Идентификация коэффициента фильтрации неоднородного пласта в условиях напорной фильтрации жидкости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Елесин, Андрей Викторович

• Елесин, Андрей Викторович
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Елесин, Андрей Викторович

Основные обозначения.

Введение.

Раздел 1. Задача идентификации коэффициента фильтрации трехмерного неоднородного пласта по значениям напора в наблюдательных точках.

1.1. Постановка задачи идентификации коэффициента фильтрации неоднородного напорного пласта.

1.2. Численное решение уравнения стационарной фильтрации жидкости.

1.3. Техника вычисления производных в задачах минимизации функции невязки.

1.4. Идентификация коэффициента фильтрации методом наискорейшего спуска.

Раздел 2. Идентификация коэффициента фильтрации с использованием информации о распределении запасов чувствительности.

2.1. Запасы чувствительности.

2.2. Сингулярное разложение приближенной матрицы вторых производных для получения распределения запасов чувствительности.

2.3. Использование распределения запасов чувствительности для анализа медленной сходимости метода наискорейшего спуска.

2.4. Построение квазиградиентного метода минимизации функции невязки для определения коэффициента фильтрации.

Раздел 3. Исследование устойчивости задачи идентификации коэффициента фильтрации.

3.1. Сравнение устойчивости квазиградиентного метода с методами наискорейшего спуска, сопряженных градиентов и Левенберга -Марквардта к погрешностям в замерах напора.

3.2. Критерий прерывания итерационного процесса идентификации.

Раздел 4. Исследование влияния расположения наблюдательных точек на устойчивость процесса идентификации коэффициента фильтрации при наличии погрешностей в замерах напора.

4.1. Причины неустойчивости задачи идентификации коэффициента фильтрации по наблюдательным точкам, расположенным внутри пласта.

4.2. Идентификация коэффициента фильтрации по наблюдательным точкам, расположенным на кровле пласта.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Идентификация коэффициента фильтрации неоднородного пласта в условиях напорной фильтрации жидкости»

При решении различных гидрогеологических задач (управление водными ресурсами, прогнозирование распространения загрязнений и др.) необходимо знание коэффициента фильтрации К пласта. Существуют различные подходы к определению коэффициента фильтрации [10]: (1) по геофизическим данным, (2) по отобранному керну, (3) локальные гидродинамические методы, (4) нелокальные гидродинамические методы. В данной работе будут рассматриваться нелокальные гидродинамические методы, в которых определяется сразу все поле коэффициента фильтрации. Одним из основных способов определения коэффициента фильтрации является минимизация функции невязки J, являющейся суммой квадратов разностей между измеренными значениями напора h* = \h* ], характеризующими состояние гидрогеологического объекта, и значениями напора h = {hj(K))IJl> вычисленными с использованием математической модели,

J = J(K) = yTr, где r = {h\-- h*NJ - вектор невязки. Задачи такого типа относятся к классу некорректно поставленных задач [1-3, 5, 10, И, 42-45, 49, 56, 66, 67, 85]. По определению задача называется некорректно поставленной, если нарушается одно из условий:

1) решение задачи существует,

2) решение задачи единственно,

3) решение непрерывно зависит от исходных данных.

В задачах идентификации гидрогеологических параметров любое из условий 1) - 3) может оказаться не выполненным. Соответствующие примеры можно найти в [56, 77, 85, 88]. Характерным свойством минимизации функции невязки при наличии погрешностей является удаление параметров от своих истинных значений, начиная с некоторой итерации, хотя функция невязки продолжает уменьшаться. В основе методов решения некорректных задач лежит понятие регуляризирующего алгоритма, устойчивого к погрешностям в исходных данных [1-3, 12, 25, 44, 45, 49]. Прерывание итерационного процесса идентификации является одним из регуляризирующих элементов решения таких задач [1-3, 36, 44]. При известных погрешностях задачи критерий прерывания обычно согласуется с погрешностями [1-3, 36, 44].

Задача определения коэффициента фильтрации водоносного пласта по замерам напора была впервые рассмотрена в работе [54]. Первые попытки использования вычислительной техники для решения данной задачи предприняты в [84]. Замеренные значения напора в [84] интерполировались на все узлы конечно-разностной сетки. Поле коэффициента фильтрации также определялось во всех узлах сетки по полученным значениям напора в этих узлах. Такое решение задачи оказалось неустойчивым. Для устранения неустойчивости предлагалось разбить пласт на зоны с постоянными значениями коэффициента фильтрации (уменьшить число неизвестных параметров), и использовать метод наименьших квадратов для определения значений коэффициента фильтрации в этих зонах.

Существует два подхода к уменьшению числа идентифицируемых параметров [91]: (1) метод разбиения на зоны и (2) интерполяционный метод. В первом подходе область решения задачи разбивается на зоны, каждая из которых характеризуется постоянным значением параметра [59, 62, 84]. Неизвестный параметр аппроксимируется кусочно-постоянной функцией с числом неизвестных значений, равным числу зон. Во втором подходе могут использоваться различные методы: конечноэлементное представление параметра [61, 90], аппроксимация параметра с помощью сплайна [83, 89], полиномиальный метод [65], kriging [58].

Различные методы решения задачи идентификации можно разделить на две группы [80, 85, 91]: (1) явные методы, (2) неявные методы. В явных методах

10, 11, 85] значения параметров определяются из решения нелинейной системы уравнений, в которой замеренные значения напора являются известными значениями коэффициентов этой системы. В результате при определении параметров явными методами не требуется решение прямой задачи. В неявных методах [5, 49, 85] оценка неизвестных параметров итерационно улучшается так, чтобы значения напора, полученные при решении прямой задачи, совпадали с известными замерами напора. В этом случае требуется многократное решение прямой задачи с различными значениями идентифицируемых параметров. Один из основных неявных методов заключается в минимизации функции невязки. Алгоритмы, использующиеся при минимизации функции невязки, можно разбить на три группы [86]: методы прямого поиска, градиентные методы, различные модификации метода Гаусса-Ньютона.

В алгоритмах прямого поиска процесс минимизации функции строится только по значениям минимизируемой функции, полученным при различных значениях идентифицируемых параметров. Различные алгоритмы методов прямого поиска можно найти в [4, 6, 26, 27, 43]. Как правило, методы прямого поиска обладают низкой скоростью сходимости и редко используются в задачах идентификации.

При построении градиентных методов на каждой итерации необходимо вычислять производные минимизируемой функции по отношению к искомым параметрам. Широко используемыми в задачах идентификации являются методы наискорейшего спуска и сопряженных градиентов [2-6, 26, 27, 43]. В [56] исследуется зависимость сходимости трех различных методов сопряженных градиентов (метод Флетчера-Ривса, метод Бройдена, метод Флетчера-Пауэлла-Дэвидона) от выбора начальных значений неизвестных параметров. Для улучшения сходимости предлагается использовать комбинированный метод: на первых итерациях минимизация проводится методом Флетчера-Ривса, а на последующих итерациях продолжается методом Бройдена.

В основе различных модификаций метода Гаусса-Ньютона лежит аппрокdh Т симация Н = АА матрицы Гессе функции невязки, где А =

8kj матрица чувствительности. В базовом методе Гаусса-Ньютона неизвестные параметры на каждой итерации изменяются по правилу

Kn+l=K"-s, где s = Н lg - вектор отклонений Гаусса-Ньютона, g - градиент функции невязки (вектор чувствительности, характеризующий чувствительность функции невязки к параметрам), п - номер итерации. Базовый метод Гаусса-Ньютона в задачах идентификации параметров пласта, как правило, не используется по ряду причин [85]:

• значение функции невязки при переходе на новые значения параметров может увеличиться;

• матрица Н может оказаться вырожденной или плохо обусловленной, и соответственно вектор отклонений Гаусса-Ньютона не может быть вычислен или вычислен с большой погрешностью;

• новые значения параметров могут принять недопустимые значения. Различные модификации метода Гаусса-Ньютона позволяют устранить указанные выше трудности [13, 85]. Одной из модификаций метода Гаусса-Ньютона, широко используемой в задачах идентификации, является метод Левенберга -Марквардта. Вектор отклонений в методе Левенберга - Марквардта в зависимости от поведения функции невязки приближается либо к направлению вектора чувствительности функции невязки, либо к вектору отклонений Гаусса-Ньютона. Существуют различные варианты метода Левенберга-Марквардта [13]. В [87] метод Левенберга - Марквардта модифицируется на основе информации о сингулярном разложении приближенной матрицы вторых производных: в системе координат, полученной SVD - разложением, отклонения, соответствующие малым сингулярным числам, зануляются. На сегодняшний день задача оптимального выбора направлений, в которых зануляются отклонения, остается до конца нерешенной [13].

Для вычисления компонент вектора чувствительности g и матрицы чувствительности А можно использовать три различных метода [85, 91]: (1) метод конечно-разностных соотношений, (2) метод прямого дифференцирования, (3) вариационный метод. В случае метода конечно-разностных соотношений и метода прямого дифференцирования для вычисления g и А необходимо решить М+1 систем уравнений, аналогичных системе уравнений, полученной при дискретизации уравнения фильтрации, где М - число идентифицируемых параметров. В случае вариационного метода вектор чувствительности g может быть вычислен в результате решения всего лишь двух систем уравнений, а для вычисления матрицы чувствительности А необходимо решить ЛН-1 систем уравнений, где N - число замеров напора. Метод конечно-разностных соотношений [52, 53] редко используется в задачах идентификации параметров из-за сложности вычисления производных нужной точности. Метод прямого дифференцирования и вариационный метод обладают более высокой точностью. При вычислении матрицы чувствительности А в целях уменьшения объема вычислений при N<M следует использовать вариационный метод, при M<N - метод прямого дифференцирования. В задачах идентификации параметров вариационный метод впервые использовался в [70], общая схема построения вариационного метода приведена в [46].

При решении задачи идентификации неявными методами на каждой итерации минимизации функции невязки требуется многократное численное решение прямой задачи. При этом уравнение фильтрации аппроксимируется системой линейных алгебраических уравнений, в основном получаемых методами конечных разностей, конечных элементов или конечных объемов [8, 21, 32, 37, 40-42, 47, 50, 60, 63]. Матрица коэффициентов полученной системы уравнений симметрична и сильно разрежена. Решение системы уравнений можно получить прямыми или итерационными методами. На практике при большом количестве неизвестных обычно используются итерационные методы. Одним из наиболее эффективных итерационных методов решения больших, сильно разреженных систем уравнений является метод сопряженных градиентов с предо-буславливающей матрицей [69, 71, 72, 78, 79]. К преимуществам данного метода относится отсутствие задаваемых итерационных параметров. Скорость сходимости метода сопряженных градиентов в значительной степени зависит от выбора предобуславливающей матрицы. Как правило, улучшение эффективности предобуславливающей матрицы ведет к увеличению памяти, необходимой для численной реализации метода [78]. В [79] рассматривается метод сопряженных градиентов с предобуславливающими матрицами, полученными при помощи диагонального масштабирования и полиномиального метода. В [69] при решении линейных и нелинейных задач фильтрации проводится сравнение метода сопряженных градиентов с тремя различными предобуславливающими матрицами, построенными методами неполного разложения Холесского, модифицированного неполного разложения Холесского и полиномиальным методом. В [72] для построения предобуславливающей матрицы используются диагональное масштабирование, неполное разложение Холесского, неполная факторизация, модифицированная неполная факторизация. При построении различных предобуславливающих матриц во многих случаях необходимо, чтобы матрица системы была с диагональным преобладанием [51, 71, 72]. Матрица коэффициентов системы уравнений, полученная при аппроксимации уравнения фильтрации, в общем случае не обладает свойством диагонального преобладания. Для решения таких задач в [72] предлагается строить предобуславливаю-щую матрицу по измененной матрице системы: все положительные внедиаго-нальные элементы добавляются к диагональному элементу и после этого зану-ляются. Другие подходы к построению предобуславливающей матрицы можно также найти в [64, 74, 81]. Различные алгоритмы решения разреженных систем алгебраических уравнений методами неполной факторизации, по своему смыслу близкими к методам с предобуславливающей матрицей, можно найти в [22].

В данной работе решены модельные задачи идентификации коэффициента фильтрации неоднородного напорного пласта, отражающие особенности задачи идентификации коэффициента фильтрации водоносного пласта речного водосборного бассейна. Пласт трехмерный реальной конфигурации («40 км х 30 км х 200 м), пятислойный, слои зональнонеоднородные. Предполагается, что зоны имеют слоистую структуру с горизонтальным характером напластования прослоек различной проницаемости. Поэтому каждая зона однородности Qk характеризуется двумя значениями коэффициента фильтрации К^, KZk, постоянными в пределах зоны однородности. Значение К^ обычно на несколько порядков больше значения Kzk. Значения коэффициента фильтрации определялись по результатам минимизации функции невязки. На кровле пласта заданы граничные условия 2-го рода, в реальном пласте определяемые инфильтрацион-ным питанием, расходными характеристиками реки и родников. Подошва и боковая поверхность пласта непроницаемы, за исключением участков боковой поверхности нижнего слоя с заданными граничными условиями первого рода.

Введено понятие запасов чувствительности, характеризующих потенциальную возможность параметров к минимизации функции невязки. Распределение запасов чувствительности используется для анализа медленной сходимости метода наискорейшего спуска. В методе наискорейшего спуска направление минимизации определяется вектором чувствительности (градиентом функции невязки). С учетом причин медленной сходимости метода наискорейшего спуска предложен квазиградиентный метод. Квазиградиентный метод построен на основе метода наискорейшего спуска, в котором минимизация проводится с подправленным вектором чувствительности. Подправление заключается в уменьшении чувствительностей таким образом, чтобы направление с меньшим запасом чувствительности имело и меньшую чувствительность. Проведено сравнение численных результатов, полученных квазиградиентным методом, методами наискорейшего спуска, сопряженных градиентов и Левенберга-Марквардта. Методы наискорейшего спуска и сопряженных градиентов обладают определенной устойчивостью к погрешностям в замерах напора, но недостаточными минимизирующими свойствами для идентификации коэффициента фильтрации. Метод Левенберга-Марквардта обладает высокой скоростью сходимости, но неустойчив к погрешностям в замерах напора. Конечные значения коэффициента фильтрации, полученные квазиградиентным методом при решении большинства задач с погрешностью, лежат ближе к истинным значениям по сравнению со значениями, полученными методами Левенберга-Марквардта, наискорейшего спуска и сопряженных градиентов.

С использованием распределения запасов чувствительности проведен анализ поведения задачи в окрестности точки минимума функции невязки, и рассмотрен новый критерий прерывания процесса минимизации, не требующий знания величин погрешностей. Критерий прерывания использован для улучшения результатов, полученных методом Левенберга-Марквардта.

Проведен анализ влияния расположения наблюдательных точек на процесс минимизации функции невязки при наличии погрешностей в замерах напора. Установлены причины неустойчивой идентификации коэффициента фильтрации по замерам напора в наблюдательных точках, часть которых расположена внутри пласта. Показана достаточная информативность наблюдательных точек, расположенных на кровле пласта, для идентификации коэффициента фильтрации. Рассмотрены примеры устойчивой идентификации коэффициента фильтрации по различным множествам наблюдательных точек кровли пласта. Добавление к этим точкам наблюдательных точек внутри пласта привело к увеличению неустойчивости решения задач идентификации.

При решении прямой задачи уравнение фильтрации аппроксимируется методом конечных элементов Галеркина. Полученная в результате дискретизации система линейных алгебраических уравнений решается методом сопряженных градиентов с предобуславливающей матрицей, строящейся неполным разложением Холесского.

Цели диссертационной работы:

- построение эффективных численных алгоритмов решения задачи идентификации коэффициента фильтрации трехмерного неоднородного пласта по замерам напора в наблюдательных точках в случае однофазной стационарной фильтрации жидкости;

- анализ влияния расположения наблюдательных точек на процесс идентификации коэффициента фильтрации при наличии погрешностей в замерах напора.

Структура и краткое содержание работы.

Диссертация состоит из введения, четырех разделов, заключения и списка литературы. Работа содержит: страниц -138, рисунков - 76, таблиц - 12, список литературы - 91 наименование.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Елесин, Андрей Викторович

Выводы.

Проведено исследование влияния расположения наблюдательных точек на устойчивость процесса идентификации коэффициента фильтрации трехмерного неоднородного пласта. Выявлены причины неустойчивости итерационного процесса идентификации по наблюдательным точкам, расположенным внутри пласта. Показано, что одна из причин неустойчивости итерационного процесса идентификации коэффициента фильтрации связана с расположением наблюдательных точек относительно участков границы области решения задачи с заданными на них граничными условиями первого и второго рода.

Заключение.

1. В диссертации проведено исследование возможностей гидродинамического метода определения коэффициента фильтрации и поля напоров водоносного пласта речного водосборного бассейна по замерам напора в наблюдательных точках пласта. Поставлены и решены модельные задачи идентификации коэффициента фильтрации пятислойного напорного пласта, отражающие особенности задачи идентификации коэффициента фильтрации водоносного пласта речного водосборного бассейна. С использованием метода Левенберга-Марквардта для минимизации функции невязки проведена идентификация коэффициента фильтрации (от 20-ти до 142-х значений) в модельных задачах с различным числом и расположением зон однородности по наблюдательным точкам, часть которых расположена внутри пласта в зонах однородности. Задача идентификации 20-ти параметров без погрешностей в замерах напора имела несколько решений (площадь зоны однородности да 440 км ). В задачах идентификации 38-ми и 142-х параметров получена единственность решений. При погрешностях в замерах напора задача идентификации 142-х параметров (площадь зоны однородности да 70 км ) имела более устойчивый характер по сравнению с задачей идентификации 38-ми параметров (площадь зоны однородности да 270 км). Для всех решений, полученных методом Левенберга-Марквардта, характерным является неустойчивость к погрешностям замеров напора в наблюдательных точках. На первых итерациях параметры приближаются к истинным значениям, но, начиная с некоторой итерации, начинают от них удаляться. Показана недостаточность минимизирующих свойств методов наискорейшего спуска и сопряженных градиентов для идентификации коэффициента фильтрации. Методы наискорейшего спуска и сопряженных градиентов имеют устойчивый характер, но значения коэффициента фильтрации, полученные этими методами, далеки от истинных значений.

2. Введено понятие запасов чувствительности для анализа процесса минимизации функции невязки в задачах идентификации коэффициента фильтрации. С использованием запасов чувствительности построены новый квазиградиентный метод минимизации функции невязки и новый критерий прерывания итерационного процесса идентификации. Эффективность квазиградиентного метода и предложенного критерия прерывания показана на численном решении модельных задач.

3. Исследовано влияние расположения наблюдательных точек относительно границы области решения задачи на устойчивость итерационного процесса идентификации коэффициента фильтрации. Выявлены причины неустойчивости идентификации по наблюдательным точкам, расположенным внутри пласта. Запасы чувствительности наблюдательных точек, расположенных на кровле пласта, сосредоточены в направлениях минимизации с более большими сингулярными числами по сравнению с запасами чувствительности наблюдательных точек, расположенных внутри пласта. Другое объяснение неустойчивости идентификации по наблюдательным точкам, расположенным внутри пласта, дано на примере одномерной задачи. Показано, что чем дальше расположена наблюдательная точка от граничного условия первого рода, тем меньше ошибка в определении коэффициента фильтрации при одной и той же погрешности в замере напора.

4. В результате численных экспериментов показана достаточная информативность наблюдательных точек, расположенных на кровле пласта, для идентификации коэффициента фильтрации. Показано, что расширение множеств наблюдательных точек кровли пласта не всегда приводит к улучшению результатов идентификации.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Елесин, Андрей Викторович, 2005 год

1. Алифанов О.М. Экстремальные методы решения некорректных задач / О.М. Алифанов, Е.А. Артюхин, С.В. Румянцев. -М.: Наука, 1988. - 288 с.

2. Бакушинский А.Б. Итеративные методы решения некорректных задач / А.Б. Бакушинский, А.В. Гончарский. -М.: Наука, 1989. 128 с.

3. Бакушинский А.Б. Итерационные методы решения некорректных операторных уравнений с гладкими операторами / А.Б. Бакушинский, М.Ю. Кокурин. М.: Едиториал УРСС, 2002. - 192 с.

4. Банди Б. Методы оптимизации. Вводный курс / Б. Банди М.: Радио и связь, 1988.- 128 с.

5. Булыгин В.Я. Гидромеханика нефтяного пласта / В.Я. Булыгин. М.: Недра, 1974.-232 с.

6. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач / Ф.П. Васильев. -М.: Наука, 1988. 552 с.

7. Габидуллина А.Н. К идентификации коэффициента фильтрации трехмерного напорного анизотропного пласта / А.Н. Габидуллина, А.В. Елесин, А.Ш. Кадырова, П.А. Мазуров // Математическое моделирование. 2002. -Т. 14. - № 9. - С 97-102.

8. Годунов С.К. Разностные схемы / С.К. Годунов, B.C. Рябенький. М.: Наука, 1977.-440 с.

9. Голуб Дж. Матричные вычисления / Дж. Голуб, Ч. Ван Лоун. М.: Мир, 1999. - 548 с.

10. Голубев Г.В. Определение гидропроводности неоднородных нефтяных пластов нелокальными методами / Г.В. Голубев, П.Г. Данилаев, Г.Г. Тумашев. -Казань: Изд-во Казанского университета, 1978. 167 с.

11. Данилаев П.Г. Коэффициентные обратные задачи для уравнений параболического типа и их приложения / П.Г. Данилаев. Казань: Изд-во Казанского математического общества, Изд-во УНИПРЕСС, 1998. - 127 с.

12. Денисов A.M. Введение в теорию обратных задач / A.M. Денисов. М.: Изд-во МГУ, 1994. - 208 с.

13. Дэннис Дж. Численные методы безусловной оптимизации и решения нелинейных уравнений / Дж. Дэннис, Р. Шнабель. М.: Мир, 1988. 440 с.

14. Елесин А.В. Идентификация коэффициента фильтрации (напорный режим, трехмерный случай) / А.В. Елесин // Тезисы докладов международной научно технической конференции "Механика машиностроения". - Набережные Челны, 1997. - С 29.

15. Елесин А.В. К решению обратной задачи по определению коэффициента фильтрации трехмерного напорного пласта / А.В. Елесин, А.Н. Габидуллина, А.Ш. Кадырова // Труды математического центра им. Н.И.Лобачевского. Казань, "Унипресс", 1998. - С 103-105.

16. Елесин А.В. Идентификация параметров пласта и априорная информация / А.В. Елесин, П.А. Мазуров // Тезисы докладов международной конференции "Математические модели и численные методы механики сплошных сред". -Новосибирск, 1996. С. 268-269.

17. Елесин А.В. К минимизации функции невязки квазиградиентным методом при идентификации коэффициента фильтрации трехмерного анизотропного пласта / А.В. Елесин, П.А. Мазуров // Математическое моделирование. -2004. Т.16. - № 8. - С. 99-113.

18. Зенкевич О. Конечные элементы и аппроксимация / О. Зенкевич, К. Морган. М.: Мир, 1986.-318 с.

19. Ильин В.П. Методы неполной факторизации для решения алгебраических систем / В.П. Ильин. М.: Физматлит, 1995. - 288 с.

20. Калиткин Н.Н. Численные методы / Н.Н. Калиткин. М.: Наука, 1978. -512 с.

21. Коллинз Р. Течение жидкостей через пористые материалы / Р. Коллинз. -М.: Мир, 1964.-350 с.

22. Лаврентьев М.М Некорректные задачи математической физики и анализа / М.М. Лаврентьев, В.Г. Романов, С.П. Шишатский. М.: Наука, 1989. - 286 с.

23. Лесин В.В. Основы методов оптимизации / В.В. Лесин, Ю.П. Лисовец. М.: Изд-во МАИ, 1998. - 344 с.

24. Летова Т.А. Экстремум функций в примерах и задачах / Т.А. Летова, А.В. Пантелеев. М.: Изд-во МАИ, 1988. - 376 с.

25. Мазуров П.А. Запасы чувствительности в задачах идентификации коэффициента фильтрации трехмерных пластов / П.А. Мазуров, А.Н. Габидуллина, А.В. Елесин, А.Ш. Кадырова // Вычислительные методы и программирование. 2004. - Т.5. - № 1. - С. 50-61.

26. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики / Г.И. Марчук. М.: Наука, 1989. - 608 с.

27. Маскет М. Течение однородных жидкостей в пористой среде / М. Маскет. -М.: ГОСТОПТЕХИЗДАТ, 1949. 627 с.

28. Мироненко В.А. Динамика подземных вод / В.А. Мироненко. М.: Изд-во Московского государственного горного университета, 1996. - 519 с.

29. Мишина А. П. Высшая алгебра / А. П. Мишина, И. В. Проскуряков. М.: Наука, 1965. - 300 с.

30. Морозов В.А. Алгоритмические основы методов решения некорректно поставленных задач / В.А. Морозов // Вычислительные методы и программирование. 2003. - Т.4. - № 1. - С 134-145.

31. Норри Д. Введение в метод конечных элементов / Д. Норри, Ж. де Фриз. -М.: Мир, 1981.-304 с.

32. Парлетт Б. Симметричная проблема собственных значений. Численные методы / Б. Парлетт. М.: Мир, 1983. - 384 с.

33. Полубаринова-Кочина П.Я. Теория движения грунтовых вод / П.Я. Полубаринова-Кочина. М.: Гос. Изд-во Технико-Теоретической литературы, 1952. - 676 с.

34. Самарский А.А. Разностные методы для эллиптических уравнений /

35. A.А. Самарский, В.Б. Андреев. М.: Наука, 1976. - 352 с.

36. Самарский А.А. Численные методы / А.А. Самарский, А.В. Гулин. М.: Наука, 1989.- 432 с.

37. Самарский А.А. Численные методы решения обратных задач математической физики / А.А. Самарский, П.Н. Вабищевич. М.: Едиториал УРСС, 2004.- 480 с.

38. Сухарев А.Г. Курс методов оптимизации / А.Г. Сухарев, А.В. Тимохов,

39. B.В. Федоров. -М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. 328 с.

40. Тихонов А.Н. Методы решения некорректных задач / А.Н. Тихонов, В.Я. Арсенин. -М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. 288 с.

41. Тихонов А.Н. Численные методы решения некорректных задач / А.Н. Тихонов, А.В. Гончарский, В.В. Степанов, А.Г. Ягола. М.: Наука, 1990.-232 с.

42. Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику / Р.П. Федоренко. М.: Изд-во Моск. физ.-техн. ин-та, 1994. - 528 с.

43. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркина / К. Флетчер. -М.: Мир, 1988.-352 с.

44. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа /

45. A. Фридман. М.: Мир, 1968. - 427 с.

46. Хайруллин М.Х. О решении обратных коэффициентных задач фильтрации многослойных пластов методом регуляризации / М.Х. Хайруллин // ДАН РАН. 1996. - Т.347. - №1. - С. 103-105.

47. Шайдуров В.В. Многосеточные методы конечных элементов /

48. B.В. Шайдуров. -М.: Наука, 1989. 288 с.

49. Axelsson О. Finite Element Solution of Boundary Value Problems / O. Axelsson, V.A. Barker. Theory and Computation, Academic, San Diego, Calif., 1984.432 p.

50. Bard Y. Nonlinear parameter estimation / Y. Bard. John Wiley, New York, 1974.

51. Becker L. Identification of parameters in unsteady open-channel flows / L. Becker, W. W-G.Yeh // Water Resour. Res. 1972.- Vol. 8. - No.4. - P. 956965.

52. Bennett R.R. Geology and groundwater resources of the Baltimore area / R.R. Bennett, R.R. Meyer. Mines and Water Resour. Bull. 4, Maryland Dep. of Geol. - 1952.

53. Carrera J. Estimation of aquifer parameters under transient and steady state conditions: Maximum likelihood method incorporating prior information / J. Carrera, S.P. Neuman П Water Resour. Res. 1986. - Vol. 22. - No. 2. - P. 199-210.

54. Carrera J. Estimation of aquifer parameters under transient and steady state conditions: 2. Uniqueness, Stability, and Solution Algorithms / J. Carrera, S.P. Neuman // Water Resour. Res. 1986. - Vol. 22. - No. 2. - P. 211-227.

55. Chavent G. Identification of distributed parameter system: About the output least square method, its implementation, and identifiability / G. Chavent // Identification and System Parameter Estimation. Pergamon, New York, 1979. -Vol. 1. - P. 85-97.

56. Clifton P.M. Effects of kriging and inverse modeling on conditional simulation of the Avra Valley aquifer in Southern Arizona / P.M. Clifton, S.P. Newman // Water Resour. Res. 1982. - Vol. 18. - No. 4. - P. 1215-1234.

57. Coats K.H. A new technique for determining reservoir description from field performance data / K.H. Coats, J.R. Dempsey, J.H. Henderson // Soc. Pet. Eng, J. -1970.- 10(1)-P. 66-74.

58. DiStefano N. An identification approach to subsurface hydrological systems / N. DiStefano, A. Rath // Water Resour. Res. 1975. - Vol. 11. - No. 6. - P. 10051012.

59. Emsellem Y. An automatic solution for the inverse problem / Y. Emsellem, G. de Marsily // Water Resour. Res. 1971. - Vol. 7. - No. 5. - P. 1264-1283.

60. Gambolati G. A 3-D finite element conjugate gradient model of subsurface flow with automatic mesh generation / G. Gambolati, G. Pini, T. Tucciarelli // Adv. Water Resour. 1986. - 9. - P. 34-41.

61. Gambolati G. Numerical comparison of preconditionings for large sparse finite element problems / G. Gambolati, G. Pini, G. Zilli // Numerical Methods for Partial Differential Equations. John Wiley, New York, 1988. - P. 139-157.

62. Garay H.L. Distributed parameter identification of groundwater system by nonlinear estimation / H.L. Garay, Y.Y. Haimes, P. Das // J. Hydrol. 1976. - 30. -P. 47-61.

63. Hadamard J. Le problem de Cauchy et les equations aux derivees partielles lin-eares hyperboliques / J. Hadamard. Paris, Hermann, 1932.

64. Hadamard J. Sur les problems aux derivees partielles et leur signification phisique / J. Hadamard. Bull. Univ. Princeton., 1902.

65. Hestenes M.R. Methods of conjugate gradients for solving linear systems / M.R. Hestenes, E. Stiefel // J. Res. Nat. Bur. Stand. 1952. - V. 49. - P. 409-436.

66. Hill M.S. Solving groundwater flow problems by conjugate-gradient methods and the strongly implicit procedure / M.S. Hill // Water Resour. Res. 1990. - Vol.26. - No.9. - P. 1961-1969.

67. Jacquard P. Permeability distribution from field pressure data / P. Jacquard, C. Jain // Soc. Pet. Eng. J. 1965. - 5(4). - P. 281-294.

68. Kershaw D.S. The incomplete Cholesky conjugate gradient method for the iterative solution of systems of linear equations / D.S. Kershaw // J. Compute. Phys. -1978.-No. 26.-P. 43-65.

69. Larabi A. Solving three-dimensional hexahedral finite element groundwater models by preconditioned conjugate gradient methods / A. Larabi, F. De Smedt // Water Resour. Res. 1994. - Vol. 30. - No. 2. - P. 509-521.

70. Levenberg K. A method for the solution of a certain nonlinear problems in least squares / K. Levenberg // Q. Appl. Math. 1944. - No. 2. - P 164-168.

71. Manteuffel T.A. An incomplete factorization technique for positive definite linear systems / T.A. Manteuffel // Math. Comput. 1980. - 34(150). - p. 473-497.

72. Marquardt D.W. A algorithm for least squares estimation of nonlinear parameters / D.W. Marquardt // SIAM, J. 1963. - 11. - P. 431-441.

73. McLaughlin D. A reassessment of the groundwater inverse problem / D. McLaughlin, L.R. Townley // Water Resour. Res. 1996. - Vol. 32. - No. 5. -P. 1131-1161.

74. Meijerink J.A. An iterative solution method for linear systems of which the coefficient matrix is a symmetric M-matrix / J.A. Meijerink, H.A. Van der Vorst // Math. Comput. 1977.-31. - P. 148-162.

75. Neuman S.P. Calibration of distributed parameter groundwater flow models viewed as a multiple-objective decision process under uncertainty / S.P. Neuman // Water Resour. Res. 1973. - Vol. 9. - No. 4. - P. 1006-1021.

76. Ortega J.M. Introduction to Parallel and Vector Solution of Linear Systems / J.M. Ortega. Plenum, New York, 1988. - 503 p.

77. Sagar B. A direct method for the identification of the parameters of dynamic non-homogeneous aquifers / B. Sagar, S. Yakowitz, L. Duckstein // Water Resour. Res. 1975. - Vol. 11. - No. 4. - P. 563-570.

78. Stallman R.W. Numerical analysis of regional water levels to define aquifer hydrology / R.W. Stallman // Eos. Trans. AGU. 1956. - 37(4). - P. 451-460.

79. Sun N.-Z. Inverse Problems in Groundwater Modeling / N.-Z. Sun. Kluwer Acad., Norwell, Mass., 1994. - 337 p.

80. Sun N.-Z. Coupled inverse problem in groundwater modeling, 1, Sensitiviti analysis and parameter identification / N.-Z. Sun, W.W-G. Yeh // Water Resour. Res. 1990. - Vol. 26. - No. 10. - P. 2507-2525.

81. Weiss R. Parameter space methods in joint estimation for groundwater flow models / R. Weiss, L. Smith // Water Resour. Res. 1998. - Vol. 34. - No. 4. - P. 647661.

82. Yakowitz S. Instability in aquifer identification: Theory and case study / S. Yakowitz, L. Duckstein // Water Resour. Res. 1980. - Vol. 16. - No. 6. -P. 1045-1064.

83. Yakowitz S. On the identification of inhomogeneous parameters in dynamic linear partial differential equations / S. Yakowitz, P. Noren // J. Math. Anal. Appl. -1976.-53.-P. 521-538.

84. Yeh W.W.-G. Parameter identification with optimum dimension in parameterization / W.W.-G. Yeh, Y.S. Yoon // Water Resour. Res. 1981. - Vol.17. - No. 3. -P. 664-672.

85. Yeh W.W-G. Review of parameter identification procedures in groundwater hydrology: The inverse problem / W.W-G. Yeh // Water Resour. Res. 1986. - Vol. 22.-No. 2.-P. 95-108.