Исследование и предсказание развития неустойчивости Релея-Тейлора с помощью обучаемых математических моделей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Нужный, Антон Сергеевич

• Нужный, Антон Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Нужный, Антон Сергеевич

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. МЕТОДЫ ИЗУЧЕНИЯ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ТЕЧЕНИЙ; ВЕЙВJIET-АНАЛИЗ ДАННЫХ; НЕЙРОСЕТЕВАЯ ОБРАБОТКА И РАСПОЗНАВАНИЕ ОБРАЗОВ (ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ).

§1.1 Методы изучения гидродинамических течений.

§ 1.2 Вейвлет-преобразование.

§ 1.3 Нейронная сеть, как метод статистического анализа многопараметрических данных.:.

§ 1.4 Байесовы сети.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование и предсказание развития неустойчивости Релея-Тейлора с помощью обучаемых математических моделей»

Изучение турбулентных течений, вызванных гидродинамическими неустойчивостями, имеет большое практическое и научное значение. Классическим примером такой неустойчивости является неустойчивость Релея-Тейлора [1-3] (РТ-неустойчивость), которая возникает, когда тяжелую субстанцию помещают над легкой, а вся система при этом находится во внешнем силовом поле (например, ртуть, налита на поверхность воды в поле силы тяжести). Тяжелая среда начинает проникать в легкую в виде струй, а легкая - подниматься в тяжелую, образуя "пузыри", при этом перемешивание сред может развиваться разными путями в зависимости от вида начального возмущения границы их раздела. Задачей близкой по постановке к задаче Релея-Тейлора является неустойчивость Рихтмайера-Мешкова [4-6]. Разница состоит в том, что в первом случае система постоянно находится во внешнем силовом поле, а во втором - получает импульсное воздействие.

Задача предсказания конфигураций полей физических величин на поздних временах развития неустойчивостей по форме начальной конфигурации границы раздела сред представляет большой практический интерес. В частности, данная проблема возникла при изучении задачи инерциального термоядерного синтеза.

Чтобы получить энергию в термоядерном синтезе, необходимо нагреть топливо до термоядерных температур и удерживать ее достаточно долго, чтобы энергия, выделенная в результате синтеза, была больше затраченной на нагрев и удержание. Количественно это требование описывается критерием Лоусона [7], который накладывает условие на конечную плотность топлива п и время удержания г: пт > 1014 с/ , см

Одним из предполагаемых способов достижения зажигания термоядерного горючего является метод инерциального термоядерного синтеза, основанный на сжатии вещества. Основные положения инерционного термоядерного синтеза сформулированы в работах [8-12]. На рис.1 представлена схема зажигания топлива, в которой для нагрева и сжатия вещества используется мощное лазерное излучение. Термоядерное топливо находится внутри более плотной оболочки. Излучение падает на внешнюю поверхность оболочки мишени, вызывая абляцию вещества с ее поверхности. Испарение и абляция в свою очередь задают ускорение оболочки вовнутрь мишени.

Проблема такого способа зажигания состоит в том, что процесс сжатия является неустойчивым. Здесь наблюдаются три области, где возможно возникновение гидродинамических неустойчивостей. Первая — на внешней поверхности оболочки: при использовании абляционного давления для сжатия мишени до высокой плотности фактически предпринимается попытка ускорить плотную среду, толкая ее более легкой средой (веществом, испаряющимся с поверхности оболочки). Такой процесс приводит к возникновению классической неустойчивости Релея-Тейлора. Вторая область неустойчивости возникает на стадии сжатия веществом оболочки термоядерного топлива, то есть при торможении более тяжелого вещества оболочки легким термоядерным горючим. Это опять приводит к возникновению Релей-Тейлоровской неустойчивости. Третья область находится в центре мишени, где сильно нагретое т'опливо низкой плотности окружено более холодным топливом более высокой плотности.

Область 1 Область

Рис.1

Схема лазерного сжатия термоядерного топлива

По сравнению с классической постановкой задачи при сжатии мишени ситуация усложняется переменным ускорением, сжимаемостью перемешиваемых сред, теплопроводностью и сферической геометрией системы. Тем не менее, в ряде случаев задача близка к классической. На рис.2 приведен график зависимости радиуса мишени от времени в численном расчете лазерного термоядерного синтеза. В данном случае мишень состояла из оболочки, слоя льда из дейтерий-тритиевой смеси и слоя D-T-газа. Верхний график, нарисованный пунктирной линией, показывает зависимость от времени расстояния от центра мишени до границы раздела оболочки и D-T-льда. Нижний график показывает зависимость от времени расстояния до границы раздела D-T-льда и D-T-газа. Из графиков видно, что на большом отрезке сжатие можно считать линейным по времени, что соответствует постоянному ускорению.

Рис.2

График зависимости радиуса мишени от времени при инерциальном термоядерном синтезе.

В настоящее время теоретическое исследование турбулентных течений движется в двух направлениях: прямое численное моделирование (расчет по уравнениям гидродинамики) и построение параметрических моделей, основанных на статистическом осреднении исходных уравнений и применении полуэмпирических зависимостей для замыкания системы. Первый подход связан с большими вычислительными затратами, что ограничивает возможность его применения в ряде практических задач. Во втором подходе пока не удалось добиться исчерпывающего описания развития турбулентного перемешивания, а существующие на сегодняшний день модели имеют достаточно узкие области применения.

Таким образом, в ряде задач возникает ситуация, когда модели с малым числом параметров - так называемый параметрический подход (parametric method) - не дают полного описания, а расчеты на достаточно подробной сетке

- непараметрический подход (nonparametric method) - практически сложно применить. В этом случае можно прибегнуть к так называемому полупараметрическому подходу (semiparametric method), в котором модель имеет, с одной стороны, достаточное число степеней свободы, чтобы хорошо описывать исследуемые явления, но, с другой стороны, количество параметров позволяет современным вычислительным машинам быстро производить расчеты по построенной схеме.

Построение полупараметрических моделей традиционно ведется путем обобщения и статистического анализа экспериментальных данных. На первом этапе создается математическая модель, имеющая достаточно большое число адаптивных параметров, чтобы заведомо можно было достичь необходимого качества описания. Далее ей предъявляются данные, и адаптивные параметры модели корректируются согласно некоторому математическому критерию так, чтобы модель наилучшим образом описывала эти данные [13]. Процесс корректировки весов в теории обучения называется обучением модели, а используемое для этого множество данных - обучающим множеством.

Цель данной работы состоит в построении обучаемой математической модели описания процессов* перемешивания Релея-Тейлора; разработке алгоритмов и написании программы, реализующей данную модель; обучении созданной программы на множестве расчетов; проверке принципиальной состоятельности применения данного подхода к задаче предсказания поздних состояний процессов развития РТ-неустойчивости по их начальным возмущениям; поиске фундаментальных характеристик состояний процессов, дающих их компактное описание.

В работе в качестве обучающего множества данных используются результаты численных экспериментов - расчетов двумерного перемешивания Релея-Тейлора, проведенных по программам NUT [14] и МАХ [15]. Их описание будет дано ниже (главы 1, 2). С помощью этих кодов было получено множество расчетов РТ-перемешивания, проведенных для различных начальных условий. Была разработана обучаемая модель, реализованная и обученная в среде МАТЛАБ. Получено компактное представление процессов перемешивания Релея-Тейлора, удобное для анализа этих данных созданной моделью.

Диссертация состоит из четырех глав, введения, заключения, приложений и списка литературы.

Первая глава содержит обзор наиболее распространенных на сегодняшний день методов исследования РТ-неустойчивости и описание используемого в данной работе статистического анализа. Приведены базовые модели развития гидродинамических неустойчивостей, используемых для описания различных стадий перемешивания, а также описаны численные схемы расчета турбулентных течений - программа NUT, созданная в Институте математического моделирования (Москва) и программа МАХ, созданная в РФЯЦ ВНИИТФ (Снежинск). Дано краткое описание используемого в работе математического аппарата — вейвлет-анализа и методов кластерной обработки данных.

Во второй главе описываются расчеты развития неустойчивости Релея-Тейлора, используемые в данной работе, а также расчетные методики, с помощью которых они были проведены. Расчеты проводились по двум программам (NUT и МАХ), форма начального возмущения границы раздела сред задавалась суперпозицией гармонических функций. В работе использовались расчеты с различным спектральным составом начального возмущения. Возмущения границы раздела сред задавались 6-ю, 8-ю и 10-ю гармониками, порядковые номера которых соответствовали простым числам: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,. . Амплитуды гармоник выбирались по одному из двух законов: в первом случае линейно убывали с ростом волнового вектора, во втором - оставались постоянными. Выбор фаз этих гармоник является случайным. Рассматривалось перемешивание различных пар газов, а именно: гелий-ксенон, аргон-ксенон. Расчеты представлены в виде набора полей распределения физических величин в дискретные моменты времени.

В этой главе проводится статистический анализ поведения ширины зоны перемешивания для поздних моментов времени в зависимости от начальной ширины зоны перемешивания. При этом исследуются расчеты, проведенные для одной и той же пары газов, начальные возмущение границы раздела которых имеют одинаковый спектральный состав (гармоники, составляющие форму начального возмущения, во всех случаях входят в нее с одной и той же амплитудой, а отличие состоит в выборе фаз этих гармоник).

В третей главе описывается схема обработки полей плотности, характеризующих состояние процесса, которая состоит из двух последовательных линейных преобразований: вейвлет-преобразования полей плотности [16], в результате которого каждое поле было представлено вектором коэффициентов разложения по вейвлетгфункциям, и выделения главных линейных компонент в представленных таким образом данных.

В результате был найден набор функций, по. которым можно разложить все поля плотности, благодаря чему достигается их сжатое описание. Полученные базисные функции задаются численно в виде массива аппроксимирующих коэффициентов. Внешний вид базисных функций зависит от типа вейвлета, с помощью которого осуществляется предобработка картин распределения плотности. В этой главе графически приводятся базисные функции, построенные с использованием на этапе предобработки вейвлета Добеши1 (dbl) или функции Хаара и вейвлета Добеши2. Внешний вид полученных базисных функций в этих двух случаях различен, но общим является то, что разложение любой картины распределения плотности в основном содержится в небольшом количестве (порядка нескольких десятков) коэффициентов разложения. Следует отметить, что эти коэффициенты стоят при функциях, отвечающих за большие масштабы структур плотности.

Такое сжатое представление данных позволяет более оперативно обрабатывать информацию. Кроме того, некоторые базисные функции имеют наглядную физическую интерпретацию, что может сыграть важную роль в понимании физической сути процесса перемешивания. Из коэффициентов разложения полей по базисным функциям в дальнейшем составлялись векторы, играющие роль входных векторов нейронной сети, используемой для прогноза развития течений.

Четвертая глава посвящена кластерному анализу данных, представленных векторами, состоящими из коэффициентов разложения полей плотности по базисным функциям. В ней показано, что такое представление процессов удобно для предсказания течений, так как траектории расчетов в нем обладают устойчивостью. Устойчивость заключается в том, что если начальные состояния каких-то процессов близки по евклидову расстоянию, то и последующие состояния этих процессов так же будут близкими. Таким образом, утверждается, что в данных присутствует некоторая определенность, позволяющая прогнозировать движение процессов в пространстве коэффициентов разложения по базисным функциям.

В этой главе предложен критерий выбора отображающей вейвлет-функции для предобработки полей плотности, основанный на сравнительном анализе устойчивости процессов в различных представлениях (представлениях, полученных при использовании различных функций для отображения полей распределения плотности). Критерий основан на энтропийном анализе данных. По этому критерию будет сделана оценка предсказательных свойств некоторых пространств, полученных с помощью наиболее распространенных вейвлетов, а так же с помощью Фурье-разложения полей.

Также в этой главе описывается принцип построения программы (предиктора), предсказывающей конфигурации плотности процессов на поздние моменты времени по форме начального возмущения границы раздела сред. В основе предиктора лежит обучаемая нейросетевая модель. Такая модель содержит множество неопределенных параметров, которые перед эксплуатацией программы нужно доопределить — провести обучение. Обучение состоит в предъявлении программе множества примеров развития неустойчивости Релея-Тейлора, в результате статистической обработки которых модель фиксирует- значения корректировочных параметров. Приводятся результаты предсказаний предиктора: при предъявлении программе начальной конфигурации поля плотности нового неизвестного ей процесса программа выдает состояние процесса обучающей выборки, наиболее близкое по ее мнению к тем, которые должны получится в результате численного расчета.

Проводится кластерный анализ множества расчетов, а также сравнительный анализ процессов, полученных по различным численным методикам и процессов с различным числом Атвуда.

На защиту выносятся следующие результаты работы, полученные автором:

1. Методика анализа экспериментальных (расчетных) данных, основанная на совместном использовании вейвлет-преобразований, метода главных линейных компонент и кластеризации с помощью самоорганизующихся карт Кохонена, которая позволяет группировать изображения по их "внешнему" сходству.

2. Базовые конфигурации полей плотности (базисные функции), по которым можно разложить все картины распределения плотности, что приводит к упрощенному сжатому описанию процессов развития неустойчивости Релея-Тейлора.

3. Доказательство ближнего порядка корреляции в турбулентных течениях, проведенное на основе энтропийного анализа устойчивости процессов РТ-перемешивания в представлениях различных вейвлет-преобразований.

4. Алгоритмы преобразования исходных полей плотности в векторы коэффициентов разложения по базисным функциям, разработанные и реализованные в среде МАТЛАБ.

5. Программа-предиктор, предсказывающая распределение плотности, соответствующее состоянию процесса на заданный момент времени по распределению плотности этого процесса в начальный момент, реализованная в среде МАТЛАБ.

Основные результаты исследований автора, приведенные в диссертации, опубликованы в статьях [17-20], в виде препринтов [21-24], в сборниках трудов конференций [25-27], а также представлены в докладах конференций: IV и V Харитоновских чтениях 2002, 2003, [28, 29]; XXIX-XXXI Звенигородских конференциях по физике плазмы и управляемому термоядерному синтезу [30-32]; 9-th International Workshop on the Physics of Compressible Turbulent Mixing, Cambridge, UK 19-23 July 2004 [33]; Международном семинаре по супервычислениям и математическому моделированию-2004 [32], Научных сессиях МИФИ-2004, -2005 [35-36].

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Нужный, Антон Сергеевич

§4.9 Основные выводы к Главе 4

Кластерный анализ данных, проведенный в этой главе, позволил:

1. Провести визуальный анализ с помощью карт Кохонена состояний расчетов, представленных в многомерных пространствах главных компонент;

2. Найти наиболее подходящую для предсказания расчетов Релея-Тейлора вейвлет-функцию, используемую для предобработки полей плотности.

3. Построить программу, предсказывающую внешний вид полей распределения плотности, а также интегральные величины поздних состояний расчетов РТ-перемешивания по их начальным конфигурациям поля плотности;

4. Сравнить различные расчетные методики между собой путем анализа их траекторий на картах Кохонена;

115

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате проделанной работы:

1. Произведена статистическая обработка двумерных расчетов развития неустойчивости Релея-Тейлора, в результате которой было найдено устойчивое представление' процессов РТ-перемешивания - получено преобразование исходных полей распределения плотности в такое пространство признаков, в котором из близости по евклидову расстоянию нулевых моментов времени двух расчетов следует близость поздних моментов времени этих расчетов. Преобразование представляет собой комбинацию двух последовательных отображений - вейвлет-разложения исходных полей плотности и выделения в пространстве коэффициентов вейвлет-разложения главных компонент. Рассмотрение процессов в таком пространстве, позволяет строить предсказания о том, в какой области пространства будет процесс, если известно, где он находится в начальный момент времени. Данная методика построения устойчивых пространств допускает обобщение на трехмерный случай и на случай сферической геометрии системы, особо интересный для изучения проблемы инерциального термоядерного синтеза.

2. Получены фильтры главных компонент, которые осуществляют разложение полей распределения плотности на элементарные структуры (главные компоненты). Эти фильтры дают наглядную физическую интерпретацию компонент, а само представление полей плотности в этом пространстве можно трактовать как их разложение по набору базисных функций, форму которых задают фильтры. Показано, что фильтры ортогональны между собой, а само разложение единственно для каждой картины распределения плотности.

3. Показано, что распределение первой главной компоненты в пространстве представления, полученном с помощью вейвлета Хаара, сильно коррелированно с распределениями таких физических величин, как время, ширина зоны перемешивания, потенциальная энергия, внедренная масса и т.д., и наравне с этими величинами является характеристикой "возраста" процесса. Вторая и третья компоненты чувствуют крупномасштабные перетекание жидкостей в горизонтальном направлении, а четвертая и пятая отвечают за симметрию поля плотности. Тот факт, что компоненты с большим порядковым номером (то есть с меньшей дисперсией данных) отвечают за более мелкие перемещения жидкости вдоль горизонтальной оси, говорит о меньшей информационной нагрузке мелкомасштабных особенностей полей плотности.

4. Предложен критерий выбора представления данных, основанный на "энтропийном" анализе обучающей выборки. Для проведения такого анализа статистически были оценены вероятности перехода процесса из одной области пространства главных компонент в другую. По этим вероятностям было построено выражение для энтропии, введенное стандартным образом. Из рассмотренных представлений наилучшим оказалось пространство признаков, построенное с помощью вейвлета Добеши1. Характерной чертой этого вейвлета является то, что он учитывает корреляцию в данных только до ближайшего соседа, что соответствует выводам гидродинамики.

5. Создана программа в среде MATLAB, которая производит разложения полей плотности по вейвлет-функциям с использованием стандартных средств MATLAB и последующее выделение в пространстве вейвлет-образов главных компонент.

6. Создана программа, позволяющая предсказывать конфигурации плотности вещества на поздних стадиях процесса по начальному возмущению границы раздела сред. Программа определяет область пространства признаков, в которое попадает начальное состояние процесса, после чего находит наиболее вероятную область пространства для этого процесса на «I заданный момент времени. В качестве предсказания выдаются наиболее ® характерные для данной области пространства признаков состояния обучающей выборки.

Полученные результаты демонстрируют принципиальную возможность построения полупараметрических моделей прогнозирования развития гидродинамических неустойчивостей с помощью нейронных сетей, что может быть полезно в ряде практических приложений. Сам факт существования устойчивого представления процессов РТ-перемешивания указывает на их детерминированность и возможность их упрощенного модельного описания. Одним из практических применений полученных результатов может быть ф сравнение различных численных методик между собой и с экспериментом.

В дальнейшем планируется в дополнение к полю плотности, которое содержит не всю информацию о текущем состоянии процесса, .добавить другие поля, например, поля скоростей или импульсов. В продолжение работы 1Щ предполагается провести аналогичный анализ трехмерных расчетов и расчетов развития неустойчивости Рихтмайера-Мешкова, попытаться получить уравнения, которым подчиняются главные компоненты в ходе развития неустойчивостей, а также построить предикторы, обученные на предсказания интегральных характеристик поздних состояний процессов перемешивания.

В заключении хочу выразить признательность научному руководителю ф работы профессору В.Б. Розанову, С.А. Шумскому, Р.В. Степанову, Н.В. Змитренко за помощь в работе, В.Ф. Тишкину и М.Г. Анучину за предоставление расчетных данных, а также С.Ю. Гуськову и А.П. Канавину за полезные замечания.

If

118

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Нужный, Антон Сергеевич, 2005 год

1. Lord Rayleigh "Investigation of the Character of the Eguilibrium of an Incompressible Heavy Fluid of Variable Density" Scientific Paper (Cambridge 1900)pp.200-207.

2. Rychtmyer R.D., Commun. Pure and Appl. Math., 13(2), 297, 1960.

3. Мешков E.E., Известия АН СССР, МЖГ, 5, 151, 1969.

4. Мешков Е.Е., В сб. "Исследования гидродинамической устойчивости с помощью ЭВМ", Под ред. К.И. Бабенко, М., 163, 1981.

5. Lawson J.D., Proc. Roy. Soc. London, B70, 6, 1957.

6. Басов Н.Г., Крохин O.H., ЖЭТФ, 46, 171, 1964.

7. Басов Н.Г., Крохин О.Н., Вестник АН СССР, 6, 55, 1970.

8. Basov N.G., Krokhin O.N., New Scientist and Science J., 30, 733, 1971.

9. П.Розанов В.Б. Квантовая электроника 24 1095 (1997).

10. Розанов В.Б."0 возможности сферического сжатия мишени с термоядерным горючим при использовании для облучения двух лазерных пучков", УФН, Т. 174 №4, 2004

11. А. А. Ежов, С.А. Шумский "Нейрокомпьютинг и его приложение в экономике и бизнесе" Москва, МИФИ 1998.

12. В.Ф. Тишкин, В.В. Никишин, И.В. Попов, А.П. Фаворский. "Разностные

13. Ф схемы трехмерной газовой динамики для решения задачи онеустойчивости Рихтмайера-Мешкова", Математическое

14. Моделирование, 7(5), 15, 1995

15. Н.Н. Анучина, В.И. Волков, Н.С. Еськов. "Численный метод расчета контактных границ с большими деформациями". Международная конференция "V Забабахинские научные чтения", Снежинск, 1998.

16. Daubechies. "Ten lecture on Wavelets." CBMS-NSF Regional Conf. Series щ in Appl. Math., Vol. 61. Society for Industrial and Applied Mathemedics,• Philadelphia, 1992.

17. А.С. Нужный, В.Б. Розанов, Р.В. Степанов, С.А. Шумский. "Статистический анализ развития неустойчивости Релея-Тейлора, основанный на нейросетевой классификации процессов" Краткиеф сообщения по физике ФИАН № 4 стр. 15-28, 2004.

18. А.С. Нужный, В.Б. Розанов, Р.В. Степанов, С.А. Шумский. " Предсказание развития неустойчивости Релея Тейлора с помощью обучаемых программ" Краткие сообщения по физике ФИАН №2, стр. 41-49,2005.

19. А.С. Нужный, В.Б. Розанов, Р.В. Степанов, С.А. Шумский "Использование самообучаемых интеллектуальных моделей для прогнозирования развития НРТ-индуцированного турбулентного перемешивания" Физика плазмы, 2005, том 31,-№3, с.342-349.

20. А.С. Нужный, В.Б. Розанов, Р.В. Степанов, С.А. Шумский ф «Исследование неустойчивости Релея-Тейлора в задаче инерциальноготермоядерного синтеза методами нелинейной статистики», Препринт ФИАН №32, Москва 2002.

21. A.C. Нужный, В.Б. Розанов, P.B. Степанов, С.А. Шумский. "Нейросетевой анализ процессов развития неустойчивости Релея-Тейлора". Труды международной конференции VII Забабахинские научные чтения, Снежинск, 2003.

22. А.С. Нужный, В.Б. Розанов, Р.В. Степанов, С.А. Шумский. "Нейросетевой анализ турбулентных течений" Труды всероссийской конференции "Нейроинформатика-2004", Москва, 2004.

23. A.S.Nuzhny, V.B.Rozanov, R.V.Stepanov, S.A.Shumsky «Analysis of turbulent mixing process in the problem of RT-instability by self-organizing Kohonen maps and wavelet-preprocessing of data.» IV ХАРИТОНОВСКИЕ, Тематические научные чтения, Саров, 2002.

24. A.S.Nuzhny, V.B.Rozanov, RV.Stepanov, S.A.Shumsky « Investigation of hydrodynamic instabilities by analysis of the numerical calculation of Raley

25. Taylor intermixing based on neural networks.» V ХАРИТОНОВСКИЕ, Тематические научные чтения, Саров, 2003.

26. A.C. Нужный, В.Б. Розанов, Р.В. Степанов, С.А. Шумский. "Прогноз развития гидродинамических неустойчивостей с помощью обучаемых математических моделей", международный семинар по супервычислениям и математическому моделированию, Саров, 2004

27. А.С. Нужный, В.Б. Розанов, Р.В. Степанов, С.А. Шумский "Вейвлет-анализ процессов развития РТ-неустойчивости в задачах JITC" Научная сессия МИФИ-2004.

28. А.С. Нужный, В.Б. Розанов, Р.В. Степанов, С.А. Шумский "Нейросетевой прогноз развития процессов РТ-неустойчивости в задаче ЛТС" Научная сессия МИФИ-2004.

29. J. Boris "Dynamic stabilization of the imploding shell Rayleigh-Taylor instability" Coments on Plasma Physics and Controldfusion 31 (1977).

30. Yu. Afans'sev, N.G. Basov, E.G. Gamalii, O.N. Krokhin, and V.B. Rozanov "Symmetry and stability of laser-driven compression of thermonuclear targets" JEPT Lett. 23 566 (1976)

31. Gamaly E.G., "Hydrodynamic Instability of Target Implosion in ICF", in "Nuclear Fusion by Inertial Confinement: A Comprehensive Treatise", by CRC Press, Inc., 321, 1993.

32. Ландау Лифшиц Гидродинамика. Наука, Москва, 1986

33. Gamaly E.G. "Stability of the cavitating bubble boundary in an incompressible fluid"

34. Gamaly E.G. Neuvazhaev V.E., Shibarshov L.I. "On the stability of an arbitrary adiabatic flow", in Numerical methods in continuum Medium Mechanics, Vol. 7 Yanenko N.N. Novosibirsk 1976, 47.

35. Takabe H., Montierth I., Morse R.I., "Self-consistent eigenvalue analisis of R-T instability in an ablation plasma", Phis. Fluids, 26, 2299, 1983.

36. Лебо И.Г., Розанов В.Б., Тишкин В.Ф.,Федянин А.О., Краткие сообщения по физике, 7, 9, 1988.

37. Ферми Э., "Научные труды", М. Наука, т.2, 490, 1972

38. Н.А. Иногамов, A.M. Опарин, А.Ю. Демьянов, Л.Н. Дембицкий, В.А. Хохлов "О стохастическом перемешивании, вызванномонеустойчивостью Релея-Тейлора", ЖЭТВ, 2001, том 119, вып. 4, стр 822852.

39. Belotserkovskii О.М., "Turbulence and Instabilities", Moscow, MIPT, 1999. 48.Inogamov N.A., Sov. Tech. Phys. Lett, 4(6), 299, 1978.

40. Layzer D., Astroph. J., 122, 1, 1955.

41. Mikaelian K.O., in "The Proceedings of the 6th IWPCTM", ed. by G. Jourdan, L. Houas (Imprimerie Caractere, Marseille), 352, 1997.

42. Shvarts D., Alon U., Ofer D., McCrory R.L., Verdon C.P., Phys. Plasmas, 2(6), 2465, 1995.52.3митренко H.B., Прончева Н.Г., Розанов В.Б., "Эволюционная модель турбулентного слоя перемешивания", Препрйнт ФИАН №65, Москва, 1997.

43. C.3. Беленький, Е.С. Фрадкин, Труды ФИАН'29, 207 (1965)

44. В.Е. Неуважаев, ПМТФ вып. 6, 82 (1976)

45. L.D Landau and Е.М. Lifshitz, Fluid mechanics (New York, Academic, 1956).

46. J von Neumann and R. Richtmyer, "A method for the calculation of hydrodynamic shocks" J. Appl. Phys. 21, 232 (1950)

47. J.P. Boris "Flux-corrected transport III: minimal error FCT algorithms" J. Сотр. Phys. 20 (1976).

48. A.P. Calderon "Intermediate spaces and interpolation, the complex method", Stud. Math., 24, (1964), pp.113-190.

49. E.W. Aslaksen and J.R. Klauder "Unitary representation of the affine group", J. Math. Phys., 9 (1968) pp.206-211; see also "Continuous representation theory using the affine group", J. Math. Phys., 10 (1969) pp.2267-2275.

50. D. Esteban and C. Galand "Application of quadrature mirror filters, to split-band voice coding schemes", Proc. IEEE Int. Conf. Acoust. Signal Speech Process., Hartford, Connecticut, (1977) pp. 191-195.

51. М. Vetterli "Filters banks allowing perfect reconstraction", Signal Process., 10(1986) pp.219-244

52. J.Morlet, "Sampling theory and wave propagation", in NATO ASI Series, Vol.1, Issues in Acoustic signal/Image processing and recognition, C.H. Chen, ed., Sprinder-Verlag, (1983) pp. 233-261:

53. A. Haar (1910) Zur theorie der orthogonalen Funktionen-Systeme, Math. Ann., pp. 628-666

54. J.Morlet G. Arens, I. Fouegeua, and D. Giard (1982) Wave propagation and sampling theory, Geophysics, 47, pp. 203-236.

55. Meyer, Y. (1985), Principe d'incertitude, bases hilbertiennes et algebres d'operateurs, Seminaire Bourbaki, 1985-1986, no 662

56. Меуег, Y. (1990), Ondelettes et operateurs, Tome 1, Hermann Ed. (English translation: Wavelets and operators, Cambridge Univ. Press. 1993.)

57. Meyer, Y. (1993), Les ondelettes. Algorithmes .et applications, Colin Ed., Paris, 2nd edition. (English translation: Wavelets: algorithms and applications, SIAM).

58. Daubechies I. (1988) Orthogonal bases of compactly supported wavelets. Communications in Pure and Applied Mathematics. Vol.61, No.7, pp. 909996.

59. Ф.Розенблатт. Принципы нейродинамики. M.: Мир, 1964.

60. А.А.Веденов. Моделирование элементов мышления. М.: Наука, 1988

61. Т. Кохонен. Ассоциативная память. М.: Мир, 1980;ll.Vapnik, V. N. (1995) The nature of statistical learning theory. New York: Springer-Verlag.

62. David J.C. MacKay "Bayesian Interpolation" Computation and Systems California Institute of Technology 139-74 Pasadena CA91125 стр. 13.

63. С.А.Шумский "Байесова регуляризация обучения" Лекция для школы-семинара "Современные проблемы нейроинформатики", Москва, МИФИ, 23-25 января 2002 года.

64. Bishop, С.М. Neural Networks and Pattern Recognition. Oxford Press. 1995.

65. Hebb, D.O. (1949). The Organization of Behavior. New York: Wiley.

66. Kohonen, T. (1982). "Self-organized formation of topologically correct feature maps". Biol. Cybernetics 43, 56-69.

67. Kohonen, T. Self-Organizing Maps. Springer, 1997 (2-nd edition).

68. Deboeck, G. and Kohonen, T. (Eds). Visual Explorations in Finance with Self-Organizing Maps. Springer, 1998.

69. Hertz, J., Krogh, A., and Palmer, R. Introduction to the Theory of Neural Computation. Addison-Wesley, 1991.

70. Linsker, R. (1992). Local synaptic learning rules suffice to maximize mutual information in linear network". Neural Computation 4, 691-702.84.0ja, E (1982). "A simplified neuron model as a Principal Component Analyzer", J. Math. Biology, 16, 267-273.

71. S5.Yiu-fai Wong (193) "Clustering Data by melting" Neural Computation 5, pp 89-104

72. D'Agostini G. Bayesian reasoning in high energy physics principles and applications. - CERN Yellow Report 99-03, July 1999.

73. Cheng J., Druzdel M. J. Latin hypercube sampling in Bayesian networks // In: Proc. of the Thirteenth International Florida Arti'Acial Intelligence Research Symposium (FLAIRS-2000). Orlando, Florida, AAAI Publishers, 2000. pp. 287292.

74. Coles S. Bayesian inference. Lecture notes. Department of Mathematics, University of Bristol, June 10, 1999.

75. Giarratano J., Riley G. Expert systems: Principles and programming. PWS. Publishing, 1998.