Интегрируемость уравнений Эйнштейна для пространств с векторами Киллинга тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Макаренко, Андрей Николаевич

  • Макаренко, Андрей Николаевич
  • кандидат физико-математических науккандидат физико-математических наук
  • 2001, Томск
  • Специальность ВАК РФ01.04.02
  • Количество страниц 106
Макаренко, Андрей Николаевич. Интегрируемость уравнений Эйнштейна для пространств с векторами Киллинга: дис. кандидат физико-математических наук: 01.04.02 - Теоретическая физика. Томск. 2001. 106 с.

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Макаренко, Андрей Николаевич

Введение

1 Конформно-штеккелевы метрики пространств Эйнштейна

1.1. Необходимые сведения из теории штеккелевых пространств

1.2. Условия совместности уравнений Эйнштейна.

1.3. Изотропные конформно-штеккелевы метрики.

1.4. Метрики типа (3.0). Временная переменная - неигнорируемая

1.5. Метрики типа (3.0). Временная переменная - игнорируемая

1.6. Метрики типа (2.0). Временная переменная - неигнорируемая

1.7. Метрики типа (2.0). Временная переменная - игнорируемая

2 Однородные космологические модели

2.1. Классификация однородных космологических моделей

2.2. Построение тетрады.

2.3. Полевые уравнения в спинорном формализме

3 Интегрируемость уравнений Эйнштейна-Вейля для однородных космологических моделей 56 3.1. Уравнения Эйнштейна-Вейля для I-VI типов.

3.1.1. 72 = 0 и р2 = 0 (I тип по классификации Бианки)

3.1.2. Т2 = 0 и р2 ф 0 (II тип по классификации Бианки)

3.1.3. р2 ф 0 (Типы III, IV, VI)

3.1.4. р2 = 0 (Типы III, V, VI).

3.1.5. р2 — 0 и а\ = а2 (V тип).

3.1.6. р2 = 0 и ai ф а,2 (III и VI типы по классификации Бианки).

3.2. VII тип по классификации Бианки.

3.3. VIII тип по классификации Бианки.

3.4. IX тип по классификации Бианки.

4 Однородные метрики Эйнштейна-Вейля для типа I по Бианки

4.1. Полевые уравнений.

4.2. Интегрирование полевых уравнений.

4.3. Нахождение тетрады.

Рекомендованный список диссертаций по специальности «Теоретическая физика», 01.04.02 шифр ВАК

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Интегрируемость уравнений Эйнштейна для пространств с векторами Киллинга»

В настоящее время в физике высоких энергий и космологии предложено большое количество модельных теорий, включающие в себя гравитационное поле. В связи с этим возрастает интерес к разработке методов аналитического исследования различных полевых уравнений в искривленном пространстве-времени.

Уравнения гравитационного поля, описывающие геометрию пространства - времени, играют фундаментальную роль в современной теоретической физике. Вообще говоря, их анализ представляет собой чрезвычайно сложную задачу. Однако в ряде случаев, наложив те или иные дополнительные ограничения, удается найти точное решение или хотя бы провести качественное исследование получившихся уравнений. Существует несколько способов наложения ограничений на пространство-время, например, исследование различных алгебраических типов Петрова и Пле-банского, выбор тензора энергии-импульса из физических соображений, задание групп симметрий, действующих на многообразии.

Групповой подход к изучению геометрии пространства является наиболее плодотворным с точки зрения описания гравитационного поля инвариантными свойствами метрики, определяемой полем, не зависящем от системы отнесения. Действительно, если метрика в одной системе координат допускает группу Ли G непрерывных преобразований, сохраняющую метрику, то это будет иметь место и в любой другой системе координат. Действие группы Ли G на пространственно-временном многообразии задается генераторами группы, которые удовлетворяют уравнению

Киплинга и, следовательно, именно пространства с векторами Киллинга представляют с этой точки зрения наибольший интерес.

В диссертации рассматриваются однородные пространства и конформно - штеккелевы метрики. Их объединяет существование в пространстве наборов, состоящих из трех геометрических объектов (для конформно-штеккелевых пространств - конформных векторных и тензорных полей Киллинга, для однородных пространств - векторных полей Киллинга). Для того и другого случая полевые уравнения удается свести к системе конечного (но достаточно большого) числа обыкновенных дифференциальных уравнений. В математической физике имеется большое количество методов исследования подобных систем уравнений. В качестве примера можно привести методы исследование дополнительных симметрий системы уравнений, гамильтонову формулировку, теорию динамических систем и т.д. [1]-[4].

Интерес с математической точки зрения к пространствам, допускающим некоторую симметрию связан с возможностью исследования интегрируемости получающихся систем уравнений, возможностью проинтегрировать методом полного разделения переменных уравнений геодезических.

Проблема интересна и с физической точки зрения, поскольку рассматриваемые пространства играют немаловажную роль в современной теоретической физике.

Так, несомненный интерес для космологии и теории гравитации представляют однородные пространства, лежащие, по существу, в основе современной космологии [5]-[8]. На базе однородных пространств строят модели Большого взрыва, начальных сингулярностей, а также инфляционные модели. Представляет интерес и выяснение различных механизмов изотропизации Вселенной [9]-[14]. Однородные пространства используют также в различных современных теориях гравитации для исследования общих закономерностей в картине развития Вселенной [15]-[19]. На фоне однородных пространств изучается воздействие гравитационного поля на другие поля и вещество. Такие исследования часто проводятся на базе заданного гравитационного поля - обычно точного решения уравнений Эйнштейна [20]-[24].

Все это является причиной того, что однородные пространства в настоящее время вызывают повышенный интерес у исследователей. Вместе с тем, их широкое применение осложнено двумя обстоятельствами. Во-первых, они заданы с достаточно большим произволом, и метрики этих пространств, даже записанные в системах координат, связанных с синхронными системами отсчета, в общем случае имеют довольно сложный вид. Во-вторых, с точки зрения космологии наиболее интересными представителями однородных пространств являются такие, в которых существуют решения уравнений материи, позволяющие построить зависящие только от временной переменной тензоры материи. Поэтому возникает проблема изучения всех типов однородных пространств на предмет нахождения среди них классов пространств, в которых могут быть получены соответствующие решения [24]-[30].

Интерес к штеккелевым и конформно-штеккелевым пространствам обусловлен в первую очередь тем фактом, что только для них существует возможность поставить проблему полного разделения переменных в квантовых и волновых уравнениях движения.

По-существу, разделение переменных является единственным известным в настоящее время конструктивным методом интегрирования данных уравнений. Цель метода состоит в классификации всех привилегированных систем координат и внешних электромагнитных полей, в которых возможно разделение переменных. Под классификацией понимается перечисление всех соответствующих пространственно-временных метрик и электромагнитных потенциалов (неэквивалентных относительно допустимых преобразований координат и градиентных преобразований потенциалов), удовлетворяющих требованию полного разделения переменных в уравнениях движения пробной частицы. В плоском пространстве-времени классификация проведена полностью [31, 32].

При этом с физической точки зрения наибольший интерес представляют пространства, удовлетворяющие системе полевых уравнений какой-либо гравитационной теории. В настоящее время наиболее хорошо изучена проблема классификации вакуумных и электровакуумных штеккеле-вых пространств. Штеккелевыми называются пространства, в которых уравнение Гамильтона-Якоби для незаряженной массивной частицы интегрируется методом полного разделения переменных.

Следует также отметить одну важную особенность, присущую как штеккелевым, так и однородным пространствам. Для них возможен переход к синхронным системам отсчета (которые существуют всегда) в явном виде. В синхронных системах отсчета можно дать ответы на важные физические вопросы, например, связанные с нахождением источников гравитационного поля [33]. Синхронные системы отсчета можно использовать для физической интерпретации точных решений уравнений Эйнштейна [33]-[40].

В данной диссертационной работе рассматриваются проблемы интегрирования уравнений Эйнштейна для случая конформно - штеккелевых метрик в вакууме и однородных пространств с тензором энергии-импульса спинорных полей. Несомненный интерес представляют получающиеся точные решения, а также проведенное качественное исследование возникающих систем уравнений.

Основными задачами диссертации являются:

- изучение особенностей отображения штеккелевых пространств на пространства Эйнштейна;

- исследование условий интегрируемости самосогласованной системы уравнений Эйнштейна-Вейля;

- осуществление точного интегрирования уравнений Эйнштейна-Вейля для I типа по классификации Бианки.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка цитируемой литературы.

Похожие диссертационные работы по специальности «Теоретическая физика», 01.04.02 шифр ВАК

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Макаренко, Андрей Николаевич

Основные результаты диссертационной работы опубликованы в работах [71] -[73], [94], [95], [98], [103].

В заключение мне хотелось бы выразить свою искреннию благодарность моим научным руководителям, В.В. Обухову и К.Е. Осетрину за всесторонную помощь в работе, проведение совместных исследований и сотрудничество, а также В.Г. Багрову за постоянное внимание и интерес к моей работе, плодотворные обсуждения и советы.

Заключение

Перечислим основные результаты, полученные в диссертации:

• Исследованы отображения конформно-штеккелевых метрик на пространства Эйнштейна. Показанно, что если метрика не сводится к типу (1.1) и конформный фактор зависит от игнорируемых переменных, тогда данное пространство является конформно-плоским.

• Полученны в удобной для работы форме тетрады Ньюмена-Пенроуза для всех типов по классификации Бианки.

• Исследованна интегрируемость самосогласованной системы уравнений Эйнштейна-Вейля для случая однородных космологических моделей. Показанно, что данные системы являются интегрируемыми, за исключением некоторых частных случаев VIII и IX типов.

• Найдено точное решение уравнений Эйнштейна-Вейля для I типа по классификации Бианки.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Макаренко, Андрей Николаевич, 2001 год

1. Петров А.З. Новые методы в обшей теории относительности. -М.:Наука. 1966. - 496 с.

2. Богоявленский О.И. Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике. М.: Наука. - 1980. -320 с.

3. Крамер Д., Штефани X., Херльт Э., Мак-Каллум М. Точные решения уравнений Эйнштейна. М.:Энергоиздат. - 1982. - 416 с.

4. Bagrov V.G., Obukhov V.V. New Method of Integration for the Dirac Equation on a Curved Space-Time //J. of Math. Phys. 1992. - Vol. 33. - P. 2279-2289.

5. Friedman A. Uber die Krtimmung des Raumes //Zs Phys. 1922. - Vol. 10. - P. 377-380.

6. Friedman A. Uber die Moglichkeit einer Welt mit konstanter negativer Krummung des Raumes //Zs Phys. 1924. - Vol. 21. - P. 326.

7. Taub A.H. Empty space-times admitting a three parameter group of motions //Ann. Math. 1951. - Vol. 53. - P. 472.

8. Ryan M., Shepley L. Homogeneous Relativistic Cosmologies. -Princeton Univ. Press, Princeton. 1975.

9. Chauvet P., Cervantes-Cota J.L. Isotropization of Bianchi-Type Cosmological Solutions in Brans-Dicke Theory //Phys. Rev. D. 1995. - Vol. 52. - P. 3416-3423.

10. Chiba Т., Mukohyama S., Nakamura T. Anisotropy of the Cosmic Background Radiation implies the Violation of the Strong Energy Condition in Bianchi type I Universe //Phys. Lett. B. 1997 - N. 408.- P. 47-51.

11. Bergamini R., Sedici P., Verrocchio P. Inflation for Bianchi IX model //Phys. Rev. D. 1997. - Vol. 55. - P. 1896-1900.

12. Byland S., Scialom D. Evolution of the Bianchi I, the Bianchi III and the Kantowski-Sachs Universe: Isotropization and Inflation //Phys.Rev. D.- 1998. Vol. 57. - P. 6065-6074.

13. Nojiri S., Obregon O., Odintsov S.D., Osetrin K.E. Can primordial wormholes be induced by GUTs at the early universe? //Phys. Lett. B.- 1999. N. 458. - P. 19-28.

14. Cervantes-Cota J. L., Nahmad M. Isotropization of Bianchi type models and a new FRW solution in Brans-Dicke theory //Gen. Rel. Grav. -2001. Vol. 33. - P. 767-780.

15. Aguirregabiria J.M., Feinstein A., Ibanez J. Exponential-Potential Scalar Field Universes I: The Bianchi I Models //Phys. Rev. D. 1993.- Vol. 48. P. 4662-4668.

16. Cho H. Т., Speliotopoulos A. D. Gravitational Waves in Bianchi Type-I Universes I: The Classical Theory //Phys. Rev. D. 1995. - Vol. 52. -P. 5445-5458.

17. Cheng A.D.Y., D'Eath P.D. Diagonal quantum Bianchi type IX models in N=1 supergravity //Class. Quant. Grav. 1996. - Vol. 13. - P. 31513162.

18. Randall L., Sundrum R. An Alternatine to Compactification Phys.Rev.Lett. 1999. - Vol. 83. - P. 4690-4693.

19. Csaki С., Joshul E., Grosean C. Gravitational Lorentz Violations and Adjustment of the Cosmological Constant in Asymmetrically Warped space-times //Nucl. Phys. B. 2001. - N. 604. - P. 312-342.

20. Barut A.O., Duru I.H. Exact solutions of the Dirac equation in spatially flat Robertson-Walker spase-times //J. Math. Phys. 1987. - Vol. 36. -P. 3705-3711.

21. Kovalyov M., Legare M. The Dirac equation in Robertson-Walker spaces: A class of solutions //J. Math. Phys. 1990. - Vol. 31. - P. 191-198.

22. Villalba V.H., Percoco U. Separation of varibles and exact solution of Dirac and Weyl equations in Robertson-Walker space-times //J. Math. Phys. 1990. Vol. 31. - P. 715-720.

23. Note Guello E.A., Capelas de Oliveira E. Klein-Gordon and Dirac equations in deSitter space-time //Int. J. of Theor. Phys. 1990. -Vol. 38. - P. 585-598.

24. Gavrilov S.P., Gitman D.M., Goncalves A.E. Quantum spinor fields in FRW Universe with a constant electromagnetic background //Int. J. Mod. Phys. A. 1997. - Vol. 12. - P. 4837-4868.

25. Brill D.R. Electromagnetic fields in homogeneous, nonisotropic universe //Phys. Rev. B. 1964. - Vol. 133. - P. 845.

26. Cahen M. On a class of homogeneous spaces in general relativity / / Bull. Acad. Roy. Belgique CI. Sci. 1964. - Vol. 50. - P. 972.

27. Boyer C.B., Kalnins E.G., Miller W. Separable coordinates for four-dimensional Rimannian Spaces // Commun. Math. Phys. 1978. - Vol. 59. - P. 285.

28. Dunn К.A., Tupper B.O.J. A class of Bianchi type VI cosmological models with electromagnetic field // Astrophys. J. 1976. - Vol. 204. -P. 322.

29. Patrik W. A homogeneous Einstein-Dirac pure radiational field //Phys. Lett. A. 1990. - Vol. 147. - P. 435-451.

30. Patrik W. A class of exact solutions of the Enstein-Dirac equation //J. Math. Phys. 1991. - Vol. 32. - P. 231-238.

31. Багров В.Г., Гитман Д.М., Тернов И.М., Халилов В.Р., Шаповалов В.Н. Точные решения релятивиских волновых уравнений. Новосибирск: Наука. - 1982. - 143 с.

32. Bagrov V.G., Gitman D.M. Exact Solutions of Relativistic Wave Equations. Kluwer Academic Publishers. London. - 1990. - 327 p.

33. Kepec X. Принцип соответствия в общей теории относительности //ЖЭТФ. 1964. - Т. 46. - N. 5. - С. 1741-1754.

34. Kepec X. К физической интерпритации решений уравнений Эйнштейна //ЖЭТФ. 1965. - Т. 52. - N. 3. - С. 768-779.

35. Коппель А. Ньютоновские и неньютоновские пределы гравитационных полей типа Kerra-NUY //Известия вузов. Физика. 1975. - N. 9. - С. 29-34.

36. Коппель А. Нерелятивиский анализ релятивиских гравитационных полей. Тарту.ТГУ. - 1977. - 85 с.

37. Коппель А. Нерелятивиские гравитационные поля в общей теории относительности. Тарту:ТГУ. - 1977. - 82 с.

38. Обухов В.В. О физической интерпретации пространств Эйнштейна //Изв. вузов. Физика. 1979. - N. 3. - С. 121-123.

39. Логунов А.А., Мествиришвили Основы релятивийской теории гравитации //ЭЧАЯ. 1986. - Т. 17. - N. 1. - С. 5-159

40. Коппель А. Мультипольные моменты и гармонические системы координат для ассимптотически плоских стационарных аксиально симметричных электоровакуммных 4-пространств //В кн. Гравитация и электромагнетизм. Минск, БГУ. - 1987. - С. 54-61.

41. Stackel P. Uber die integration der Hamilton-Jacobischen differential-gleichung mittels separation der variablen //Habilitatiomsschrift, Hale. 1881.

42. Stackel P. Sur des problemes de dynamique se reduisent a des quadratures //Comptes rendus hebd. S. Acad. Sci. (Paris). 1893. -Vol. 116. - P. 1284-1286.

43. Stackel P. Sur une class de problemes de dynamique //Comptes rendus hebd. S. Acad. Sci. 1893. - Vol. 116. - P. 485-48.

44. Stackel P. Uber die integration der Hamilton-Jacobischen differentialgleichung mittels separation der variablen //Ann. Math. -1897. Vol. 49. - P. 145-146.

45. Stackel P. Uber die bewegung eines Punktes in einer n-facher mannigfaltigkeit //Math. Ann. 1893. - Vol. 42. - P. 537-563.

46. Levi-Chivita T. Integrar. della equar. di Hamilton-Jacobi per separatione di variabilli //Math. Ann. 1908. - Vol. 66. - P. 398-415.

47. Яров-Яровой M.C. Об интегрировании уравнения Гамильтона-Якоби методом разделения переменных //П.М.М. 1963. - т.27. -N. 6. - с. 973-1019.

48. Шаповалов В.Н. Пространства Штеккеля //Сиб. мат. журнал. -1979. т. 20. - с. 1117-1130.

49. Багров В.Г., Мешков А.Г., Шаповалов В.Н., Шаповалов А.В. Разделение переменных в уравнении Клейна-Гордона //Изв. вузов. Физика СССР. 1973. - N. 11. - С. 66-72.

50. Шаповалов В.Н. Симметрия и разделение переменных в уравнении Гамильтона-Якоби. I //Изв. вузов СССР. Физика. 1978. - N. 9. -С. 18-24.

51. Шаповалов В.Н. Симметрия и разделение переменных в уравнении Гамильтона-Якоби. II //Изв. вузов СССР. Физика. 1978. - N. 9. -С. 25-27.

52. Шаповалов В.Н. Симметрия уравнения движения свободной частицы в римановом пространстве //Изв. вузов СССР. Физика. 1976.- N. 9. С. 14-19.

53. Carter В. New family of Einstein spaces //Phys. Lett. A. 1968. - Vol. 26. - N. 9. - P. 399-400.

54. Iwata G. Empty spaces of Stackel //Natur. Sci. Rept. Ochonomisu Univ. 1969. - Vol. 9. - N. 2. - P. 79-93.

55. Обухов В.В. О некоторых классах точных решений Эйнштейна //Изв. вузов СССР. 1977. - N. 2. - С. 73-77.

56. Обухов В.В. Классы точных решений уравнений Эйнштейна //Изв. вузов СССР. 1977. - N. 5. - С. 148-150.

57. Багров В.Г., Обухов В.В. Классы точных решений уравнений Эйнштейна-Максвелла //Изв. вузов СССР. 1982. - N. 4. - С. 13-16.

58. Багров В.Г., Обухов В.В., Шаповалов А.В. Штеккелевы пространства электровакуума с двухпараметрической абелевой группой движения. Постановка задачи и наборы типа (2.1) //Изв. вузов СССР.- 1983. N. 1. - С. 6-10.

59. Багров В.Г., Обухов В.В., Шаповалов А.В. Штеккелевы пространства электровакуума с двухпараметрической абелевой группой движения. Наборы типа (2.0) //Изв. вузов СССР. 1983. - N. 3. - С. 115-120.

60. Багров В.Г., Обухов В.В., Шаповалов А.В. Специальные штеккелевы пространства электровакуума //Гравитация и теория относительности. 1986. - N. 26. - С. 10-29.

61. Brinkman H.W. Riemann Spaces Conformal to Einstein's Spaces //Ann. Math. 1924. - V.91.

62. Багров В.Г., Обухов В.В., Осетрин К.Е. Тетрадная формулировка условий Бринкмана //Труды ФОРА. 1996. - N. 1. - С. 24-28.

63. Фролов В.П. Метод Ньюмена-Пенроуза в общей теории относительности //Труды ИФАН. 1977. - т. 96. - С. 72-180.

64. Алексеев Г.А., Хлебников В.И. Формализм Ньюмена-Пенроуза и его применение в общей теории относительности //ЭЧАЯ. 1978. - т. 9. - N. 5. - С. 790-870.

65. Чандрасекар С. Математическая теория черных дыр. I. М.:Мир.- 1986. 276 с.

66. Чандрасекар С. Математическая теория черных дыр. II. М.:Мир.- 1986. 355 с.

67. Пенроуз Р, Риндлер В. Спиноры и пространство-время. Два-спинорное исчисление и релятивистские поля. М.: Мир. - 1987.- 528 с.

68. Bagrov V.G., Obukhov V.V., Osetrin КДЕ. The problem of exact integration of mathematical physics equations in curved space-times //Gravity, Particles and Space-Time. Singapore: World Scientific. -1996. - P. 1-18.

69. Багров В.Г., Обухов В.В., Осетрин К.Е. Нетривиальные конформно-штеккелевы метрики пространств Эйнштейна //Изв. вузов. Физика. 1997. - N. 10. - С. 74-78.

70. Bagrov V.G., Obukhov V.V., Osetrin К.Е. Classification of Null-Stackel Electrovac Metrics with Cosmological Constant //Gen. Rel. Grav. 1988. - Vol. 20. - N. 11. - P. 1141-1154.

71. Макаренко A.H., Осетрин К.Е. Конформно-штеккелевы метрики пространств Эйнштейна //Изв. вузов. Физика. 1999. - N. 10. - С. 34-43.

72. Макаренко А.Н. Неизотропные штеккелевы метрики в пространствах Эйнштейна// Труды региональной научно-практической конференции "Сибирская школа молодого ученого". Том IV. Томск, 1999. - с. 4.

73. Kasner Е. Geometrical theorems on Einstein s cosmological equations //Amet. Journ. Math. 1921. - Vol. 43.

74. Schwarzshild K. Uber das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie //Sitzungsber. Acad. Wis. 1916. - P. 195.

75. Kottler F. Uber die physikalishen Grundlagen der Einsteischen gravitations theorie //Ann. Phys. 1918. - Vol. 4. - P. 401-462.

76. Nordstrem C. On the energy of gravitational field in Einsthein theory// Proc. K. Acad. Wet. Amsterdam. 1918. - P. 1238.

77. Kerr R.P. Gravitational field of a spinning mass as a example of algebraically special metric //Phys. Rev. Lett. 1963. - Vol. 11. - N. 5. - P. 237-238.

78. Newman E.A., Tamburino L., Unti T. Empty space generalization of the Schwardshild metrics //J. Math. Phys. 1963. - Vol. 4. - N. 7. - P. 915-927.

79. Demianski M., Newman E. A. Combined Kerr-NUT solution of the Einstein field equation //Bull. Acad. Polon Sci. Ser. Sci. math, astronom at phys. 1966. - Vol. 14. - N. 11. - P. 653-670.

80. Takeno H. On geometrical proporties of some plane wave solution in general relativity //Tensor. 1959. - Vol. 9. - N. 2. - P. 79-93.

81. Эйзенхарт JI.П. Непрерывные группы преобразований. М.:И.Л. -1947. - 359 с.

82. Эйзенхарт Л.П. Риманова геометрия. М.:И.Л. - 1953. - 356 с.

83. Bianchi L. Sugli spazii a tre dimensioni che ammettono un gruppo continuo di movimenti //Soc. Ital. Sci. Mem. di Mat. 1897. - Vol. 11. - P. 267.

84. Fubini G. Sugli spacii she ammetono un gruppo continuo di movimenti. //Ann. Math. 1903. Vol. 3. - P. 8.

85. Fubini G. Sugli spacii a quattro dimensioni she ammetono un gruppo continuo di movimenti //Ann. Math. 1904. - Vol. 3. - P. 9.

86. Егоров И.П. К усилению теоремы Фубини о порядке групп движений римановых пространств //ДАН. 1949. -т. 66. - 5.

87. Егоров И.П. Максимальные подвижные римановы пространства постоянной кривизны //ДАН 1954. - т. 103. - 1.

88. Alvarado L., Rubakov Yu.P., Saha В., Shikin G.N. Exact Self-consistent Solutions to the Interacting Spinor and Scalar Field Equations in Bianchi Type-I Space-time //Russ. Phys. J. 1995. - Vol. 38. - P. 700705.

89. Bagrov V.G., Obukhov V.V., Sakhapov A.G. Integration of the Einstein-Dirac equations //Journal of Mathematical Physics. 1996. - V. 37. - P. 5599-5610.

90. Zhelnorovich V.A. Cosmological solutions of the Einstein-Dirac equations //GC. 1996. - Vol. 2. - P. 109-116.

91. Saha В., Shikin G.N. Interacting Spinor and Scalar Fields in Bianchi type-I Universe filled with Perfect Fluid: Exact Self-consistent Solutions //Gen. Rel. Grav. 1997. - v.29. - P. 1099-1113.

92. Saha В., Shikin G.N. Nonlinear Spinor Field in Bianchi type-I Universe filled with Perfect Fluid: Exact Self-consistent Solutions //J. Math. Phys. 1997. - Vol. 38. - P. 5305-5318.

93. Makarenko A.N., Obukhov V.V. Homogeneous solutions of the Einstein-Weyl equation //Second International Conference "Quantum field theory and Gravity" (July 28-August 2). Томск. - 1997. - С. 298-304.

94. Макаренко A.H., Обухов В.В. Космологическое решение уравнений Эйнштейна-Вейля //Известия ВУЗов. Физика. 1998. - 11. -С. 69-78.

95. Saha В. Dirac spinor in Bianchi I universe with time Dependent Gravitational and Cosmologikal Constants //Mod. Phys. Lett. A. -2000. Vol. 16. - P. 1287- 1296.

96. Дубровин, Новикив, Фоменко Современная геометри. М.:Наука. -1986. - 760 с.

97. Макаренко А.Н. Однородные космологические модели //Труды второй сибирской школы молодого ученого. Том II. Математика, Физика, Информационные технологии. Томск. - 2000. - С. 9-13.

98. Coussaert О., Henneaux М. Bianchi cosmological models and Guage Symmetries //Class. Quant. Grav. 1993. - Vol. 10. - P. 1607-1618.

99. Capozziello S., Marmo G., Rubako C., Scudellaro P. Nother symmetries in Bianchi Universe //Int. J. Mod. Phys. D. 1997. - Vol. 6. - 491-503.

100. Maciejewski A., Szydlowski M., On the Integrability of Bianchi Cosmological Models //J. Phys. A. 1998. - Vol. 31. P. 2031-2043.

101. Tsamparlis M., Apostolopoulos P.S. Symmetries of Bianchi I space-times //J. Math. Phys. 2000. - Vol. 41. - P. 7573-7588.

102. Макаренко A.H., Обухов В.В., Осетрин К.Е. Интегрируемость уравнений Эйнштейна-Вейля для пространственно-однородных моделей типа III по Бианки //Известия вузов. Физика. 2002. - N 1. - С. 51-56.

103. Ландау Л., Лившиц Е. Теория поля. М.: Наука. - 1988. - 512 с.

104. Вейнберг С. Гравитация и космология. М.: Мир. - 1975. - 696 с.

Обратите внимание, представленные выше научные тексты размещены для ознакомления и получены посредством распознавания оригинальных текстов диссертаций (OCR). В связи с чем, в них могут содержаться ошибки, связанные с несовершенством алгоритмов распознавания. В PDF файлах диссертаций и авторефератов, которые мы доставляем, подобных ошибок нет.