Сетевые игры и распределение ресурсов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.09, кандидат физико-математических наук Чуйко, Юлия Васильевна

• Чуйко, Юлия Васильевна
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Чуйко, Юлия Васильевна

Введение

1 Определение оптимального момента времени обращения к системе обслуживания

1.1 Постановка задачи.

1.2 Модель для системы с двумя игроками.

1.3 Равновесное по Нэшу решение задачи с двумя игроками

1.3.1 Решение для экспоненциальной функции "комфортности"

1.3.2 Решение для параболической функции "комфортности"

1.4 Модель для системы с числом игроков >3.

1.4.1 Вид функции "комфортности" в случае равномерных стратегий игроков.

1.4.2 Вид функции "комфортности" в случае экспоненциальных стратегий игроков.

1.5 Результаты.

2 Оптимальная маршрутизация трафика в сети передачи данных

2.1 Задача оптимальной маршрутизации в вероятностной постановке

2.1.1 Равновесие в чистых стратегиях.

2.1.2 Полностью смешанное равновесие в задаче с различными пользователями и одинаковыми каналами.

2.1.3 Полностью смешанное равновесие в задаче с одинаковыми пользователями и различными каналами.

2.1.4 Полностью смешанное равновесие в общем случае

2.2 Задача оптимальной маршрутизации с разделяемым трафиком

2.2.1 Равновесие по Нэшу.

2.2.2 Модель для системы с функциями задержки трафика на канале вида ^.

2.2.3 Оптимальность равновесия по Нэшу для системы т параллельных каналов с функциями задержки трафика на канале вида ^.

2.3 Результаты.

3 Справедливое разделение пропускной способности каналов

3.1 Критерий справедливости в задачах разделения пропускной способности

3.2 Маршрутизация и разделение пропускной способности каналов в открытой сети

3.2.1 Постановка задачи.

3.2.2 Математическая модель.

3.2.3 Сокращение размерности задачи.

3.2.4 Схема численного решения задачи.

3.2.5 Особенности реализации алгоритма решения.

3.2.6 Численные эксперименты.

3.3 Разделение пропускной способности каналов в линейной сети . . 81 3.3.1 Постановка задачи.

3.3.2 Случай параллельной передачи данных.

3.3.3 Случай последовательной передачи данных.

3.3.4 Схема приближенного решения задач.

3.3.5 Численные эксперименты.

3.4 Результаты.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Сетевые игры и распределение ресурсов»

Актуальность темы. В настоящее время в связи с повсеместным внедрением, ростом и объединением вычислительных сетей стали актуальными задачи повышения их производительности. С ростом числа пользователей и увеличением объема обрабатываемой и передаваемой в сетях информации все чаще возникают проблемы, обусловленные высоким уровнем загруженности узлов и каналов связи. Более того, если на первых этапах своего развития вычислительные сети предназначались преимущественно для обеспечения совместного доступа пользователей к ресурсам сети (файлам, принтерам и т.п.), где отсутствовали жесткие требования на ограничение задержки передачи данных, то сейчас по сети передается также и мультимедийная информация в виде потоков, требующих синхронизации (видеоизображение, аудиопоток), что делает неприемлемым возникновение задержек, приводящих к искажению получаемой информации. Один из примеров - срыв Интернет-трансляции солнечного затмения 29 марта 2006 г., подготавливаемой коллективом САО РАН [1]. За время трансляции было зарегистрировано 1 200 ООО подключений (до 3000 в секунду, при норме в 250 подключений в секунду). Это привело к сбоям в работе сервера, десинхронизации и большим задержкам в передаче кадров. [2]

Один из путей решения таких проблем - наращивание мощности используемого оборудования, использование новых каналов связи с более высокой пропускной способностью, своевременное обновление оборудования с развитием новых более эффективных технологий. Но такая стратегия развития, связанная с постоянным наращиванием ресурсов, требует соответствующих финансовых затрат и не всегда приносит ожидаемые результаты. [3] Поэтому важно также обеспечение более высокой производительности за счет эффективного использования вычислительных сетей путем решения задач оптимального распределения ресурсов сетей между пользователями.

В области прикладной теории вероятностей новый импульс получила теория систем массового обслуживания, в котором исторически исследования велись в контексте управления загрузкой телефонных линий связи [4]. С развитием информационных технологий активно разрабатываются такие направления, как теория очередей (queuing theory) и теория транспортной загрузки (traffic theory) в применении к анализу работы вычислительных сетей.

При решении задач оптимизации работы вычислительных сетей возникает ряд проблем, как практических, так и при построении математических моделей и разработке методик решения. Эти проблемы связаны с отсутствием возможности централизованного управления компонентами вычислительных сетей. Протоколы передачи данных в разных узлах сети не могут взамодей-ствовать друг с другом для поддержания определенного уровня общего потока. Более того, на практике они ведут себя "эгоистично" по отношению к свободным ресурсам каналов связи. [3] Пользователи вычислительных сетей также действуют в своих собственных интересах самостоятельно и несогласованно. Поэтому в задачах распределения ресурсов сети применение методов глобальной оптимизации часто оказывается неприемлемым, так как обычно нет возможности обеспечить выполнение получаемых оптимальных планов использования ресурсов сетей (расписаний обращений к серверам, норм занимаемой пропускной способности каналов передачи данных и т.п.).

В последнее время в исследованиях, связанных с оптимизацией работы вычислительных сетей, стали применяться методы некооперативной теории игр п лиц [5, б, 7, 8, 9]. Это направление получило название "сетевые игры" (Networking Games, Noncooperative Networks) [10, 11, 12, 13, 14]. При этом каждый пользователь сети или узел, входящий в сеть, трактуется как некоторый игрок, а задача распределения ресурсов сети рассматривается как игра, в которой игроки, действуя оптимально, могут достигать равновесия -ситуации, в которой никому из игроков не выгодно отклоняться от своей стратегии.

Один из классов задач данного направления связан с управлением загруженностью серверов - узлов сети, обрабатывающих запросы клиентов и отвечающих на них. Здесь сервер рассматривается как система массового обслуживания, обрабатывающая поток пользовательских заявок. В зависимости от назначения и условий работы сервера-прототипа в рассматриваемой модели система может обрабатывать одновременно одну или несколько заявок, может иметь одну или несколько очередей, или же в случае занятости системы заявка получает отказ в обслуживании. В работах [15,16] исследуются модели, в которых дисциплина поступления заявок в систему определяется стратегиями игроков, стремящихся минимизировать время ожидания своих заявок в очереди на обслуживание. В моделях [17, 18, 19, 20] дисциплина поступления заявок задается сверху, а в качестве сратегии рассматривается схема выбора одной из очередей. В работах [21, 22] рассматриваются модели, в которых пользователь, зная длину очереди на обслуживание на мощном сервере общего доступа, решает, отправлять ли свою заявку в очередь или выполнить ее на своей рабочей станции, стремясь минимизировать временные затраты.

Другой класс задач данного направления составляют задачи маршрутизации трафика, где пользователи, действуя в собственных интересах, самостоятельно выбирают свои маршруты, стремясь минимизировать задержку своего пересылаемого трафика. Здесь рассматриваются две базовые модели: модель Вардропа (Wardrop model) с произвольно разделяемым трафиком [23, 24, 25] и КР-модель (Koutsoupias, Papadimitriou) [23, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33] с неделимым трафиком. В первой модели пользователи определяют количество трафика, посылаемого по каждому из маршрутов, а во второй - вероятности, с которыми может быть выбран каждый из маршрутов для отправки всего своего трафика. В работах, посвященных решению таких задач при задаваемом виде функций задержки трафика (например, линейных [24, 26, 33], квадратичных [32], полиномиальных [26, 29], произвольных выпуклых [34]), исследуется основной вопрос - насколько отказ от централизованного управления ухудшает систему, то есть насколько равновесные затраты всей системы в целом больше затрат в ситуации глобального оптимума.

К другому подклассу можно отнести задачи оптимальной маршрутизации трафика в сети. В отдельный подкласс таких задач можно выделить задачи определения схемы статической маршрутизации с справедливым разделением номинальной пропускной способности каналов сети между соединениями [35, 36, 37, 38]. В работе [39] схема статической маршрутизации в сети считается известной, и строится протокол контроля перегрузок, управляющий размером окна (TCPWindowSize) - количества пакетов, отправляемых до получения подтверждения о доставке при передаче по протоколу TCP [3, 40]. В перечисленных работах данного подкласса в качестве критерия оптимальности используется обобщенный критерий справедливости Валран-да (Walrand) [35], дающий, в зависимости от выбора задаваемого значения параметра справедливости, решение, близкое к глобально оптимальному, пропорционально или гармонически справедливому решению или к равновесию по Нэшу.

Во многих моделях, связанных с оптимизацией работы вычислительной сети, отдельного изучения требует вопрос возможного ухудшения качества работы сети при физическом наращивании мощности отдельных ее компонент. Этот вопрос в литературе получил название парадокса Браесса [41]. В частности, в задачах маршрутизации при добавлении нового канала могут увеличиться пользовательские затраты при отправке трафика [14,42,43]. Ряд 1 работ [14, 44] направлен на нахождение характеристик добавляемого канала, таких чтобы гарантированно избежать возникновения парадокса Браесса. В работах [45, 46, 47] исследуется вопрос проявления и обнаружения данного парадокса в равновесных ситуациях в рамках модели Вардропа.

Цель диссертационной работы заключается в построении и исследовании математических моделей задач повышения производительности вычислительных сетей с помощью методов некооперативной теории игр. В основе исследуемых моделей лежит эффективное распределение ресурсов сетей между пользователями в условиях, когда пользователи действуют самостоятельно в собственных интересах по отношению к используемым ресурсам рабочего времени обслуживающих узлов сети и пропускной способности каналов связи. В работе исследуются следующие основные задачи:

1. задача выбора оптимального момента обращения игроков к системе массового обслуживания 7/М/1/0 с учетом заданной функции "комфортности";

2. задача оптимальной маршрутизации трафика в сети в вероятностной постановке с неделимым трафиком (КР-модель) и в постановке на основе модели Вардропа с разделяемым трафиком.

3. задача справедливого разделения пропускной способности каналов сети с применением обобщенного критерия справедливости Валранда;

Научная новизна работы заключается в применении методов некооперативной теории игр п лиц к решению задач оптимального распределения ресурсов сетей для повышения их производительности.

В постановке задачи выбора оптимального момента обращения игроков к системе массового обслуживания 7/М/1/0 введено понятие функции "комфортности", для данной модели получен аналитический вид равновесного решения для для случая двух игроков. Для случая п + 1 > 3 игроков построен общий вид функции выигрыша и решены задачи нахождения вида необходимой функции "комфортности" для того, чтобы равновесные стратегии игроков имели заданный вид: равномерное и экспоненциальное распределение. Для этих задач проведен анализ поведения системы при бесконечно большом количестве игроков.

В КР-модели задачи оптимальной маршрутизации трафика в сети для случая одинаковых каналов найдены линейные и квадратичные затраты системы в полностью смешанном равновесии. В этой же модели для случаев различных каналов найдены линейные и квадратичные затраты системы в полностью смешанном равновесии, а также условия ухудшения такого равновесия при добавлении в систему нового канала. Для модели Вардропа доказана в общем виде связь равновесия по Нэшу с равновесием по Вардропу. Для случая с заданным видом функций задержки трафика (х) = с доказана равносильность определений равновесия по Нэшу и по Вардропу. Для частного случая с параллельными каналами доказана глобальная оптимальность равновесных по Нэшу ситуаций и для случая общедоступных каналов найдено равновесие.

Для задач справедливого разделения пропускной способности каналов сети предложены модели с применением обобщенного критерия справедливости Валранда. Разработано программное обеспечение для численного решения таких задач при задаваемых значениях параметра справедливости.

Практическую ценность в работе представляют предлагаемые математические методы анализа и повышения производительности используемых на практике вычислительных сетей путем эффективного распределения между пользователями ресурсов рабочего времени обслуживающих узлов сети и пропускной способности каналов связи.

Положения, выносимые на защиту. На защиту выносятся следующие положения.

1. Найдены равновесия в задачах выбора оптимального момента обращения игроков к системе массового обслуживания ?/М/I/O с учетом заданной функции "комфортности".

2. Найдены условия, при которых введение в параллельную сеть новых каналов связи ухудшает характеристики сети в полностью смешанном равновесии по Нэшу. Получены условия, при которых равновесие по Вардропу совпадает с равновесием по Нэшу. Для модели Вардропа с параллельными каналами доказана глобальная оптимальность функции затрат системы в равновесии по Нэшу.

3. Построена и исследована модель справедливого разделения ресурсов пропускной способности в сетях передачи данных. Разработан комплекс программ для нахождения и визуализации оптимальных решений.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях:

1. VI Международная петрозаводская конференция "Вероятностные методы в дискретной математике", Петрозаводск, 10-16 июня 2004 г., ИПМИ КарНЦ РАН.

2. Международный семинар "Optimal Stopping and Stochastic Control" (Петрозаводск, 22-26 августа 2005 г., ИПМИ КарНЦ РАН);

3. Российско-финская летняя школа "Dynamic Games and Multicriteria Optimiza 2-7 сентября 2006, Петрозаводск.

4. Всероссийская научная конференция "Научный сервис в сети Интернет: технологии параллельного программирования" (18-23 сентября 2006 г., г. Новороссийск).

По материалам диссертации опубликовано 9 работ, из них 4 статьи [48, 49, 50, 51] и тезисы 5 докладов [52, 53, 54, 55, 56].

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Во введении отражена

Заключение диссертации по теме «Дискретная математика и математическая кибернетика», Чуйко, Юлия Васильевна

Заключение

В работе представлены результаты исследования моделей распределения ресурсов вычислительных сетей между пользователями с применением методов некооперативной теории игр п лиц в условиях, когда пользователи ведут себя "эгоистично" по отношению к используемым ресурсам рабочего времени обслуживающих узлов сети и пропускной способности каналов связи.

Рассмотрена задача выбора оптимального момента обращения игроков к системе массового обслуживания 7/М/1/0 с учетом заданной функции "комфортности". Для случая двух игроков найден аналитический вид равновесного решения и условия его допустимости. Для частных случаев задачи с экспоненциальной и параболической функциями "комфортности" проведен анализ существования допустимого равновесного решения. Для случая п + 1 > 3 игроков построен общий вид функции выигрыша и решены задачи нахождения вида необходимой функции "комфортности" для того, чтобы равновесные стратегии игроков имели заданный вид: равномерное и экспоненциальное распределение. Для этих задач проведен анализ поведения системы при бесконечно большом количестве игроков.

Рассмотрена задача оптимальной маршрутизации трафика в сети в двух вариантах постановки: вероятностная модель задачи маршрутизации с неделимым трафиком, основанная на КР-модели, и модель с разделяемым трафиком, основанная на модели Вардропа. В КР-модели для случая одинаковых каналов найдены линейные и квадратичные затраты системы в полностью смешанном равновесии. В этой же модели для случаев различных каналов найдены линейные и квадратичные затраты системы в полностью смешанном равновесии, а также условия ухудшения такого равновесия при добавлении в систему нового канала. Для модели Вардропа доказана в общем виде связь равновесия по Нэшу с равновесием по Вардропу. Данное свойство позволяет получить явный вид системы уравнений и неравенств для нахождения ситуаций равновесия по Нэшу. Для случая с заданным видом функций задержки трафика fiR^x) = YleeRi сс-1%) Д°казапа равносильность определений равновесия по Нэшу и по Вардропу. Для частного случая с параллельными каналами доказана глобальная оптимальность равновесных по Нэшу ситуаций и для случая общедоступных каналов найдено равновесие.

Построена и исследована модель задачи справедливого разделения пропускной способности каналов сети в двух вариантах постановки. Для задачи построения справедливой схемы распределения в сети потоков трафика от пользовательских узлов к узлам доступа к внешнему сетевому пространству построена математическая модель и разработан алгоритм ее численного решения методом допустимых направлений. Разработано программное обеспечение для нахождения численного решения задач данного типа и визуализации получаемых решений. С помощью данного программного обеспечения проведены численные эксперименты по решению задач маршрутизации и разделения пропускной способности каналов для реальных примеров сетей. Построена и исследована математическая модель задачи разделения пропускной способности каналов линейной сети, учитывающая получаемую пользователями прибыль и затраты в результате использования сети для передачи данных. Рассмотрены частные случаи сети с параллельной и последовательной схемами передачи данных. Для этих случаев аналитически построены системы уравнений, решение которых дает решение поставленной задачи, и разработан алгоритм их численного решения. Проведены вычислительные эксперименты, результаты которых показывают, как равновесное решение задачи зависит от значения параметра справедливости.

Полученные результаты носят как теоретический, так и прикладной характер, представляя методы проведения анализа и повышения производительности используемых на практике вычислительных сетей путем эффективного распределения ресурсов сетей между пользователями.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Чуйко, Юлия Васильевна, 2006 год

1. Кульгин М. Практика построения компьютерных сетей. Для профессионалов. СПб.: Питер, 2001, - 320 с.

2. Cooper R. В. Introduction to Queuing Theory, 1981, 348 p.

3. Дрешер M. Стратегические игры. М.: Издательство "Советское радио", 1964, - 352 с.

4. Мак-Кинси Дж. Введение в теорию игр. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1960, - 420 с.

5. Муллен Э. Теория игр с примерами из математической экономики. Пер. с франц. М.: Мир, 1985, - 200 с.

6. Оуэн Г. Теория игр. М.: Мир, 1971, - 230 с.

7. Теория игр: учебное пособие для университетов / Петросян JI. А., Зенкевич Н. А., Семина Е. А. М.: Высшая школа, 1998, - 300 с.

8. Altman Е., Boulogne Т., El Azouzi R., Jimenez Т. and Wynter L. A survey on networking games // Computers and Operations Research, 2004.

9. Altman E., Wynter L. Equilibrium, games, and pricing in transportation and telecommunications networks // Crossovers between Transportation Planning and Telecommunications, 2004, 4, N 1, pp. 7-21.

10. El Azouzi R., Altman E. Constrained Traffic Equilibrium in Routing Networks // IEEE Trans, on Automatic Control, 2003, 48, N 9, pp. 1656-1660.

11. El Azouzi R., Altman E., Wynter L. Telecommunications Network Equilibrium with Price and Quality-of-Service Characteristics // Proc. of ITC, Berlin, Sept 2003, http://www-sop.inria.fr/mistral/personnel/Rachid. Elazouzi/R-ElazouziITC.ps.

12. Korilis Y. A., Lazar A. A., Orda A. Architecting noncooperative networks // J. on Selected Areas in Communications, 1995, 13, N 7, pp. 1241-1251.

13. Glazer A., Hassin R. ?/M/l: On the equilibrium distribution of customer arrivals // European Journal of Operational Research. 1983, 13, N 2, pp. 146-150.

14. Glazer A., Hassin R. Equilibrium arrivals in queues with bulk service at scheduled times // Transportation Science, 1987, 21, N 4, pp. 273-278.

15. Altman E. Applications of dynamic games in queues // Advances in Dynamic Games, 2005, 7, pp. 309-342.

16. Altman E. A Markov game approach for optimal routing into a queueing network 11INRIA report N 2178, 1994.

17. Altman E., Jimenez Т., Nunez Queija R. and Yechiali U. Optimal routing among -/М/1 queues with partial information j j Stochastic Models, 2004, 20, N 2, pp. 149-172.

18. Altman E., Koole G. Stochastic scheduling games with Markov decision arrival processes // Journal Computers and Mathematics with Appl., 1993, 26, N 6, pp. 141-148.

19. Altman E., Hassin R. Non-Threshold Equilibrium for Customers Joining an M/G/l Queue Non-Threshold Equilibrium for Customers Joining an M/G/l Queue, 2002, http://www-sop.inria.fr/maestro/personnel/Eitan. Altman/PAPERS/hassin.ps.

20. Altman E., Shimkin N. Individually Optimal Dynamic Routing in a Processor Sharing System // Operations Research, 1998, pp. 776-784.

21. Feldmann R., Gairing M., Lucking Т., Monien В., Rode M., Selfish routing in non-cooperative networks: a survey. In Proc. of 28th Int. Symp. on Mathematical Foundation of Computer Science, LNCS 2747, 2003, pp. 21-45.

22. Wardrop J. G. Some theoretical Aspects of Road Traffic Research // Proceedings of the Institute of Civil Engineers, 1952, II, 1, pp. 325-278.

23. Awerbuch В., Azar Y., Epstein A. The Price of Routing Unsplittable Flow // Proceedings of the 37th Annual ACM Symposium on Thery of Computing (STOC'05), 2005, pp. 57-66.

24. Awerbuch В., Azar Y., Richter Y, Tsur D. Tradeoffs in worst-case equilibria //In Proceedings of 1st WAOA, 2003, pp. 41-52.

25. Feldmann R., Gairing M., Lucking Т., Monien В., Rode M., Nashification and the coordination ratio for a selfish routing game. In Proc. of the 30th Int. Colloc. on Automata, Languages and Programming, LNCS 2719, 2003, pp. 514-526.

26. Gairing M., Lucking Т., Mavronicolas M., Monien B. The price of anarchy for polynomial social cost // Proceedings of the 29th International Symposium on Mathematical Foundations of Computer Science (MFCS 2004), 2004, pp. 574-585.

27. Koutsoupias E., Papadimitriou С. H. Worst-case Equilibria // Proceedings of STACS 1999, 1999, 1563, pp. 404-413.

28. Lucking Т., Mavronicolas M., Monien В., Rode M., Spirakis P., Vrto I. Which is the Worst-case Nash Equilibrium? // Proceedings of the 26th International Symposium on Mathematical Foundations of Computer Science, 2003, LNCS 2747, pp. 551-561, 2003.

29. Lucking Т., Mavronicolas M., Monien В., Rode M. A New Model for Selfish Routing // Proceedings of STACS 2004, 2004, LNCS 2996, pp. 547-558.

30. Mavronicolas M., Spirakis P. The Price of Selfish Routing // Proceedings of the 33rd Annual ACM Symposium on Theory of Computing, 2001, pp.510.519.

31. Gairing M., Liicking Т., Mavronicolas M., Monien В., Rode M., Nash equilibria in discrete routing games with convex latency functions // Proceedings of the 31th Int. Colloc. on Automata, Languages and Programming, LNCS 2719, 2004, pp. 645-657.

32. Maulloo A., Kelly F. P., Tan D. Rate control in communication networks: shadow prices, proportional fairness and stability //J. Oper. Res. Society, 1998, 49, pp. 237-252.

33. Touati C., Altman E., Galtier J. On fairness in bandwidth allocation // INRIA Research report RR-4269, 2001.

34. Touati C., Altman E., Galtier J. Semi-Definite Programming Approach for Bandwidth Allocation and Routing in Networks // Game Theory and Application Nova publisher, 2003, 9, pp. 169-179.

35. Touati C., Altman E., Galtier J. Utility-based fair bandwidth allocation // In IASTED NPDPA, 2002.

36. Mo J., Walrand J. Fair end-to-end window-based congestion control // IEEE/ACM Transactions on Networking (TON), 2000, 8, N 5, pp. 556-567.

37. Чегтел JI., Титтел Э. TCP/IP. Учебный курс. Пер. с англ. СПб.: БХВ-Петербург, 2003, 976 с.

38. Murchland J. D. Braess's paradox of traffic flow // Transportation Research, 1970, 4, pp. 391-394.

39. Bean N. G., Kelly F. P., Taylor P. G. Braess' Paradox in a Loss Network, Journal of Applied Probability, 1997, 34, pp. 155-159.

40. Roughgarden Т., Tardos Ё. How bad is selfish routing? j j Journal of the ACM, 2002, 49, N 2, pp. 236-259.

41. Korilis Y. A., Lazar A. A., Orda A. Avoiding the Braess paradox in non-cooperative networks // J. Appl. Prob., 1999, 36, 211-222.

42. Hagstrom J. N., Abrams R. A. Characterizing Braess's paradox for traffic networks // Proceedings of IEEE 2001 Conference on Intelligent Transportation Systems, 2001, pp. 837-842.

43. Lin H., Roughgarden Т., Tardos Ё. On Braess's Paradox // Proceedings of the 15th Annual ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms (SODA), New Orleans, LA, 2004, pp. 333-334.

44. Roughgarden T. On the severity of Braess's paradox: Designing networks for selfish users is hard // J. of Computer and System Sciences, 2006, 72, pp. 922-953.

45. Чуйко Ю. В. Задача справедливого разделения емкости каналов сети между соединениями // Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ. Петрозаводск: КарНЦ РАН, 2004, 5, с. 136-146.

46. Чуйко Ю. В. Задача выбора оптимального момента обращения к системе массового обслуживания для двух игроков // Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ. -Петрозаводск: КарНЦ РАН, 2005, 6, с. 243-252.

47. Мазалов В. В., Чуйко Ю. В. Некооперативное равновесие по Нэшу в задаче выбора оптимального момента обращения к системе обслуживания

48. Вычислительные технологии, 2006, И, N 6, с. 60-71.

49. Чуйко Ю. В. Равновесие по Нэшу в задаче оптимальной маршрутизации трафика в сети передачи данных// Системы управления и информационные технологии, 2006, N4(26), с. 37-40.

50. Чуйко Ю. В. Задача справедливого разделения емкости каналов сети между соединениями // Обозрение прикладной и промышленной математики, 2004, И, вып. 2, с. 267-268.

51. Chuiko J. V. The Problem of Fair Bandwidth Sharing in Linear Network // Труды 4-й Московской международной конференции по исследованию операций (ORM2004): Москва, 21-24 сентября 2004 г. М.: МАКС Пресс, 2004, с. 52-54.

52. Mazalov V. V., Chuiko J. V. An optimal arrival time problem for queuing system. // Extended abstracts of International Workshop "Optimal Stopping and Stochastic Control", August 22-26,2005, Petrozavodsk, Russia, 2005, pp. 49-50.

53. V. Mazalov, J. Chuiko, Nash Equilibria in Optimal Routing Problem // Extended abstracts of Russian-Finish Summer School "Dynamic Games and Multictriteria Optimization", September 2-7, 2006, Petrozavodsk, Russia, 2006, pp. 64-66.

54. Belkovskii D. V., Garnaev A. Y. A Competitive Prediction Number Game under Unsymmetrical Conditions // Game Theory and Applications, 10, Nova Sci. Publ., Commack, NY, 2005, pp. 27-36.

55. Sakaguchi M., Szajowski K. Competitive prediction of a random variable // Mathematica Japonica, 1996, 43, N 3, pp. 461-472.

56. Gairing M., Lucking Т., Mavronicolas M., Monien В., Spirakis P. Extreme Nash Equilibria // Proceedings of the 8th Italian Conference on Theoretical Computer Science (ICTCS'03), LNCS 2841, 2003, pp. 1-20.

57. Васильев Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1980, - 520 с.

58. Юго-Восток ТрансТелеКом http://www.uvttk.ru/

59. Сухарев А. Г., Тимохов А. В., Федоров В. В. Курс методов оптимизации. М.: Наука, 1986, - 328 с.

60. Численные методы условной оптимизации / Под ред. Гилла Ф., Мюррэя У. М.: Мир, 1977, - 290 с.