Исследование краевых задач на собственные функции и собственные значения для сингулярно возмущенного релятивистского аналога уравнения Шредингера тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Васильев, Сергей Анатольевич

• Васильев, Сергей Анатольевич
• кандидат физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Васильев, Сергей Анатольевич

Введение.

Глава 1 Построение асимптотического решения краевых задач

А2м и В2т.

1.1 Введение.

1.2 Формализм построения асимптотического решения задач

2т * 2я% I

Ае ' и Ве ' для случая последовательных краевых условий и

1.2.1 Общая схема построения асимптотики. Регулярный и пограничный ряды.

1.2.2 Главные члены асимптотики.

1.2.2.а Нулевое приближение.

1.2.2.6 Поиск следующих приближений.

1.2.3 Обоснование асимптотики.

1.3 Формализм построения асимптотического решения задач Ле2т'1 и Ве2т'1 для случая последовательных краевых условий и 1*0.

1.3.1 Общая схема построения асимптотики. Регулярный и пограничный ряды.

1.3.2 Главные члены асимптотики.

1.3.2.а Нулевое приближение.

1.3.2.6 Поиск следующих приближений.

1.4 Формализм построения асимптотического решения задач А2"1'1 и Ве2т'' для краевых условий общего вида.

1.4.1 Общая схема построения асимптотики. Регулярный и пограничный ряды.

1.4.2 Главные члены асимптотики.

1.4.2.а Нулевое приближение.

1.4.2.6 Поиск следующих приближений.

1.5 Общее обоснование асимптотики.

1.6 Нормировка асимптотических решений собственных функций задач А2т'' и В2т>1.

1.7 Выводы по 1 главе.

Глава 2 Поведение собственных функций и собственных значений

2т I 2т I краевых задач Ае ' и Ве ' при неограниченном возрастании порядка уравнения 2т.

2.1 Введение.

2.2 Сравнение асимптотик собственных функций и собственных значений при 2т и 2т+2.

2.3 Обоснование поведения собственных функций и собственных значений при неограниченном возрастании порядка уравнения 2т.

2.4 Выводы по 2 главе.

Глава 3 Построение разностной схемы на кусочно-равномерной сетке для решения краевых задач Ае4'0, Ае6'0 и В£4'0, Ве4'0.

3.1 Введение.

3.2 Постановка задач для численного исследования.

3.3 Построение разностной схемы на кусочно-равномерной сетке

3.4 Оценка погрешности аппроксимации схемы для задач Aj'°* и

В J'0* (t=4,6) на сетках Ц иЦ

3.5 Теорема о сходимости решений на сетках Q^ и 0~.

3.6 Поиск решений с помощью метода прогонки.

3.6.1 Поиск собственных значений матриц W4 и W^.

3.6.2 Метод прогонки для задач Aj'° и Bj'°*(t=4,6).

3.7 Выводы по 3 главе.

Глава 4 Построение асимптотических приближений и поиск численных решений краевых задач А2"4 и Вв2т'' для различных потенциалов.

4.1 Введение.

4.2 Краевые задачи А2т'1 и Ве2т'' в случае потенциала линейного гармонического осциллятора.

4.2.1 Построение асимптотического приближения.

4.2.2 Поиск численных решений.

4.3 Краевые задачи А21"'1 и В2т' в случае кулоновского потенциала.

4.3.1 Построение асимптотических приближений.

4.3.2 Поиск численных решений.

4.4 Краевая задача А2т^ в случае центробежного потенциала.

4.4.1 Построение асимптотических приближений.

4.4.2 Поиск численных решений.

4.5 Численный поиск энергетического спектра и волновых функций связных состояний кварка и антикварка в рамках модели кваркониев с использованием краевых задач Вв40*иВв60*.

4.6 Выводы по 4 главе.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование краевых задач на собственные функции и собственные значения для сингулярно возмущенного релятивистского аналога уравнения Шредингера»

Актуальность исследования.

В течение последних десятилетий внимание многих авторов привлекали краевые задачи для дифференциальных уравнений, содержащих малый параметр при старшей производной. Трудность построения асимптотических разложений решений таких задач в степенной ряд по малому параметру связана с тем, что если положить значение малого параметра равным нулю, то порядок уравнений понижается и решения упрощенных таким образом уравнений не могут удовлетворить всем дополнительным краевым условиям, поставленным для исходных уравнений более высокого порядка. В связи с этой особенностью возмущения такого рода получили название сингулярных возмущений. А.Н.Тихоновым [138]-[141], А.Б.Васильевой [29]-[32], В.Ф. Буту-зовым [20]-[25], М.И.Вишиком, Л.А.Люстерником [33]-[35], С.А.Ломовым [87], Ю.А.Коняевым [90]-[94] и многими другими были разработаны и успешно применены методы решения для такого рода краевых задач.

При использовании разностных методов для решения сингулярно воз-мущеных краевых задач с целью достижения необходимой точности применяют специальные разностные схемы, учитывающие наличие пограничных слоев (для этих схем характерно использование очень малых шагов в области быстрого изменения решений). Существенный вклад в разработку таких схем внесли Н.С.Бахвалов [14], А.М.Ильин [64] - [75], Г.И.Шишкин [154] - [162], К.В.Емельянов [54]-[57], М.В.Алексеевский [1] и другие.

При этом численные и асимптотические методы дополняют друг друга. Например, асимптотические выражения удобно использовать в качестве нулевого приближения при численных расчетах на ЭВМ. Помимо этого, при использовании разностной схемы для численного решения дифференциальных уравнений асимптотические выражения позволяют судить о ее пригодности.

Одновременно с этим В.П.Масловым [111]-[117], А.О.Гельфондом

39], Ю.А.Дубинским [45]- [50], М.А.Шубиным [163] и др. в рамках теории псевдодифференциальных операторов глубокое развитие получил подход, связанный с обобщением теории линейных дифференциальных операторов на случай бесконечного порядка. В рамках этого подхода выбирался такой способ обобщения, который сохраняет свойства дифференциальных уравнений конечного порядка и возможность задания краевых условий.

Например, при изучении свойств связанных состояний элементарных частиц, в том случае, когда релятивистские эффекты вносят существенный вклад, более последовательным является применение квазипотенциальных уравнений, которые были получены при одновременной формулировке проблемы двух тел в квантовой теории поля [199]. Достоинство такого подхода — наряду с учетом релятивистских эффектов — близость к формализму нерелятивистской квантовой механики (в квазипотенциальных моделях сохраняется вероятностная интерпретация волновой функции).

Формализм, который сочетает в себе ковариантный подход, вероятностную интерпретацию волновой функции в духе квантовой механики и трехмерность, был разработан Логуновым А.А. и Тавхелидзе А.Н. [200], [201] при решении задачи взаимодействия двух релятивистских частиц и получил название квазипотенциального. В этом подходе волновая функция выступает как непосредственное обобщение нерелятивистской волновой функции, поскольку она зависит от одного временного аргумента и подчиняется уравнению типа Шредингера.

В этом направлении Кадышевским В.Г., Мир-Касимовым P.M., Матее-вым М.Д. и др. был получен релятивистский аналог уравнения Шредингера [190], [191], [192], представляющий собой дифференциальное уравнение бесконечного порядка, при этом уравнение для радиальной волновой функции имеет вид:

Hr0ad + V{r) - 2c\Jq2 + т2с2]^оо(г) = 0, (0.1)

Щ* = 2тс2 cfc (*D) + еХР л) = (0.2) тс J mr(r + \тс )

2p)l! UJ +mr(r + ^)ptop!UJ ^ "' где m,g и I — масса, импульс и момент связанных частиц, a V(r) — потенциал.

В этом уравнении содержатся малые параметры при старших производных, что позволяет отнести его к классу сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений бесконечного порядка.

Таким образом, в связи с развитием данного подхода возникла необходимость исследования краевых задач для сингулярно возмущенного релятивистского аналога уравнения Шредингера для поиска собственных функций и собственных значений, так как с их помощью имеется возможность изучения релятивистских эффектов, относящихся к описанию связанных состояний двух релятивистских частиц (определение энергитических уровней, волновых функций и др. при заданном потенциале взаимодействия), в частности, при исследовании кваркониев (тяжелых мезонов, рассматриваемых как связанные состояния кварка и антикварка).

В связи с этим весьма актуальным представляется разработка методов решения краевых задач на отрезке и на полупрямой для сингулярно возмущенного релятивистского аналога уравнения Шредингера с потенциалом достаточно общего вида (к сожалению, в большинстве работ, посвященных этой проблеме, исследования проводилось лишь для ограниченного числа потенциалов: ЯФ, т.9, вып.З, с.646, 1969; ЭЧАЯ, т.2, с.637, 1972; ЯФ, т.31, вып.5, с.1332, 1980; ТМФ, т.53, 1, с.32, 1982; ТМФ, т.54, 3, с.406, 1983; ТМФ, т.55, 1, с.26, 1983; ТМФ, т.55, 2, с.236, 1983) для поиска собственных функций и собственных значений с применением асимптотических методов, а также построение разностных схем для получения численных решений этих задач и их реализации в виде удобного в обращении пакета программ.

Объект и предмет исследования. Как уже отмечалось, квазипотенциальный метод обладает рядом преимуществ среди различных подходов к релятивистской проблеме двух тел. Одним из главных достоинств этого формализма является трехмерность квазипотенциальных уравнений, что позволяет использовать привычные представления и методы нерелятивистской квантовой механики.

Релятивистский аналог уравнение Шредингера в этом пространстве является дифференциально-разностным уравнением с шагом, пропорциональным комптоновской длине волны частицы Л = fi/mc (в системе единиц h= 1,с = 1 , m = 1 комптоновская длина Л = 1):

Н0 - 2Eq + V(rp,(r) = 0 (0.3)

Здесь г = гп - релятивистский аналог относительного радиус-вектора. Свободный гамильтониан Но имеет вид

Но = 2chi%- + -ahi?- - ^е*, (0.4) or г or r£ где

1 d ( . Л d \ Id sinede\ dip/ sin* d dip* угловая часть оператора Лапласа.

Релятивистскую энергию Eq иногда удобно параметризовать следующим образом:

Eq = yJl + q2 = chXq. (0.6)

Волновая функция Фд(г) в силу сферической симметрии потенциала У (г) может быть представлена в виде разложения по парциальным волнам

Ф9(г) = ^ Ё(2/ + 1) i'lMr, ХЯ) Pi ({£) , (0.7) гр 1-0 \рг/ где ,0ОО)i(r, xq) — радиальная часть волновой функции Фд(г) , а функции Pi(cos в), при cos в = Ер являются полиномами Лежандра и определяются формулой

Релятивистский аналог уравнения Шредингера для радиальной волновой функции iftoo,i(r) имеет ВИД [190]: + ^(r) - 2EJ ^ооДг) = 0, (0.9) где H™d - радиальная часть свободного гамильтониана

Если вернуться к размерным величинам, тогда

Л = ft/mc, (0.11)

1 + ^ (0-12) т2с2 откуда

Eq = \Jm2cA + c2q2 = тс^

ЩТ + V(r) - 2cvV + mVjVwW = 0, (0.13)

ВД- = 2mc2 ch ( + + ^ esp л) = (0.14)

0,i \mc J mrir + —) \mc / v ; v ШС' « (-iyw+1) a If О.Удр f015) - 5 (2p)!! UcJ D + mr(r + A) 5 p! U J ° ' (°'15) где m, q и / — масса, импульс и момент связанных элементарных частиц.

Если в этом уравнении формально устремить величину скорости света к бесконечности (с оо), то это уравнение переходит в нерелятивистское уравнение Шредингера [58]

Пусть далее е = ft/тс, тогда уравнение (0.13) можно переписать в виде: га Р=1 {2р)\\ тг(г + is) р=0 р\

ЧЬ2 I (e^/h2) - 1)]^ооДг, е) = 0. (0.17)

Это дифференциальное уравнение бесконечного порядка с малым параметром (е « 1) при старших производных и поэтому его можно отнести к классу сингулярно возмущенных уравнений.

Для удобства перейдем к системе единиц, в которой h = l,m = 1, тогда в = Я2 = Коо + «W = V(r), (0.18)

A£,. = l[^V-l] = [1 + v/y+£¥]. (0.19)

Пусть 1 oo jP / «Л \ oo jp тогда для дальнейшего анализа уравнение (0.17) можно переписать в виде

00

Iw^"'1 + («(г) - Хе,оо)]Фоо,1 = 0, (0.21) или, вводя линейный самосопряженный оператор бесконечного порядка

L6'1 00 >

00 Е -ДОН г р=О Руравнение (0.17) можно записать следующим образом:

L£M,oo,l(r)) - Ае,оо Фе,оо,l(r) = 0. (0.23)

Далее будет предполагаться, что потенциал v(r) является функцией вида v(r) = v-\r~l + £(r), (0.23а) где функция v(r) является аналитической на полупрямой v(r) € С00[0, +оо), т.е. для каждой точки г G [0, +оо) функция v(r) пред-ставима в виде сходящегося степенного ряда v(r) = E°°c,ae(r — f)s в некоторой окрестности точки г.

Для уравнения (0.23) можно сформулировать краевую задачу для поиска собственных функций ['Фоо,1,Аг^£)]г=о и собственных значений [Ае,оо,7]~=0 на отрезке [0, г0]

Ш-Коо}А,ооЛг) = 0, (0.24)

4)оо,/(0) = 4,оо)г(г0) = 0, (0.25)

D4e,ooM = 0,9=1,2,. (0.26)

00,/Ы = 0,5=1,2,. (0.27) и на полупрямой [0, +оо)

- ЬеМ,ооАг) = Ь (0.28)

Фе<»№ = 4,оо,/(+Оо) = 0, (0.31)

D^e,oo,i{0) = 0,9 = 1,2,. (0.29) оо,/(+оо) = 0,5 = 1,2,. (0.30) где ilq и irs — натуральные числа, причем

0 < г[ < 4 < 4 < ., 0 < i\ < г\ < г\ < .

Перейдем в уравнении (0.23) от оператора бесконечного порядка Ц^ к оператору конечного порядка L^m (2m >>1), при условии, что старшая производная при е2т2 не будет превышать порядка 2т. В этом случае получим

Йт-\,2т]^,2т,/(г) = 0, (0.31) т <2(Л\Р

Ш{Фе,2тЛг)) = Е Р

1 (2 р)\\ -т^Сг-1 fem,z) + v(r)^2mh (0.32)

Г р=0 р!

1$п(1>емАг)) = 2т;) + £ 2т,/), (0.33) р=1

Ll2№e,2m,l) = [С1 + У(г)\фе,2т,1, (0.35) ci = D2 + j (0 36) где Z^m (m = 2,3,.) и L\ — линейные самосопряженные операторы конечного порядка.

Постановка задачи исследования. Для дифференциального уравнения (0.31) для поиска собственных функций [v,e,2m,/,7(r)]^=0 и собственных значений [Ag^m.J^o сформулируем краевую задачу на отрезке

0,г0]

Йт ~ К,2т]Фе,2т,1{г) = 0, (0.37)

Фе,2тЛЪ) = Фе,2тЛг0) = 0, (0.38)

0. о = 0, 9 = 1,2,., m - 1 (0.39)

D4e,2mAr0, 0 = 0, в = 1,2,., m - 1 (0.40)

0 < «1 < 4 < «3 < " • • < 4-1' 0 < «1 < «2 < «3 < • • • < »т-1> (0-41) и краевую задачу на полупрямой [0, +оо)

1Шп ~ Ъ,2тШ,2т,1{г) = 0, (0.42)

ФемАП) = ФемА+<*>) = °> (0-43)

D4e,2mA0, о = о, q = 1,2,., т - 1 (0.44)

D4e*nA+<*>) = о, в = 1,2,., m - 1 (0.45) о < 4 < 4 < 4 < • • • < 4-1. о < *1 < *2 < *з < • • • < 4-1- (о-46)

Если в уравнении (0.31) положить е = 0, то для поиска собственных функций [V>o,i,7]~0 и собственных значений [Aoi7]^L0 получим вырожденную задачу Aoti на отрезке [0, го]

Ь12 - Ao]iMr) = 0, (0.47)

Ы0) = Фо,1Ы = 0. (0-48) и вырожденную задачу B0j на полупрямой [0, +оо)

Ь12 - Ао]фол(г) = 0, (0.49) o,i(0,/) = ^o,i(+oo,/) = 0, (0.50)

Ll2 = -D2+l-^±^ + v(r). (0.51)

В связи с этим возникает вопрос о поведении собственных функций [Фе ,2т,1,7)7^0 и собственных значений [Ae)2m,7]~ 0 задач Л2тп,г и В]™*, во-первых, при устремлении малого параметра к нулю (е —> 0) при фиксированном порядке 2т оператора Z^, во-вторых, при возрастании порядка 2тп и фиксированном е.

Цель работы. Целью диссертационной работы является:

1. постановка краевых задач для сингулярно возмущенного релятивистского аналога уравнения Шредингера для поиска собственных функций и собственных значений с потенциалом и(г) вида (0.23а) на отрезке [0,го] и на полупрямой [0,+оо), построениие усеченного сингулярно возмущенного релятивистского аналога уравнения Шредингера порядка 2т и формулировка для него краевых задач на отрезке [0, го] и на полупрямой [0, +оо) для поиска собственных функций и собственных значений, построение асимптотических решений для этих краевых задач;

2. исследование поведения собственных функций и собственных значений при возрастании порядка 2т усеченного уравнения;

3. построение разностных схем с переменным шагом для поиска численных решений краевых задач на собственные функции и собственные значения с заданной точностью и создание пакета программ их вычислительной реализации;

4. для различных квантомеханических потенциалов (осцилляторно-го, кулоновского и центробежного) построение асимптотических приближений решений краевых задач, а также получение численных решений этих задач с использованием разностной схемы с переменным шагом; сравнение соответствующих асимптотически приближенных решений с решениями, полученными численно; численное исследование энергетического спектра и волновых функий связанных состояний кварка и антикварка (qq) в рамках потенциальной модели кваркониев для случая чармония (сс) и боттомия (66) с использованием следующих феноменологических потенциалов и потенциалов квантовой хромодинамики: 1) Квигга, Рознера; 2) корнеллского; 3) Бхано, Рудаза; 4) Ричардсона; 5) Фоглемана.

Методы исследования. Для решения поставленных выше задач Л2™'1 и В2™'1 в данной работе применяется достаточно большой набор математических методов.

Для исследования этих задач наиболее последовательным является применение асимптотических методов теории сингулярных возмущений [29]-[35] , а также численных методов [14], [154]-[162], которые позволяют дополнить асимптотические методы.

Помимо этого для исследования поведения решений задач А2т'1 и В2™'1 при возрастании порядка 2т уравнения (0.31) привлекаются методы из спектральной теории линейных операторов [163].

В Приложении I приведен более подробный обзор литературы по существующим методам исследования поставленных в данной работе задач.

Научная новизна работы и значимость ее результатов.

1. На основе методов теории сингулярных возмущений дифференциальных уравнений построены асимптотические приближения решений краевых задач Af71*1 и В2т'1 с потенциалом v(r) вида (0.23а) на отрезке [0, го] и на полупрямой [0,+оо), а также приведена оценка погрешности этих асимптотических приближений. Предложенный алгоритм позволяет построить асимптотическое приближение решений собственных функций [ф£>2тп,1,'у(г)]™=о и собственных значений [Ае,2т,7]^=о д° любого порядка £.

2. Предложен метод оценки поведения собственных функций \Фе ,2т ,1,7 ] -yLo И Собственных Значений [A£)2ml7]^L0 при возрастании порядка 2т уравнения (0.31) для краевых задач А2т'1 и В2щ1.

3. Построена разностная схема для поиска численного решения краевых задач А*'0 , и .Bg'® , Be'® на основе метода сгущающихся сеток для достижения равномерной по малому параметру е сходимости. Показано, что эта разностная схема для рассматриваемых задач сходится равномерно относительно малого параметра е на рассматриваемой неравномерной сетке.

4. Было написано программное обеспечение, которое позволяет при задании конкретного вида потенциала v(r) численно находить собственные функции [Фе,р,о,у(г)]т=о и собственные значения [Ае)Р)7]^0 краевых задач А('0 и (р = 4,6).

5. На основе полученных результатов были найдены асимптотические решения краевых задач Afn,t и В^т'1 и численные решения краевых задач и (р = 4,6) для осцилляторного, кулоновского, центробежного и др. квантомеханических потенциалов г;(г). Показана сходимость решений задач Аи Д?т'г к соответствующим решениям задач Aoj и Д),/ для уравнения Шредингера при е —> 0 при фиксированном 2т. На основе краевых задач (р = 4,6) численно найден спектр и волновые функии связанных состояний кварка и антикварка в случае чармония и боттомия в рамках модели квар-кониев на основе использования упомянутых выше потенциалов и исследовано поведение решений при е —> 0.

Научная и практическая значимость результатов.

Предложенное методы решения краевых задач Af*1'1 и Bf71'1 позволяют, используя методы теории сингулярных возмущений или численные методы, построить асимптотические или найти численные решения данных задач и исследовать поведение этих решений при устремлении малого параметра к нулю (е —> 0) при фиксированном порядке 2т сингулярно возмущенного уравнения (0.31), а также при возрастании порядка 2т и фиксированном е.

Исследование погрешности асимптотических приближений решений краевых задач Af"'1 и В^™'1, а также оценка их погрешности при использовании численных методов дает возможность оценить точность получаемых результатов.

Асимптотические и численные методы решения сингулярно возмущенных краевых задач А2т'1 и В2т>1 для осцилляторного, кулоновского, центробежного и др. потенциалов позволяют показать сходимость сингулярно возмущенных решений к соответствующим решениям уравнения Шредингера при £ —0 при фиксированном порядке 2т сингулярно возмущенного уравнения и оценить поведение сингулярно возмущенных решений при возрастании порядка 2т уравнения (0.31) и фиксированном малом параметре е.

Написанное программное обеспечение позволяет численно находить собственные функции [^£,0,0,7(0]т^о (как в виДе числового массива, так и в виде графика) и собственные значения [A£)P)7]^L0 (в виде числового массива) краевых задач и (р = 4,6) при задании конкретного вида потенциала v(r). Это программное обеспечение может быть использовано при исследовании в рамках релятивистских потенциальных моделей с использованием различных феноменологических потенциалов для поиска спектра масс мезонов и для поиска их волновых функций.

Автор защищает:

1. алгоритм построения асимптотических решений краевых задач на собственные функции и собственные значения с потенциалом v(r) вида (0.23а) на отрезке [0,го] и на полупрямой [0, +оо) и способ оценки погрешности асимптотических приближений решений этих задач;

2. метод оценки поведения собственных функций и собственных значений при возрастании порядка 2т сингулярно возмущенного аналога уравнения Шредингера;

3. разработку разностной схемы с переменным шагом для поиска численных решений краевых задач;

4. метод поиска асимптотических и численных решений краевых задач для различных квантомехани теских потенциалов г* (г) (осцилляторного, кулоновского и центробежпого);

5. метод численного поиска энергетического спектра и волновых функций связанных состояний кварка и антикварка в рамках модели кваркониев для случая чармония и боттомия с использованием различных феноменологических потенциалов и потенциалов квнтовой хромо-динамики.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на семинарах Лаборатории Информационных Технологий ОИЯИ (г. Дубна) в мае 1999 г., Лаборатории Вычислительной Физики и Математического Моделирования Российского Университета Дружбы Народов в апреле 2000 г. и в марте 2003 г., на семинарах кафедры математики физического факультета Московского Государственного Университета в марте 1998 г. и апреле 2002 г. и кафедры математического моделирования Московского Энергитического Института в октябре 2000 г., а также на следующих конференциях:

XXXV Всероссийская научная конференция по проблемам физики, химии, математики, информатики и методики преподавания", Москва, 24-28 мая, 1999 г.;

XXXVII Всероссийская научная конференция по проблемам физики, химии, математики, информатики и методики преподавания", Москва, 22-26 мая, 2001 г.;

XXXVIII Всероссийская научная конференция по проблемам физики, химии, математики, информатики и методики преподавания", Москва, 14-17 мая, 2002 г.; и международной конференции "Computational Modelling and Computing in Physics", Dubna, Russia, September, 16-21, 1996.

Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 6 публикациях [2]-[7] в виде статей в журналах "Дифференциальные уравнения", "Математическое моделирование", в материалах международной конференции "Computational Modelling and Computing in Physics", тезисов конференций, препринтах ОИЯИ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения, списка литературы из 225 наименований, 4 приложений. Работа содержит 254 страниц, 8 таблиц, 34 графиков.

Личный вклад автора. Автор диссертации, работая в коллективе соавторов, объединяющем сотрудников ЛИТ ОИЯИ г. Дубны, Московской обл., внес определяющий вклад в следующее:

• в поиск решений краевых задач и В2т'1, связанных с построением асимптотических приближений собственных функций и собственных значений;

• в разработку метода оценки поведения решений краевых задач А2™'1 и В*™'1 при возрастании порядка 2га уравнения (0.31);

• в разработку разностной схемы для поиска численного решения краевых задач Аи В*'0, Bf

• в построение асимптотического приближения решениий краевых задач А2™'1 и В^т'1 и поиска численных решений краевых задач Af°, и В*'0, Bf° для различных видов потенциалов (осцилляторного, кулоновского, центробежного, корнеллского и др.); а также самомтоятельно разработал на языке Фортран (FORTRAN 77, FORTRAN 90) представленный в Приложении IV пакет программ, реализующий разработанные разностные схемы.

Основное содержание работы.

• Во введении обоснована актуальность темы диссертации, приведен краткий обзор литературы, посвященный существующм асимптотическим и численным методам решения сингулярно возмущенных краевых задач, методам исследования линейных дифференциальных уравнений бесконечного порядка и методам исследования двухчастичных систем в квантовой теории поля, приведен объект и освещен предмет исследования, поставлена задача и сформулирована цель исследования. Показана научная новизна и практическая ценность полученных результатов, приведены методы исследования, даны сведения об объеме и структуре диссертации, публикациях, апробации основных результатов диссертации на конференциях.

• В первой главе строится асимтотические решения собственных функций и собственных значений краевых задач А2т'' и 52т'' для потенциала v(r) вида (0.23а) на конечном отрезке и на полупрямой.

• Во второй главе исследуется поведение собственных функций

Фе WES. о и собственных значений [А£)2т,7)^=0 заДач А2™'1 и Б2т,г при возрастании порядка 2т уравнения (0.31).

• В третьей главе строится разностная схема с переменным шагом для достижения равномерной по малому параметру е сходимости численного решения краевых задач и (р = 4,6) на основе метода сгущающихся сеток.

• В четвертой главе с помощью предложенных асимптотических методов строятся асимптотические приближения собственных значений и собственных функций задач Af71,1 и 52т,г для осциллятор-ного, кулоновского, центробежного потенциалов, а также приводятся результаты численных исследований краевых задач и В§'°* (р = 4,6) с этими же потенциалами. Показывается сходимость этих решений при е —> 0 и фиксированном 2га к соответствующим решениям задач Ащ и Вщ для уравнения Шредингера. С помощью численных методов на основе задач Bj>° и исследуется спектр и волновые функии связных состояний частиц типа кваркониев (qq) для различных потенциалов.

• В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы.

• В Приложениях приведено следующее:

1. обзор литературы по существующим математическим методам решения сингулярно возмущенных краевых задач, исследованию линейных дифференциальных уравнений бесконечного порядка, методам исследования двухчастичных систем в квантовой теории поля;

2. исследование корней характеристических уравнений, возникающих при поиске пограничных функций;

3. табличный материал и графики;

4. тексты программ на FORTRAN-e.

Основные результаты диссертации.

1. Сформулированы краевые задачи на отрезке [0, Го] и на полупрямой [О, +оо) для поиска собственных функций и собственных значений.

2. Построены асимптотические приближения решений краевых задач, а также оценки погрешности этих асимптотических приближений.

3. Исследовано поведение собственных функций и собственных значений при возрастании порядка 2т усеченного уравнения.

4. Разработана разностная схема и алгоритм численного решения краевых задач на основе метода сгущающихся сеток. Показано, что предложенная разностная схема для этих задач обеспечивает равномерную относительно малого параметра е сходимость численных решений. На языке Фортран (FORTRAN 77, FORTRAN 90) создан пакет программ, реализующий разработанные схемы. В этом пакете предусмотрена возможность задавать вид потенциала v(r) и численно находить собственные функции и собственные значения соответствующих задачи с заданной точностью. Для точно решаемых модельных задач были выполнен-ны численные исследования точности и показана сходимость представленных вычислительных схем.

5. Для осцилляторного, кулоновского и центробежного потенциалов на основе полученных результатов были построены асимптотические решения краевых задач на собственные функции и собственные значения. Для этих же потенциалов с помощью разработанного пакета программ, в котором реализован метод сгущающихся сеток, были найдены численные решения сингулярно возмущенных краевых задач, а также показана сходимость этих решений к соответствующим решениям вырожденных задач (были рассмотрены случаи 2т = 4,6) На основе этого же программного обеспечения с использованием различных потенциалов модели кваркониев был найден спектр и волновые функции связанных состояний кварка и антикварка для случая чармония и боттомия.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Васильев, Сергей Анатольевич

4.6 Выводы по 4 главе

1. для различных квантомеханических потенциалов (осцилляторного, кулоновского и центробежного) построение асимптотических приближений решений краевых задач;

2. получены численных решений этих задач с использ'ованием разностной схемы с переменным шагом;

3. произведено сравнение соответствующих асимптотически приближенных решений с решениями, полученными численно;

4. численно исследован энергетического спектр и волновые функии связанных состояний кварка и антикварка (qq) в рамках потенциальной модели кваркониев для случая чармония (сс) и боттомия (66) с использованием феноменологических потенциалов и потенциалов квнтовой хромодинамики: 1) Квигга, Рознера; 2) корнеллского; 3) Бхано, Рудаза; 4) Ричардсона; 5) Фоглемана.

Заключение.

В диссертации на основе методов теории сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений были построены асимптотические приближения решений краевых задач А2т и В2т на собственные функции [Фе,2тпл(г, 0]~о и собственные значения [Ae>2m)7]!jLo с потенциалом v(r) вида (0.23а) на отрезке [0, го] и на полупрямой [0, +оо) для случая когда все собственные значения [Ae)2m,7]^Lo являются простыми и когда среди них имеются кратные, а также оценка погрешности этих асимптотических приближений.

Проведен анализ поведения собственных функций [Vfe^m/yO", 0]?Lo и собственных значений [Ле>2т,7]^=о ПРИ возрастании порядка 2т уравнения (0.43) для задач А2™ и В2т.

Построена разностная схема с переменным шагом для нахождения численного решения задач и В2т с заданной точностью.

Получены и исследованы асимптотические и численные решения краевых задач А2т и В2т для различных квантомеханических потенциалов (осцилляторного, кулоновского, центробежного и др.).

Найдено и исследовано численное решение краевой задачи В2ш (спектр и волновые функии связных состояний кварка и антикварка (qq)) для случая феноменологических потенциалов и потенциалов квнтовой хромодинамики, численно показана сходимость решений этой задачи к решениям соответствуюшей вырожденной задачи для уравнения Шредингера при е —> 0.

Полученные результаты свидетельствуют об эффективности использованных в диссертации асимптотических и численных методов теории сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений для данного класса задач.

Автор выражает глубокую благодарность своим научным руководителям: доктору физико-математических наук, профессору Евгению Петровичу Жидкову и кандидату физико-математических наук Илькизару Валиевичу Амирханову, а также соавторам и коллегам Ирине Евгеньевне Жидковой, Ивану Павловичу Юдину, Леониду Антоновичу Севастьянову за постоянное внимание и поддержку. Также автор благодарит Правительство города Москвы, в лице Юрия Михайловича Лужкова, Государственный Экспертно-научный центр "ЭНЛАКОМ" при Правительстве города Москвы, в лице директора, Усатовой Татьяны Александровны. Я бесконечно благодарен своей жене, Васильевой Дарье Геннадьевне.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Васильев, Сергей Анатольевич, 2003 год

1. М.В.Алексеевский. Разностные схемы высокого порядка точности для сингулярно возмущенной краевой задачи. Диф. ур., т. 17, N 7, 1981.

2. I.V.Amirkhanov, S.A.Vasilyev, E.P.Zhidkov, I.E.Zhidkova. Behaviour of Solutions of Singular Perturbed Infinite Degree Differential Equation. Book of abstracts "Computational Modelling and Computing in Physics", Dubna, 1996.

3. Б.А. Арбуаов, А. А. Логунов, А. Н. Тавхелидае, Р. Н. Фаустов, А. Т. Филиппов. ЖЭТФ, 44, 1409 (1963).

4. Б.А.Арбузов, А.А.Логунов, А.Т.Филиппов, О. А. Хрусталев. ЖЭТФ, т. 46, 1266 (1964).

5. Бабенко К. И. Теория возмущений стационарных течений вязкой несжимаемой жидкости при малых числах Рейнольдса. Препринт/ИПМ .-М., 1975.-71 с.

6. Бабич В. М. О строгом оправдании коротковолнового приближения в трехмерном случае. Зап. науч. семинаров ЛОМИ, т. 34, Л., 1973, с. 23-51.

7. Бабич В. М., Булдырев В. С. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн.- М.: Наука, 1972.- 456 с.

8. Бабич В. М., Егоров С. А. Решение задачи о каустике с помощью методики локальных разложений. Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн. Вып. XII.- JL: Наука, 1973.- С. 4-14.

9. Бахвалов Н. С. К оптимизации методов решения краевых задач при наличии пограничного слоя.- Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1969, т. 9, 4, с. 841-859.

10. Беллман Р., Кук К., Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 1967.

11. Богаевский В. Н., Повзнер А.Я. Алгебраические методы в нелинейной теории возмущений.- М.: Наука, 1987.- 254 с.

12. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний.- М.: Наука, 1974.- 503 с.

13. Боголюбов П.Н. ЭЧАЯ, 1972, т.З, с.201.

14. Де Брейн Н.Г. Асимптотические методы в анализе.- М.: ИЛ, 1961.247 с.

15. Бутузов В. Ф. Асимптотика решения уравнения fi2Au — к2(х,у)и = f(x, у) в прямоугольной области. Дифференц. уравнения.- 1973.- Т. 9, 9.- С. 1654-1660.

16. Бутузов В.Ф. Об асимптотике решения сингулярно возмущенных уравнений эллиптического типа в прямоугольной области. Дифференц. уравнения.-1975.-Т. И, 6.- с. 1030-1041.

17. Бутузов В.Ф. О построении пограничных функций в некоторых сингулярно возмущенных задачах эллиптического типа. Дифференц. уравнения.- 1977.- Т. 13, 10.- С. 1829- 1835.

18. Бутузов В.Ф. Угловой погранслой в смешанных сингулярно возмущенных задачах для гиперболических уравнений. Мат. сб. 1977.-Т.104, 3.-С. 460-485.

19. Бутузов В.Ф., Нефедов Н.Н., Федотова Е.В. ЖВМиМФ, 27, N2,1987.

20. Бутузов В.Ф., Нефедов Н.Н., Полежаева Е.В. ЖВМиМФ, 29, N7, 1989.

21. А.А. Быков. УФН, 1984, т. 143, с.З.

22. Вайнберг Б.Р. Асимптотические методы в уравнениях математической физики.- М.: Изд-во МГУ, 1982.- 294 с.

23. Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости.-М.: Мир, 1967.-310 с.

24. Васильева А. Б. О развитии теории обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром при старших производных за период 1966-1976 гг. Успехи мат наук 1976.- Т. 31, вып. 6.- С. 102122.

25. Васильева А.Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений.- М.: Наука, 1973.-272 с.

26. Васильева А.Б., Волосов В.М. О работах А. Н. Тихонова и его учеников по обыкновенным дифференциальным уравнениям, содержащим малый параметр. Успехи мат. наук.- 1967.- Т. 22, вып. 2.- С. 149-167.

27. Васильева А.В., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений,М.:Высш. школа, 1990.

28. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром. Успехи мат. наук.- 1957.- Т. 12, вып. 5.- С. 3-122.

29. Виши к М. И., Люстерник Л. А. Решение некоторых задач о возмущениях в случае матриц и самосопряженных и несамосопряженных дифференциальных уравнений / Успехи мат. наук.-1960.- Т. 15, вып. 3.- С. 3-78.

30. Вишик М. И., Люстерник Л. А. Асимптотическое поведение решений линейных дифференциальных уравнений с большими или быстро меняющимися коэффициентами и граничными условиями / Успехи мат. наук.-1960.- Т. 15, вып. 4.- С. 3-95.

31. Волевич Л.Р. Псевдодифференциальные операторы с голоморфными символами и классы Жевре. Тр. Моск. мат. об-ва, 1971, 24, 43-68.

32. Гадылыпин Р. Р. Асимптотика собственного значения сингулярно возмущенной самосопряженной эллиптической задачи с малым параметром в граничных условиях. Диффе-ренц. уравнения.- 1986.- Т. 22, 4.- С. 640-652.

33. Галкин В.О., Фаустов Р.Н. Пр. ОИЯИ, Р2-87-251, Дубна, 1987.

34. Гельфонд А.О. Линейные дифференциальные уравнения бесконечного порядка. Тр. Мат. ин-та АН СССР, 1951, 38, 137 с.

35. Грушин В.В. Псевдодйфференциальные операторы. М. МИЭМ, 1975.

36. Гущин В. А., Щенников В. В. Об одной монотонной разностной схеме второго порядка точности.- Ж. вычисл. матем. и матем. физ.,1974, т. 14, 3, с. 789-792.

37. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейныеоператоры. Т.З.-М.: Мир, 1974.

38. Доводницын А.А. Асимптотика решения уравнения Ван-дер-Поля. Прикл. мат. и мех.-1947.- Т. 11, вып. 3.- С. 313-328.

39. Донков А.Д. ТМФ, 1971, т.8, с.61.

40. Дубинский Ю.А. Алгебра п/д операторов с аналитическими символами и ее приложения. Успехи мат. наук, 1982, 37, 5, 97-137.

41. Дубинский Ю.А.Алгебра дифференциальных операторов бесконечного порядка и п/д уравнения с аналитическими символами. Докл. АН СССР, 1982, 264, 4, с.807.

42. Дубинский Ю.А. П/д операторы с комплексными переменными и их приложения. Докл. АН СССР, 1983, 268, 5, с. 1045-1050.

43. Дубинский Ю.А. Преобразование Фурье аналитических функций. Комплексный метод Фурье. ДАН, 1984, 275(3). С. 533-36.

44. Дубинский Ю.А. Аналитические ПД операторы и их приложения. Acta Math Vietnamica, 1986, 11(1). с. 3

45. Дубинский Ю.А. Пространства Соболева бесконечного порядка. УМН, т.46, вып.6, 1991.

46. Э.Дулан, Дж. Миллер, У.Шилдерс. Равномерные численные методы решения задач с пограничным слоем. М., Мир,1983.

47. Евграфов М.А. Асимптотические оценки и целые функции.- М.: Наука, 1979.- 320 с.

48. Егоров Ю.В. Канонические преобразования и псевдодифференциальные операторы. Тр. Моск. мат. об-ва, 1971, 24, 3-28.

49. Емельянов К.В. Об асимптотике решения первой краевой задачи для уравнения £ип-\-()и'—Ь(х)и = f{x). Применение метода согласования асимптотических разложений к краевым задачам для дифференциальных уравнений. Свердловск, УНЦ АН СССР, 1979.- С. 5-14.

50. Емельянов К.В. О решении первой краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения с малым параметром. Дифференциальные уравнения с малым параметром. Свердловск, УНЦ АН СССР, 1980.- С. 3-7.

51. К.В.Емельянов. Усеченная разностная схема для линейной сингулярно возмущенной задачи. ДАН,т. 262, N 5.

52. К.В.Емельянов. О разностном методе решения третьей краевой задачи для дифференциального уравнения с малым параметром при старшей производной. Жур. выч. мат. и мат. физ. ,t.15,N 6.

53. Жидков Е.П., Кадышевский В.Г.,Катышев Ю.В. ТМФ, т.З, N2,1970.

54. Жидков Е.П., Соловьев А.Г. Алгоритм численного решения краевой задачи на полупрямой. Препринт ОИЯИ, Р11-97-62 , 1997.

55. Жиков В. В., Козлов С. М., Олейник О. А., Ха Тьен Нгоан. Усреднение и G-сходимость дифференциальных операторов. Успехи мат. наук.- 1979.- Т. 34, вып. 5.- С. 65-133.

56. Иванишин Ю.И. Пр. ОИЯИ, Р2-83-727, Дубна, 1983.

57. Игнатьев В. В., Задорин А. Я. Разностная схема для дифференциального уравнения с малым параметром на неравномерной сетке.

58. Препринт ВЦ СО АН СССР Новосибирск, 1980, 229.

59. Игнатьев В.Н., Задорин А.И. О плохой обусловленности при численном решении уравнений с малым параметром Препринт ВЦ СО АН СССР. Новосибирск, 1981. 84.

60. Игнатьев В.Н., Задорин А.И. О численном решении уравнения с малым параметром при старшей производной. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., т.23, 3, 1983.

61. Ильин A.M. Краевая задача для эллиптического уравнения второго порядка в области с узкой щелью. Двумерный случай. Мат. сб. -1976.- Т. 99, 4.- С. 514-537.

62. Ильин A.M. Краевая задача для эллиптического уравнения второго порядка в области с узкой щелью. II. Область с малым отверстием. Мат. сб.- 1977.- Т. 103, 2.- С. 265- 284.

63. Ильин A.M. Об асимптотике решения краевой задачи на полупрямой для одного параболического уравнения. Применение метода согласования асимптотических разложений к краевым задачам для дифференциальных уравнений. Свердловск, УНЦ АН СССР, 1979.-С. 81-92.

64. Ильин A.M. Исследование асимптотики решения эллиптической краевой задачи в области с малым отверстием / Труды семинара им. И. Г. Петровского.- 1981.- Вып. 6.- С. 57- 82.

65. Ильин А. М. Задача Коши для одного квазилинейного параболического уравнения с малым параметром . Докл. АН СССР- 1985.- Т. 283, 3.- С. 530-534.

66. Ильин A.M., Леликова Е.Ф. Метод сращивания асимптотических разложений для уравнений еАи — (, )иу = /(ж,) в прямоугольнике . Мат. сб.- 1975.- Т. 96, 4.- С. 568-583.

67. Ильин A.M., Нестерова Т. Н. Асимптотика решения задачи Коши для одного квазилинейного уравнения с малым параметром / Докл. АН СССР.-1978.-Т. 240, 1.-С. 11- 13.

68. Ильин A.M., Насиров К.Х. Метод согласования асимптотических разложений для одной эллиптической краевой задачи с малым параметром. Дифференц. уравнения с малым параметром. Свердловск, УНЦ АН СССР, 1980.-С. 8-15.

69. Ильин A.M., Леликова Е.Ф. Асимптотика решений некоторых эллиптических уравнений в неограниченных областях I/ Мат. сб.-1982.-Т. 119, З.-С. 307-324.

70. Ильин A.M., Сулеиманов Б.И. Асимптотика функции Грина для эллиптического уравнения второго порядка вблизи границы области . Изв. АН СССР. Сер. мат.-1983.- Т. 47, 6.- С. 149-165.

71. Ильин A.M. Разностная схема для дифференциального уравнения с малым параметром при старшей производной. Мат.заметки,т.6^ 2,1969.

72. Кадышевский В.Г., Мир-Касимов Р. М., Скачков Н.Б. ЯФ, 9, 219 (1969).

73. Кадышевский В.Г., Мир-Касимов P.M., Фриман М.Б. ЯФ, 9, 646 (1969).

74. Кадышевский В.Г., Мир-Касимов P.M., Скачков Н.Б. ЯФ, 9, 462 (1969).

75. В.Г. Кадышевский, А. Н. Тавхелидае. Труды Международного симпозиума по теории элементарных частиц (Варна), 1968.

76. Кадышевский В.Г., Мир-Касимов P.M., Скачков Н.Б. ЭЧАЯ, 1972, т.2, с.635.

77. Калякин J1. А. Построение асимптотики решения одной задачи МГД с малым параметром. Прямолинейное течение в канале с прямоугольным выступом . Дифференц. уравнения.- 1979.- Т. 15, 10.- С. 1873-1887.

78. Калякин J1. А. Асимптотика решения системы двух линейных уравнений МГД с сингулярным возмущением. I. Стандартная задача в эллиптическом слое . Дифференц. уравнения- 1982.- Т. 18, 10.- С. 1724-1738.

79. Калякин J1.A. Асимптотический распад на простые вол-ны/.,, 1984 — .36 — 49.- 1984.-.124,5.-.96- 120.

80. Калинин JI. А. Длинноволновая асимптотика решения задачи Ко-ши для системы уравнений с нелинейным возмущением / Докл. АН СССР.- 1985.- Т. 283, 1.

81. Калякин J1. А. Длинноволновые асимптотики решений нелинейных систем уравнений с дисперсией. Докл. АН СССР.- 1986.- Т. 288, 4.-С. 809-813.

82. Калякин J1.A. Асимптотическое интегрирование возмущенной гиперболической системы уравнений в классе условно-периодических функций I/ Тр. ММО.-1986.- Т. 49.- С. 56-70.

83. Качалов В.И., Ломов С.А. Гладкость решений дифференциальных уравнений по сингулярно входящему параметру. ДАН СССР 1988. Т. 299. N 4.

84. Кобушкин А.П. ЭЧАЯ, 1972, т.2, с.571.

85. Кондратьев В. А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками / Тр. Моск. мат. об-ва.- 1967.- Т. 16.- С. 209-292.

86. Коняев Ю.А. Конструктивные методы исследования многоточечных краевых задач. Известия ВУЗов. Математика,1992, 2, с. 57-61.

87. Коняев Ю.А. Об однозначной разрешимости некоторых классов нелинейных регулярных и сингулярно возмущенных краевых задач. Дифференциальные уравнения, 1999, т.35, 8, с. 1028-1035.

88. Коняев Ю.А. Методы решения задач теории регулярных ж сингулярных возмущений. Москва, Изд-во МЭИ, 1997, 64 с.

89. Коняев Ю.А. Сингулярно возмущенные краевые задачи при наличии нулевых точек спектра предельного оператора. СМЖ,1994,т.35, I, с.123.

90. Коняев Ю.А. Сингулярно возмущенные задачи с двойной особенностью. Математические заметки, 1997, т. 62, вып. 4, с. 494-501.

91. Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике.- М.: Мир, 1972.- 274 с.

92. Кулешов С.П., Сидоров А.В., Скачков Н.Б. Пр. ОИЯИ, Р2-82-7, Дубна, 1982.

93. Курант Р. Уравнения с частными производными.-М.: Мир, 1964.- 830 с.

94. Курош А.Г. Курс высшей алгебры.М.: "Наука", 1971.

95. Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа.- М.: Наука, 1973.- 576 с.

96. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа.- М.: Наука, 1967.- 736 с.

97. Лебедев Н.Н. Специальные функции и их приложения.- М.- Л.: Физматгиз, 1963.- 358 с.

98. Леликова Е.Ф. Об асимптотике решения эллиптического уравнения второго порядка с малым параметром при старших производных / Дифференц. уравнения.- 1976.- Т. 12, 10.-С. 1852-1865.

99. Леликова Б.Ф. Метод сращивания асимптотических разложений для уравнения еАи — auz = f в параллелепипеде . Дифференц. уравнения.- 1978.- Т. 14, 9.- С. 1638-1648.

100. Леликова Е. Ф. Асимптотика решения эллиптического уравнения с малым параметром в области с конической точкой I/ Дифференц.уравнения.- 1983.- Т. 19, 2.- С. 305- 317.

101. Леонтьев А.Ф. Ряды экспонент. М.: Наука, 1976.

102. Лисейкин В. Д. О численном решении уравнений второго порядка с малым параметром при старших производных. Числ. методы ме-хан. сплошной среды. Новосибирск: ИТПМ СО АН СССР, 1983. Т. 14. 3. С. 98-108.

103. Ломов С. А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений.-М.: Наука, 1981.-398 с.

104. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1977.

105. Марчук Г.И., Шайдуров В.В. Повышение точности решений разностных схем. М.: Наука, 1979.

106. Маслов В.П. Теория возмущений и асимптотические методы М.: Изд-во МГУ, 1965.- 549 с.

107. Маслов В.П. Комплексный метод ВКБ в нелинейных уравнениях.-М.: Наука, 1977.-384 с.

108. Маслов В.П. Операторные методы. М.: Наука, 1978.

109. Маслов В.П., Федорюк М.В. Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики.- М.: Наука, 1976.- 296 с.

110. Маслов В.П., Омельянов Г.А. Асимптотические солитонообразные решения уравнений с малой дисперсией / Успехи мат. наук.- 1981Т. 36, вып. 3.- С. 63-126.

111. Маслов В.П., Омельянов Г.А., Цупин В. А. Асимптотика некоторых дифференциальных, псевдодифференциальных уравнений и динамических систем при малой дисперсии II Мат. сб.- 1983.- Т. 123, вып. 2.- С. 197-219.

112. Маслов В.П., Омельянов Г.А. Об условиях типа Гю-гонио для бесконечно узких решений уравнения простых волн . Сиб. мат. журн.-1983,- Т. 24, 5.- С. 172-182.

113. М.Д. Матвее, Р. М. Мир-Касимов, М. Фриман. Препринт ОИЯИ, Р2-4107, 1968.

114. Миранда К. Уравнения с частными производными эллиптического типа.- М.: ИЛ, 1957.- 256 с.

115. Миролюбов А.А., Солдатов М.А. Линейные однородные разностные уравнения. М.: Наука, 1982.

116. Мищенко Е. Ф., Розов Н. X. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания.- М.: Наука, 1975.247 с.

117. Назаров С. А. Метод Вишика Люстерника для эллиптических краевых задач в областях с коническими точками. I. Задача в конусе. II. Задача в ограниченной области / Сиб. мат. журн.- 1981.- Т. 22, 4.- С. 142-163; Т. 25, 5.-С. 132-152.

118. Наифэ А. Введение в методы возмущений.- М.: Мир, 1984.- 535 с.

119. Наифэ А.Х. Методы возмущений.- М.: Мир, 1976.- 455 с.

120. Нестерова Т. Н. Об асимптотике решения уравнения Бю^герса в окрестности слияния двух линий разрыва / Дифференц. уравненияс малым параметром. Свердловск, УНЦ АН СССР, 1980.- С. 66-86.

121. Нестерова Т.Н. Метод сращивания асимптотических разложений для решения гиперболического уравнения с малым параметром / Мат. сб.- 1983.- Т. 118, вып. 4.- С. 546-555.

122. Новейшее развитие квантовой электродинамики (см. работы То-монага, Фейнмана, Дайсона в Швингера). Сборник статей. М., ИЛ, 1954.

123. Новокшенов В.Ю. Асимптотика решения одного эллиптического уравнения с разрывными граничными условиями. Дифференц. уравнения.- 1976.- Т. 12, 10.- С. 1625-1637.

124. Новокшенов В. Ю. Асимптотика решения сингулярного интегрального уравнения с малым параметром / Мат. сб.- 1976.- Т. 100, 3.- С. 455-475.

125. Новокшенов В. Ю. Сингулярное интегральное уравнение с малым параметром на конечном отрезке II Мат. сб 1978,- Т. 105, 4.- С. 543-573.

126. Новокшенов В. Ю. Асимптотика по малому параметру решения эллиптического псевдодифференциального уравнения в полупространстве / Дифференц. уравнения с малым параметром. Свердловск, УНЦ АН СССР, 1980.-С. 87-110.

127. Олвер Ф. Введение в асимптотические методы и специальные функции.- М.: Наука, 1978.- 375 с.

128. Понтрягин Л. С. Асимптотическое поведение решений систем дифференциальных уравнений с малым параметром при высших производных II Изв. АН СССР. Сер. мат.-1957.- Т. 21, 5.- С. 605-626.

129. Псевдодифференциальные операторы. М.: Мир, 1967

130. Саврин В.И., Хрущев В.В. Спектр радиальных возбуждений 7Г- и р-мезонов в релятивистских потенциальных моделях. Пр. НИИЯФ МГУ, 87-017, 1987.

131. Самарский А. А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977.

132. И.Е. Тамм. J. Phys USSR, 9, 449 (1945).

133. Тихонов А. Н. О зависимости решений дифференциальных уравнений от малого параметра / Мат. сб.-1948.- Т. 22, вып. 2.- С. 193-204.

134. Тихонов А.Н. О системах дифференциальных уравнений, содержащих параметры. Мат. сб.-1950.- Т 27 вып. 1.- С. 147-156.

135. А.Н.Тихонов. Мат.сб. 31(73), 3(1952) с.575.

136. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики.- М.: Наука, 1966.- 724 с.

137. Трев Ф. Введение в теорию п/д операторов и интегральных операторов Фурье, т. 1. М.: Мир, 1984; т. 2. М.: Мир, 1984

138. Треногин В. А. Развитие и приложение асимптотического метода Люстерника Вишика. Успехи мат. наук.- 1970.- Т. 25, вып. 4.- С. 123-156.

139. Уилкинсон Д. X. Алгебраическая проблема собственных значений. М.: Наука, 1970.

140. Умаров С.П. Некоторые пространства бесконечного порядка и приложения к операторным уравнениям. ДАН СССР, т.275, N 2, 1984.

141. Фаддеев Д. К., Фаддеева В. Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М. Физматгиз, 1963.

142. Федорюк М. В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений.- М.: Наука, 1983.- 351 с.

143. Хединг Дж. Введение в метод фазовых интегралов (метод ВКБ).-М.: Мир, 1965.- 283 с.

144. Хозе В.А., Шифман М.А. УФН, 1983, т. 140, с.З.

145. Чинь Нгок Минь. Линейные дифференциальные операторы бесконечного порядка и их применения. Acta Mathen. Vietnamica. 1987, т. 12, N1, с. 101-124.

146. Шайгарданов Ю. 3. Об асимптотике решения краевой задачи для одного параболического уравнения четвертого порядка I/ Дифферент уравнения.-1979.- Т. 15, 4.- С. 668-680.

147. Шайгарданов Ю. 3. Асимптотика по малому параметру решения задачи Дирихле для эллиптического уравнения порядка 2т, вырождающегося в уравнение первого порядка.- М.: ВИНИТИ, 1981.-Деп. 5011-81 35 с.

148. Шайгарданов Ю. 3. Асимптотика по параметру решения эллиптического уравнения высокого порядка в окрестности линии разрыва предельного уравнения. Дифференц. уравнения 1985.- Т. 21, 4.- С. 706-715.

149. Шишкин Г. И., Титов В. А. Разностная схема для дифференциального уравнения с двумя малыми параметрами при производных.- В кн.: Числ. методы механ. сплошной среды. Т. 6. 1. Новосибирск: Наука, 1976, с. 145-155.

150. Шишкин Г. И. Разностная схема на неравномерной сетке для дифференциального уравнения с малым параметром при старшей производной.- ЖВМиМФ, т.23, 3, 1983, с.609.

151. Шишкин Г. И. Повышение точности решений разностных схем для параболических уравнений с малым параметром при старшей производной.- ЖВМиМФ, т.24, 6, 1984, с.864.

152. Шишкин Г. И. Аппроксимация решений сингулярно возмущенных краевых задач с угловым пограничным слоем. Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1987. Т. 27. 9. С. 1360-1372.

153. Шишкин Г. И. Сеточная аппроксимация краевых задач с регулярным пограничным слоем/АН СССР. УрО. ИММ. Свердловск, 1988.-Деп. в ВИНИТИ 08.12.88, 8685-В88. 108 с.

154. Шишкин Г. И. Разностная схема для решения эллиптических уравнений с малыми параметрами при производных. Banach Centre Publ. Warsaw, 1978. V. 3. P. 89-92.

155. Shiihkin G. I. Grid approximation of singularly perturbed boundary value problems with a regular boundary layer Sovjet. J. Numer. Analys. Math. Modelling. 1989. V. 4. 5. P. 397-417.

156. Шишкин Г.И. Сеточная аппроксимация сингулярно возмущенной краевой задачи для квазилинейного эллиптического уравнения в случае полного вырождения. Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1991. Т. 31. 12. с. 1806.

157. Шишкин Г.И. Сеточная аппроксимация сингулярно возмущенных эллиптических и параболических уравнений. Екатеринбург: РАН, УО, 1992.

158. Шубин М.А. П/д операторы и спектральная теория. М.: Наука, 1978.

159. Эрдей А. Асимптотические разложения.- М.: Физматгиз,

160. L.R. Abrahamsson, Н.В. Keller, Н.О. Kreiss. Difference approximations for singular perturbations of systems of ordinary differential equations. Numer. Math., v. 22, 1974, pp. 367-391.

161. N.M. Atakishiev, R.M. Mir-Kasimov. Pr. JINR, E2-12367, Dubna, 1979; в кн.: "Труды VII международного семинара по проблемам физики высоких энергий и квантовой теории поля". Протвино, 1984, т. 1, стр.229.

162. Barbieri R. Nucl. Phys., 1976, v. В 105, p. 125.

163. N. Barik. Phys. Rev., 1985, v. D31, p.1652.

164. Bastevant J.L. Z. Phys., 1985, v. С 21, p. 413. ; Z. Phys., 1986, v. С 30, p. 103.

165. L. Boutet-de-Monvel. Operateurs pseudo-differentiels analytiques et opera-teurs d'ordre infini. Ann. Inst. Fourier, 1972, 22, 3, 229-268.

166. J.D. Cole. Perturbation Methods in Applied Mathematics, Blaisdell, Waltham, Mass., 1968.

167. S.D. Conte. The numerical solution of linear boundary value problems. SIAM Rev., v. 8, 1966, pp. 309-321.

168. Critchfield C.L, JMP, 1976, v.17, p.261.

169. S.M. Dancoff. Phys. Rev., 78, 382 (1950).

170. F. W. Dorr, "The numerical solution of singular perturbations of boundary value problems," SIAM J. Numer. Anal., v. 7, 1970, pp. 281313.

171. F. W. Dorr, "An example of in-conditioning in the numerical solution of singular perturbation problems," Math. Сотр., v. 25, 1971, pp. 271283.

172. Dorr P. An example of ill-conditioning in the numerical solution of singular perturbation problems.- Math. Comput, 1971, v. 25, 114, p. 271-283.

173. I. Duistermaat, L. Hormander . Fourier integral operators (II). Acta math., 1972, 128, 3-4, 183-269.

174. Eckhaus W. Boundary layers in linear elliptic singular perturbation problems / SIAM Review.-1972.- V. 14, N 2.- P. 226-270.

175. Ehrenpreis L. Fourier analysis in several complex variables. N.-Y., Wiley Inters. Publ., 1970.

176. Eich E., Rein D. Z. Phys., 1985, v. 28, p. 225.

177. W. E. Ferguson, "A singularly perturbed linear two-point boundary-value problem," Ph.D. Dissertation, California Inst, Tech., 1975.

178. P. C. Fife, "Semilinear elliptic boundary value problems with small parameters," Arch. Rational Mech. Anal., v. 52, 1973, pp. 205-232.

179. P. C. Fife, "Transition layers in singular perturbation problems," J. Differential Equations, v. IS, 1974, pp. 77-105.

180. Fock V.A. Phys. Assos. Sowjetunion, 6, 425 (1934).

181. Fraenkel L. E. On the method of matched asymptotic expansions. Parts 1-3 H Proc. Cambridge Phil. Soc.-1969.- V. 65.- P. 209-231, 233-251, 263284.

182. M. Gell-Mann, F. Low. Phys. Rev., 84, 350 (1951).

183. Hemker P.W., Shishkin G.I Approximation of parabolic PDEs with discontinuous initial conditions. East-West Journal of Numerical Mathematics. 1993. V. 1. 4. P. 287-302.

184. H о p f E. Comm. Pure Appl. Math- 1950.-V. 3, N 3, P. 201.

185. Kadyshevsky V.G. Nucl.Phys., B6, 125 (1968).

186. Kadyshevsky V.G., Mateev M. Nuovo Cimento, 55A, 275 (1967).

187. Kadyshevsky V.G., Mir-Kasimov R.M., Skachkov N.B. Nuovo Cimento, 55A, 1233 (1968).

188. V.G. Kadyshevsky, M. Mateev, R. M. Mir-Kasimov. Preprint JINR, E2-4030, Duhna, 1968.

189. Kaplun S. The role of coordinate systems in boundary-layer theory / Z. angew. Math. Phys.- 1954.-V. 5.-S. Ill 135.

190. Kaplun S., Lagerstrom P.A. Asymptotic expansions of Navier Stokes solutions for a small Reynolds numbers . J. Math, and Mech.- 1957.- V. 6,- P. 585- 593.

191. H. Kumano-go. Remarks on pseudo-differential equations. J. Math. Soc. Jap., j 1969, 21, 13, 413-439.

192. Lagerstrom P. A., Cole J. D. Examples illustrating expansion procedures for the Navier-Stokes equations / J. Rat. Mech. Anal- 1955.1. V. 4.- P. 817-882.

193. Leray J., Hyperbolic differential equations. The Inst, of Advanced Study, I Princeton, 1953.

194. Logunov A.A., Tavkhelidze A.N. Nuovo Cimento, 29, 380 (1963).

195. Logunov A.A., Tavkhelidze A.N.Nuovo Cimento, 30, 134 (1963).

196. Logunov A.A., Tavkhelidze A.N. Phys. Let., 4, 325 (1963).

197. Malgrange B. Existence et approximation des equations aux derivees partielles et des equations de convolution. Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 1955-56, 6, 261-355.

198. Martin A. Pr. CERN, TH-4382, Geneva, 1986.

199. Martineau A. Equations differentielles d'ordre infini. Bull. Soc. math. France, 1967, 95, 109-154

200. Maslov V. P. The characteristics of ip-operators and difference schemes. Actes Congres Intern. Math., 1970, 2, 755-769.

201. Miller J. Sufficient conditions for the convergence, uniformly in e, of a three point difference scheme for singular perturbation problem.- Lect. Notes Math., 1978, v. 679, p. 85-91.

202. Nirenberg L., Treves P. On local solvability of linear partial differential equations. Part 1 (Necessary conditions). Commun. Pure and Appl. Math., 1970. 23, 1, 1-38. Part II (Sufficient conditions). Commun. Pure and Appl. Math., 1970, 23, 3, 459-509.

203. Novikov V.A. Phys. Rep., 1978, v.41, p.l.

204. R. Е. O'Malley. Introduction to Singular Perturbations. Academic Press, New York, 1974.

205. R. E. O'Malley. On multiple solutions of a singular perturbation problem. Arch. Rational Mech. Anal. V. 49, 1972/73, pp. 89-98.

206. R. E. O'Malley. Phase plane solutions to some singular perturbation problems. Math. Anal AppL, v. 54, 1976, pp. 449-466.

207. Particle Data Group. Phys. Lett., 1986, V.170B.

208. Pearson С. E. On differential equation of boundary layer type.- J. Math. Phys. 1968, 47, p. 134-154.

209. Quigg C., Rosner J.L. Phys. Rep., 1979, v.56, p.169.

210. Rosenbloom P. C. The Cauchy-Cowalewski existence theorem. Proc. Intern. Congress Math. (Cambridge, 1950), 1952, 1, 442-443.

211. E. Salpeter, H. Bethe. Phys. Rev., 84, 1232 (1951).

212. Savrin V.I., Sidorov A.V., Skochkov N.B. Hadronic J., 1981, v.4, p.1642.

213. J. Schwinger. Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A., 37, 452 (1951).

214. Steinberg S., The Cauchy problem for differential equations of infinite or- : der. J. different, equat., 1971, 9, 3, 591-607.

215. A.N. Tavkhelidze. Lectures on Quasipotential Method in Field Theory. Bombay, Tata Institute of Fundamental Research, 1964.

216. Taylor M., Pseudo-differential operators. Princeton, Princeton Univ. Press, 1981 (Пер. на рус. яз: Тейлор М., Псевдодифференциальные операторы. М.: Мир, 1985, 469 с.

217. Temme N. М. Analilical methods for a singular perturbation problem in a sector / S1AM J. Math. Anal.- 1971- V. 5, ,N 6.- P. 876-887.

218. Treves P., Ovcyannikov theorem and hyperdifferential operators. Notas Mat. Inst. mat. pura e apl., Rio de Janeiro: 1968, 46, 238 p.