Индуцированные гомоморфизмы колец Витта квадратичных расширений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Карунатилека, Ананда Дхарампрая Виракун
- Специальность ВАК РФ01.01.06
- Количество страниц 74
Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Карунатилека, Ананда Дхарампрая Виракун
Стр.
ВВЕДЕНИЕ).
Глава I. ЯДРО ИНДУЦИРОВАННОГО ГОМОМОРФИЗМА КОЛЕЦ ВИТТА. КВАДРАТИЧНЫЕ РАСШИРЕНИЯ ПОЛЯ.РАЦИОНАЛЬНЫХ. . . . .ЧИСЕЛ. II
1.1. Предварительные реаультаты. II
1.2. Ядро гомоморфизма.
1.3. Ядро гомоморфизма, когда d-типа I.
1.4. Ядро гомоморфизма, когда d-типа П
Глава 2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ГРУПП ВИТА ЭРМИТОВЫХ ФОРМ НАД
АЛГЕБРОЙ КВАТЕРНИОНОВ СО СТАНДАРТНОЙ.ИНВОг-. . . ЛЮЦИЕЙ НАД ПОЛЕМ РАЦИОНАЛЬНЫХ.ЧИСЕЛ.
2.1. Предварительные реаультаты.
2.2. Вычисление групп. Витта. эрмитовых. форм. над. . телом кватернионов.
2.3. Вычисление групп Вйтта эрмитовых, форм.над. . матричной алгеброй,кватернионов.
2.4. Предложения.
Глава 3. О-НЕКОТОРЫХ ИЗОМОРФИЗМАХ ГРУПП ВИТТА.
3.1. Изоморфизм групп Витта: эрмитовы форма над . кольцом матриц с инволюцией транспонирования
3.2. Инволюция в алгебре кватернионов.
3.3. Изоморфизм группы Витта: эрмитовы формы над матричной алгеброй. кватернионов. нестандартной инволюцией
Глава 4. ОПИСАНИЕ ЯДРА ГОМОМОРФИЗМА ГРУПП ВИТТА
НАД АЛГЕБРОЙ КВАТЕРНИОНОВ, ИНДУЦИРОВАННОГО. . КВАДРАТИЧНЬМ РАСШИРЕНИЕМ ПОЛЯ.
4.1. Случай тела.кватернионов.со,стандартной.,. . инволюцией
4.2. Слунай матричной алгебры кватернионов. а нестандартной инволюцией
4 3. Случай тела кватернионов с матричным
Рекомендованный список диссертаций по специальности «Математическая логика, алгебра и теория чисел», 01.01.06 шифр ВАК
Бивариантные когомологии с симметриями2003 год, кандидат физико-математических наук Солодов, Николай Викторович
Формы алгебр Ли картановского типа1998 год, доктор физико-математических наук Скрябин, Сергей Маркович
«Объемы арифметических локально-симметрических пространств и их применения в теории автоморфных форм»2019 год, кандидат наук Стукен Екатерина Сергеевна
Комбинаторные свойства бинарных отношений на вещественных алгебрах Кэли-Диксона2022 год, кандидат наук Жилина Светлана Александровна
Некоторые вопросы теории сложности билинейных отображений2013 год, кандидат наук Лысиков, Владимир Владимирович
Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Индуцированные гомоморфизмы колец Витта квадратичных расширений»
Диссертация посвящена двум задачам: первая из них относится к теории билинейных симметрических форм над лолем, вторая - к теории эрмитовых форм над кольцом с инволюцией. В обеих задачах определяется ядро индуцированного гомоморфизма колец (соответственно групп) Витта, а именно: а) вычисляется ядро индуцированного гомоморфизма колец Витта квадратичных расширений поля рациональных чисел: г* iл/й - vaci/dT) ,. б) описывается ядро индуцированного гомоморфизма групп Витта над алгеброй кватернионов над квадратичным расширением поля К ,
Кроме того, рассматриваются примыкающие вопросы о вычислении групп Витта эрмитовых форм над алгеброй кватернионов над полем рациональных чисел и изоморфизм групп Витта эрмитовых и билинейных симметрических форм. .
Известно, что ядро i* состоит из четномерных анизотропных форм над й и совпадает с главным идеалом (<i> -<d>)W(R, 12.].
Имеется аддитивный групповой изоморфизм (см. tl] ) W€l & © ^EZ W IFр . который осуществляется посредством , Эр) » где £ - сигнатура (кольцевой гомоморфизм), др - аддитивный гомоморфизм, являющийся композицией отображения локали-. зации WQ.-*' Wt£Lp и аддитивного гомоморфизма класса, вычетов, ассоциированного с р-адическими нормами: W(&p->W[Fp» Этот изоморфизм известен как слабый принцип Хассе-%нковского.
С использованием этих фактов описывается ядро как аддитивная подгруппа в WQc точно указанными образующими. В зависимости от cL , соответстауялцие образующие порождают две группы, обозначаемые ИCLX и Min .
В главе I для каждого из этих случаев приведено отдельное доказательство (теорема 1.3,4, теорема 1,4.4). Заметим, что при подборе образующих дришлось использовать некоторые факты из теории чисел, в том числе теорему Дирихле ( L4] , £5 3 , £6] .Ээа задача решалась испанскими математиками Франциском Мартином и Аюзо [3] , но. описания-ядра i* с помощью образующих и соотношений не получено. Отметим, что I и П части теоремы 3 этой.работы неверны, что следует из результатов главы I (следствие 1.4.7).
С помощью результата работы Элмана и Лэма теорема с ,[123 установившего точность последовательности tf-^iZ (<i>-<a>)WFWK —Vf1 WL *=1 £Kaj=2 для глобального поля, т.е., в частности, для. & , получено уточнение описания ядра индуцированного гомоморфизма мультиквадратив-ного расширения (Следствие 1.4.8):
Мя-Х +22 Min, I=-[d Id-типа l}9 J= (of jd-типан} X J
Из точнооти последовательности iZ 3J, til
О WH ( *) W<£L WQ.(VcT) вытекает, что ядро i в точности совпадает с группой Витта эрмитовых форм WHC*) с инволюцией (а + Ь}/с>Г)а - ЬУсГ, то есть
WHCft/y, *)= Кеъь*С* Мах или Ml*.
Следвтвие 1.4.9).
Во второй главе диссертации вычисляется группа Витта эрмитовых форм (со стандартной инволюцией) над алгеброй кватернионов над полем рациональных чисел. Полученные результаты утверждают, что в зависимости от того, является ли алгебра кватернионов а) телом или б) кольцом матриц, группа Витта оказывается изоморфной (теорема 2.2.5 и теорема 2.3.4):
Ь f Z/2Z> OL>0 ИЛИ Ь>0 9 CL<0 И b <0, или б) WHCIH-Мг(&)9 ot соответственно.
Для поля вещественных чисел изоморфизм WH(1Н = ( а был получен Фрелихом 116] для полей IR , (£Lp изоморфизмы тривиальны, а изоморфизм = А) = полУчен Дукамото [29]. В работах Левиса [30] отмечены трудности вычисления группы WHUH-(^j^), S) для числового поля /С , в частности для (С = & .
Если инволюция S нестандартна, задача представляется сложной, так как пока не существует полной системы инвариантов для косоэрмитовых форм над телом [28], [14], [21].
В работе [26] был доказан принцип Хассе [27] для эрмитовых форм над любым телом кватернионов со стандартной инволюцией.
В условиях приведенного выше утверждения любой эрмитов модуль над алгеброй кватернионов (Следствие 2.1.4) разлагается в ортогональную сумму одномерных ([20], C22J), т.е.
М,6)=1СМ{,В£) , = Ме* Ш , i*/.
Тогда отображение J"*: \J<& -+> WHCIH-i2^), - сопоставляющее каждому симметрическому билинейному модулю N над Ф, эрмитов модуль M=W®IH над IH » являетмя эпиморфизмом (предложение 2.1.6). В случае, когда IH - тело, I - вложение (как аддитивной группы), где
I: whcih,-) — w&, некоммутативный аналог теоремы Джекобсона CI, Арр,2 ] , С17 J ) и следовательно, имеем коммутативную диаграмму (Следствие 2.1.9): whcih, -i—- wa
-<а>)(<1> -<b>)
WGL
Отсюда V/HCIH, ") о: (<1>-<Ь>)(<1> -<o>)Wft.
В случае, когда IH - кольцо матриц над ©., ядро отображения J : W(& —*WH(IH,~) совпадает о идеалом JtyQ.cz WQ. форм четной размерности и поэтому
WHCмг (&),-) *weL/JW& «
Глава 2 завершается вычислением гдуппы Витта эрмитовых форм над кольцом матриц порядка 2 (над полем К характеристики, не равной 2), с симплектической инволюцией [71. Показано, что она изоморфна -^у^^ЕГ (теорема 2.4.1).
В третьей главе .устанавливаются следующие изоморфизмы (теорема 3.1.^- , теорема 3.3*6, гл. 3): .
WH(Mn(tC), t) а , где t - транспонирование и \*/Н(Мг(К), .
Эти изоморфизмы связаны с эквивалентностью в смысле Морита категорий эрмитовых модулей над £ и над МпОс). Отметим, что исследование эквивалентностей в смысле Морита эрмитовых форм проводилось З.И.Боревичем CIO,113 , А.В.Яковлевым
CI5] , ©релихом [16J , ЛешсомИЭЗ , а также применялись АЛОоза-павичусом [13] , [18 J дри рассмотрении действия .унитарных гр.упп. Дополнительно к Морита-эквивалентности необходимо доказать, что расщепляющиеся модули над полем 1С переходят в расщепляющиеся модули над соответстаующим кольцом МП(К),
Второй из .указанных изоморфизмов. существенным образом используется в четвертой главе в теоремах 4.2,1 и 4.3.4.
В четвертой главе 1С - поле характеристики * 2 . Пусть IH алгебра кватернионов над К » L - квадратичное расширение поля К., L = К-/сР, deKy S - инволюция на IH (на IH^^ IH ® L ). Гомоморфизм J: IH IHL алгебр с инволюцией индуцирует гомоморфизм групп Витта над алгеброй кватернионов с инволюцией S • : WHCIH,S)-WH(IHU, S) .
В четвертой главе научается ядро этого гомоморфизма. В ней получены следующие результаты: а) Если инволюция 5 - стандартная, /Н - тело кватернионов, IHL - алгебра кватернионов, то найден общий вид образующих ядра
В частности, при К = ф. если а. < О f b <0 я ol <0 , в остальных случаях ядро равно Еулевое (теорема 4.1.5). (Замечание, Если кольцо матриц над © , то ядро может быть либо О или ^^ (Следствие из 3.3.6); б) Если инволюция 3 - нестандартна, 1Н~ (^^т) и являются кольцами матриц, то ядро изоморфно ядру i рассмотренному в первой главе. Б частности, при группа
ICe^J* изоморфна группе Мах или (террема 4.2.1); в) Если инволюция S - нестандартна, 1И-(b) - тело, кольцо матриц (здесь приходится налагать дополнительные ограничения: L - KCj>") , а) , то последовательность WtС модулей точна (теорема 4.4.4 ).
0 — WHC IH,-)— WH СU WHCIH, Л) — Л).
Заметим, что в этих условиях *|L = jL . В связи с данной последовательностью отметим, что в 1973 году Милнор обобщая результаты Д&екобсона [17] , получил точную последовательность
О —WH(P9 S)—** Wq, (Fo) — Wc\,(F), где F - любое поле, 5 - нетривиальная инволюция на г Для некоммутативного случая, когда |Н - тело, им был получен аналог теоремы Джекобсона [I , стр. 119], а именно, точная последовательность
О-*- U/HCIH,S) Wcf,(IHc).
В 1979г. [8J , £.9 J Левис .удлинил эти точные последовательности: ^ —. т Р*
WH( L, WK-+ WL^ WK , где отображения ir* индуцированы отображениями . f V е # а для некоммутативного случая, когда Щ - тело, им была получена точная последовательность: о -*whcih, -) & уна, "J -+wh(ih, л) WL где отображение f^* индуцировано отображенишяи : /Н L , + А
В частности, при K-Q имеем (Следствие 4.3.5): а-типа I и Ь<0
Ke/vj*- есж типа л >0 или Ь > О
Kvts^^WbYx/g? если а-типа П, а<0 и Ь<0
1£ел>J- /z'Z есж <Х~ ТИПЭ иж Ь>0.
Основные ре&ультаты докладывались на алгебраических семинарах и сданы в печать в виде даух статей:
О ядре индуцированного гомоморфизма колец Витта квадратичных расширений поля рациональных чисел";
О группах Витта эрмитовых форм над алгеброй кватернионов над полем рациональных чисел".
Автор глубоко благодарен доценту А.В.Михалёау за руководство работой, внимание и поддержку.
Похожие диссертационные работы по специальности «Математическая логика, алгебра и теория чисел», 01.01.06 шифр ВАК
Младшая K-теория нечётных унитарных групп2023 год, кандидат наук Воронецкий Егор Юрьевич
Когомологические характеристики вещественных алгебраических многообразий2003 год, кандидат физико-математических наук Калинин, Игорь Олегович
Модули над кольцом многочленов, связанные с представлениями конечномерных алгебр2004 год, кандидат физико-математических наук Попов, Олег Николаевич
Градуированные кольца и модули2012 год, доктор физико-математических наук Балаба, Ирина Николаевна
Изотропность маломерных форм над полями функций квадрик2000 год, доктор физико-математических наук Ижболдин, Олег Томович
Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Карунатилека, Ананда Дхарампрая Виракун, 1984 год
1. Milnor J., Husomoller D. Symmetric bilinear forms. - Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg, New-York, 1973.
2. Lam T.Y. The algebraic theory of quadratic forms. Benjamin, New York, 1973.
3. Francisca ГЛ., Martin В., and Ayuso T. El Nucleo del Homomor-phism Rev.Math.Hisp.Amer., v.38 (1978), No.2-3, p.94-99.
4. Виноградов И.М. Основы теории чисел. М.: Наука, 1981.
5. Серр Ж.П. Курс арифметики. М.: Мир, 1972.
6. Боревич В.И., Шафаревич И.Р. Теория чисел. М.: Наука, 1972.
7. Beidar K.I., Mikhalev A.Y., Salavova К. Generalized Identities and Semiprime Rings with Involution. Mat. Z., v.178, No. 1, 1981 , p.37-61.
8. Lewis D.W. Quaternionic skew hermitian forms over a number field. J. Algebra, 74, 1982, p.232-240.
9. Lewis D.W. A note on hermitian quadratic forms. Bull. Lond. Math. Soc., 11, 1979, p.265-267.
10. Боревич В.И. Симллектические пространства с р группами операторов над полем характеристика р , мат. заметки, 6, вып.2, 1969, с.181-186.
11. Боревич В.И. О симплектических пространствах с группами операторов, мат. зап. Уральского ун-та, т.7, вып.З, 1970, с.36-50.
12. Elman R. Quadratic forms under multiquadratic extensions. -Proceeding A 83(2), 1980, p.131-145.
13. Юозапавичюс А.Э. Эрмитовы формы над кольцами с инволюцией. Диссертация, 1980.
14. Lewis D.W. Hermitian forms over division algebra. Linear Algebra and Its Applications, 43, 1982, p.245-272.
15. Яковлев А.В. Симллектические пространства с операторами надкоммутативными кольцами. Вестник ЛГУ, № 19, 1970, с.59-64.
16. Frohlich and McEveit A.M. Forms over rings with involution.- J. Algebra, 12, 19б9, p.79-104.
17. Jacobson N. A note on hermitian forms. Bull.Amer.Math.Soc., 46, 1940, p.264-268.
18. Иозапавичюс. Строение инвариантных подмодулей Л-эрмитова модуля относительно действия на нем унитарной группы, 07 фев. 1977. Депонир. в Лит. НИИНТИ, В 120-77.
19. Lewis D.W. Forms over real algebras and the multisignature of a manifold. Adv. in Math. 23 (1977), p.272-284.
20. McEveit A.M. Forms over semisimple algebras with involution.- J. Algebra, 12, 1969, p.105-113.
21. Bartels H.J. Invarianten Hermitescher Formen in Korpen der characteristik 2. J. Reine Angew. Math.,183 (1975),p.148-167.
22. Pollak B. The equation (tat=b) in a quaternion algebra. -Duke Math. J. 27, 1960, p.261-271.
23. Elman R. and Lam T.Y. Quadratic forms under algebraic extensions. Math. Ann. 219, 1976, p.21-42.
24. Вейль А. Основы теории чисел. M.: Мир, 1972.
25. Albert A. Structure of Algebras, AMS Colloquium, 1961.
26. Ramanathan K.G. Quadratic forms over involutorial division algebras. J- Indian Math. Soc. 20, 1956, p.227-257.
27. O'Meara O.T. Introduction to quadratic forms. Springer-Ver-lag, 1963.
28. Lewis D.W. Some canonical pairings of Witt Group of forms.- J. Algebra, 81, 1983, p.508-520.
29. Tsukamoto T. On the local theory of quaternionic anti-hermi-tian forms. J. Math. Soc. Japan 13 (1961), p.387-400.
30. Lewis D.W. A Product of Hermitian Forms over Quaternion Division Algebras. J. London Math. Soc. (2),22, 1980, p.219-220.
Обратите внимание, представленные выше научные тексты размещены для ознакомления и получены посредством распознавания оригинальных текстов диссертаций (OCR). В связи с чем, в них могут содержаться ошибки, связанные с несовершенством алгоритмов распознавания. В PDF файлах диссертаций и авторефератов, которые мы доставляем, подобных ошибок нет.