Исследование математических моделей и методов для расчета и анализа установившихся режимов электроэнергетической системы Монголии тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.14.02, кандидат технических наук Цэвэгжавын Онормаа

• Цэвэгжавын Онормаа
• кандидат технических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат технических наук Цэвэгжавын Онормаа

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ СХОДИМОСТИ МЕТОДОВ МИНИМИЗАЦИИ ПРИ РАСЧЕТЕ УСТАНОВИВШИХСЯ РЕЖИМОВ ЭЭС МОНГОЛИИ.

1.1. Уравнения установившихся режимов электроэнергетических систем

1.2. Оценка обусловленности матрицы Якоби уравнений установившихся режимов ЭЭС Монголии.

1.3. Линейные методы минимизации ньютоновского типа.

1.4. Нелинейные методы минимизации.

1.4.1. Метод квадратичного спуска.

1.4.2. Двухпараметрический метод минимизации.

1.5. Численное исследование сходимости решения уравнений установившихся режимов ЭЭС Монголии в форме баланса токов в узлах методами минимизации.

1.6. Выводы.

ГЛАВА 2. ПРИМЕНЕНИЕ РЕГУЛЯРИЗОВАННЫХ МЕТОДОВ МИНИМИЗАЦИИ ДЛЯ РАСЧЕТА УСТАНОВИВШИХСЯ РЕЖИМОВ ЭЭС МОНГОЛИИ.

2.1. Регуляризованные методы минимизации на основе метода диагональной релаксации.

2.1.1. Метод диагональной релаксации.

2.1.2 Численное исследование сходимости регуляризованных методов минимизации на основе метода диагональной релаксации.

2.2. Регуляризованные методы минимизации на основе последовательного решения уравнений установившихся режимов в токовой и мощностной формах записи.

2.3. Выводы.

ГЛАВА 3. ИССЛЕДОВАНИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ, НЕОДНОЗНАЧНОСТИ И СХОДИМОСТИ РАЗЛИЧНЫХ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ УСТАНОВИВШИХСЯ РЕЖИМОВ ЭЭС МОНГОЛИИ.

3.1. Неоднозначность решения уравнений установившихся режимов ЭЭС Монголии.

3.2. Сходимость различных решений уравнений установившихся режимов ЭЭС Монголии.

3.3. Исследование существования решения уравнений установившихся режимов ЭЭС Монголии.

3.3.1. Оценка существования решения уравнений установившихся режимов ЭЭС Монголии по сходимости регуляризованных методов минимизации.

3.3.2. Применение критерия несовместности для оценки существования решения уравнений установившихся режимов ЭЭС Монголии.

3.3.3. Результаты численного исследования применимости критериев неосуществимости установившихся режимов для ЭЭС Монголии.

3.4. Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование математических моделей и методов для расчета и анализа установившихся режимов электроэнергетической системы Монголии»

Актуальность работы. Либерализация отношений в электроэнергетике Монголии приводит к радикальному изменению и усложнению условий функционирования ее электроэнергетической системы (ЭЭС). Это связано как со структурными преобразованиями электроэнергетики (дезинтеграцией вертикально-интегрированной ЭЭС, созданием конкурирующих генерирующих, сбытовых компаний и обеспечивающих их взаимодействие сетевых компаний), так и с принципиально новым характером совместной работы указанных выше компаний в составе технологически единой ЭЭС на основе реализации механизмов конкуренции на оптовом и розничных рынках электроэнергии при рациональной системе государственного регулирования отношений их участников [1,2].

В результате этого существенно увеличивается неопределенность параметров режимов ЭЭС даже в оперативных условиях вследствие колебания оптовых цен на электроэнергию и, соответственно, потокораспределения в ЭЭС, возрастает вероятность работы ЭЭС в предельных режимах с пониженными запасами устойчивости и ухудшенными показателями качества электроэнергии, увеличивается опасность возникновения аварийных ситуаций с непредсказуемым развитием событий и тяжелыми последствиями для ЭЭС и ее потребителей. Все эти факторы радикально усложняют управление нормальными и аварийными режимами ЭЭС.

В связи с этим от оперативно-диспетчерского управления в новых условиях требуется все большая точность управления режимами, что в настоящее время вызывает значительные трудности ввиду явного несоответствия используемых технических и программных средств современным условиям. Поэтому для надежного и качественного управления режимами необходимо переходить на новые технологии управления, методики и программные средства планирования электрических режимов в различных временных циклах управления, в том числе и в реальном времени, на основе современных технических средств сбора, передачи, обработки, отображения и документирования информации, современных вычислительных средств и информационных технологии, новейших математических методов, интегрированных в современные автоматизированные системы диспетчерского управления (АС-ДУ) ЭЭС [3-27].

В основе большинства задач, решаемых в автоматизированных системах диспетчерского управления (АСДУ) лежит задача расчета установившихся режимов ЭЭС, эффективность решения которой во многих случаях определяет возможность и эффективность решения других задач анализа режимов в рамках АСДУ. Поэтому одним из путей совершенствования и развития АСДУ ЭЭС является разработка и применение новых методов и алгоритмов, позволяющих на качественно новом уровне решать задачи анализа электрических режимов и, в первую очередь, задачу определения параметров установившихся режимов [3-27].

Система оперативного управления режимами ЭЭС предъявляет жесткие требования к методам анализа режимов. Применительно к методам расчета установившихся режимов эти требования заключаются обеспечении высокой надежности и скорости сходимости итерационных процессов и их быстродействия [21-23].

Требование высокой действенности метода или алгоритма расчета установившихся режимов ЭЭС приобретает в настоящее время решающее значение при реализации функций реального времени АСДУ, в системах автоматического противоаварийного управления (САПУ), при решении задач исследования надежности и живучести современных сложных ЭЭС при проектировании и управлении их функционированием, разработке и настройке систем противоаварийного управления ЭЭС, разработке эффективных систем тренажа и обучения оперативного персонала на полномасштабных цифровых режимных тренажерах [3-27]. Применение самых совершенных высокопроизводительных ЭВМ оказываются бесполезным при несходимости итерационного процесса метода. Поэтому вопрос обеспечения гарантированной сходимости методов расчета установившихся режимов при решении задач развития и функционирования ЭЭС на основе автоматизированных и, тем более, автоматических систем управления, приобретает первостепенное значение.

К решению указанного вопроса тесным образом примыкают вопросы существования и неоднозначности решения уравнений установившихся режимов ЭЭС. Так, оценка существования решения уравнений исследуемых установившихся режимов уже на стадии их расчета с помощью численных критериев имеет важное значение для эффективного решения многих задач надежности, устойчивоспособности, живучести, ввода режима в допустимую область и оптимизации режимов, что позволяет значительно повысить обоснованность принятия решения и его уровень при управлении функционированием ЭЭС и обеспечивает тем самым повышение качества управления, а значит надежность и экономичность работы ЭЭС.

Эффективным решением проблемы существования решения уравнений установившихся режимов ЭЭС может быть разработка метода, по сходимости которого можно было бы определять несуществование решения исследуемого режима.

Автоматизация управления развитием и функционированием по-новому ставит проблему неоднозначности решений уравнений установившихся режимов ЭЭС. Наряду с такими вопросами, как число решений уравнений установившихся режимов и их характер, возможность существования нескольких решений, отвечающих режимам, допустимым по условиям эксплуатации, в том числе, и статически устойчивым, при каких условиях и для каких режимов и электрических систем возможно проявление неоднозначности решения, имеющими методическое значение, остро стоят вопросы условий сходимости методов расчета к тем или иным решениям, и, следовательно, вопрос адекватности решений, получаемых с помощью ЭВМ, реальным режимам ЭЭС.

Большой вклад в решение этих вопросов внесли Г. Г. Адонц, Д.А. Арзамасцев, В.А. Баринов, П.И. Бартоломей, В.А. Веников, А.З. Гамм,

В.М. Горнштейн, В.И. Идельчик, J1.A. Крумм, В.З. Манусов, В.А. Строев, В.И. Тарасов, Х.Ф. Фазылов, JI.B. Цукерник, H.W. Dommel, С.Е. Hart, A.M. Sasson, B.Stott, W.E. Tinney, E. Van Ness и др.

Настоящая работа посвящена решению поставленных вопросов применительно к ЭЭС Монголии.

Цель диссертационной работы состоит в исследовании математических моделей, методов и алгоритмов, обеспечивающих эффективное решение задачи расчета установившихся режимов на всех временных уровнях оперативно-диспетчерского управления ЭЭС Монголии как самостоятельной задачи, так и основы задач ввода режима в допустимую область, оптимизации режимов, анализа возможных аварийных нарушений, оценки устойчивости, оценки оперативной надежности, советчиков диспетчера и др.

Задачи исследования. Задачами работы являются:

1. Исследование свойств и особенностей применения нелинейных уравнений узловых напряжений в формах баланса мощностей и баланса токов в узлах в полярной и прямоугольной системах координат переменных этих уравнений для расчета установившихся режимов ЭЭС Монголии.

2. Исследование сходимости линейных и нелинейных методов минимизации при решении уравнений установившихся режимов ЭЭС Монголии в формах и системах координат переменных при различных схемно-режимных условиях ее функционирования.

3. Исследование сходимости регуляризованных на основе метода диагональной релаксации линейных и нелинейных методов минимизации при решении уравнений установившихся режимов ЭЭС Монголии в форме баланса мощностей и форме баланса токов в полярной и прямоугольной системах координат переменных при различных схемно-режимных условиях ее функционирования.

4. Исследование сходимости регуляризованных на основе последовательного решения уравнений баланса токов в узлах, а затем уравнений баланса мощностей (IS регуляризация) линейных и нелинейных методов минимизации при расчете установившихся режимов ЭЭС Монголии при различных схемно-режимных условиях ее функционирования.

5. Исследование неоднозначности решения уравнений установившихся режимов ЭЭС Монголии при различных схемно-режимных условиях ее функционирования.

6. Исследование существования решения нелинейных уравнений установившихся режимов ЭЭС Монголии при различных режимных условиях ее функционирования и применимости численных критериев оценки осуществимости режимов при заданных расчетных условиях.

Методы исследования. Для решения поставленных задач в работе использовались элементы теоретических основ электротехники, линейной алгебры, теории матриц, математического анализа, вычислительной математики и нелинейного программирования.

Для выполнения расчетных исследований использовался программный комплекс, разработанный на кафедре электрических станций, сетей систем Иркутского государственного технического университета и апробированный в практике эксплуатации ряда ЭЭС Российской Федерации.

Достоверность результатов работы. В проводимых исследованиях в качестве расчетной схемы замещения ЭЭС Монголии принята расчетная схема, используемая Национальным диспетчерским центром энергетики Монголии. Исходные режимы зимнего максимума и летнего минимума нагрузок соответствуют данным контрольных замеров. Полученные результаты и выводы проверены расчетами ряда ЭЭС, в том числе Сибирских ЭЭС, близким по характеристикам ЭЭС Монголии и хорошо согласуются с известными теоретическими результатами.

Научная новизна и значимость полученных результатов по мнению автора заключается в следующем:

1. Исследованы свойства и особенности применения нелинейных уравнений узловых напряжений в формах баланса мощностей и баланса токов в полярной и прямоугольной системах координат переменных этих уравнений для расчета установившихся режимов ЭЭС Монголии. Показано высокая эффективность применения уравнений узловых напряжений в форме баланса токов в узлах, а для их решения - линейных и нелинейных методов минимизации. Полученные выводы справедливы для всех ЭЭС подобной структуры и распределительных сетей.

2. Впервые проведено комплексное исследование нелинейных свойств математического описания установившихся режимов ЭЭС Монголии - вопросов существования, неоднозначности и сходимости различных решений нелинейных уравнений установившихся режимов ЭЭС Монголии и на его основе даны практические рекомендации по оценке существования решения уравнений установившихся режимов при различных схемно-режимных условиях и в различных циклах управления, исключению негативного проявления неоднозначности решения уравнений установившихся режимов.

3. Показана высокая эффективность применения регуляризованных на основе метода диагональной релаксации линейных и нелинейных методов минимизации для расчета установившихся режимов ЭЭС Монголии, практически решающих проблему гарантированного получения решения уравнений баланса мощностей и баланса токов в узлах в полярной и прямоугольной системах координат переменных при расчетах любых установившихся режимов ЭЭС Монголии.

4. Исследована сходимость нового класса регуляризованных линейных и нелинейных методов минимизации, построенных на основе последовательного решения уравнений баланса токов в узлах, а затем уравнений баланса мощностей (IS регуляризация) на примере ЭЭС Монголии. Показано, что IS регуляризованные метод квадратичного спуска и двухпараметрический метод минимизации сходятся практически за один шаг даже с обычно задаваемых нулевых исходных приближений при расчете любых режимов ЭЭС Монголии.

5. Обоснована применимость двух численных критериев оценки осуществимости установившихся режимов при анализе ремонтных, аварийных и послеаварийных режимов ЭЭС Монголии в различных циклах управления.

Практическая ценность работы. Использование полученных в работе результатов обеспечит повышение эффективности АСДУ на всех территориальных и временных уровнях управления ЭЭС Монголии за счет получения надежного инструмента расчета и анализа режимов, расширения на его основе состава решаемых в рамках АСДУ задач, направленных на повышение надежности, экономичности режимов работы и качества электроэнергии, повышения производительности труда специалистов Национального диспетчерского центра энергетики Монголии.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертации докладывались и обсуждались на:

1. Международной научно-практической конференции «Наш вклад в решение актуальных вопросов развития Монголии», Иркутск, 2004 г.;

2. Международной научно-практической конференции «Россия-Монголия: современное состояние и перспективы развития сотрудничества», Иркутск, 2005 г.;

3. Международной научной конференции «Power industry and market economy», Ulaanbaatar, Mongolia, 2005 y.;

4. Всероссийской научно-технической конференции «Повышение эффективности производства и использования энергии в условиях Сибири», Иркутск, 2005 г.;

5. Всероссийской научно-технической конференции с международным участием «Энергетика: управление, качество и эффективность использования энергоресурсов», Благовещенск, 2005 г.;

6. Двенадцатой международной научно-технической конференции студентов и аспирантов «Радиоэлектроника, электротехника и энергетика», Москва, 2006 г.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 9 печатных работ, в том числе 2 работы в реферируемых изданиях ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения, списка литературы и приложения. Общий объем работы составляет 160 страниц, иллюстрирован одним рисунком, содержит 58 таблиц.

Заключение диссертации по теме «Электростанции и электроэнергетические системы», Цэвэгжавын Онормаа

3.4. Выводы

1. При расчетах установившихся режимов ЭЭС Монголии и задании в генерирующих узлах активных и реактивных мощностей генераторов:

- среди решений возможно существование по крайней мере двух, отвечающих режимам с допустимыми уровнями напряжений в узлах ЭЭС; существование таких решений возможно только при рассмотрении сильно нагруженных режимов, близких к предельным по "расчетной" устойчивости;

- возможно существование по крайней мере двух решений, соответствующих статически апериодически устойчивым режимам.

2. При задании в генераторных узлах активных мощностей и модулей напряжений генераторов:

- только одно из решений отвечает допустимым по напряжению режимам;

- только одно из решений соответствует статически устойчивым режимам;

-допустимые по значению напряжений решения являются "большими" решениями. Область существования "большего" решения уравнений установившихся режимов совпадает с областью статической устойчивости режимов ЭЭС Монголии.

3. Важным практическим свойством уравнений установившихся режимов ЭЭС Монголии при существующей конфигурации электрической сети, структуре, размещении и мощности генерирующих источников является соответствие реальных режимов «большим» решениям их уравнений независимо от способов задания исходных данных для генераторных узлов.

4. При расчетах установившихся режимов ЭЭС Монголии возможно проявление неоднозначности решения уравнений исследуемых установившихся режимов. Для исключения этих случаев даны практические рекомендации.

5. Математическая модель установившихся режимов, в которой все генераторы вводятся в расчет значениями Р и U, является более физичной для ЭЭС Монголии и поэтому более предпочтительной перед моделью, учитывающей генераторы значениями их Р и Q.

6. Показана применимость двух численных критериев оценки осуществимости установившихся режимов при анализе ремонтных, возможных аварийных и послеаварийных режимов ЭЭС Монголии. Рассмотренные критерии целиком базируются на математическом и программном аппарате рассмотренных в работе регуляризованных методов минимизации и диагональной релаксации и позволяют быстро и эффективно оценить осуществимость исследуемых установившихся режимов при заданных расчетных условиях.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основная направленность диссертационного исследования связана с эффективным решением задачи расчета установившихся режимов ЭЭС Монголии, имеющей важное самостоятельное значение и являющейся составной частью большинства задач анализа режимов при управлении развитием и функционированием ЭЭС на всех территориальных и временных уровнях иерархии управления.

Достижение главной цели потребовало решения ряда вопросов существования, неоднозначности и сходимости различных решений уравнений установившихся режимов ЭЭС Монголии, тесным образом связанных с основным вопросом работы и имеющих важное самостоятельное значение. Результаты выполненных исследований отражены в выводах каждой главы. Приведем наиболее важные теоретические и практические результаты.

1. Задача расчета установившихся режимов ЭЭС Монголии решением нелинейных уравнений баланса мощностей в узлах численными методами, основанными на вычислении первых производных уравнений (матрицы Якоби), является плохо обусловленной как в полярной, так и прямоугольной системах координат переменных. Плохая обусловленность матриц Якоби этих уравнений связана как с особенностью структуры электрической сети ЭЭС Монголии - слабозамкнутостью, радиальностью и протяженностью, так и неоднородностью параметров схемы замещения, вызванной наличием в электрической сети большого числа ступеней напряжения, и следовательно, большого числа разнотипных трансформаторов и автотрансформаторов; большого числа как длинных, так и коротких воздушных линий разных уровней напряжения; значительного количества воздушных линий, активные составляющие сопротивлений которых близки, и даже равны по величине реактивным составляющим сопротивлений.

Режимы ЭЭС Монголии характеризуются и высокой степенью неоднородности в значениях нагрузок узлов, что еще больше ухудшает обусловленность матриц Якоби их уравнений,

Поэтому метод Ньютона, нашедший широкое применение при решении многих задач анализа режимов ЭЭС, модифицированный метод Ньютона и его известные модификации являются неэффективными при расчетах установившихся режимов ЭЭС Монголии.

2. Более эффективны при расчете установившихся режимов ЭЭС Монголии методы, основанные на идее минимизации квадратичной функции невязок уравнений установившихся режимов в направлении вектора, определяемого решением линеаризованной системы исходных уравнений - ньютоновского направления минимизации. Однако, сходимость таких методов существенно зависит от вида функции невязок в области заданных исходных приближений.

В работе показано, что квадратичная функция невязок уравнений установившихся режимов ЭЭС Монголии в форме баланса мощностей в узлах в полярной и прямоугольной системах координат переменных имеет очень сложный рельеф в заданной исходным приближением X(0) = {Uj = UiH0M;

8j =0|i = l,.,n; j = l.n + l> области Q = {XeRN|cp(X)<ф(Х(0))}. При этом функция на периферийных участках этой области сильно невыпукла.

Невыпуклость функции в указанной области сопровождается прохождением поверхности вырождения якобиана уравнений баланса мощностей в непосредственной близости от точек «нулевых» исходных приближений как при задании в генераторных узлах активных и реактивных мощностей генераторов, так и при задании в них активных мощностей и модулей напряжений.

Поверхность вырождения якобиана уравнений баланса мощностей имеет сложную конфигурацию не только в окрестности нулевых исходных приближений, но и окрестности решений уравнений установившихся режимов, отвечающих реальным режимам ЭЭС.

Невыпуклость квадратичной функции невязок уравнений установившихся режимов ЭЭС Монголии в форме баланса мощностей в узлах и сложный вид этой невыпуклости часто приводит к сходимости методов минимизации ньютоновского типа при расчете установившихся режимов ЭЭС Монголии к точкам на поверхности вырождения матрицы Якоби, которые не всегда являются «стационарными».

3. Исследована сходимость метода квадратичного спуска и двухпара-метрического метода минимизации при решении уравнений установившихся режимов ЭЭС Монголии. Показано, что близость точек «нулевых» исходных приближений к поверхности вырождения матрицы Якоби уравнений баланса мощностей в узлах может приводить к сходимости метода квадратичного спуска и двухпараметрического метода минимизации к локальным минимумам, лежащим на этой поверхности.

4. Эффективность решения задачи расчета установившихся режимов ЭЭС Монголии рассмотренными в работе методами значительно повышается при использовании в качестве уравнений установившихся режимов уравнений баланса токов в узлах.

Применение токовой формы записи уравнений узловых напряжений позволяет исключить негативное влияние неоднородности параметров электрической сети на обусловленность матриц Якоби, улучшить «геометрические» свойства квадратичного функционала невязок уравнений, «отодвинуть» поверхности вырождения матрицы Якоби от «нулевых» исходных приближений и траекторий итерационных процессов линейных и нелинейных методов минимизации.

Сходимость рассмотренных в главе методов минимизации ньютоновского типа, квадратичного и двухпараметрического метода минимизации при решении уравнений баланса токов в узлах, более высокая в прямоугольной системе координат переменных.

5. Рассмотрено применение регуляризованных методов Ньютона - диагональной релаксации, минимизации ньютоновского типа - диагональной релаксации, квадратичного спуска - диагональной релаксации, двухпараметри-ческого метода минимизации - диагональной релаксации, в которых роль стартового метода играет метод диагональной релаксации, для расчета установившихся режимов ЭЭС Монголии.

Показано, что регуляризованные методы обладают более надежной и быстрой сходимостью, чем «классические» методы при расчете установившихся режимов ЭЭС Монголии независимо от формы записи уравнений и вида переменных этих уравнений. Даже метод Ньютона, обладающий наименьшей действенностью из рассмотренных методов, демонстрирует в сочетании с методом диагональной релаксации качественно более высокие вычислительные характеристики при расчете установившихся режимов ЭЭС Монголии.

Регуляризованный метод квадратичного спуска - диагональной релаксации и регуляризованный двухпараметрический метод минимизации - диагональной релаксации обеспечивают сходимость за один-два шага с обычно задаваемых нулевых исходных приближений при расчете любых режимов ЭЭС Монголии.

6. Рассмотрены регуляризованные методы Ньютона, минимизации ньютоновского типа, квадратичного спуска и двухпараметрический метод минимизации, основанные на последовательном решении в начале уравнений баланса токов в узлах, а затем уравнений баланса мощностей (IS регуляризация) для расчета установившихся режимов ЭЭС Монголии.

Уравнения установившихся режимов в токовой форме решаются в прямоугольной системе координат переменных методом минимизации ньютоновского типа, обладающим более надежной сходимостью, чем метода Ньютона и меньшей трудоемкостью, чем методы квадратичного спуска и двухпараметрический метод минимизации.

Показано, что IS регуляризованные методы квадратичного спуска и двухпараметрический метод минимизации обеспечивают сходимость прак тически за один шаг с обычно задаваемых нулевых исходных приближений при расчете любых режимов ЭЭС Монголии.

7. Регуляризованные на основе метода диагональной релаксации и IS регуляризации метод квадратичного спуска и двухпараметрический метод минимизации практически решают проблему гарантированного получения решения уравнений баланса мощностей и баланса токов в узлах в полярной и прямоугольной системах координат переменных при расчетах любых установившихся режимов ЭЭС Монголии.

8. Показано, что при расчетах установившихся режимов ЭЭС Монголии и задании в генераторных узлах активных и реактивных мощностей генераторов:

- среди решений возможно существование по крайней мере двух, отве чающих режимам с допустимыми уровнями напряжений в узлах ЭЭС; суще ствование таких решений возможно только при рассмотрении сильно нагруженных режимов, близких к предельным по "расчетной" устойчивости;

- возможно существование по крайней мере двух решений, соответствующих статически апериодически устойчивым режимам.

При задании в генераторных узлах активных мощностей и модулей напряжений генераторов:

- только одно из решений отвечает допустимым по напряжению режи мам;

- только одно из решений соответствует статически устойчивым режи мам;

- допустимые по значению напряжений решения являются "большими" решениями. Область существования "большего" решения уравнений установившихся режимов ЭЭС совпадает с областью статической устойчивости режимов.

Важным практическим свойством уравнений установившихся режимов ЭЭС Монголии при существующей конфигурации электрической сети, структуре, размещении и мощности генерирующих источников является соответствие реальных режимов «большим» решениям их уравнений.

При расчетах установившихся режимов ЭЭС Монголии возможно проявление неоднозначности решения уравнений исследуемых установившихся режимов. Для исключения этих случаев даны практические рекомендации.

9. Математическая модель установившихся режимов, в которой все генераторы вводятся в расчет значениями Р и U, является более физичной и поэтому более предпочтительной перед моделью, учитывающей генераторы значениями их активной и реактивной мощностями.

10. Показана применимость двух численных критериев оценки осуществимости установившихся режимов при анализе ремонтных, аварийных и по-слеаварийных режимов ЭЭС Монголии. Рассмотренные критерии целиком базируются на математическом и программном аппарате рассмотренных в работе регуляризованных методов и позволяют быстро и эффективно оценить осуществимость исследуемых установившихся режимов при заданных расчетных условиях.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Цэвэгжавын Онормаа, 2007 год

1. Монгол улсын хууль «Эрчим хучний тухай». 2001 оны 02-р сарын 01-ний одор. Монгол улсын засгийн газар. Улаанбаатар хот.2. «Монгол улсын Эрчим хучний нэгдсэн систем» хотолбор. Дэд бутцийн Яам. Улаанбаатар. 2001 он. х. 21.

2. Гамм А.З. Статистические методы оценивания состояния ЭЭС. -М.: Наука, 1976.-220с.

3. Крумм J1.A. Методы приведенного градиента при управлении ЭЭС. -Новосибирск: Наука, 1977.-207с.

4. Автоматизация управления энергообъединениями / В.В.Гончуков, В.М.Горнштейн, Л.А.Крумм и др.: Под ред. Совалова С.А. -М.: Энергия, 1979. -432с.

5. Крумм Л.А. Методы оптимизации при управлении ЭЭС. -Новосибирск: Наука, 1981.-317с.

6. Горнштейн В.М., Мирошниченко Б.П., Пономарев А.В., Тимофеев В.А., Юровский Г.М. Методы оптимизации режимов энергосистем. -М.: Энер-гоиздат, 1981. -336с.

7. Управление энергосистемами: Переводы докладов Международной конференции по большим электрическим системам / Под ред. Ю.Н.Руденко, В.А.Семенова. -М.: Энергоиздат, 1982. -112с.

8. Гамм А.З., Герасимов Л.Н., Голуб И.И., Гришин Ю.А., Колосок И.Н. Оценивание состояния в электроэнергетике. -М.: Наука, 1983. -302с.

9. Автоматизированная система оперативно-диспетчерского управления электроэнергетическими системами / Войтов О.Н., Воронин В.Н., Гамм

10. A.З., и др. -Новосибирск: Наука, 1986. -203с.11 .Автоматизированные системы диспетчерского управления в энергетике и пути их совершенствования / Мамиконянц Л.Г., Митюшкин К.Г., Орнов

11. B.Г. и др. // Электрическтво. 1987. №3. -с. 1-6.

12. Анализ и управление установившимися состояниями электроэнергетических систем / Н. А. Мурашко, Ю. А. Охорзин, Л. А. Крумм и др. -Новосибирск: Наука, 1987. -240 с.

13. Орнов В. Г., Рабинович М. А. Задачи оперативного и автоматического управления энергосистемами. -М.: Энергоатомиздат, 1988. -225с.

14. Н.Режимная управляемость систем энергетики / Кощеев Л.А., Руденко Ю.Н., Ставровский Е.Р. и др. -Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние. 1988. -234с.

15. Методы решения задач реального времени в электроэнергетике / А. 3. Гамм, Ю. Н. Кучеров, С. И. Паламарчук и др. -Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1990. -294 с.

16. Методы и модели исследования живучести систем энергетики / Антонов Г.Н., Черкесов Г.Н., Криворуцкий Л.Д. и др. -Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1990. -285 с.

17. П.Баринов В.А., Совалов С. А. Режимы энергосистем: Методы анализа и управления. -М.: Энергоатомиздат, 1990. -440 с.:ил.

18. Методы управления физико-техническими системами энергетики в новых условиях / Н. И. Воропай, Н. Н. Новицкий, Е. В. Сеннова и др. -Новосибирск.: Наука, СИФ РАН, 1995, -335с.

19. Надежность систем энергетики: достижения, проблемы, перспективы / Г.Ф. Ковалев, Е.В. Сеннова, М.Б. Чельцов и др. / Под ред. Н.И. Воропая. -Новосибирск: Наука, Сибирское предприятие РАН, 1999.-434 с.

20. Автоматизация диспетчесркого управления в электроэнергетике / Под общей ред. Ю.Н. Руденко и В.А. Семенова. -М.: Издательство МЭИ, 2000. -648 с.

21. Тарасов В.И. Методы минимизации ньютоновского типа для расчета установившихся режимов ЭЭС. -Новосибирск.: Наука, 2001. -168 с.

22. Тарасов В.И. Нелинейные методы минимизации для расчета установившихся режимов ЭЭС. -Новосибирск.: Наука, 2001.-214 с.

23. Тарасов В.И. Теоретические основы анализа установившихся режимов ЭЭС. -Новосибирск: Наука, 2002. -344 с.

24. Надежность либерализованных систем энергетики / В.А. Баринов, В.А., Савельев, М.Г., Сухарев и др. -Новосибирск: Наука, 2004. -333 с.

25. Управление электроэнергетическими системами новые технологии и рынок. -Сыктывкар, 2004. -298 с.

26. Вестник УГТУ-УПИ. Энергосистема: Управление, качество, конкуренция: Сборник докладов II Всероссийской научно-технической конференции. -Екатеринбург: ГОУ ВПО «УГТУ-УПИ», 2004 №12(42). -500с.

27. Вестник УГТУ-УПИ. Проблемы управления электроэнергетикой в условиях конкурентного рынка: Сборник трудов / отв. Ред. П.И. Бартоломей. -Екатеринбург: ГОУ ВПО «УГТУ-УПИ», 2005 №12(64). -338 с.

28. Фазылов Х.Ф. Теория и методы расчета электрических систем. Ташкент: Изд-во АН УзССР, 1953. -175 с.

29. Фазылов Х.Ф. Методы режимных расчетов электрических систем. -Ташкент: Наука, 1964. -100с.

30. Крумм Л.А. Применение метода Ньютона Рафсона для расчета стационарного режима сложных электрических систем // Изв. АН СССР. Энергетика и трансп. 1965. № 5. -с. 7-15.

31. Идельчик В.И. Ускорение сходимости решения при расчете стационарного режима энергосистемы // Изв.АН СССР. Энергетика и трансп. 1965. № 3. -с. 17-25.

32. Гамм А.З., Крумм J1.A., Шер И.А. Общие принципы расчета стационарного режима электрической системы с разбивкой на подсистемы // Изв.АН СССР. Энергетика и трансп. 1965. № 6. -с. 7-16.

33. Гамм А.З., Крумм Л.А., Шер И.А. Два алгоритма расчета стационарного режима сложных электрических систем с разбивкой на подсистемы // Изв.АН СССР. Энергетика и трансп. 1966. № 1. -с. 51-63.

34. Гамм А.З., Крумм JI.A., Шер И.А. Оптимизации режима сложной электрической системы градиентным методом с разбивкой на подсистемы // Электричество. 1967. № 1. -с. 21-29.

35. Арзамасцев Д.А., Бартоломей П.И., Скляров Ю.С. О методах решения систем уравнений узловых напряжений на ЦВМ // Изв. вузов СССР. Энергетика, 1967. №5.-с. 11-18.

36. Идельчик В. И. К вопросу о влиянии погрешностей исходных данных на результат расчета стационарного режима энергосистем. // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1968. №2. -с. 9-15.

37. Гамм А.З. К вопросу об увеличении эффективности алгоритмов расчета режима электрических систем // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1968. №3.-с. 3-13.

38. Dommel N.W., Tinney W.F. Optimal power flow solutions // IEEE. PAS-87. 1968. №10. P.1866-1876.

39. Гороховир Д.И., Журавлев В.Г. Применение метода преобразования цепей для расчета нормального режима электрических систем // Электричество. 1969. №5.-с. 6-10.

40. Латышева Т.С. О сходимости итерационных методов расчета установившихся режимов электрических сетей // Изв. АН СССР. Энергетика и трансп, 1969. № 5. -с. 95-98.

41. Латышева Т.С. Расчет установившихся режимов электрической сети при заданных мощностях в узлах // Изв. АН СССР. Энергетика и трансп, -1970. №1. -с. 157-161.

42. Гамм А.З. Построение цепочечных схем расчета стационарного режима электрической сети // Тр.энергетической секции. -Красноярск: Красн.книж.изд-во. 1970.-е. 143-150.

43. Гамм А.З. О нумерации узлов при расчетах установившихся режимов электрических систем методов Ныотона-Рафсона // Электричество. 1970. №2. -с. 59-61.

44. Идельчик В. А. Свойства решения уравнений стационарного режима сложных энергосистем. -Иркутск: изд. ИПИ, 1970. 4.1. -57с. Ч.Н. -105с.

45. Dommel N.W., Tinney W.F., Powell W.L. Further developmentin in Newton's method for power system applications // IEEE inter Power Meet. New York,1970. Paper 70CP161-PWR.

46. Веников В. А., Строев В. А., Идельчик В. И., Тарасов В. И. Оценка статической устойчивости электрических систем на основе решения уравнений установившегося режима. // Изв. АН СССР. Энергетика и трансп. 1971, № 5.-с. 18-23.

47. Идельчик В.И., Тарасов В.И. Апериодическая устойчивость и сходимость решений уравнений установившегося режима // Вопросы применения математических методов при управлении режимами и развитием электрических систем. -Иркутск: ИПИ, 1971.-е. 47-62.

48. Кузьмин Я.Ф., Махнитко А.Е. Использование метода Ньютона для построения алгоритмов расчета режимов электрических сетей //Изв. АН Латв.ССР. Серия физ. и техн.наук. 1971. № 4.

49. Бартоломей П.И., Липес А.В. Применение новых способов записи и решения уравнений узловых напряжений на ЦВМ // Электричество. 1971. № 8. -с. 25-30.

50. Sasson A., Trevino С., Aboytes F. Improved Newton's load flow through a minimsation technique // IEEE. PAS-90,1971. №6. P. 1974-1981.

51. Stott B. Effective starting process for Newton-Raphson load flows // Proc. IEE,1971. V.118. P.983-987.

52. Горнштейн B.M., Максимов Ю.А., Петухов Д.Г., Тимофеев В.А. Развитие методов расчета потокораспределения в электрической сети // Тр. ВНИИЭ. -М.: Энергия, 1971. № 38. -с. 39-50.

53. Идельчик В.И., Лазебник А.И. Аналитическое исследование сходимости решения уравнений установившегося режима электрических систем // Изв. АН СССР. Энергетика и трансп. 1972. № 3. -с. 47-56.

54. Гамм А.З. Методы расчета нормальных режимов электроэнергетических систем на ЭВМ. -Иркутск: ИПИ, 1972. -186с.

55. Идельчик В. И., Тарасов В. И., Строев В. А. О связи статической устойчивости и сходимости итерационного процесса при расчете установившегося режима электрической системы // Изв. АН СССР. Энергетика и трансп. 1972. №6.-с. 32-38.

56. Веников В.А., Строев В. А., Идельчик В. И., Тарасов В. И. К определению предельных по апериодических статической устойчивости режимов электрических систем // Изв. АН СССР. Энергетика и трансп. 1973. № 1.-е. 46-53.

57. Стотт Р. Обзор методов расчета потокораспределения. ТИИЭР. 1974. Т.62. №7. -с. 64-80.

58. Фазылов Х.Ф., Брискин И.Л., Насыров Т.Х. Алгоритмы расчетов установившихся режимов больших электрических систем // Электричество. 1972. №9. -с. 11-14.

59. Тарасов В.И. Ускорение сходимости метода по параметру при расчетах установившихся режимов электрических систем // Вопросы применения математических методов при управлении режимами и развитием электрических систем. Иркутск: ИПИ, 1972. -с. 19-29.

60. Арзамасцев Д.А., Бартоломей П.И., Липес А.В. Расчеты и анализ установившихся режимов больших электрических систем. Часть I // Изв. вузов СССР. Энергетика, 1974. №10. -с. 3-11.

61. Арзамасцев Д.А., Бартоломей П.И., Липес А.В. Расчеты и анализ установившихся режимов больших электрических систем. Часть II // Изв. вузов СССР. Энергетика, 1975. №1. -с. 3-10.

62. Хачатрян B.C. Определение установившихся режимов больших ЭЭС с применением метода Ньютона-Рафсона // Изв. АН СССР. Энергетика и трансп. 1974. №4. -с. 36-48.

63. Идельчик В.И., Тарасов В.И. Исследование на ЦВМ существования, неоднозначности и сходимости решения уравнений установившегося режима ЭЭС // Электричество. 1974. №2. -с. 20-24.

64. Stott В., Alsac О. Fast Decoupled Load Flow // IEEE. PAS-93. 1974. N 3. -P. 859-870.

65. Манусов B.3., Лыкин A.B., Сидоркин Ю.М. Алгоритм метода Ныотона-Рафсона для решения уравнений узловых напряжений в обобщенной форме // Изв. вузов СССР. Энергетика, 1974. №9. -с. 3-7.

66. Venikov V.A., Stroyev V.A., Idel'chik V.I., Tarasov V.I. Estimation of Electrical Power System Steady-State Stability in Load Flow Calculations // IEEE PES Summer Meeting Energy Resources Conf., Analeim, Cal, July, 1974.

67. Venikov V.A., Stroyev V.A., Idel'chik V.I., Tarasov V.I. Estimation of Electrical Power System Steady-State Stability in Laoad Flow Calculations // IEEE PAS, 1975. N3.

68. Идельчик В.И. Предел по существованию решения уравнений установившегося режима // Вопросы применения математических методов при управлении режимами и развитием электрических систем. -Иркутск: ИПИ, 1975.-с. 6-21.

69. Крумм J1.A. Обобщение метода Ньютона при управлении энергетическими системами // Изв. АН СССР. Энергетика и трансп. 1976. №3. -с. 3-20.

70. Грицай М.А., Журавлев В.Г. Расчет потокораспределения в электрической сети по методу определяющих величин // Электричество. 1976. № 6. -с. 17-22.

71. Tinney W.F., Hart С.Е. Power flow solution by Newton-s method. // IEEE. PAS-86. 1977. №1. P.1449-1456.

72. Sachdev M.S., Medicherla Т.К. A second order load flow technique // IEEE. PAS-96. 1977. N 1.-P. 189-195.

73. Идельчик В.И. Расчеты установившихся режимов электрических систем. -М.: Энергия, 1977.-192 с.

74. Iwamoto S., Tamura Y. A fast load flow methd retaining non-linearity technique//IEEE. PAS-97. 1978. N5.-P. 1586-1599.

75. Колесникова Н.О., Крылов В.А., Писаренко В.П., Хрущева В.В. Расчет ус-тановившиегося режима сложных энергосистем модифицированным методом Ньютона // Проблема нелинейной электротехники. -Киев: 1981. Т.2. -с. 70-73.

76. Roy L., Mohan Rao S. Second order 3-phase load flow // Elec. Power and Energy Syst. 1981.-Vol. 3.N l.-P. 50-56.

77. Sachedey M.S., Abrahim S.A. A mobified second order load flow technique ising rectangular coordinates // Can.Commun. and Energy Conf., Motreal. 1982. P. 13-15.

78. Бартоломей П.И., Окуловский C.K. Итерационное решение систем линейных уравнений в электроэнергетических задачах // Изв. АН СССР. Энергетика и трансп. 1982. №4.-с. 19-27.

79. Бартоломей П.И., Окуловский С.К., Авраменко А.В., Ярославцев А.А. Повышение эффективности метода Ньютона при расчетах установившихся режимов больших электрических систем // Электричество. 1982. №8. -с. 15.

80. Влычков П.М., Гамов И.К. Повышение скорости и улучшение сходимости и надежности решения уравнений установившегося режима электрических систем // Электричество. 1982. №7. -с. 63-66.

81. Tripathy S., Prasad P. Load flow solutions for ill-conditioned power system by a Newton-like method//IEEE. PAS-101.1982.N 10. P. 3648-3656.

82. Rao P.S.N., Rao K.S.P., Nanda J. An exact fast load flow method including second order tems in rectangular coordinates // IEEE. PAS-101. 1982. N9. P. 3261-3268.

83. Roy L., Rao N.D. Real time monitoring of power system using a fast second order method // Prog. IEE. Part. C. V.130. May 1983. P. 103-110.

84. Насвицевич Б.Г. Адаптивные алгоритмы расчета установившихся режимов ЭЭС ньютоновского типа // Вопросы развития автоматизированной системы оперативно-диспетчерского управления электроэнергетическими системами. -Иркутск: 1984. -с. 78-87.

85. Насвицевич Б.Г. Охорзин Ю.А. Алгоритм выбора шага в методе Ньютона при расчете установившихся режимов в оценивании состояния ЭЭС // Информационное обеспечение диспетчерского управления в электроэнерге-тике.-Новосибирск: Наука, 1985. -с. 90-97.

86. Фазылов Х.Ф., Насыров Т.Х. Основы теории расчета установившихся режимов электрических систем. -Ташкент: Фан, 1985. -76 с.

87. Тарасов В.И. Ускоренные методы расчета установившихся режимов электроэнергетических систем. // Экономия электроэнергии в электроэнергетических системах. Сборник научных трудов. -М.: МЭИ. №104. 1986.

88. Tarasov V.I., Gurevich V.L., Slobodskoy A.M. Method of Solution of Ill-conditioned Load flow Systems // 9th Power Systems Computation Conference Proceedings (PSCC). Cascais, p. 319-322.1987.

89. Nanda J., Bijwe P.R., Kothari D.P., Sheney D.L. Second order decoupled load flow // Elect. Mach. and Power Syst. 1987. 12 N4-5. P. 301-312.

90. Тарасов В.И. О рациональном синтезе методов и алгоритмов расчета установившихся режимов при оперативном управлении ЭЭС // Вопросы развития автоматизированной системы оперативно-диспетчерского управления ЭЭС. -Иркутск: СЭИ, 1987. -с. 68-78.

91. Тарасов В.И., Гуревич B.JI., Слободской A.M. Новые методы расчета установившихся режимов электрических систем // II Всесоюзн.научн.-техн.конф. по моделированию электроэнергетических систем: Тезисы докл. Рига: 1987.-е. 197-198.

92. Гуревич В.Л., Тарасов В.И. Метод расчета установившихся режимов электроэнергетических систем в прямоугольных координатах // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1987. № 5. -с. 50-60.

93. Крумм Л.А., Насвицевич Б.Г. Исследование и развитие обобщенных методов ньютоновского типа при анализе установившихся режимов ЭЭС и управлении ими // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1987. № 2. -с. 25-36.

94. Крылов В.А., Писаренко В.П., Колесникова И.Ф. Математическое моделирование элементов электрической сети при расчете нормального режима модифицированным методом Ньютона // Техническая электродинамика, 1988. №1. -с. 78-83.

95. Строев В.А., Смирнова С.Н., Пискаренко И.В. Об одной алгоритмической реализации метода Ньютона для расчетов установившихся режимов электроэнергетических систем // Сб. научн. тр. №186. -М.: МЭИ. 1988. -с. 5-12.

96. Гуревич В.Л., Тарасов В.И. Об одном методе решения систем квадратичных уравнений // Методы оптимизации и их приложения. -Иркутск: СЭИ СО АН СССР. 1988. -с. 154-166.

97. Тарасов В.И. Повышение эффективности расчетов установившихся режимов электрических систем // Изв. СО АН СССР. СТН.87. Вып.2. 1988. -с. 114-120.

98. Слободской А. М., Тарасов В. И. Двухпараметрический метод минимизации для расчета установившихся режимов электроэнергетических систем // Изв. АН СССР. Энергетика и трансп. 1989. № 2. -с. 55-65.

99. Слободской А. М., Тарасов В. И. Нелинейный метод минимизации для расчета установившихся режимов электроэнергетических систем // Изв. вузов. Энергетика. 1989. № 12. -с. 28-31.

100. Тарасов В.И., Слободской А. М. Расчет установившихся режимов электроэнергетических систем методом минимизации // Электричество. 1990. №5.-с. 16-21.

101. Тарасов В. И., Слободской А. М. Методы криволинейного спуска для расчета установившихся режимов электроэнергетических систем // Изв. АН СССР. Энергетика и трансп. 1990. № 2. -с. 53-66.

102. Тарасов В. И., Слободской А. М. Методы анализа послеаварийных режимов при исследовании живучести электроэнергетических систем // Методы и модели исследования живучести систем энергетики. -Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1990. -с. 185-193.

103. Тарасов В.И., Слободской А. М. Расчет установившихся режимов электроэнергетических систем методом минимизации // Электричество. 1990. №5.-с. 16-21.

104. Тарасов В.И. Об одном методе расчета установившихся режимов электрических сетей // Электричество. 1996. №7. -с. 56-63.

105. Тарасов В.И. Об одном двухпараметрическом минимизационном методе расчета установившихся режимов электроэнергетических систем. // Известия Российской Академии наук. Энергетика. 1997, № 6.

106. Тарасов В.И. Регуляризованные методы расчета установившихся режимов электроэнергетических систем // Электричество. 2002. №12. -с. 2-9.

107. Ковшар Л.Г., Коробчук К.В., Цукерник Л.В. К вопросу об однозначности результатов и сходимости итерационного расчета установившегося электрического режима энергосистемы // Изв. АН СССР. Энергетика и трансп. 1966. №4.-с. 108-110.

108. Смирнов К.А. О единственности решения при расчете оптимального распределения мощностей в энергосистеме // Проблемы электроэнергетики. М.: Наука, 1966. -с. 46-70.

109. Гарашук В.И. О неоднозначности результатов расчетов режимов электрических сетей на ЦВМ // Применение математических методов и вычислительных машин в энергетике. -Кишинев, Вып. 2.1968.

110. Адонц Г.Т. О сходимости итерации к единственному решению в расчетах установившихся режимов электрической системы // Изв. АН СССР. Энергетика и трансп. 1971. № 3. -с. 45^49.

111. Идельчик В.И., Лазебник А.И. Аналитическое исследование существования и единственности решения уравнений установившегося режимаэлектрической системы // Изв. АН СССР. Энергетика и трансп. 1972. № 2. -с. 51-59.

112. Горушкин В.И., Латышева Т.С. Об областях единственности решения уравнений установившегося режима электрической сети с заданными мощностями в узлах // Изв. АН СССР. Энергетика и трансп. 1974. № 1. -с. 56-63.

113. Смирнов К.А. О числе решений уравнений установившегося режима электроэнергетической системы // Изв. АН СССР. Энергетика и трансп. -1983. № 5. -с. 75-83.

114. Идельчик В.И., Тарасов В.И. Исследование на ЦВМ существования, неоднозначности и сходимости решения уравнений установившегося режима ЭЭС // Электричество. 1974. № 2. -с. 20-24.

115. Фазылов Х.Ф., Насыров Т.Х. Критерии существования и единственности реального решения на ЦВМ уравнений установившегося режима электрических систем. -Ереван: АрмНИИЭ, 1976. -с. 252-257.

116. Васин В.П. Структура области существования самоустанавливающегося режима ЭЭС в пространстве активных мощностей // Изв. АН СССР. Энергетика и трансп. 1981. № 1. -с. 6-18.

117. Васин В. П. Структура множества установившихся режимов ЭЭС. Изв. АН СССР. Энергетика и трансп. 1981, № 4. -с. 6-18.

118. Грицай М.А. Существование режима электроэнергетической системы. -Кишинев: Штинца, 1987. 121с.

119. Бык Ф.Л., Зельманов Е.И., Кобец Б.Б., Тарнопольский В.Г. Упрощенный достаточный критерий существования режима электроэнергетической системы // Изв. АН СССР. Энергетика и трансп. 1989. № 4.-е. 1623.

120. Гуревич В. Л., Слободской А. М., Тарасов В. И. Критерий существования установившихся режимов сложных электроэнергетических систем. // Изв. АН СССР. Энергетика и трансп. 1991. № 2. -с. 37-45.

121. Нестеренко Н.Г., Кобец Б.Б., Бык Ф.Д. Оценка областей существования режима для консервативных моделей электроэнергетических систем // Изв. АН СССР. Энергетика и трансп. 1991. № 5. -с. 76-81.

122. Фадеев Д. К., Фадеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. -М.: Физматгиз, 1963. -734с.

123. Гамм А. 3., Голуб И. И., Обнаружение слабых мест в электроэнергетическом системе // Энергетика и транспорт. 1993. с.5-8.

124. Гамм А.З., Голуб И.И. Сенсоры и слабые места в электроэнергетических системах. -Иркутск: СЭИ СО РАН, 1996. -99с.

125. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация. -М.: Мир, 1985. -509с.

126. Методические указания по устойчивости энергосистем. -М.: Изд-во НЦ ЭНАС, 2004.-16с.