Группы автоморфизмов полей и их представления тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, доктор физико-математических наук Ровинский, Марат Зефирович

• Ровинский, Марат Зефирович
• доктор физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Ровинский, Марат Зефирович

Глава 0. Введение

0.1. Некоторые общие обозначения, соглашения и цели

0.2. Основные результаты И

1. Структура С? И

1.1. Замкнутые, открытые и максимальные собственные подгруппы; теории Галуа

1.2. Автоморфизмы ш

2. Как переводить геометрические вопросы на язык теории представлений? ш

2.1. ¿>т<з гу

2.2. Лйтп 1у

2.3. 1а VI

2.4. Фа и когомологии гладких представлений 1х

2.5. Дифференциальные формы ¡х

3. От линейных представлений к полулинейным х

3.1. Нормирования и ассоциированные функторы ([Р6]) хп

3.2. Допустимые полулинейные представления хи

4. Обозначения, соглашения и терминология XV

4.1. Поля, их расширения, автоморфизмы и т.д. XV

4.2. Общие обозначения XVI

4.3. Топологические группы, их представления, меры и т.д. ху

Глава 1. Структура й и теории Галуа

1. Некоторые сведения о замкнутых подгруппах в С

1.1. Теория Галуа

1.2. Топологическая простота С и то, что с ней связано

1.3. Пересечения подпол ей и оболочки подгрупп

2. Максимальные открытые подгруппы 10 2.1. Ещё одна теория Галуа

3. Нормирования и связанные с ними подгруппы 15 3.1. Нормирования и максимальные подгруппы

4. Объединение компактных подгрупп

4.1. Теория Куммера

4.2. Формальные ряды

5. «Плотная» локально компактная «подгруппа» 0 в С 27 5.1. Явная формула для модуля ©

6. Автоморфизмы С при п =

Глава 2. Общие свойства гладких представлений (У и их реализации

1. Алгебры Гекке и соответствия

1.1. Центры алгебр Гекке

2. Инварианты подгрупп и тензорные произведения

3. Морфизмы между некоторыми О-модулями, матричные коэффициенты и сенарабельное замыкание

3.1. Два замечания о (7-модулях Г/к и Рх/кх

3.2. Морфизмы между некоторыми й- и (?°-модулями

3.3. Некомпактность носителей матричных коэффициентов

4. Несколько примеров (ко-)гомологических вычислений

4.1. Примеры вычислений групп расширений и торсоров

4.2. Пример вычисления коинвариантов и внутреннего функтора Лот

5. Гладкие представления (3 как пучки и их ацикличность

У.Яннсен, М.Ровинский)

5.1. Доминантная топология

5.2. «Ацикличность» некоторых ограничений (З-модулей

5.3. Когомологии Чеха

5.4. Ацикличность «геометрических» б-модулей и когомологическая размерность категории ¿>тс

5.5. А1-инвариантность некоторых предпучков

6. Представления, коиндуцированные с открытых подгрупп 56 6.1. Чисто трансцендентные расширения квадратичных расширений

Глава 3. Гомотопически инвариантные представления (

0.2. Возможные связи со смешанными мотивами

1. Категория Тс

1.1. Категория 2с и допустимые представления

1.2. Функтор X

1.3. Объекты Хс; уровня

1.4. Описание мотивной фильтрации на группах Чжоу нуль-циклов

1.5. Внутренний Нот

1.6. Стабилизаторы

2. «Формула Кюннета» и тензорная структура

2.1. Тензорная структура на Хо

2.2. «Формула Кюннета» для произведений с кривыми

2.3. Некоторые подкатегории в Тс, тензорные структуры на них и их варианты

3. Геометрическая конструкция допустимых представлений

3.1. Представления, котрагредиентные к мотивным

3.2. Проектор Дцх)

3.3. Функторы В* и «В?

3.4. «Поляризация» на Вп(к{Х) Р) и поляризуемые (З-модули

4. Нормирования, связанные с ними функторы и полулинейные представления

4.1. Функтор «глобализации»

4.2. Функтор «специализации»

4.3. Ограничения на объекты Хс и на факторы объектов Ха <8> -Р

5. Полнота функтора 99 5.1. Соотношения между Хд(к) и полулинейными представлениями

6. «Гомотопически инвариантные» представления как невырожденные модули 101 6.1. Алгебра Гекке полупростой подкатегории категории То

7. Ограничения объектов Хд на специальные подгруппы Галуа, и Х-индукция

7.1. Следы и центральные функционалы

8. Категории 2© и Adm®

Глава 4. Полулинейные представления G

1. Обозначения настоящей главы и план изучения категории А

1.1. Обозначения

1.2. Схема изучения структуры категории Л

1.3. Включение 6£n С ö££

1.4. Функтор Sn

2. Примеры полулинейных представлений

2.1. Полугруппы с одной образующей

2.2. Бесконечная симметрическая группа

2.3. Линейные и полулинейные представления

3. Некоторые полулинейные представления групп, исчерпываемых своими компактными подгруппами

3.1. Эндоморфизмы и стягивания

3.2. Локальная задача: &((4))-полулинейные представления N

4. Чисто трансцендентные расширения: редукция к локальной задаче

5. Две леммы о «слабых гомоморфизмах»

6. Категория 6£" полулинейных представлений PGLn+i и когерентные пучки на PjJ

7. Эквивариантность неприводимых когерентных PGL-пучков

8. «Положительность» допустимых полулинейных представлений

9. Расширения в 6£" и в А 131 9.1. Расширения в 6£"

10. Категория А в случае к — Q . . 136 10.1. Группы Ext в А

11. «Когерентные» пучки в гладкой топологии

12. А/А>т

13. Разное

13.1. Забывающий функтор

13.2. «Простота» категории С, или тривиальность универсальных факторов

14. Дифференциальные формы

14.1. (Полу)линейные представления пары (G, ß)

14.2. Примеры полулинейных представлений

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Группы автоморфизмов полей и их представления»

Теория Галуа возникла в работах Н.Х.Абеля и Э.Галуа как теория групп перестановок корней многочленов. Р.Дедекинд ввёл поля и кольца, и начал рассматривать группы Галуа как группы автоморфизмов расширений полей. Ему же принадлежит идея о том, что группу Галуа следует считать топологической группой. Окончательно в случае алгебраического расширения эта идея оформилась в работе В.Крулля [К1], а для произвольных расширений - в работах Н.Джекобсона, И.И.Пятецкого-Шапиро, И.Р.Шафаревича и др. В этих работал было построено естественное взаимнооднозначное соответствие между промежуточными под-полями произвольного расширения, над которыми объемлющее поле является расширением Галуа, и компактными подгруппами группы автоморфизмов этого расширения. Аналогичное соответствие было построено и для открытых компактных подгрупп. В случае алгебраически замкнутого объемлющего поля было установлено, что группа автоморфизмов расширения локально компактна тогда и только тогда, когда степень трансцендентности этого расширения конечна. Детально изучались группы автоморфизмов алгебраически замкнутых полей, состоящие из элементов конечного порядка, см. историю этого вопроса в начале §4 главы 1.

Все вышеупомянутые подгруппы являются группами автоморфизмов алгебраических расширений, т.е. обычными группы Галуа. С другой стороны, многие топологические группы являются группами автоморфизмов расширений нолей. Так автоморфизмы полей функций алгебраических многообразий над топологическими полями содержат группы точек алгебраических групп над этими полями. Кроме того, группы точек р-адических групп при р < оо (а также над конечными аделями) возникают ещё как группы автоморфизмов полей автоморф-ных функций. Изучались также группы непрерывных автоморфизмов топологических нолей, например, рядов Лорана.

Пусть Р\к - расширение полей счётной (что будет основным случаем) или конечной степени трансцендентности и О = (Зр^ - группа его автоморфизмов. Следуя [Лас, П1П-1П, ЭЬ, I] (и обобщая случай алгебраического расширения из [К1]), мы считаем С топологической группой, базу открытых подгрупп которой составляют стабилизаторы конечных подмножеств Р. При этом (3 становится вполне несвязной хаусдорфовой группой.

Следуя очень общей идее о том, что «достаточно симметричная» (математическая, физическая или иная) система определяется представлением своей группы симметрий, можно попытаться сравнить различные «геометрические категории над к», в которых Р интерпретируются как «предельный объект», с различными категориями представлений С?.

Чтобы теория представлений (7 была достаточно богатой, иоле Р должно быть «достаточно большим». По этой причине Р будет обычно алгебраически замкнутым. Таким образом, Р -«поле функций универсальной башни ¿-многообразий размерности, не превосходящей степени трансцендентности расширения Р\к». Тогда каждое совершенное подполе Ь в Р, содержащее к, совпадает с полем инвариантов подгруппы Ср^ группы (3, и С содержит, в частности, группы Аи);(1/|/с) в качестве подфакторов. 1

Как правило (по умолчанию, если не оговорено противное), к будет считаться алгебраически замкнутым (чтобы избежать рассмотрения уже достаточно сложной теории Галуа) характеристики нуль. Исключение составляют §1 главы 1, с. 2 и §1 главы 3, с. 64.

0.1. Некоторые общие обозначения, соглашения и цели. Пусть F|/c - алгебраически замкнутое расширение счётной или конечной степени трансцендентности п, 1 < п ^ оо, алгебраически замкнутого поля нулевой (по умолчанию) характеристики, и G = Gp\k - его группа автоморфизмов, снабжённая топологией, определённой выше.

Мы изучаем структуру G, её линейные и полулинейные представления (с открытыми стабилизаторами), и их связи с алгебраической геометрией (бирациональной геометрией, мотивами, дифференциальными формами и пучками) и автоморфными представлениями. В частности, мы изучаем аналоги известных результатов теории представлений р-адических (и вообще, локально компактных) групп в случае группы G.

0.2. Основные результаты. Основные результаты диссертации можно условно разбить на следующие пять групп.

1) Структура группы G.

2) Соответствия между подгруппами G и объектами, связанными с полем.

3) Бирациопальные инварианты многообразий и их связь с гладкими представлениями G; общие факты о гладких представлениях.

4) Разнообразные типы мотивов и их связь с некоторой абелевой категорией Xq гладких представлений G.

5) Гладкие полулинейные представления, их связи с линейными представлениями и с гомотопическими инвариантами алгебраических многообразий и с категорией Xq.

1. Структура G

Как известно ([Jac, ПШ-Ш, Sh, I]), группа G локально компактна тогда и только тогда, когда п < оо. Скажем, что топологическая группа топологически проста, если любая её замкнутая нормальная собственная подгруппа тривиальна.

Теорема 0.1 (Теорема 1.11). (1) Подгруппа G° группы G, порождённая всеми компактными подгруппами, открыта и топологически проста, если п < оо.

2) Если п = оо, то G° плотна в G, и G топологически проста.

Замечания. 1. Теорема 0.1 верна для любого расширения F\k алгебраически замкнутых полей произвольной характеристики, см. теорему 1.11. Если n = 1 и char(A;) ф 0, то сепара-бельное замыкание подполя к(х) в F порождено С?°-орбитой х для любого х € F \к, см. §3.1, предложение 2.16, с. 45.

2. Рассуждение [La] показывает, что G проста как дискретная группа, если степень трансцендентности F над к несчётна.

3. Если п < оо, то левое действие G на одномерном ориентированном Q-векторном пространстве правоинвариантных мер на G задаёт сюръективный гомоморфизм, модуль, х '■ G —> тривиальный на G°. Однако, я не знаю даже, тривиальна ли дискретная группа kerx/G°. Если она тривиальна при п = 1, то она тривильна и в общем случае, см. лемму 1.18.