Исследование методов моделирования и разработка программного обеспечения для изучения фрактальных свойств системы N тел тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат технических наук Дехканбаев, Дмитрий Саттаркулович

• Дехканбаев, Дмитрий Саттаркулович
• кандидат технических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат технических наук Дехканбаев, Дмитрий Саттаркулович

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1 .КЛАССИЧЕСКИЕ ФРАКТАЛЫ И МЕТОДЫ ИХ ИССЛЕДОВАНИЯ

1.1. История изучения искусственных и естественных фракталов

1.1.1. Треугольник Паскаля

1.1.2. Пыль Кантора

1.1.3. Кривые, заполняющие плоскость

1.1.4. Кривая Коха

1.1.5. Салфетка Серпинского

1.1.6. Множества Жулиа

1.2. Фракталы, некоторые свойства, примеры

1.2.1. Свойства фракталов

1.2.2. Примеры фракталов в различных науках

1.2.3. Примеры использования фракталов

1.2.4. Построение фракталов

1.3. Фрактальные размерности, определения

1.4. Численные методы определения фрактальной размерности

1.4.1. Плотность стохастических фрактальных структур

1.4.2. Двухточечная условная лучевая концентрация

1.4.3. Метод корреляционных функций

1.4.4. Сравнение методов анализа распределения галактик 48 Выводы

ГЛАВА 2. ПОСТРОЕНИЕ ТРЕХМЕРНЫХ ТОЧЕЧНЫХ СТРУКТУР С ЗАДАННЫМИ СВОЙСТВАМИ

2.1. Реализация методов построения N точечных фракталов

2.1.1. Однородное заполнение

2.1.2. Пыль Леви

2.1.3. Вселенная Фурнье

2.1.4. Бета каскад

2.2. Оценка вычислительной сложности

Выводы

ГЛАВА 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ФРАКТАЛЬНОЙ РАЗМЕРНОСТИ ТРЕХМЕРНЫХ

ТОЧЕЧНЫХ СТРУКТУР

Введение

3.1. Метод объемной условной плотности

3.1.1. Программная реализация метода объемной условной плотности

3.1.2. Процедура нахождения фрактальной размерности с помощью метода объ- 81 емной условной плотности

3.1.3. Квази обол очечная условная плотность

3.1.4. Применение метода условной плотности к исследованию ДНК

3.2. Метод оболочечной условной плотности 86 3.2.1. Процедура нахождения фрактальной размерности с помощью метода обо- 89 лочек

3.3. Метод цилиндров (двухточечная условная концентрация)

3.3.1. Сравнение методов условной плотности и цилиндров

3.3.2. Аналитическое исследование метода цилиндров

3.3.3. Программная реализация метода цилиндров

3.3.4. Процедура нахождения фрактальной размерности с помощью метода 99 цилиндров

3.3.5. Изменения в программе, позволяющие считать быстрее

3.4. Ускорение вычислений при работе с точечными структурами. Метод ячеек

3.5. Параллельные вычисления на кластерной вычислительной системе

3.5.1. Основные понятия параллельных вычислений

3.5.2. Используемое программное и аппаратное обеспечение

3.5.3. Распараллеливание используемых алгоритмов

3.6. Оценка погрешностей

3.7. Оценка времени выполнения

3.8. Сравнение методов вычисления фрактальной размерности на тестовых 118 фракталах

Выводы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование методов моделирования и разработка программного обеспечения для изучения фрактальных свойств системы N тел»

Актуальность работы

За последние десятилетия использование вычислительной техники стало общепризнанным инструментом исследования в различных областях знаний. Современная вычислительная техника позволяет проводить численные эксперименты, заполняющие разрыв между предсказаниями теории и результатами лабораторных экспериментов.

Одним из приоритетных направлений фундаментальной науки является исследование крупномасштабной структуры Вселенной. По мнению ряда ученых-астрофизиков, распределение светящихся объектов (галактик, квазаров) в пространстве обладает свойством самоподобия, причем это свойство сохраняется при увеличении дальности наблюдений [66]. Поэтому в качестве геометрической модели пространственного распределения наблюдаемых объектов системы N тел — используется фрактальная геометрия. В настоящее время фрактальная размерность является общеиспользуемой характеристикой неоднородности распределения светящегося вещества в наблюдаемой области Вселенной. Этим обусловлено повышенное внимание к изучению существующих методов вычисления фрактальной размерности и разработке специальных методов, приспособленных к специфическому пространственному распределению точек, изображающих светящиеся объекты. Эта специфика, в частности, связана с ограниченной выборкой объектов на небесной сфере наблюдения стоят дорого и данных по всему небу на сегодня еще нет. Наблюдения крупномасштабной структуры Вселенной организуются в тонких слоях, а большинство методов вычисления фрактальной размерности неприменимы при такой геометрии данных.

В настоящее время отсутствуют работы, проводящие систематическое исследование методов вычисления фрактальной размерности трехмерных точечных структур на тестовых объектах — фракталах с заданными свойствами. Появление нового метода вычисления фрактальной размерности — метода цилиндров, позволяющего вычислять фрактальную размерность в слоях, делает крайне актуальной задачу его исследования на тестовых объектах. Проведение такого исследования добавит новый «инструмент» к числу уже имеющихся методов вычисления фрактальной размерности трехмерных точечных структур, применимый при такой геометрии данных, в которой неприменимы остальные методы. Эти вычисления требуют больших вычислительных мощностей. Процедура моделирования включает в себя:

• получение экспериментальных данных (координат светящихся объектов в тонких слоях);

• построение соответствующей фрактальной структуры;

• вычисление фрактальной размерности;

• распространение фрактальной структуры на другие части Вселенной.

Пункты 1 и 4 решаются астрофизиками.

Цель работы

Целью работы является разработка и исследование методов построения фракталов с заданной размерностью, разработка программного обеспечения для изучения фрактальных свойств системы N тел и сравнение методов вычисления фрактальной размерности точечных структур на тестовых объектах с использованием параллельных вычислений.

Задачи работы

• Исследование методов построения фракталов с заданными свойствами. Использование фракталов, построенных с помощью этих методов в качестве тестовых объектов для исследования методов вычисления фрактальной размерности;

• анализ существующих методов вычисления фрактальной размерности, выявление их недостатков и достоинств;

• разработка программного обеспечения для изучения фрактальных свойств системы N тел на параллельных вычислительных системах;

• сравнение методов вычисления фрактальной размерности на примерах генерации регулярных и стохастических фрактальных структур.

Предмет исследования

Предметом исследования являются методы генерации трехмерных точечных структур с заданной фрактальной размерностью и методы вычисления фрактальной размерности трехмерных точечных структур.

Методы исследования

Поставленные в диссертационной работе задачи решаются на основе численных методов с использованием параллельных вычислений, теории фрактальных структур и теории вероятностей.

Научная значимость работы

Научная значимость работы состоит в исследовании нового метода вычисления фрактальной размерности — метода цилиндров. Исследование нового метода на тестовых объектах и сравнение с другими методами добавляет его в ряд "инструментов"для нахождения фрактальной размерности трехмерных точечных структур. Такой подход — сравнение методов вычисления фрактальной размерности на наборе тестовых фракталов — используется впервые.

Практическая значимость работы

Практическая значимость работы состоит в установлении области применения методов вычисления фрактальной размерности, формулировки критериев, позволяющих производить вычисления фрактальной размерности на точечном трехмерном множестве с заданной точностью, разработке рекомендаций для использования этих методов, разработке пакетов соответствующих программ.

Научная новизна В работе новыми являются следующие результаты:

• предложена модификация алгоритма построения пыли Леви, позволяющая получить регулярные структуры;

• предложен способ организации подвыборок трехмерных точечных структур с заданной геометрией;

• произведена оценка временной сложности методов генерации трехмерных точечных фрактальных структур с использованием вероятностного подхода;

• разработаны параллельные версии методов условной плотности и метода цилиндров;

• разработан метод ячеек, ускоряющий вычисление фрактальной размерности трехмерных точечных структур; произведена оценка временной сложности методов вычисления фрактальной размерности и времени выполнения программ, реализующих эти методы при помощи вероятностного и статистического подхода; проведено аналитическое и численное исследование нового метода вычисления фрактальной размерности трехмерных точечных структур — метода цилиндров; модернизирован метод цилиндров — увеличена точность вычисления фрактальной размерности.

Положения, выносимые на защиту

На защиту выносятся следующие результаты:

Исследование методов построения трехмерных точечных фрактальных структур и методов вычисления фрактальной размерности. Оценка временной сложности и времени выполнения исследованных методов.

Метод ячеек для ускорения вычисления фрактальной размерности трехмерных точечных структур и уменьшения временной сложности методов объемной и оболочечной условных плотностей. Использование параллельных вычислительных структур для уменьшения времени выполнения программ, реализующих рассмотренные методы.

Аналитическое и численное исследование нового метода вычисления фрактальной размерности трехмерных точечных структур — метода цилиндров. Модернизация метода цилиндров для уменьшения времени выполнения и увеличения точности.

Результаты сравнения методов вычисления фрактальной размерности точечных структур на тестовых объектах: точность вычисления величины фрактальной размерности, область применения методов, способы настройки для увеличения точности вычисления фрактальной размерности.

• Комплекс программ для вычисления фрактальной размерности трехмерных точечных структур методами условной плотности и цилиндров, а также создания трехмерных точечных структур с заданной фрактальной размерностью и геометрией.

Апробация работы

Основные положения работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях:

• Всероссийская астрономическая конференция 2001, Санкт- Петербург;

• Пятая, шестая и седьмая научные сессии аспирантов ГУАП 2002- 2004, Санкт-Петербург;

• Международная научная конференция Новая Геометрия Природы 2003, Казань.

Публикации

Основные результаты работы изложены в 12 публикациях.

Структура и объем работы

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и двух приложений. Объем работы без приложений — 130 стр., работа содержит 7 таблиц и 43 рисунка, список литературы содержит 88 наименований.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Дехканбаев, Дмитрий Саттаркулович

Основные результаты, полученные в диссертации: предложена модификация алгоритма построения пыли Леви, позволяющая получить регулярные структуры с выделенным центром. Используя такие структуры в качестве тестовых входных данных для программ вычисления фрактальной размерности, можно проверить, как они определят не фрактальные структуры; предложен способ организации подвыборок трехмерных точечных структур с заданной геометрией. Вырезая слои из фрактальных структур можно смоделировать вид выборок в астрономических наблюдениях, что позволяет использовать их для тестирования методов вычисления фрактальной размерности для данной области исследований; произведена оценка временной сложности методов генерации трехмерных точечных фрактальных структур с использованием вероятностного подхода. Для всех рассмотренных методов она составляет О(А^), разница состоит лишь в определении числа N по входным параметрам метода. При создании однородного заполнения и пыли Леви N задается явно, во вселенной Фурнье N = 7к, где к - число шагов, в бета каскаде N = тк, где га - число кубов, остающихся на каждом шаге для последующего деления; разработаны параллельные версии методов условной плотности и метода цилиндров. Эффективность предложенного распараллеливания Е & 99%. Это позволяет исследовать более крупные структуры. Точность вычисления фрактальной размерности напрямую зависит от числа точек N исследуемой структуры; разработан метод ячеек, ускоряющий вычисление фрактальной размерности трехмерных точечных структур. Ускорение зависит от настроек ускоряемых методов и вида входных данных. Для однородного распределения точек в пространстве и "стандартных"настройках методы условной плотности работают в Vа раз быстрее, где к - число ячеек. Если установить к ~ А/"4/3, где N - число точек во входных данных, то временная сложность уменьшится от 0(А2) до Для метода цилиндров данный способ ускорения подходит меньше, однако, при тех же условиях ускоряет работу в среднем в 3,5 раза; произведена оценка временной сложности методов вычисления фрактальной размерности и времени выполнения программ, реализующих эти методы при помощи вероятностного и статистического подхода. Методы условной плотности имеют временную сложность порядка 0(Ы2), а метод цилиндров 0(А3). Поэтому разумно применять метод цилиндров в тех случаях, когда он дает более точный результат вычисления фрактальной размерности — т.е. в случае сильно вытянутой/сжатой области, заполненной точками; проведено аналитическое и численное исследование нового метода вычисления фрактальной размерности трехмерных точечных структур метода цилиндров. Метод по точности сравним с известными методами объемной и оболочечной условной плотности. Область применения метода шире (слои, конусы), а временная сложность больше (0(А3) против 0( А2)); модернизирован метод цилиндров — увеличена точность вычисления фрактальной размерности. Предложено исключать крайние интервалы из рассмотрения при аппроксимации численных данных, полученных методом, для вычисления фрактальной размерности. Это обусловлено выделенными точками, на которых строится цилиндр. В результате этого, плотность точек в концах цилиндра будет либо больше (в случае включенных границ), либо меньше (в случае исключенных границ цилиндра) аналитически вычисляемого значения. Это позволяет увеличить точность вычисленной величины фрактальной размерности на 10-15%;

• сравнение методов вычисления фрактальной размерности на примерах генерации регулярных и стохастических точечных фрактальных структур с разной геометрией позволило изучить область применения методов, сформулировать рекомендации по использованию каждого метода, позволяющие выбрать подходящий и настроить его;

• разработано программное обеспечение, зарегистрированное в отраслевом фонде алгоритмов и программ (пункты 7-12 приложения 1). Программы разработаны для выполнения на кластерной вычислительной системе, что позволяет уменьшить время их выполнения. Кроме астрофизических наблюдательных данных, разработанное программное обеспечение может быть применено и к другим системам К-тел. Но это потребует дополнительной доработки.

Автор благодарен М. Б. Игнатьеву, А. Л. Громову, Ю. В. Барышеву, Ю. Л. Бухмастовой и А. И. Лавровой за поддержку в работе и полезные обсуждения, Ю. Е. Шейнину и Д. Сьюзону за предоставленные вычислительные мощности.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Дехканбаев, Дмитрий Саттаркулович, 2004 год

1. Александров В.В., Горский Н.Д. Представление и обработка изображений. Рекурсивный подход. J1. 1985.

2. Александров В.В. Развивающиеся системы. СПб. 2000.

3. Ахо А. В., Хопкрофт Дж., Ульман Дж. Д. Структуры данных и алгоритмы. М.: Изд. дом «Вильяме», 2001.

4. Барышев Ю. В. Современное состояние наблюдательной космологии// Итоги Науки и Техники. Серия Классическая теория поля и теория гравитации. Т. 4: Гравитация и космология. 1992. С. 89-135.

5. Барышев Ю. В. Иерархическая структура Метагалактики// Изв. CAO. Т. 14. 1981. С. 24 -43.

6. Барышев Ю. В., Бухмастова Ю.Л. Метод условной лучевой концентрации для оценки фрактальной размерности распределения галактик. Письма в астрономический журнал. 2004. Т. 30. №6. С.1—7.

7. Божокин С. В., Паршин Д. А. Фракталы и мультифракталы. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2000.

8. Бухмастова Ю. Л., Барышев Ю. В. Метод определения фрактальной размерности// Всероссийская Астрономическая Конференция. Сб. 2001. С. 23.

9. Вирт Н. Алгоритмы + структуры данных = программы. М.: Мир. 1985.

10. Воеводин В. В., Воеводин Вл. В. Параллельные вычисления. М. Изд-во БХВ, 2002.11. Глейк Дж. Хаос. 2001.

11. Городецкий А. Я., Заборовский В. С. Информатика. Фрактальные процессы в компьютерных сетях. СПб.: Изд-во СПбГТУ, 2000.

12. Дьюдни А. К. Множество Мандельброта и родственные ему множества Жюлиа// В мире науки. 1988. № 1. С. 88—93.

13. Евсеев И. MPI для начинающих: Учеб. пособие/ http://www.csa.ru:81/ il/mpitutor/. 2003.

14. Игнатьев M. Б. Голономные автоматические системы. Изд-во АН СССР, M-J1., 1963.

15. Игнатьев М. Б. Лингво-комбинаторное моделирование плохо формализованных систем// Информационно-управлящие системы. 2003. №6. С. 34-37.

16. Карпов Б., Баранова Т. С++ специальный правочник. СПб.: Питер, 2001.

17. Кожевникова Г. П. Структуры данных и проектирование эффективной вычислительной среды. Львов: Изд-во ЛГУ, 1986.

18. Коржов В. Linux и параллелизм// Открытые системы/http://www.citforum.ru/operatingsystems/linux/linuxparall/. 2003.

19. Корн Г. и Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1974.

20. Корнеев В. В. Параллельные вычислительные системы. М.: Нолидж, 1999.

21. Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. М.: Постмаркет, 2000.

22. Кузюрин H. Н. Сложность комбинаторных алгоритмов: Курс лекций. 2003.

23. Лацис А. О. Как построить и использовать суперкомпьютер. М.: Бестселлер, 2003.

24. Левин Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники. Т.1. М., 1974

25. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы/ М.; Ижевск, Ин-т компьютерных исследований. 2002.

26. Немнюгин С., Стесик О. Параллельное программирование для многопроцессорных вычислительных систем. СПб.: БХВ, 2002.

27. Пиблс Дж. Структура вселенной в больших масштабах М.: Мир, 1983. Страуструп Б. Язык программирования С++. М.: Бином, СПб.: Невский Диалект, 2000. Федер Е. Фракталы М.: Мир, 1991.

28. Фракталы в физике// Тр. VI международного симпозиума по фракталам в физике, Италия, Триест, 9—12 июля, 1985г./ МЦТФ; Под ред. Л. Петронеро и Э. Тозатти, М.: Мир, 1988.

29. Шинкаренко В. И. Об оценке эффективности алгоритмов с учетом архитектуры ЭВМ. Ком-пютерное моделирование. Тезисы докладов межгосударственной научнопрактической конференции. Днепродзержинск: Изд-во ДГТУ, 2000.

30. Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Ижевск: РХД, 2001.

31. Эрлих А. Технический анализ товарных и фондовых рынков, М.: Инфра-М. 1996.

32. Alexandrov V.V., Gorsky N.D. Cognition through visual perception. World scientific, 1991.

33. Barnsley M. F. Fractals everywhere. 1990.

34. Baryshev Yu. V. On the fractal nature of the large scale structure of the universe. Astron.Astrophys.Transactions. 1994. V. 5. P. 15—23.

35. Baryshev Yu. V. An upper limit on hidden mass of fractals of galaxies// Сообщения CAO. Вып. 64. 1990. С. 86-88.

36. Baryshev Yu. V. Stability of supermassive stars in the field gravitation theory// Problems of high energy physics and field theory. M.: Nauka, 1991. XIII. P. 61 66.

37. Baryshev Yu. V. Pulsation of supermassive star in the tensor field gravitation theory// Variability of Blazars/ Cambridge Univ. Press. 1992. P. 52—54.

38. Baryshev Yu. V. Conceptual problems of fractal cosmology. Astron.Astrophys.Transactions. 2000. V. 19. P. 417-435.

39. Baryshev Yu. V., Raikov A. A., Tron A. A. Gravitational lensing inside fractal structure// Gravitational lenses in the Universe. Liege, 1993. P. 365—368.

40. Baryshev Yu. V., Labini F. S., Montuori M., Pietronero L. Facts and ideas in modern cosmology. Vistas in Astronomy. 1994. V. 38. P. 419-500.

41. Baryshev Yu.V., Labini F. S., Montuori M., Pietronero L. Teerikorpi P. On the fractal structure of galaxy distribution and its implications for cosmology// Fractals. 1998. V. 6. P. 231—243.

42. Baryshev Yu., Teerikorpi P., Discovery of Cosmic Fractals. World Scientific Publ. Co., 2002.

43. Brooks C. L., Karplus M., and Pettit В. M. Proteins: A theoretical perspective of dynamics, structure and thermodynamics. N. Y.: John Wiley, 1988.

44. Castagnoli C., Provenzale A. A fractal cascading model for the large scale galaxy distribution// Vistas in Astronomy. 1990. V. 33. P. 323—335.

45. Castagnoli C., Provenzale A. From small-scale fractality to large-scale homoge-neity: a family of cascading models for the distribution of galaxies// Astronomy &; Astrophisycs. 1991- V. 246. P. 634-643.

46. Chen F. F. Introduction to plasma physics. N. Y.: Plenum Press, 1998.

47. Chiang L. Y., Coles P. Phase information and the evolution of cosmological density perturbations// Mon.Not.Roy.Astron.Soc. 2000. V. 311. P. 809-824.

48. Davis, M. Is the universe homogeneous on large scales? //Critical Dialogues in Cosmology/ Ed. N. Turok. World Scientific. Singapore, 1997. P. 13-23.

49. Frederickson P., Kaplan J. L., Yorke S. D., Yorke J. A. The Liapunov dimension of strange attractors// Journal of Different Equations. V. 49. 1983. P. 185—207.

50. Gabrielli A., Labini F. S., Joyce M. and Pietronero L. Statistical physics for cosmic structures. 2003. P. 103-105.

51. Garcia A. Numerical Methods for Physics. Prentice-Hail. 1994.

52. Gefen Y., Mandelbrot В. В., Aharony A. Critical phenomena on fractal lattices// Phys. Rev. Lett. 1980. V. 45. P. 855-858.

53. Gordon J. M., Goldman A. M., Maps J., Costello D., Tiberio R., Whitehead B. Superconducting-normal phase boundary of a fractal network in a magnetic field// Phys. Rev. Lett. 1986. V. 56. P. 2280 2283.

54. Gould H. and Tobochnik J. An Introduction to Computer Simulation Methods. Addison Wesley, 1988. Parts 1 and 2.

55. Gromov A. L., Dehkanbaev D. S., Yakutseni P. P. Geometrical interpretation of a single DNA and realated fractal// Joint International Scientific Conference. 2003. V. 4. P. 14—16.

56. Guzzo L., Large-scale structure from galaxy and cluster surveys, astro-ph/0207285, 2002.

57. Нао В., Lee H. C., Zhang S. Fractals related to long DNA sequences and complete genome// Chaos Solitons & Fractals. 2000. V. 11. P. 825-836.

58. Hutchinson J. E., Fractals and Self Similarity// Indiana University Mathematics Journal. 1981. V. 30. JV®5. P. 713-747.

59. Hawkes J. Hausdorff measure, entropy and the independence of small sets.// Pr. Of the London Mathematical Society. (3). 1978. №28. P. 700—724.

60. Labini S. F., Amendola L. Power spectrum of self-similar distribution// Astrophys. J. 1995. V. 468. P. L1-L4.

61. Labini S. F., Gabrielli A., Pietronero, L. Statistical Physics for Cosmic Structures. N. Y.: Springer-Verlag, 2003.

62. Labini S. F., Montuori M., Pietronero, L., Scale-invariance of galaxy distribution// Phys. Rep. 1998. V. 293. P. 61 226.

63. Mandelbrot B. B. The fractal geometry of nature. N. Y. 1983.

64. Mandelbrot B. B. Fractal lacunarity and scenarios for the near-isotropic distribution of galaxies. N. Y. 2001.

65. Mandelbrot B. B. Fractals: Form, Chance, and Dimension. Freeman. San Francisco, 1977.

66. Martinez V. J., Saar E. Statistics of the Galaxy Distribution, USA, CRC Press LLC, 2002. N.W.

67. Martinez V. J., Is the Universe Fractal?// Science, 1999. V. 284. P. 445-446.

68. Martinez V. J., Saar E., Statistics of the galaxy distribution. Chapman & Hall/CRC. N.Y. 2002.

69. Martinez V. J., Saar E., Clustering statistics in cosmology, astro-ph/0209208. 2002.

70. Mitchison G. J. and Wilcox M., Rule governing cell division in anabaena// Nature, 1972. V. 239. P. 110-111.

71. Peebles, P.J.E. Principles of physical cosmology/ Princeton Univ. Press Princeton, 1993.

72. Peebles, P.J.E. The Large-Scale Structure of the Universe/ Princeton Univ. Press Prinston. New Jersey, 1980.

73. Peitgen H.-O., Jurgens H., Saupe D. Chaos and fractals New frontiers of science. USA, N. Y.: Springer-Verlag, 1993.

74. Pietronero L., Montuori M., Labini F. S. On the fractal structure of the visible universe// Critical Dialogues in Cosmology/ Ed. N. Turok; World Scientific. Singapore, 1997. P. 24—49.

75. Pietronero, L. The fractal structure of the Universe: correlations of galaxies and clusters and the average mass density// Physica A. 1987. V. 144. P. 257—284.

76. Prusinkiewicz P., Graphical application of L-systems// Proceeding of Graphics Interface '86. Kaufmann, 1986. P. 247-253.

77. Prusinkiewicz P., Hanan J., Lindenmaer Systems, Fractals and Plants: of Lecture Notes on Biomathematics. N. Y.: Springer-Verlag, 1989. V. 79.

78. Recursive machines and computing technology. Sweden, Stokholm: Information processing 74, computer hardware and architecture, IFIP Congress 74, August 5—10, 1974. P. 65—70. Glushkov V.M., Ignatiev M.B., Myasnikov V.A., and others.

79. The radial space distribution of KLUN galaxies up to 200 Mpc: incompleteness or evidence for the behaviour predicted by fractal dimension 2?// Astron.Astrophys, 1998. V. 334. P. 395—403. Teerikorpi P., Hanski M., Theureau G., and others.

80. Turtle графика// Nick Software/ http://nsft.narod.ru/Fractals/turtle.htm. 2001.

81. Stevens R. J., Lehar A. F., Preston F. H. Manipulation and Presentation of Multidimensional Image Data Using the Peano Scan/ / IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence 1983. 5. P. 520-526.

82. Velho L., de Miranda J. Gomes Digital Halftoning with Space-Filling Curves, Computer Graphics 1991. 25. 4. P. 81-90.

83. Witten I. H., Neal M. Using Peano curves for bilevel display of continuous tone images// IEEE// Computer Graphics and Applications. May 1982. P. 47—52.

84. Wu K., Lahav O., Rees M., The large-scale smoothness of the Universe// Nature. 1999. V. 397. P. 225 235.