Программное обеспечение для исследования фрактальных свойств пространственного распределения изолированных нагруженных точек тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.11, кандидат физико-математических наук Ловягин, Никита Юрьевич

• Ловягин, Никита Юрьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ловягин, Никита Юрьевич

Оглавление

Введение

1. Постановка задачи

1.1. Однородность и фрактальность

1.2. Астрономические наблюдательные данные

1.2.1. Краткие сведения об используемых астрономических величинах

1.2.2. Особенности представления каталогов галактик

1.3. Требования к создаваемому программному обеспечению

2. Язык сценариев

2.1. Структура программы в языке

2.2. Операции и вызов по параметру

2.3. Организация хранения данных

2.4. Границы и преобразования множества

2.5. Конвертирование множеств

2.6. Вывод результатов

2.7. Плагины

2.8. Структура пакета программ

3. Генерируемые множества и вспомогательные методы

3.1. Однородное распределение

3.2. Пыль Кантора

3.3. Нахождение центра

3.4. Пространственные границы

3.5. Карты и полярные диаграммы

3.6. Огибающие и полные по объему выборки

4. Корреляционные функции

4.1. Теория корреляционных функций

4.2. Оценки условной концентрации

4.3. Оценки редуцированной корреляционной функции

4.4. Алгоритм вычисления корреляционных функций

4.5. Нахождение угла наклона и корня функции

5. Результаты исследований

5.1. Первый корень редуцированной корреляционной функции . ТО

5.2. Условная плотность

5.3. Радиальные распределения галактик

Заключение

Список литературы

А. Примененные сценарии

А.1. Исследование условной концентрации

А.2. Исследование радиальных распределений

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Программное обеспечение для исследования фрактальных свойств пространственного распределения изолированных нагруженных точек»

Введение

Общая характеристика работы

Актуальность работы

В настоящее время развитие естественных наук невозможно без применения вычислительной техники, в связи с чем требуется разработка программного обеспечения, содержащего реализации современных математических методов. Фрактальная геометрия нашла широкое применение во многих приложениях, в различных областях знания [17, 11, 24, 14] — в физике, биологии, экономике и др. Фрактальные методы анализа данных требуют больших объемов вычислений и использования специфических математических понятий. Особенность фрактальных методов такова, что многие задачи могут быть разбиты на классы подобных подзадач, для решения которых требуется одинаковая структура математического обеспечения. В связи с этим для решения ряда задач, возникающих в различных областях науки, требуется создание специфического программного обеспечения для численного анализа фрактальности множеств исследуемых объектов.

В настоящее время существует множество программ [12], таких как Ргас1>0-11ата [50] или Спой:ас14с1 [51], по генерации фрактальных множеств, рассчитанных главным образом на визуализацию или моделирование фрактальных изображений, а исследователи, применяющие численные методы фрактальной геометрии в конкретных науках, не публикуют и не выкладывают на сайтах создаваемые ими программы. Также, из-за крайне большого объема вычислений, уделяется мало внимания ЗБ фрактальным структурам — в большинстве случаев исследователи не имеют доступа к кластерам и суперкомпьютерам, поэтому важно со-

здание соответствующих прикладных программ именно для ПК.

Кроме анализа естественных распределений точек (например, каталогов галактик) важно исследование искусственных фрактальных и однородных конечных множеств точек — как для сравнения сгенерированных множеств с реальностью, так и для проверки самих методов расчета фрактальных характеристик. В связи с этим представляет интерес создание программного пакета, который бы объединил в себе возможности исследования фрактальных свойств искусственных и естественных конечных множеств изолированных точек, снабженных дополнительными характеристиками, в трехмерном (или вообще, в многомерном пространстве), и визуализацию полученных результатов.

Хотя представляемый пакет и берет свое начало в космологии, где методы фрактальной геометрии используются для описания свойств крупномасштабной структуры Вселенной [30], его применение возможно и к другим подобным конечным множествам — как в астрофизике (например, грануляция на Солнце), так и в других областях знаний (множества молекул в газе, бактерий, людей, предприятий и т.п.). Программный пакет Б\¥Р представляет собой интерпретатор разработанного языка сценариев. При создании пакета автором решался ряд задач программирования на ПК, связанных с большим количеством точек (в пределах 109) исследуемого множества в многомерном пространстве.

В рамках современной космологической модели (АСБМ) однородность распределения материи, постулируемая в модели Фридмана, обеспечивается однородностью скрытого небарионного вещества и темной энергии. При этом переход к обычному видимому веществу (галактикам) требует дополнительных гипотез о возможной связи скрытого вещества с видимым веществом, что создает трудности в предсказании крупномасштабного распределения непосредственно наблюдаемых галактик [38]. В связи с этим, актуальной задачей современной космологии является изучение и сравнение с предсказаниями статистических характеристик пространственного распределения галактик в имеющихся реальных каталогах, содержащих сотни тысяч объектов. В частности, актуальным является вопрос об оценке масштаба неоднородности и фрактальной размерности крупномасштабного распределения галактик [25, 30, 34, 35, 39, 40, 43, 42, 44, 45].

Цель работы

Разработать пакет прикладных программ, позволяющий

• как загружать готовые (полученные сторонними средствами) множества точек (в частности, каталоги галактик), так и средства для исследования базовых стандартных фрактальных распределений разной размерности (для сравнения свойств с реальными распределениями и для проверки методов исследования);

• проводить автоматизированную массовую обработку различных выборок (например, сетку выборок разной глубины или исследование выборок множества с разным значением ограничения по параметру) — то есть требуется возможность пакетной обработки выборок;

• эффективно исследовать большие множества (в пределах ~ Ю9); повторно использовать ранее полученные результаты вычисления, как при возникновении одинакового этапа- при исследовании похожих задачах, так и при выполнении вычислений, с измененными параметрами (когда изменение параметров приводит к расхождению вычислений лишь на каком-то этапе расчета).

Итогом работы пакета должны быть числовые результаты (например, величина фрактальной размерности) и графики (например, корреляционной функции).

Также была поставлена задача применения разработанного пакета:

• для получения результатов анализа поведения корреляционных функций и радиального распределения галактик на фрактальных распределениях, подобных по структуре выборкам из каталогов галактик;

• сравнивая результаты вычисления корреляционных функций для искусственных распределений с корреляционными функциями для реальных каталогов галактик, сделать выводы о фрактальной размерности и масштабе однородности крупномасштабной структуры Вселенной (КСВ).

Объект исследования

Объектом исследования работы являются фрактальные свойства больших пространственных множеств точек, снабженных дополнительными численными характеристиками, числом элементов в пределах 109.

Результаты, выносимые на защиту

• Разработан язык сценариев и его интерпретатор, ориентированный на работу с конечными множествами изолированных точек, снабженных дополнительными характеристиками.

• Разработан и реализован механизм расширения языка сценариев как новыми функциями, так и новыми типами данных при помощи плагинов для объединения в одном пакете средств анализа фрактальных свойств конечных множеств изолированных точек (с числом элементов в пределах 109).

• Реализованы и включены в язык посредством плагинов алгоритмы загрузки конечных множеств нагруженных точек (таких как каталоги галактик), генерации базовых конечных фрактальных множеств, анализа основных фрактальных характеристик, создания графиков.

• Построена сетка выборок фрактальных распределений точек с известной размерностью, различной глубины, с ограничением по телесному углу и без такого ограничения (подобных каталогам галактик), для которых проанализировано поведение полной и редуцированной корреляционных функций. Анализ численного эксперимента показал, что определять фрактальную размерность целесообразно только на масштабах на 0.5-1 порядка меньших радиуса, до которого может быть выполнена оценка корреляционной функции, из-за систематических ошибок.

• Величина первого корня редуцированной корреляционной функции показывает зависимость от глубины подвыборки, что делает ее ненадежным индикатором масштаба выхода на однородность.

Корреляционная функция не показывает систематических эффектов, связанных с несферичностыо выборки и взятием полных по объему выборок.

• Исследование радиальных распределений галактик на фрактальных множествах различной размерности показало, что не параметры аппроксимации эмпирической функцией, а уровень относительных флуктуаций зависит от фрактальной размерности. Уровень флуктуаций в распределениях галактик согласуется с оценкой границ размерности в 2.2-2.4.

• Анализ данных каталогов галактик показал оценку фрактальной размерности КСВ в 2.25 ± 0.2 на масштабах от 5 до 100 Мпк1. Эксперимент показал, что в настоящее время корреляционным методом на больших масштабах сделать надежный вывод о величине размерности не представляется возможным. Исследование первого корня редуцированной корреляционной функции показало нижнюю границу оценки масштаба выхода на однородность в 200-300 Мпк.

Научная новизна

Разработанный и реализованный программный продукт является новым, аналогов в научной литературе и сети интернет не найдено. Впервые выявлены численным экспериментом и сформулированы ограничения на применимость корреляционных методов, используемых для вычисления фрактальной размерности и масштаба однородности в исследованиях КСВ, связанные с эффектами ограниченности выборки в пространстве.

Практическая ценность

Представляемый программный продукт выложен в сети интернет по адресу

http ://swpproject.sourceforge.net

и использован для исследования фрактальных свойств природных множеств изолированных точек, в частности, в космологии. Полученные ограничения на применимость корреляционных методов, используемых для исследования фрактальных свойств КСВ, должны учитываться при дальнейших исследованиях.

Реализация

Пакет прикладных программ представлен в виде интерпретатора языка сценариев и документации. Пакет написан на С++ и является кросс-платформеннным (для Linux и Windows).

Достоверность

Все модули программного пакета протестированы при проведении исследований искусственных и реальных каталогов в том числе путем сравнения полученных результатов с теоретически ожидаемыми для однородных распределений и с результатами, проведенными другими исследователями другими средствами.

Основные выводы

Автором разработан и реализован на ПК пакет программ для исследования фрактальных свойств конечных множеств изолированных точек в многомерном пространстве, снабженных дополнительными характеристиками. Пакет позволяет легко встраивать в него новые функции и возможности посредством плагинов.

С использованием данного пакета, путем численного эксперимента и анализа каталогов галактик автор показал возможность использования ПК для анализа распределений конечных (в пределах 109) фрактальных свойств и что

• по корреляционным функциям можно надежно определять фрактальную размерность только до масштабов на 0.5-1 порядка меньших наибольшего масштаба, до которого оценка корреляционной функции может быть вычислена;

• первый корень неполной корреляционной функции не является прямым критерием значения масштаба выхода на однородность;

• в радиальных распределениях галактик в выборках, ограниченных по предельной видимой звездной величине, от фрактальной размерности зависит уровень относительных флуктуаций: чем меньше размерность, тем уровень флуктуаций выше;

• по данным каталога SDSS фрактальная размерность КСВ оценивается в 2.25 ± 0.2 на масштабах от 5 до как минимум 100 Мпк. Корреляционными методами на больших масштабах определить фрактальную размерность невозможно из-за систематических ошибок данного метода; нижняя граница оценки масштаба выхода на однородность по первому корню корреляционной функции составляет 200-300 Мпк.

Апробация

Результаты работы докладывались на

• Второй Пулковской молодежной конференции в ГАО РАН в 2009 году;

• Конференции (школе-семинаре) по физике и астрономии для молодых ученых Санкт-Петербурга и северо-запада в СПбГПУ в 2009 году;

• Всероссийской Астрономической Конференции ВАК-2010 в Специальной Астрофизической Обсерватории РАН в 2010 году;

• Конференции "Технологии Microsoft в теории и практике программирования" в СПбГПУ в 2011 году (доклад занял третье место);

• Международной конференции молодых ученых в Киеве Young Scientists Conference в 2011 году;

• Семинаре кафедры астрофизики математико-механического факультета СПбГУ в 2011 году.

• Семинаре кафедры информатики математико-механического факультета СПбГУ в 2011 году.

Публикации

Основные результаты, полученные при выполнении диссертационной работы опубликованы в 6 работах автора. Работа [8] опубликована в издании по перечню ВАК 2011 г. для специальности 05.13.11, работа [10] по перечню ВАК 2011 г. для специальности 01.03.02.

Структура и объем работы

Диссертационная работа объемом 105 страниц состоит из введения, 5 глав, 1 приложения и списка литературы, включающего 55 наименований. Работа содержит 26 иллюстраций и 9 таблиц.

Разработанное автором программное обеспечение имеет объем около 22000 строк кода.

Содержание работы

В главе 1 рассмотрены исходные положения поставленной задачи, приводится идея фрактальной модели и описание базовых отличий фрак-тальности от однородности, в частности, применительно к крупномасштабной структуре Вселенной (КСВ). При фрактальном подходе каждая галактика рассматривается как одна — изолированная — точка. В основу исследования КСВ легли каталоги галактик, содержащие данные о положениях и красных смещениях объектов. Подобные каталоги как правило доступны в сети интернет в виде текстовых файлов (используется псевдоформат CSV, от англ. Coma-Separated Values — значения, разделенные запятой) — от пакета требуется возможность их загрузки. Подчеркивается важность выделения подвыборок по разнообразным характеристикам точек. Обосновывается необходимость пакета программ, позволяющего анализировать конечные множества изолированных точек, снабженных дополнительными характеристиками (весами), набор которых может выбирать пользователь.

В главе 2 описаны базовые принципы, которые легли в основу языка сценариев SWP.

Исходя из требований автоматизации обработки выборок, а также из-за многоэтапности процесса анализа каждой выборки — сформиро-

вать множество, взять выборку, провести анализ, построить график — где на каждом этапе параметры и действия могут варьироваться от вычисленных ранее значений, автором было принято решение реализовать рабочую программу в виде интерпретатора языка сценариев.

Язык разработан для удобства выполнения требуемых операций. Основными типами данных являются нагруженные точки и их конечные множества. Координаты точек в анализируемой выборке могут задаваться не только в виде декартовых координат точки, но и, например, с помощью сферических координат и красного смещения, применяемых в астрофизике.

В языке сценариев помимо идентификаторов, числовых и строковых типов данных, операций присваивания := и арифметических, имеются специфические типы: "промежуток" (задает промежуток вещественных чисел, например [0:1) — для создания выборок и границ), "точки" (наборы поименованных полей типа real), "множества," (конечные массивы точек)2 и др. Например, вызов "point(х = 1.0, у = 2.5)" создает точку с двумя полями х и у, записывая в них значения 1.0 и 2.5 соответственно. Еще один важный тип данных — "свойство точки", это функция точки, возвращающая число типа real. Например, вызов pp_norm (х, у) создает свойство точки, вычисляющую Евклидову норму точки, координаты которой записаны в полях х и у (в М2). Вызов "р := point (х, у, г = pp_norm (х, у));" записывает в переменную р точку, с постоянными полями х и у, и вычисляемым полем г (значение поля г будет вычисляться как упомянутая выше функция точки от р). В язык включен механизм защиты от бесконечной рекурсии при создании точек с вычисляемыми через себя полями.

Многие функции в качестве параметра принимают так называемый "список аргументов" — список пар3 "строка (имя параметра) = значение". Это удобный способ указывать аргументы в произвольном порядке и пропускать необязательные.

"Граница" также является типом данных. Например, вызов

b := brd_sphere (apply = (х, у),

range = (1.0: 1.5),

2В дальнейшем под множеством точек понимается конечное множество точек.

3Типы данных "список" и "пара" создаются соответственно операциями и "=".

center = point (x=0.0, y=0.0));

создает границу, внутренность которой есть кольцо с центром в точке с координатами (0,0) (аргумент center). То, что координаты хранятся в полях х и у задается аргументом apply, радиусы кольца есть 1.0 и 1.5 — точка принадлежит кольцу тогда и только тогда, когда радиус точки принадлежит промежутку, указанному в качестве аргумента range.

Рассмотрим пример создания однородного распределения (производится функцией set_gen_uniform) из 10000 точек (аргумент number) внутри упомянутого выше кольца (аргумент border). Аргумент apply задает список полей-координат (две координаты, значит множество будет создаваться в R2), аргумент generator указывает используемый датчик случайных чисел (последовательность #1), а аргумент size задает размер изначального разброса точек (до фильтрации по границе, должен покрыть кольцо); поскольку аргумент point не задан, то множество будет состоять из точек с двумя полями point (х, у):

s := set_gen_uniform ("number" = 10000, "apply" = (x, у), "border" = b,

"generator" = rnd_mt(l), "size" = 1.5);

Тип данных "множество точек" используется шире, чем конечное множество точек в пространстве. Механизм доступа к "весам" точки по имени поля позволяет создавать в виде множества, например, табулированные функции — так представляется результат вычисляемых по точкам корреляционных функций. Автор заложил возможность использования произвольной размерности пространства: пользователь сам сообщает, какие поля содержат координаты точки и сколько их.

Множества точек могут не уместиться в оперативной памяти, но т. к. все операции, связанные с созданием, преобразованием и фильтрацией множеств, осуществляются последовательным доступом к элементам, автор реализовал хранение множеств на жестком диске: каждому множеству автоматически присваивается уникальное имя файла, генерируемое, исходя из способа создания этого множества. Одинаково созданные множества будут иметь одинаковое имя, что позволяет реализовать в пакете защиту от двойного пересчета: при повторном запуске или при создании того же множества в том же или в другом сценарии, оно не будет создаваться вторично, если файл уже существует. Операции, осуществляемые с произвольным доступом к элементам — например, вычисле-

ние корреляционных функций — имеют большую временную сложность, вследствие чего применяются к множествам меньшего размера, которые прочитываются в память при необходимости.

Одним из наиболее важных результатов, выдаваемых пакетом (помимо возможности вывода результатов расчета на терминал), являются графики. Язык содержит средства для автоматической генерации скриптов Спиркй [52] и вызова интерпретатора Опиркй'а для экспорта графиков.

В главе 3 описываются базовые фрактальные распределения и вспомогательные средства, реализованные в БШР.

Помимо генерации однородных распределений точек, реализован алгоритм создания фрактальных множеств точек с предопределенной размерностью И — в качестве такового были выбраны последовательные приближения к случайному Канторову множеству (пыль Кантора), обобщенному на случай Мп. Описание данных алгоритмов имеются в параграфе 3.2.

Важной задачей при создании пакета был учет пространственных границ множества. Такие операции, как, например, построение функции условной плотности требуют знания расстояния до границы от каждой точки. При проведении пространственного преобразования граница должна меняться соответственно. Каждое множество снабжается границей, определяющей часть пространства, в котором лежит множество. Граница множества есть совокупность элементарных границ, выделяющих часть пространства4. Точка лежит в границах множества, если она принадлежит части пространства, выделенной каждой из элементарных границ, расстояние от точки до границы есть минимум среди расстояний до каждой из них. При проведении пространственного преобразования множества, оно производится не только над каждой точкой множества, но и каждая элементарная граница подвергается такому же преобразованию.

С помощью программного пакета можно выделить подвыборку из множества, как сгенерированного пакетом случайного, так и загруженного, по любому из весов, в том числе вычисляемому. Всякая получае-

мая подвыборка есть новое множество. Особо обрабатывается выделение подвыборок по пространственным границам. Также возможно преобразование всех точек множества. Особый интерес среди таких преобразований представляют гомотетия и сдвиг, которые должны преобразовывать пространственные границы.

Кроме прямоугольного параллелепипеда, требуемого для создания однородного распределения и пыли Кантора, автором реализованы элементарные границы, встречающиеся в космологических задачах: сфера или сферическая оболочка (в Мп), ограничение по угловым сферический координатам а и 6 в К3 (без ограничения 0 ^ а ^ 27г, — 7г/2 ^ 5 ^ 7г/2), ограничение по полярному углу (М2). Реализованные преобразования параллельного переноса и гомотетии корректно преобразуют сферические и прямоугольные границы. Ограничение по радиусу может быть задано непосредственно или как ограничение от иного поля, функция которого есть радиус — например, по красному смещению.

В пакете реализован алгоритм фон Неймана для генерации случайных чисел, распределенных по указанному дифференциальному закону, например — абсолютной звездной величины.

Для исследования корреляционных свойств пространственного распределения галактик необходимо учитывать тот факт, что каталоги построены лишь до какой-то предельной видимой звездной величины, что вносит искажение на концентрацию галактик (близких галактик наблюдается больше). В связи с этим корреляционный анализ проводится в так называемых полных по объему выборках, в которых с каждой галактики видно каждую при заданном лимите на видимую звездную величину. Выборки находятся путем построения специальной диаграммы (расстояние — абсолютная звездная величина) для галактик. По такой диаграмме можно, либо, фиксируя абсолютную звездную величину, найти максимальное расстояние, до которого галактики такой яркости будут видны, либо, наоборот, фиксируя красное смещение, найти звездную величину, галактики ярче которой видны на данном расстоянии.

Автором был разработан и реализован способ автоматического нахождения одного параметра по другому. Для этого диаграмма разбивается на задаваемое пользователем количество клеток МхМ, вычисляется количество галактик, попавших в каждую клетку и строится огибающая

множества галактик по центрам клеток, которая затем сглаживается. По полученной табулированной функции легко находятся требуемые параметры. Численный эксперимент показал, что алгоритм дает достаточно хорошие результаты как для тестовых, так и для естественных каталогов. Пример диаграммы расстояние — абсолютная звездная величина с отмеченной на ней полной по объему выборкой показан на рис. 3.5 (стр. 58).

Глава 4 посвящена методам корреляционного анализа фрактальных множеств точек. Описаны способы оценки корреляционных функций и алгоритмы расчета этих оценок, реализованные в пакете.

Для исследования фрактальных множеств изолированных точек используются корреляционные функции, характеризующие свойства ску-чивания точек — зависимость функции количества точек на данном расстоянии от расстояния (масштаба). Следуя [25], различают полную и редуцированную корреляционные функции, оба варианта реализованы в пакете. Полная корреляционная функция есть характеристика плотности множества на данном масштабе, в то время как редуцированная — отклонения плотности на данном масштабе от средней плотности во всем множестве. Примером полной корреляционной функции является условная плотность Г (точнее — концентрация, так как речь идет о конечных множествах изолированных точек). Условная концентрация Г (г) есть средняя концентрация точек в шарах радиуса г, центры которых располагаются в точках множества, и которые целиком лежат в пространственных границах множества. Формально условную плотность можно рассчитать для < г < Ктах, где гт,п — расстояние между двумя ближайшими точками множества, а Ктах радиус наибольшего "пригодного" шара. Для фрактальных и однородных (I) = п) множеств Г (г) = Аг°~п.

Редуцированная корреляционная функция £ рассчитывается при помощи генерации однородного множества сравнения в тех же границах, что и исследуемое множество, через количества пар точек множества и точек множества сравнения, находящихся на расстоянии г. Реализованы три способа оценки.

Для однородного множества £ (г) = 0, для фрактального £ (г) = Аг°~п. Вычисление корреляционной функции возможно для г от гтЛп до рассто-

яния между самыми далекими точками множества гтах.

В главе описан предложенный автором алгоритм, автоматизирующий вычисление угла наклона функции: ожидается, что корреляционная функция и условная плотность удовлетворяют условию /(г) ос гв~п, что соответствует прямой линии в логарифмических координатах (здесь п — размерность пространства, а Б — оценка фрактальной размерности). Численный эксперимент показал, что корреляционные функции не удовлетворяют этому соотношению на всем участке, где они могут быть вычислены, что ставит задачу нахождения участков, где функция является прямолинейной, по наклону которых можно найти фрактальную размерность. Пакет автоматически находит участки прямолинейности табулированной функции, чтобы не подбирать их вручную. Участок табулированной функции /, заданной на точках х\, • • •, считается прямолинейным, если

где I — искомая аппроксимирующая линейная функция, построенная на отрезке [жо,^] методом наименьших квадратов, sq — выбираемый "критерий прямолинейности". Формула предложена автором. Для рассматриваемых случаев (условной плотности и корреляционной функции) этот критерий показывает себя достаточно независимым от количества точек во множестве и количества точек табулирования функции.

На рис. 4.2 (стр. 69) показан пример корреляционной функции, аппроксимирующей прямой и найденных корней.

В главе 5 проводится анализ особенности астрономических наблюдательных данных, с помощью которых производится исследование КСВ.

Для исследования геометрических свойств требуется знание пространственных координат точек, поэтому необходима возможность перевода каталожных данных — сферические координаты и красное смещение (КС) галактики5 — в пространственные координаты.

Неизбежным фактором в астрономии является наблюдательная селекция — ограничение на видимую яркость объекта. Более того, обычно

5При исследовании КСВ через красное смещение галактики вычисляется расстояние до нее.

каталоги галактик не охватывают всю небесную сферу, из-за ограниченности времени и ресурсов встает выбор между "глубиной" (включить более слабые объекты) и "шириной" (захватить большую область на небе). Из-за различных факторов ограничения, как по предельной видимой яркости объекта, так и по области небесной сферы, неровные, в связи с чем необходимо выделять подвыбороки как по угловым сферическим координатам и расстояниям до объекта, так и по яркости, чтобы включать в рассмотрение только хорошо завершенные участки наблюдения.

Также в этой главе излагаются результаты анализа численного эксперимента, выполненного автором с помощью 8"УУР. Приведены ограничения на применимость корреляционных методов при вычислении масштаба однородности и фрактальной размерности. Указаны следствия этих ограничений применительно к космологии и результаты оценки фрактальной размерности и нижней границы масштаба однородности КСВ, выполнение с учетом этих ограничений. Была проанализирована сетка выборок однородных и фрактальных распределений различной размерности распределения галактик. Были взяты подвыборки разной глубины как во всей сфере, так и с ограничением по телесному углу. Также были взяты имитации полной по объему выборки до разных красных смещений.

Анализ корреляционных функций для сетки выборок показал, что условная плотность позволяет определить фрактальную размерность с точностью до 0.1, но только на масштабах не превышающих 5-10% от радиуса наибольшего шара, целиком лежащего в пространственных пределах выборки. Значение первого корня редуцированной двухточечной корреляционной функции в ограниченных в пространстве выборках из фрактальных множеств растет при увеличении размеров выборки, следовательно, эта величина не может служить прямым указанием на масштаб однородности, а только на его нижнюю оценку. Зависимость первого корня корреляционной функции от глубины подвыборки для множеств разной размерности и каталога БОБЯ показана на рис. 5.4 (стр. 75).

Также этой в главе описан метод исследования радиальных распределений галактик. Идея метода состоит в аппроксимации радиального распределения — зависимости количества галактик в сферической обо-

лочке заданной малой толщины от расстояния до нее — строящегося в выборках, ограниченных по предельной видимой звездной величине эмпирической формулой, часто используемой в космологии:

А(г) = А (г/гс)а ехр (— (г/гс)7) .

Автором реализован и включен в пакет алгоритм нахождения минимума на сетке, с итерациями по уменьшению шага сетки. Эксперимент показал, что параметры аппроксимации определяются ненадежно, и для разных комбинаций параметров форма кривой может быть похожа. Однако, интерес представляют относительные флуктуации ДАТ{г) = (А0(г) — Аг0,(г))/^а(г), где И0 — наблюдаемое радиальное распределение, А^а — аппроксимирующая функция. Автор графически сравнивал уровень флуктуаций с величиной а = 11\[Жа ~~ чем меньше фрактальная размерность, тем уровень флуктуаций больше. Иллюстрирующие примеры радиальных распределений имеются на стр. 88-89.

Исследование редуцированной корреляционной функции для каталога галактик БОВБ дает нижнюю границу на величину масштаба однородности в 300 Мпк. В пределах этого масштаба фрактальная размерность оценивается в 2.1-2.4. Это согласуется с уровнем относительных флуктуаций в радиальных распределений галактик.

В приложении приводятся тексты некоторых сценариев, использованных для получения результатов из 5-й главы диссертационной работы.

Заключение диссертации по теме «Математическое и программное обеспечение вычислительных машин, комплексов и компьютерных сетей», Ловягин, Никита Юрьевич

Заключение

Автором разработан язык сценариев для класса задач исследования фрактальных свойств пространственного распределения конечных множеств изолированных точек, снабженных дополнительными характеристиками и реализован его интерпретатор.

Разработанный и реализованный автором программный продукт полезен для проведения прикладных исследований.

Возможности пакета могут быть легко расширены путем создания подключаемых модулей (плагинов).

С использованием данного пакета путем численного эксперимента автором получены важные космологические результаты

• по корреляционным функциям можно надежно определять фрактальную размерность только до масштабов на 0.5-1 порядка меньших наибольшего масштаба, до которого оценка корреляционной функции может быть вычислена; на больших масштабах возникают систематические ошибки;

• первый корень неполной корреляционной функции не является прямым критерием значения масштаба выхода на однородность; его значение зависит от пространственных размеров выборки;

• в радиальных распределениях галактик в выборках, ограниченных по предельной видимой звездной величине, от фрактальной размерности зависит уровень относительных флуктуаций: чем меньше размерность, тем уровень флуктуаций выше;

• по данным каталога ЗБЗБ фрактальная размерность КСВ оценивается в 2.25 ± 0.2 на масштабах от 5 до как минимум 100 Мпк. Корреляционными методами на больших масштабах определить фрактальную размерность невозможно из-за систематических ошибок данного метода; нижняя граница оценки масштаба выхода на однородность по первому корню корреляционной функции составляет 200-300 Мпк.

Вывод о статистическом свидетельстве существования структур галактик с размерами 200-300 Мпк согласуется с обнаруженными отдельными сверхбольшими неоднородностями в распределении галактик, такими как Великая стена Слоуна [26, 22] и Суперкластер Шаплея [36, 21].

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ловягин, Никита Юрьевич, 2012 год

Список литературы

[1] Агекян Т.А. Основы теории ошибок для астрономов и физиков. М., 1972 г. 172 с.

[2] Ахо А. и др. Компиляторы: принципы, технологии и инструменты. М.: Издательский дом "Вильяме". 2003. 768 с.

[3] Барышев Ю., Теерикорпи П. Фрактальная структура Вселенной: Очерк развития космологии. Нижний Архыз: САО РАН, 2005. 396 с.

[4] Барышев Ю.В., Теерикорпи П. Фрактальный анализ крупномасштабного распределения галактик // Бюллетень Специальной астрофизической обсерватории РАН. 2006. Т. 59, СС. 92-160.

[5] Гамм,а Э. и др. Приемы объектно-ориентированного проектирования. Паттерны проектирования. СПб: Питер. 2001. 368 с.

[6] Ловягин Н. Ю. Моделирование и выявление фрактальных структур в пространственном распределении галактик // Конф. (шк.-сем.) по физике и астрономии для молодых ученых Спб. и северо-запада. Тез. докл. С., 2009.

[7] Ловягин Н. Ю. Моделирование фрактальных распределений галактик // Известия ГАО в Пулкове. 2009. Т. 219, Вып. 3. С. 37-52

[8] Ловягин Н. Ю. Пакет прикладных программ для анализа фрактальных свойств множеств нагруженных точек. // Комп. инстр. в образ. 2011. Т. 5, С. 19-26.

[9] Ловягин Н. Ю. Программная система корреляционного анализа фрактальных структур в распределении галактик // Технологии

Microsoft в теории и практике программирования. Материалы межвузовского конкурса-конференции студентов, аспирантов и молодых ученых Северо-Запада. Санкт-Петербург. 2011.

[10] Ловягин Н. Ю. Статистические свойства пространственного распределения галактик // Бюлл. Спец. астрофиз. Обсерв. 2009. Т. 64, Вып. 3. С. 223-235.

[11] Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. М.: Институт компьютерных исследований, 2002. 656 с.

[12] Коробова Е.Р. Использование современных ЗБ-пакетов дл построения фракталов // Обучение фрактальной геометрии и информатике в ВУЗе и школе в свете идей академика А. Н. Колмогорова: материалы международной научно-методической конференции, г. Кострома, 7-9 декабря 2011 г. 2011. СС. 123-128.

[13] Кормен Т. Алгоритмы: построение и анализ, 2-е издание. М.: Издательский дом "Вильяме". 2005. 1296 с.

[14] Тестов В.А. Фрактальная геометрия как составляющая математической картины мира // Обучение фрактальной геометрии и информатике в ВУЗе и школе в свете идей академика А. Н. Колмогорова: материалы международной научно-методической конференции, г. Кострома, 7-9 декабря 2011 г. 2011. СС 11-17.

[15] Abazajian К. et al. The First Data Release of the Sloan Digital Sky Survey. // The Astronomical Journal. 2003. V. 126,1. 4, PP. 2081-2086.

[16] Abazajian K. et al. The Seventh Data Release of the Sloan Digital Sky Survey // The Astrophysical Journal Supplement. 2009. V. 182, I. 2, PP. 543-558.

[17] Addison Paul S. Fractals and chaos: an illustrated course. Bristol, Philadelphia: Institute of Physics Publishing, 1997. 256 p.

[18] Castander F. J. The Sloan Digital Sky Survey. // Astrophysics and Space Science. 1998. V. 263, I. 1/4, PP. 91-94.

[19] Colless M. First results from the 2dF Galaxy Redshift Survey. // Roy Soc of London Phil Tr A, V. 357, I. 1750, P. 105.

[20] Davis M., Peebles P.J.E. A survey of galaxy redshifts. V — The two-point position and velocity correlations // Astrophysical Journal. 1983. V. 267, I. 15, PP. 465-482.

[21] Drinkwater M. J., et al The Large Scale Distribution of Galaxies in the Shapley Supercluster // Publications of the Astronomical Society of Australia. 2004. V. 21, I. 1, Pp. 89-96.

[22] Einasto M., et al The Sloan Great Wall. Morphology and Galaxy Content // The Astrophysical Journal. 2011. V. 736, I. 1, Aid. 51.

[23] Erdogdu P. et al Reconstructed density and velocity fields from the 2MASS Redshift Survey // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. 2006. V. 373, I. 1, PP. 45-64.

[24] Falconer K. Fractal geometry. New York: John Wiley & Sons, 1990. 155 p.

[25] Gabrieli A., Sylos Labini F., Joyce M., Pietronero L Statistical physics for cosmic structures. Berlin — Heidelberg — New York - Barcelona — Hong Kong — London — Milan — Paris — Tokyo: Springer, 2004. 440 p.

[26] Gott J.R. III, Juric M., Schlegel D., et al. A map of the universe. // Astrophysical Journal. 2005. V. 624, I. 2, Pp. 463-484.

[27] Hamilton A. J. S. Toward Better Ways to Measure the Galaxy Correlation Function // Astrophysical Journal. 1993. V. 417, PP. 19.

[28] Lovyagin N. Project of program package for exploring of cosmological fractals // Advances in Astronomy and Physics, Kyiv, 2011 V. 2, I. 1. Pp. 63-66.

[29] Landy S., Szalay A. Bias and variance of angular correlation functions // Astrophysical Journal. 1993. V. 412, I. 1, PP. 64-71.

[30] Martinez V. J. Saar E. Statistics of the Galaxy Distribution. Boca Ration — London — New York — Washington, D. C.: CHAPMAN & HALL/CRC, 2002. 432 p.

[31] Matsumoto M., Nishimura T. Mersenne Twister: a 623-dimensionally equidistributed uniform pseudorandom number generator // ACM Transactions on Modeling and Computer Simulation. 1998, V. 8. I. 1. PP. 3-30.

[32] Nishimura T. Tables of 64-bit Mersenne Twisters // ACM Transactions on Modeling and Computer Simulation. 2000. V. 10. I. 4. PP. 348-357.

[33] Norberg P. et al. The 2dF Galaxy Redshift Survey: the bJ-band galaxy luminosity function and survey selection function // Monthly Notice of the Royal Astronomical Society. 2003. V. 336, I. 3, PP. 907-931.

[34] Peebles P. J. E. The Galaxy and Mass N-Point Correlation Functions: a Blast from the Past // ASP Conference Series, 2001. V. 252, PP. 201218.

[35] Peebles P. J. E. The Large-Scale Structure of the Universe. Prinston, New Jersey: Princeton University Press. 1980. 440 p.

[36] Proust D., et al Structure and dynamics of the Shapley Supercluster. Velocity catalogue, general morphology and mass // Astronomy and Astrophysics. 2006. V. 447, I. 1, Pp. 133-144.

[37] Snyder J. Flattening the Earth: Two Thousand Years of Map Projections. Chicago: University Of Chicago Press, 1997. 384 P.

[38] Springel V.; et al. Simulations of the formation, evolution and clustering of galaxies and quasars // Nature. 2005. V. 435, I. 7042, Pp. 629-636.

[39] Sylos Labini F. Inhomogeneities in the universe // Classical and Quantum Gravity. 2011. V. 28, I. 16, PP. 164003.

[40] Sylos Labini F., Montuori M., Pietronero L. Scale-invariance of galaxy clustering // Physics Reports. 1998. V. 293, PP. 61-226.

[41] Sylos Labini F., Vasilyev N. L. Extension and estimation of correlations in cold dark matter models // Astronomy & Astrophysics. 2008. V. 477, I. 2. PP. 381-395.

[42] Sylos Labini F., Vasilyev N. L., Baryshev Y. V. Breaking the self-averaging properties of spatial galaxy fluctuations in the Sloan Digital Sky Survey - Data release six // Astronomy and Astrophysics. 2009. V. 508, I. 1, PP. 17-43.

[43] Sylos Labini F., Vasilyev N. L., Pietroneiro L., Baryshev Y. V. Absence of self-averaging and of homogeneity in the large-scale galaxy distribution // Europhysics Letters. 2009. V. 86, I. 4, PP. 49001.

[44] Sylos Labini F., Pietroneiro L. The complex universe: recent observations and theoretical challenges // Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment. 2010. I. 11, PP. 11029.

[45] Tikhonov A.V., Makarov D.I., Kopylov A.I. Investigation of clustering of galaxies, clusters and superclusters by the method of correlation Gamma-function // Bulletin of the special astrophysical observatory. 2000. V. 50, PP. 39-50.

[46] Yoshii Y., Takahara F. Galactic evolution and cosmology - Probing the cosmological deceleration parameter // Astrophysical Journal. 1998. V. 326, I. 1, PP 1-18.

[47] http://avisynth.org

[48] http://www.eso.org/sci/software/esomidas/

[49] http://www.farmanager.com

[50] http://fractorama.com/

[51] http://gnofract4d.sourceforge.net/

[52] http://gnuplot.info

[53] http://www.math.hiroshima-u.ac.jp/~m-mat/MT/emt.html

[54] http: //msowww. anu. edu. au/2dFGRS/

[55] http://www.sdss.org

Приложение А. Примененные сценарии

А.1. Исследование условной концентрации

Сценарий получения графиков условной концентрации и зависимости масштаба сохранения степенного закона от радиуса наибольшего шара для сетки полных по объему выборок из выборки, ограниченной по предельной видимой звездной величине, Канторова множества размерности 2.3 с ограничением по телесному углу.

#!/usr/bin/swp ?load cosmo

ml := rnd_mt(1); # датчик случайных чисел D := 2.3; # размерность

setl := set_gen_cantor (apply=(x, y, z) , generator = ml, mimber=100000000, dim = D, div = 2);

# исходное множество print "total size: " + setl->size->str + "\n";

N := 30000000; # число точек в сфере

piel := set_pic_ctr (source=setl, apply = (x, y, z), div = 71, number=3 * N / 2); setl_center := picl(0); # центр наибольшей концентрции для N точек print "center: " + setl_center->[3]str + "\n";

radl := set_divn_rad (source=setl, apply = (x, y, z), div=1024, number=N, center=picl(0)); setl_radius := radl(0)(R); # радиус для N точек print "radius: " + setl_radius- >[3]str+"\n";

lum_pars := phiO = 0.0164, alpha = -1.21, M0 = -19.67, Mmax = -16.5, Mmin = -22.0;

# параметры функции светимости lum := rf_lum_func (lum_pars);

# функция светимости

lum_rad := rf_lf_rad (lum_pars) (N);

# радиус по функции светимости

print "lum radius: " + lum_rad->[3]str + "\n";

lum_rad_scale := lum_rad / setl_radius; lum_gen := rnd_vnt (generator=m2, "f"=lum);

# генератор абсолютных звездных величин

setla := set_convert (source = setl,

apply = move_shift (apply = (x, y, z) , shift = -setl_center) << move_scale (apply = (x, y, z) , scale = lum_rad_scale) << pf_add_prop (md = pp_norm (apply=(x, y, z))) << brd_rad (apply = md, range=(INF:lum_rad)) « pf_add_attr (M = lum_gen) <<

pf_add_prop (rs=pp_get(md) » rf_tab_md_zО) << pf_add_prop (m=pp_mag_convert (z=rs, md=md, "abs"=H)) << pt_range (apply="m", range=[INF:17.0)) « pf_add_attr (alpha=pp_alpha()) << pf_add_attr (delta=pp_delta())

);

# смещение центра и растяжение до соответствующего радиуса

# ограничение по радиусу

# добавление случайной абсолютной звездной величины

# применение ограничения по видимой звездной величине set2 := set_convert (source = setla,

apply = brd_alpha (r=md, alpha=alpha, delta=delta, range=[0.l*pi:1.l*pi]) « brd_delta (r=md, delta=delta, range=[-pi/4:pi/4])

);

# применение ограничения по телесноу углу mapla := set_convert (source=setla,

apply=p_HammerAitoff (shift=pi,

apply=(alpha, delta), out=(x, y), pmode=none, amode=none

)

);

# проекция всего сферического множества на небесную сферу brd := set_convert (source=p_Border(),

apply=p_HamnierAitoff (shift=0.0,

apply=(alpha, delta), out=(x, y), pmode=none, amode=none

)

);

# стандартная граница на проекции на небесную сферу map2 := set_convert (source = set2,

apply=p_HainmerAitoff (shift=pi,

apply=(alpha, delta), out=(x, y), pmode=none, amode=none

)

);

# проекция ограниченного по телесному углу множества на небесную сферу map2_brd := set_convert (source=p_IntBorder (source=set2),

apply=p_HammerAitoff (shift=pi,

apply=(alpha, delta), out=(x, y), pmode=none, amode=none

)

);

# внутренняя граница множества

plot (apply = (plot_line (source=mapla, using=(x,y), with = dots, linecolor=grey), plot_line (source=map2, using=(x,y), with = dots, linecolor=black), plot_line (source=map2_brd, using=(x,y), with = dots, linecolor=black) plot_line (source=brd, using=(x,y), with=dots, linecolor=black) ),

color=raono, size_ratio = true, border = false, xtics = false, ytics = false,

output = "cantor_" + D->[l]str + "_map_cone");

# проеция на небесную сферу

print "basic set " + N->str + " points" +

" size: " + set2->size->str + " points\n";

set2_ppT := set_pic_probe (source = set2, arg = md, val = M, dir = up, min = 3, bin = 75); set2_pp := rf_set_tab (source = set2_ppT, arg = md, val = M) ;

plot (apply = (plot_line (source = set2, using = (md, M), with = dots, linecolor = grey), plot_line (source = set2_ppT, using = (md, M),

with = linespoints, linecolor = black, pointtype = solidcircle)#,

),

color = mono,

output = "cantor_" + D->[l]str + "_rsM_cone" );

# нахождение огибающей диаграммы расстояние --- абсолютная звездная величина и построение

# ее графика

s := set (паше = "cantor." + D->[l]str + "_cfz_cone", pnt = point ("R", "log r / R")); s->begin_put;

# создание множества, которое будет сожержать финальный график

forall г in 50.0--[25]375.О do # цикл по глубине полной по объему выборки с шагом 25 -Ccset := set_convert (source = set2,

apply = brd_rad (apply = md, range=(INF:r)) <<

pt_range (apply = M, range=(INF:set2_pp(r)))

);

# получение полной по объему выборки... print "set of " + r->[1]str + " radius" +

" size: " + cset->size->str + " points";

plot (apply = plot_line (source = cset, with = dots, using = (x, y, z)), spatial = true, color = color,

size_ratio = true,

output = "cantor," + D->[1]str + "_plot_" + r->[l]str + ".cone" >;

# ... и построение ее графика

cset_corr := set_correlation ("source" = cset,

"apply" = ("x", "y", "z"), "bin" = 500, "log" = true, "type" = "cd" );

# получение условной концентрации

cset_corr_l := set_ls_lines (source = cset_corr,

arg = "log r", val = "log n(r)", "min" = 5, number = 1, crt = 0.75);

# нахождение прямолинейных участков

if (cset_corr_l->size > 0) then # если найден хотя бы один

{10 := cset_corr_l(0);

print " D -> " + (10(k) + 3)->[2]str;

plot_list := plot_line (source = cset_corr,

using = ("log r", "log n(r)"), with = lines, linetype = solid, linewidth = 1.5 ), # корреляционная функция plot_line (source = cset_corr,

using = ("log r", "s"), with = lines, axis = (1, 2) , linetype = dotted, linewidth = 1.5 ), # число шаров plot_line (source = rf_polinom (10("b"), 10("k")), with = lines, linetype = dashed ), # аппроксимирующая прямая plot.arrow (start = (10("x0"), graph = 0),

end = (10("x0"), fmax(10("F(xO)"), 10("L(x0)"))), head=nohead, linecolor=grey, linetype=dotted ),

plot_arrow (start = (10("xl"), graph = 0),

end = (10("xl"), fmax(10("F(xl)"), 10("L(xl)"))), head=nohead, linecolor=grey, linetype=dotted ); # границы участка аппроксимации

plot (apply = plot_list,

xlabel = "log r", ylabel = "log CC (r)", color = mono, y2tics = true, key = false,

output = "cantor_" + D->[1]str + "_" + r->[l]str + "_cone" ); # построение графика условной концентрации

s -= point ("R" = r, "log r / R" = cset_corr(499)("log r") - lOC'xl")); print " " + (10-(10("xl")))->[2]str + " " +

(10~(cset_corr(499)("log r")))->[2]str + "\n"; s -> put;

# запись данных о масштабе степенного характера и радиусе наибольшего шара

>

>;

plot (apply = plot_line (source = s, using = ("R", "log r / R"),

with = linespoints, pointtype=solidcircle, linetype=dotted), output = "cantor_" + D->[1]str + "_cone"); # построение финального графика

A.2. Исследование радиальных распределений

Сценарий обработки радиальных распределений галактик каталога SDSS.

#!/usr/bin/swp ?load cosmo

s := set_csv_load (source="DR7_z_m.csv", cn,

"point" = (z,

cp_rf (res=alpha, col=ra, f=rf_id / 180*pi), cp_rf (res=delta, col=dec, f=rf_id / 180*pi) ),

sep=",",

tester=ct_not_in_list (type=integer, column="zStatus", values=(0,1)) & ct_in_range(column="z", range=[0.001: 0.4)) & ct_in_list (type=integer, column="specClass", values=(2,7)) & ct_in_range(column="petroMag_r", range=[INF: 18.0)) ); # загрузка каталога SDSS

print s->size->str + "\n";

mapl := set_convert (source=s,

apply=p_HammerAitoff (shift=0.0,

apply=(alpha, delta), out=(x, y), amode=none, pmode=none

)

mapl_brd := set_convert (source=p_Border(),

apply=p_HammerAitoff (shift=0.0,

apply=(alpha, delta), out=(x, y), amode=none, pmode=none

)

);

mapl_linel := plot_line (source=mapl, using = (x, y), with=dots, linecolor=black);

mapl_line2 := plot_line (source=mapl_brd, using = (x, y), with=dots, linecolor=green);

plot (apply=(mapl_linel, mapl_line2), output = "sdss_map", border=false, color=color, xtics=false, ytics=false, size_ratio=true);

# построение карты

magi := set_convert (source=s, apply=pf_add_prop (md=pp_get(z) >> rf_tab_z_md()) <<

pt_range (apply="md", range=[25:1000])

);

# введение ограничения на расстояние

magl_rad_dist := set_dist (source=magl, value=md, n=50, div=false,

range=[0:1000], reduce=false);

# получение радиального распределения

rdl := plot_line (source=magl_rad_dist, using=("md", "dN(md)"), with=lines, linetype=solid);

rd3 := plot_line (source=magl_rad_dist, using=("md", "dN(md)"), with=boxes, linetype=dotted, linewidth=0.1);

plot (apply=(rdl, rd3),

output="sdss_rad_dist", plot_size=(0.85, 0.85), xlabel="md", ylabel="dN",

title="SDSS, radial distribution, size = " + magl->size->str + " points" );

# график радиального распределения

magl_appr_rad_dist := set_appr_rad_dist (source = magl_rad_dist, arg="md",

val = "dN(md)", error="sqr .и

gamma_0 = 0 • 1. rc_0 = le- -6, alpha_0 = 0. ■ 1,

gamma_l = 8 •0, rc_l = 0. • 2, alpha_l = 8. .0,

gamma_min = 0 • 1, rc_min = le- -6, alpha_min = 0. ■ 1,

gamma_max = 16 •0, rc_max = 10, .0, alpha_max = 16, .0,

gamma_grid = 0 •1, rc_grid = 0. .0025, alpha_grid = 0. •1.

gamma_grid_exp = 5 .0, rc_grid_exp = 5. .0, alpha_grid_exp = 5. ,0,

gamma_grid_dec = 5 •0, rc_grid_dec = 5. .0, alpha_grid_dec = 5. ,0,

gamma_eps = le- -3, rc_eps = le- -3, alpha_eps = le- •3)

A_grid_dec = 20 A_eps = le-

# нахождение параметров аппроксимации

f := magl_appr_rad_dist(0);

magl_appr := rf_exp_deg (A=f(A), rc=f(rc), alpha=f(alpha), gamma=f(gamma));

# аппроксимирующая функция print "\t" + f->[3]str + "\n" ;

rdl := plot_line (source=magl_rad_dist, using=("md", "dN(md)"),

with=lines, linetype=solid); rd2 := plot_line (source=magl_appr, with=lines, linetype=dashed); rd3 := plot_line (source=magl_rad_dist, using=("md", "dN(md)"),

with=boxes, linetype=dotted, linewidth=0.1); plot (apply=(rdl, rd2, rd3), output="sdss_rad_dist", plot_size=(0.85, 0.85), xlabel="md", ylabel="dN" ,

title="SDSS, radial distribution, size = " + magl->size->str + " points" );

# построение графика аппроксимации

drdl := set_tab_diff (source=magl_rad_dist, arg="md", val="dN(md)",

"f"=magl_appr, "s"=7.0);

# получение относительных флуктуации и уровня 7.0\sigma

rdfl := plot_line (source=drdl, using=("md", "f (md)"), with=lines, linetype=solid); rdf2 := plot_line (source=drdl, using=("md", "+f") , with=lines, linetype=dotted); rdf3 := plot_line (source=drdl, using=("md", "-f"), with=lines, linetype=dotted); rdf4 := plot_line (source="0.0", with=lines, linetype=dotted); rdf5 := plot.line (source=drdl, using=("md", "+f", "f (md)"),

with=filledcurves_below, fill_density=0.5, linecolor=grey); rdf6 := plot_line (source=drdl, using=("md", "-f", "f (md)"), with=filledcurves_above, fill_density=0.5, linecolor=grey);

plot (apply=(rdf1, rdf2, rdf3, rdf4, rdf5, rdf6), xrange=(30, 800), output="sdss_diff_rad_dist", plot_size=(0.85, 0.85), xlabel="md",

ylabel="{/Symbol D>_{rel> dN",

title="SDSS, radial distribution, size = " + magl->size->str + " points" );

# построение графика относительных флуктуации