Обучение сетей радиальных базисных функций для решения краевых задач моделирования объектов с распределенными параметрами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Алкезуини Мухи Муртада

• Алкезуини Мухи Муртада
• кандидат наук
• 2020

Оглавление диссертации кандидат наук Алкезуини Мухи Муртада

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА1. АНАЛИЗ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

С ПОМОЩЬЮ РАДИАЛЬНЫХ БАЗИСНЫХ ФУНКЦИЙ И СЕТЕЙ

РАДИАЛЬНЫХ БАЗИСНЫХ ФУНКЦИЙ

1.1. Анализ бессеточных методов решения краевых задач

1.2. Анализ радиальных базисных функций

1.3. Анализ методов решения краевых задач с помощью РБ-функций

1.3.1. Метод Kansa

1.3.2. Развитие метода Kansa

1.4. Анализ РБФ-сетей для решения краевых задач

1.4.1. Архитектура РБФ-сетей

1.4.2. Анализ процесса решения краевых задач на РБФ-сетях

1.5. Анализ методов обучения РБФ-сетей для решения краевых задач

1.5.1. Градиентные алгоритмы первого порядка

1.5.2. Градиентные алгоритмы второго порядка

Выводы к главе

ГЛАВА 2. РАЗРАБОТКА АЛГОРИТМОВ ОБУЧЕНИЯ СЕТЕЙ РАДИАЛЬНЫХ

БАЗИСНЫХ ФУНКЦИЙ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ АППРОКСИМАЦИИ

ФУНКЦИЙ

2.1. Рассеянная аппроксимация функций и ее реализация на РБФ-сетях

2.2. Разработка быстрых градиентных алгоритмов первого порядка обучения

РБФ-сетей при решении задач аппроксимации

3

2.2.1. Алгоритм градиентного спуска с управляемыми значениями

скорости настройки и коэффициентами коррекции компонентов вектора

градиента

2.2.2. Алгоритм градиентного спуска с импульсом

2.2.3. Алгоритм метода Нестерова

2.3. Разработка алгоритмов с адаптивной скоростью обучения

2.4. Разработка алгоритма метода Левенберга-Марквардта обучения

РБФ-сетей для решения задач аппроксимации

2.4.1. Алгоритм метода Левенберга-Марквардта с блочным

представлением матрицы Якоби и аналитическим вычислением

параметров

2.4.2. Формирование вектора поправки параметров РБФ-сети

Выводы к главе

ГЛАВА 3. РАЗРАБОТКА АЛГОРИТМОВ ОБУЧЕНИЯ РБФ-СЕТЕЙ ДЛЯ

РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ МОДЕЛИРОВАНИЯ ОБЪЕКТОВ С

РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

3.1. Постановка задачи

3.2. Разработка градиентных алгоритмов первого порядка обучения

РБФ-сетей для решения краевых задач

3.2.1. Алгоритм градиентного спуска с управляемыми значениями

скорости настройки и коэффициентами коррекции компонентов вектора

градиента

3.2.2. Алгоритмы градиентного спуска с импульсом и Нестерова

3.3. Разработка алгоритма метода Левенберга-Марквардта обучения

РБФ-сетей для решения краевых задач

3.4. Анализ возможностей решения на РБФ-сетях некоторых классов краевых

задач моделирования объектов с распределенными параметрами

4

3.4.1. Решение нелинейных и нестационарных краевых задач

3.4.2. Решение краевых задач, описывающих процессы в неоднородной

среде

3.4.3. Решение обратных краевых задач

Выводы к главе

ГЛАВА 4. ИССЛЕДОВАНИЕ РАЗРАБОТАННЫХ АЛГОРИТМОВ

ОБУЧЕНИЯ СЕТЕЙ РАДИАЛЬНЫХ БАЗИСНЫХ ФУНКЦИЙ

4.1. Комплекс программ решения задач аппроксимации и краевых задач на

РБФ-сетях

4.2. Исследование алгоритмов обучения РБФ-сетей для решения задач

аппроксимации функций

4.3. Исследование алгоритмов обучения РБФ-сетей для решения краевых

задач

Выводы к главе

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение А Свидетельство о государственной регистрации программы

для ЭВМ

Приложение Б. Документы о внедрении результатов диссертационной

работы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Обучение сетей радиальных базисных функций для решения краевых задач моделирования объектов с распределенными параметрами»

ВВЕДЕНИЕ

Многие объекты, рассматриваемые в теплофизике, расчетах на прочность,

аэродинамике, ядерной физике, моделировании нефтяных месторождений,

гидрогеологии, управлении объектами с распределенными параметрами и во

многих других областях, являются объектами с распределенными параметрами.

Широко используемыми математическими моделями объектов с

распределенными параметрами являются краевые задачи для

дифференциальных уравнений в частных производных (ДУЧП) [22, 49, 52, 57].

Аналитическое решение существует для ограниченного круга краевых

задач, описывающих реальные объекты с распределенными параметрами,

поэтому решение таких задач производится численными методами.

Популярными численными методами решения краевых задач для

дифференциальных уравнений в частных производных являются методы

конечных разностей [24, 49, 113], конечных объемов [113] и конечных элементов

[24, 38, 43]. Но построение расчетных сеток для этих методов в случае реальных

задач является сложным и трудоемким [55]. Методы коечных разностей и

конечных элементов требуют решения плохо обусловленных систем

алгебраических уравнений высокой размерности. Другим подходом,

получающим распространение в последнее время, являются бессеточные методы

[115, 107, 114], не требующие построения связанной и являющиеся

проекционными методами [42]. Бессеточные методы дают приближенное

решение в виде суммы базисных функций, умноженных на веса. В качестве

базисных популярны радиальные базисные функции (РБ-функции) [70, 73, 81,

99]. Использование РБ-функций позволяет получать решение в произвольных

точках расчетной области. Веса вычисляются из условия минимизации невязок

в выбранных пробных точках, а параметры базисных функций назначаются до

решения. Неформальный подбор параметров РБ-функций является

существенным недостатком использования РБ-функции.

6

Перспективным средством реализации бессеточных методов являются

нейронные сети. Краевые задачи для ДУЧП можно решать на многослойных

персептронах [103, 138], клеточных нейронных сетях [27], сетях Хопфилда [19].

Но наиболее перспективными являются сети радиальных базисных функций

(РБФ-сетей) [1, 45, 58], содержащие всего два слоя, причем один слой является

линейным. Структура РБФ-сетей, а также локальный характер формирования

решения упрощают обучение таких сетей. В отличие от использования

РБ-функций, применение РБФ-сетей позволяет как веса, так и параметры

базисных функций.

Большой вклад в теорию и практику применения РБФ-сетей внесли

Jianyu L., Siwei L., Yingjian Q., Yaping H. [98], Mai-Duy N., Tran-Cong T. [108],

Sarra S. [128], Chen H., Kong L., Leng W. [71], Kumar M., Yadav N. [103, 138],

Васильев А. Н., Тархов Д. А. [20, 54], Горбаченко В. И. [29, 31, 34, 62, 89, 119].

Так как краевая задача решается в процессе обучения РБФ-сети, то важно

сокращение применение быстрых алгоритмов обучения. Применяемые в

настоящее время алгоритмы на основе градиентного спуска [103, 138] относятся

к градиентным алгоритмам первого порядка и требует большого времени для

обучения сети. Быстрые методы второго порядка не нашли широкого

применения при решении краевых задач на РБФ-сетях. В [31] для обучения

РБФ-сетей предложен быстрый метод доверительных областей. Но применение

этого метода сдерживается необходимостью решения на каждой итерации

обучения сети задачи условной оптимизации. Поэтому тема диссертационного

исследования, посвященная совершенствованию алгоритмов обучения

РБФ-сетей при решении краевых задач, является актуальной.

Целью диссертационной работы является разработка алгоритмов

обучения сетей радиальных базисных функций для численного решения краевых

задач моделирования объектов с распределенными параметрами, позволяющих

сократить время решения задачи.

7

Основные задачи исследования:

1. Проведение анализа применения РБ-функций и РБФ-сетей для решении

краевых задач. Проведение анализа алгоритмов обучения сетей радиальных

базисных функций для решения краевых задач. Рассмотрение и выделение

недостатков в существующих алгоритмах, определение путей их устранения.

2. Адаптация для обучения РБФ-сетей современных быстрых градиентных

алгоритмов первого порядка.

3. Разработка алгоритма обучения РБФ-сетей на основе градиентного

метода второго порядка.

5. Разработка комплекса программ, реализующего разработанные

алгоритмы, проведение вычислительных экспериментов с использованием

разработанного комплекса программ.

Объектом исследования диссертационной работы являются численные

методы решения краевых задач на РБФ-сетях.

Предмет исследования — алгоритмы обучения РБФ-сетей повышенной

производительности для решения краевых задач.

Методы исследования. Для решения поставленных задач использовались

теория искусственных нейронных сетей, теория численной оптимизации,

численные методы.

Соответствие паспорту специальности. Результаты исследования

соответствуют пункту 3 "Разработка, обоснование и тестирование эффективных

вычислительных методов с применением современных компьютерных

технологий" и 4 "Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в

виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения

вычислительного эксперимента" паспорта научной специальности 05.13.18

"Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ".

Научная новизна диссертационной работы состоит в следующем:

1. Для обучения РБФ-сетей при решении задач аппроксимации функций и

краевых задач математического моделирования объектов с распределенными

параметрами разработаны численные алгоритмы на основе современных быстрых

8

градиентных алгоритмов первого порядка: алгоритм градиентного спуска с

импульсом, алгоритм метода Нестерова, алгоритм с адаптивной скоростью

обучения RMSProp. Разработанные алгоритмы отличаются от известных

алгоритмов учетом архитектуры РБФ-сетей, использованием аналитического

вычисления градиента функционала ошибки сети, управляемыми значениями

скорости настройки и коэффициентами коррекции различных компонентов вектора

градиента. Алгоритмы позволяют существенно сократить время обучения

РБФ-сетей при решении задач аппроксимации функций и краевых задач.

2. Для обучения РБФ-сетей, предназначенных для решения задач

аппроксимации функций и краевых задач математического моделирования

объектов с распределенными параметрами, разработан численный алгоритм,

основанный на градиентном методе второго порядка — методе

Левенберга-Марквардта, отличающийся от известных реализаций учетом

специфики архитектуры сети и аналитическим вычислением параметров. Метод

кардинально сокращает время обучения по сравнению с известными методами

первого порядка и не требует решения на каждой итерации обучения задачи

условной минимизации, как метод доверительных областей.

3. Для формирования вектора поправки параметров РБФ-сети,

формируемого в алгоритме метода Левенберга-Марквардта исследовано

использование итерационных методов подпространств Крылова, позволившее

повысить численную устойчивость вычислений и снизить требования к выбору

параметра регуляризации.

Практическая ценность работы. Разработанные алгоритмы обучения

РБФ-сетей, а также комплекс программ, созданный с применением

разработанных алгоритмов, могут быть использованы специалистами в области

математического моделирования для численного моделирования объектов с

распределенными параметрами.

Достоверность и обоснованность результатов, полученных в

диссертационной работе, обеспечена корректным использованием

математических методов, компьютерным моделированием разработанных

9

алгоритмов и обсуждением полученных результатов в научных изданиях и

выступлениями на международных и всероссийских научных конференциях.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Численные градиентные алгоритмы первого порядка: алгоритм

градиентного спуска с импульсом, алгоритм метода Нестерова, алгоритм с

адаптивной скоростью обучения RMSProp для обучения РБФ-сетей при решении

задач аппроксимации функций.

2. Численный алгоритм на основе метода Левенберга-Марквардта для

обучения РБФ-сетей при решении задач аппроксимации функций.

3. Численные градиентные алгоритмы первого порядка обучения

РБФ-сетей для решения краевых задач моделирования объектов с

распределенными параметрами, описываемых дифференциальными

уравнениями в частных производных: алгоритм градиентного спуска с

импульсом, ускоренный градиент Нестерова, алгоритм с адаптивной скоростью

обучения RMSProp.

4. Численный алгоритм на основе метода Левенберга-Марквардта

обучения РБФ-сетей для решения краевых задач моделирования объектов с

распределенными параметрами, описываемых дифференциальными

уравнениями в частных производных

5. Комплекс программ решения краевых задач на сетях радиальных

базисных функций.

Реализация и внедрение результатов работы. Предложенные в работе

алгоритмы и разработанные на их основе программы внедрены на кафедре

"Компьютерные технологии" Пензенского государственного университета при

выполнении гранта РФФИ 16-08-00906 "Обучение сетей радиальных базисных

функций при построении моделей процессов в сложных технических системах".

Результаты работы используются в учебном процессе при преподавании курса

"Нейронные сети" на кафедре "Компьютерные технологии" ФГБОУ ВО

Пензенский государственный университет.

10

Апробация результатов исследования. Основные результаты работы

докладывались и обсуждались на 12 международных и всероссийских

конференциях: International conference on mathematical modelling in applied

sciences (St. Petersburg, 2017); 2017 Annual Conference on New Trends in

Information and Communications Technology Applications, NTICT 2017 (Baghdad,

Iraq, 2017); 2019 International Conference on Applied and Engineering

Mathematics. — ICAEM, (Taxila, Pakistan, 2019); International Russian Automation

Conference — RusAutoCon, (Sochi, Russia, 2019, 2020); на XV, XVI и XVII

Международных научно-технических конференциях "Проблемы информатики в

образовании, управлении, экономике и технике" (Пенза, 2015, 2016, 2017); IX и

X Международных научно-технических конференциях "Математическое и

компьютерное моделирование естественно-научных и социальных проблем"

(Пенза, 2015, 2016); XIII, XIV, XV и XVI Международных научно-технических

конференциях "Новые информационные технологии и системы" (Пенза, 2016,

2017, 2018, 2019); XI, XII и XIII Международных научно-технических

конференциях "Аналитические и численные методы моделирования

естественно-научных и социальных проблем" (Пенза, 2016, 2017, 2018); XXV,

XXVI и XXVII Всероссийских семинарах "Нейроинформатика, её приложения и

анализ данных" (Красноярск, 2017, 2018, 2019); XXI Международной

научно-технической конференции "Нейроинформатика 2019" (Москва, 2019);

Международной конференции "Telecommunications, Computing and Control"

(Санкт-Петербург, 2019); Всероссийской конференции "Нейронные сети

послезавтра: проблемы и перспективы" (Нижний Новгород, 2019).

Публикации. По результатам исследования опубликовано 26 работ [3–17,

28, 61–62, 87–93], в том числе 4 статьи в изданиях, индексируемых в

международной базе Scopus [62, 88–89, 93], 2 статьи в изданиях,

рекомендованных ВАК [12, 28]. Опубликовано 19 материалов докладов на

международных и всероссийских конференциях, индексируемых в базе данных

РИНЦ, 1 статья опубликована в зарубежном рецензируемом журнале [В-41].

Получено свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ

11

"Программный комплекс для решения краевых задач на сетях радиальных

базисных функций" / М. М. Алкезуини, В. И. Горбаченко // Свидетельство об

официальной регистрации программы для ЭВМ № 2019665780. Дата

государственной регистрации в Реестре программ для ЭВМ 28 ноября 2019 г.

Структура и объем работы. Работа состоит из введения, четырех глав,

заключения, списка литературы и двух приложений. Общий объем работы

составляет 124 страницы, из которых 118 страниц занимает основной текст,

включающий 23 рисунка и 4 таблицы. Список литературы включает 140

наименований.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Алкезуини Мухи Муртада

Основные результаты работы состоят в следующем.

1. Проведен анализ существующих численных методов решения краевых

задач, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных,

с использованием радиальных базисных функций и сетей радиальных базисных

функций. Выявлены преимущества использования сетей радиальных базисных

функций. Показано, что известные методы обучения сетей радиальных базисных

функций не обеспечивают быстрого обучения сетей радиальных базисных

функций. В качестве пути устранения этого недостатка предложено

совершенствовать алгоритмы обучения сетей.

2. Для обучения РБФ-сетей при решении задач аппроксимации функций и

краевых задач математического моделирования объектов с распределенными

параметрами разработаны численные алгоритмы на основе современных

быстрых градиентных методов первого порядка: алгоритм градиентного спуска

с импульсом, алгоритм метода Нестерова, алгоритм с адаптивной скоростью

обучения RMSProp. Разработанные алгоритмы учитывают архитектуру сетей

радиальных базисных функций и используют управляемые параметры обучения

для различных параметров сети. Получены аналитические выражения для

вычисления градиента функционала ошибки. При решении модельных задач до

средней квадратической ошибки, равной 0,01, ускоренный алгоритм Нестерова

обеспечил сокращение числа итераций на два порядка по сравнение с

используемым в настоящее время алгоритмом градиентного спуска.

3. Для обучения РБФ-сетей, предназначенных для решения задач

аппроксимации функций и краевых задач математического моделирования

103

объектов с распределенными параметрами, разработан численный алгоритм

метода второго порядка — метода Левенберга-Марквардта, отличающийся

учетом специфики архитектуры сети и аналитическим вычислением параметров.

Метод позволил на модельных задачах достичь средней квадратической

−6

погрешности 10 , не достижимой известными алгоритмами первого порядка.

Предложенный алгоритм позволяет получит такую погрешность за число

итераций, равное числу итераций наиболее быстрого метода доверительных

областей, но за счет более простого алгоритма сокращает время решения задачи

в 1,5 раза.

4. В алгоритме метода Левенберга-Марквардта предложено применение

методов подпространств Крылова для вычисления вектора коррекции

компонентов РБФ-сети, позволившее при увеличении времени решения на 15%–

20% снизить требования к выбору начального значения параметра

регуляризации.

5. Проведен анализ возможностей решения на РБФ-сетях различных

краевых задач математического моделирования объектов с распределенными

параметрами, показавший возможность унифицированного подхода к решению

таких задач с применением разработанных алгоритмов обучения РБФ-сетей.

6. На основе предложенных алгоритмов разработан комплекс программ

решения двумерных задач аппроксимации функций и краевых задач для

дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка.

Комплекс программ использован для экспериментального исследования

разработанных алгоритмов и позволил сравнить различные алгоритмы обучения

РБФ-сетей.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Алкезуини Мухи Муртада, 2020 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Аггарвал Ч. Нейронные сети и глубокое обучение. — ООО

"Диалектика", 2020. — 752 с.

2. Азиз Х., Сеттари Э. Математическое моделирование пластовых систем.

— М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. — 416 с.

3. Алкезуини М. М., Горбаченко В. И. Адаптация метода Левен-берга

Марквардта для обучения сетей радиальных базисных функций // Новые

информационные технологии и системы: труды XIV Междунар. науч.-техн.

конф. (г. Пенза, 22–24 ноября 2017 г.). — Пенза: Изд-во ПГУ, 2017. — С. 190–

194.

4. Алкезуини М. М., Горбаченко В. И. Обучение методом Левенберга

Марквардта сетей радиальных базисных функций при решении краевых задач //

Аналитические и численные методы моделирования естественно-научных и

социальных проблем: материалы XIII Междунар. науч.-техн. конф. (г. Пенза,

Россия, 4-6 декабря 2018 г.) / под ред. д-ра физ.-мат. наук, проф. И. В. Бойкова. —

Пенза: Изд-во ПГУ, 2018. — С. 181–187.

5. Алкезуини М. М., Горбаченко В. И. Обучение сетей радиальных

базисных функций при решении задач аппроксимации // Новые

информационные технологии и системы: труды XIII Междунар. науч.-техн.

конф. (г. Пенза, 23–25 ноября 2016 г.). — Пенза: Изд-во ПГУ, 2016. — С. 34–36.

6. Алкезуини М. М., Горбаченко В. И. Обучение сетей радиальных

базисных функций методом Левенберга Марквардта // Проблемы информатики

в образовании, управлении, экономике и технике: Сборник статей XVII

Международной научно-технической конференции г. Пенза, 26–27 октября

2017 г.). — Пенза: Приволжский дом знаний, 2017. — С. 74–79.

7. Алкезуини М. М., Горбаченко В. И. Обучение сетей радиальных

базисных функций методом Нестерова при решении краевых задач

математической физики // Аналитические и численные методы моделирования

естественнонаучных и социальных проблем: материалы XII Междунар. науч.-

105

техн. конф. (г. Пенза. Россия. 4-6 декабря 2017 г.) / под ред. д-ра физ.-мат. наук.

проф. И. В. Бойкова. — Пенза: Изд-во ПГУ. 2017. — C. 171–175.

8. Алкезуини М. М., Горбаченко В. И. Обучение сетей радиальных

базисных функций при решении задач аппроксимации и уравнений в частных

производных // XXI Международная научно техническая конференция

"Нейроинформатика 2019": сборник научных трудов. В 2 ч частях. Часть 1. —

М.: МФТИ, 2019. — С. 85–93.

9. Алкезуини М. М., Горбаченко В. И. Решение задач аппроксимации на

сетях радиальных базисных функций, обучаемых методом Левенберга

Марквардта // Нейроинформатика, её приложения и анализ данных. Материалы

XXVII Всероссийского семинара. 2018 (Красноярск, 27.09.2019–29.09.2019). —

Красноярск, Институт вычислительного моделирования СО РАН, 2018. — С. 3–

8.

10. Алкезуини М. М., Горбаченко В. И. Решение краевых задач на сетях

радиальных базисных функций // Нейроинформатика, её приложения и анализ

данных. Материалы XXVI Всероссийского семинара. 2018 (Красноярск,

28.09.2018–30.09.2018). — Красноярск, Институт вычислительного

моделирования СО РАН, 2018. — С. 9–15.

11. Алкезуини М. М., Горбаченко В. И. Решение краевых задач на сетях

радиальных базисных функций // Новые информационные технологии и

системы: материалы XV Междунар. науч.-техн. конф., посвященной 75 летию

Пенз. гос. ун та (г. Пенза, 20–22 ноября 2018 г.). — Пенза: Изд-во ПГУ, 2018. —

С. 72–78.

12. Алкезуини М. М., Горбаченко В. И. Совершенствование алгорит¬мов

обучения сетей радиальных базисных функций для решения задач

аппроксимации // Модели, системы, сети в экономике, технике, природе и

обществе. — 2017. — № 3 (23). — C.123–138.

13. Алкезуини М. М., Горбаченко В. И. Ускоренные методы первого

порядка обучения сетей радиальных базисных функций // Нейроинформатика, её

приложения и анализ данных. Материалы XXV Всероссийского семинара. 2017

106

(Красноярск, 29.09.2017–01.10.2017). — Красноярск, Институт вычислительного

моделирования СО РАН, 2017. — С. 3–7.

14. Алкезуини М. М., Горбаченко В. И., Жуков М. В. Алгоритм обучения

методом доверительных областей сетей радиальных базисных функций для

решения краевых задач математической физики // Аналитические и численные

методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем: материалы

XI Междунар. науч.-техн. конф. (г. Пенза. Россия. 6-9 декабря 2016 г.) / под ред.

д-ра физ.-мат. наук. проф. И. В. Бойкова. — Пенза: Изд-во ПГУ. 2016. — C. 168–

173.

15. Алкезуини М. М., Горбаченко В. И., Жуков М. В. Обучение сетей

радиальных базисных функций для решения краевых задач математической

физики // Проблемы информатики в образовании, управлении, экономике и

технике: Сборник статей XVI Международной научно-технической

конференции г. Пенза, 17–18 ноября 2016 г.). — Пенза: Приволжский дом

знаний, 2016. — С. 103– 109.

16. Алкезуини М. М., Горбаченко В. И., Жуков М. В. Решение уравнений

в частных производных на сетях радиальных базисных функций // Проблемы

информатики в образовании, управлении, экономике и технике: Сборник статей

XV Международной научно-технической конференции. — Пенза: Приволжский

дом знаний, 2015. — С. 58– 66.

17. Алкезуини М. М., Горбаченко В. И., Стенькин Д. А. Решение прямых и

обратных краевых задач на сетях радиальных базисных функций // Новые

информационные технологии и системы: сб. науч. ст. XVI Междунар. науч.-техн.

конф. (г. Пенза, 27–29 ноября 2019 г.). — Пенза: Изд-во ПГУ, 2019. — С. 242–

245.

18. Басов К. А. ANSYS. Справочник пользователя. — М.: ДМК-Пресс,

2014. — 640 с.

19. Бойков И. В., Баулина О. А. Приближенное решение эллиптичес¬ких

уравнений на нейронных сетях Хопфилда // Известия высших учебных

107

заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки, 2014. — №1(29).

— С.39–53.

20. Васильев А. Н., Тархов Д. А. Нейросетевое моделирование. Принципы,

алгоритмы, приложения. — СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2009. — 528 c.

21. Васильев А. Н., Тархов Д. А., Малыхина Г. Ф. Методы создания

цифровых двойников на основе нейросетевого моделирования // Современные

информационные технологии и ИТ-образование, 2018, Том 14. — № 3. — С. 521–

532.

22. Введение в математическое моделирование / В. Н. Ашихмин,

М. Б. Гитман, И. Э. Келлер, О. Б. Наймарк, В. Ю. Столбов, П. В. Трусов,

П. Г. Фрик; Под ред. П. В. Трусова. — М.: Логос, 2007. — 440 с.

23. Власова Е. А., Зарубин В. С., Кувыркин Г. Н. Приближенные методы

математической физики. — М.: Изд во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2004. — 700 с.

24. Галанин М. П., Савенков Е. Б. Методы численного анализа

математических моделей. — М.: Изд во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2010. — 591 с.

25. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация. — М.: Мир,

1985. — 509 с.

26. Горбаченко В. И. Вычислительная линейная алгебра с примерами на

MATLAB. — СПб.: БХВ Петербург, 2011. — 320 с.

27. Горбаченко В. И. Нейрокомпьютеры в решении краевых задач теории

поля. — М.: Радиотехника, 2003. — 336 с.

28. Горбаченко В. И., Алкезуини М. М. Моделирование объектов с

распределенными параметрами на нейронных сетях // Модели, системы, сети в

экономике, технике, природе и обществе. — 2019. — № 4 (32). — C. 50–64.

29. Горбаченко В. И., Артюхина Е. В. Бессеточные методы и их

реализация на радиально-базисных нейронных сетях // Нейрокомпьютеры:

разработка, применение. 2010. № 11. С. 4–10.

30. Горбаченко В. И., Артюхина Е. В. Бессеточные нейросетевые

алгоритмы моделирования физических полей в неоднородных и нелинейных

108

средах // Известия ПГПУ им. В. Г. Белинского. — 2010. — № 18 (22). — С. 130–

136.

31. Горбаченко В. И., Жуков М. В. Решение краевых задач математи-

ческой физики с помощью сетей радиальных базисных функций // Журнал

вычислительной математики и математической физики. — 2017, Том 57.— № 1.

— С.115–126.

32. ГОСТ Р 57188-2016. Численное моделирование физических процессов.

Термины и определения. — М.: Стандартинформ, 2016. — 12 с.

33. Гудфеллоу Я., Бенджио И., Курвиль А. Глубокое обучение. — М.:

ДМК Пресс, 2018. — 652 с.

34. Елисов Л. Н., Горбаченко В. И., Жуков М. В. Обучение методом

доверительных областей сетей радиальных базисных функций при решении

краевых задач // Автоматика и телемеханика. — 2018. — № 9. — С. 95–105.

35. Жерон О. Прикладное машинное обучение с помощью Scikit Learn и

TensorFlow: концепции, инструменты и техники для создания интеллектуальных

систем. — СПб.: ООО "Альфа книга", 2018. — 688 с.

36. Жуков М. В. Моделирование систем с распределенными параметрами

с помощью сетей радиальных базисных функций, обучаемых методом

доверительных областей: дис. к-та техн. наук: 05.13.18. — Пенза.: ПГУ, 2015.

150 с.

37. Жуков М. В. Решение коэффициентных обратных задач

математической физики с помощью сетей радиальных базисных функций //

Нейрокомпьютеры: разработка и применение. — 2014. — №2. — С.32–39.

38. Зинкевич О. Метод конечных элементов в технике. — М.: Мир, 1975.

— 542 с.

39. Лисейкин В. Д. Разностные сетки. Теория и приложения. —

Новосибирск: Изд-во Сибирского отд-ния Российской акад. наук, 2014. — 254 с.

40. Лукнер Л., Шестаков В. М. Моделирование геофильтрации. — М.:

Недра, 1976. — 407 с.

109

41. Лыков А. В. Теория теплопроводности. — М.: Высшая школа, 1967. —

600 с.

42. Марчук Г. И., Агошков В. И. Введение в проекционно-сеточные

методы. — М.: Наука, 1981. — 416 с.

43. Митчелл Э., Уэйт Р. Метод конечных элементов для уравнений с

частными производными. — М.: Мир, 1981. — 216 с

44. Ортега Дж., Рейнболт В. Итерационные методы решения нелинейных

систем уравнений со многими неизвестными. — М.: Мир, 1975. — 558 с.

45. Осовский С. Нейронные сети для обработки информации. — М.:

Горячая линия–Телеком, 2016. — 448 с.

46. Паттанаяк С. Глубокое обучение и TensorFlow для профессионалов.

Математический подход к построению систем искусственного интеллекта на

Python. — СПБ.: ООО "Диалектика", 2019. — 480 с.

47. Поляк Б. Т. О некоторых способах ускорения сходимости

итерационных методов // Журнал вычислительной математики и

математической физики, 1964, Том 4. — № 5. — С. 791–803.

48. Саад Ю. Итерационные методы для разреженных систем. Том 1. — М.:

Изд во Московского университета, 2013. — 344 p.

49. Самарский А. А. Теория разностных схем. — М.: Наука, 1989. — 616 с.

50. Самарский А. А., Вабищевич П. Н. Вычислительная теплопередача. —

М.: Едиториал УРСС, 2003. — 784 с.

51. Самарский А. А., Вабищевич П. Н. Численные методы решения

обратных задач математической физики. — М.: Изд-во ЛКИ, 2009. — 480 с.

52. Самарский А. А., Михайлов А. П. Математическое моделирование:

Идеи. Методы. Примеры. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. — 320 с.

53. Соколов В. С. Моделирование разработки нефтяных и газовых

месторождений. — Тюмень: ТюмГНГУ, 2014. — 146 с.

54. Тархов Д. А. Нейросетевые модели и алгоритмы. Справочник — М.:

Радиотехника, 2014. — 352 с.

110

55. Толстых А. И., Широбоков Д. А. Бессеточный метод на основе

радиальных базисных функций // Журнал вычислительной математики и

математической физики. — 2005, Том 45. — № 8. — С. 1498–1505.

56. Уоткинс Д. Основы матричных вычислений. — М.: БИНОМ.

Лаборатория знаний, 2006. — 664 с.

57. Фарлоу С. Уравнения с частными производными для научных

работников и инженеров. — М.: Мир, 1985. — 384 с.

58. Хайкин С. Нейронные сети: полный курс. — М.: Вильямс, 2006. —

2006. — 1104 с.

59. A meshless local radial basis function method for two-dimensional

incompressible Navier-Stokes equations / Wang Z. H., Huang Z., Zhang W., Xi G. //

Numerical Heat Transfer, Part B: Fundamentals. — 2015, Vol. 67. — No. 4. —P. 320–

337.

60. A new optimized GA-RBF neural network algorithm / W. Jia, D. Zhao,

T. Shen, C. Su, C. Hu, Y. Zhao // Computational Intelligence and Neuroscience, 2014,

Article ID 982045.

61. Alqezweeni M. M. Solution partial differential equation on radial basis

function networks // Математическое и компьютерное моделирование

естественно-научных и социальных проблем: сб. ст. IX Междунар. науч.-техн.

конф. молодых специалистов, аспирантов и студентов (Россия, г. Пенза, 20-22

мая 2015 г.) / под ред. д.ф.-м.н.. проф. II. В. Бойкова. — Пенза: Изд-во ПГУ, 2015.

— С. 276–281.

62. Alqezweeni M. M., Gorbachenko V. I., Zhukov M. V., Jaafar M. S.

Efficient Solving of Boundary Value Problems Using Radial Basis Function Networks

Learned by Trust Region Method // International Journal of Mathematics and

Mathematical Sciences. — Vol. 2018, Article ID 9457578, 4 pages, 2018.

63. Anderson M. P., Woessner W. W., Hunt R. J. Applied Groundwater

Modeling: Simulation of Flow and Advective Transport. Academic Press, 2015. —

564 p.

111

64. Aster R. C., Borchers B., Thurber C. H. Parameter estimation and inverse

problems. — Academic Press, 2012. — 356 p.

65. Bacar A. H., Ouazar D., Taik A. A Predictor-Corrector Meshless Based

Scheme for Incompressible Navier-Stokes Flows // International Journal of Applied

and Computational Mathematics. — 2020, Vol. 6. — Article number 18.

66. Baydin A. G., Pearlmutter B. A., Radul A. A. Automatic differentiation in

machine learning: a survey // The Journal of Machine Learning Research archive, 2017,

Vol. 18. — No 1. — P. Pages 5595–5637.

67. Benaim M. On the functional approximation with normalized Gaussian

units. // Neural Computation. — 1994, Vol. 6. — No 2. — P. 319–333.

68. Bernal F. Trust-region methods for nonlinear elliptic equations with radial

basis functions // Computers & Mathematics with Applications, 2015, Vol. 72. — No

7. — P. 1743–1763.

69. Bugmann G. Normalized Gaussian radial basis function networks. //

Neurocomputing. — 1998, Vol. 20. — No 1–3. — P. 97–110.

70. Buhmann M. D. Radial Basis Functions: Theory and Implementations. —

Cambridge University Press, 2004. — 259 p.

71. Chen H., Kong L., Leng W. Numerical Solution of PDEs via Integrated

Radial Basis Function Networks with Adaptive Training Algorithm // Applied Soft

Computing. — 2011, Vol 11. — No 1. — P. 855–860.

72. Chen J. S., Wang L., Hu H. Y. Subdomain radial basis collocation method

for heterogeneous media // International journal for numerical methods in engineering.

— 2009, Vol. 80. — No. 2. — P. 163–190.

73. Chen W., Fu Z. J. Recent Advances in Radial Basis Function Collocation

Methods. — Springer, 2014. — 90 p.

74. Conn A. R., Gould N. I. M., Toint P. L. Trust-region methods. MPS-SIAM,

1987. — 979 p.

75. Cybenko G. Approximation by Superposition of a Sigmoidal Function //

Mathematics of Control, Signals and Systems, 1989, Vol. 2. — P. 303–314.

112

76. Demirkaya G., Wafo S. C., Ilegbusi O. J. Direct solution of Navier–Stokes

equations by radial basis functions // Applied Mathematical Modelling. — 2008, Vol.

32. — No. 9. — P. 1848–1858.

77. Duchi J., Hazan E., Singer Y. Adaptive subgradient methods for online

learning and stochastic optimization // Journal of Machine Learning Research, 2011,

Vol. 12. — P. 2121–2159.

78. Efficient solving of boundary value problems using radial basis function

networks learned by trust region method / M. M. Alqezweeni, V. I. Gorbachenko,

M. V. Zhukov, M. S. Jaafar // Hindawi. International Journal of Mathematics and

Mathematical Sciences. — Vol. 2018, Article ID 9457578, 4 pages, DOI

10.1155/2018/9457578

79. Engl H. W., Hanke M., Neubauer A. Regularization of Inverse Problems. —

Springer, 1996. — 322 p.

80. Ertekin T., Sun Q., Zhang J. Reservoir Simulation: Problems and Solutions.

— Society of Petroleum Engineers, 2019. — 1166 p.

81. Fasshauer G. E. Meshfree Approximation Methods with MATLAB. —

World Scientific Publishing Company, 2007. — 520 p.

82. Fasshauer G. E. Newton iteration with multiquadrics for the solution of

nonlinear PDEs // Computers & Mathematics with Applications. — 2002, Vol. 43. —

Issue 3–5. — P. 423–438.

83. Fasshauer G., Zhang J. On choosing “optimal” shape parameters for RBF

approximation // Numerical Algorithms. — 2007, Vol. 45. — Issue 1–4. — P. 345–

368.

84. Fath A. H., Madanifar A. F., Abbasi M. Implementation of multilayer

perceptron (MLP) and radial basis function (RBF) neural networks to predict solution

gas-oil ratio of crude oil systems // Petroleum. — 2020, Vol. 6. — No. 1. — P. 80–90.

85. Fletcher R., Reeves C. M. Function minimization by conjugate gradients //

Computer Journal. — 1964, Vol. 7. P. 149–154.

86. Franke R. Scattered data Interpolation: Tests of some Methods//

Mathematics of Computation, 1982, Vol. 38. — No 157. — P.181–200.

113

87. Fundamental solutions method for coupled mathematical models of heat and

mass transfers / V. Gorbachenko, О. Yaremko, N. Yaremko, M. Alkazweeny //

International Journal of Pure and Applied Mathematics. — 2018, Vol. 118. — No. 3.

— P. 637–649.

88. Gorbachenko V. I., Alqezweeni M. M. Learning Radial Basis Functions

Networks in Solving Boundary Value Problems // 2019 International Russian

Automation Conference — RusAutoCon, (Sochi, Russia September 8-14, 2019). —

P. 1–6.

89. Gorbachenko V. I., Alqezweeni M. M., Jaafar M. S. Application of

parametric identification method and radial basis function networks for solution of

inverse boundary value problems // 2017 Annual Conference on New Trends in

Information and Communications Technology Applications, NTICT 2017; Baghdad;

Iraq; 7-9 March 2017. — P. 18–21.

90. Gorbachenko V. I., Alqezweeni M. M., Jaafar M. S. Approximation of

Functions Through Radial Basis Function Networks // Математическое и

компьютерное моделирование естественно-научных и социальных проблем: сб.

ст. X Междунар. науч.-техн. конф. молодых специалистов, аспирантов и

студентов (Россия, г. Пенза, 23−27 мая 2016 г.) / под ред. д.ф.-м.н., проф. И. В.

Бойкова. — Пенза: Изд-во ПГУ, 2016. — С. 281–286.

91. Gorbachenko V. I., Iaremko O. E., Alqezweeni M. M. Kernel basis

functions method for coupled mathematical models of heat and mass transfers //

International conference on mathematical modelling in applied sciences, Saint

Petersburg-Russia (July 24–28,2017). — St. Petersburg: Peter the Great St. Petersburg

Polytechnic University, 2017. — P.79–80.

92. Gorbachenko V. I., Zhukov M. V., Alqezweeni M. M. Solving boundary

value problems using radial basis functions networks learned by trust region method //

International conference on mathematical modelling in applied sciences, Saint

Petersburg-Russia (July 24–28, 2017). — St. Petersburg: Peter the Great St. Petersburg

Polytechnic University, 2017. — P.97–98.

114

93. Gorbachenko V., Alqezweeni M. Improving algorithms for learning of

radial basis functions networks for approximation problems and solving partial

differential equations // 2019 International Conference on Applied and Engineering

Mathematics. — ICAEM, (Taxila, Pakistan, 27-29 Aug. 2019). — P. 264 – 268.

94. Hanin B. Universal Function Approximation by Deep Neural Nets with

Bounded Width and ReLU Activations. [Электронный ресурс]. — Режим доступа:

https://arxiv.org/abs/1708.02691 (дата обращения: 01.05.2020).

95. Hocevar M., Sirok B., Grabec I. A Turbulent-Wake Estimation Using Radial

Basis Function Neural Networks // Flow Turbulence and Combustion. — 2005, Vol.

74. — No. 3. —P. 291–308.

96. Hornik K. Approximation capabilities of multilayer feedforward networks //

Neural Networks, 1999, Vol. 4. — No 2. — P. 251–257.

97. Islam M. R., Abou-Kassem J. H., Farouq-Ali S. M. Petroleum Reservoir

Simulation: The Engineering Approach. — Gulf Professional Publishing, 2020. —

526 p.

98. Jianyu L., Siwei L., Yingjian Q. Numerical solution of elliptic partial

differential equation by growing radial basis function neural networks // Neural

Networks, 2003, vol. 16. — Issue 5–6. — P. 729–734.

99. Kansa E. J. Motivation for using Radial Basis Function to solve PDEs //

[Электронный ресурс]. — Режим доступа:

https://people.clarkson.edu/~gyao/kansa_rbf_pde.pdf

(дата обращения: 01.05.2020).

100. Kansa E. J. Multiquadrics — A scattered data approximation scheme with

applications to computational fluid-dynamics — I surface approximations and partial

derivative estimates // Comput. Math. Appl.— 1990. — No 19(8–9). — P. 127–145.

101. Kansa E. J. Multiquadrics — A scattered data approximation scheme with

applications to computational fluid-dynamics — II solutions to parabolic, hyperbolic

and elliptic partial differential equations // Comput. Math. Appl. — 1990. No 19(8–9).

— P. 147–161.

115

102. Kingma D., Ba J. Adam: A method for stochastic optimization.

[Электронный ресурс]. — Режим доступа: https://arxiv.org/abs/1412.6980 (дата

обращения: 01.05.2020).

103. Kumar M., Yadav N. Multilayer perceptions and radial basis function

neural network methods for the solution of differential equations: a survey //

Computers and Mathematics with Applications. — 2011, Vol. 62. — P. 3796–3811.

104. Li J. C., Hon Y. C. Domain decomposition for radial basis meshless

methods // Numeric Methods Partial Differ. Eq. — 2004. — No 20(3). — P. 450–462.

105. Liesen J. Krylov subspace methods: principles and analysis. — Oxford

University Press, 2015. — 408 p.

106. Ling L, Kansa E. J. A least-squares preconditioner for radial basis functions

collocation methods // Advances in Computational Mathematics. — 2005. — No 23.

— P. 31–54.

107. Liu G. R. Mesh free methods: moving beyond the finite element method.

— CRC Press, 2003. — 712 p.

108. Mai-Duy N., Tran-Cong T. Solving High Order Ordinary Differential

Equations with Radial Basis Function Networks // International Journal of Numerical

Methods in Engineering. — 2005, Vol 62. — P. 824–852.

109. Margossian C. C. A Review of automatic differentiation and its efficient

implementation. [Электронный ресурс]. — Режим доступа:

https://arxiv.org/abs/1811.05031 (дата обращения: 01.05.2020).

110. Markopoulos A. P., Georgiopoulos S., Manolakos D. E. On the Use of

Back Propagation and Radial Basis Function Neural Networks in Surface Roughness

Prediction // Journal of Industrial Engineering International, 2016, Vol. 12. — No 3.

— P. 389–400.

111. Marquardt D. W. An algorithm for least-squares estimation of nonlinear

parameters // Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics, 1963, Vol.

11. — No 2. — P. 431–441.

112. MATLAB. [Электронный ресурс]. Режим доступа:

https://www.mathworks.com/ (дата обращения: 01.05.2020).

116

113. Mazumder S. Numerical methods for partial differential equations: finite

difference and finite volume methods. — Academic Press, 2015. — 461 p.

114. Meshfree Methods for Partial Differential Equations / Editors M. Griebel,

M. A. Schweitzer. — Springer, 2008. — 412 p.

115. Meshless Methods: An Overview and Recent Developments /

T. Belytschko, Y. Krongauz, D. Organ, M. Fleming, P. Krysl // Computers Methods

in Applied Mechanics and Engineering. — 1996, Vol. 139. — Issue 1–4. — P. 3–47.

116. Micchelli C. F. Interpolation of scattered data: Distance matrices and

conditionally positive definite functions // Constructive Approximation. — 1986, Vol.

2. — Issue 1. — P. 11–22.

117. Moody J., Darken C. Fast learning in networks of locally-tuned processing

units. // Neural Computation. — 1989, Vol. 1. — No 2. — P. 281–294.

118. Nesterov Y. Introductory lectures on convex optimization: A basic course.

— Springer, 2013. — 236 p.

119. Neural Network Technique in Some Inverse Problems of Mathematical

Physics / V. I. Gorbachenko, T. V. Lazovskaya, D. A. Tarkhov, A. N. Vasiljev,

M. V. Zhukov // Advances in Neural Networks - ISNN 2016: 13th International

Symposium on Neural Networks, ISNN 2016, St. Petersburg, Russia, July 6-8, 2016,

Proceedings (Lecture Notes in Computer Science). — Springer, 2016. — P. 310–316.

120. Ngo-Cong D., Tien C. M. T., Nguyen-Ky T. A generalized finite

difference scheme based on compact integrated radial basis function for flow in

heterogeneous soils // International Journal for Numerical Methods in Fluids. — 2017,

Vol. 85. — No. 7. — P. 404–429.

121. Niyogi P., Girosi F. On the relationship between generalization error,

hypothesis complexity, and sample complexity for radial basis functions // Neural

Computation, 1996, Vol. 8. — No 4. — P. 819–842.

122. Nocedal J., Wright S. J. Numerical Optimization. — Springer: 2006. —

664 p.

123. Park J., Sandberg I. W. Approximation and Radial-Basis-Function

Networks // Neural Computation, 1993. — Vol. 5. — No. 2. — P. 305–316.

117

124. Park J., Sandberg I. W. Universal Approximation Using Radial-Basis-

Function Networks // Neural Computation, 1991. — Vol. 3. — No. 2. — P. 246–257.

125. Piret C., Dissanayake N., Gierke J. S. The Radial Basis Functions Method

for Improved Numerical Approximations of Geological Processes in Heterogeneous

Systems // Mathematical Geosciences, 2019. — DOI 10.1007/s11004-019-09820-w.

126. Polak E., Ribiere G. Note sur la convergence de méthodes de directions

conjuguées // Revue Française d’informatique et de Recherche Opérationnelle. Série

Rouge. — 1969, Vol. 3. — No 16. — P. 35–43.

127. Safarpoor M. Takhtabnoos F., Shirzadi A. A localized RBF-MLPG method

and its application to elliptic PDEs // Engineering with Computers. — 2019, Vol. 36.

— No. 1. — P. 171–183.

128. Sarra S. Adaptive Radial Basis Function Methods for Time Dependent

Partial Differential Equations // Applied Numerical Mathematics. — 2005, Vol 54. —

No 1. — P. 79–94.

129. Sarra S. A., Kansa E. J. Multiquadric radial basis function approximation

methods for the numerical solution of partial differential equations. [Электронный

ресурс]. – Режим доступа:

http://www.scottsarra.org/math/papers/mqMonographSarraKansa.pdf

(дата обращения: 01.05.2020).

130. Staihaug T. The conjugate gradient method and trust region in large scale

optimization // SIAM Journal on Numerical Analysis, 1983. Vol. 20. — No 3. P. 626–

637.

131. Su L. D., Jiang Z. W., Jiang T. S. Numerical method based on radial basis

functions for solving reaction-diffusion equations // 2016 IEEE Information

Technology, Networking, Electronic and Automation Control Conference. — P. 893–

896.

132. Sutskever I., Martens J., Dahl G. On the importance of initialization and

momentum in deep learning // ICML'13 Proceedings of the 30th International

Conference on International Conference on Machine Learning, 2013, Vol. 28. — P.

III-1139–III-1147.

118

133. Vertnik R., Sarler B. Solution of Incompressible Turbulent Flow by a

Mesh-Free Method // Computer Modeling in Engineering and Sciences. — 2009, Vol.

44. — No.1. — P. 65–96,

134. Wang H., Qin Q.-H., Kang Y. L. A new meshless method for steady-state

heat conduction problems in anisotropic and inhomogeneous media // Archive of

Applied Mechanics. — 2005, Vol. 74. — P. 563–579.

135. Wendland H. Scattered Data Approximation. — Cambridge University

Press, 2010. — 348 p.

136. Wild S. M., Regis R. G., Shoemaker C. A. ORBIT: optimization by radial

basis function interpolation in trust-regions // SIAM Journal on Scientific Computing,

2008, Vol. 30. — No. — 6. P. 3197–3219.

137. Xie T., Yu H., Hewlett J. Fast and Efficient Second-Order Method for

Training Radial Basis Function Networks / // IEEE Transfction Neural Networks and

Learning Systems, 2012, Vol. 23. — No. — 4. P. 609–619.

138. Yadav N., Yadav A., Kumar M. An Introduction to Neural Network

Methods for Differential Equations. Springer, 2015. — 115 p.

139. Yensiri S., Skulkhu R. J. An Investigation of Radial Basis Function-Finite

Difference (RBF-FD) Method for Numerical Solution of Elliptic Partial Differential

Equations // Mathematics. — 2017, Vol. 5. — No 54. doi:10.3390/math5040054

140. Zhang L., Li K., Wang W. An improved conjugate gradient algorithm for

radial basis function (RBF) networks modelling // Proceedings of 2012 UKACC

International Conference on Control. — P. 19–23.

119

ПРИЛОЖЕНИЯ

120