Гравитационное взаимодействие в стабилизированной модели Рэндалл-Сундрума тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Михайлов, Юрий Сергеевич

• Михайлов, Юрий Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Михайлов, Юрий Сергеевич

Введение .,.

1 Модели с дополнительными измерениями

1.1 ADD-сценарий.

1.2 Модель Рэндалл-Сундрума с двумя бранами.

1.3 Стабилизированная RS1 модель

2 Линеаризованная гравитация в стабилизированной модели Рэндалл-Сундрума

2.1 Лагранжиан второй вариации для стабилизированной модели Рэндалл-Сундрума.

2.2 Выбор калибровки.

2.3 Уравнения движения для тензорного и скалярного полей.

2.4 Приближение малого возмущения метрики Рэндалл-Сундрума

2.5 Выводы по Главе 2.

3 Гравитационное взаимодействие на бранах

3.1 Энергетические масштабы стабилизированной модели Рэндалл-Сундрума.

3.2 Гравитационное взаимодействие на бранах.

3.3 Выводы по Главе 3.

4 Взаимодействие с материей на бранах

4.1 Линеаризованные уравнения движения.

4.2 Ньютоновский предел.

4.3 Выводы по Главе 4.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Гравитационное взаимодействие в стабилизированной модели Рэндалл-Сундрума»

Возможность того, что' наше пространство-время имеет более трех пространственных ' измерений, привлекает интерес физиков па протяжении многих лет. Еще в девятнадцатом веке Э. Мах, обсуждая работы И. Гербарта, писал: "Ограничение конструкции пространства тремя измерениями совершенно лишено основания, и именно на этот пункт следовало бы обратить преимущественное внимание. По истечении целого столетия именно такие вопросы могли бы получить совершенно новую физиономию" [1]. Действительно, на протяжении двадцатого века решению этой проблемы уделялось значительное внимание, причем интерес к ней то возрастал, и она оказывалась в центре внимания, то затухал. А в конце двадцатого века эта проблема прочно заняла одно из центральных мест в теоретических исследованиях по физике высоких энергий.

Рождение многомерного подхода обычно связывают с работой Т. Калуцы 1921 года [2]. Основная идея этой работы заключалась в попытке объединить четырехмерную гравитацию и электромагнетизм в рамках единой пятимерной теории гравитации. Предложенная Калуцей пятимерная теория опиралась на три основных положения. Во-первых, это уже отмеченный факт: увеличение размерности пространства-времени с четырех до пяти. Во-вторых, допущение того, что пятое измерение существенно отличается от четырех классических макроскопических измерений. Это, в частности, проявляется в независимости компонент пятимерной метрики от пятой координаты, что получило название условия цилиндричиости. В-третьих, оказалось необходимым предположить, что уравнения Эйнштейна в пятимерном пространстве-времени получаются из прямого геометрического обобщения действия Эйнштейна-Гилберта, т.е. имеющего вид скалярной кривизны пятимерного пространства-времени, проинтегрированной по этому пространству.

В этой работе Т. Калуцей были получены очень интересные результаты. А именно, оказалось, что при сделанных предположениях система из пятнадцати уравнений Эйнштейна в пятимерном пространстве-времени распадается на систему из десяти обычных четырехмерных уравнений Эйнштейна, на четыре уравнения Максвелла и еще одно дополнительное уравнение для скалярного поля. При этом в десяти четырехмерных уравнениях Эйнштейна автоматически возникает тензор энергии-импульса электромагнитного поля, который в теории Эйнштейна приходилось вводить в правую часть волевым образом. Также из принципа соответствия с обычной четырехмерной теорией следовал вывод, что пятая координата обязательно должна быть пространственной. Таким образом, в теории Калуцы речь шла о четырехмерном пространстве, существование которого предполагалось в ряде гипотез XIX века [1, 3, 4, 5].

Но как идеи Т. Калуцы могут согласоваться с тем очевидным фактом, что мы наблюдаем в точности три пространственных измерения? Ответ, который в неявной форме содержится в работе Т. Калуцы и который позднее был выражен в явном виде и уточнен шведским математиком О. Клейном в 1926 г. [6, 7], состоит в том, что структура пространства нашей Вселенной может допускать как бесконечные, так и свернутые, или компактные измерения. Таким образом, хотя мы наблюдаем только три пространственных измерения, рассуждения Калуцы и Клейна показывают, что это не исключает существования дополнительных компактных измерений, по крайней мере, если они достаточно малы. Вселенная вполне может иметь больше измерений, чем доступно нашим макроскопическим органам чувств. Кроме того, О. Клейн объединил первоначальное предположение Калуцы с идеями квантовой механики, и это привело его к выводу о том, что дополнительное циклическое измерение по размерам сопоставимо с планковской длиной Ipi = 1 /Mpi, что далеко выходит за рамки современных возможностей экспериментального изучения.

Впоследствии теории, основанные на гипотезе о существовании дополнительных компактных пространственных измерений, стали называть теориями Калуцы-Клейна. Однако, хотя исходная идея была многообещающей, последующий детальный анализ показал, что она находится в серьезном противоречии с экспериментальными данными. Простейшие попытки включить в теорию электрон приводили к предсказанию отношения его массы к заряду, которое существенно отличалось от экспериментально измеренных значений. Поскольку сразу разрешить эту проблему не удалось, интерес к теориям Калуцы-Клейна постепенно угас.

Новое возрождение интереса к теориям Калуцы-Клейна началось в шестидесятых годах прошлого века. В это время в работе [8] было дано обобщение подхода Калуцы-Клейна на случай неабелевых калибровочных полей. В этом случае пространство дополнительных измерений представляет собой неабелеву группу Ли, а многомерная теория гравитации сводится к четырехмерной теории, содержащей гравитационное, неабелево калибровочное и скалярные поля. Однако оказывается, что аналогично полной теории Калуцы, возникающие из многомерной метрики скалярные поля взаимодействуют с калибровочным полем неминимально и обладают существенно нелинейным самодействием.

Отметим также появившиеся в это же время работы [9, 10], в которых в рамках гипотезы о существовании дополнительных измерений пространства-времени развивался геометрический подход к теории слабых взаимодействий. В этих работах, в частности, впервые были рассмотрены спинорные поля в пространстве-времени с дополнительными измерениями.

Следует отметить, что в конце двадцатого века логика развития теории поля привела к тому, что гипотеза о многомерном пространстве-времени стала фактически общепринятой. Это связано с тем, что первоначально математическая формулировка многих схем объединения, таких как теории супергравитации с N > 4 и теория суперструн, оказывалась возможной только в пространствах с определенным числом измерений, большим четырех [11, 12,13, 14, 15, 16] (так называемые критические размерности). Таким образом, спустя полвека идея Калуцы обрела новый смысл.

Во всех этих теориях ненаблюдаемость дополнительных измерений пространства-времени по-прежнему объяснялась их малым порядка планковской длины - размером. Новый подход к проблеме ненаблюдаемости дополнительных измерений появился благодаря работам В. Рубакова и М. Шапошникова [17]. В 1983 году они предложили новый сценарий для многомерных теорий, основанный на идее локализации полей Стандартной модели на доменной стенке. При этом дополнительные измерения могут иметь большой или даже бесконечно большой размер, оставаться ненаблюдаемыми в области "низких" энергий и приводить к экспериментально наблюдаемым эффектам в области достаточно высоких энергий [18]. В пределе бесконечно тонкой доменной стенки в многомерном пространстве возникает новый объект, который называют "мембраной", или просто "браной".

Следующий этап развития теорий с дополнительными размерностями пространства-времени связан с появлением так называемого АДД сценария [19, 20]. В этих работах было замечено, что если поля Стандартной модели локализованы на бране в многомерном пространстве и пространство дополнительных компактных измерений имеет большой объем, то стандартная формула теории Калуцы-Клейна для связи многомерной и четырехмерной гравитационных постоянных позволяет решить проблему иерархии гравитационного взаимодействия. А именно, при наличии дополнительных измерений константа гравитационного взаимодействия в многомерной теории может быть сравнима с константой электрослабого взаимодействия, что соответствует фундаментальному энергетическому масштабу порядка 1 ТэВ1 однако эффективная четырехмерная константа взаимодействия на бране имеет обычную величину, соответствующую энергетическому масштабу порядка 1016 ТэВ. Таким образом, при энергиях порядка нескольких ТэВ гравитационное взаимодействие за счет калуца-клейновских мод многомерного гравитационнго поля может быть сравнимым по силе с электрослабым взаимодействием. Поэтому предсказываемые такими теориями эффекты могут быть проверены уже в ближайшее время в экспериментах на коллайдерах (см. например [21, 22]). Именно возможность обнаружения больших и бесконечных дополнительных измерений является основной причиной, по которой они представляют интерес.

АДД сценарий отличается простотой и ясностью объяснения слабости гравитационного взаимодействия в четырехмерном пространстве-времени. Однако сделанное в его рамках предположение об отсутствии у браны натяжения (т.е. плотности энергии) представляется слишком грубым приближением. Действительно, брана без натяжения не обладает энергией покоя, и в соответствии с СТО с ней не может быть связана физическая система отсчета. Если же попытаться рассмотреть в рамках АДД сценария браны с натяжением, то легко увидеть, что гравитационное поле браны нельзя учесть в рамках теории возмущений.

Эта проблемы была решена в модели Рэндалл-Сундрума [23]. Данная модель основана на точном решении для системы из двух бран с натяжением, взаимодействующих с гравитацией в пятимерном пространстве-времени. Дополнительное (пятое) измерение представляет из себя так называемый орбифолд, а браны расположены в его неподвижных точках, в результате чего они не являются динамическими элементами теории. Структура орбифолда накладывает определенную симметрию на все поля модели, в частности, гравитационное поле должно быть симметричными по отношению к отражениям относительно положения бран. В этой модели метрика фонового решения является неплоской, и проблема иерархии решается благодаря экспоненциальному фактору в выражении для метрики.

В моделях [19, 23] дополнительные измерения имеют конечный размер. Однако в моделях "мира на бране" это не обязательно должно быть так. Например, в работе [24] описана модель, в которой одно бесконечное дополнительное измерение и одна брана. Хотя в этом случае иерархия между четырехмерными электрослабым и гравитационным масштабами уже не может быть объяснена геометрией пятимерного пространства-времени, модель предлагает некоторые интересные следствия. К тому же оказалось, что в этом случае нулевая с четырехмерной точки зрения мода гравитона оказывается локализованной на бране, и на достаточно больших расстояниях в пределе слабого поля гравитация на бране соответствует четырехмерной эйнштейновской гравитации.

Помимо рассмотренных вариантов, существуют экзотические сценарии, в которых дополнительные измерения имеют совсем другую структуру. Например модели с временными дополнительными измерениями (см. [25, 26, 27]). Также в последнее время появились модели с так называемыми "универсальными дополнительными измерениями" [28, 29, 30]. В таких моделях предполагается, что поля Стандартной модели находятся не только на бране, а во всем пространстве, что достаточно близко по идее к первоначальным предположениям Калуцы и Клейна. В частности, в последних работах этого направления [31, 32, 33, 34, 35] считается, что все поля Стандартной модели, кроме поля Хиггса, распространяются в дополнительных измерениях; поле Хиггса предполагается локализованным на бране с отрицательным натяжением. При этом разные лептоны и кварки локализованы у разных бран, что позволяет объяснить иерархию их масс.

К сожалению, практически все вышеперечисленные модели не лишены недостатков, что не позволяет построить на их основе реалистическую теорию. Например, модель Рэндалл-Сундрума с двумя бранами, или RS1 модель, предсказывает появление скалярной и безмассовой с четырехмерной точки зрения моды - радиона, которая очень сильно взаимодействует с материей на бране, на которой предположительно находится наш мир. Эта мода соответствует флуктуациям бран по отношению друг к другу, расстояние между которыми, в свою очередь, может принимать произвольные значения. Поэтому принято говорить о „нестабилизированном" расстоянии между бранами, что и проявляется в безмассовости радиона. Наличие безмассовой скалярной частицы, слишком сильно взаимодействующей с полями Стандартной модели, противоречит имеющимся экспериментальным данным.

Для решения этой проблемы были разработаны механизмы стабилизации дополнительного измерения, которые позволяют сделать эту скалярную моду массивной. Наиболее известным является механизм, описанный в работе [36], где стабилизация достигается путем введения пятимерного скалярного поля с некоторыми потенциалом во всем пространстве и дополнительными потенциалами па бранах. Однако в этом подходе не учитывается влияние скалярного поля на фоновую метрику решения. Этот недостаток преодолен в работе [37], где найдены точные решения уравнений движения для всех полей. В результате стабилизация размера дополнительного измерения достигается благодаря граничным условиям для скалярного поля на бранах, а масса радиона определяется величиной отклонения фоновой метрики от решения Рэндалл-Сундрума.

Похожий механизм стабилизации дополнительного измерения был описан в работе [38], где предлагается искать стабилизированные решения в пятимерной теории гравитации Бранса-Дикке [39, 40, 41, 42]. Преимущество этого подхода заключается в том, что в теории гравитации Бранса-Дикке скалярное поле присутствует изначально и его можно использовать для стабилизации размера дополнительного измерения. При этом решение для фоновой метрики имеет в точности тот же вид, что и в модели Рэндалл-Сундрума, а фоновое решение для скалярного поля также имеет простую экспоненциальную форму.

Тем не менее, почти во всех работах по феноменологии модели Рэндалл-Сундрума по-прежнему рассматривается нестабилизированнная модель, в которую масса радиона вводится "руками". В данной диссертации показывается, что такой подход представляется непоследовательным, так как в стабилизированной модели масса радиона, а также константы связи с материей на бранах выражаются через фундаментальные параметры модели, то есть не являются независимыми.

В данной диссертации изучается линеаризованная гравитация на фоне стабилизированного решения Рэндалл-Сундрума. На защиту выносятся следующие результаты:

1. Построен лагранжиан второй вариации для флуктуаций метрики и скалярного поля в стабилизированной модели Рэндалл-Сундрума с произвольным фоновым решением. Исследована его калибровочная инвариантность и найдена удобная калибровка, позволяющая выделить физические степени свободы модели.

2. Для произвольного стабилизированного фонового решения найдена специальная подстановка, позволяющая расцепить уравнения движения для тензорных и скалярных степеней свободы. Эти уравнения приведены к виду Штурма-Лиувилля, и исследованы общие свойства их решений.

3. В модели со стабилизированным решением, отвечающим экспоненциальной зависимости фонового скалярного поля от координаты дополнительного измерения, изучена связь энергетических масштабов четырехмерной и пятимерной гравитации. В приближении слабой зависимости этого поля от координаты дополнительного измерения решены уравнения для тензорных и скалярных полей, а также найдены массы и константы связи калуца-клейновских мод с материей на бранах. Построен эффективный четырехмерный лагранжиан теории, который описывает безмассовый гравитон, массивные гравитоны и набор массивных скалярных полей.

4. Исследованы уравнения движения для флуктуаций метрики и скалярного поля в случае наличия материи па бранах. Найдена калибровка для четырехмерного тензорного поля, позволяющая выделить физические степени свободы модели, и для некоторых вариантов расположения материи и наблюдателя на бранах найдены решения уравнений движения. Получены соответствующие формулы для Ньютоновского предела модели.

Все перечисленные выше результаты были получены либо при непосредственном участии автора, либо самим автором. Предложенный в работе подход позволяет построить самосогласованную линеаризованную теорию гравитации в стабилизированной модели Рэндалл-Сундрума с двумя бранами. Отличительной чертой работы является последовательный анализ скалярного сектора. При этом показано, что масса скалярной моды - радиона выражается через параметры модели и ее нельзя вводить "руками".

Научная достоверность результатов работы определяется использованием корректных теоретических методов, строгостью применяемого математического аппарата и внутренней согласованностью результатов.

Общее число публикаций в реферируемых журналах по теме диссертации — 4. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [43, 44, 45, 46] и докладывались на семинаре Отдела теоретической физики высоких энергий НИИЯФ МГУ; XXVIII Международной конференции по фундаментальным проблемам физики высоких энергий и теории поля, Протвино, Россия, 2005; XII Международной Ломоносовской конференции по физике элементарных частиц, Москва, 2005; Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых по фундаментальным наукам „Ломоносов 2006", Москва, 2006; Российском семинаре „Современные теоретические проблемы гравитации и космологии" GRACOS-2007, Казань-Яльчик, 2007; (часть результатов опубликована также в виде трудов конференций [47, 48, 49, 50]).

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка цитированной литературы. Объем диссертации составляет 99 страниц. Список литературы содержит 73 ссылки.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Михайлов, Юрий Сергеевич

4.3 Выводы по Главе 4

В данной главе были исследованы уравнения движения в случае наличия материи на бранах. Найдены калибровка, позволяющая выделить физические степени свободы модели, и для некоторых вариантов расположения материи и наблюдателя на бранах найдены решения уравнений движения для произвольного тензора энергии-импульса материи. Затем эти формулы применены для исследования ньютоновского предела теории. В отличие от нестабилизированной модели, где вклад скалярного поля в ньютоновское взаимодействие существенно превышал вклад от тензорных полей, скалярное взаимодействие в нашем случае подавленно благодаря экспоненциальному фактору При этом, для определенной выше массы радиона, почувствовать изменение ньютоновского потенциала можно лишь на расстояниях порядка Ю-13 см, что существенно превышает возможности современного эксперимента.

Заключение

В диссертации была изучена линеаризованная гравитация в стабилизированной модели Рэндалл-Сундрума. В работе получены следующие результаты:

• Получен лагранжиан второй вариации для флуктуаций метрики и скалярного поля в стабилизированной модели Рэндалл-Сундрума с произвольными потенциалами скалярного поля во всем пространстве и на бранах, изучена его калибровочная инвариантность.

• Явно выделены физические степени свободы модели, для чего найдена удобная физически обоснованная калибровка. С помощью этой калибровки и специальной подстановки расцеплены и решены уравнения движения. Показано, что сектор тензорных полей отщепляется от скалярного сектора и имеет ту же структуру, что и тензорный сектор нестабилизированной модели. Анализ скалярного сектора показал, что в модели отсутствует безмассовая скалярная мода, что соответствует стабилизации расстояния между бранами.

• Построен эффективный четырехмерный лагранжиан теории, который описывает безмассовый гравитон, массивные гравитоны и набор массивных скалярных полей. При специальном выборе фонового стабилизированного решения найдены массы и константы связи физических полей с материей на бранах. Показано, что при определенных значениях параметров модели масса радиона может быть порядка сотен ГэВ, а обратный размер дополнительного измерения и массы тензорных полей могут быть порядка 1 ТэВ. Константа связи радиона с материей на нашей бране оказалась примерно того же порядка, что и в нестабилизированной модели при тех же значениях параметров.

• Получены уравнения движения и калибровка в случае наличия материи на бранах. Для некоторых вариантов расположения материи и наблюдателя на бранах найдены решения уравнений движения. Показано, что соответствующие формулы для Ньютоновского предела, в отличие от нестабилизированной модели, не противоречат экспериментальным данным.

Отличительной чертой работы является последовательное изучение скалярного сектора модели, что позволяет получить непротиворечивые значения массы и константы связи для низшего скалярного возбуждения - радиона.

Благодарности

Автор выражает искреннюю и глубокую признательность научному руководителю работы доктору физико-математических наук Игорю Павловичу Волобуеву за постановку задачи, плодотворные обсуждения и поддержку. Также хотелось бы выразить благодарность Э.Э. Боосу, Ю.В. Грацу и М.Н. Смолякову за полезные обсуждения, а также всему Отделу теоретической физики высоких энергий НИИЯФ МГУ за создание творческой и доброжелательной атмосферы в процессе выполнения этой работы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Михайлов, Юрий Сергеевич, 2008 год

1. Э. Мах. Познание и заблуждение. — М.: Изд-во С. Скирмунта, 1909, е.446.

2. Т. Калуца. К проблеме единства физики //Сб."Альберт Эйнштейн и теория гравитации". — М.: Мир, 1979, с.529-534.

3. Б. Риман. О гипотезах, лежащих в основании геометрии //Сб."Альберт Эйнштейн и теория гравитации". — М.: Мир, 1979, с. 18-19.

4. Ю.Б. Румер. Исследования по 5-оптике. — М.: ГИТТЛ, 1956, с. 11.

5. Б.В. Булюбаш. Электродинамика дальнодействия // Физика XIX-XX вв. в общенаучном и социокультурных контекстах. (Физика XIX века). — М.: Наука, 1995, с.244.

6. О. Klein. Quantentheorie und funfdimensionale Relativitatstheorie. — Zeits. Phts., 1962, v. 37, p. 895-906.

7. O. Klein. The atomicity of electricity as a quantum theory law. — Nature, 1926, v. 118, p. 516.

8. R. Kerner. Generalization of the Kaluza-Klein theory for an arbitrary non-Abelian gauge group. — Ann. Inst. H. Poincare 9 (1968) 143-152

9. Б.А. Арбузов. О возможности геометрической интерпретации слабых взаимодействий лептонов. — ЖЭТФ, Т. 46, с. 1285-1294, 1964.

10. Б.А. Арбузов, А.Т. Филиппов. Модель слабых взаимодействий барионов и лептонов. — ЖЭТФ, Т. 51, с. 1389-1401, 1966.

11. Весс Ю., Беггер Дж. Суперсимметрия и супергравитация. — Пер. с англ. М.: Мир, 1986.

12. Sehwarz J. Superstring theory. — Phys. Rep. 1982, v. C89, N 3, 223 -322.

13. P. Horava, E. Witten. Heterotic and Type I String Dynamics from Eleven Dimensions. Nucl. Phys. В 460 506 (1996); hep-th/9510209

14. A. Lukas, B. A. Ovrut, K. S. Stelle, D. Waldram. Universe as a domain wall. Phys. Rev. D 59 086001 (1999); hep-th/9803235

15. E. Witten. Strong coupling expansion of Calabi-Yau compactification.- Nucl. Phys. B, 1996, v. 471, p. 135-158.

16. J. Polchinski. TASI lectures on D-branes. arXiv:hep-th/9611050, 1996.

17. V.A. Rubakov, M.E. Shaposhnikov. Extra spase-time dimensions: Towards a solution to the cosmological constant problem. — Phys. Lett. B, 1983, v. 125, p. 139-143.

18. В. А. Рубаков. Большие и бесконечные дополнительные измерения.- УФН, 2001, Т. 171, No 9, с. 913-938. (V. A. Rubakov, Phys. Usp. 44 (2001) 871)

19. N. Arkani-Hamed, S. Dimopoulos, G. Dvali. The hierarchy problem and new dimensions at a millimeter. — Phys. Lett. B, 1998, v. 429, p.263-272.

20. N. Arkani-Hamed, S. Dimopoulos, G. Dvali. Phenomenology, astrophysics and cosmology of theories with submillimeter dimensions and TeV scale quantum gravity. — Phys. Rev. D, 1999, v. 59,086004.

21. P. Loren-Aguilar, E. Garcia-Berro, J. Isern, Y.A. Kubyshin. Time variation of G and a within models with extra dimensions. — Class. Quant. Grav., 2003, v. 20, p. 3885-3896.

22. I. Antoniadis. Physics with large extra dimensions. — Eur. Phys. J. C. 2004. V. 33. P. S914.

23. L. Randall, R. Sundrum. Large mass hierarchy from a small extra dimension. Phys. Rev. Lett., 1999, V.83, P. 3370-3373.

24. L. Randall, R. Sundrum. An alternative to compactification. — Phys. Rev. Lett., 1999, v. 83, p. 4690-4693.

25. G.R. Dvali, G. Gabadadze, G. Senjanovic. Constraints on extra time dimensions. arXiv:hep-ph/9910207, 1999.

26. M. Chaichian, A.B. Kobakhidze. Mass hierarchy and localization of gravity in extra time. — Phys. Lett. B, 2000, v. 488, p. 117-122.

27. T.j. Li. Time-like extra dimension and cosmological constant in brane models. Phys. Lett. B, 2001, v. 503, p. 163-172.

28. T. Appelquist, H.C. Cheng, B.A. Dobrescu. Bounds on universal extra dimensions. Phys. Rev. D, 2001, v. 64, 035002.

29. T.G. Rizzo. Probes of universal extra dimensions at colliders. — Phys. Rev. D, 2001, v. 64, 095010.

30. C. Macesanu, C.D. McMullen, S. Nandi. New signal for universal extra dimensions. Phys. Lett. B, 2002, v. 546, p. 253-260.

31. K. Agashe, A. Belyaev, T. Krupovnickas, G. Perez and J. Virzi. LHC signals from warped extra dimensions. — Phys. Rev. D 77 (2008) 015003 arXiv:hep-ph/0612015].

32. K. Agashe, G. Perez and A. Soni. Collider signals of top quark flavor violation from a warped extra dimension. — Phys. Rev. D 75 (2007) 015002 arXiv:hep-ph/0606293].

33. K. Agashe, H. Davoudiasl, G. Perez and A. Soni. Warped Gravitons at the LHC and Beyond. — Phys. Rev. D 76 (2007) 036006 arXiv:hep-ph/0701186].

34. A. L. Fitzpatrick, J. Kaplan, L. Randall and L. T. Wang. Searching for the Kaluza-Klein graviton in bulk RS models. — JHEP 0709 (2007) 013 arXiv:hep-ph/0701150].

35. B. Lillie, L. Randall and L. T. Wang. The Bulk RS KK-gluon at the LHC. JHEP 0709 (2007) 074 arXiv:hep-ph/0701166],

36. W. D. Goldberger, M. B. Wise. Modulus stabilization with bulk fields.- Phys. Rev. Lett., 1999, V. 83, P. 4922-4925.

37. O. DeWolfe, D. Z. Freedman, S. S. Gubser, A. Karch. Modeling the fifth dimension with scalars and gravity. — Phys. Rev. D, 2000, V. 62, 046008.

38. A.S. Mikhailov, Yu.S. Mikhailov, M.N. Smolyakov, I.P. Volobuev. Constructing stabilized brane world models in five-dimensional Brans-Dicke theory. — Class. Quant. Grav. 24:231-242, 2007.

39. P. Jordan. The present state of Dirac's cosmological hypothesis. — Z. Physik, 1959, v. 157, p. 112-121.

40. C. Brans, R.H. Dicke. Mach's principle and a relativistic theory of gravitation. Phys. Rev., 1961, v. 124, p. 925-935.

41. Ч. Мизнер, К. Торн, Дж. Уилер. Гравитация, том 3. — Бишкек: Айнштайн, 1997. — 510 с.

42. С. Вейнберг. Гравитация и космология. — Волгоград: Платон, 2000.696 с.

43. Е. Е. Boos, Yu. S. Mikhailov, M. N. Smolyakov, I. P. Volobuev. Energy scales in stabilized brane world models. — Nucl. Phys. B. 2005. V. 717. P. 19.

44. E. E. Boos, Yu. S. Mikhailov, M. N. Smolyakov, I. P. Volobuev. Physical degrees of freedom in stabilized brane world models. — Mod. Phys. Lett. A, 2006, v. 21, p. 1431-1449.

45. Э. Э. Боос, И. П. Волобуев, Ю. С. Михайлов, М. Н. Смоляков. Линеаризованная гравитация в модели Рэндалл-Сундрума со стабилизированным расстоянием между бранами. — ТМФ. 2006. Т. 149. т. с. 339-353.

46. Е. Е. Boos, I. P. Volobuev, Yu. S. Mikhailov, M. N. Smolyakov. Linearized gravity in the Randall-Sundrum model with stabilized distance between branes. — Theor. Math. Phys. 149 (2006) 1591)

47. И.П. Волобуев, Ю.С. Михайлов, M.H. Смоляков. Ньютоновский предел в стабилизированной модели Рэндалл-Сундрума. — ТМФ. 2008. Т. 156. №2. с. 226-236.

48. А.С. Михайлов, Ю.С. Михайлов. Линеаризованная гравитация в мире на бране в пятимерной теории Бранса-Дикке. — Труды Российской школы-семинара по гравитации и космологии "GRACOS-2007,,9-16 сентября 2007г., Казань-Яльчик, с. 124-128.

49. Э. Э. Боос, И. П. Волобуев, Ю. А. Кубышин, М. Н. Смоляков. Эффективные лагранжианы модели Рэндалл-Сундрума. — ТМФ. 2002. Т. 131. Ш. с. 216.

50. Е. Е. Boos, I. P. Volobuev, Yu. A. Kubyshin, М. N. Smolyakov. Effective Lagrangians of the Randall-Sundrum Model. — Theor. Math. Phys. 131(2) (2002) 629)

51. A. Brandhuber, K. Sfetsos. Non-standard compactifications with mass gaps and Newton's law. JHEP 1999. V. 9910. P. 013.

52. L.P. Grishchuk, A.N. Petrov, A.D. Popova. Exact theory of the (Einstein) gravitational field in an arbitrary backgraund space-time. — Comm. Math. Phys., 1984, v. 94, p. 379-395.

53. I. Ya. Aref'eva, M. G. Ivanov, W. Muck, K. S. Viswanathan, I. V. Volovich. Consistent linearized gravity in brane backgrounds. — Nucl. Phys. B, 2000, V. 590, p. 273-286.

54. Ch. Charmousis, R. Gregory, V. Rubakov. Wave function of the radion in a brane world. Phys. Rev. D. 2000. V. 62. P. 067505.

55. H. Davoudiasl, J.H. Hewett, T.G. Rizzo. Phenomenology of the Randall-Sundrum gauge hierarchy model. — Phys. Rev. Lett., 2000, v. 84, p. 2080-2083.

56. H. Davoudiasl, J.H. Hewett, T.G. Rizzo. Experimental probes of localized gravity: on and off the wall. Phys. Rev. D, 2001, v. 63, 075004.

57. A. V. Kisselev, V. A. Petrov and R. A. Ryutin, Phys. Lett. В 630 (2005) 100 arXiv:hep-ph/0506034].

58. A. V. Kisselev and V. A. Petrov, Phys. Rev. D 71, 124032 (2005) arXiv:hep-ph/0504203].

59. A. V. Kisselev. RS model with a small curvature and gravity effects in e+ e- annihilation into leptons at the LC. — JHEP 0703 (2007) 006 arXiv:hep-ph/0610113].

60. B. Grinstein, D.R. Nolte, W. Skiba. On a Covariant Determination of Mass Scales in Warped Backgrounds. — Phys. Rev. D63 (2001) 105005,

61. M. Toharia. The radion and the perturbative metric in RSI. — Mod. Phys. Lett. A, 2004, v. 19, p. 37-48.

62. C. Csaki, M.L. Graesser, G.D. Kribs. Radion dynamics and electroweak physics. Phys. Rev. D, 2001, v. 63, 065002.

63. Kofman, J. Martin and M. Peloso. Exact identification of the radion and its coupling to the observable sector. — Phys. Rev. D 70, 085015 (2004).

64. V.D. Barger, T. Han, T. Li, J.D. Lykken, D. Marfatia. Cosmology and Hierarchy in Stabilized Warped Brane Models. — Phys. Lett. В 488 (2000) 97.

65. P. Langacker. Grand unified theories and proton decay. — Phys.Rept. 72 (1981) 185.

66. R. Arnowitt and J. Dent. Gravitational forces in the Randall-Sundrum model with a scalar stabilizing field. — Phys. Rev. D 75 (2007) 064001 arXiv:hep-th/0509081.

67. Y. A. Kubyshin. Models with extra dimensions and their phenomenology. hep-ph/0111027, 2001.

68. JI. Д. Ландау, E. M. Лифшиц. Теория поля. — M.: Наука, 1967. (L. D. Landau, Е. М. Lifshitz. The Classical Theory of Fields. — Oxford.: Pergamon Press, 1975.)

69. В. M. Бабич, M. Б. Капилевич, С. Г. Михлин. Линейные уравнения математической физики. — М.: Наука, 1964.

70. Б. Бейтмен, А. Эрдейи. Высшие трансцендентные функции. — Том 2. М.: Наука, 1974. 296 с.

71. И.П. Волобуев, М.Н. Смоляков. Точные решения для линеаризованной гравитации в модели Рэндалл-Сундрума. — Теоретич. и Математич. Физика, 2004, т. 139, н. 1, с. 12-28.

72. Е. Е. Boos, V. Е. Bunichev, М. N. Smolyakov and I. P. Volobuev, "Testing extra dimensions below the production threshold of Kaluza-Klein excitations," arXiv:0710.3100 hep-ph].