Исследование экстремалей сложной структуры в задачах оптимального управления тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Самыловский Иван Александрович

• Самыловский Иван Александрович
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Самыловский Иван Александрович

Введение

1 Условия стационарности в задаче оптимального управления для траектории с выходом на фазовую границу на отрезке

§1.1 Базовый класс задач

1.1.1 Исследуемая траектория

1.1.2 Рассматриваемый тип минимума

§1.2 Сведение задачи А к задаче со смешанными ограничениями

§1.3 Получение условия стационарности в форме Дубовицкого-Милютина

1.3.1 Условия стационарности дня задачи В

1.3.2 Условия стационарности в терминах исходной задачи

1.3.3 Знакоопределенность множителя при фазовом ограничении и атомов меры

§1.4 Основной результат

§1.5 О скачках меры - множителя при фазовом ограничении

1.5.1 Об отсутствии скачков меры

1.5.2 Пример наличия скачка меры

§1.6 Пример нарушения условия неотрицательности плотности меры

§1.7 Обобщение полученного результата

1.7.1 Постановка задачи С

1.7.2 Сведение задачи С к задаче типа А

1.7.3 Условия стационарности дня задачи С

2 Классификация и анализ экстремалей в задачах о движении материальной точки в среде с трением

§2.1 Задача на фиксированном отрезке времени в отсутсвие гравитационного ноля

2.1.1 Постановка задачи

2.1.2 Существование и единственность оптимального решения

2.1.3 Принцип максимума ддд задачи Сг1

2.1.4 Анализ условий принципа максимума

2.1.5 Необходимые и достаточные условия реализации релейной формы оптимального управления

2.1.6 Получение условий наличия особого участка из геометрических соображений

2.1.7 Итерационный метод дня определения границ особого участка

2.1.8 Примеры вычислительных экспериментов

§2,2 Исследование оптимальных траекторий в задаче Годдарда со свободным временем окончания

2.2.1 Постановка задачи

2.2.2 Подготовка к исследованию

2.2.3 Формулировка принципа максимума дня задачи С2

2.2.4 Анализ принципа максимума

2.2.5 Алгоритм определения тина оптимальной траектории

§2,3 Исследование оптимальных траекторий в задаче Годдарда с ограниченным временем окончания

2.3.1 Зависимость типа оптимальной траектории от параметра д

2.3.2 Пример разбиения плоскости ТОд

§2,4 Классификация и исследование экстремалей задачи Годдарда па фиксированном отрезке времени

2.4.1 Постановка задачи

2.4.2 Подготовка к исследованию

2.4.3 Принцип максимума дня задачи С4

2.4.4 Анализ принципа максимума

2.4.5 Классификация экстремалей задачи С4

2.4.6 Схема выбора экстремалей дня анализа

2.4.7 Случай линейно-квадратичной функции сопротивления среды

2.4.8 Некоторые дополнительные свойства функции

2.4.9 Доказательство пеоитималыюсти траектории тина III

§2,5 Взаимосвязь между построенными задачами

3 Исследование оптимальных траекторий в задаче Ридса-Шеппа со свободным правым концом при различных ограничениях на линейную скорость

§3,1 Случай двустороннего ограничения на линейную скорость и € [-1,1]

3,1,1 Принцип максимума дня задачи (3,1) в случае двустороннего ограничения на линейную скорость

3.1.2 Анализ принципа максимума

3.1.3 Неонгималыюеть экстремалей типа 1а и IIa

3.1.4 Множества достижимости дня различных типов экстремалей

3.1.5 Построение оптимального синтеза

§3.2 Исследование локальной оптимальности траекторий тина 1а задачи с двусторонним ограничением на линейную скорость

3.2.1 Формулировка конечномерных задач

3.2.2 Применение условий второго порядка

§3.3 Случай одностороннего ограничения на линейную скорость и G [0,1]

3.3.1 Принцип максимума дня задачи (3.1) в случае одностороннего ограничения на линейную скорость

3.3.2 Анализ принципа максимума

3.3.3 Классификация экстремалей типов I и II

3.3.4 Неоптималыюеть экстремалей типов 1а и IIa

3.3.5 Неоптималыюеть экстремалей типов lb и IIb

3.3.6 Неоптималыюеть экстремалей тина IlbO

3.3.7 Построение и анализ множеств достижимости дня различных типов экстремалей

3.3.8 Построение оптимального синтеза

Заключение

Список цитируемой литературы

Список публикаций автора по теме диссертации

Список рисунков

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование экстремалей сложной структуры в задачах оптимального управления»

Введение

Актуальность темы. Начиная с середины XX века растущие потребности техники и промышленности стимулировали постановки задач, в которых требовалось найти оптимальную в некотором предписанном смысле траекторию динамической системы с ограниченными областями значений управляющих переменных. Изучение таких задач привело к появлению совершенно новой области науки - теории оптимального управления, центральный результат которой - принцип максимума Понтрягина |1| - стан мощным инструментом решения прикладных задач.

Одним из важнейших разделов теории оптимального управления является исследование задач с нелинейной динамикой и различными тинами ограничений, которым должна удовлетворять траектория изучаемой системы. Как правило, в таких задачах оптимальная траектория имеет сложную ("комбинированную") структуру, содержащую, например, выходы на фазовую границу, несколько переключений управления, а также участки так называемого особого управления, поэтому ее поиск требует разработки специальных методов. Кроме того, поскольку принцип максимума Понтрягина является лишь необходимым условием первого порядка, возникает необходимость получения и применения условий высших порядков (см., например, классическую книгу Р, Анриона |2| и монографию И,И, Осмоловского и X, Маурера |3|; см, также условия из работ К, Малаповского |4|, И,И, Осмоловского |5|, Ф, Боннанса и О, Херманд |6, 7| дня случая выходов на фазовую границу, условия из работы С, Аронны, Ф, Боннанса, A.B. Дмитрука и П, Лотито |8| дня случая комбинации релейных и особых участков и условия из работ Маурера и Осмоловского |9| и Осмоловского |10| дня случая нескольких переключений управления) дня более тонкого анализа оптимальности.

Так как задачи, с которыми сталкиваются специалисты но теории оптимального управления, исторически связаны с прикладными областями (механика полёта, ядерная физика, экономика и т.д.), структура динамической системы и классы, к которым принадлежат участвующие в её записи функции, подчинены логике предметной области, что не позволяют упростить или переформулировать задачу сверх некоторых продолов. В результате применение даже условий первого порядка зачастую оказывается весьма сложным.

Классическим примером являются задача о наискорейшем перемещении материальной точки из начального положения в конечное, с возможностью управления линейной скоростью точки и скоростью изменения курсового угла. Впервые подобная задача была постав-лона A.A. Марковым в работе |11|, в которой исследовался вопрос о прокладке кратчайшего железнодорожного маршрута. В современных терминах эта задача была сформулирована в работе Л. Дубинса |12|. Именно постановка Дубинса положила начало многочисленным исследованиям, среди которых необходимо выделить работу Дж, Ридеа и Л. Шенна 1131,также ставшую классической, где было рассмотрено управление не только скоростью изменения курсового угла, но и линейной скоростью движения, и были описаны все возможные тины экстремалей. Далее постановка Ридеа и Шенна исследовалась многими авторами (см. например, работы Г. Зуеемапа и Г. Тайга |14|, Ж. Бойсонната и соавторов |15|, А. Фуртуны и соавторов |16|, B.C. Падко и В.Л. Туровой |17-19|, К. Ли и С. Пайяпдеха |20|, А. Кастро и Д. Койллера |21|); полный синтез для задачи с фиксированным конечным направлением был построен П. Суэрееом и Ж. Ламопом в |22|. На примере последней работы особенно хорошо видно, что, несмотря па простоту уравнений движения (это трехмерная система х = и sin <ß, у = и cos ф = v), анализ условий оптимальности представляет большую сложность.

Зачастую даже в случае продольно конкретизированной постановки задачи, такой, в которой "общность" заключается лишь в наличии параметров, после выписывания необходимых условий первого порядка дальнейший анализ возможен лишь с использованием численных методов. Типичным примером является блок задач, связанных с оптимальными режимами вывода полезной нагрузки па орбиту. Судя но всему, первой работой, относящейся к этой области, была статья теоретика космонавтики Р. Годдарда |23|, в которой был поставлен вопрос о том, как следует управлять тягой вертикально поднимающейся ракеты, чтобы поднять ее па максимальную высоту. В современных терминах задача эта может быть сформулирована следующим образом:

где скалярные переменные h(t), v(t) описывают высоту и скорость подъема ракеты, m(t) есть общая масса корпуса ракеты и топлива, управление u(t) есть сила тяги двигателя, a D(h,v) и g(h) - сила сопротивления атмосферы и сила тяжести соответственно.

В литературе, посвященной различным модификациям и обобщениям этой задачи (упомянем здесь работы Д.Е, Охоцимекого |24|, Д.Е, Охоцимекого и Т.М. Эпсона |25|, Дж. Лейтмап-

h(0) = h0, т(Т ) = тт, г>(0) = v0, h(T) ^ max , га(0) = mo, и G [0,umax],

<

-

v =-

m

и — D(h,v) — g (h)

к m = —ßu,

im |26 281, Б, Гарфиикеля |29|, классическую монографию A.M. Лётова 1301, статьи П, Тсио-траса и X. Колли |31|, X. Сойвалда и Е. Клиффа |32|, Ф. Боннанеа, П. Мартииопа и Е. Тро-ла 1331, К, Грайхена и Н, Пети |34, 35|, Поиссарда, Грайхоиа, Н, Пети и Ж, Лоран-Варин |36|, И.Н. Каидобы, И.В. Козьмина, Е.К. Костоусова и В.И. Починского |37|, О. Бокаиовского и соавторов |38|), была обнаружена оо основная специфика, а именно наличие участка так называемого особого режима, дня определения границ которого применялись специальные численные методы (см., например, работы Мартииопа, Боииаиса н соавторов |33|, а также Аронны, Боннанса и Мартииопа |39|). Аналитическое исследование при этом практически невозможно в силу существенной нелинейности управляемой системы. Более того, остаются открытыми вопросы, связанные с изменением тина оптимального управления при изменении параметров задачи. В самом доле, долгое время основной интерес вызывала постановка задачи, при которой время вывода нагрузки на орбиту не фиксировано, а цель задачи заключается либо в минимизации этого времени, либо в максимизации высоты, либо в минимизации расхода топлива. Что происходит, если зафиксировать время полота? Как при этом будут меняться тины экстремалей и оптимальная траектория? Как будет меняться форма оптимального управления при изменении правой части системы уравнений движения (например, при рассмотрении различных функций сопротивления воздуха)? Наконец, можно ли упростить управляемую систему так, чтобы стало возможным ее аналитическое исследование, однако качественные свойства траектории, в частности, наличие особого участка, сохранились (подобные упрощения весьма актуальны дня механических систем, см., например, работы И.А. Асниса, A.B. Дмитрука и Н.П. Осмоловского |40|, а также B.C. Пацко, G.G. Кумкова и С. Ле Мепека |41, 42|)?

Еще один блок вопросов связан с исследованием задач оптимального управления, в которых па часть переменных наложены ограничения, называемых фазовыми (см., например, работы Маурера 143, 44|, X. Стэлфорда |45|, X. Зопера |46|, Ф. Рампаццо и Р. Винтера |47|, Б. Боппарда и соавторов |48|, X. Шеттлора |49|, а также монографию Д. Стюарта |50|). На сегодняшний день можно выделить три основных пути учета фазовых ограничений.

Первый путь, предложенный Р.В. Гамкрелидзе в конце 1950х годов, относится к случаю, когда оптиамальная траектория выходит па фазовую границу па отрезке (либо конечном число отрезков). В этом случае фазовое ограниченно па этом отрезке можно продифференцировать и свести к смешанному, и тогда дня редуцированной задачи (тина задачи Лаграпжа классического вариационного исчисления) можно получить условия оптимальности (см. |1|), Однако при этом возникает проблема определения знака скачка сопряженной переменной в точках стыка с фазовой границей.

Книга |1| оказала огромное влияние па развитие всей теории оптимизации. Она вызвала появление целого ряда работ, в которых задачи оптимизации рассматривались с общих позиций и предлагались абстрактные схемы получения условий оптимальности.

Наиболее общая схема, получившая широкую известность в силу своей прозрачности и эффективности, была предложена А,Я, Дубовицким и A.A. Милютиным в работе |51|, В частности, они предложили рассматривать фазовое ограничение как ограничение в пространстве непрерывных функций (см, также книги И,В, Гирсанова |52|, А.Д. Иоффе и В.М. Тихомирова 1531). Тогда соответствующий ему множитель есть элемент из сопряженного пространства, т.е. неотрицательная мера, сосредоточенная па множестве выхода оптимальной траектории па фазовую границу. При этом никаких априорных предположений о характере этого множества не делается. Однако сопряженной уравнение тогда содержит в правой части меру (точнее, ее обобщенную производную), т.е. получается дифференциальное уравнение нового, пока не изученного тина. Этим фактом обусловлены многочисленные попытки исключить меру из условий оптимальности, которые пока к успеху не привели. Исследования конкретных задач показали, что абсолютно непрерывная и атомарная составляющая меры реализуются во многих типичных случаях.

Таким образом, дня задач с фазовыми ограничениями были получены две формы условий оптимальности (в обоих случаях речь шла о принципе максимума) — форма Гамкрелидзе и форма Дубовицкого-Милютина, Форма Дубовицкого-Милютина более общая, однако форма Гамкрелидзе более простая по используемым понятиям и технике. Естественно, возникает вопрос о связи между ними, В статье Ф, Хартла, Р. Сети и Р, Виксопа |54| и позднее в статье A.B. Арутюнова, Д.Ю, Карамзина и Ф, Перейры |55| было показано, что из условий в форме Дубовицкого-Милютина вытекают условия в форме Гамкрелидзе (путем некоторой замены сопряженной переменной), однако возможность обратного перехода не была установлена.

Наконец, третий подход заключается во введении штрафа за нарушение фазового ограничения, Этот подход освещен, например, в работах Д. Снимана |56|, Б.Н. Пшеничного и С,О, Очилова |57|, Ф, Боппапса и Т, Гилбауда |58|, С.М. Асеева и А,И, Смирнова |59, 60|, Б, Ли и соавторов |61|, Ч, Джиапга и соавторов |62| и т.д. По идеям и методам он существенно отличается от первых двух, и настоящей работе мы его подробно не рассматриваем.

Объектом исследования в диссертационной работе являются задачи оптимального управления дня систем обыкновенных дифференциальных уравнений при наличии концевых и фазовых ограничений.

Предметом исследования являются экстремальные траектории комбинированной структуры (имеющие участки выхода на фазовую границу, точки переключения управления и участки особого управления) и необходимые условия оптимальности дня таких траекторий.

Целями диссертационной работы являются:

— Для траектории с выходом на фазовую границу на отрезке выяснить, возможно ли, основываясь на идее Гамкрелидзе, получить полный набор условий стационарности в форме Дубовицкого и Милютина, включая условия знакоопределенности множителя при фазовом ограничении и скачков сопряженной переменной,

— Провести исследование некоторых упрощенных вариантов классической задачи Год-дарда о подъёме метеорологической ракеты. Провести классификацию экстремалей в случае свободного, ограниченного и фиксированного интервала времени при наличии плоского постоянного ноля силы тяжести ноля. Изучить условия наличия особого участка и зависимость структуры оптимальной траектории от параметров задачи,

— Провести исследование модификаций кинематической задачи Ридса-Шениа на случай частично свободного правого конца в случае "одностороннего" (0 ^ и ^ 1) и "двустороннего" ( — 1 ^ и ^ 1) ограничения на управление, построить полный синтез оптимальных траекторий на плоскости хОу.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Для траектории с выходом на фазовую границу на отрезке показано, что путь получения условий стационарности, предложенный Гамкрелидзе |1|, позволяет получить полную систему условий в форме Дубовицкого-Милютина |64|, Дня этого предложен метод двухэтанного варьирования исследуемой траектории. На первом этане метода рассматриваются толь- ко те вариации которые не затрагивают траекторию на участке выхода на фазовую границу, что позволяет получить все условия, кроме уело- вий знакоопределенности плотности меры и ее скачков. На втором этане с помощью специальных вариаций, сосредоточенных на участке выхода, получаются требуемые условия знакоопределенности.

2, Построен набор задач максимизации терминального функционала, являющихся переходными от простейшей задачи с динамикой тина "тележка" |1, 631 к одномерной задаче Годдарда, Для системы на фиксированном отрезке времени в отсутствие гравитационного ноля определена структура оптимальной траектории, приведены условия, при которых она содержит особый участок и сформулирован численный метод дня отыскания границ этого участка. Для задач как на свободном, так и на ограниченном отрезке

времени при наличии постоянного гравитационного ноля также определена структура оптимальной траектории и проведен анализ ее изменения при изменении параметра ноля. Дня задачи на фиксированном отрезке времени при наличии постоянного гравитационного ноля проведена полная классификация экстремалей. Так как формулировка задачи допускает отрицательные значения вертикальной скорости объекта, получены новые тины возможных экстремалей,

3, Для задачи Ридса-Шениа со свободным направлением скорости на нравом конце, а также ее модификации на случай неотрицательной линейной скорости построен полный синтез оптимальных траекторий в плоскости (х,у).

Методы исследования: В диссертационной работе применяются необходимые условия оптимальности первого порядка в форме принципа максимума Понтрягина |1| и его обобщений (см., например книгу A.A. Милютина, A.B. Дмитрука, Н.П. Осмоловского |64|) и условий стационарности (см. |64| и работу A.B. Дмитрука и Н.П. Осмоловского |65|), необходимые и достаточные условия оптимальности дня чисто релейных управлений в форме Осмоловского и Маурера |3, 9|, условия наличия скачков при посадке на фазовое ограничение (см. книгу А.П. Афанасьева, В.В. Дикусара, A.A. Милютина и C.B. Чукаиова |66|, а также статьи A.B. Арутюнова |67| и А.В.Арутюнова, Д.Ю. Карамзина, Ф. Перейры |68|), методы "размножения" переменных дня сведения задач с промежуточными ограничения к стандартному виду (см. работу Ю.М. Волина и Г.М. Островского |69| и статьи A.B. Дмитрука и A.M. Кагановича |70, 71|), теоремы существования и единственности решений систем дифференциальных уравнений |72|, теоремы существования решения задач оптимального управления 173-751 а также теоремы сравнения решений дифференциальных уравнений |76|,

Научная новизна:

1. В некотором классе задач с фазовыми ограничениями дня траетории с выходом на фазовую границу на отрезке установлена эквивалентность подходов Гамкрелидзе и Дубовицкого-Милютииа к получению условий стационарности.

2. Метод размножения переменных и метод двухэтаиного варьирования использованы дня реализации подхода Гамкрелидзе.

3. Приведены постановки упрощенной задачи Годдарда, сохраняющие качественные свойства оптимальной траектории, в частности, наличие участка особого управления.

4. Приведено полное аналитическое решение этих задач в случае отсутствия гравитации, а также при наличии гравитации в случае свободного или ограниченного времени с

точностью до определения моментов времени переключения, для которых выписаны соответствующие уравнения,

5, Проведена полная классификация экстремалей в случае фиксированного времени. Установлено, что всего имеется 5 возможных типов экстремалей, среди которых неизвестные ранее,

6, Построен оптимальный синтез в модифицированных задачах Ридеа-Шеппа на плоскости в случае свободного значения курсового угла на правом конце. Такой синтез не может быть получен из синтеза в случае закрепленного правого конца.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит в основном теоретический характер. Предложенные методы и полученные результаты могут быть использованы для качественного исследования модельных задач оптимального управления, возникающих как из чисто математических, так и из прикладных областей. Методы, которыми получены условия стационарности в задаче с фазовыми ограничениями, могут быть также использованы для получения принципа максимума и необходимых условий второго порядка в таках задачах.

Достоверность изложенных в работе результатов обеспечивается строгостью математических доказательств и использованием апробированных научных методов.

Апробация работы. Основные результаты, изложенные в диссертационной работе, докладывались на следующих научных конференциях и семинарах:

- Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов" (Москва, 2011, 2012, 2013 годы).

- Ломоносовские чтения (Москва, 2013, 2016 годы)

- Научная конференция "Тихоновские чтения" (Москва, 2014, 2015 годы),

- Международная конференция "Differential Equations and Related Topics", посвященная И, Г, Петровскому (Москва, 2011 год),

- Международная конференция по матем, теории упр. и механике (Суздаль, 2011, 2015 годы),

- 3rd International Conf, on Control and Optimization with Industrial Appl, (Анкара, 2011 год),

- 12th Viennese Workshop on Optim, Cont,, Dvn, Games and Nonlin, Dynam, (Вена, 2012 год),

- 9th Asian Control Conference (ASCC 2013) (Стамбул, 2013 год),

- ICMC Summer meeting in differential equations 2013 (Сан-Карлуе, 2013, 2014 годы),

- European Control Conference (Цюрих, 2013 год; Линц, 2015 год).

- VII Московская международная конференция но исследованию операций (ORM2013) (Москва, 2013 год),

- XII Всероссийское совещание но проблемам управления (Москва, 2014 год),

- Современные проблемы математики и ее приложений. Международная (46-я Всероссийская) молодежная школа-конференция (Екатеринбург, 2015 год),

- II Международный семинар, посвященный 70-летию со дня рождения академика А,И, Субботина (Екатеринбург, 2015 год),

- Семинар Математического института имени В,А, Стеклова РАН "Проблемы математической теории управления" иод руководством чл.-корр. РАН С.М, Асеева н проф. М.С. Никольского, Москва, 16 октября 2015 года, 25 марта 2016 года,

- Научно-исследовательский семинар "Спектральная теория дифференциальных операторов и актуальные вопросы математической физики" иод руководством акад. РАН Е.И. Моисеева и проф. И,С, Ломова (Москва, 16 ноября 2015 года).

Публикации. Основные результаты но теме диссертации изложены в 24 печатных публикациях 177-1001, 6 из которых изданы в журналах и сборниках, рекомендованных ВАК |77, 80, 81, 90, 95, 96|, 4 — в прочих журналах и сборниках |82, 83, 88, 91|, 14 — в тезисах докладов |78, 79, 84-87, 89, 92-94, 97-100|.

тт ** тт « 1

Личныи вклад. Личным вклад автора заключается в формулировке и доказательстве основных теоретических результатов и проведении численных экспериментов. Научный руководитель А,В, Дмитрук является автором постановок задач и предложений по использованию подходов к их исследованию.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, библиографии, для удобства разделенной па список цитируемой .литературы и список публикаций по теме диссертации, и списка рисунков. Общий объем диссертации составляет 156 страниц, включая 51 рисунок. Библиография включает 100 наименований.

Во введении обосновывается актуальность исследований, проводимых в рамках данной диссертационной работы, приводится обзор научной .литературы но изучаемой проблеме, формулирутея цели работы, излагаются основные положения, выносимые па защиту, обосновываются научная новизна, а также теоретическая и практическая значимость представляемой работы.

В Главе 1 рассматривается следующий класс задач (задача А:) со скалярным фазовым ограничением глубины 1, наложенным на скалярную фазовую переменную:

(z = f(z,х,и), JA = J(z(0), z(T),х(0),х(Т)) ^ min, х = g(z ,х,и), <<s (u(t)) ^ 0, s = 1,...,d (<p), (1)

x{t) ^ 0.

Здесь zG Mra, х e R1, и e Mm, фазовые переменные z(-) и х(-) — абсолютно непрерывные функции, управление и(-) — измеримая ограниченная функция. Предполагается, что функции f, д, < размерностей п, 1, d(<p) определены и непрерывны вместе со своими частными производными по г,х,и первого порядка на некотором открытом множестве Q С Rra+1+m .

х

поэтому имеет наиболее простой вид.

Исследуется процесс w0 = (г°,х°,и°) задачи А такой, что траектория х°({) выходит на фазовую границу на некотором отрезке [t¿2], оде 0 < t(0 < t<2 < Т. Другими словами, отрезок А := [0,Т] разбит та три части Д1 := [0,t°[], Д2 := [t°0, t°], А3 := [t°,T], при этом х°(Ь) > 0 на [0, t0), х0(Ь) = 0 на Д2 и х°(Ь) > 0 на (Щ,Т]. Кроме того, пусть и0 непрерывна на А1, А3 и лиишицева на Д2 (мы для удобства считаем, что в точках t(0, t<2 функция и0 имеет два значения - левое и правое), причем <3(и0(1)) < 0 на Д2 для всех s, и в точках t(1, t<2 выполнены строгие неравенства

х0(t0 - 0) = g (г0(1°1),х0(1°1),и0(1°1 - 0^ < 0,

(2)

х°а°2 + 0) = д (г0(г02),х0(4),и0(4 + 0)) > 0,

т.е. посадка траектории на фазовую границу и сход с нее происходит с ненулевой производной, Дополнительно предположим, что д'и(г°(1), х°(1), и0(1)) = 0 на граничном отрезке Д2 , а градиенты ^[(и0^)), г € 1(и°(¿)), позитивно независимы при каждом £ € Д1 и Д3. Здесь 1(и) = {I | Рг(и) = 0} есть множество активных индексов.

Мы допускаем как равномерно малые вариации управления, так и малые вариации точек его разрыва, что соответствует рассмотрению так называемого "расширенного" слабого минимума (см., например, |65|)

В_аналогично | | вводится новое время г € [0,1] и переменная I на каждом отрезке

dt г

Дг рассматривается как новая фазовая переменная Ь¿(т), подчиненная уравнению —— = Рг(т), где функции Рг(т) > 0 есть новые, дополнительные управления, г = 1,2,3. На отрезке [0,1] вводятся фазовые переменные г\(т) = г( у^т) = х(и(т)), и управленне у^т) = и(Ь^т)),

так что выполнены уравнения

^Уг

■ = Рг{г) f — = р^Т) g(ri,yi,Vi),

1,2,3.

Таким образом, мы "размножаем" переменные исходной задачи, рассмотрев сужения фазовых переменных и времени на отрезки Д^, записанных как функции от нового времени, в качестве новых фазовых переменных.

Вместо фазового ограничения у2(т) ^ 0 на [0,1] рассматривается пара из концевого и

смешанного ограничений: у2(0) ^ 0, = 0, т.е. д(т2,у2,У2) = 0, а ограничения на

ат

управления записываются в виде <р(Уг(т)) ^ 0, рг > 0, г = 1,2,3. Поскольку в новой задаче мы будем рассматривать слабый минимум, открытые ограничения на рг можно не учитывать, так же как и ограничение <р(у2(т)) ^ 0, ибо по условию управление у0(т) проходит строго внутри него. Поскольку исходные фазовые переменные г, х на любой допустимой траектории непрерывны в точках ¿1,Ь2 (мало отличающихся от а отрезок [0,Т] фиксирован, мы

приходим к следующей задаче В на отрезке времени т € [0,1] :

' иТ'

= рг/(гг,Уг,Уг), п(1) - Г2(0) = 0, Г2(1) - Гэ(0) = 0

ат ¿у,

~Т = Pi9(ri,Уi,vi), Ш(1) - У2(0) = 0, У2(1) - Уэ(0) = 0 ат

В:

¿т

Рг,

¿1(0) = 0,

¿2(1) - ¿3(0) = 0, ¿э(1) - т = 0, д(г2,У2,^2) = 0, <РЫТ)) ^ 0, Зв = 3 (п(0),Гз(1),ш(0),уз(1)) ^ т1п.

¿1 (1) - ¿2(0) = 0,

Фз(т)) ^ 0,

(3)

В § 1.3 дня задачи В согласно |64| формулируются условия стационарности, которые переписываются в терминах исходной задачи А с участием некоторой меры, сосредоточенной

Д2,

ети и скачков этой меры получается па втором шаге метода с помощью вариаций, сосредоточенных на Д2. Тем самым устанавливается справедливость следующего утверждения, сформулированного в §1.4:

Теорема 0.0.1. Пусть допустимый процесс IV0 = (г°(1), х°(Ь), и°(Ь)) такой, что х(Ь) = 0 на Д2 := [¿ъ^0], х(~к) > 0 на [0,Т] \ Д2, <р^и0(£)) < 0 на, Д2 и выполнено предположение (2), доставляет расширенный слабый минимум в задаче А. Тогда найдутся липишцева функция, (£), константа с, функции фх(Ь), р(Ь), липшицевые на отрезках Дг, г = 1,2,3, с возможными разрывами в точках , и измеримая ограниченная функция к(Ь), порождающие

фу11,кцию Понтрягтш,

Н(t, z, х, и) = ipzf (z, х) + фх g(z, х, и), и расширенную функцию Понтрягина

Н = ipzf (z, х, и) + фх g(z, х, и) + рх — hip (и),

так что выполнены: сопряженные уравнения, с условиями трансверсальности,

Фг = —Н, фz (0) = .Гт, фг (Т) = —J'Z{T),

фх = —Н 'х, фЛ0) = J'XQ)> Ф(Т) = —Jz(T), условия, скачка, сопряженной переменной

(4)

Афх(t0) = -ДМ) ^ 0, Афх(12) = -Ap(t°°) ^ 0, (5)

условия, неотрицательности:

ß(t) ^ 0 почти всюду на, А2, h(t) ^ 0, (6)

закон, сохра,нения, энергии

Н (t ^(1)х0(1)и0(1)) = С, (7)

условия, дополняющей нежесткости

у(1)х0(Ъ) = 0, h(t)<p(u0(t)) почти, всюду на, [0,Т] (8)

и условие стационарности по управлению

Н'и (г,г°(г),х°(г),и°(г)) = 0 на [0,т]. (9)

В § 1.5 приводится пример задачи, в которой сопряженная переменная, соответствующая стационарной траектории, имеет скачки меры (в случае сильного минимума траектория, удовлетворяющая (1.2), не порождает скачков меры - см., например, монографию |66| и последующие статьи |67, 681),

z=(l -£-)и4 + (— - Ли2, и2 - 1 ^ 0, х = и,

V 2) \2 ) , ^ , , (10)

J = z(0) - z(3) + е (х(0) + х(3)) ^ min , х ^ 0.

Здесь z,x,u G R. Пусть Ai = [0,1], А2 = [1,2], Аз = [2,3]. Рассматривается траектория, порожденную управлением и = (-1,0,1) на А1, А2, А3, для которой х = (1 — t, 0, t — 2) на А1, А2, А3, соответственно. Показывается, что эта траектория стационарна, причем соответствующая ей сопряженная переменная имеет скачки, равные —£, в точках посадки на фазовую границу и схода с нее,

В § 1.6 приводится пример, показывающий, что условие знакоопределенности плотности меры является существенным, т.е. не вытекает из прочих условий стационарности. Задача имеет вид

zi(T) + (zi(0) — zi)2 + (^2(0) — Z2)2 + (ж(0) — же)2 + (х(Т) — хт)2 ^ min, -¿1 = (¿2 — a)(z2 — b)x, ¿2 = 1, (11)

х = и, х ^ 0, |w| ^ 1.

Здесь г = (z1,z2) G R2 , параметры 0 < а < b < Т произвольные фиксированные. Рассматривается траектория, на которой и° = (—1, 0,1) на интервалах (0,а),(а,Ь),(Ь,Т) соответственно, ^е(0) = 0, ze(i) = i, а x°(t) = 0 на [a,b] и, следовательно, x°(t) = а — t > 0 при t < а и x°(t) = t — b при t > b. Показывается, что для нее найдется система множителей Лагранжа, удовлетворяющая всем условиям стационарности, кроме условия ß ^ 0, которое нарушается в силу того, что множитель при фазовом ограничении имеет вид ß = (t — a)(t — b) < 0 на А2.

Наконец, в § 1.7 приводится обобщение теоремы па случай задачи

_ ,У = f (У,u), Jc := J (У(0),У(Т)) ^ min , Задача С: \

ip (u(t)) ^ 0, Ф(у(Ь)) ^ 0,

в которой фазовое ограничение наложено па всю совокупность фазовых переменных, и па задачу с терминальными ограничениями тина равенства и неравенства. Результаты Главы 1 изложены в работах 177-791.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Самыловский Иван Александрович, 2016 год

Список цитируемой литературы

1. Математическая теория оптимальных процессов / Л,С, Понтрягин, В,Г, Болтянский, Р.В, Гамкрелидзе, Е.Ф, Мищенко, — Москва: Наука, 1969,

2. Анрион Р. Теория второй вариации и ее приложения в оптимальном управлении, — Москва: Наука, 1979,

3. Maurer H., Osmolovskii N.P. Applications to Regular and Bang-Bang Control: Second-Order Necessary and Sufficient Optimality Conditions in Calculus of Variations and Optimal Control (Advances in Design and Control), — SIAM, 2012,

4. Malanovski K. Sufficient optimality conditions for optimal control subject to state constraints // SIAM J. Control Optim. - 1997. - Vol. 35, no. 1. - Pp. 205-227.

5. Osmolovskii N.P. Second order conditions in optimal control problems with mixed equality-type constraints on a variable time interval // Control and Cybernetics. — 2009. — Vol. 38, no. 4B. - Pp. 1535-1556.

6. Bonnans J.F., Hermant A. Second-order analysis for optimal control problems with pure state constraints and mixed control-state constraints // Ann. I. H. Poincare. — 2009. — Vol. 26. - Pp. 561-598.

7. Bonnans J.F., Hermant A. No-gap second-order optimality conditions for optimal control problems with a single state constraint and control // Math. Program., Ser. B. — 2009. — Vol. 117. - Pp. 21-50.

8. Quadratic order conditions for bang-singular extremals / M.S. Aronna, J.F. Bonnans, A.V. Dmitruk, P.A. Lotito // Numerical Algebra, Control and Optimization. — 2012. — Vol. 2, no. 3. - Pp. 511-546.

9. Maurer H., Osmolovskii N.P. Second order sufficient conditions for time-optimal bang-bang control // SIAM J. on Control and Optim. - 2003. - Vol. 42, no. 6. - Pp. 2239-2263.

10. Osmolovskii N.P. On Second Order Necessary Conditions for Broken Extremals //J. Optim. Theory Appl. - 2015. - Vol. 164, no. 2. - Pp. 21-50.

11. Марков А.А. Несколько примеров решения особого рода задач о наибольших и наименьших величинах // Сообщения Харьковского математического общества. — 1889. - Т. 2, № 1. - С. 250-276.

12. Dubins I.E. On curves of minimal length with a constraint on average eurvatue and with prescribed initial and terminal positions and tangents // American J. of Math. — 1957. — Vol. 79, no. 1. - Pp. 497-516.

13. Reeds J.A., Shepp I.A. Optimal path for a car that goes both forwards and backwards // Pacific J. of Math. - 1990. - Vol. 145, no. 2. - Pp. 367-393.

14. Sussman H.J., Tang G. Shortest paths for the Eeeds-Shepp car: a worked out example of the use of geometric techniques in nonlinear optimal control: Tech. Rep. SYCON-91-lO: Dept. of Math., Rutgers University, 1991.

15. Boissonnat J.-D., Cerezo A., Leblond J. Shortest Paths of Bounded Curvature in the Plane // J. of Intelligent and Robotic Syst. — 1994, — Vol, 11, no, 1, — Pp. 5-20,

16. Generalizing the Dubins and Eeeds-Shepp ears: fastest paths for bounded-veloeitv mobile robots / A,A, Furtuna, D.J, Balkcom, H, Chitsaz, P. Kavathekar // IEEE Intern, Conf, on Robotics and Automation, Pasadena, CA, USA, May 19-23, 2008. - 2008.

17. Пацко B.C., Турова В.Л. Игра "шофёр-убийца" и её модификации // Вестник Удмуртского университета. — 2008. — JV2 2. — С. 105-110.

18. Patsko V.S., Turova V.L. From Dubins' car to Reeds and Shepp's mobile robot // Comput. Visual Sci. - 2009. - Vol. 12, no. 1. - Pp. 345-364.

19. Patsko V.S., Turova V.L. Homidial chauffeur game: history and modern studies. — Ekaterinburg: Inst, of Math, and Mechanics, Rus. Acad, of Sciences Ural Branch, 2009.

20. Li Q., Payandeh S. Optimal-control approach to trajectory planning for a class of mobile robotic manipulations // J. of Engeneering Math. — 2010. — Vol. 67, no. 1. — Pp. 369-386.

21. Castro A. L., К oilier J. On the dynamic Markov-Dubins problem: From path planning in robotics and biolocomotion to computational anatomy // Reg. and chaotic Dyn. — 2013. — Vol. 18, no. 1. - Pp. 1-20.

22. Soueres P., Laumond J.-P. Shortest path synthesis for a car-like robot // IEEE Trans, on Automatic Control. — 1996. — Vol. 41, no. 5. — Pp. 672-688.

23. Goddard R.H. A method on reaching extreme altitudes // Smitsonian Miscellaneous Collection. - 1919. - Vol. 71, no. 2. - Pp. 1-82.

24. Охоцимский Д.Е. К теории движения ракет // Прикл. матем. и механика. — 1946. — Т. 10, № 2. - С. 251-272.

25. Охоцимский Д.Е., Энеев Т.М. Некоторые вариационные задачи, связанные с запуском искусственного спутника Земли // Успехи физ. наук. — 1957. — Т. 63, JV2 1а. — С. 33-50.

26. Leitmann G. A Calculus of Variations Solution of Goddard's problem // Astronautica Acta.

- 1956. - Vol. II, no. 1. - Pp. 55-62.

27. Leitmann G. A Note on Goddard's problem // Astronautica Acta. — 1957. — Vol. Ill, no. 4.

- Pp. 237-240.

28. Leitmann G. The Calculus of Variations and Optimal Control. — NY: Plenum Press, 1981.

29. Garfinkel B. A solution of the Goddard problem // BRL rep. 409 855. — 1963. — Pp. 1-31.

30. Jl'emoe A.M. Динамика полета и управление. — Москва: Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1969.

31. Tsiotras P., Kelley H.J. Goddard Problem with Constrained Time of Flight // Journal of Guidance, Control and Dynamics. — 1992. — no. 2. — Pp. 289-296.

32. Seywald H., Cliff E.M. Goddard problem in presence of a dynamic pressure limit // Journal of Guidance, Control and Dynamics. — 1993. — Vol. 16, no. 4. — Pp. 776-781.

33. Bonnans J. F., Martinon P., Trelat E. Singular arcs in the generalized Goddard's Problem // J. Optimization Theory and Applications. — 2008, — Vol, 139, no, 2, — Pp. 439-461,

34. Graichen K., Petit N. Solving the Goddard problem with thrust and dynamic pressure constraints using saturation functions // Proe, of the 17th World Congress IFAC Seoul, Korea,

- 2008. - Pp. 14301-14306.

35. Ascent optimization for a heavy space launcher / C. Ponssard, K. Graichen, N. Petit, J. Laurent-Varin // Proceedings of the European Control Conference 2009, Budapest, Hungary, August 23-26, 2009. - 2009. - Pp. 3033-3038.

36. Numerical study of optimal trajectories with singular arcs for an Ariane 5 launcher / P. Martinon, F. Bonnans, J. Laurent-Varin, E. Trelat //J. Guidance, Control, and Dynamics. — 2009. - Vol. 32, no. 1. - Pp. 51-55.

37. Об управлении e поводырем в задаче оптимального выведения ракеты-носителя / И.Н. Кандоба, И.В. Козьмин, Е.К. Коетоуеова, В.И. Починский // Вести. Тамбов, унта. Сер. Естеств. и техн. науки. — 2015. — Т. 20, JV2 5. — С. 1194-1206.

38. Global optimization approach for the climbing problem of multi-stage launchers / O. Bokanowski, E. Bourgeois, A. Désilles, H. Zidani // Preprint system HAL. — 2015.

- Vol. hal-01113819, - Pp. 1-26.

39. Aronna M.S., Bonnans J.F., Martinon P. A shooting algorithm for optimal control problems with singular ares //J. Optimization Theory and Applications. — 2008, — Vol, 158, no, 2,

- Pp. 419-45.

40. Аснис И. А., Дмитрук А. В., Осмоловский H. П. Решение е помощью принципа максимума задачи об энергетически оптимальном управлении движением поезда // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 1985. — Т. 25, JV2 11. — С. 1644-1655.

41. Differential Game Model with Two Pursuers and One Evader / S.A. Ganebnv, S.S. Kumkov, S. Le Ménec. V.S. Patsko // Contributions to Game Theory and Management. — 2012. — Vol. 5. - Pp. 83-96.

42. Кум,ков С. С., Пацко В. С., Менек С. ле. Два слабых преследователя в игре против одного убегающего // Автомат, и телемех. — 2014. — № 10. — С. 73-96.

43. Maurer Н. On optimal control problems with bounded state variables and control appearing linearly // SIAM J. Control Optim. - 1977. - Vol. 15. - Pp. 345-362.

44. Maurer H. On the minimum principle for optimal control problems with state constraints // Schriftenreihe des Rechenzentrums der Universitaet Muenster. — 1979.

45. Stalford H. Sufficient conditions for optimal control with state and control constraints //J. Optim. Theory Appl. - 1971. - Vol. 7. - Pp. 118-135.

46. Soner H.M. Optimal control with state-space constraints // SIAM J. Control Optim. — 1986.

- Vol. 24. - Pp. 552-561.

47. Rampazzo F., У inter R. A theorem on existence of neighbouring trajectories satisfying a state constraint, with applications to optimal control // IMA J. Math. Control Inform. — 1999. - Vol. 16. - Pp. 335-351.

48. Optimal control with state space constraints and the space shuttle re-entry problem / B, Bonnard, L, Faubourg, G, Launav, E, Trelat //J. Dynam. Cont. Syst. — 2003, — Vol, 9, — Pp. 155-199.

49. Shaettler H. Local fields of extremals for optimal control problems with state constraints if relative degree 1 // J. Dynam. Cont. Syst. — 2006. — Vol. 12, no. 4. — Pp. 563-599.

50. Stewart D. E. Dynamics With Inequalities: Impacts and Hard Constraints. — SIAM, 2011.

51. Дубовицкий А.Я., Милютин А.А. Задачи на экстремум при наличии ограничений // ЖВМ и МФ. - 1965. - Т. 5, № 3. - С. 395-453.

52. Гирсапов И.В. Лекции по теории экстремальных задач. — Москва: МГУ, 1970.

53. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. — Москва: Наука, 1974.

54. Hartl F.H., Sethi R. G., Vickson R. G. A survey of the maximum principles for optimal control problems with state constraints // SIAM Review. — 1995. — Vol. 37, no. 2. — Pp. 181-218.

55. Arutyunov A. V., Karamzin D. Y., Pereira F.L. The Maximum Principle for Optimal Control Problems with State Constraints by E.V. Gamkrelidze: Revisited // J. of Optim. Theory and Appl. - 2011. - Vol. 149, no. 3. - Pp. 474-493.

56. Snyman J. A. Penalty function solutions to optimal control probems with general constraints via a dynamic optimisation method // Comput. Math. Appl. — 1992. — Vol. 23, no. 11. — Pp. 47-55.

57. Пшеничный Б. H., Очилов С. О. О задаче оптимального прохождения через заданную область // Кибернетика и вычисл. техника. — 1993. — Т. 99. — С. 3-8.

58. Bonnans J.-F., Guilbaud Т. Using logarithmic penalties in the shooting algorithm for optimal control problems // Optim. Control Appl. and Methods. — 2003. — Vol. 24. — Pp. 257-278.

59. Асеев С. M.. Смирнов А. И. Принцип максимума Понтрягина для задачи оптимального прохождения через заданную область // Доклады Академии Наук. Математика. — 2004. - Т. 395, № 5. - С. 583-585.

60. Aseev S. М., Smirnov А. I. Necessary first-order conditions for optimal crossing of a given region // Comput. Math, and Modeling. — 2007. — Vol. 18, no. 4. — Pp. 397-419.

61. Li В., Yu C., Duan G.-R. An exact penalty function method for continuous inequality constrained optimal control problem // Journal of Optimization Theory and Applications. — 2011. - Vol. 151, no. 2. - Pp. 260-291.

62. An exact penalty method for free terminal time optimal control problem with continuous inequality constraints / C. Jiang, Q. Lin, C. Yu, G.-R. Duan // Journal of Optimization Theory and Applications. — 2012. — Vol. 154, no. 1. — Pp. 30-53.

63. Фелъдбаум А.А. Оптимальные процессы в системах автоматического регулирования // Автомат, и телемех. — 1953. — Т. 14, № 6. — С. 712-728.

64. Милютин А.А., Дмитрук А.В., Осмоловский Н.П. Принцип максимума в оптимальном управлении. — Москва: Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова, механико-математический факультет, 2004.

65. Dmitruk A. V., Osmolovskii N.P. Necessary conditions for a weak minimum in optimal control problems with integral equations on a variable time interval // Discrete and Cont. Dynam. Syst. - 2015. - Vol. 35, no. 9. - Pp. 4323-4343.

66. Необходимое условие в оптимальном управлении / А.П. Афанасьев, В.В. Дикуеар, А.А. Милютин, С.В. Чуканов, — М,:Наука, 1990.

67. Арутюнов А.В. Свойства множителей Лагранжа в принципе максимума Понтрягина для задач оптимального управления е фазовыми ограничениями // Дифференциальные уравнения. — 2012. — Т. 48, JV2 11.

68. Арутюнов А.В., Карамзин Д.Ю., Перейра Ф.Л. Условия отсутствия скачка решения сопряженной системы принципа максимума в задачах оптимального управления е фазовыми ограничениями // Тр. ИММ УрО РАН. — 2014. — Т. 20, JV2 4. — С. 29-37.

69. Волин Ю.М., Островский P.M. Принцип максимума для разрывных систем и его применение к задачам е фазовыми ограничениями // Изв. вузов. Радиофизика. — 1969. — Т. 12, № И. - С. 1609-1621.

70. Дмитрук А.В., Каганович A.M. Принцип максимума для задач оптимального управления е промежуточными ограничениями // Нелинейная динамика и управление. — Т. 6. — Физматлит Москва, 2008. — С. 101-136.

71. Dmitruk A.V., Kaganovich A.M. The Hybrid Maximum Principle is a consequence of Pon-trvagin Maximum Principle // Syst. and cont. let. — 2009. — Vol. 57, no. 11. — Pp. 964-970.

72. Тихонов A.H., Васильева В.В., Свешников С.Г. Дифференциальные уравнения: Учебник для вузов. - 5-е изд. — Москва: Физматлит, 2005.

73. Филиппов А.Ф. О некоторых вопросах теории оптимального регулирования // Вестник МГУ, сер. матем., мех., астрон., физ., хим. — 1959. — JV2 2. — С. 25-32.

74. Seierstad A., Sydsaeter К. Optimal Control Theory with Economic Applications (Advanced Textbooks in Economics). — Amsterdam: North-Holland, 1987.

75. Milyutin A.A., Osmolovskii N.P. Calculus of variations and optimal control. — Providence, Rhode Island: American Math. Society, 1998.

76. Чаплыгин С.А. Новый метод приближенного интегрирования дифференциальных уравнений (в сборнике "С.А. Чаплыгин. Избранные труды"). — М,:Наука, 1976. — С. 307-322.

Список публикаций автора по теме диссертации

77. Дмитрук A.B., Самыловский H.A. Об условиях стационарности в задаче оптимального управления для траектории е простым выходом на фазовую границу // Вестник Московского унив. Серия, 15: Вычисл. матем. и кибернетика. — 2016. — JVS 2. — С. 6-14.

78. Дмитрук A.B., Самыловский И. А. Об условиях стационарности в задаче оптимального управления для траектории е простым выходом на фазовую границу // Тихоновские чтения - 2015: Тезисы докладов. — МАКС Пресс Москва, 2015. — С. 21-21.

79. Дмитрук А.В., Самыловский И. А. О получении необходимых условий в задаче оптимального управления для траектории е простым выходом на фазовую границу // Ломоносовские чтения - 2016: Тезисы докладов, — факультет вычислительной математики и кибернетики, — МАКС Пресс Москва, 2016, — С, 104-105,

80. Dmitruk А. V., Samylovskiy I.A. A simplified Goddard problem in the presence of a nonlinear media resistance and a bounded thrust // Proceedings of European Control Conference (ECC), Zurich, 2013. - IEEE Xplore, United States, 2013. - Pp. 341-346.

81. Dmitruk A. V., Samylovskiy I.A. On a trollev-like problem in the presence of a nonlinear friction and a bounded fuel expenditure // Proceedings of the 9th Control Conference (ASCC). - IEEE Xplore [Piseatawav, N.J.], United States, 2013. - Pp. 1-6.

82. Dmitruk A.V., Samylovskiy I.A. A simple trollev-like model in the presence of a nonlinear friction and a bounded fuel expenditure // Discussiones Mathematicae Differential Inclusions, Control and Optimization. — 2013. — Vol. 33, no. 2. — Pp. 135-147.

83. Дмитрук А.В., Самыловский И.А. Исследование оптимальных траекторий в некоторых модификациях простейшей задачи о движении материальной точки е нелинейным сопротивлением и ограниченным расходом топлива // XII Всероссийское совещание по проблемам управления (ВСПУ-2014), Москва, 16-19 июня 2014 г. Труды. — ИПУ РАН Москва, 2014. - С. 629-632.

84. Dmitruk A.V., Samylovskiy I.A. On the optimal trajectories in a simple material point motion problem in the presence of a nonlinear friction and a bounded fuel expenditure // VII Московская международная конференция по исследованию операций (ORM2013): Труды. - Vol. 1. - МАКС Пресс, Москва, 2013. - Pp. 47-49.

85. Самыловский И.А. Об особых режимах в простейшей задаче о движении материальной точки е нелинейным сопротивлением и ограниченным расходом / / XX Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоноеов-2013», — Секция вычиел, матем, и кибернетики, — 11 ¡дат отдел факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ имени М.В, Ломоносова Москва, 2013, — С, 145-146,

86. Samylovskiy I.A., Dmitruk А. V. On the simplified Goddard problem in the presence of the nonlinear friction and the bounded fuel expenditure // ICMC Summer Meeting on Differential Equations 2014 Chapter. Book of Abstracts. — Sao Paolo, Brazil, 2014. — Pp. 91-91.

87. Самыловский И.А. Исследование оптимальных траекторий в упрощенной постановке задачи о максимизации высоты подъема материальной точки / / Тезисы докладов II Международного семинара, посвященного 70-летию со дня рождения академика А.И.Субботина. - МММ УрО РАН, УРФУ Екатеринбург, 2015. - С. 118-119.

88. Самыловский И.А. Классификация оптимальных траекторий в упрощенной задаче Год-дарда // Современные проблемы математики и ее приложений. Труды 46-й Международной молодежной школы-конференции. — Институт математики и механики УрО РАН Екатеринбург, 2015. — С. 50-55.

89. Samylovskiy I.A. Optimal trajectories classifeation and analysis in some modifeations of the rocket flight maximal height problem // Международная конференция по математической теории управления и механике. Тезисы докладов. Суздаль, 3-7 июля 2015 года. — МИЛН Москва, 2015. - Pp. 186-187.

90, Dmitruk A.V., Samylovskiy I.A. Optimal trajectories in a maximal height problem for a simplified version of the Goddard model in case of generalized media resistance function // Proceedings of European Control Conference (ECC), Linz, 2015, — 2015, — Pp. 1938-1943,

91, Самыловский И.А. Применение условий второго порядка в исследовании локальной оптимальности некоторых траекторий в задаче Ридса-Шеппа // Сборник статей молодых ученых факультета ВМК МГУ, — Т. 8, — Издательский отдел факультета ВМК МГУ имени М.В, Ломоносова; МАКС Пресс Москва, 2011, — С, 117-123,

92, Dmitruk A.V., Samylovskiy I.A. Optimal synthesis in the Reeds and Shepp Problem // Международная конференция по математической теории управления и механике. Тезисы докладов, — МИЛН Суздаль, 2011, — Рр, 236-238,

93, Dmitruk А. V., Samylovskiy I.A. Optimal synthesis and local optimality of some extremals in the Reeds and Shepp problem // 3rd International Conference on Control and Optimization with Industrial Applications (COIA - 2011), Final program and book of abstracts, — COIA-2011 Ankara, 2011. - Pp. 58-59.

94. Дмитрук А.В., Самыловский И.А. Оптимальный синтез в задаче Ридса-Шеппа с односторонним направлением скорости // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления. — Тезисы доклада на XII международной конференции им. Пятницкого (Москва, 5-8 июня 2012 г.). - ИПУ РАН Москва, 2012. - С. 115-117.

95. Dmitruk A.V., Samylovskiy I.A. Optimal Synthesis in the Reeds and Shepp Problem with Onesided Variation of Velocity // J. of Optim. Theory and Appl. — 2013. — Vol. 158, no. 3.

- Pp. 874-887.

96. Dmitruk A.V., Samylovskiy I.A. Optimal synthesis in the Reeds and Shepp problem with a free final direction // J. of Dynam. and Cont. Syst. — 2013. — Vol. 19, no. 3. — Pp. 309-325.

97. Dmitruk A.V., Samylovskiy I.A. Optimal synthesis in the Reeds and Shepp Problem / / Международная конференция «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы» посвященная 110-й годовщине со дня рождения выдающегося математика И.Г.Петровского. Сборник тезисов. — МГУ Москва, 2011. — Pp. 32-33.

98. Самыловский И.А. Изучение локальной оптимальности отдельных траекторий в задаче Ридса-Шеппа // Сборник тезисов XVIII Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоноеов-2011», — Вычиел, матем. и кибернетика.

— Издат, отдел факультета ВМК, 2011, — С, 48-49,

99, Самыловский И.А. Оптимальный синтез в задаче Ридса-Шеппа с односторонним направлением скорости // XIX международная научная конференция «Ломоноеов-2012»: Сб. тезисов, — МАКС Пресс Москва, 2012, — С, 65-66,

100, Samylovskiy I.A., Dmitruk А. V. First- and second-order analysis of the time-optimal trajectories in the Reeds and Shepp problem with free final direction // MAT70 - VI Workshop on Dynamical Systems Celebrating the 70th Birthday of Marco Antonio Teixeira. Book of Abstracts. — Campinas, Brazil, 2014. — Pp. 45-46.

Список рисунков

2.1 Траектория ОВР порождается релейным управлением, траектория ОАИЕ -релейно-оеобым..................................... 58

2.2 ф) = х2/2,Т<Ттах.................................

2.3 ф) = х2/2, Т = 4 >Ттах...............................

2.4 ф) = х2/2, Т = 5 >Ттах...............................

2.5 Множество значений скорости х(Ь) в задаче (2.17) Для различных значений параметра д. Жирная линия соответствует верхней границе, тонкая - нижней. 63

2.6 Сход с уровня ^(¿') = а с ^(¿') = 0 .........................

2.7 Заход на уровень ф(^) = а с ^(¿") = 0.......................

2.8 Кривая Г........................................

2.9 Ттах = 3.414422 .....................................

2.10 Вариант схода с уровня ф') = а с ф(^) = 0....................

2.11 Вариант захода на уровень ^(¿") = а с ^(¿") = 0 .................

2.12 Случай 1.1.а ...................................... 83

2.13 Случай 1.1.Ь ...................................... 84

2.14 Случай 1.1.с....................................... 85

2.15 Случай 1.2.а ...................................... 86

2.16 Случай 1,2,Ь ...................................... 87

2.17 Случай 1.3 ....................................... 88

2.18 Случай Ш.1.Ь ..................................... 91

2.19 Случай III.1.с...................................... 91

2.20 Случай III.2.а, р(хт^п) — ^ р(х~) — —, ................... 92

а а^

2.21 Случай III.2.а, р(хт^п)--< <р(х~)...................... 93

а а

2.22 Случай Ш.2.Ь, фтгп) — — ^ ф~) — —, ................... 94

а а^

2.23 Случай 111.2.Ь, р(хт^п) — < ф~) — —, ................... 95

а а

2.24 Графики В (¿0) и С (го) . . .

2.25 Взаимосвязь между задачами построенного семейства.............. 108

3.1 Случай возрастания вгп(р — в) при ф > 0 .....................

3.2 Случай убывания вт(р — 9) при ф > 0.......................

3.3 Дуга ОА' короче дуги ОА .............................

3.4 Дуга ОА' короче дуги ОА .............................

3.5 График ф(Ь) для траектории типа 1Ь, 0 < 7 < о..................

3.6 Множество достижимости дня траекторий типа 1Ь................. 119

3.7 График ф для траекторий типа 1с, 11с: Т = 0 < ^ ^ л/2 ........... 120

3.8 График ф для траектории типа ИЬО: о = л/2, 0 < ^ ^ л/2 ........... 121

3.9 График ф для траектории тип а ПсО: 0 < ^ ^ л/2.................

3.10 Множества достижимости в нервом квадранте................... 122

3.11 Выбор оптимальной траектории в множествах Z3 и Z4..............

3.12 Синтез оптимальных траекторий .......................... 124

3.13 Сопряженная переменная ф^ ............................

3.14 Сопряженные переменные............................... 126

3.15 Фазовые траектории.................................. 127

3.16 Графики 8т(^(£) — 0) и ф(Ь).............................

3.17 Время движения по траектории ОВ {ОВС) меньше, чем по ОАВ (ОАВС .....

3.18 График ф, соответствующей траектории типа 1Ь: 0 < 7 < а, 0 < а ^ л/2. Отметим, что при а = л/2 график функции ф явзяется касательным к горизонтальной оси..................................... 140

3.19 Траектория ОВ "лучше" траектории ОАВ..................... 140

3.20 График ф, соответствующей траектории типа ПЬО: 0 ^ к/2, о = л/2 . . . 141

3.21 Траектория ОС "лучше" траектории ОАВС.................... 141

3.22 График ф, соответствующей траекториям типов 1с и 11с: 0 ^ у ^ л, 0 < а ^ л/2 . .

3.23 Множества достижимости дня траекторий типов 1с и Пс............. 143

3.24 График ф, соответствующей траектории типа ПсО: 0 ^ у ^ л, а = л/2.....144

3.25 Множества достижимости дня траектории тина ПсО............... 144

3.26 Синтез оптимальных траеткорий .......................... 146