Исследование эволюции пульсовых волн на графе эластичных сосудов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Ашметков, Игорь Владимирович

• Ашметков, Игорь Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ашметков, Игорь Владимирович

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ЛГД УРАВНЕНИЙ НА ЭЛЕМЕНТАХ ГРАФА.

§1.1. Математическая модель сердечно — сосудистой системы.

1.1.1. Уравнения гемодинамики.

1.1.2. Граф сосудов головного мозга.

1.1.3. Условия сопряжения и граничные условия.

§1.2. Линеаризованная математическая модель гемодинамики на графе.

1.2.1. Линеаризованные уравнения гемодинамики.

1.2.2. Линеаризованные условия сопряжения и граничные условия.

§ 1.3. Краевая задача на графе из одного ребра.

1.3.1. Постановка задачи и ее аналитическое решение.

§ 1.4. Краевая задача на графе из двух ребер.

1.4.1. Постановка краевой задачи.

1.4.2. Метод продолжений в приложении к краевой задаче на графе из двух ребер.

1.4.3. Рекуррентные соотношения для волн скорости на графе из двух "равновременных" ребер.

1.4.4. Постановка и решение разностной задачи для волн скорости на двух "равновременных" ребрах.

1.4.5. Решение краевой задачи на графе из двух ребер с кратными "характерными" временами.

§1.5. Численное решение краевой задачи для уравнений гемодинамики на графе из двух ребер.

1.5.1. Постановка расчетной задачи.

1.5.2. Результаты расчетов в случае двух "равновременных"ребер.

1.5.3. Результаты расчетов в случае двух ребер с неравными "характерными" временами.

§ 1.6. Краевая задача на графе «тройник».

1. б. 1. Постановка краевой задачи.

1.6.2. Метод продолжений в применении к краевой задаче на графе «тройник».

1.6.3. Аналитическое решение краевой задачи на графе из трех «равновременных» ребер.

1.6.4. Численное решение краевой задачи для уравнений гемодинамики на графе «тройник».

ГЛАВА 2. ИССЛЕДОВАНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЛГД УРАВНЕНИЙ НА ПРОИЗВОЛЬНОМ ГРАФЕ.

§2.1. Система функциональных уравнений с запаздывающими аргументами.

2.1.1. Рекуррентное соотношение для системы однородных функциональных уравнений.

2.1.2. Рекуррентное соотношение для системы неоднородных функциональных уравнений.

§2.2. Краевая задача на произвольном графе.

2.2.1. Постановка краевой задачи.

2.2.2. Метод продолжений в приложении к краевой задаче на произвольном графе.

ГЛАВА 3. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ГЕМОДИНАМИЧЕСКИХ ФАКТОРОВ УСИЛЕНИЯ ПУЛЬСОВЫХ

ВОЛН В АРТЕРИАЛЬНЫХ СОСУДАХ.

§3.1. Стационарное течение в артериальной части церебрального кровообращения.

3.1.1. Описание графа сосудов головного мозга.

3.1.2. Описание стационарного течения на графе церебрального кровообращения

3.1.3. Изменение амплитуды пульсовых волн в участках ветвления сосудов в артериальной части церебрального кровообращения.

§3.2. Моделирование гемодинамических факторов, способствующих образованию аневризм в сосудах Виллизиева круга и аорте.

3.2.1. Аневризмы сосудов головного мозга.

3.2.2. Моделирование роста амплитуды пульсовых волн в вертебробазилярном бассейне сосудов головного мозга.

3.2.3. Моделирование роста амплитуды пульсовых волн в каротидной системе кровоснабжения головного мозга.

3.2.4. Моделирование роста амплитуды пульсовых волн в Виллизиевом круге сосудов головного мозга.

3.2.5. Моделирование роста амплитуды пульсовых волн в артериальной части большого круга кровообращения.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование эволюции пульсовых волн на графе эластичных сосудов»

Математическая модель кровообращения. Исследование кровеносной системы человека является одной из важнейших задач современной фундаментальной медицины. Заболевания кровеносной системы. приводят к большому количеству летальных исходов и часто поражают людей еще в молодом возрасте. В) связи с этим в последнее время появилось большое количество математических моделей, моделирующих процессы, происходящие в сердечно-сосудистой системе человека.

Развитие методов математического моделирования требует отображения в математических описаниях по возможности всей совокупности физиологических закономерностей и свойств при обоснованном ограничении детальности, специфики и объема включаемых в модель характеристик. Рассмотрим конкретные характеристики и закономерности, обычно отображаемые в моделях кровообращения.

Как правило, математическое моделирование сердечно-сосудистой системы основывается на возможности сопоставления ей некоторой структуры эластичных сосудов, вдоль которых движется кровь, нагнетаемая сердцем [1,43,47]. В этом случае в основу математической модели сердечнососудистой системы закладываются! физические законы, описывающие процесс движения крови по сосудам (уравнения гемодинамики).

В зависимости от степени детализации конкретных участков сердечнососудистой системы используются одномерные [1], двухмерные [33] и трехмерные [30], стационарные [64] и нестационарные [ 1 ] модели течения. Модели реологии крови также варьируются от однокомпонентной невязкой несжимаемой жидкости до многокомпонентной реагирующей смеси.

В случае, когда является важной пространственная картина течения, взаимосвязь между давлением и кровотоком описывают исходя из 2-х или 3-х мерных уравнений Навье-Стокса, либо их линейного аналога - уравнения Стокса [30,33,37,48]. Двух или трех мерные уравнения обычно используются при изучении сосудов большого диаметра (аорта, полые вены), где важна геометрия течения.

Подобные модели требуют большого объема вычислений и сложны для аналитического исследования [42, 48]. При моделировании течения крови по мелким сосудам часто используют более простые модели [1,31,49, 53].

Часто при моделировании течения крови в сети сосудов уравнения упрощают вплоть до перехода к сосредоточенным параметрам [29,35,36,47]. В этом случае, как правило, используют обыкновенные дифференциальные уравнения [28,47,50]. Взаимосвязь между разностью давлений в начале и конце выделенного участка сосуда и объемной скоростью кровотока при использовании сосредоточенных параметров обычно описывают, опираясь на закон Пуазейля. Для отдельных участков сосудистого ложа дополнительно учитывают результаты исследования реологических свойств крови [57].

Зависимость давления от объема для отдельного сосудистого участка во многих моделях вслед за Франком [38] представляют отношением давление-объем в эластическом резервуаре. Отношение это опирается на закон Гука. В венозной системе, в отличии от артериальной, значительно меньше мышечных элементов. Важную роль играют клапаны, коллапсирование сосудов, тканевое давление и давление в грудной полости. В ряде моделей сделаны попытки отображения этой специфики [47].

Часто при моделировании течения крови в сети сосудов используют квазиодномерные модели [ 1,53], получаемые осреднением уравнений Навье-Стокса по поперечному сечению. Форма поперечного сечения сосуда предполагается обычно круглой, так как сосуды в нормальном состоянии наполнены и разность давлений внутри сосуда и снаружи положительна. Практически во всех работах по квазиодномерному приближению предполагается существование локального закона, связывающего площадь поперечного сечения сосуда и трансмуральное давление [40]. При этом игнорируются эффекты продольного растяжения и изгиба. Чтобы учесть упругое напряжение при продольном растяжении и изгибе, в закон добавляют зависимость от производной давления по пространственной переменной. Экспериментальные данные [46] свидетельствуют о том, что функция связи сечения и давления может менять направление выпуклости. Отсюда возможны такие эффекты, как формирование ударных волн сокращения и растяжения в сосуде при различных режимах [58]. Квазиодномерные уравнения гемодинамики похожи на уравнения газовой динамики. При этом закон связи давления и поперечного сечения играет роль уравнения состояния.

Таким образом, квазиодномерная модель, описывающая движения крови в сосуде, обычно состоит из трех уравнений. Первое и второе уравнение выражают закон сохранения массы крови и закон сохранения количества движения [1, 45]. Эти уравнения не зависят от физиологических свойств сосуда и справедливы для сосудов с любыми характеристиками. В качестве третьего уравнения берут закон, связывающий площадь поперечного сечения сосуда и трансмуральное давление. Именно в этом уравнении учитываются все присущие данному сосуду свойства.

Полная математическая модель сердечно-сосудистой системы, помимо модели, описывающей течение крови по сосудам, должна содержать и модель участков бифуркации сосудов. При построении математической модели бифуркации сосуда обычно предполагают, что в области сопряжения сосудов выполняется закон сохранения массы крови и закон сохранения энергии [32; 56]. Однако в виду того, что ряд исследований [54, 56] показывает, что в местах бифуркации сосуда нередки образования вихревых течений, которые приводят к диссипации кинетической энергии, часто вместо закона сохранения энергии используются различные полуэмпирические соотношения. Например, непрерывность давления в сосудах вблизи их соединения, непрерывность величины интеграла Бернулли [1,32,45,54].

Одной из общесистемных характеристик математической модели сердечно-сосудистой системы является регуляция кровообращения. Модели регуляции кровообращения чрезвычайно многообразны. Среди них встречаются модели в виде простых одноконтурных схем [16]. Многие модели представляются сложными схемами, отражающими проявление реальных процессов, а также гипотетические предположения. Тем не менее необходимо отметить, что известные в физиологии концепции о регуляции кровообращения значительно более многогранны, чем самые сложные модели [26, 60].

В? данной работе используется иерархическая математическая модель кровеносной системы на графе эластичных сосудов предложенная А.П. Фаворским и др. [1]. В этой модели сердечно-сосудистую систему формально описывают графом, состоящим из набора ребер и вершин. Вершины такого графа моделируют либо участки сопряжения сосудов, либо участки фильтрации крови через капиллярные сети мышечных тканей, либо отдельные органы организма (печень, почки и т.д.) Ребра графа соответствуют либо конкретным сосудам кровеносной системы, либо жгутам функционально однородных мелких сосудов [1].

При использовании данной модели появляется возможность как любой степени детализации выбранных участков сердечно-сосудистой системы, так и возможность их упрощения для рассмотрения только качественной картины течения. Это позволяет для каждого конкретного случая подбирать наиболее приемлемый граф системы кровообращения. В этом состоит преимущество данной модели системы кровообращения.

Пульсовые волны. Математическая модель кровеносной системы на графе эластичных сосудов, в основу которой положены квазиодномерные уравнения гемодинамики,, позволяет моделировать функционирование сердечно-сосудистой системы при. различных патологиях [5, 11, 12]. Используя данную модель можно моделировать эффекты перераспределения потока крови при пережатии некоторых сосудов, изучать влияние различных органов на характеристики потока крови в сердечно-сосудистой системе.

Система кровообращения была открыта У. Гарвеем в 17 веке. С этих пор изучение распространения волн давления и скорости по системе эластичных сосудов постоянно привлекало большое внимание исследователей. Начало теоретического анализа распространения волн давления по эластичным сосудам приписывается Young Т. [63], который в начале 19 века впервые вычислил скорость пульсовой волны в артерии человека.

В конце 19 века в работах Grashey Н [39] и Von Kries J. [62] была предложена концепция отражения пульсовой волны. Впоследствии концепция отражения пульсовой волны была модернизирована Hamilton W.P. и Dow Р [41]. В их работе было показано, что пульсовая волна отражается от участков бифуркации аорты и тазового деления подвздошной артерии. Позднее McDonald D.А. и Taylor M.G.[51], установили эффект отражения волны давления и скорости от участков резкого изменения диаметра сосуда или эластичных свойств его стенки, а также от мест сопряжения сосудов.

Исследованию распространения пульсовой волны по системе кровообращения посвящен ряд других работ [32, 52] Результаты, полученные в указанных работах, помогли объяснить ряд явлений в кровеносной системе, например, отличия в форме волн давления и скорости крови, наблюдаемых в артериальной системе. Во всех указанных работах не отслеживается поведение отраженной волны при дальнейшем ее отражении и прохождении других элементов кровеносной системы.

Целый ряд работ посвящен исследованию течения жидкости по эластичной схлопывающейся трубке [44, 55, 59]. В этих работах описывается поведение малых отклонений давления и скорости от фоновых значений, являющихся решением стационарных квазиодномерных уравнений гемодинамики. Авторы отмечают возможность возникновения нестабильных колебаний давления и скорости, которые возникают вследствие особенностей в задании закона, выражающего упругие свойства сосудистой стенки и связывающего площадь поперечного сечения и давление внутри сосуда.

Учитывая, что в этих работах рассматривается только один сосуд, полученные результаты можно использовать для математического моделирования распространения пульсовой волны на локальных участках кровеносной системы.

При математическом моделировании процесса распространения пульсовой волны по всей сердечно-сосудистой системе необходимо учитывать, что кровеносной системе сопоставляется сильно ветвящийся граф сосудов. Причем степень детализации отдельных фрагментов этого графа зависит от конкретных решаемых задач.

Актуальность результатов работы. Известно, что ряд заболеваний сердечно-сосудистой системы происходят из-за нарушений в распространении пульсовой волны (в диссертации волны давления и скорости) и ее воздействия на стенки сосудов [18, 27, 34]. В связи с этим является актуальной задача математического моделирования распространения волн давления и скорости по системе эластичных сосудов.

Результаты, полученные в диссертации, в рамках линейного приближения позволяют делать выводы о возможном характере распространения волн давления и скорости. Получено достаточное условие роста во времени-амплитуд волн давления и скорости на произвольном графе сосудов.

В диссертации аналитически решены задачи о распространении волн давления и скорости на графах из одного, двух и трех сосудов. Численный расчет гемодинамических течений на таких графах подтвердил выводы линейной теории.

В диссертационной работе установлена связь между местами локализации аневризм в артериальных сосудах и числовыми значениями характерных комбинаций коэффициентов отражения и прохождения пульсовых волн в вершинах графа. Сделана попытка объяснить патологические изменения в сосудистой стенке закономерностями распространения волн давления и скорости.

Все это в целом обуславливает актуальность данной работы по математическому моделированию распространения волн давления и скорости по системе эластичных сосудов.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и приложения, содержит 40 рисунков, 4 таблицы. Библиография насчитывает 64 наименования.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Ашметков, Игорь Владимирович

Основные результаты диссертации состоят в следующем:

1. В диссертации на основе линеаризованной модели гемодинамики поставлен и аналитически решен ряд краевых задач на графах, моделирующих характерные участки сердечно-сосудистой системы. Установлено достаточное условие неограниченного роста амплитуд пульсовых волн с течением времени на произвольном графе.

2. Разработан и реализован в виде модуля программного комплекса CVSS алгоритм численной проверки выполнения достаточного условия роста амплитуд пульсовых волн на графе. Численным решением краевых задач для уравнений гемодинамики подтверждены полученные в диссертации выводы линейной теории.

3. В диссертации проведено математическое моделирование гемодинамических течений с растущей во времени амплитудой пульсовой волны в Виллизиевом круге сосудов головного мозга и магистральных артериях грудной и брюшной полости. Составлены таблицы коэффициентов прохождения и отражения для вершин графа сосудов головного мозга.

Заключение.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ашметков, Игорь Владимирович, 2003 год

1. Абакумов М.В., Гаврилюк К.В., Есикова Н.Б., Кошелев В.Б., Лукшин А.В., Мухин С.И., Соснин Н.В., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П. Математическая модель гемодинамики сердечно-сосудистой системы 1. Дифф. уравнения. - 1997. - Т.ЗЗ. - №7. - С. 892-898.

2. Ашметков И.В., Мухин С.И., Соснин Н.В., Фаворский А.П. Краевая задача для ЛГД уравнений на графе II Дифф. уравнения. 2004. - Т.40. - №1. -С. 1-11.

3. Ашметков И.В., Мухин С.И., Соснин Н.В., Фаворский А.П., Хруленко А.Б. Анализ и сравнение некоторых аналитических и численных решений уравнений гемодинамики II Дифф. уравнения. 2000. - Т.36. - №7. - С. 919924.

4. Ашметков И.В., Мухин С.И., Соснин Н.В., Фаворский А.П. Краевая задача для ЛГД уравнений на графе. М., 2002. - 88с. - Препринт МАКС Пресс.

5. Ашметков И.В., Мухин С.И., Соснин Н.В., Фаворский А.П., Хруленко А.Б. Частные решения уравнений гемодинамики. М., 1999. - 43с. -Препринт Диалог МГУ.

6. Ашметков И.В., Мухин С.И., Соснин Н.В., Фаворский А.П., Хруленко А.Б. Численное исследование свойств разностной схемы для уравнений гемодинамики. М., 1999. - 14с. - Препринт Диалог МГУ.

7. Ашметков И.В., Мухин С.И., Соснин Н.В., Фаворский А.П. Решение общей задачи для ЛГД уравнений на одном сосуде. М., 2001. — 22с. -Препринт МАКС Пресс.

8. Ашметков И.В., Мухин С.И., Соснин Н.В., Фаворский А.П. Математическое моделирование гемодинамических факторов развития аневризм в артериальных сосудах. М., 2003. — 51с. — Препринт МАКС Пресс.

9. Бураковский В.И., Бокерия Л.А. Аневризмы грудной части аорты. http://www.medicus.ru/?cont=article&art id=125

10. Кошелев В.Б., Мухин С.И., Соснин Н.В., Фаворский А.П., Хруленко А.Б. Математическое моделирование неспецифического аортоартериита. М., 2001. - 52с. - Препринт МАКС Пресс.

11. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1986. — С. 1382.

12. Лищук В.А. Общие свойства сердечно-сосудистой системы. Киев. — 1971. - 15с. - Препринт.

13. Лукшин В.А., Мухин С.И., Соколова Т.В., Соснин Н.В., Фаворский А.П. Математическая модель гидродинамики церебрального кровообращения -М., 2001. 20 с. - Препринт МАКС Пресс.

14. Медведев Ю.А., Мацко Д.Е. — Аневризмы и пороки развития сосудов мозга. Изд. РХНИ им. проф. АЛ. Поленова, 1993. - 136с.

15. Мухин С.И., Соснин Н.В., Фаворский А.П., Хруленко А. Б. Линейный анализ волн давления и скорости в системе эластичных сосудов. М., 2001. - 37с. - Препринт МАКС Пресс.

16. Попов Ю.П., Самарский А.А. Разностные методы решения задач газовой динамики. М.: Наука, 1992.

17. Рождественский Б Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений. -М.: Наука, 1968.

18. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. — М.: Наука, 1978.

19. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Наука, 1989.

20. Смирнов В.И. Курс высшей математики. — М.: Наука, 1967.

21. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1971.

22. Ткаченко Б.И., Левтов В.А., Москаленко Ю.Е. Физиология кровообращения. Регуляция кровообращения. Л.гНаука, 1986.— 639с.

23. Чазова Е.И. Болезни сердца и сосудов. ТЗ. — М.: Медицина, 1992. -С.328-336.

24. Avanzolini G. CADCS simulation of the closed-loop cardiovascular system // Int.J.Biomed.Comput. 1988; - Vol.21. - P.39-49.

25. Beneken J.E.W. A mathematical approach to cardiovascular function. The uncontrolled human system. Institute of Medical Physics Report - Utrecht, 1965. -194p.

26. Berger S.A. Flow in large blood vessels //Fluid dynamics in biology. Proc. of AMS-IMS-SIAM summer research Conf. Contemporary Math. 1991. - Vol.141. -P.479-518.

27. Cancelli C., Pedley T.J. A separated-Jlow model for collapsible-tube oscillations II J. Fluid Mech. 1985. - Vol. 157. - P.375-404.

28. Caro C.G., Pedley T.J., Schroter R.S., Seed W.A. The mechanics of thecirculation. Oxford University Press, New York - Toronto, 1978. - 624 p.

29. Chakravarty S., Mandal P.H. A nonlinear two-dimensional model of blood flow in an overlapping arterial stenosis subjected to body acceleration // Math. Comput. Modeling. 1996. - Vol.24. -№1. - P.43-58.

30. Cotran R.S., Kumar V., Collins T. Robbins pathologic basis of disease. 6th ed. Saunders, 1999. P. 515-520.

31. De Pater L. An electrical analogue of the human circulatory system. Rotterdam, 1966. 161p.

32. Defares Y.J., Osborn J.J., Hiroshi H.H. Theoretical synthesis of the cardiovascular system. Study I: The controlled system //Acta Physiol. Pharmacol.- 1963.- Vol.11. №3. — P.189—265.

33. Evans R.L. A unifying approach to blood flow theory// J.Theor.Biol. 1961.- Vol.3.-№3.-P. 392-411.

34. Frank O. Die Grundform des arteriellen //Z.Biol. 1895. - Vol.32. - P.370-380.

35. Grashey H. Die Wellenbewegung elasticher Rohren und der Arterienpuls des Menschen. Leipzig, 1881.

36. Greenfield J.C., Patel D.J. Relation between pressure and diameter in ascending aorta of men И Circulation Res. 1961. - Vol.10. - №5. - P. 778-781.

37. Hamilton W.P., Dow P. An experimental study of the standing waves in the pulse propagated through the aorta II Am. J. Physiol. 1939. - Vol.125. - P. 4859.

38. Heil M. Stokes flow in elastic tube a large-displacement fluid- structure interaction problem // Int. J. Numer. Meth. Fluids. - 1998. - Vol.28. - P. 243-265.

39. Jelinek J. Hemodynamics of counterpulsation: the study of a lumped-parameter computer mode // J. Biomechanics. — 1971. — V.5. P.511-519.

40. Jensen O.E. Instabilities offlow in collapsed tube //J. Fluid. Mech. 1990.- Vol.220-P.623-659.

41. Kamm R.D., Shapiro A.H. Unsteady flow in a collapsible tube subjected to external pressure or body forces // J. Fluid Mech. 1979. - Vol.95, part 1. - P. 1

42. Kececioglu I., McClurken M.E., Kamm R.D., Shapiro A.H. Steady, supercritical flow in collapsible tubes. Parti. Experimental observations II J. Fluid Mech. 1981. - Vol.109. - P. 367-389.

43. Leaning M.S. Modeling a complex biological system: the human cardiovascular system 1. Model validation, reduction and development // Trans. Inst. M. C. - 1983. - Vol.5. - P.87 - 98.

44. Lynch D.G., Waters S.L., Pedley T.J. Flow in a tube with non-uniform, time-dependent curvature: governing equations and simple examples //J. Fluid Mech. -1996. Vol.323. - P.237-265.

45. McClurken M.E., Kececioglu I., Kamm R.D., Shapiro A.H. Steady, supercritical flow in collapsible tubes. Part2. Theoretical studies II J. Fluid Mech. 1981. - Vol.109. - P. 391-415.

46. McDonald D.A. Blood flow in arteries. — London: Edward Arnold, 1974. — 734 p.

47. McDonald D.A., Taylor M.G. An investigation of the arterial system using an hydraulic oscillator II J. Physiol. 1956. - Vol.133.

48. Nichols W.W., O'Rourke M.F. Blood flow in arteries. London: Edward Arnold, 1990.

49. Olsen J.H., Shapiro A.H. Large amplitude unsteady flow in liquid-filled elastic tubes II J. Fluid Mech. 1967. - Vol.29. -№3. - P. 513-538.

50. Olufsen M.S. Structured tree outflow condition for blood flow in larger systemic arteries // Am. J. Physiol. 1999. - Vol.276. - P. 257-268.

51. Pedley T.G., Luo X.Y. Modelling flow and oscillations in collapsible tubes // Theoret. Comput. Fluid Dyn. 1998. - Vol.10. - P.277-294.

52. Pedley T.J., Schroter R.C., Sudlow M.F. Flow and pressure drop in systems of repeatedly branching tubes II J. Fluid Mech. 1971. - Vol.46, part 1. - P.365-383.

53. Philips W.M. Modeling of flows in the circulatory system // Advanc. Cardiovasc. Phys. 1983. - Vol.5. - P.26^8.

54. Rudinger G. Shock waves in mathematical models of the aorta И J. Appl.

55. Mech. 1970. - Vol.37. - P. 34-37.

56. Shapiro A.H. Steady flow in collapsible tubes //J. Biomech.Engrg. 1977. -Vol.99.-P.l 26-147.

57. Shepherd J.T. Reflex control of the human cardiovascular system // Rev. Physiol. Biochem. 1986. - Vol.105. - P.l-99.

58. Tichner E.G., Sacks A.H. A theory for the static elastic behavior of blood vessels H Boirheology. 1967. - Vol.4. - №4. - P. 151-168.

59. Von Kries J. Studien zur Puislehre. Freiburg, 1891.

60. Young T. On the function of the heart and arteries: The croonian lecture II Phil. Trans. Roy. Soc. 99 1809. - P. 1-31.

61. Zacek M., Krauset E. Numerical simulation of blood flow in human cardiovascular system II J. Biomechanics. 1996. - Vol.29. — №1. - P.35-50.