Исследование физических принципов работы мемристорных структур с разработкой методов компактного моделирования их резистивного переключения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Мещанинов Федор Павлович

• Мещанинов Федор Павлович
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Мещанинов Федор Павлович

Введение

Актуальность работы

Степень разработанности

Цели и задачи

Научная новизна

Теоретическая и практическая значимость

Методология и методы исследования

Положения, выносимые на защиту

Достоверность

Личный вклад

Апробация работы

Публикации

Структура и объем работы

Список использованных сокращений

Глава 1. Моделирование мемристоров

1.1 Мемристор

1.1.1 Классификация мемристоров

1.2 Методы моделирования мемристоров

1.2.1. Физическое моделирование

1.2.2 Компактное моделирование

1.2.3 Сравнительный анализ некоторых компактных моделей

1.4 Динамические аттракторы

1.5 Дискретное преобразование Фурье

Выводы к главе

Глава 2. Разработка модели для анализа серии переключений мемристора

2.1 Модель модификации подвижности

2.2 Схема измерения отклика мемристора

2.3.1 Учет схемы ограничителя тока

2.4 Аппроксимация серии переключений

2.4.1 Результаты аппроксимации

2.5 Сравнение с моделью Yakopcic

2.6 Повышение точности модели

2.6.1 Выбор оптимального метода решения уравнения эволюции

2.6.2 Доработка модели с помощью Фурье-анализа

2.7 Оптимизация по разложению Фурье

Выводы по главе

Глава 3. Методы оценки начального приближения параметров модели

3.1 Материалы и методология

3.1.1 Описание эксперимента

3.1.2 Аналитические подходы и анализ ВАХ по частям

3.1.3 Перебор по сетке параметров

3.1.4 Методы локальной оптимизации

3.1.5 Подходы с применением машинного обучения

3.2 Разработанные алгоритмы

3.2.1 Метод второй и четвертой производной

3.2.2 Извлечение параметров зависимости тока от напряжения

3.2.3 Оценка гиперпараметров

3.2.4 Аппроксимация ВАХ и вычисление динамического аттрактора

Выводы к главе

Глава 4. Аппроксимация ВАХмемристора на основе низкоразмерных материалов

4.1 Материалы и методология

4.1.1. Обзор мемристоров на основе низкоразмерных материалов

4.1.2. Проанализированные модели

4.1.3. Задача оптимизации

4.1.4. Синтетические ВАХ

4.1.5 Метод оптимизации

4.2 Результаты

4.2.1 Аппроксимация

4.2.2 Пороговые напряжения

4.2.3. Аттракторы

Выводы к главе

Основные результаты работы и выводы

Благодарность

Список основных публикаций автора

Список литературы

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование физических принципов работы мемристорных структур с разработкой методов компактного моделирования их резистивного переключения»

Актуальность работы

Развитие микроэлектроники на протяжении последних десятилетий определялось стремлением повысить энергоэффективность и скорость работы полупроводниковых приборов и интегральных схем. Дальнейший прогресс в данном направлении ограничен множеством факторов, среди которых выделяются фундаментальные ограничения технологического процесса на уровне схемы и ограничение на перенос данных из хранилища в оперативную память на уровне архитектуры (узкое бутылочное горлышко архитектуры фон Неймана).

Одни из наиболее перспективных решений данных проблем связаны с мемристором [1, 2]. Высокий потенциал мемристора как основы для вычислительных устройств обусловлен рядом характеристик: совместимость с КМОП технологиями; высокая скорость переключения состояний [3, 4]; энергоэффективность, заложенная на уровне физических принципов [5, 6]; возможность реализации множества логических состояний [6] и, в отдельных структурах, механическая гибкость, позволяющая изменять форм-фактор устройств на основе мемристоров [7].

Мемристорам присущи два наиболее характерных недостатка: вариация характеристик от переключения к переключению [8], а также от устройства к устройству [9]. Данные недостатки мемристоров затрудняют создание энергонезависимой памяти на их основе.

Одним из перспективных направлений, направленных на улучшение характеристик мемристора является использование низкоразмерных материалов [10, 11, 12]. Тем не менее, модели, симулирующие изменение параметров от переключения к переключению, на данный момент являются актуальными [13, 14]. Также построение данных моделей может быть полезным при программировании дополнительных логических состояний с помощью динамических аттракторов [15].

Именно поэтому задача разработки модели мемристора, способной с высокой точностью аппроксимировать как отдельный цикл переключений, так и последовательность данных циклов, является одной из самых актуальных задач в данной области. Под циклом переключения подразумевается ВАХ мемристора, полученная при подаче одного периода управляющего сигнала.

Степень разработанности

На данный момент существует два наиболее распространенных подхода к моделированию мемристоров: физическое моделирование [16-19] и компактное [2, 20].

Под физическим моделированием, в соответствии с [21], здесь и далее будем понимать моделирование эволюции состояния мемристора с использованием теории функционала плотности, кинетических методов Монте-Карло, метода молекулярной динамики и т.д. Физическое моделирование применяется, например, для исследования влияния неоднородностей конкретной мемристивной структуры (например, добавок и центров образования филаментов [17, 22]) на процесс переключения состояния и характеристики мемристора.

В компактных моделях неоднородности в активном слое напрямую не учитываются. Тем не менее, ввиду достаточно хорошего баланса высокой точности и небольшой вычислительной сложности, применение компактных моделей является наиболее распространенным методом, применяемым для симуляции ВАХ. В зависимости от особенностей моделей, их можно разделить на несколько групп: подходящие для симуляции мемристора с множеством логических состояний [23, 24], учитывающие пороговые значения управляющего сигнала [2528] и вариацию параметров [23, 24]. Также модели можно разделить на основанные на физике переключения конкретных структур [2, 20] и адаптивные модели [2628]. Стоит отметить, что данное разделение является довольно условным, так как

различные модификации модели линейного дрейфа используются для симуляции ВАХ мемристоров, отличных от Pt/TiO2/Pt.

Цели и задачи

Существующие на данный момент компактные модели мемристоров, как правило, предназначены для решения довольно узконаправленных задач: симуляция ВАХ только одной структуры; ВАХ нескольких структур, но в ограниченном диапазоне амплитуд входного сигнала, и т.д. Также существуют модели, позволяющие воспроизводить ВАХ произвольной структуры для любых разумных значений входного сигнала, однако, одна из наиболее точных таких моделей, TEAM, обладает заметной чувствительностью конечного результата аппроксимации к малым изменениям начального приближения. Данное обстоятельство на практике значительно замедляет аппроксимацию экспериментальных ВАХ мемристоров.

Таким образом, на данный момент не существует компактной модели, способной быстро и точно аппроксимировать как отдельные ВАХ, так и серии экспериментальных ВАХ произвольной мемристивной структуры.

В данной работе поставлена следующая цель:

Исследовать процесс переключения мемристивных структур с характерным размером не более 100 нм на основе оксидов переходных металлов с биполярным переключением. На основе исследования разработать модель мемристора, учитывающую неоднородности в активном слое, пригодную для аппроксимации серий ВАХ мемристора и позволяющую проследить эволюцию распределения параметров.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Провести обзор существующих моделей мемристоров. Провести сравнение их точности моделирования ВАХ мемристора TiN/HfxAli-xOy(6 нм)/ВГО2(4 нм)ШК.

2. Провести обзор методов экстракции параметров из экспериментальных ВАХ.

3. Исследовать процесс переключения в активном слое различных мемристивных структур. Описать основные особенности процесса переключения различных мемристивных структур и их моделирования.

4. На основе проведенного исследования построить компактную модель. Данная модель должна демонстрировать точность аппроксимации не ниже, чем наилучшая модель из п. 1.

5. Разработать алгоритм предварительной обработки данных, позволяющий уменьшить количество локальных минимумов интегральной функции ошибки или избежать их.

6. Разработать методы оценки начального приближения параметров, выбрать последовательность алгоритмов оптимизации для аппроксимации одиночных ВАХ и серий переключений. Выбрать функцию ошибки аппроксимации экспериментальной ВАХ. Выбрать метод интегрирования уравнения эволюции.

7. Верифицировать предложенные методы и модели на переключениях мемристоров в ответ на сигналы с разными характеристиками формы.

8. Произвести поиск устойчивых состояний системы в усредненной по времени динамике — динамических аттракторов.

Научная новизна

1. Впервые разработана компактная модель, учитывающая влияние неоднородностей в активном слое мемристора на подвижность носителей заряда. Учет неоднородностей производится с помощью локального изменения проводимости мемристора. В разработанной компактной модели неоднородности вводятся с помощью функций учета неоднородности.

2. Параметры модели, полученные при аппроксимации серии переключения мемристора ^N(25 нм)Ш(25 нм)/7Ю2^)(10 нм)/TaOx(10 нм)Ла(8 нм)^(40 нм), в том числе и пороговые напряжения, демонстрируют высокую стабильность, соответствующую стабильности параметров отклика и схожести мощностных картин соседних переключений, и дают возможность их использования для создания моделей машинного обучения, генерирующих

правдоподобные серии переключений, а также для выделения особенностей, свидетельствующих о деградации устройства.

3. Произведен расчет положения динамического равновесия мемристора ^N(25 нм)Ш(25 нм)^Ю2(У)(10 нм)/TaOx(10 нм)/Ta(8 нм)/Au(40 нм) и мемристора Gr(графен)/GrO/ZnO с латеральными электродами к графену Т и Р^ и N6 электродами к нанотрубкам ZnO. Полученные результаты могут быть применены для аналогового построения промежуточных логических состояний мемристора.

4. Модель модификации подвижности с высокой точностью аппроксимирует ключевые характеристики анализируемых ВАХ мемристоров и является перспективной с точки зрения аппроксимации и симуляции переключений мемристоров на основе низкоразмерных материалов.

Теоретическая и практическая значимость

1. Учет неоднородностей происходит с помощью локального изменения проводимости в модели мемристора. В виду адаптивности представленной модели, возможно моделирование широкого спектра мемристивных устройств на основе оксидов переходных металлов и низкоразмерных материалов с характерным размером не более 100 нм.

2. Применяемый в работе подход к анализу вариации параметров модели позволит построить схемотехническую модель мемристора с достоверной симуляцией серий переключений. Результаты аппроксимации серии ВАХ мемристора позволяют оценить миграцию неоднородностей в пространстве состояний мемристора. Также это позволит в перспективе выделить общие тренды параметров модели и самого мемристора, указывающие на деградацию устройства.

3. Предложены универсальные методы аппроксимации отдельных ВАХ и их последовательностей, в частности, основанные на близости картин энерговыделения соседних циклов переключения мемристора на основе ZrO-2(У). Разработанная модель в сочетании с предложенными методами экстракции параметров и предобработки ВАХ позволяет производить анализ серии

последовательных переключений мемристоров различных типов. При этом повышается точность аппроксимации каждой ВАХ в цикле относительно старта из произвольной точки.

4. Предложен общий подход к выбору модели для аппроксимации ВАХ мемристоров различных типов. В частности, использована гибкая регуляризованная целевая функция, позволяющая выделять ключевые характеристики ВАХ мемристора.

5. Предложен подход к выбору метода интегрирования уравнения эволюции. В качестве критериев выбраны скорость и точность итоговой аппроксимации.

6. Предложено использовать метод повышения точности аппроксимации с помощью разложения Фурье. Также предложена целевая функция на основе преобразования Фурье, позволяющая избежать предобработки данных.

Результаты данной работы были использованы в НИОТКР «Фундаментальные основы формирования низкоразмерных кристаллов и создание на их основе электронных, опто- и акустоэлектронных наноприборов на новых физических принципах», грант Министерства науки и высшего образования Российской Федерации № 075-15-2020-791.

Методология и методы исследования

Симуляция вольт-амперных характеристик производилась с помощью модели, учитывающей влияние неоднородностей на ток путем умножения правой части зависимости тока от напряжения на функции учёта неоднородностей в пространстве состояний мемристора.

Для аппроксимации экспериментальных ВАХ анализируемых устройств использовались методы оптимизации из вычислительной математики, а также методы численного решения задачи Коши. Предварительная обработка экспериментальных данных производилась с использованием методов, включающих тригонометрическую интерполяцию, метод Савицкого-Голея, а также ядерное сглаживание с гауссовым ядром. Вычисление начальных приближений пороговых напряжений предварялось оценкой с расчетом второй и

четвертой производной тока по напряжению на обеих ветвях сглаженной ВАХ мемристора. Оптимизация параметров модели происходила путем минимизации различных целевых функций.

Положения, выносимые на защиту

1. Целевая функция нормированной разностной мощности позволяет симулировать зависимости выделения энергии от времени, близкие к экспериментальным.

2. Модель, учитывающая неоднородности в активном слое мемристора. Разработанная модель демонстрирует лучшую точность моделирования мемристора ТМШхАЪ-хОу(6 нм)/НЮ2(4 нм)/Т^ Использование неоднородностей повышает точность моделирования до 75%.

3. При аппроксимации серии переключения мемристора на основе ZrO2(Y) и ТаОх максимумы распределения изменений параметров между циклами находятся в нуле, среднее значение нормированной разностной мощности составляет 0,29, минимальное — 0,14.

4. Целевая функция на основе преобразования Фурье позволяет аппроксимировать ВАХ без предварительной обработки.

5. Алгоритмы оценки начального приближения параметров отдельных ВАХ. На референсной ВАХ отклонение оценок параметров зависимости тока от напряжения от их итоговых значений составило не более 28%.

6. Модель модификации подвижности демонстрирует лучшую точность моделирования ВАХ мемристора Gr/GrO/ZnO и синтетических ВАХ по сравнению с рассмотренными моделями нелинейного дрейфа и пороговыми адаптивными моделями.

Достоверность

Достоверность полученных данных и выдвигаемых на защиту научных положений обеспечивается использованием современных методов исследования. Результаты работы были доложены на международных конференциях и представлены в статьях.

Личный вклад

Автор данной работы принимал непосредственное участие в постановке целей и задач исследования. Все теоретические результаты работы получены автором лично, или при его непосредственном участии. Автором был введен и обоснован вид функций учета неоднородностей, а также был написан на Python 3.8 код всех анализируемых и построенных моделей. Также автор произвел анализ существующих методов экстракции параметров модели, лично разработал аналитические методы предварительной оценки параметров зависимости тока от напряжения и производил апробацию различных последовательностей методов оптимизации для получения оптимальной последовательности с упором на баланс между скоростью и точностью аппроксимации. Автором был реализован на языке Python 3.8 алгоритм вычисления потенциальной функции мемристора, с помощью которой в дальнейшем производились вычисления динамических аттракторов, а также были подобраны алгоритмы предварительной обработки данных.

Апробация работы

Работа была представлена на выступлениях на международных конференциях (8 докладов), всероссийских (2 доклада) и с международным участием (1 доклад):

1. 5-я международная научная конференция «Электронная компонентная база и Микроэлектронные модули», доклад: «Анализ методов математического моделирования мемристоров», 3-9 октября 2019, Алушта, Россия;

2. 5-я международная научная конференция «Электронная компонентная база и Микроэлектронные модули», доклад: «Построение обобщенной модели оксидной мемристивной структуры», 3-9 октября 2019, Алушта, Россия;

3. I международная конференция «Математическое моделирование в материаловедении электронных компонентов», доклад: «Моделирование вольт-амперной характеристики мемристора», 21-23 октября 2019, Москва, Россия;

4. I международная конференция «Математическое моделирование в материаловедении электронных компонентов», доклад: «Анализ аналитических моделей мемристора», 21-23 октября 2019, Москва, Россия;

5. 62-я Всероссийская научная конференция МФТИ с международным участием, доклад: «Обобщенная модель оксидного мемристора», 18-24 ноября 2019, Зеленоград, Москва, Россия;

6. 63-я всероссийская научная конференция МФТИ с международным участием, доклад: «Анализ серии переключений мемристора при помощи компактной модели с локальной модификацией подвижности», 23-29 ноября 2020, Зеленоград, Москва, Россия;

7. 4-th International Conference on Memristive Materials, Devices and Systems (MEMRISYS-2021), доклад «Flexible Model of Memristor with Conductivity Modifying Features», 1-4 ноября 2021, Цукуба, Япония;

8. 4-th International Conference on Memristive Materials, Devices and Systems (MEMRISYS-2021), доклад «Simulation of Memristor Switching Time Series in Response to Spike-like Signal», 1-4 ноября 2021, Цукуба, Япония;

9. International Conference on Micro- and Nanoelectronics 2021 (ICMNE-2021), доклад: «A Study of the Applicability of Existing Compact Models to the Simulation of Memristive Structures Characteristics on Low- Dimensional Materials», 2021, Звенигород, Россия;

10.International Conference on Micro- and Nanoelectronics 2021 (ICMNE-2021), доклад: «Development of methods for parameter extraction of memristor compact model», 2021, Звенигород, Россия;

11.Конференция с международным участием «Нейроморфные оптические системы», доклад: «Анализ и разработка методов экстракции параметров компактной модели мемристора», 2-3 декабря 2021, Шатура, Россия;

Публикации

Материалы данной диссертации были использованы в 14 публикациях, из

них 3 индексируются в Scopus, 5 в ВАК, 3 в Web of Science.

Структура и объем работы

Диссертационная работа включает список сокращений, введение, четыре главы, заключение, список работ, опубликованных по теме диссертации, список цитируемой литературы из 126 наименований и содержит 141 страницу, в том числе 52 рисунка и 21 таблицу.

Список использованных сокращений

ВАХ — вольт-амперная характеристика

СЭМ — сканирующая электронная микроскопия

СКО — среднеквадратичное отклонение

ТАСМ — трансмиссионная атомно-силовая микроскопия

КММК — кинетические методы Монте-Карло

КМ — компактная модель

ФО — функция окна

TAT — trap-assisted-tunneling

BFGS — метод Бройдена-Флетчера-Гольдфарба-Шанно

COBYLA — Constrained Optimization BY Linear Approximation (на русском названия не имеет, но переводится, как "ограниченная оптимизация при помощи линейной аппроксимации»)

Глава 1. Моделирование мемристоров 1.1 Мемристор

Мемристор является пассивным элементом электрической цепи, способным хранить информацию в виде сопротивления, изменяемого под действием интеграла по времени от управляющего сигнала [1]. Впервые понятие «мемристор» было введено Леоном Чуа из соображений симметрии связи между током, зарядом, магнитным потоком и напряжением в 1971 году (рис. 1).

Рис. 1. Схематическое изображение связи между током, зарядом, магнитным

потоком и напряжением [2]

Леон Чуа определил мемристор, как четвертый пассивный элемент электрической цепи, связывающий между собой магнитный поток и заряд, проходящий через мемристор:

dф = Mdq,

(1.1)

где ф — поток, q — заряд, М — величина, называемая мемристивностью (от английского «memristance» — memory resistance). Определив поток как интеграл напряжения по времени, из (1.1) можно получить

v = Mi. (1.2)

Из (1.2) очевидным образом следует, что мемристивность имеет размерность сопротивления.

Способность сохранять состояние на протяжении длинных промежутков времени определяется как материалами электродов и активного слоя, так и параметрами электроформовки. В зависимости от процесса фабрикации мемристора и электроформовки, можно получить как энергонезависимые мемристоры, так и энергозависимые.

Способность энергонезависимых мемристоров поддерживать состояние после отключения внешнего питания в течение долгого времени, а также совместимость с КМОП технологиями, делают их перспективными относительно применения к задачам хранения информации, например, путем объединения мемристоров в кроссбары. Другими определяющими факторами, позволяющими использовать мемристоры в качестве хранилищ информации, являются возможность ее хранения при размерах порядка нескольких нанометров, высокая скорость переключения и низкое энергопотребление. Также разрабатывается подход к проведению вычислений в месте хранения информации [29, 30], что потенциально делает устройства на основе мемристоров перспективными с точки зрения обучения моделей и применения к задачам машинного обучения.

С момента введения понятия мемристора предпринималось несколько попыток получить структуру с описанными свойствами. Leon Chua предпринимал попытки описать возможные формы ВАХ мемристора и критерии, которым они должны удовлетворять, а также ввел обобщение понятия мемристора, в результате которого к «обобщенным» мемристорам стало возможно отнести термисторы, за состояние которых отвечала температура устройства [31]. Впервые мемристор был намеренно получен в 2008 году сотрудниками лаборатории HP Labs [2], и

представлял собой вертикальную МДМ структуру с платиновыми электродами и 5 нм слоем диоксида титана (Pt/TiO2/Pt). Пример ВАХ данной структуры представлен на рис. 2.

1.0 0.0 1.0 Voltage (V)

Рис. 2. ВАХ мемристора с вертикальной структурой Pt/TiO2/Pt [2]

ВАХ мемристоров представляют собой петли гистерезиса, дважды проходящие через начало координат. В наиболее ранней литературе данные петли называют фигурами Лиссажу.

Несмотря на наличие свойства сохранения резистивного состояния и его изменения под действием внешнего сигнала, первый мемристор от HP Labs оказался неприменим в задачах построения памяти и нейроморфных систем по ряду причин. Среди них можно выделить вырождение петли гистерезиса при частотах выше 1 Гц, в то время как для гарантированного различения логических

состоянии желательно иметь разницу в несколько порядков между сопротивлениями в низкоомном и высокоомном состояниях. Другим существенным недостатком является рабочие токи порядка 1 мА, приводящие к высокому энерговыделению.

1.1.1 Классификация мемристоров

В зависимости от механизма переключения, можно выделить три большие группы мемристоров (рис. 3):

1. Мемристоры с филаментарным механизмом переключения;

2. Мемристоры интерфейсного типа;

3. Мемристоры, переключение состояния которых обусловлено изменением фазы вещества в активном слое.

Рис. 3. Классификация мемристоров по типу переключения: а) филаментарный тип; б) интерфейсный тип; в) изменение фазы [21]

Филаментарный тип переключения обусловлен созданием и разрушением проводящих каналов в активном слое мемристора.

В зависимости от материалов электрода и активного слоя, данные мемристоры разделяют на анионные и катионные.

В первом случае проводящий канал образуется из кислородных вакансий, если материалом активного слоя является оксид переходного металла [2, 20], а проводящий филамент образуется из восстановленного металла. Как правило, в качестве активного слоя анионных мемристоров выступают оксиды переходных металлов, такие, как TiO2 [2], TaOx [32], и др.

В случае катионных мемристоров проводящий филамент образуется из материала электрода. Одним из распространенных материалов, используемых в качестве активного электрода в филаментарных мемристорах катионного типа, является серебро [33, 34], но также могут быть использованы и другие металлы, например, медь и кобальт. На рост серебрян Существенными факторами, определяющими рост серебряного филамента в мемристорах, являются подвижность ионов и скорость окислительно-восстановительных реакций [35].

Конфигурация филаментов в анионных мемристорах (наличие одного «сильного» филамента или множества «слабых») зависит от материалов, используемых при создании мемристоров [36].

К мемристорам с интерфейсным типом переключения относят мемристоры, процесс переключения которых происходит на границе активного слоя и одного из электродов. В отличие от мемристоров филаментарного типа данные мемристоры не нуждаются в электроформовке. В качестве материалов активного слоя могут выступать SrFeOx [37], HfOx [38-40] и др.

В ячейках с переменой фаз переключение состояния мемристора происходит за счет изменения кристаллической структуры (мемристоры Мотта) вещества активного слоя (например, NbO2 [41]) либо перехода «аморфное состояние — кристаллическое состояние» (TixSnSb, GexSbyTez [42, 43]).

1.2 Методы моделирования мемристоров

Как уже было отмечено ранее, основными проблемами большей части реализаций мемристорных структур является разброс выходных характеристик, а также их вариации от переключения к переключению. Преодоление данного общего недостатка требует комплексного изучения мемристоров, включающего в себя моделирование отклика мемристора на входной сигнал и in situ наблюдения процессов, происходящих в мемристоре. Так, например, экспериментальными методами можно определять коэффициенты диффузии ионов [44], используемые далее при моделировании, а СЭМ и ПАСМ используют для отслеживания

морфологических изменений в проводящем канале [45, 46] в процессе переключения.

Среди наиболее распространенных подходов к моделированию мемристоров можно выделить две группы: физическое моделирование и создание компактных моделей. Рассматриваемые подходы различаются принципиально, как по вычислительной сложности, так и по точности симуляции.

1.2.1. Физическое моделирование

Данный тип моделирования обычно применяется, если необходимо рассчитать распределение напряжения электрического поля, концентрации вакансий или ионов, а также химического потенциала. Физическое моделирование позволяет проследить эволюцию данных параметров на промежуточных стадиях процесса переключения состояния или формовки, там, где временное разрешение экспериментальных методов недостаточно высоко.

Моделирование процессов, происходящих в мемристорах, производится обычно с использованием одного или комбинации из следующих методов: кинетические методы Монте-Карло, метод молекулярной динамики или теория функционала плотности. При этом рассматриваемые методы физического моделирования кардинально отличаются друг от друга не только уравнениями, лежащими в основе, но и временными масштабами, на которых данные методы можно считать применимыми. Соответственно, выбор метода целиком зависит от решаемой задачи.

1.2.1.1 Теория функционала плотности

Основной задачей в теории функционала плотности является расчет энергии основного состояния негомогенных систем, таких, как ансамбли атомов [47].

Подобные системы описываются гамильтонианом

' 2 #2 н = -0ш, -ук

7=1 7 ¿=1

е

+ (1.3)

2 1

7=1 (+7 1 1 Л 2 # # ' #

е- УУ-^__в 2 00 -7

+ —

¿=1 1 "Л 7=1 ¿=1

где Ь — постоянная Дирака, М7 и 17 — масса и заряд Ьго ядра, Я = (й/}'=1 — радиус-векторы ядер, т и е — масса электрона и элементарный заряд, г = (г^}#=1, радиус-векторы ядер. Для нахождения всех свойств системы нужно решить уравнение Шредингера:

= (1.4)

На практике оказывается, что только в крайне малом количестве случаев возможно получить аналитическое решение уравнение Шредингера для подобных систем. Несмотря на то, что статистика каждой отдельной компоненты известна, системы атомов представляют собой многокомпонентные системы из многих тел, и каждая компонента подчиняется своей статистике. Свой вклад в сложность аналитического решения вносят и кулоновские корреляции, не позволяющие получить разложение функции окна, а следовательно, и уравнения Шредингера на несколько независимых компонент. Для обхода данной проблемы при вычислении можно применять два подхода: адиабатически разделить ядра и электроны или учитывать ядра классическим способом.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Мещанинов Федор Павлович, 2022 год

/ / / -

/ / /

у__ У /

У

У/

-. _. -

2 1

„ О <

* -1

О

I-

-2 -3

- Обратное направление обхода \

V

У /

/У У/

/ /

/ / У/

Напряжение (В)

-2 0 2 Напряжение (В)

Рис. 20. Направление обхода ВАХ. Слева указано прямое направление обхода,

справа — обратное

Для подачи и измерения электрических сигналов использовалось многофункциональное устройство ввода-вывода National Instruments USB-6211 и программное обеспечение на базе LabVIEW. Сигнал с ЦАП устройства NI USB-6211 подавался на верхний электрод мемристивного устройства. Ограничитель тока (500 мкА при 5 В) на основе полевого транзистора [90] был подключен к мемристору последовательно с нагрузочным сопротивлением 100 Ом, на котором падение напряжения измерялось с помощью АЦП, а затем преобразовывалось в ток, протекающий через мемристор. Схема измерения отклика мемристора показана на рис. 21.

Однако, так как входной сигнал является решением дифференциальных уравнений ФитцХью-Нагумо [92], то задача извлечения параметров модели из экспериментальных кривых ВАХ начинается с интерполяции спайкового входного сигнала и отклика устройства. Интерполяция сигнала необходима для дальнейшего

использования сигнала в модели с произвольным количеством точек на кривой ВАХ, и, кроме того, она позволяет уменьшить инструментальную погрешность, связанную с ненулевой дисперсией параметров сигнала. В данной работе используется интерполяция Фурье (рис. 22).

Рис. 21. Экспериментальная схема для измерения токового отклика мемристорного устройства на спайкоподобную активность [8]

Рис. 22. Интерполяция входного сигнала. Слева указан результат интерполяции, справа — расхождение интерполяции и самого сигнала в узлах интерполяции [8]

Для уменьшения количества локальных минимумов функций ошибок, основанных на интегральных показателях ВАХ, а также компенсации инструментальной погрешности правильным является проведение предварительной интерполяции и для зависимости отклика от времени. В качестве сглаживающего метода интерполяции для отклика каждого экспериментального

цикла переключения применялся алгоритм Савицкого-Голея с порядком аппроксимирующего полинома 7 и размером окна 15 точек (рис. 23).

Рис. 23. Итоговая форма сглаженной ВАХ и ошибка интерполяции отклика [8] Примеры сглаженных кривых ВАХ для 50 последовательных циклов переключения показаны на рис. 24.

Рис. 24. Сглаженные контуры ВАХ 50 последовательных переключений

мемристора [8]

2.3.1 Учет схемы ограничителя тока

Наличие ограничителя отрицательных токов в схеме измерения может существенно повлиять на итоговые значения параметров, отвечающих за поведение модели при отрицательных значениях входного сигнала, полученных при аппроксимации экспериментальных ВАХ. Устранение данного эффекта требует подбора метода учета ограничителя, который обладал бы достаточно низкой вычислительной сложностью.

Для предварительной апробации представленных далее методов учета схемы ограничителя тока были использованы данные переключений того же мемристора при подаче на него синусоидального сигнала с амплитудой 1.7 В и частотой 100 Гц.

2.3.1.1 Функция учета ограничителя

Упрощенным способом ограничить ток в модели является домножение отрицательных токов на некоторую функцию, которую далее будем называть функцией учета ограничителя. Данная функция должна иметь достаточно простой для расчетов вид и нетривиально зависеть от тока и напряжения. Для определения функции учета ограничителя сначала было решено использовать аппроксимацию, представленную на рис. 25. На том же рисунке представлен результат учета ограничителя с помощью функции

'(1 + 2 * 0.0003)

_1 [ > —з • 10_4Л

Г , 0.0003 • 1.5 ' (2 2)

* 1 2 —3 •10"4Л ' ()

-, otherwise

3 i

позволяющей понизить ошибку аппроксимации с 0.25 до 0.20. Параметры модели на рис. 25 получены использованием метода Нелдера-Мида. Главным недостатком функции (2.2) является введение ограничение тока до 200 мкА, в то время как в схеме ограничителя ток выходит на плато при напряжении 5 В и токе 500 мкА. Данный недостаток становится очевидным при незначительном изменении функции Р, при котором максимальный ток повышается до 500 мкА. Более точный подбор параметров модели, лежащих в зависимости тока от напряжения, приводит к некорректному ограничению по току данной функцией. Под более точным

подбором здесь подразумевается изменение параметров модели, отвечающих за ток при положительных напряжениях.

Альтернативным вариантом данной функции является построение функции F, зависящей только от напряжения (рис. 26). Данная функция была получена путем аппроксимации зависимости отношения модельного тока к экспериментальному от напряжения полиномом второго порядка. Из-за быстрого приближения экспериментального графика к нулю вблизи его окрестности, в процессе аппроксимации использовались только точки, лежащие ниже -0.1 В. Полученная подобным образом функция не является универсальной для всех серий переключения и нуждается в дальнейшей доработке. Итоговое значение целевой функции составило 0.16.

Преимуществом данного метода является отсутствие необходимости симуляции всей измерительной цепи и, следовательно, замедления расчетов модельной ВАХ при заданных параметрах модели.

1е-4 1е-4

Напряжение (В) Напряжение (В)

Рис. 25. Cравнение модельного контура при учете схемы измерения и без него

К недостаткам можно отнести неуниверсальность данного подхода с точки зрения значения оптимальных коэффициентов в функции учета ограничения для каждой отдельной вольт-амперной характеристики. Подобное добавление гиперпараметров может существенно замедлить процесс определения оптимальных значений параметров модели.

g 0

- Е АХ эксперимента АХ модели с ограничением

le-3

0.2 0.0 .-02

^ -0.4 О

-0.6 -0.8 -1.0

/

/

h t

/ - ВАХ эксперимента Оригинальная ВАХ модели

-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 Напряжение (В)

15

-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 Напряжение(В)

1.5

Рис. 26. Ограничение зависимостью от напряжения. Функция ошибки после

ограничения равна 0.16

3.3.1.2 Прямой учет схемы ограничителя

Прямой учет схемы измерения является более точным методом аппроксимации.

В нашей работе для симуляции полевого транзистора применялась следующая система уравнений:

4 =<

К

п

0,

~Ugd — Uth )Usd "2 №gd — Uth] ,

Ugd < U-,

th

П2 usd

U,

Uth < Ugd < Uth + -jr)

(2.3)

otherwise

где Кп — относительная крутизна передаточной характеристики, — пороговое напряжение, и— напряжение затвор-сток, и ^ — напряжение исток-сток.

Разница между и^ и и А была принята постоянной и равной 1.5 В, а ограничение

по току — 300 мкА.

Ввиду нелинейной зависимости тока от напряжения в модели модификации подвижности, прямая симуляция требует дополнительных вычислений, связанных с вычислением напряжений на каждом элементе цепи. Данное обстоятельство значительно повышает время расчета ВАХ в модели. Так как целью работы является не симуляция цепи, а нахождение оптимального алгоритма

аппроксимации серии переключений, предлагается использовать следующий алгоритм. Можно построить зависимость напряжения между стоком и истоком от тока, протекающего через транзистор. Используя построенную зависимость и отклик цепи, а также пренебрегая напряжением на резисторе, можно получить напряжение на мемристоре.

Типичный график зависимости напряжения на мемристоре от времени и ВАХ мемристора изображен на рис. 27.

Функция ошибки для начального приближения составила 0.13, и результат аппроксимации представлен на рис. 28.

Данный метод учета ограничения тока используется далее при аппроксимации серии переключений. Недостатком метода является изменение зависимости напряжения на мемристоре от времени, подаваемой на вход модели. Данная разнородность может создать дополнительные проблемы при генерации правдоподобной серии модельных ВАХ с помощью моделей машинного обучения.

1е-4

-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 0 1 2 3 4 5

Время (с) Напряжение (В) 1е

Рис. 27. Изменение зависимости напряжения от времени и ВАХ мемристора на 10-ом цикле переключения при учете схемы ограничителя тока

1с-4

ВАХ эксперимента ВАХ модели /Л

1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5

Напряжение (В)

Рис. 28. Результат аппроксимации 10-го цикла переключения мемристора 2.4 Аппроксимация серии переключений

Важной частью решения задачи аппроксимации нескольких контуров является определение начального приближения. Чем ближе первоначальная оценка к оптимальному результату, тем меньше времени требуется для достижения оптимума, что имеет решающее значение для анализа нескольких контуров. Поиск начального приближения проводился в два этапа: поиск начальной оценки (с помощью аналитических методов и методов оптимизации на сетке параметров) и оптимизация в непрерывном пространстве параметров на произвольно выбранной ВАХ. Начальные параметры были получены из аналитического исследования приведенных выше уравнений (параметров а&, а2, Ь, Уп), аналогично [93], и с использованием факта близости картин энерговыделения на соседних циклах. Данное обстоятельство позволяет использовать результат аппроксимации п-го цикла переключения для построения сетки параметров и применения метода мультистарта при аппроксимации п + 1-го цикла переключения.

Методы оценки параметров зависимости тока от напряжения и пороговых напряжений рассмотрены в Главе 3.

Во избежание замедления расчета начального приближения контура при достижении им локального минимума методами ограниченной оптимизации сетка была разбита на подсетки, каждая из которых имела свой минимум. Результат, соответствующий минимальному значению целевой функции, представлен на рис. 29.

0.0006 0.0004 0.0002 0.0000 -0.0002

с

а;

3 -0.0004 -0.0006 -0.0008 -0.0010

—2 0 1 2

Voltage, V

Рис. 29. Начальное приближение задачи аппроксимации. Значение целевой

функции равно 0.397 [8]

2.4.1 Результаты аппроксимации

Оптимизация в пространстве параметров также проводилась в два этапа. На первом шаге, начиная с минимумов метрики для каждой подсетки, используются методы случайного поиска с ограниченным числом шагов и BFGS (алгоритм Бройдена-Флетчера-Голдфарба-Шанно [75]) были запущены для определения начального приближения. Результаты сравнивались друг с другом, и параметры модели, соответствующие нескольким лучшим результатам, были выбраны в качестве начального приближения для следующего шага оптимизации. Использование COBYLA (оптимизация с ограничениями с помощью линейного

приближения [81]), чтобы уточнить аналитически определяемые параметры, позволило за короткое время получить начальную оценку аппроксимационной задачи (рис. 30).

0.0005

0.0000 -0.0005 -0.0010 -0.0015 -0.0020 -0.0025

~—2 0 1 2

Voltage, V

Рис. 30. Начальное приближение задачи аппроксимации. Значение целевой

функции составляет 0.182 [8]

Ограничение тока, обеспечиваемое описанным выше транзистором, было добавлено к полученной первоначальной оценке. Затем была запущена аппроксимация множественных контуров. Весь набор циклов переключения был разбит на группы по 300 циклов в каждой. Для аппроксимации последовательно использовались методы случайного поиска и BFGS. Кривые переключения различаются от цикла к циклу (рис. 24), и попадание в локальные минимумы может создать значительные трудности для методов аппроксимации с ограниченным числом шагов (рис. 31). Это создает сильные выбросы в точности аппроксимации некоторых контуров.

О 50 100 150 200 250 300

Number of cycle

Рис. 31. Начальное приближение 300 последовательных циклов переключения.

Среднее значение целевой функции составляет 0.646 [8]

Близость последовательных циклов переключения позволяет использовать оптимальные параметры, соответствующие минимальным значениям функции ошибок, в качестве начальных значений для ближайших максимумов. Используемый метод позволил снизить среднее значение функции ошибок до 0.29 при минимальном значении 0.14.

В результате аппроксимации в модели были выявлены две существенных области модификации подвижности, где поведение системы существенно отличается от предложенного в оригинальной работе Yacopcic и др. Эффект неоднородности первого типа проявляется в начале формирования филамента и соответствует изменению конфигурации вакансий внутри функционального слоя [22]. Второй тип аппроксимирует изменение подвижности в 7Ю2 (У) относительно переменной состояния. Примерами данных неоднородностей могут служить границы зерен оксидов в активном слое мемристоров, имеющие отличную от остальной части материала проводимость.

Полученные оптимальные параметры были использованы для построения потенциальной функции мемристора (рис. 32) и нахождения динамических аттракторов.

0.0000 -0.0005

о

13 -0.0010 с

о

-0.0015 -0.0020

0.0000 0.0005 0.0Ö10 0.0015 0.0020 0.0025 0.0030 0.0035 0.0040

State variable

Рис. 32. Потенциальная функция мемристора в окрестности минимума

(динамического аттрактора) [8]

Для расчета потенциальной функции мемристора использовалась формула для сигнала произвольной формы (12). Точке х = 2,7 • 10_3 соответствует минимум потенциальной функции мемристора. Соответствующие сопротивления для левой и правой ветвей ВАХ при малых напряжениях равны Rleft = 344,4 кОм, ^right = 334,8 кОм.

Анализ поведения состояния мемристора для оптимальных параметров показывает, что для выбранного сигнала переключения диапазон изменения переменной состояния мемристора составляет [0, 0,18] (рис. 33), в отличие от поведения систем, переключаемых посредством синусоидального сигнала, соответствующий диапазону [0, 1]. Полученный эффект связан с асимметричной формой спайкообразного сигнала в сочетании с податливостью тока в процессе

записи, что позволяет получить более стабильное состояние в области высоких сопротивлений мемристора.

Рис. 33. Аппроксимация ВАХ 50 последовательных циклов переключения и соответствующая динамика переменной состояния [8]

Сравнение мощности на цикл переключения, полученное в результате эксперимента с модельным, показано на рис. 34. Разница в потребляемой мощности в областях высокого напряжения определяется приближенным характером совместного решения задачи ограничения тока.

Таким образом, совместное рассмотрение обеих схем энерговыделения подтверждает предположение о том, что предлагаемая модель и метод аппроксимации обеспечивают точное моделирование эволюции переменных состояния, что обеспечивает близкую к реальности зависимость мощности от времени переключения. Такие условия гарантируют достаточно надежные результаты для описания выделяемой мощности в цикле переключения для длинных серий переключений, стимулированных импульсными сигналами.

Предполагая высокую точность полученных результатов, сравним на рис. 35 смоделированную диаграмму мощности, показанную на рис. 34, с рассчитанной для типичного устройства из литературы [73]. Форма кривой мощности демонстрирует набор особенностей для данной комбинации «тип сигнала + структура мемристора».

Time.s

Рис. 34. Выделение тепла в одном цикле переключения: эксперимент и модель [8] Хотя меньшее энергопотребление приводит к уменьшению локального перегрева, непрерывный нагрев из-за выделения энергии во время переключения может увеличивать влияние температуры на отклонение параметров от цикла к циклу.

Аппроксимация длинных рядов переключений делает возможным анализ распределений разностей последовательных значений параметров модели. Однако для выполненной оценки погрешности нельзя исключить, что полученные распределения определяются наличием сильного шума в системе. Для уменьшения влияния шума предлагается использовать специальную функцию ошибок, оптимизированную для условий эксперимента, вместе с повышением точности экспериментальных измерений в состоянии Ron. Таким образом, исследование

корреляций между дисперсией ключевых параметров мемристора и дисперсией параметров модели остается открытой задачей.

0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025

Time, s

Рис. 35. Сравнение кривых выделения тепла в течение одного переключения с

результатами из литературы [73] [8]

Гистограммы распределений разностей последовательных значений параметров модели представлены на рис. 36.

' III 40 100

ГТГ||[-| 20 50 ■

-0.5 00 05 Уп.У-1

-1.0 -05 ОХ) 05 10

Ур.У-1

ООО 005 010 015

а,, А

ООО 005 010 015

А

-250 0 250 500

-1000 -500 0 500

ьЖ* ■ 1

-10 -0.5 00 „ 0.5 10

Ь,У

-0.2 00 0.2 еггог /ипсШп

125

100

-0 025 0000 0025 0050

-100 0 100

200

-100 -50 0 50

100

80

60

40

20

и-1--1- -0.2 0.0 0.2

150

—I ■—

200 400

-50 0 50 100

-0 05 ООО 005

Х„

-О 50 -0 25 О ОО 0 25 0 50 Х„

Рис. 36. Распределение разностей значений параметров моделей, полученных при аппроксимации последовательных 2000 ВАХ. На оси OX демонстрируются разности параметров, на OY — количество разностей в заданном диапазоне [8]

2.5 Сравнение с моделью Уакорск

Для определения вклада неоднородностей в точность аппроксимации экспериментальных контуров было проведено сравнение с моделью Yakopcic в рамках подхода, использованного в подразделе 1.2.3. Модель модификации подвижности демонстрирует существенное повышение точности аппроксимации при старте из произвольной точки. Все начальные значения параметров, кроме параметров неоднородностей, совпадают с начальными значениями при

аппроксимацию моделью Yakopcic, остальные значения взяты случайным образом. Положения неоднородностей и их эффективные размеры были взяты случайно из отрезка [0, 1]. Итоговое значение нормированной симметрической разницы мощностей для модели модификации подвижности с тремя неоднородностями составляет 0,11. Параметры модели и итоговый вид аппроксимирующей ВАХ представлены на рис. 37 и Таблице 9.

1е-3

1_1_1_ - ВАХ эксперимента ВАХ разработанной модели

2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

Напряжение (В)

Рис. 37. Аппроксимация экспериментальной ВАХ [73] моделями VTEAM и

обобщенной модели+

Таблица 9. Оптимальные значения модели модификации подвижности при

аппроксимации ВАХ [73]

Параметр Ур, в Уп, В Ар А-п Хр хп

Значение 1,36 1,63 4000 4000 0,94 0,99 0,01

Параметр ар ап аъ А а2, А Ь, В-1 /, кГц

Значение 0,76 12,27 2,31е-03 2,05е-03 0,66 100

Параметр х0 хг *2 ах

Значение 0,18 24,16 1,99 0,99 9,08 0,36

Функция ошибки 0,11

Таким образом, введение трех неоднородностей позволило повысить точность аппроксимации экспериментальной ВАХ на 75% без применения методов предварительной оценки параметров, описанных в Главе 2.

2.6 Повышение точности модели

2.6.1 Выбор оптимального метода решения уравнения эволюции

Для повышения устойчивости модели и точности моделирования необходимо выбрать оптимальный численный метод решения уравнения эволюции. В рамках подхода к сравнению в разделе 1.2.3 использовался метод Рунге-Кутты 4-го порядка, однако существуют и более точные методы.

Было произведено сравнение методов Рунге-Кутты 4-го порядка, а также методов Предиктор-Корректор 3 и 4 порядков, Метод Адамса-Башфорта. В качестве аппроксимируемого контура был использован экспериментальный контур из раздела 1.2.3, а аппроксимирующей модели — модель, представленная в этой главе.

Наибольшей точности (NSDA = 0.1) и времени аппроксимации (114 секунд) удалось достигнуть с применением метода Предиктор-Корректор 4-го порядка.

2.6.2 Доработка модели с помощью Фурье-анализа

Конечной целью адаптивных моделей является правдоподобная симуляция ВАХ произвольного мемристора, причем не всегда уравнения моделей имеют строгую опору в виде физических процессов, происходящих в активном слое мемристора. Доработка модели производилась путем введения некоторой функции, которую назовем Fourier, а ее аргументами являются параметры модели и время:

i(t) = G(x(t),v) v(t) + Fourier (params, t), (2.4)

где G — проводимость мемристора, params — совокупность всех параметров модели. Функция Fourier представляет собой первые n кратных гармоник в фурье-разложении разности экспериментального и симулируемого отклика при заданных параметрах params.

Графики модифицированной модельной ВАХ для первых 5 и 19 гармоник представлены на рис. 38. Зависимость функции ошибки от количества учтенных в функции Fourier гармоник разностного контура представлена на рис. 39. Видно, что в данном случае для качественного повышения точности нет необходимости бесконечно увеличивать количество кратных учтенных гармоник, так как существуют несколько эквивалентных локальных минимумов.

1е-4 1е-4

10 1 -10 1 Напряжение (В) Напряжение (В)

Рис. 38. Графики ВАХ модифицированой модели с учтенными первыми 5-ю и 19-

ю гармониками

6 8 10 12 14 16 18

Количество учтенных гармоник

Рис. 39. Зависимость функции ошибок от количества учтенных гармоник

2.7 Оптимизация по разложению Фурье

В рамках данного исследования была построена целевая функция на основе преобразования Фурье. После построения модельной ВАХ производилась интерполяция зависимости тока и напряжения от времени и строится новый контур с тем же количеством точек, что и у аппроксимируемого контура. Затем происходило вычисление дискретного преобразования Фурье зависимости тока от времени для обоих контуров и вычислялось среднеквадратичное отклонение между коэффициентами разложения, соответствующими частотам меньше максимальной кратной частоты по модулю.

Дискретное преобразование Фурье обладает свойством сохранения Евклидовой нормы вектора, и данная метрика, при учете всех гармоник, сводится к среднеквадратичному отклонению. При отбрасывании верхних частот происходит эффективное сглаживание аппроксимируемой ВАХ, что позволяет исключить предобработку ВАХ из общей последовательности алгоритмов аппроксимации.

При использовании методов оптимизации и оценки начального приближения параметров, применяемых к серии переключений, был получен результат, представленный на рис. 40. При аппроксимации с использованием данной функции не были использованы методы предварительной обработки ВАХ. Итоговое значение целевой функции составило 6.57 • 10_10Л2. Параметры модели представлены в таблице 10.

Таблица 10. Оптимальные параметры модели, полученные при аппроксимации экспериментального контура (рис. 40) с целевой функцией на основе преобразования Фурье

Параметр Значение Параметр Значение

а&,А 6,69е-03 0,039

аг, А 8,21е-03 а& 18,06

Ъ,У 1,69 х0 1

Продолжение таблицы 10

Параметр Значение Параметр Значение

ур .V 0,92 х& 55,46

Уп .V 2,Ш-02 1^-03

Ар 21,27

Ап 27,66

Хр 6,96e-02

Хп 0,87

654,20

4,25

2 1

<

ё о -1

-2

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5

Напряжение (В)

Рис. 40. Аппроксимация экспериментальной ВАХ с использованием целевой

функции на основе разложения Фурье

Выводы по главе 2

На основе модели Yakopcic [28] была разработана компактная модель с учетом неоднородностей в активном слое мемристора. В данной работе представлен метод моделирования множества ВАХ, который открывает

возможность статистического анализа вариаций переключения в терминах модельных параметров. Разработанный метод был использован для моделирования экспериментального временного ряда, представленного двумя тысячами циклов переключения мемристивного устройства на основе в ответ на

спайкоподобную активность ФитцХью-Нагумо. Полученные результаты включают в себя экстракцию параметров модели для каждой ВАХ, оценку выделяемой мощности и результат статистической обработки изменений параметров от цикла к циклу.

Произведено исследование мощностных картин циклов переключений мемристора на основе 2Ю2(У), подтверждена гипотеза о близости энергетических картин. На основе данного факта предложено использовать результаты аппроксимации предыдущего цикла переключений в качестве начального приближения для следующего. Близости мощностных картин соответствует стабильности параметров на соседних циклах переключения. Максимумы распределения изменений параметров между переключениями находятся в нуле.

Проведено сравнение модели модификации подвижности в рамках подхода, предложенного в Главе 1. Модель модификации подвижности демонстрирует наилучший результат аппроксимации среди рассмотренных моделей. Итоговое значение функции NSDA (1.69) равно 0.11.

Предложена целевая функция на основе преобразования Фурье. Данная функция является перспективной с точки зрения аппроксимации экспериментальных ВАХ без предварительной обработки и, в перспективе, может быть применена для поиска начального приближения последовательности циклов переключения. Обработка ВАХ эффективно происходит во время самой аппроксимации. В то время как сглаживание методом Савицкого-Голея эффективно устраняет высокочастотные колебания ВАХ, аппроксимация с предложенной целевой функцией не накладывает на соответствующие гармоники никаких ограничений.

Глава 3. Методы оценки начального приближения параметров модели

Случайный характер процессов, происходящих при переключении состояния мемристора, ограничивает точное количественное моделирование явлений эволюции систем, и на данный момент значительная часть существующих моделей опирается на константы, полученные на основе анализа экспериментальных результатов. Таким образом, точность модели зависит от метода и качества извлечения параметров.

Хотя выбор конкретных методов извлечения параметров из эксперимента напрямую зависит от типа и структуры модели, большинство существующих методов можно разделить на четыре основные группы.

Первая группа состоит из методов, связанных с анализом отдельных частей ВАХ для раздельного и последовательного оценивания параметров модели. Эти методы в основном используются в следующих случаях: возможность прямого решения уравнений модели [94], прямая зависимость свойств модели от характеристик материала, измеренных в ходе эксперимента, и для построения начальных приближений к более сложным методам [8, 32].

Второй включает в себя различные схемы перебора параметров модели по сеткам, основанные на различных предположениях. Этот подход более или менее применим во всех областях, от построения начальных приближений до выбора гиперпараметров модели.

Третья группа включает в себя методы построения задачи оптимизации путем аппроксимации ключевых характеристик отклика устройства или его вольтамперной характеристики. Основные различия в подходах этой группы связаны с выбором характеристики для аппроксимации, построением функционала ошибки, методами предварительной обработки данных и аппроксимации [26, 95, 96].

Четвертая включает методы машинного обучения для анализа временных рядов, демонстрирующие многообещающие результаты для задачи извлечения параметров мемристорной модели. В качестве основного подхода в задачах такого типа используется обучение с учителем, сложность которого в основном определяется качеством обучающего набора данных, который строится на основе модели мемристора и наборов ранее полученных характеристик.

Насколько мне известно, рассмотрение выбора модели основывается, прежде всего, на цели, для которой выбирается модель. Наиболее перспективными с точки зрения моделирования динамических свойств мемристора являются физические модели — например, модели, использующие кинетический метод Монте-Карло [60]. Для практических приложений, включая схемотехническое моделирование устройств с использованием мемристора, наиболее распространены компактные модели (например, [8]).

В этой главе выделены основные группы методов извлечения параметров мемристорной модели. Для каждой группы приведены примеры существующих подходов, выделены их преимущества и недостатки, определены области применения. В рамках ранее разработанной модели модификации подвижности [8] были разработаны новые методы, совместное применение которых к извлечению экспериментальных параметров позволило повысить качество и скорость извлечения для анализа вольт-амперных характеристик. В ходе разработки и применения методов машинного обучения к задаче извлечения параметров мемристоров сначала были описаны подходы к построению выборок на основе существующей модели мемристора. Алгоритм случайного леса, построенный на обучающем наборе данных, позволил получить достаточно точную оценку параметров модели, использование которой в качестве начального приближения позволило ускорить решение задачи оптимизации. Все методы, представленные в данной работе, могут быть обобщены на подкласс адаптивных компактных моделей для ускорения и повышения точности результатов извлечения параметров.

3.1 Материалы и методология

3.1.1 Описание эксперимента

Разработанные методы экстракции были применены к вольт-амперной характеристике из серии экспериментов, впервые представленных в [73]; исследовалась разработанная тонкопленочная структура TiN/HfxAli-xOy(6 нм)/НЮ2(4 нм)/Т^ Экспериментальные данные были предоставлены авторами статьи [73] и использованы с их разрешения.

Пример характеристики, полученной в эксперименте, приведен на рис. 1. В качестве основного измерительного оборудования для построения квазистатических вольт-амперных характеристик использовался характериограф Agilent B1500A (Agilent Technologies, Santa Clara, CA, USA), включающий высокоскоростной измеритель источника Agilent B1530A (Agilent Technologies, Santa Clara, CA, USA), квазистатический вольт-амперный характеризатор Agilent B1517A (Agilent Technologies, Santa Clara, CA, USA) и генератор импульсов Agilent B1525A.

Входной сигнал напряжения подавался на верхний TiN-электрод, в то время как нижний электрод был заземлен. Синусоидальный сигнал с амплитудой 2 В и частотой 1000 Гц подавался во время циклирования.

С одной стороны, создание сложной тонкопленочной структуры с включением диоксида гафния позволяет получить перспективные характеристики. С другой стороны, сложная динамика физико-химических процессов в многослойной структуре ограничивает использование большинства разработанных в настоящее время физико-химических моделей мемристоров, поэтому ключевым подходом к моделированию вольт-амперных характеристик таких структур является компактное моделирование.

3.1.2 Аналитические подходы и анализ ВАХ по частям

К первой группе методов относятся методики анализа результатов экспериментально полученных характеристик мемристорных устройств или

структур, специально разработанные для анализа свойств функционального слоя мемристора. В целом, все подходы существенно различаются в зависимости от используемой модели и структуры эксперимента.

Пример метода первой группы был рассмотрен в [97], где была проведена аппроксимация модели типа "поток + заряд". На мемристор в данной работе подаются последовательности импульсов двух видов: с фиксированной высотой пиков АУ и шириной АЬ. Поведение мемристора описывается в этой модели в терминах потока и заряда следующей формулой:

где Q и ф являются зарядом и потоком соответственно, Q0 и фо — внутренними параметрами, а п — постоянный технологический параметр, определяемый, как

В уравнении (3.2), т — номер импульса, С. — измеренная проводимость на шаге т, а Дб — изменение проводимости по отношению к предыдущему импульсу.

Модели, определенные в терминах «заряд-поток», также используются для описания как отдельных мемристоров, так и цепей, содержащих мемристоры [98].

Аналогичный подход был предложен Messaris и др. [94]; в основе метода, предложенного авторами, лежит аналитическая интегрируемость уравнения эволюции при подаче сигналов прямоугольной формы.

Уравнения модели принимают следующий вид:

(3.1)

(3.2)

(3.3)

г /

АР \-1 + е 1, у>0

б(У) =

Р

(3.4)

Ап [-1 + е ), V <0

V

2

(гР(у) - Я) , V > 0

Г (Я ,у) = \) Р( ) )2 ' (3.5)

{(Я- Гп (V)) , V < 0

г(у) = 1 а°'Р + а±'РУ' У>0 (3 6)

Г (У 1 Яо,п + %,пV, У<0- ( . )

При подаче постоянного напряжения Уь зависимость сопротивления от времени описывается формулой

„(.)= * о + *( Уь X Уь )(г( Уь )- ЯоХ (37)

Н( ) 1 + 5(Уь)(х(Уь)- Ко)ь ' ( )

где До — начальное сопротивление.

Основная идея этого метода заключается в раздельной оценке параметров модели на основе приложенных напряжений. На вход мемристора подается последовательность прямоугольных импульсов разных знаков с постепенно возрастающей амплитудой. Первый цикл переключения с ярко выраженным трендом используется для извлечения параметров функции и значения

функции г(Уь), а остальные циклы позволяют получить значения параметров функции г (У), используя ранее определенные параметры. Таким образом, применяя последовательность импульсов с постепенно возрастающими амплитудами, можно оценить значения параметров модели. Аналогичный подход также представлен в [99].

Помимо проведения специальных экспериментов, анализ вольтамперных характеристик также используется для оценки параметров модели мемристора. Например, метод первой производной был применен Yakopcic и др. при анализе ВАХ, полученных на структуре ТаОх [32]. В этом подходе пороговое напряжение определялось как глобальный экстремум производной тока-напряжения. Данная

работа включает извлечение параметров уравнения эволюции на основе дт~п и дтах, как определено в:

= дтахдт~п sinh(b - х(Ь)). (3.8)

Здесь параметры дт$п, дтах и Ь извлекаются из вольтамперной характеристики с помощью алгоритма регрессии наименьших квадратов. Предполагается, что переменная состояния х равна единице во "включенном" состоянии и нулю в "выключенном" состоянии. Учитывая дифференциальную зависимость проводимости от времени, авторы определяют три характеристики: максимальную и минимальную скорости изменения проводимости, а также значения проводимости при резком замедлении изменения проводимости; полученные характеристики предлагается использовать для оценки параметров Ар, Ап, Хр, хп. Как отмечают авторы, алгоритм был разработан для ВАХ с четкими переходами между областями с наличием и отсутствием эволюции состояния. Важно отметить, что данный алгоритм может плохо работать на зашумленных контурах и требует предварительной обработки данных.

3.1.3 Перебор по сетке параметров

В общем случае проблема сеточного поиска параметров заключается в том, что он является вычислительно дорогим способом решения задачи дискретной оптимизации. Несмотря на это, данный метод получил широкое распространение для решения задачи извлечения параметров мемристоров. Одним из применений этого подхода является оценка гиперпараметров модели. Использование гиперпараметров в мемристорных моделях может решить широкий спектр подзадач; например, в физической модели они могут быть связаны с выбором формы проводящей области [100] или для компактной модели, использующей функцию функцию окна, с выбором оптимальной функции [101]. Другой возможностью являются случаи, когда ряд параметров модели принимает дискретный набор значений; например, в физических моделях задача может включать выбор табличных значений для материала [21, 22, 102].

Кроме того, этот метод используется в задачах оптимизации, где комбинация модели и функционала ошибки ограничивает применение других подходов. В таких задачах перебор обычно направлен на оценку части параметров [26], чтобы упростить дальнейшую оптимизацию. В дополнение к оценке части параметров, поиск грубой силой по разреженной сетке используется для выбора нескольких начальных приближений, что полезно для компенсации ошибок, связанных с использованием методов локальной оптимизации.

3.1.4 Методы локальной оптимизации

Этот метод представляет собой наиболее распространенный подход для аппроксимации вольт-амперных характеристик, поскольку он не требует дополнительных экспериментов, менее чувствителен к изменениям характеристик, чем методы первой группы, работает на порядки быстрее, чем перебор, и, в отличие от машинного обучения, не требует ни построения обучающего набора данных, ни предварительно обученной модели. Точность аппроксимации VAC зависит от целевой функции и выбранной комбинации методов оптимизации.

В качестве целевой функции используется нормированная разностная мощность.

Аппроксимация единичной полученной экспериментально вольтамперной характеристики обычно не представляет сложности и производится с использованием вычислительно затратными методами перебора по сетке в сочетании с простыми градиентными методами; например, в [26], где поиск по сетке был использован в комбинации с методом стохастического градиентного спуска. Другой пример использования последовательности из локальных и глобальных методов аппроксимации представлен в [96].

В дополнение к методам аппроксимации, можно также использовать методы «логарифм-антилогарифм», масштабирование, сглаживание и предобработку уравнения эволюции для повышения точности финальной аппроксимации и численного интегрирования уравнений эволюции [95].

3.1.5 Подходы с применением машинного обучения

Одним из наиболее перспективных направлений исследований в области извлечения параметров модели является использование машинного обучения. Подходы в [103-110], связанные с его использованием, включают как повышение эффективности других методов экстракции за счет ускорения расчета дифференциальных уравнений или прогнозирования вольт-амперной характеристики, и прямого извлечения параметров из экспериментальных ВАХ.

В настоящее время идет активное развитие применения машинного обучения для анализа хорошо изученных устройств, но для мемристора, в силу его особых свойств, это направление только начинает развиваться [111, 112], и используется для предсказания поведения мемристора при циклировании.

Попытки использовать машинное обучение для извлечения параметров ограничены рядом серьезных проблем, связанных с фундаментальными свойствами рассматриваемых структур. Тип мемристора и структура применяемой модели влияют на все основные подзадачи: создание датасетов, определение целевой функции и выбор структуры модели машинного обучения.

В общем случае нет возможности провести достаточное количество различных экспериментов для формирования набора данных. Поэтому предлагается использовать модель, предварительно обученную на синтетическом наборе данных. Таким образом, построение модели машинного обучения для извлечения параметров является задачей контролируемого обучения, которая включает в себя необходимость определения набора правил для построения обучающего набора данных.

Решив обратную задачу для определенной модели, можно построить на ее основе образец по сигналу, соответствующему экспериментальному. Ее построение включает две основные задачи: оценку взаимосвязей параметров для получения физически значимых результатов и оценку допустимых диапазонов вариации параметров модели. Можно выделить два подхода к решению этих задач:

Первый основан на определении взаимосвязей между параметрами модели и характеристиками кривых с целью выбора конкретных наборов параметров, соответствующих правдоподобным ВАХ. Этот подход, помимо ограничений, связанных с аналитическим или вычислительным решением, имеет ряд недостатков. Прежде всего, это отсутствие проверенных критериев правдоподобности вольт-амперных характеристик, построенных на основе внутренних зависимостей параметров модели для произвольной структуры.

Второй подход является более ресурсоемким, поскольку предполагает генерацию вольт-амперных характеристик и проверку их соответствия характеристикам конкретного класса устройств.

3.2 Разработанные алгоритмы

3.2.1 Метод второй и четвертой производной

Пороговое напряжение может быть оценено с применением метода второй и четвертой производной. Действие предлагаемого алгоритма оценки наглядно продемонстрировано на рисунке 41. Для нахождения порогового напряжения, согласно этому критерию, необходимо предварительно определить направление обхода. Прямое направление обхода цепи соответствует порядку точек, в которых сопротивление уменьшается в "положительной" области ВАХ, и увеличивается в отрицательной области. Обратное направление обхода соответствует противоположной ситуации. В данной работе рассмотривается прямое направление обхода.

Второй шаг алгоритма — разбиение ВАХ на низкоомную и высокоомную ветви с последующей интерполяцией полиномами или ядерным сглаживанием. Конечными точками каждой ветви являются крайние правая и левая точки ВАХ, а выбор в пользу того или иного метода аппроксимации определяется количеством точек в экспериментальном контуре.

le-3

-1.5

-2.0

CU c i— —2.5

D

и

-3.0 -3.5

(N

> <

CD >

03 > 0

<u

TJ

■a с

fNI

-2 -4

1.0

>

<

0.5

си

>

"-М 03 0.0

>

<и -0.5

тз

S.Z

4-1

t -1.0

V 1

■ 1

-2.0 -] 1е-1 L.9 -1.8 —!. ¡Voltac 1 1 L.6 -] е, V L.5 -] L.4 -] L.3

Тч 1 \ 4 S

/ 1 \|

/ 1 1

ч / 1 1 1 1 1 1 1 1

\/ 1 1 1 1

1 ■

-2.0 -1.9 -1.8 1еЗ — 1 Л \ -] ivqltag L.6 -1 е, V L.5 -] L.4 -1 L.3

! !

■ 1

/т* /1 \ /1 \ / 1 V ~ - - - near est maximum