Линейный анализ распространения пульсовых волн в сердечно-сосудистой системе тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор физико-математических наук Соснин, Николай Васильевич

• Соснин, Николай Васильевич
• доктор физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Соснин, Николай Васильевич

Введение.

Глава 1 Основы математической модели сердечно-сосудистой системы.

1.1 Формальное описание системы кровообращения.

1.2 Математические модели основных элементов графа сердечнососудистой системы.

1.2.1 Вывод квазиодномерных по пространству уравнений гемодинамики.

1.2.2 Характеристическая форма уравнений гемодинамики

1.2.3 Граничные условия и условия сопряжения.

1.3 Построение линейных аналогов математических моделей элементов сердечно-сосудистой системы.

1.3.1 Вывод линеаризованных гемодинамических уравнений (ЛТД уравнений).

1.3.2 Линейный аналог условий сопряжения и краевых условий.

Глава 2 Линейный анализ уравнений гемодинамики на одном ребре и в отдельной вершине графа.

2.1 Решение задачи Коши для двух линейных дифференциальных уравнений гиперболического типа с постоянными коэффициентами.

2.1.1 Постановка задачи.

2.1.2 Преобразование системы к уравнению второго порядка.

2.1.3 Каноническая форма записи уравнений.

2.1.4 Интегральное тождество.

2.1.5 Построение решения задачи Коши.

2.2 Задача Коши для ЛТД уравнений.

2.3 Смешанная задача для ЛГД уравнений в вершине графа.

2.3.1 Математическая постановка задачи.

2.3.2 Решение задачи. Коэффициенты отражения и прохождения.

2.3.3 Некоторые общие свойства коэффициентов отражения и прохождения.

2.3.4 Коэффициенты для вершины фильтрации.

2.3.5 Коэффициенты для вершины ветвления сосудов.

2.4 Краевая задача для ЛГД уравнений на одном ребре графа.

2.4.1 Постановка краевой задачи.

2.4.2 Решение краевой задачи методом продолжений.

2.4.3 Качественный анализ свойств решения краевой задачи.

2.4.4 Числовые значения коэффициента усиления в случае граничных условий частного вида.

2.4.5 Частный случай решения краевой задачи на одном ребре.

2.4.6 Разностная задача для амплитуды волн скорости.

2.5 Решение неоднородных ЛГД уравнений на одном ребре графа.

2.5.1 Частное решение неоднородных ЛГД уравнений.

2.5.2 Общее решение задачи Коши для неоднородных ЛГД уравнений.

2.5.3 Постановка и решение вспомогательной задачи.

2.5.4 Общее решение неоднородных ЛГД уравнений на ограниченном ребре.

2.5.5 Условие резонанса в решении неоднородных ЛГД уравнений на ограниченном ребре.

2.6 Влияние трения о стенки на характер решения на одном ребре графа.

2.6.1 Описание метода исследования влияния трения о стенки сосуда на характер течения жидкости в сосуде.

2.6.2 Постановка задачи Коши для уравнений гемодинамики в безразмерных переменных.

2.6.3 Приближенное аналитическое решение задачи Коши для линеаризованных уравнений гемодинамики с трением.

2.6.4 Метод возмущения по параметру при решении уравнений гемодинамики с трением.

2.6.5 Эволюция пульсовой волны.

Глава 3 Решение линеаризованных уравнений гемодинамики на графе сосудов.

3.1 Аналитическое решение ЛГД уравнений на конечном промежутке времени для произвольного графа сосудов.

3.1.1 Математическая постановка задачи.

3.1.2 Построение аналитического решения задачи.

3.2 Краевая задача на графе из двух ребер.

3.2.1 Постановка краевой задачи.

3.2.2 Метод продолжений в применении к краевой задаче на графе из двух ребер.

3.2.3 Рекуррентные соотношения для волн скорости на графе из двух "равновременных" ребер.

3.2.4 Постановка и решение разностной задачи для волн скорости на двух "равновременных" ребрах.

3.2.5 Решение краевой задачи на графе из двух ребер с кратными "характерными" временами.

3.3 Краевая задача на графе «тройник».

3.3.1 Постановка краевой задачи.

3.3.2 Метод продолжений в применении к краевой задаче на графе «тройник».

3.3.3 Аналитическое решение краевой задачи на графе из трех «равновременных» ребер.

3.4 Система функциональных уравнений с запаздывающими аргументами.

3.4.1 Рекуррентное соотношение для системы однородных функциональных уравнений.

3.4.2 Рекуррентное соотношение для системы неоднородных функциональных уравнений.

3.5 Решение краевой задачи на произвольном графе.

3.5.1 Постановка краевой задачи.

3.5.2 Метод продолжений в применении к краевой задаче на произвольном графе.

3.6 Примеры численного решения краевых задач для уравнений гемодинамики на графе.

3.6.1 Численное решение краевой задачи на графе из двух ребер.

3.6.2 Численное решение краевой задачи на графе «тройник».

3.6.3 Численное решение краевой задачи на графе из трех сосудов, соединенных последовательно.

3.6.4 Численное решение краевой задачи на графе из четырех ребер с циклом.

Глава 4 Математическое моделирование некоторых практических задач.

4.1 Математическое моделирование неспецифического аортоартериита.

4.1.1 Обзор этапов моделирования болезни.

4.1.2 Расчет стационарного течения в сосудах большого круга кровообращения.

4.1.3 Коэффициенты прохождения и отражения для сосудов артериальной части кровеносной системы человека.

4.1.4 Маршруты распространения пульсовой волны.

4.1.5 Краткое медико-физиологическое описание неспецифического аортоартериита.

4.1.6 Общие принципы моделирования синдромов неспецифического аортоартериита.

4.1.7 Моделирование синдрома стенозирования нисходящей грудной аорты (коарктационного синдрома).

4.2 Математическое моделирование гемодинамических факторов развития аневризм в артериальных сосудах.

4.2.1 Моделирование стационарного течения в артериальной части церебрального кровообращения.

4.2.2 Моделирование гемодинамических факторов образования аневризм в сосудах Виллизиева круга.

4.2.3 Моделирование гемодинамических факторов образования аневризм в сосудах артериальной части большого круга кровообращения.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Линейный анализ распространения пульсовых волн в сердечно-сосудистой системе»

Начало современной физиологии кровотока связывают с именем английского врача и ученого W. Harvey [23], который в 1628 году в книге "Exercitatio anatómica de motu cordis et sangninis in animalins" опубликовал свои взгляды на систему кровообращения. В этой книге было представлено для того времени точное и законченное учение, опирающееся на простые и наглядные опыты, о круговороте крови. Последующие исследования сердечно-сосудистой системы велись в нескольких основных направлениях. Одно из них связано с изучением структуры, функций, реактивности одиночных сосудов и выделенных участков кровеносной системы с целью выяснения специфических особенностей, свойственных именно этим частям. Значительное внимание уделялось также исследованиям общих и специфических закономерностей как суммарного кровотока по всей сосудистой системе, так и регионарного кровотока в отдельных частях сердечнососудистой системы, роли и значения выделенных свойств на функционирование кровеносной системы в целом. Анализировались системные механизмы перераспределения кровотока в случае разных функциональных нагрузках на человека. К настоящему времени накоплен большой объем данных о строении и функциях сосудистой системы, различных видах регуляции кровообращения, сформулированы основные принципы организации системы управления кровообращением. Но многие закономерности деятельности сердечнососудистой системы всё ещё нуждаются в дальнейших исследованиях. Кроме того, в настоящее время заболевания сердечно-сосудистой системы имеют широкое распространение даже среди людей в молодом возрасте. Известно, что ряд заболеваний сердечно-сосудистой системы происходят из-за нарушений в распространении пульсовой волны (в диссертации волны давления и скорости) и ее воздействия на стенки кровеносных сосудов [20, 22, 26, 30, 33, 39, 47, 49, 50, 83, 103, 104]. Поэтому, исследование кровеносной системы человека и на текущий момент является одной из важных задач современной фундаментальной медицины, что и обуславливает актуальность исследовательских работ в этом направлении.

В данной диссертационной работе внимание сосредоточено на рассмотрении возможности математического описания закономерностей функционирования всей кровеносной системы в целом. В настоящее время для решения подобных задач весьма эффективным средством исследования оказывается использование аппарата математического моделирования. Существует много разнообразных математических моделей системы кровообращения и моделей регуляции потока крови в отдельных органах. Одной из первой моделью всей системы кровообращения является модель А. Гайтона [77, 78, 79]. Однако в этой модели не учитывается различие в податливости стенок артериальных сосудов и количество учитываемых сосудов не велико.

Развитие методов математического моделирования требует отображения в математических описаниях по возможности всей совокупности физиологических закономерностей и свойств сосудистой системы при обоснованном ограничении детальности, специфики и объема включаемых в модель характеристик. Как правило, математическое моделирование сердечнососудистой системы основывается на возможности сопоставления ей некоторой структуры эластичных сосудов, вдоль которых движется кровь, нагнетаемая сердцем [24, 29, 35, 36, 44, 51, 52, 59, 64, 69, 70, 72, 99, 100, 101, 110]. В этом случае в основу математической модели сердечно-сосудистой системы закладываются физические законы, описывающие процесс движения крови по сосудам (уравнения гемодинамики). В случае, когда является важной пространственная картина течения, взаимосвязь между давлением и кровотоком описывают исходя из 3-х или 2-х мерных уравнений Навье-Стокса, либо их линейного аналога - уравнения Стокса [48, 56, 58, 61, 66, 87, 96, 107]. Трех или двух мерные уравнения обычно используются при изучении сосудов большого диаметра (аорта, полые вены), в которых важна геометрия течения крови. При моделировании течения крови по мелким сосудам часто используют более простые модели [57, 74, 88, 90, 95]. Часто при моделировании течения крови в сети сосудов уравнения упрощают вплоть до перехода к сосредоточенным параметрам [60, 67, 86]. В этом случае, как правило, используют обыкновенные дифференциальные уравнения [19, 53, 86]. Взаимосвязь между разностью давлений в начале и конце выделенного участка сосуда и объемной скоростью кровотока при использовании сосредоточенных параметров обычно описывают, опираясь на закон Пуазейля. Зависимость давления от объема для отдельного сосудистого участка во многих моделях вслед за О. Франком [68, 97, 109] представляют соотношением, основанном на законе Гука и связывающем между собой давление и объем в эластическом резервуаре. В венозной системе, в отличии от артериальной, важную роль играют клапаны, возможность схлопывания сосудов, тканевое давление и давление в грудной полости. В ряде моделей учитывается и эта специфика [86].

Предполагая сосуд достаточно протяженным по сравнению со своим поперечным размером (диаметром), для его математического описания можно использовать квазиодномерное приближение [1, 2, 105]. Такая модель течения основана на осреднении трехмерных уравнений Навье-Стокса по поперечному сечению сосуда, форма которого предполагается круговой. Квазиодномерная модель, описывающая движения крови в сосуде, обычно включает в себя три уравнения. Два уравнения выражают законы сохранения (закон сохранения массы крови и закон сохранения количества движения). Эти уравнения не зависят от физиологических свойств сосуда и справедливы для сосудов с любыми характеристиками. В качестве третьего уравнения обычно используют соотношение, связывающее площадь поперечного сечения сосуда и трансмуральное давление (разница давлений внутри и снаружи сосуда) в сосуде. Именно в этом уравнении, которое называют уравнением состояния, учитываются все присущие данному типу сосуда свойства [2, 55, 75]. Такой закон может учитывать как эластичные свойства сосуда, так и эффекты продольного растяжения и изгиба [38]. Экспериментальные данные [62, 63, 85] показывают, что продольное растяжение сосуда может вызывать такие эффекты, как, например, формирование ударных волн сокращения и растяжения в сосуде [88, 102]. Для учета упругого натяжения при продольном растяжении и изгибе сосуда, в уравнение состояния добавляют зависимость от производной площади поперечного сечения сосуда по пространственной переменной [88]. Однако, достаточно хорошо изучены только физиологические закономерности связи давления и площади поперечного сечения сосуда [108].

Полная математическая модель сердечно-сосудистой системы, помимо модели, описывающей течение крови по сосудам, должна содержать и модель участков сопряжения (бифуркации) сосудов. При построении математической модели бифуркации сосуда предполагают, что в области сопряжения сосудов выполняется закон сохранения массы крови и закон сохранения энергии [76, 93]. Однако, ряд исследований [65, 91, 92, 98] показывает, что в местах бифуркации сосуда нередки образования вихревых течений, которые приводят к диссипации кинетической энергии. Поэтому, часто вместо закона сохранения энергии используются полуэмпирические соотношения, такие, например, как непрерывность давления в сосудах в местах их соединения, или непрерывность интеграла Бернулли [2, 59, 84, 91].

Математическая модель кровеносной системы на графе эластичных сосудов, в основу которой положены квазиодномерные уравнения гемодинамики, позволяет успешно моделировать функционирование всей сердечно-сосудистой системы, в том числе и при различных патологиях [8, 9, 13, 15, 17, 21, 25, 34, 54, 71, 73, 81, 94, 106]. Используя данную модель системы кровообращения можно моделировать, например, перераспределение потока крови в результате сжатия каких-либо сосудов, изучать влияние различных органов на характеристики потока крови в сердечно-сосудистой системе и многие другие эффекты.

Основными симптомами ряда заболеваний кровеносной системы служат не изменения характеристик потока крови, а нарушения в распространении волны давления (в биомеханике ее называют пульсовой волной). Эти нарушения могут носить разнообразный характер - от ослабления амплитуды пульсовой волны и ее запаздывания в ряде периферийных артерий до возрастания амплитуды пульсового давления и увеличения скорости распространения пульсовой волны [82]. В этой связи, возникает задача математического моделирования процесса распространения волн давления и скорости по системе кровообращения. Изучению распространения волн давления и скорости по системе эластичных сосудов уделялось внимание исследователей уже со времен открытия системы кровообращения. Начало теоретического анализа распространения волн давления по эластичным сосудам связывается с T.Young, который первым вычислил скорость пульсовой волны в артерии человека. Одними из первых работ по математическому моделированию распространения пульсовой волны являются работы H.Grashey [75] и J.Von Kries, в которых была предложена концепция отражения пульсовой волны. Авторы, рассматривая сосуд, на конце которого задавалось условие свободного вытекания жидкости, установили, что пульсовая волна, дойдя до конца сосуда, отражается от него. Концепция отражения пульсовой волны была развита Hamilton W.P. и Dow Р. [80]. Они установили, что пульсовая волна отражается от участков бифуркации аорты и тазового деления подвздошной артерии. Затем McDonald D.A. и Taylor M.G., обнаружили эффект отражения волны давления и скорости от участков резкого изменения диаметра сосуда или эластичных свойств его стенки, а также мест сопряжения сосудов. С помощью эффекта отражения пульсовой волны, McDonald D.A. объяснял различия в форме волн давления и скорости, наблюдаемые в артериальной части системы кровообращения. Наличие волн отражения используется также и для объяснения образования пиков пульсовой волны в ряде периферийных сосудов, в которых величина амплитуды волны выше, чем амплитуда волны в более близких к сердцу сосудах (Nichols W.W., O'Rourke M.F.) [89]. Исследованию распространения пульсовой волны по системе кровообращения посвящена также работа [59]. Авторы в линейном приближении получили выражения для коэффициентов, характеризующих величину изменения амплитуды пульсовой волны после прохождения участка сопряжения трех сосудов. При этом авторы полагали выполненными на участке соединения сосудов условие непрерывности давления и закон сохранения потока. Результаты, полученные в работах McDonald D.A., Nichols W.W. и Саго C.G., используются для качественного обоснования наблюдаемых в системе кровообращения явлений. Однако в данных работах нет количественного описания происходящих в кровеносной системе процессов.

Новый подход к изучению распространения волн давления и скорости был предложен Kamm R.D. и Shapiro А.Н. [84]. Авторы для изолированного сосуда количественно описали поведение малых отклонений давления и скорости от фоновых значений, являющихся решением стационарных квазиодномерных уравнений гемодинамики. Для случая выполнения на границе только двух соединяющихся друг с другом сосудов условия непрерывности интеграла Бернулли и закона сохранения потока вещества, авторы получили коэффициенты, связывающие амплитуду распространяющейся волны давления, с амплитудой волны, прошедшей участок сопряжения сосудов.

В данной диссертационной работе представлены результаты математического моделирования распространения пульсовых волн давления и скорости по всей сердечно-сосудистой системе. Кровеносная система представлена в виде сильно ветвящегося графа сосудов. Причем степень детализации отдельных фрагментов этого графа зависит от конкретных решаемых задач. В используемой модели кровеносной системы ребрам графа сопоставлены кровеносные сосуды или пучки мелких, сходных по функциям, сосудов. Вершинами графа являются точки ветвления сосудов, различные органы или ткани тела, через которые происходит фильтрация крови. На каждом ребре течение крови описывается системой уравнений гемодинамики, дополненной условиями сопряжения или граничными условиями. В вершинах ветвления - это непрерывность давления или интеграла Бернулли, в вершинах фильтрации - закон фильтрации Дарси.

Уравнения гемодинамики представляют собой систему нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, которую можно решить в общем случае численно [40, 42]. В ряде случаев удается получить аналитические решения. В представленной работе использована возможность линеаризации квазиодномерных уравнений гемодинамики относительно стационарных решений этих уравнений, в соответствии с [31]. В результате этому возникает необходимость решения уже линейной задачи. Полученные при этом результаты могут затем быть сопоставлены с численными решениями исходных нелинейных уравнений гемодинамики. В работе обсуждается возможность построения аналитических решений соответствующих математических задач для линеаризованных уравнений гемодинамики.

Итак, целью данной работы является проведение в линейном приближении аналитического описания распространения пульсовых волн давления и скорости в сердечно-сосудистой системе. Для достижения этой цели рассмотрены задачи о распространении пульсовых волн через такие отдельные базовые элементы графа, как отдельный сосуд (ребро графа) и отдельная вершина графа. Разработанные для решения этих задач методы применены для описания распространения пульсовых волн на локальных подграфах и всем графе сердечно-сосудистой системы. Полученные аналитические решения использованы для математического моделирования ряда медицинских задач.

В диссертации аналитически решены задачи о распространении волн давления и скорости на графах из одного, двух и трех сосудов. Численный расчет гемодинамических течений на таких графах подтвердил выводы линейной теории.

В работе также исследуется однородная краевая задача для системы линеаризованных уравнений гемодинамики с ненулевой правой частью в уравнении движения. С помощью такой постановки задачи моделировалась ситуации, когда кровеносный сосуд помещен в силовое внешнее поле, переменное по пространству и времени. Если сила, приложенная к сосуду, в каждой его точке является периодической по времени, то может возникнуть явление резонанса, то есть неограниченное возрастание во времени параметров течения крови - скорости и давления. Важно знать, какая внешняя сила может вызвать резонанс, а какая нет. В рассмотренной постановке задачи исследовалась периодическая по времени внешняя сила, с фиксированным периодом по всей длине сосуда. Найдены точные аналитические решения задачи при различных правых частях в уравнении движении. Сформулированы условия отсутствия резонанса, которые налагаются на внешнюю силу и на параметры сосуда - фоновую скорость течения и фоновую скорость распространения малых возмущений. В частности установлено, что если внешняя сила зависит только от времени, то резонанс отсутствует.

В диссертации в линейном приближении построено решение задачи о распространении волн давления и скорости на произвольном графе сосудов. Данное аналитическое решение позволяет не только воспроизводить известные физиологические закономерности, но и может быть использовано при диагностике сердечно-сосудистых заболеваний по клиническим симптомам, которыми служат наблюдаемые нарушения в распространении пульсовой волны.

Аналитическое решение задачи о распространении волн давления и скорости на графе эластичных сосудов является хорошей тестовой задачей для верификации реальной точности и надежности численных методик решения нелинейных уравнений гемодинамики. В диссертации было проведено сравнение результатов численных расчетов ряда модельных задач [6], с аналитическими решениями, полученными в данной работе. Сравнение показало, что при небольших амплитудах пульсовой волны наблюдается достаточно хорошее совпадение аналитического решения и численного. Сопоставляя результаты математического моделирования распространения волн давления и скорости на графе эластичных сосудов с известными физиологическими закономерностями, можно судить также и о степени соответствия рассматриваемого графа сосудов реальной системе кровообращения. Учитывая, что в медицинской литературе указывается только диапазон, в котором значение параметра сосуда может варьироваться, аналитическое решение задачи о распространении пульсовой волны позволяет корректировать значения параметров ребер графа для более адекватного воспроизведения графов реальной сердечно-сосудистой системы.

Результаты, полученные в диссертации, в рамках линейного приближения позволяют делать выводы о возможном характере распространения волн давления и скорости. Получено достаточное условие роста во времени амплитуд волн давления и скорости на произвольном графе сосудов.

Лидирующее положение среди заболеваний человека занимают болезни сердечно-сосудистой системы. В медицинской литературе в основном описание симптомов этих заболеваний приводится в случаях их развернутой выраженной клинической картины. Однако еще на ранней стадии протекания болезни необходимо иметь возможность по наблюдаемым клиническим симптомам заболевания делать заключение о характере и степени поражения сосудов. Помочь в этом может математическое моделирование заболеваний сердечнососудистой системы, которое позволяет получать количественные зависимости степени проявления симптоматики конкретного заболевания от степени поражения сосудистой системы. Такие количественные зависимости могут быть использованы в медицинской практике, как при диагностике болезни, так и для лучшего понимания причин ее возникновения и в выборе более эффективного способа ее лечения.

В диссертации были проведены расчеты направленные на математическое моделирование основных синдромов сосудистого заболевания неспецифический аортоартериит. Были получены количественные связи степени поражения сосудистой системы неспецифическим аортоартериитом и симптоматики данного заболевания. Полученные связи качественно согласуются с имеющимися в медицинской литературе данными.

В диссертационной работе установлена связь между местами локализации аневризм в артериальных сосудах кровеносной системы и числовыми значениями характерных комбинаций коэффициентов отражения и прохождения пульсовых волн в вершинах графа. Итак, в диссертации:

1. В линейном приближении проведено в аналитическом виде формульное описание процесса распространения пульсовых волн давления и скорости на всем графе сердечно-сосудистой системы;

2. Показана возможность существования двух различных режимов распространения пульсовых волн по графу сосудов. Получено достаточное условие развития на графе режима с неограничено растущей во времени амплитудой пульсовых волн. Установлена корреляция участков графа, на которых возможно выполнение этого достаточного условия, с местами наиболее частого возникновения аневризм в сосудистой системе человека;

3. Установлены количественные закономерности влияния вязкости, параметрически описываемой, на процесс распространение пульсовых волн;

4. Продемонстрирована возможность использования полученных в диссертации результатов для количественного описания симптоматики ряда заболеваний, поражающих сосудистую систему человека.

Изложение материала диссертации структуировано следующим образом. Диссертация состоит из введения, четырех глав и приложения, содержит 90 рисунков, 9 таблиц и 2 диаграммы. Библиография насчитывает 110 наименований.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Соснин, Николай Васильевич

Заключение.

Математическое моделирование движения жидкости по системе эластичных сосудов представляет собой актуальную задачу с широкой областью практического применения. В частности, моделирование применимо при исследовании течения крови по сердечно-сосудистой системе. При этом значительный интерес проявляется к такому гидродинамическому явлению, как распространение пульсовых волн давления и скорости, скорость распространения которых значительно больше скорости продвижения самой жидкости по сосудам. В данной работе предложен и практически реализован подход, позволяющий в аналитической форме с помощью формул описать процесс распространения пульсовых волн давления и скорости по сердечнососудистой системе человека.

В работе вся замкнутая система кровообращения или любая выделенная ее часть представляется в виде графа, состоящего из ребер и вершин. Ребра графа соответствуют отдельным крупным сосудам кровеносной системы или жгутам функционально однородных более мелких сосудов. Вершинам графа приписаны функциональные свойства либо участков ветвления кровеносных сосудов, либо мышечных тканей, либо отдельных органов живого организма. Сосуды считаются достаточно протяженными по сравнению со своими поперечными размерами (диаметром). Это допущение позволяет использовать для математического описания процесса протекания крови квазиодномерное приближение. Описание движения крови в сосудах кровеносной системы в рамках квазиодномерного приближения основано на законах сохранения массы и импульса (количества движения). В дифференциальной форме эти законы принимают вид двух эволюционных по времени, пространственно одномерных нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Решением этих дифференциальных уравнений являются функции двух переменных. Одна переменная время, а вторая переменная есть координата вдоль сосудов, объединенных в граф. Из физиологических исследований известно, что в артериальной части сосудистой системы человека от аорты вплоть до резистивных сосудов наблюдается небольшое, примерно 10% уменьшение величины среднего фонового значения давления крови. Кроме того, в норме пульсационное отклонение давления от среднего значения составляет примерно 20%. Такой диапазон изменения давления позволяет надеяться на возможность использования апробированного в математической физике аппарата построения линейного приближения для исходной нелинейной системы дифференциальных уравнений. Такой подход и был реализован в данной работе. Была проведена линеаризация относительно средних, фоновых значений всех величин, входящих как в дифференциальные уравнения, описывающие движение крови по сосудам, так и в дифференциально-алгебраические соотношения, являющиеся математическими моделями узлов бифуркации сосудов и различных органов, составляющих сердечно-сосудистую систему. В результате, приближенное описание процесса протекания крови по сосудистой системе, в рамках линейного приближения свелось к системе уравнений гиперболического типа с постоянными коэффициентами. Решать эти уравнения необходимо на совокупности одномерных отрезков, объединенных в граф. При этом в вершинах графа должны быть выполнены, соответствующие функциональному назначению этих вершин, условия согласования искомых решений дифференциальных уравнений на различных ребрах графа. К этому добавляются еще начальные и граничные условия на искомые решения.

В данной работе построено точное аналитическое решение поставленной начально-краевой задачи для системы гиперболических уравнений на графе сосудов на конечном временном промежутке. Данное решение представляет самостоятельный интерес, так как позволяет продвинуться в изучении качественной структуры гемодинамических течений. Найденное решение представляет собой суперпозицию бегущих волн, приходящих в каждое сечение сосудистой системы в результате многократных преобразований в узлах бифуркации сосудов кровеносной системы. Установлено, что в вершинах графа, где происходит скачкообразное изменение свойств ребер (например, сечения сосуда, его эластичности) наблюдается эффект частичного прохождения и отражения распространяющихся волн давления и скорости с изменением их амплитуд и фазы. Получены выражения общего вида для коэффициентов, связывающих амплитуды волн до и после момента прохождения вершин графа сердечно-сосудистой системы. Установлен ряд свойств этих коэффициентов.

Показано, что решение линеаризованных уравнений гемодинамики, как в отдельных сосудах, так и на графе в целом может иметь качественно различный характер в зависимости от конкретного набора значений параметров, характеризующих сосудистую систему и течение крови в ней. Сформулированы условия и найдено количественное значение управляющей комбинации параметров, при которых происходит резонансный рост амплитуд колебаний давления и скорости течения жидкости в кровеносной системе. Показано, что характер поведения амплитуды пульсовой волны определяется значениями определителей матриц, составленных из коэффициентов прохождения и отражения в каждой вершине графа. Если произведение этих определителей для всех вершин графа по модулю больше единицы, то амплитуда пульсовой волны давления на рассматриваемом графе будет расти с течением времени.

В линейном приближении проведено исследование влияния вязкости жидкости, проявляющейся в рамках используемой квазиодномерной модели в виде параметрически заданного в уравнении движения трения, на процесс распространения пульсовых волн давления и скорости. Получено приближенное аналитическое решение задачи Коши для уравнений гемодинамики с вязким трением. Для решения задачи использованы метод Римана и метод возмущения по параметру. С помощью этих подходов получено приближенное, линейное по малому параметру аналитическое решение уравнений гемодинамики с вязким трением. Установлено, что влияние вязкого трения на течение жидкости в эластичном сосуде проявляется в основном в виде торможения фонового течения всей жидкости и уменьшении в течение времени по экспоненциальному закону амплитуды локального начального возмущения давления и скорости. Фоновое давление вдоль сосуда мало чувствительно к появлению вязкого трения при рассмотренных характерных для артериальной части сосудистого русла значениях параметров самого сосуда и протекающей по нему жидкости. Было проведено сравнение результатов численного решения уравнений гемодинамики на графе сосудов с соответствующими аналитическими решениями ЛГД уравнений. Показано, что выводы линейной теории относительно качественных особенностей течения совпадают с результатами численных расчетов.

Результаты медицинских исследований ряда заболеваний показывают, что основными симптомами некоторых заболеваний сердечно-сосудистой системы служат нарушения в распространении пульсовых волн. Эти нарушения могут носить разнообразный характер. При ряде заболеваний (например, неспецифический аортоартериит, артериальная гипертензия при коарктации аорты) наблюдается ослабление пульсации в ряде периферийных артерий. В ряде случаев возможны и противоположные симптомы - возрастание пульсового давления, увеличение скорости распространения пульсовой волны (например, при атеросклерозе грудной аорты). В работе приводятся результаты математического моделирования распространения пульсовой волны по артериальной части большого круга кровообращения. Приведены результаты математического моделирования поражения сосудистого русла при неспецифическом аортоартериите. Результаты математического моделирования поражения системы кровообращения при неспецифическом аортоартериите, качественно согласуются с известными в медицинской литературе симптомами данного заболевания. В работе были получены количественные зависимости степени проявления симптоматики заболевания от степени поражения сосудистой системы.

В работе также представлены результаты математического моделирования процесса развития гемодинамических течений с растущей во времени амплитудой пульсовой волны давления в сосудах Виллизиева круга и магистральных артериях грудной и брюшной полости. Установлено, что на графе Виллизиева круга мозговых артерий находится ряд вершин бифуркации сосудов, для которых определители матриц, составленных из коэффициентов прохождения и отражения, по модулю больше единицы. Оказалось, что эти вершины соответствуют местам наиболее частого возникновения аневризм артериальных сосудов. Приведены результаты расчетов гемодинамических течений в артериальной части большого круга кровообращения. Показано, что при определенных условиях в артериальной части сосудистой системы могут возникать колебания давления с растущей во времени амплитудой. Замечена взаимосвязь между местами локализации аневризм и характерными числовыми значениями определителей матриц, составленных из коэффициентов прохождения и отражения в вершинах графа, соответствующих местам локализации аневризм. Сформулировано достаточное условие реализации режима течения в кровеносной системе, при котором происходит рост амплитуд пульсовых волн. Итак, в диссертации:

1. В линейном приближении проведено в аналитическом виде формульное описание процесса распространения пульсовых волн давления и скорости на всем графе сердечно-сосудистой системы;

2. Показана возможность существования двух различных режимов распространения пульсовых волн по графу сосудов. Получено достаточное условие развития на графе режима с растущей во времени амплитудой пульсовых волн. Установлена корреляция участков графа, на которых возможно выполнение этого достаточного условия, с местами наиболее частого возникновения аневризм в сосудистой системе человека;

3. Установлены количественные закономерности влияния вязкости, параметрически описываемой, на процесс распространение пульсовых волн;

4. Продемонстрирована возможность использования полученных в диссертации результатов для количественного описания симптоматики ряда заболеваний, поражающих сосудистую систему человека.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Соснин, Николай Васильевич, 2008 год

1. Абакумов М.В., Гавршюк КВ., Есикова Н.Б., Кошелев В.Б., Лукшин A.B., Мухин С.И., Соснин Н.В., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П. Математическая модель гемодинамики сердечно-сосудистой системы: Препринт - ИПМ им. М.В. Келдыша, № 104, 1996. - 25 с.

2. Абакумов М.В., Гавршюк КВ., Есикова Н.Б., Кошелев В.Б., Лукшин A.B., Мухин С.И., Соснин Н.В., Тишкин В. Ф., Фаворский А.П. Математическая модель гемодинамики сердечно-сосудистой системы // Дифференциальные уравнения.- 1997. Т.ЗЗ, №7. С. 892-898.

3. Ашметков КВ., Мухин С.И., Соснин Н.В., Фаворский А.П., Хруленко А.Б. Частные решения уравнений гемодинамики: Препринт М, Диалог-МГУ, 1999.-43 с.

4. Ашметков И.В., Мухин С.И., Соснин Н.В., Фаворский А.П., Хруленко А.Б. Численное исследование свойств разностной схемы для уравнений гемодинамики: Препринт М, Диалог-МГУ, 1999. - 14 с.

5. Ашметков КВ., Мухин С.И., Соснин Н.В., Фаворский А.П., Хруленко А.Б. Анализ и сравнение некоторых аналитических и численных решений задач гемодинамики // Дифференциальные уравнения. 2000. Т.36, №7. - С. 919-924.

6. Мухин С.И., Соснин Н.В., Фаворский А.П., Хруленко А.Б. Линейный анализ волн давления и скорости в системе эластичных сосудов: Препринт М, МАКС Пресс, 2001.-37 с.

7. Кошелев В.Б., Мухин С.И., Соснин Н.В., Фаворский А.П., Хруленко А.Б. Математическое моделирование неспецифического аортоартериита: Препринт- М, МАКС Пресс, 2001. 52 с.

8. Буничева А.Я., Мухин С.К, Соснин Н.В., Фаворский А.П., Хруленко А.Б. Математическое моделирование некоторых прикладных задач гемодинамики //

9. Сборник: Прикладная математика и информатика. М., МАКС Пресс, 2001. -№9. - С. 91-132.

10. Ашметков И.В., Мухин С.И., Соснин Н.В., Фаворский А.П. Решение общей задачи для ЛГД уравнений на одном сосуде: Препринт М., МАКС Пресс, 2001.-22 с.

11. Ашметков И.В., Мухин С.И., Соснин Н.В., Фаворский А.П. Краевая задача для ЛГД уравнений на графе: Препринт М., МАКС Пресс, 2002. - 88 с.

12. Ашметков И.В., Мухин С.К, Соснин Н.В., Фаворский А.П. Математическое моделирование гемодинамических факторов развития аневризм в артериальных сосудах: Препринт М., МАКС Пресс, 2003. - 51 с.

13. Ашметков КВ., Мухин С.И., Соснин Н.В., Фаворский А.П. Краевая задача для ЛГД уравнений на графе // Дифференциальные уравнения. 2004. Т.40, №1, с.87-97.

14. Буничева А.Я., Мухин С.И., Соснин Н.В., Фаворский А.П. Вычислительный эксперимент в гемодинамике // Дифференциальные уравнения. 2004. Т.40, №7.-С. 920-935.

15. Мухин С.И., Соснин Н.В., Фаворский А.П. Линейный анализ влияния вязкого трения на пульсовую волну: Препринт М., МАКС Пресс, 2004. - 48 с.

16. Ашметков И.В., Буничева А.Я., Мухин С.И., Соколова Т.В., Соснин Н.В., Фаворский А.П. Математическое моделирование гемодинамики в мозге и большом круге кровообращения // Сборник: Компьютер и мозг. М., Наука, 2005.-С. 39-99.

17. Мухин С.И., Соснин Н.В., Фаворский А.П. Исследование влияния вязкого трения на пульсовую волну // Дифференциальные уравнения. 2006. Т.42, №7. -С. 979-993.

18. Александров В.В., Садовничий В.А., Чугунов О.Д. Математические задачиимитации полета. М.: Изд-во Московского Университета, 1986. - С. 159-176.

19. Арабидзе Г.Г., Бредикис Ю.И., Верещагин Н.В. / Под ред. Е.И. Чазова. Болезни сердца и сосудов. ТЗ. М.: Медицина, 1992. - С. 328-336.

20. Бураковский В.И., Бокерия JJ.A. Аневризмы грудной части аорты // http://www.medicus.ru/?cont:=article&artid= 125

21. Гареей В. Анатомическое исследование о движении сердца и крови у животных. М.-Л.:Госиздат, 1927.

22. Джонсон П. Периферическое кровообращение / Пер. с англ. М.: Медицина, 1982. - 440 с.

23. Евдокимов A.B., Холодов A.C. Квазистационарная пространственно распределенная модель замкнутого кровообращения организма человека.// Сборник: Компьютерные модели и прогресс медицины. М.: Наука, 2001. - С. 164-193.

24. Каро К., Педли Т., Шротер P., Cud Е. Механика кровообращения. М.: Мир, 1981.-607 с.

25. Ландау Я.Д., Лифилиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1988. - С. 13-82.

26. Лелюк В.Г., Лелюк С.Э. Ультрозвуковая ангиология. М.: Реальное Время, 1999.-286 с.

27. Лищук В.А. Математическая теория кровообращения. М.: Медицина, 1991.-256 с.

28. Медведев Ю.А., Мацко Д.Е. Аневризмы и пороки развития сосудов мозга. -СПб.: Изд. РНХИ им. проф. А.Л. Поленова, 1993. Т.1. - 136 с.

29. Найфэ А.Х. Методы возмущений. -М.: Мир, 1976. С. 9-66.

30. Ультрозвуковая доплеровская диагностика сосудистых заболеваний: Сб. науч. тр. / Ред. Ю.М.Никитина, А.И.Труханова. М.: Видар, 1998. - 431 с.

31. Педли Т. Гидродинамика крупных кровеносных сосудов. М.: Мир, 1983.290 с.

32. Пирумов У.Г. Аналитическое и численное исследование гемодинамики крупных сосудов. // Математическое моделирование. 2001. - Т. 13, № 6. - С. 47-61.

33. Раъимер Р. Динамика сердечно-сосудитой системы. М.: Медицина, 1981. — 600 с.

34. Регирер С.А. Лекции по биологической механике. М.: Изд-во МГУ, 1980. - 115с.

35. Рождественский Б.Л., Яненко H.H. Системы квазилинейных уравнений. -М.: Наука, 1978.-С. 16-132.

36. Розанов В.В., Руденко О.В., Сысоев H.H. Нелинейные пульсовые волны в эластичных трубках с переменным сечением и изменяющимися упругими свойствами. Физическая гидродинамика Выпуск 9: Препринт физического факультета МГУ № 12, 1998. - 22 с.

37. Савенков И.В. О нестационарных осесимметричных течениях в трубках с упругими стенками // ЖВМиМФ. 1996. Т.36. №2. - С. 147-164.

38. Самарский A.A. Теория разностных схем. М.: Наука, 1983. - 616 с.

39. Самарский A.A., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. -М.: Наука, 1978. 592 с.

40. Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы. М.: Наука, 1989. - С. 127148.

41. Самарский A.A., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики. М.: Наука, 1992. - 382 с.

42. Сапин М.Р., Билич Г.Л. Анатомия человека. Кн.2. М.: ОНИКС. Альянс-В, 1999.-432 с.

43. Смирнов В.И. Курс высшей математики. М.: Наука, 1967. - 568 с.

44. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972. - С. 128-140.

45. Фолков В., Нил Э. Кровообращение. М.: Медицина, 1976. - 464 с.

46. Холодов А.С. Некоторые динамические модели внешнего дыхания и кровообращения с учетом их связности и переноса веществ // Сборник: Компьютерные модели и прогресс медицины. М.: Наука, 2001. — С. 127-163.

47. Чазова Е.И. Болезни сердца и сосудов. Т1. М.: Медицина, 1992. - 496 с.

48. Шмидт Р., ТевсГ. Физиология человека. Т2. М.: Мир, 1996. - С. 498-565.

49. Шошенко К. А., Голубь А. С., Брод В.И. и др. Архитектура кровеносного русла. Новосибирск: Наука, 1982. - 184 с.

50. Akgun G., Demiray Н. Non-linear wave modulation in a prestressed viscoelastic thin tube filled with an inviscid fluid // Intern. J. Non-Linear Mech. 1999. Vol.34. №3. - P. 571-588.

51. Avanzolini G. CADCS simulation of the closed-loop cardiovascular system// Int.J.Biomed.Comput. 1988. Vol.21. - P. 39-49.

52. Azer K., Peskin C.S. A One-dimensional Model of Blood Flow in Arteries with Friction and Convection Based on the Womersley Velocity Profile // Cardiovascular Engineering. 2007. Vol. 7. No. 2. - P. 51-73.

53. Bertram C.D. The effect of wall thickness, axial strain and endpoint proximity on the pressure-area relation of collapsible tubes // J. Biomech. 1987. Vol. 20. - P. 863-876.

54. Berger S.A. Flow in large blood vessels // Fluid dynamics in biology. Proc. of AMS-IMS-SIAM summer research Conf. Contemporary Math. 1991. Vol. 141. - P. 479-518.

55. Cancelli C., Pedley T.J. A separated-flow model for collapsible-tube oscillations // J. Fluid Mech. 1985. Vol. 157. - P. 375-404.

56. Canic S., Kim E.H. Mathematical Analysis of the Quasilinear Effects in a Hyperbolic Model of Blood Flow through Compliant Axisymmrtric Vessels // Mathematical Methods in Applied Sciences. 2003. Vol. 26(14). - P. 1161-1186.

57. Caro C.G., Pedley T.J., Schroter R.S., Seed W.A. The mechanics of the circulation. Oxford University Press, New York-Toronto, 1978. - 624 p.

58. Conlon M.J., Russell D.L., Mussivand T. Development of a Mathematical Model of the Human Circulatory System // Annals of Biomedical Engineering. 2006.

59. Vol. 34, No. 9.-P. 1400-1413.

60. Chakravarty S., Mandal P.H. A nonlinear two-dimensional model of blood flow in an overlapping arterial stenosis subjected to body acceleration // Math. Comput. Modeling. 1996. Vol. 24. №1. - P. 43-58.

61. Demiray H. Dressed solitary waves in fluid-filled elastic tubes // Intern. J. NonLinear Mech. 1999. Vol. 34. №1,- P. 185-196.

62. Demiray H. Non-linear waves in a fluid-filled thick elastic tube // Intern. J. NonLinear Mech. 1998. Vol. 33. №2. - P. 363-375.

63. Egnor M., Rosiello A., Zheng L. A model of Intracranial Pulsations // Pediatr Neurosurg. 2001. Vol. 35. - P. 284-298.

64. Erlich L., Friedman M.H. Computational aspects of aortic bifurcating flows // Comput. and Fluids. 1985. Vol. 13. №2. - P. 177-183.

65. Evans R.L. A unifying approach to blood flow theory //J.Theor.Biol. 1961. Vol. 3. №3. - P. 392-411.

66. Formaggia L., Nobile F., Quarteroni A., Veneziani A. Multiscale modelling of circulatory system: A preliminary analysis // Comput. Visial. Sci. 1999. No. 2. - P. 75-83.

67. Frank O. Die Grundform des arteriellen//Z.Biol. 1895. Vol. 32. - P. 370-380.

68. Fruchter G., Ben-Haim S. Dynamic properties of cardiovascular system // Math. Biosci.-1992. Vol. 110.№1.-P. 103-117.

69. Fung Y.C. Biomechanics Circulation. New York: Springer Verlag, 1996. - 365 P

70. Fusco D., Manganaro N. Exact solutions to flows in fluid filled elastic tubes // Diff. Eqns with appl. to math, physics. In: Math. Sci. Eng. Academic Press, Boston, MA. 1993. Vol. 192. - P. 87-99.

71. JelinekJ. Hemodynamics of counterpulsation: the study of a lumped-parameter computer mode // J. Biomechanics. 1971. Vol. 5. - P. 511-519.

72. Jensen O.E. Instabilities of flow in collapsed tube //J. Fluid. Mech. 1990. Vol. 220-P. 623-659.

73. Ge Z.Q. A mathematical model of the blood flow in lung microcirculation thecase of tissue-fluid motion // J. Biomath. 1994. Vol. 9. No. 1. - P. 85-90.

74. Grashey H. Die Wellenbewegung elasticher Rohren und der Arterienpuls des Menschen. Leipzig. 1881.

75. Greenfield J.C., Patel D.J. Relation between pressure and diameter in ascending aorta of men // Circulation Res. 1962. Vol. 10. No. 5. - P. 778-781.

76. Guyton A.C., Coleman T.G. Circulation Research. // Ann. Rev. Physiol.- 1969. Vol. 24. No. 1.

77. Guyton A.C., Coleman T.G., Grander H.J. Circulation: overall regulation // Ann. Rev. Physiol. 1972. Vol. 27.

78. Guyton A.C., Coleman T.G., Maning R.D., Hall J.E. Some problems and solutions for modeling overall cardiovascular regulation // Math. Biosci. 1984. Vol. 72. No. 2.-P. 141-155.

79. Hamilton W.P., Dow P. An experimental study of the standing waves in the pulse propagated through the aorta // Am. J. Physiol. 1939. Vol. 125. - P. 48-59.

80. Hart V.G., Shi J. Wave propagation in joined thin dissimilar elastic tubes containing viscous fluid // Internat. J. Engrg. Sci. 1994. Vol. 32. No. 4. - P. 617634.

81. Heil M. Stokes flow in elastic tube a large-displacement fluid- structure interaction problem // Int. J. Numer. Meth. Fluids. - 1998. Vol. 28. - P. 243-265.

82. Heil M., Pedley T.J. Large post-buckling deformations of cylindrical shells conveying viscous flow // Int. Fluids Struct. 1996. Vol. 10. - P. 565-599.

83. Kamm R.D., Shapiro A.H. Unsteady flow in a collapsible tube subjected to external pressure or body forces // J. Fluid Mech. 1979. Vol. 95. - P. 1-78.

84. Kececioglu I., McClurken M.E., Kamm R.D., Shapiro A.H. Steady, supercritical flow in collapsible tubes. Experimental observations // J. Fluid Mech. 1981. Vol. 109.-P. 367-389.

85. Leaning M.S. Modeling a complex biological system: the human cardiovascular system 1. Model validation, reduction and development//Trans. Inst. M. C. - 1983. Vol. 5.-P. 87-98.

86. Lynch D.G., Waters S.L., Pedley T.J. Flow in a tube with non-uniform, time-dependent curvature: governing equations and simple examples // J. Fluid Mech. -1996. Vol. 323.-P. 237-265.

87. McClurken M.E., Kececioglu I., Kamm R.D., Shapiro A.H. Steady, supercritical flow in collapsible tubes. Part2. Theoretical studies // J. Fluid Mech. 1981. Vol. 109.-P. 391-415.

88. Nichols W. W., O'Rourke M.F. Blood flow in arteries. London: Edward Arnold, 1990.-367 p.

89. Olsen J.H., Shapiro A.H. Large amplitude unsteady flow in liquid-filled elastic tubes // J. Fluid Mech. 1967. Vol. 29. No. 3. - P. 513-538.

90. Olufsen M.S. Structured tree outflow condition for blood flow in larger systemic arteries // Am. J. Physiol. 1999. Vol. 276. - P. 257-268.

91. Pedley T.J., Riley D.S., Wild R. Viscous flow in collapsible tubes of slowly varying elliptical cross-section // J. Fluid Mech. 1977. Vol. 81, part 2. - P. 273-294.

92. Pedley T.J., Schroter R.C., Sudlow M.F. Flow and pressure drop in systems of repeatedly branching tubes // J. Fluid Mech. 1971. Vol. 46, part 2. - P. 365-383.

93. Pedley T.J., Luo X.Y. Modelling Flow and Oscillations in Collapsible Tubes // Theoretical and Computational Fluid Dynamics. 1998. Vol. 10. - P. 277-294.

94. Pedley T.G., Luo X.Y. Modelling flow and oscillations in collapsible tubes // Theoret. Comput. Fluid Dyn. 1998. Vol. 10. - P. 277-294.

95. Perktold K., Resell M., Peter R.O. Three-Dimensional Numerical Analysis of Pulsatile Flow and Wall Shear Stress in the Carotid Artery Bifurcation // J. Biomechanics. 1991. Vol. 24. No. 6. - P. 409-420.

96. Palladino J.L., Mulier J.P., Noordergraaf A. Closed-loop circulation model based on the Frank mechanism // Mathematics for industry. 1997.

97. Pektold K., Rappittsch G. Computer simulation of local blood flow and vessel mechanics in a compliant carotid artery bifurcation model // J.Biomech. 1995. Vol.28.

98. Philips W.M. Modeling of flows in the circulatory system//Advanc. Cardiovasc. Phys. 1983. Vol. 5. - P. 26^48.

99. Quarteroni A., Veneziani A., Zunino P. Mathematical and Numerical Modeling of Solute Dynamics in Blood Flow and Arterial Walls // SIAM J. Numer. Anal. -2001. Vol. 39, No. 5.-P. 1488-1511.

100. Rubinow S.I., Keller J.B. Waves propagation in viscoelastic tube containing a viscous fluid//J. Fluid Mech.- 1978. Vol. 88, part l.-P. 181-203.

101. Rudinger G. Shock waves in mathematical models of the aorta // J. Appl. Mech. 1970. Vol. 37.-P. 34-37.

102. SkalakR. Wave propagation in blood flow // Biomechanics Symposium. ASME, New York. 1966.-P. 20-41.

103. Sun S.M., Shen M.C. Existence of solitary pressure pulses in a cylindrical fluid-filled elastic tube // J. Diff. Equations. 1995. Vol. 115. No. 1. - P. 224-256.

104. Shapiro A.H. Steady flow in collapsible tubes // J. Biomech.Engrg. 1977. Vol.99.-P. 126-147.

105. Sherwin S.J., Franke V., Peiro J., Parker K. One-dimensional modeling of a vascular network in space-time variables // Journal of Engineering Mathematics. -2003. Vol. 47,-P. 217-250.

106. Taylor C.A., Hughes I.J.R., Zarins C.K. Finite Element Modeling of Blood Flow in Arteries // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 1998. Vol. 158. - P. 155-196.

107. Tichner E.G., Sacks A.H. A theory for the static elastic behavior of blood vessels //Boirheology. 1967. Vol. 4. No. 4. - P. 151-168.

108. Yu J., Lakin W.P., Renar P. A hybrid asymptotic numerical study of a model for intracranial pressure dynamics // Stud. Appl. Math. - 1995. Vol. 95. No. 3. - P. 247-267.

109. Zacek M., Krauset E. Numerical simulation of blood flow in human cardiovascular system // J. Biomechanics. 1996. Vol. 29. No. l.-P. 35-50.