатом является принцип максимума Понтрягина, который даёт необходимое условие оптимальности [1].

Изучение динамики нелинейных управляемых процессов - важнейший раздел новой теории. Нелинейная динамика встречается при моде-

х(£0) Е М0, ж(£і) Е Мъ

¿і

лировании многих прикладных задач из различных областей знания. В частности, широко известны модели Рамсея, двухсекторной экономики с производственной функцией Кобба-Дугласа, где требуется определить оптимальные пропорции потребления и накопления, между двумя видами ресурсов соответственно и т. п. Эти модели исследуют на конечном и бесконечном горизонтах. Интересные задачи возникают при исследовании микробиологических процессов, моделирующих рост колонии клеток и усвоение различных видов питательных веществ. В таких моделях могут возникать участки, на которых управление имеет специальный вид (так называемый сингулярный режим), что требует дополнительного исследования для обоснования оптимальности. Данная диссертационная работа посвящена изучению трёх таких нелинейных моделей, рассматриваемых на конечном и бесконечном горизонтах времени.

В первой главе диссертации исследуется специальная экономическая модель распределения ресурсов на бесконечном промежутке времени ' x(t) = ~x(t) + u(t), 0 < t < +00.

ж(0) = Xq,

+00

J = I e-pf F(x(t))dt min,

J »()

0

^ 0 ^ u(t) ^ u+.

К этой модели при замене переменных может быть сведена известная модель потребления и накопления Рамсея [2]. Модель односекторной экономики [3], которая является обобщением модели Рамсея, и модель двухсекторной экономики в модифицированном виде [4] могут быть также преобразованы к рассматриваемой модели при определённом соотношении параметров.

Предполагается, что функция F(x) является дважды непрерывно дифференцируемой в R. При этом существует точка а > 0 такая, что F'(х) < 0 при х < а, F'(a) = 0, F\x) > 0 при х > а. Также предполагается, что F (х) >0 V.t б Я.

Решение рассматриваемой задачи оптимального управления зависит от того, может ли управляемая система поддерживать особый режим (■и(£) = а, = а). Сначала рассматривается случай а £ (0,-и+], в котором возможен особый режим. В этом случае управление, при котором управляемая система попадает на прямую х — а как можно быстрее и далее остаётся на этой прямой, является оптимальным. Справедливость этого результата доказывается непосредственной оценкой приращения функционала.

Модель Рамсея изучалась в книге [2] при условии, что а £ (0,и+]. В данной работе дополнительно исследуется случай а > и+, который оказался интересным с математической и методической точки зрения. В этом случае особый режим отсутствует, и оптимальное решение не удаётся найти рассуждениями, применяемыми в предыдущем случае. Поэтому для исследования задачи привлекается принцип максимума Понтрягина и теория оптимального управления [1].

С помощью принципа максимума исследуется поведение сопряжённой переменной и траекторий исходной системы. В работе показано, что оптимальное управление не может иметь более одной точки переключения. Функционал параметризуется с помощью этой точки переключения, после чего проводится анализ полученной функции на минимум, находится наилучшая точка переключения, и строится соответствующая пара - претендент на роль оптимального решения. Оптимальность построенной пары доказывается двумя способами.

Первый способ - прямая оценка приращения функционала на основании методики, применяемой при доказательстве теоремы о достаточных условиях оптимальности в форме конструкций принципа максимума Понтрягина [5]. При этом находится решение краевой задачи принципа максимума специального вида (с дополнительным требованием ф(+оо) = 0, где ф(-) — сопряжённая переменная). Условие трансверсальности ^(+оо) = 0 является предметом дискуссий. В различных ста-

тьях также используются другие условия трансверсальности (см., например, [6] и [7]). Однако в рассматриваемом случае применение именно этого вида условия трансверсальности позволяет решить вопрос оптимальности.

Для второго способа доказательства используется принцип максимума Понтрягина в классическом виде (без требования ф(+оо) — 0) и теорема существования оптимального управления [6]. Оптимальность пары (u(t),x(t)) следует из факта существования оптимального управления и того, что на этой паре достигается минимум функционала J среди всех пар, удовлетворяющих принципу максимума. Второй способ доказательства справедлив и при более общих предположениях на класс допустимых управлений и на функцию F(x).

Техника, используемая для первого способа доказательства, применима и в более сложных случаях, когда прямое применение принципа максимума в классическом виде невозможно. В разделе 1.10 рассматривается пример, в котором функция F(x) не является всюду дифференцируемой, несмотря на это, удаётся получить решение и доказать его оптимальность.

Вторая глава посвящена исследованию биологической модели, описывающей процесс роста колонии микроорганизмов.

Микробы усваивают питательные вещества, из которых они получают строительный материал, расходуемый в процессе роста. Строительный материал распределяется среди различных типов макромолекулярных структур. Таким образом, возникает проблема распределения ресурсов между различными молекулярными механизмами. Предполагается, что клетка микроба состоит только из двух химических элементов: углерода и азота. Считается, что клетка может синтезировать только два типа элементов механизма усвоения питательных веществ, первый ассимилирует питательные вещества, из которых клетка получает углерод, а второй ассимилирует питательные вещества, из которых клетка полу-

чает азот. Возникает проблема распределения строительного материала между усвоением углеродосодержащих питательных веществ и усвоением азотосодержащих питательных веществ. Возможны три варианта: клетка использует все свои запасы углерода и азота для синтеза элементов механизма усвоения питательных веществ («сбалансированный путь»), имеется избыток углерода (азот-дефицитный случай), имеется избыток азота (углерод-дефицитный случай). Предполагается, что клетка стремится выйти на «сбалансированный путь», где реализуется максимальная скорость её роста. Менее очевидно её поведение в условиях азот-дефицита или углерод-дефицита в предположении, что клетка старается максимизировать свою биомассу к заданному моменту времени. Цель оптимизационной задачи — нахождение оптимального поведения клетки в условиях недостатка углерода или азота.

В работе рассматривается следующая нелинейная управляемая динамическая система:

хг = Ш1 у<р{х), ж2 = ш2{1 ~ у)<р{х),

■ ( ЛФ(Х)

жх(0) = Хю > 0, ж2(0) = ж20 > о, у(0) =2/о е (0,1),

V

которая моделирует процесс роста клеток микроба при выбранном режиме распределения ресурсов. Фазовая переменная х\ — количество элементов механизма усвоения питательных веществ, которое могло быть синтезировано микробом при переработке всего имеющегося в наличии углерода, Х2 — количество элементов механизма усвоения питательных веществ, которое могло быть синтезировано микробом при переработке всего имеющегося в наличии азота. Действительное количество элементов механизма усвоения, имеющееся на данный момент, соответствует меньшему из этих двух: <р(х) = т1п{х1,Ж2}.

Функция Ф(£) = (р(х(Ь)) характеризует объём структурной биомассы в момент времени £, у(-) регулирует распределение внутренних ресурсов между двумя типами механизмов усвоения питательных веществ, а именно, переменная у Е (0,1) показывает, какая часть ресурсов идёт на воспроизводство элементов механизма усвоения углерода. Функция управления и(-), 0 ^ и ^ 1, отвечает за распределение вновь синтезированных ресурсов («строительных блоков»), и — это доля вновь синтезированных ресурсов, направленная на воспроизводство элементов механизма усвоения углерода. Цель процесса управления — максимизировать Ф(£) в конечный момент времени.

Рассматривается случай, когда микроб не способен достаточно быстро изменить соотношение между ассимиляторными механизмами (в противном случае и = у, задача является двумерной, решение которой найдено в работе [8]). Такая инерционная модель характерна для прокариотиче-ских клеток.

В естественном предположении, что клетка микроба старается максимизировать свою среднюю скорость роста, нетрудно показать (см. [8]), что в случае, когда жю = £20 и уо = функция гг(£) = \/£ ^ О, является наилучшим режимом управления. Легко проверить, что при таком законе управления х'1(£) = х'2(£), у(£) = Для всех £ ^ 0. Ситуация, когда (1x2/(1х\ = 1, известна в микробиологии как «сбалансированный рост». Таким образом, логично рассмотреть задачу выхода на «сбалансированный путь» роста в кратчайшее время. Эта задача быстродействия подробно изучена в [9] при ср{х) = и гею = х2о- В данной работе исследуется общий случай.

Заменой переменных трёхмерная задача сводится к двумерной, для которой построен оптимальный синтез, и проведено полное обоснование оптимальности. В том числе, показано, что оптимальное управление не может иметь более одной точки переключения, и построена линия переключения оптимального управления. Для рассматриваемой задачи при-

менение принципа максимума в явном виде невозможно, однако обоснование оптимальности удаётся провести непосредственным сравнением времени перехода в конечную точку. В работе приводится формула для вычисления оптимального времени перехода на «сбалансированный путь» из произвольной допустимой начальной точки.

В разделе 2.8 сравниваются два режима управления. Первый режим (режим быстродействия) решает задачу выхода клетки на «сбалансированный путь» роста в кратчайшее время. Второй режим

является наиболее интересным с биологической точки зрения. Он означает, что клетки микроба способны «правильно» реагировать на изменение плотностей внутренних резервов соответствующих механизмов усвоения питательных веществ.

Показано, что при достаточно большой длительности процесса управления режим быстродействия оказывается лучше второго с точки зрения максимизации биомассы.

В третьей главе рассматривается модель ведения рыбного хозяйства. Главной особенностью этой модели является то, что задача оптимального управления, описывающая эту модель, является нелинейной задачей с фазовым ограничением.

Изучается так называемая логистическая модель (или модель Шеф-фера) с отловом (см., например, [10], [11], [12]), которая описывается следующим дифференциальным уравнением

где — численность популяции в момент времени в, Щ — числен-

ность рыбы в начальный момент времени, г — удельная скорость роста (коэффициент г характеризует способность вида противостоять неблагоприятным воздействиям внешней среды), А^тах — ёмкость среды, или

другими словами, максимально возможная величина популяции в данном водоёме, д — удельный коэффициент улова (отношение числа выловленных рыб к количеству рыб, попавших в зону вылова) и II(в) характеризует интенсивность рыболовства. Предполагается, что численность рыбы ограничена снизу

N(s)^Nmin Узе [О,Т],

чтобы предотвратить возможное вымирание популяции.

Цель задачи оптимального управления — максимизировать дисконтированную прибыль, которая может быть представлена в виде функционала

г

3(11) = I е\р(з)ди(з)Щз) - с(и(з))} ¿з, о

где 5 > 0 — коэффициент дисконтирования, р(в) — функция цены, множитель ^[/(й)/^^) — количество выловленной рыбы, с(и) — затраты на вылов рыбы. Предполагается, что функция с(£У) является линейной, т. е. с(и) = с ■ и.

В книге [10] была предложена модель, в которой функция цены принимает постоянное значение ро до произвольного момента времени т. В момент времени т цена увеличивается на величину в, т. е.

( ч ( Ро, в < Г, ( Ро + о, в ^ т.

Предполагается, что т имеет экспоненциальное распределение с параметром 7. Увеличение цены может и не произойти на рассматриваемом отрезке времени. В [13] авторы в качестве функции прибыли берут математическое ожидание от J{U). т. е.

т

ЛР) = Ет3(11) = У е-5з{[Ро + в{1-е-^)]ди{з)М{з)-си(з)} ¿з.

Класс допустимых управлений состоит из всех кусочно-непрерывных функций, удовлетворяющих ограничению

О < и (в) ^ итах Уз > 0.

Задача максимизации функционала 3{и) по всем £/(•) € [0, итах) и является предметом исследования главы 3.

Эта задача рассматривалась многими авторами, см., например, работы [13], [14], [15], [16], [17], при различных функциях??^) и с(17) и различных значениях параметров, однако решение в них находится численно. В данной работе оптимальное решение задачи найдено в аналитическом виде.

С помощью принципа максимума Понтрягина для задач с фазовыми ограничениями (см. [18]) изучается вопрос о существовании особых режимов. Находятся условия на параметры модели, при которых особые режимы отсутствуют.

Исследуются различные режимы управления и соответствующие траектории задачи, оптимальные стратегии вылова находятся в аналитическом виде. Оптимальность построенной пары следует из факта существования оптимального управления и того, что для каждого набора параметров, удовлетворяющего предположениям задачи, существует единственная пара, удовлетворяющая принципу максимума.

Также рассматривается задача с дополнительным ограничением 7У(Т) = Л^(0) = Щ. Это ограничение имеет смысл при создании устойчивого рыбного хозяйства, в котором численность особей в конце рассматриваемого промежутка времени восстанавливается до первоначального значения. Находится оптимальное решение задачи.

В разделах 3.5 и 3.7 обсуждаются результаты расчётов, проведённых при значениях параметров модели, интересных для приложений. Эти расчёты иллюстрируют основные выводы теоретического характера.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Пучкова, Алёна Игоревна

Основные результаты докладывались на:

1. Международной конференции "Ломоносов - 2008" (Москва, МГУ имени М.В. Ломоносова, 7-11 апреля 2008).

2. Международной конференции "Ломоносов - 2010" (Москва, МГУ имени М.В. Ломоносова, 12-15 апреля 2010).

3. Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения - XXI" (Воронеж, Воронежский государственный университет, 3-9 мая 2010).

4. Научной конференции "Тихоновские чтения 2010" (Москва, МГУ имени М.В. Ломоносова, 25-29 октября 2010).

5. Международной конференции "Ломоносов - 2011" (Москва, МГУ имени М.В. Ломоносова, 11-15 апреля 2011).

6. Международной молодежной научно-практической конференции "Мобильные роботы и мехатронные системы" (Москва, НИИ механики МГУ, 3-5 октября 2011).

7. Научной конференции "Ломоносовские чтения" (Москва, МГУ имени М.В. Ломоносова, 14-23 ноября 2011).

8. IV международной конференции "Математическая биология и биоинформатика" (Пущино, 14-19 октября 2012).

Результаты опубликованы в статьях [30-37] и в качестве тезисов докладов [38-43].

В заключение выражаю искреннюю признательность своему научному руководителю, доценту М.В. Орлову за постоянное внимание к работе, многолетнюю помощь и всестороннюю поддержку. Хочу поблагодарить доцента Ю.Н. Киселёва за интерес к работе, консультации и ценные замечания, а также профессора A.B. Дмитрука за постановку задачи (1.1) и за ряд полезных советов.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Пучкова, Алёна Игоревна, 2013 год

Литература

1. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М., 1961.

2. Ашманов С.А. Математические модели и методы в экономике. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1980.

3. Киселёв Ю.Н., Орлов М.В. Исследование одномерных оптимизационных моделей в случае бесконечного горизонта // Дифференциальные уравнения. 2004. Т. 40, № 12. С. 1615-1628.

4. Киселёв Ю.Н., Аввакумов С.Н., Орлов М.В. Задача распределения ресурсов в двухсекторной экономической модели специального вида // Дифференциальные уравнения. 2009. Т. 45, № 12. С. 1756-1774.

5. Киселёв Ю.Н. Достаточные условия оптимальности в терминах конструкций принципа максимума Понтрягина // Математические модели в экономике и биологии: Материалы научного семинара. М.: МАКС Пресс, 2003. С. 57-67.

6. Асеев С.М., Кряжимский A.B. Принцип максимума Понтрягина и задачи оптимального экономического роста. Тр. МИАН, 2007. Т. 257.

7. Асеев С.М., Кряжимский A.B., Тарасьев A.M. Принцип максимума Понтрягина и условия трансверсальности для одной задачи оптимального управления на бесконечном интервале. Тр. МИАН, 2001. Т. 233. С. 71-88.

8. van den Berg H.A., Kiselev Yu.N., Orlov M.V. Optimal Allocation of Building Blocks Between Nutrient Uptake Systems in a Microbe // Journal of Mathematical Biology. 2002. no. 44. P. 276-296.

9. Киселёв Ю.Н., Орлов M.B. Задача быстродействия для одной нелинейной управляемой модели // Вестник Москов. ун-та. Сер. 15. ВМиК. 2002. № 2. С. 23-30.

10. Clark C.W. Mathematical Bioeconomics. New York: Wiley, 1976.

11. Schaefer M.B. Some Considerations of Population Dynamics and Economics in Relation to the Management of Marine Fisheries // Journal of the Fisheries Research Board of Canada. 1957. no. 14. P. 669-681.

12. Schaefer M.B. Some Aspects of the Dynamics of Populations Important to the Management of Commercial Marine Fisheries // Bulletin of the Inter-American Tropical Tuna Commission. 1954. no. 1. P. 27-56.

13. Goh C.J., Teo K.L. Species Preservation in an Optimal Harvest Model with Random Prices // Mathematical Biosciences. 1989. no. 95. P. 125— 138.

14. Jennings L.S., Teo K.L. A Numerical Algorithm for Constrained Optimal Control Problems with Applications to Harvesting // Proceedings of Dynamics of Complex Interconnected Biological Systems Workshop, eds. T.L. Vincent, A.I. Mees and L.S. Jennings. Birkhauser, Boston, 1990. P. 218-234.

15. Jennings L.S., Teo K.L. A Computational Algorithm for Functional Inequality Constrained Optimization Problems // Automatica. 1990. Vol. 26. P. 371-375.

16. Lee H.W.J., Teo K.L., Rehbock V., Jennings L.S. Control Parametrization Enhancing Technique for Optimal Discrete-Valued Control Problems // Automatica. 1999. Vol. 35. P. 1401-1407.

17. Teo K.L., Goh C.J., Wong K.H. A Unified Computational Approach to Optimal Control Problems. New York: Longman Scientific and Technical, 1991.

18. Арутюнов А.В., Карамзин Д.Ю., Перейра Ф. Принцип максимума для задач оптимального управления при ограниченных фазовых координатах в форме Р.В. Гамкрелидзе и его связь с другими условиями оптимальности // Доклады РАН. 2011. Т. 436, № 6. С. 738-742.

19. Берг X. ван ден, Киселёв Ю.Н., Орлов М.В. Исследование траекторий одной нелинейной системы дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. 2001. Т. 37, № 11. С. 1-10.

20. Cesari L. Optimization—Theory and Applications: Problems with Ordinary Differential Equations // Applications of Mathematics. New York: Springer-Verlag, 1983. Vol. 17.

21. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. M.: Факториал пресс, 2002.

22. Аввакумов С.Н., Киселёв Ю.Н. Быстродействующий синтез и функция Беллмана в задаче перевода фазового состояния микробиологической модели в особый режим // Сборник докладов к международной конференции "Распределённые системы: оптимизация и приложения в экономике и науках об окружающей среде" . Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 2000. С. 54-56.

23. Аввакумов С.Н., Киселёв Ю.Н. Быстродействующий регулятор для перевода фазового состояния микробиологической модели в особый режим // Сборник докладов к международной научной конференции "Нелинейный анализ и функционально-дифференциальные уравнения" . Воронеж: ВГУ, 2000. С. 36-38.

24. Avvakumov S.N., Kiselev Yu.N. Time Optimal Feedback Control and Bellman's Function for Transference Problem of Microbiological Model

Phase State into Singular Regime // Сборник докладов к международному семинару "Нелинейное моделирование и управление" . Самара: СГУ, 2000. С. 3-4.

25. Дубовицкий А.Я., Дубовицкий В.А. Необходимые условия сильного минимума в задачах оптимального управления с вырождением концевых и фазовых ограничений // УМН. 1985. Т. 40, № 2. С. 175-176.

26. Милютин A.A., Дмитрук A.B., Осмоловский Н.П. Принцип максимума в оптимальном управлении. Изд-во ЦПИ при мехмате МГУ, 2004.

27. Arutyunov A.V., Aseev S.M. Investigation of the Degeneracy Phenomenon of the Maximum Principle for Optimal Control Problems with State Constraints // SIAM J. Control Optimization. 1997. Vol. 35, no. 3. P. 930-952.

28. Jacobson D.H., Lele M.M., Speyer J.L. New Necessary Conditions of Optimality for Control Problems with State-variable Inequality Constraints // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1971. no. 35. P. 255-284.

29. Maurer H. On the Minimum Principle for Optimal Control Problems with State Constraints. Munster, Germany: Schriftenreihe des Rechenzentrums der Universität Munster, 1979.

30. Пучкова А.И. О стабилизации цепочки множеств при построении минимальной выпуклой оболочки // Сборник статей молодых учёных ф-та ВМиК МГУ. М.: МАКС Пресс, 2008. Т. 5. С. 98-100.

31. Пучкова А.И. Исследование модели распределения инвестиций на бесконечном промежутке времени // Сборник научных трудов ф-та ВМиК МГУ "Проблемы динамического управления". М.: МАКС Пресс, 2009. Т. 4. С. 124-143.

32. Puchkova A.I. Optimal Control in the Simplest Investment Allocation Model with Infinite Time Horizon // Сборник статей молодых учёных ф-та ВМиК МГУ. М.: МАКС Пресс, 2009. Т. 6. С. 146-157.

33. Пучкова А.И. О стабилизации цепочки множеств при построении минимальной выпуклой оболочки // Математическое образование. М.: Фонд мат. образования и просвещения, 2010. № 3-4 (55-56). С. 28-32.

34. Пучкова А.П., Киселёв Ю.Н., Кулевский A.B., Орлов М.В. Об одном подходе к построению минимальной выпуклой оболочки // Вестник Москов. ун-та. Сер. 15. ВМиК. 2011. № 2. С. 20-24.

35. Орлов М.В., Пучкова А.И. Исследование специальной модели распределения ресурсов на бесконечном промежутке времени // Вестник Москов. ун-та. Сер. 15. ВМиК. 2012. № 3. С. 12-20.

36. Орлов М.В., Пучкова А.И. Сравнение двух режимов управления в процессе роста колонии микроорганизмов // Вестник Москов. ун-та. Сер. 15. ВМиК. 2013. № 2. С. 17-19.

37. Орлов М.В., Пучкова А.И. Оптимальные стратегии вылова в модели ведения рыбного хозяйства // Прикладная математика и информатика. М.: Изд-во факультета ВМК МГУ, 2013. № 42. С. 62-75.

38. Пучкова А.И. Стабилизация цепочки множеств при построении минимальной выпуклой оболочки // Сборник тезисов XV международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных "Ломоносов - 2008", секция "Вычислительная математика и кибернетика". М.: МАКС Пресс, 2008. С. 71.

39. Пучкова А.И. Исследование модели распределения инвестиций на бесконечном промежутке времени // Материалы воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения - XXI". Воронеж: Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета, 2010. С. 185-186.

в/

40. Орлов М.В., Пучкова А.И. Исследование модели распределения инвестиций на бесконечном промежутке времени // Сборник докладов к научной конференции "Тихоновские чтения 2010". М.: МАКС Пресс,

2010. С. 35.

41. Пучкова А.И. Исследование инерционной модели распределения ресурсов между ассимиляторными механизмами в клетке микроба // Сборник тезисов XVIII международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных "Ломоносов - 2011", секция "Вычислительная математика и кибернетика". М.: МАКС Пресс,

2011. С. 45-47.

42. Пучкова А.И., Орлов М.В. Оптимальные стратегии вылова в одной модели рыбного хозяйства // Тезисы докладов научной конференции "Ломоносовские чтения", секция "Вычислительная математика и кибернетика". М.: МАКС Пресс, 2011. С. 95-96.

43. Пучкова А.И., Орлов М.В. Моделирование оптимального распределения ресурсов микробом в процессе усвоения двух типов питательных веществ // Сборник докладов IV международной конференции "Математическая биология и биоинформатика". М.: МАКС Пресс, 2012. С. 111-112.