Исследование электромагнитного поля точечного источника в неоднородных, слабо проводящих средах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, кандидат физико-математических наук Москалева, Елена Викторовна

• Москалева, Елена Викторовна
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Москалева, Елена Викторовна

Введение. стр.

Глава 1. Методы геометрической оптики и их применение.

Глава 2. Электромагнитное поле диполя, расположенного в слабо проводящем полупространстве.

§2.1. Электрический вертикальный диполь.

§ 2.2. Электрический диполь, направленный по оси х.

§ 2.3. Электрический диполь, направленный по оси у.

Глава 3 Электромагнитное поле диполя, расположенного в слабо проводящем слое.

§3.1. Электрический вертикальный диполь.

§ 3.2. Электрический диполь, направленный по оси х.

§ 3.3. Электрический диполь, направленный по оси у.

Глава 4. Электромагнитное поле вертикального электрического диполя, расположенного в проводящем слое с переменной проводимостью.

Глава 5. Электромагнитное поле диполя, расположенного в трехслойной слабо проводящей среде.

§ 5.1. Электрический вертикальный диполь.

§ 5.2. Электрический диполь, направленный по оси х.

§ 5.3. Электрический диполь, направленный по оси у.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование электромагнитного поля точечного источника в неоднородных, слабо проводящих средах»

Метод геометрической оптики — наглядный и эффективный способ вычисления и исследования поля. Чрезвычайно широкий круг проблем описывается методом геометрической оптики. Трудно переоценить значение этого метода при решении задач нахождения полей в неоднородных средах. Метод геометрической оптики дает наглядную качественную картину распространения волн, а в ряде случаев и хорошее количественное описание. Понятие неоднородности очень объемно. Оно включает в себя и инородные включения, неоднородности, обусловленные параметрами среды, рассеяние волн на неровных поверхностях и так называемые слоисто-неоднородные среды, рассматриваемые в данной работе.

Актуальность темы

В настоящей работе исследуются электромагнитные поля, возбуждаемые диполями различной природы и ориентации, расположенными в проводящей среде. Проводимость среды приводит к необходимости решать задачу в приближении комплексной геометрической оптике. Здесь предлагается при выполнении некоторых условий в случае наличия поглощающих сред для асимптотического вычисления поля применять метод стационарной фазы с вещественной седловой точкой. Эти условия сводятся к требованию малости токов проводимости по сравнению с токами смещения и глубины расположения диполя по сравнению с расстоянием до приемника. В этом приближении исследуется поле в дальней зоне в вакууме от высокочастотного источника, помещенного в слабо проводящую среду, которая представляет собой полупространство, слой и непрерывно или дискретно слоистую структуру.

Поле диполя, расположенного в полупространстве, в достаточной степени изучено многими авторами. Sommerfeld А. и Weyl Н. в классических работах [1,2] изучали задачу, в которой источник помещался в непроводящую среду, точка наблюдения находилась в ней же, а проводимость другой полагалась достаточно большой, и применялся стандартный метод стационарной фазы. Бреховских [3], развивая эту теорию, так же ограничивался только рассмотрением диполя в непроводящем полупространстве. Такая задача глубоко изучена в работе [4]. В частности, одна из глав монографии посвящена вычислению поля электрического и магнитного диполей произвольной ориентации, помещенных в проводящую среду, с применением метода перевала. Но при этом автором рассматривал только случай низких частот, что дает возможность пренебрежения токами смещения. В работах об электромагнитном поле, создаваемом произвольным источником, расположенным, как и приемник, в проводящей среде, [5,6] так же имело место асимптотическое вычисление интегралов.

Таким образом, исследовались задачи, в которых рассматривалось либо прохождение лучей через непроводящую среду, в этом случае использовался метод стационарной фазы с вещественной седловой точкой, либо при нахождении поля в проводящем полупространстве применялся этот метод, в котором точка стационарной фазы являлась комплексной.

В данной работе представлен метод представления электромагнитного поля в виде асимптотического ряда в задачах распространения волн в поглощающих средах. Суть этого метода состоит в возможности применения метода стационарной фазы с вещественной седловой точкой к задачам о различных источниках произвольной ориентации, находящихся в слабо проводящем полупространстве.

Задача об источнике, помещенном в слой, исследовалась в ряде работ. Рассматривались такие модели, как Земля-атмосфера-ионосфера [7,8], Земля-океан-воздух [9,10] и др. Здесь предлагается способ нахождения поля в вакууме, возбуждаемого источником, расположенным в слабо проводящем слое, который снизу граничит с бесконечно проводящей средой, а сверху с вакуумом. Такую структуру можно интерпретировать, как Земля-лед-воздух. Практическим применением такой задачи может служить использование ее результатов в лавиноопасных районах. В этом случае требования необходимые для возможности использования предложенного метода выполняются. Лед (снег) обладают достаточно малой проводимостью, а расстояние то приемника (спутника) будет много превышать возможную глубину снежного заноса (расположения источника).

Распространению волн в многослойной среде посвящено много работ. Рассматривались структуры из слоев, образованных различными веществами

11,12], плоскослоистые среды с поглощением и без поглощения. Многие авторы изучали поле в случае источника, расположенного над слоистой проводящей трассой [13]. Решаемая здесь задача о диполях различной природы и произвольной ориентации, помещенных в многослойную проводящую среду, основывается на методе стационарной фазы с вещественной седловой точкой. В данной работе демонстрируется возможность замены такой структуры одним «эффективным» слоем.

Важное значение имеет исследование распространения волн в средах с непрерывно меняющимися параметрами. Изучались слои, как со свойствами, произвольно изменяющимися по координате перпендикулярной границам [14], зависящие от нескольких координат [15,16], так и с параметрами, подчиняющимися определенному закону. Эти приближения отвечают многим реальным средам.

В настоящей работе рассматривается слой с изменяющейся по закону Эпштейна проводимостью. Такая задача изучалась Бреховских, Газаряном [3,17] и др. Здесь исследуется случай, когда падающее поле создается точечным источником, расположенным в таком слое. Нижняя среда полагается бесконечно проводящей, а верхняя имеет свойства вакуума.

Как и в работах других авторов [3], решение этой задачи основывается на приведении уравнений Максвелла к гипергеометрическому уравнению, решения которого выражаются через гипергеометрические функции. Здесь уделено особое внимание возможности учета в дифференциальном уравнении члена, связанного с зависимостью проводимости от координаты. В данной работе предложен метод упрощающий решение, который заключается в вычислении поля в случае «эффективного» слоя.

Целью работы являлось вычисление и исследование электромагнитного поля электрической и магнитной дипольной антенны, расположенной в слабо проводящей среде, представляющей собой полупространство, слой с постоянной проводимостью, слой с непрерывно меняющейся проводимостью, многослойную структуру, применяя метод стационарной фазы с вещественной точкой стационарной фазы. Для достижения поставленной цели было необходимо:

Доказать возможность применения предложенного метода для нахождения электромагнитного поля диполя различной природы и ориентации, помещенного в слабо проводящее полупространство; На основе преложенного метода вычислить электромагнитное поле, возбуждаемое электрическим и магнитным источником произвольной ориентации, расположенным в слабо проводящем слое, и исследовать поведение диаграммы направленности поля в зависимости от параметров слоя;

Разработать новый способ нахождения электромагнитного поля электрического диполя, который находится в слое Эпштейна; Используя предложенный метод, найти электромагнитное поле диполей различной природы и ориентации, помещенных в плоскослоистую слабо проводящую среду, и предложить упрощенный способ решения такой задачи.

Научная новизна

Впервые предложен и доказан способ вычисления электромагнитного поля, возбуждаемого электрическим и магнитным диполями, расположенными в слабо проводящей среде, методом стационарной фазы с вещественной седловой точкой;

На основе данного способа вычислено и исследовано электромагнитное поле, возбуждаемое электрическим и магнитным источником произвольной ориентации, помещенным в слабо проводящем слое;

Предложен метод вычисления поля электрического диполя, расположенного в слое с проводимостью, зависящей по закону Эпштейна от координаты, ортогональной границам слоя, и найдена модельная задача, облегчающая расчеты;

С применением предложенного метода решена задача об источнике, помещенном в многослойную слабо проводящую структуру, и разработан способ ее приведения к исследованным случаям.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Методы расчета электромагнитных полей дипольных источников, расположенных в двухслойной проводящей среде.

2. Исследование электромагнитных полей дипольных источников, расположенных в двухслойной проводящей среде. Сравнение результатов, полученных различными методами.

3. Методы расчета электромагнитных полей дипольных источников, расположенных в проводящем слое с переменной по глубине проводимостью.

4. Исследование электромагнитных полей дипольных источников, расположенных в проводящем слое с переменной по глубине проводимостью. Сравнение результатов, полученных различными методами.

5. Оценка границ применимости приближенных методов нахождения электромагнитного поля.

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и трех приложений. Диссертация изложена на 178 страницах машинописного текста. Содержит 42 рисунка и список литературы из 213 наименований.

Заключение диссертации по теме «Радиофизика», Москалева, Елена Викторовна

Заключение

Таким образом, в данной работе было получено и проанализировано электромагнитное поле дипольной антенны, расположенной в слабо проводящей среде и ориентированной в пространстве произвольным образом. Нахождение поля производилось в приближении геометрической оптики. Для вычисления интегралов применялся метод стационарной фазы в предложенной здесь трактовке.

1. В результате проведенных исследований электромагнитного поля электрического и магнитного источников, помещенных в слабо проводящее полупространство, т.е. оценки погрешности вычисления электромагнитного поля при использовании комплексной и вещественной седловых точек; сравнения первых двух членов асимптотического ряда в случае применения метода стационарной фазы с вещественной и комплексной седловыми точками., был сделан следующий вывод:

• При вычислении поля в вакууме в дальней зоне, когда расстояние от диполя до границы раздела много меньше расстояния до приемника, возможно использование метода стационарной фазы с вещественной седловой точкой;

2. В процессе изучения электромагнитного поля источников различной природы и ориентации, которые расположены в проводящем слое малой по сравнению с расстоянием от источника до точки наблюдения толщины, были получены следующие результаты:

• Возможность применения для вычисления интегралов метода стационарной фазы с вещественной седловой точкой;

• Проведено исследование диаграммы направленности поля. При изучении поведения диаграммы направленности поля с изменением параметров слоя и частоты излучения источника были выявлены закономерности: с увеличением угла , отсчитываемого от границы раздела, возрастает величина отношения амплитуд диаграммы в максимуме и минимуме; расстояние между соседними максимумами (минимумами) обратно пропорционально параметру A:0¿/; Г

- в области углов < Ц/тт, где min = arccosJ-расстояние

2s'-l между соседними максимумами (минимумами) в случае увеличения вещественной части комплексной относительной диэлектрической проницаемости уменьшается, в области > ¥т1П возрастает;

- малое изменение параметра k0d приводит к смещению экстремумов диаграммы при его увеличении в сторону меньших и уменьшении в сторону больших углов; величина смещения экстремумов прямо пропорциональна относительному изменению параметра kQd;

- при малом увеличении вещественной части комплексной относительной диэлектрической проницаемости положение экстремумов смещается в область меньших углов, при уменьшении в область больших; изменение величины проводимости слоя сказывается только на амплитуде поля и ее увеличение приводит к сглаживанию диаграммы направленности поля. 3. При вычислении и исследовании электромагнитного поля вертикального электрического диполя, расположенного в слабо проводящем слое с проводимостью, изменяющейся по координате, перпендикулярной границам раздела, получены:

• Интегральное уравнение Фредгольма второго рода для учета в дифференциальном уравнении члена, связанного с производной Шварца;

• Оценивая норму интегрального оператора, неравенство, при выполнении которого уравнение возможно решать методом последовательных приближений;

• Условие на параметры слоя, в случае выполнения которого можно ограничится приближением, не учитывающим в дифференциальном уравнении член, связанный с производной Шварца.

Предложено заменить данную задачу модельной, в которой слой имеет постоянное, эффективной значение проводимости <т <т{£)сЬ, что позволяет использовать более простые формулы, полученные для задачи о слое с постоянной проводимостью.

4. Исследование электромагнитного поля источников различной поляризации и ориентации, помещенных в слабо проводящую среду, состоящую из трех слоев, расположенных между вакуумом и бесконечно проводящей средой, позволило сделать вывод о возможности упрощения этой задачи с помощью «эффективного» слоя. Понятие «эффективного» слоя подразумевает слой толщиной равной суммарной толщине всех трех слоев с постоянной проводимостью, имеющей эффективное значение <У1с1х + сг2 (¿/2 - с1{) + сг3 (¿/3 ~с12) а о

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Москалева, Елена Викторовна, 2000 год

1. Sommerfeld A. Ober die Ausbreitung der Wellen in der drahtlosen Télégraphié. -Ann. Phys., v.28, p.665-736 (1909).

2. Weyl H. Ausbreitung electromagnetischen Wellen über einen ebenen Leiter. -Ann. Phys., v.31, p.481-500 (1919).

3. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. М.: Наука, 1973.

4. Banos A. Dipole Radiation in the Presence of a Conducting half Space. -Pergamon Press, NY, 1966.

5. Козина О.Г., Сухачева Л.Л., Ханахбей И.И. Поле горизонтального и вертикального электрических диполей в проводящем полупространстве. -Проблемы дифракции и распространения волн. JL: Изд. ЛГУ, №13, с. 137155 (1974).

6. Козина О.Г., Сухачева Л.Л. Поле горизонтального и вертикального магнитного диполя в проводящем полупространстве. Проблемы дифракции и распространения волн. - Л.: Изд. ЛГУ, №14, с. 137-143 (1975).

7. Макаров Г.И., Новиков В.В., Рыбачек С.Т. Распространение электромагнитных волн над земной поверхностью. М.: Наука, 1991.

8. Рязин П.А., Бреховских Л.М. О поле радиоволн в полупространстве между двумя проводящими средами. Изв. АН СССР. Сер. физ., т. 10, №3, с.285-309 (1946).

9. Бреховских Л.М. Распространение звука и радиоволн в слоях. Изв. АН СССР. Сер. физ., т.10, №5-6, с.491-505 (1946).

10. Бреховских Л.М. Лысанов Ю.П. Теоретические основы акустики океана. Л.: Гидрометиздат, 1982.

11. Рытое С.М. Акустические свойства мелкослоистой среды. Акуст. журн., т.2, №1, с.71-83 (1956).

12. Тартаковский Б.Д. К теории распространения плоских волн через однородные слои. ДАН СССР, т.71, №3, с.465-468 (1950).

13. Новиков В.В. Распространение радиоволн над слоистой трассой. Проблемы дифракции и распространения волн. - Л.: Изд. ЛГУ, №1, с.116-132 (1962).

14. Иванов И.Д. К вопросу об интегральном представлении поля точечного излучателя в слоисто-неоднородной среде. Акуст.журн. т. 12, №.4, с.443-448 (1966).

15. Лысанов Ю.П. Дифракция плоской волны прошедшей неоднородный слой на периодически неровной поверхности произвольной формы. Акуст. журн., т. 12, №1, с.68-71 (1966).

16. Молотков И.А. Распространение волн в неоднородном полупространстве с показателем преломления, зависящим от двух параметров. ДАН СССР, т. 160, №3, с. 57-559 (1961).

17. Газарян Ю.Л. К вопросу о волноводном распространении звука в неоднородных средах. Акуст. журн., т.2, №2, с.133-136 (1956).18.0лвер Ф. Введение в асимптотические методы и специальные функции. -Пер. с англ. -М.:Мир, 1978.

18. Sommerfeld A., Runge I. Anwendung der Vektorrechnung auf die Grund-Lagen der geometrischen Optik. Ann. Phys., v.4, p.277-298 (1911).

19. Friedlander F.G. Geometrical Optics and Maxwell's Equations. Proc. Cambr. Phill. Soc., v.43, p.284-286 (1946).

20. Рытов C.M. О переходе от волновой оптики к геометрической оптики. -ДАН, т. 18, №4-5, с.263-266 (1938).

21. Владимирский В.В. О вращении плоскости поляризации в искривленном световом луче. ДАН СССР, т.31, №3, с.222-225 (1941).

22. Strutt M.I.О. Strahlung von Antennen unter dem Einfluss der Erdbodeneigenenschaften. Ann. Phys., v.l, p.721-772 (1929).

23. Бреховских Л.M. Пределы применимости некоторых приближенных методов, употребляемых в архитектурной оптике. УФН, т.32, №4, с.464-476 (1947).

24. Брехоеских Л.М. Иванов И.Д. О расширении границ применимости лучевой теории при исследовании распространения волн в слоистых средах. ДАН СССР, т.83, №4, с.545-548 (1952).

25. Кравцов Ю.А., Орлов Ю.И. Геометрическая оптика неоднородных сред. М.: Наука, 1980.

26. Кравцов Ю.А. Уточненные эвристические критерии применимости геометрической оптики. Радиотехника и электроника, т.32, №4, с.883-884 (1987).

27. Кравцов Ю.А. Орлов Ю.И Границы применимости геометрической теории дифракции и смежные вопросы. АК СССР, препринт № 180, Москва, 1981г., физ. инст. им. H. Н. Лебедева.

28. Боровиков В. А. Кинбер Б.Е. Об ошибочности универсальных и достаточных эвристических критериев оценки границ применимости ГО и ГТД. Изв. Вузов. Радиофизика, т.ЗО, №10, с. 1226-1236 (1987).

29. Боровиков В.А. Область формирования поля и Френелевские объемы. -Радиотехника и электроника, т.34, №2, с.273-282 (1989).

30. Кравцов Ю.А., Орлов Ю.И. О границах применимости метода геометрической оптики. Современные проблемы распространения и рассеяния волн. - М.: ИРЭ АН СССР, 1979.

31. Кравцов ЮА. Ответ на критику, содержащуюся в статье В.А.Боровикова, Б.Е.Кинбера "Об ошибочности универсальных и достаточных эвристических критериев оценки границ применимости ГО и ГТД". Изв. вузов Радиофизика, т.ЗО, №7, с.1237-1241 (1987).

32. Кравцов Ю.А. Орлов Ю.И. Условия применимости квазиклассического приближения в трехмерных задачах. ЖЭТФ, т.81, №5, с.1603-1607 (1981).

33. Keller J.В. Diffraction by an aperture. I. J. Appl. Phys., v.28, №4, p.426-444 (1957).

34. Keller J.В., Keller H.B., Seckler B.D. Diffraction by an Aperture. II. J. App. Phys., v.28, №5, p.570-579 (1957).

35. Keller J.В. Geometrical theory of diffraction. J. Opt. Soc. Amer., v.52, p.116-119(1962).

36. Seckler B.D. Keller J.B. Asymptotic Theory of Diffraction in Inhomogeneous Media. J. Acoust. Soc. Amer., v.31, №2, p.206-216 (1939).

37. Seckler B.D. Keller J.B. Geometrical Theory of Diffraction in Inhomogeneous Media. J. Acoust. Soc. Amer., v.31, №2, p.192-205 (1959).

38. Keller J.В., Karal F.С. Surface Wave Excitation and Propagation. J. App. Phys., v.31, №6, p.1039-1046 (1960).

39. Keller J.B. Diffraction by a convex cylinder. IRE Transaction of Antennas and Propagation, v.AP-4, №6, p.312-321 (1956).

40. Боровиков В.А. Кинбер Б.Е. Геометрическая теория дифракции. М.: Связь, 1978.

41. Ваганов Р.Б. Каценеленбаум Б.З. Основы теории дифракции. М.: Наука, 1982.

42. Кинг Р., У.Тай-Цзунъ Рассеяние и дифракция электромагнитных волн". М.: Изд. иностр. лит., 1962.Малюжинец Г.Д. Развитие представлений о явлениях дифракции. - УФН, т.59, №2, с.321-334 (1959).

43. Малюжинец Г.Д. Развитие представлений о явлениях дифракции. УФН, т.59, №2, с.321-334 (1959).

44. Yee H.Y., Felsen L.B., Keller J.В. Ray theory of reflection from the open and of a waveguide. SIAM J. Appl. Math., v. 16, p.268-300 (1968).

45. Yee H.Y., Felsen L.B. Ray optics -A novel approach to scattering by discontinuities in a waveguide. IEEE Trans. Microwave Theory Tech., v.MTT-17, p.73-85 (1969).

46. Keller J.В. A Geometrical Theory of Diffraction. Proc. of Symposia in applied Math., Mc Craw-Hill, NY, №8, p.27-52 (1958).

47. Кравцов Ю.А. Комплексные лучи и комплексные каустики. Изв. вузов Радиофизика, т. 10, №9-10, с.1283-1304 (1967).

48. Keller J.В., Seckler B.D. Geometrical Theory of Diffraction in Inhomogeneous Media. J. Acoust. Soc. Amer., v.31, №2, p.192-205 (1959).

49. Маслов В.П. Асимптотические методы и теория возмущений. М.: Наука, 1988.

50. Маслов В.П. Задача рассеяния в квазиклассическом приближении. ДАН СССР, т.151, №2, с.306-309 (1963).

51. Фок В.А. Дифракция Френеля от выпуклых тел. УФН, т.43, №4, с.587-599 (1951).

52. Хединг.Дж Введение в метод фазовых интегралов. М.: Мир, 1965.

53. Татарский В. И. Флуктуационные явления при распространении волн в турбулентной атмосфере. М.: Изд. АН СССР, 1959.

54. Татарский В.И. Распространение волн в турбулентной атмосфере. М.: Изд. АН СССР, 1967.

55. Чернов Л.А. Распространение волн в среде со случайными неоднородностями. -М.: Изд. АН СССР, 1958.

56. Gans R. Fortpflanzung des Lichts durch ein ingomogenes Medium. Ann. Phys., v.47, p.709-736 (1925).

57. Фреман H., Фреман П. У. ВКБ приближение. - М.: Мир, 1967.

58. Бабич В.М. Булдырев B.C. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. М.: Наука, 1972.

59. Маслов В. П. Федорюк М.В. Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики. -М.: Наука, 1976.

60. Брехоеских Л.М. Годин О. А. Акустика слоистых сред. М.: Наука, 1989.

61. Bellman R., Kalaba R. Invariant imbedding wave propagation and the WKB approximation. Proc. Nat. Acad. Sci. USA, v.44, №4, p.317-319 (1958).

62. Вгеттег H. The propagation of electromagnetic waves through a stratified medium and its WKB approximation for oblique incidence. Physica, v. 15, p.593-608 (1949).

63. Bremmer H. The WKB approximation as the first term of geometric-optical series. -Comm. Pure Appl. Math., v.4, p. 105-115 (1951).

64. Bailey VA. Reflection of waves by an inhomogeneous medium. Phys. Rev., v.96, p.865-868 (1954).

65. Бреховских Л.М. Фокусировка звуковых волн неоднородными средами -Акуст. журн., т.2, №2, с. 124-132 (1956).

66. Frdman N., Froman P.O. Exact formulas and phase-integral formulas, not involving wavefunction, for expectation values pertaining to general potentials. -Ann. Phys., v.163, №2, p.215-226 (1985).

67. Young L.A., Unlenbeck G.E. On the WKB approximate solution of the wave equation. Phys. Rev., v.36, p.l 154-1167 (1930).

68. Miller S.C. A WKB-type Approximation to the Schrodinger Equation. Phys. Rev., v.91,p,174-179 (1953).

69. Блохинцев Д.И. Акустика неоднородной движущейся среды. М.: Наука, 1981.

70. Полянская В.А. О влиянии поля скоростей течений на распространение звука Акуст. журн., т.31, №5, с.628-632 (1985).

71. Langer R.E. The asymptotic solution of ordinary linear differential equations of the second order, with special reference to a turning point. Trans. Amer. Math. Soc., v.67, p.461-490 (1949).

72. Langer R.E. Asymptotic solution of a differential equations in the theory of microwave propagation. Comm. Pure. Appl. Math., v.3, p.427-438 (1951).

73. Булдырев B.C., Славянов С.Ю. Равномерные асимптотические разложения для решений уравнений типа Шредингера с двумя точками перехода. I. -Вестн. Ленингр. ун-та, т.22, №4, с.70-84 (1968).

74. Кравцов Ю.А. Модификация метода ГО для волны, просачивающейся через каустику. Изв. вузов Радиофизика, т.8, №4, с.659-667 (1965).

75. Макаров Г.И. Асимптотические представления решений уравнений Максвелла в гладких ионосферных слоях. Проблемы дифракции и распространения волн. - Л.: Изд. ЛГУ, №1, с.63-95 (1962).

76. Макаров Г. И. Построение решений эталонных уравнений ионосферных слоев. Проблемы дифракции и распространения волн. - Л.: Изд. ЛГУ, №1, с.5-23 (1962).

77. Макаров Г.И., Новиков В.В Применение метода эталонного уравнения к изучению распространения электромагнитных волн в неоднородной анизотропной среде Проблемы дифракции и распространения волн - Л.: Изд. ЛГУ, №6, с.52-66 (1966).

78. Нериновский Б.В. Отражение электромагнитных волн в неоднородной изотропной поглощающей среде. Проблемы дифракции и распространения волн. - Л.: Изд. ЛГУ, №5, с.62-70 (1966).

79. Павлов В.А. Распространение радиоволн в неоднородных средах. -Проблемы дифракции и распространения волн. Л.: Изд. ЛГУ, №8, с. 162175 (1974).

80. Murphy E.L. Ray representation of diffraction effects in the split-beam sound field. J. Acoust. Soc. Amer., v.43, №3, p.610-618 (1968).

81. Epstein P.S. Reflection of waves in an inhomogeneous absorbing medium. Proc. Nat. Acad. Sci. USA, v. 16, №10, p.627-637 (1930).

82. Газарян Ю.Л. Волноводное распространение звука для одного класса слоисто-неоднородных сред. Акуст. журн., т.З, №2, с. 127-141 (1957).

83. ЯО.Гинзбург В.Л. Распространение электромагнитных волн в плазме. М.: Наука, 1967.

84. Фелъсен Л., Маркувиц И. Излучение и рассеяние волн. М.: Мир, 1978.

85. Бреховских Л.М. О поле точечного излучателя в слоисто-неоднородной среде. Изв. АН СССР. сер. физ., т. 13, №5, с.505-547 (1949).

86. Бреховских Л.М. Отражение плоских волн от слоисто-неоднородных сред. -ЖТФ, т.19, №10, с.1126-1135 (1949).

87. Новиков В.В., Соловьев Ю.Н. Влияние рефракционных эффектов на Эйконал собственных волн в плоском плавно-нерегулярном волноводе. Вестн. С.Петербург. Ун-та, сер.4, №2, с.21-29 (1993).

88. Franceschetti Ст. Scattering from plane layered media. IEEE Transaction of Antennas and Propagation, AP-12, №6, p.754-763 (1964).

89. Кравцов Ю.А. Об одной модификации метода геометрической оптики. Изв. вузов. Радиофизика, т.7, №4, с.664-673 (1964).

90. Кравцов Ю.А. Асимптотическое решение уравнений Максвелла вблизи каустики. Изв. вузов. Радиофизика, т.7, №6, с.1049-1056 (1964).

91. Кравцов Ю.А. О двух новых асимптотических методах в теории распространения волн в неоднородных средах. Акуст. журн. т. 14, №1, с.1-24 (1968).

92. Ludvig D. Uniform asymptotic expansions at the caustic. Comm. Pure Appl. Math., v.19, №2, p.215-250 (1966).

93. Кравцов Ю.А. Орлов Ю.И. Каустики, катастрофы и волновые поля. -УФН, т.141, №4, с.591-627, (1983).

94. Орлов Ю.И. Волновые поля в окрестности каустики произвольного порядка. Изв. вузов. Радиофизика, т.14, №2, с.213-223 (1981).

95. Langer R. On the asymptotic solution of ordinary differential equations, with an application to the Bessel function of large order. Trans. Amer. Math. Soc., v.33, №1, p.23-64 (1931).

96. Langer R. The asymptotic solution of ordinary linear differential equations of the second order, with special reference to the stokes phenomenon. Bulletin of the American Mathematical Society., v.40, №2, p.545-582 (1934).

97. Cherry T.M. Uniform asymptotic formulae for function with transition point. -Trans. Amer. Math. Soc., v.68, №1, p.224-257 (1950).

98. Боровиков B.A. Дифракция поля с каустикой на клине в неоднородной среде. Радиотехника и электроника, т.34, №2, с.264-273 (1989).

99. Маслов В.П. Операторные методы. М.: Наука, 1973.

100. Орлов Ю.И. Каустики с аномальным фазовым сдвигом. Изв. вузов. Радиофизика, т. 14, №2, с.224-230 (1981).

101. Lewis R.M. Asymptotic theory of wave-propagation. Arch. Ration. Mech. Anal., v.20, №3, p.191-250 (1965).

102. Орлов Ю.И. Власов С.А. Асимптотичекое решение уравнений Максвелла в области полутени при наличии каустики краевой волны. Радиотехника и электроника, т.23, №1, с. 17-25 (1978).

103. Орлов Ю.И Коротковолновая асимптотика отраженного поля диполя, расположенного над неоднородным линейным слоем. Изв. вузов. Радиофизика, т. 18, №3, с.412-421 (1970).

104. Фок В.А. Проблемы дифракции и распространения электромагнитных волн. -М.: Сов. Радио, 1970.

105. Ahluwalia D.S. Uniform asymptotic theory of diffraction by the edge of a three-dimensional body. SIAM J. Appl. Math., v. 18, №2, p.287-301 (1970).

106. Ludwig D. Uniform asymptotic expansion of the field, scattered by a convex object at high frequencies. Comm. Pure Appl. Math., v.20, №1, p. 107-138 (1967).

107. Кравцов Ю.А. Фейзулин З.И. О решении лучевых уравнений методом возмущений. Радиотехника и электроника, т. 16, №10, с. 1777-1787 (1971).

108. Lewis R.M. The Reflection of Radio Waves from an Ionized Layer having both Vertical and Horizontal Ionization Gradient. The Proceeding the Physical Society, sec. B, 66, part 4, p.308-316 (1953).

109. Баранов B.A., Кравцов Ю.А. Метод возмущения для лучей в неоднородной среде. Радиотехника и электроника, т.23, №8, с.52-62 (1975).

110. Кравцов Ю.А., Яшин Ю.Я. О применении теории возмущений к уравнению Эйконала в случае неоднородных анизотропных сред. Изв. вузов. Радиофизика, т. 12, №8, с. 1176-1180 (1969).

111. Гусев В.Д., Махмутов H.A. Применение метода плавных возмущений к задаче рассеяния волн в плоском линейном слое при нормальном падении. -Радиотехника и электроника, т.23, №12, с.2509-2516 (1977).

112. Зернов H.H. Обобщение метода плавных возмущений на случай поля сосредоточенного излучателя в неоднородной среде Радиотехника и электроника, т.35, №8, с.1590-1595 (1990).

113. Рытое С.М., Кравцов Ю.А., Татарский В.И. Введение в статистическую радиофизику. 4.II. Случайные поля. М.: Наука, 1978.

114. Кессених В.Н. Распространение радиоволн. М.: Гостехтеориздат., 1952.

115. Леонтович М.А., Фок В.А. Исследование по распространению радиоволн. 4.2, с.13-39 (1948).

116. Фок В.А., Вайнштейн A.A. Поперечная диффузия при дифракции коротких волн на выпуклом цилиндре с плавно меняющейся кривизной. -Радиотехника и электроника, №3, с.363-391 (1963).

117. Иванов В.И. Дифракция коротких волн на гладком выпуклом цилиндре. -НДВШ физ.мат.наук, №6, с.192-196 (1958).

118. Буслаев B.C. О коротковолновой асимптотике в задачах дифракции на выпуклых телах. ДАН СССР, т. 145, №4, с.753-745 (1962).

119. Леонтович М.А. Об одном методе решения задач о распространении электромагнитных волн вдоль поверхности земли. Изв. АН СССР. Сер. физ., т.8, №1, с. 16-22 (1944).

120. Леонтович М., Фок В. Решение задачи о распространении электромагнитных волн вдоль поверхности земли по методу параболического уравнения. ЖЭТФ, т. 16, №7, с.557-573 (1946).

121. Леонтович М. Исследование по распространению радиоволн. М.: Изд. АН СССР, 1948.

122. Фок В.А. Дифракция радиоволн вокруг Земной поверхности. М.: Изд. АН СССР, 1946.

123. Фок В.А. Поле плоской волны вблизи поверхности проводящего тела. -Изв. АН СССР. Сер. физ., т. 10, №2, с. 171-186 (1946).

124. Фок В. А. Поле от вертикального и горизонтального диполя, приподнятого над поверхностью Земли. ЖЭТФ, т. 19, №10, с.916-929 (1949).

125. Булдырев B.C. Коротковолновая асимптотика собственных функций уравнения Гельмгольца. ДАН СССР, т. 163, №4, с.853-856 (1965).

126. Борн М., Вольф Э. Основы оптики М.: Наука, 1973.

127. ХейлХ., Мауэ А., Вестпфалъ К. Теория дифракции. М.: Мир, 1964.

128. Вайнштейн Л.А. Теория дифракции и метод факторизации М.: Сов.радио, 1966.

129. Скуридин Г.А. К теории рассеяния упругих волн на криволинейной границе. Изв. АН СССР. Сер. Геофиз., №2, с. 161-183 (1957).

130. Фукс И.М. Отражение и преломление волн произвольной формы на криволинейной границе раздела. Изв. вузов. Радиофизика, т.8, №6, с. 10781088 (1965).

131. PrimakoffH., Keller J.В. Reflection and Transmission of Sound by Thin Curve Shells. J. Acoust. Soc. Amer., v. 19, №5, p.820-832 (1947).

132. Keller J.В., Keller H.B. Determination of Reflected and Transmitted Fields by Geometrical Optics. J. Opt. Soc. Amer., v.40, №1, p.48-52 (1950).

133. Хестаное P.X. Дифракция произвольного поля на полуплоскости. -Радиотехника и электроника, т. 15, №2, с.289-297 (1970).

134. Боровиков В.А., Кинбер Б.Е. Некоторые вопросы асимптотической теории дифракции ТИИЭР, т.62, №11, с.6-29 (1974/

135. ЭрдейиА. Асимптотические разложения. -М.: Физматгиз., 1962.

136. Watson G.N. The limits of applicability of the principle of stationary phase. -Proc. Cambr. Phill. Soc., v. 19, p.49-55 (1918).

137. Erdelyi A. Asymptotic representation of Fourier integral and the method of stationary phase. // J. Soc. Indust. Appl. Math., v.3, p.17-27 (1955).

138. Jones D.S. Fourier transforms and the method of stationary phase. J. Inst. Math. Appl., v.2, p.197-222 (1966).

139. Chako N. Asymptotic expantions of double and multiple integrals occurring in diffraction theory. J. Inst. Math. Appl., v.l, p.372-422 (1965).

140. Федорюк M.B. Метод стационарной фазы в многомерном случае. -ЖВММФ, т.10, №2, с.286-299 (1970).

141. De Kok F. On the method of stationary phase for multiple integrals. SIAM J. Math. Anal., v.2, p.76-104 (1971).

142. Тененбаум M.H. К вопросу о методе стационарной фазы. Радиотехника и электроника, т.5, №12, с.1909-1918 (1960).

143. Федорюк М.В. Метод перевала. М.: Наука, 1977.

144. Каратыгин В. А., Розов В А. Метод стационарной фазы для двойного интеграла с произвольно расположенной стационарной точкой. ЖВМ МФ, т.12, №6, с.1391-1405 (1972).

145. Федорюк М.В. Метод стационарной фазы. Близкие седловые точки в многомерном случае. ЖВМ МФ, т.4, №4, с.671-682 (1964).

146. Анютин Ф.П., Боровиков В А. Равномерные асимптотики интегралов от быстроосциллирующих функций с особенностями вне экспоненциального множителя. препринт ИРЭ АН СССР. - М.,1994. - №42 - 53 с.

147. Ярыгин А.П. Метод стационарной фазы для седловых стационарных точек в задачах дифракции волн в неоднородной среде. Радиотехника и электроника, т. 15, №9, с. 1826-1832 (1970).

148. Бреховских Л.М. Поле преломленных электромагнитных, волн в задаче о точечном излучателе. Изв. АН СССР. Сер. физ., т.12, №3, с.322-334 (1948).

149. Бреховских Л.М. Отражение сферических волн от плоской границы раздела двух сред. ЖТФ, т. 18, №4, с.455-472 (1948).

150. Бреховских Л.М. Отражение и преломление сферических волн. УФН, т.38, №1, с.1-42 (1949).

151. Ott H. Reflexion und Brechnung von Kugelwellen. Ann. Phys., v.41, p.443-467 (1942).

152. Арнольд В.И., Варченко А.H., Гесейн-Заде С.M. Особенности дифференцируемых отображенй.- 4.1: Классификация критических точек каустик и волновых фронтов. М.: Наука, 1983.

153. Арнольд В.И., Варченко А.Н., Гесейн-Заде С.М. Особенности дифференцируемых отображенй.-Ч.2.Монодромия и асимптотики интегралов М.: Наука, 1984.

154. Брекер Т., Ландер Л. Дифференцируемые ростки и катастрофы. Пер.с англ. -М.: Мир, 1977.

155. Гилмор Р. Прикладная теория катастроф. Пер.с англ. - М.: Мир, 1984.

156. Арнольд В.И. Особенности, бифуркации и катастрофы. УФН, т. 141, №4, с.569-590 (1983).

157. Крюковский A.C., Лукин Д.С., Панкин Е.А. Равномерные асимптотики интегралов от быстро осциллирующих функций с вырожденными седловыми точкам. Препринт, ИРЭ АН СССР-М.:- 1984, №41 (413).

158. Крюковский A.C., Лукин Д.С., Палкин Е.А. Специальные функции волновых катастроф. Препринт, ИРЭ АН СССР-М.:- 1984, №43 (415).

159. Крюковский A.C., Лукин Д.С. Построение равномерной геометрической теории дифракции методами краевых и угловых катастроф. Радиотехника и электроника, т.43, №1, с.1044-1060 (1998).

160. Franklin J.,Friedman В. A convergent asymptotic representation for Laplace integrals. Proc. Cambr. Phill. Soc., v.53, №3, p.612-619 (1957).

161. Stickler D.C. Reflected and lateral waves for the Sommerfield model. J. Acoust. Soc. Amer., v.60, №5, p. 1061-1070 (1976).

162. Stickler D.C., Ammicht E. Uniform asymptotic evaluation of the continuous spectrum contribution for the Pekeris model. J. Acoust. Soc. Amer., v.67, №6, p.2018-2024 (1980).

163. Алъперт Я.Л., Гинзбург В.Л., Фейнберг У.Л. Распространение радиоволн. М.Гостехиздат, 1953.

164. Введенский Б.А. Основы распространения радиоволн M.-JL: гостехтеориздат. ОНТИ, 1934.

165. Введенский Б.А. Распространение ультракоротких радиоволн. М.: Наука, 1973.

166. Щукин А.И. Распространение радиоволн. M.-JL: воен.-моризд. НКВМФ СССР, 1940.

167. Иванов В.И. Вычисление поправок к геометрической оптике. Скалярная задача. ЖВММФ, т.8, №5, с.1144-1152 (1968).

168. Иванов В.И. Вычисление поправок к геометрической оптике. Электромагнитная задача. ЖВММФ, т. 10, №2, с.490-498 (1970).

169. Бреховских Л.М. Отражение сферических волн от "слабых" границ раздела. ЖТФ, т.18, №4, с.473-482 (1948).

170. Семенов B.C. Электромагнитное зондирование подстилающей поверхности и верхнего слоя грунта с целью их контроля и диагностики. -Вестн. С.-Петербург. Ун-та, сер.4, №8, с.62-75 (1998).

171. Кириллов В. В. Приближенный расчет отражения волн от неоднородного поглощающего полупространства. — Проблемы дифракции и распространения волн. JL: Изд. ЛГУ, №9, с.129-142 (1972).

172. Lien R.N. Radiation from a horizontal dipole in a semi- infinite conducting dissipative medium. J. Appl. Phys., v. 24, №7, p. 1-4 (1953).

173. Heins A.E. The extination of a perfectly conducting half-space by a dipole field. IRE Transaction of Antennas and Propagation, №4, p.294-296 (1956).

174. Foster R.M. Mutual Impedance of Grounded Wires Lying on the Surface of the Earth. The Bell System Technical Journal, v. 10, p.408-419 (1931).

175. Козина О.Г., Филиппов КФ. Эквивалентные источники в задаче о поле магнитного диполя в двухслойной среде. Проблемы дифракции и распространения волн. - Л.: Изд. ЛГУ, №5, с.173-182 (1966).

176. Ханахбей И.И. Поле магнитного диполя в проводящем полупространстве. Проблемы дифракции и распространения волн. - Л.: Изд. ЛГУ, №6, с. 180-192(1966).

177. Wait J.R. Current-carry Wire loops in a simple inhomogeneous region. J. Appl. Phys., v.23, №4, p.497-498 (1952).

178. Robin L. Etude du champ electromagnetique cree par un doublet magnetique en presence de deux milieux separes par un plan. Annales des Telecommunications, v.16, №3-4, p.96-104 (1961).

179. Wait J.R., Campbell L.L. The field of an electrical dipole in semi-infinite conducting medium. J. of Geophys. Res., v.58, №1, p.21-28 (1953).

180. Wait J.R. The electrical field a horizontal dipole in the presence of a conducting half-space. Canad. J. Phys., v.39, №7, p.1017-1028 (1961).

181. Wait J.R., Campbell L.L. The fields of an oscillating magnetic dipole immersed in a semi-infinite conducting medium. J. of Geophys. Res., v.58, №2, p. 167-178 (1953).

182. Moor R.K., Blair W.E. Dipole Radiation in a Conducting Half Space. J. Research National Bureau of standart, V.65D, №6, p.547-563 (1961).

183. Szulkin P. Propacja fal electromagnetyczych wograniczounym osrodku przewodzacym. Ardiwum electrotechniki., v.8, №1, p.103-121 (1959).

184. Albert W., Biggs A. W. Radiation fields from a Horisontal Electric Dipole in a Semi-Infinite Conducting Medium. IRE Transaction of Antennas and Propagation, v.AP-10, №4, p.358-363 (1962).

185. Wait J.R. Radiation from a small loop immersed in a semi-infinite conducting médium. Canad. J. Phys., v.37, №5, p.672-674 (1959).

186. Фок B.A. Проблемы распространения и рассеяния волн. Вестник АЛ СССР, №3, с.23-34 ( 1946).

187. Фок В.А. Обобщение отражательных формул на случай отражения произвольной волны от поверхности произвольной формы. ЖЭТФ, т.20, №11, с.961-978 (1950).

188. Гелъчинский Б.Я. Отражение и преломление упругой волны произвольной формы в случае криволинейной границы раздела. ДАН СССР, т. 118, №3, с.458-460 (1958).

189. Бреховских Л.М. Дифракция волн на неровной поверхности. 1.Общая теория. 2.Приложения. - ЖЭТФ, т.23, №3, с.275-304 (1952).

190. Бабич В.М. Алексеев А. С. О лучевом методе вычисления интенсивности волновых фронтов. Изв. АН СССР. Сер. геофиз., №1, с.17-31 (1958).

191. Козина О.Г. Макаров Г.И. Электромагнитное поле в окрестности двух геометрических неоднородностей сложной формы. Вестн. С.-Петербург Ун-та. Сер.4, №3, с. 17-24 (1996).

192. Козина О.Г. Макаров Г. И. Поле излучателей, расположенных внутри полуцилиндра. Вестн. С.-Петербург Ун-та. Сер.4, №4, с.14-25 (1997).

193. Козина О.Г. Макаров Г. И. Исследование полей излучателей, расположенных внутри полуцилиндра. Вестн. С.-Петербург Ун-та. Сер.4, №3, с.3-9 (1998).

194. Козина О. Г. Макаров Г. И. Диполи в проводящем полуцилиндре и их эквивалентные источники. Вестн. С.-Петербург Ун-та. Сер.4, №4, с.3-12 (1998/

195. Лысанов ЮЛ. Об одном приближенном решении задачи о рассеянии звуковых волн на неровной поверхности. Акуст. журн., т.2, №.2, с.182-187 (1956).

196. Лысанов Ю.П. О влиянии неоднородности среды на рассеяния волн на неровной поверхности. Акуст. журн., т.13, №.1, с.84-87 (1967).

197. Сухаревский В.И. О прохождении электромагнитных волн через радиопрозрачный слой. Радиотехника и электроника, т. 12, №2, с.208-215 (1967).

198. Замятин В. И. О дифракции электромагнитных волн на радиопрозрачных слоях конечной толщины. Радиотехника и электроника, т. 19, №11, с.2232-2240 (1974).

199. Козлов И. П. Исследование задачи отражения плоской электромагнитной волны от плоскослоистого диэлектрика. Радиотехника и электроника, т.42, №2, с. 142-146 (1997).

200. Левин М.Л. Распространение плоской электромагнитной волны в периодически слоистой среде. ЖТФ, т. 8, №11 с.1399-1404 (1948).

201. Барабаненков Ю.Н., Кравцов Ю.А., Озрин В. Д. Распространение радиоволн в случайных неоднородных средах. Казань, 1988.

202. Вайнштейн Л А. Электромагнитные волны. М.: Радио и связь, 1988.

203. Жевелев В.В., Москалева Е.В. Об асимптотическом вычислении электромагнитного поля вертикального электрического диполя, расположенного в проводящем полупространстве. Вестн. С.-Петербург. Ун-та. Сер.4, №11, с. 101-106 (1998).

204. Жевелев В.В., Москалева Е.В. Исследование электромагнитного поля вертикального электрического диполя, расположенного в проводящем слое. Вестн. С.-Петербург. Ун-та. Сер.4, №4, с.73-79 (1999).

205. Жевелев В.В., Москалева Е.В. Исследование электромагнитного поля вертикального электрического диполя, расположенного в проводящем слое с переменной проводимостью. Вестн. С.-Петербург. Ун-та. Сер.4, №25, с.114-118 (1999).

206. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрическая функция . Функции Лежандра. М.: Наука, 1965.