Гиперболические модели в механике многофазных сред тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Степаненко, Евгений Николаевич

• Степаненко, Евгений Николаевич
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Степаненко, Евгений Николаевич

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I ОБЗОР МОДЕЛЕЙ МНОГОФАЗНЫХ СРЕД

1.1. Обзор моделей многокомпонентных сред

ГЛАВА II ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ОБОБЩЕННО-РАВНОВЕСНОЙ МОДЕЛИ СРЕДЫ

2.1. Дифференциальные и интегральные уравнения модели

2.2. Интегральные уравнения для одномерного плоского течения смеси

2.3. Разрывные решения обобщенно-равновесной модели среды

2.4. Дифференциальные уравнения модели в адиабатическом приближении

2.4.1. Многомерные течения смеси

2.4.2. Характеристики и условия совместности

2.4.3. Корректность задачи Коши

2.4.4. Распад произвольного разрыва в многокомпонентной смеси

ГЛАВА III НОВЫЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ МНОГОФАЗНЫХ СРЕД

3.1. Односкоростная многокомпонентная модель теплопроводной смеси

3.2. Гиперболичная модель вязкой смеси

3.3. Гиперболическая модель многоскоростной гетерогенной среды

3.4. Ударная адиабата многоскоростной гетерогенной среды

3.5. Течение грунтовых вод в пористой среде

ГЛАВА IV ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ

4.1. Метод характеристик на фиксированной пространственной сетке

4.1.1. Расчеты двумерных установившихся течений смеси

4.1.2. Метод характеристик для теплопроводной смеси

4.2. Модификация метода Годунова С.К. для течений односкоростной многокомпонентной смеси

4.3. Сравнение некоторых расчетов с экспериментальными данными

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Гиперболические модели в механике многофазных сред»

Введение

Как показывает анализ современной отечественной и зарубежной литературы, в настоящее время для проведения вычислений по протеканию различных физических явлений в динамических гетерогенных средах важна разработка гиперболических, математически и физически корректных моделей многокомпонентных смесей. Подобные вычисления могут быть весьма актуальны в ряде отраслей современной промышленности, медицине и т.п. Примерами таких расчетов могут являться - защита пористыми структурами от ударных волн (экраны из разнородных пузырьковых жидкостей, пенные взвеси и т.д.); исследование течения неоднородных жидкостей и газов (распространение волн в запыленных воздушных средах, течение грунтовых вод, течение многокомпонентных вязких жидкостей) и т.п.

Требование получения гиперболических моделей весьма актуально, так, например, в модели, обозначенной в работе [93], оказалось, что для смесей, содержащих две или более сжимаемые фракции, задача Коши корректна лишь в ограниченном диапазоне скоростей. В частности, при течении газопарокапельной смеси задача Коши корректна при скорости движения смеси не превосходящей 55 м/с. В работе [32] проведено исследование трех систем уравнений разных моделей на гиперболичность. Так авторами показаны существующие области комплексных решений для двух систем и отсутствие таковых для гиперболической модели. Но данные модели могут работать только с двухкомпонентной средой, как и большая часть гиперболических моделей, встретившихся нам в научной литературе.

Поэтому, существует необходимость создания моделей работающих с произвольным числом фракций многокомпонентной среды. Данной проблеме посвящено большое число работ Куропатенко В.Ф.[79-90]. Так, в обзорной статье «Новые модели механики сплошных сред» рассматриваются «пути перехода от традиционных моделей механики сплошных сред к моделям нового поколения на примере модели многокомпонентной среды» [90,С.74.]. В ней автором

предлагается фундаментальный подход, основанный на переходе от микро к макропараметрам, описывающих состояние вещества. В настоящей диссертации предлагается более общий подход в решении этой задачи - мы смотрим на моделируемую среду в целом, записывая для нее законы сохранения в общем виде, а недостающие для замыкания системы уравнений выражения рассматриваются отдельно для каждой из фракций, также основанные на законах сохранения. Суть такого подхода более подробно изложена в работах Сурова В.С.[104-117].

Отметим, что в зарубежной литературе созданию гиперболических моделей уделяется большое внимание. Так ключевой отправной точкой создания гиперболических моделей можно считать статью «Two-phase mixture theory for the deflagration to detonation transition (DDT) in reactive granular materials » (1986 г.) M. Baer и J. Nunziato [6]. Но, однако, в современной зарубежной научной литературе нам не встретилось, ни одной публикации о гиперболичных моделях п-компонентных сред с учетом вязкости и теплопроводности.

За основу разработки предлагаемых нами односкоростных, с общим давлением моделей учитывающих вязкость и теплопроводность, была взята ОР модель. В ОР модели движение каждой фракции описывается уравнением газодинамического типа, поэтому число уравнений пропорционально количеству фракций в смеси. Где подразумевается, что в конечном, достаточно малом объеме пространства одновременно находятся п различных фракций среды с учетом сил межфракционного взаимодействия, причем т из них - сжимаемые. Дифференциальные уравнения, описывающие поведение гетерогенной среды основаны на представлении о том, что в достаточно малом объеме разнородные фракции вещества двигаются с равновесной скоростью при неком общем давлении, что и обуславливает название модели. При выводе дифференциальных уравнений ОР модели заложена возможность дальнейшего учета таких физических процессов, как теплообмен между фракциями, взаимодействие между ними. Дальнейшая разработка ОР модели позволяет получить качественно новые результаты.

Таким образом, в материале данной диссертации обозначен подход, направленный на разработку гиперболических моделей для описания динамических многофазных сред с учетом таких физических явлений как теплопроводность и вязкость. Также в данной диссертации представлена гиперболическая модель многоскоростной гетерогенной среды, в которой скорости отдельных фракций полагаются разными.

В ранних моделях в качестве основных уравнений использовались газодинамические, которые замыкались достаточно сложными уравнениями состояния, призванные хорошо описывать поведение гетерогенных смесей. Например, в [91] приведено одно из таких уравнений состояния, которое было получено из условия изэнтропичности каждой из составляющих смесь фракций. Поскольку это же уравнение состояния использовалось и для расчета ударных скачков, в [94] для последних было предложено применять ударную адиабату гетерогенной смеси. Отметим также [118], в которой сложные свойства гетерогенных систем, описываемые газодинамическими уравнениями, предлагалось аппроксимировать с использованием переменного показателя адиабаты смеси. В указанных случаях системы дифференциальных уравнений имеют вид, не позволяющий их дальнейшее распространение на смесь, состоящую из произвольного числа п фракций. А ряде случаев, для достижения гиперболичности системы, в моделях применяются физически мало обоснованные выражения.

Во всех предложенных нами многокомпонентных моделях гетерогенных сред применяются дифференциальные уравнения являющиеся следствиями физических законов сохранения массы, энергии, импульса и т.д.

Вышеперечисленное обуславливает актуальность работы, и предопределяет цель работы:

На основе ОР модели гетерогенных сред получение математически корректных и физически обоснованных гиперболических моделей гетерогенных сред с учетом теплопроводности и вязкости среды. Разработка гиперболичной многоскоростной модели среды.

Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:

• Уточнение некоторых свойств ОР модели среды;

• Разработка гиперболической многокомпонентной ОР модели с учетом теплопроводности среды;

• Разработка гиперболической многокомпонентной ОР модели с учетом вязкости среды;

• Разработка на базе ОР модели многоскоростной многокомпонентной гиперболической модели среды;

• Расширение области применения метода характеристик, метода Годунова С.К. на системы уравнений недивергентного вида;

• Получение численных результатов на основе разработанных численных методик волновых процессов в рамках разработанных моделей.

Научная новизна и практическая ценность.

Впервые представлена модель односкоростной вязкой многокомпонентной среды лишенная нефизичных эффектов, связанных с наличием в смеси волн, распространяющихся с бесконечно большими скоростями. Показано, что применение релаксационного уравнения для расчета вязких напряжений (теплопроводности) вместо обычно используемого соотношения обеспечивает гиперболичность уравнений многокомпонентной среды, что в свою очередь дает возможность получить физически непротиворечивую картину течения и, кроме того, позволяет использовать хорошо зарекомендовавшие себя численные методы решения гиперболических систем уравнений.

Представлен вариант метода характеристик, предназначенный для интегрирования уравнений односкоростной многокомпонентной теплопроводной смеси на фиксированной пространственной сетке.

Разработан модифицированный метод Годунова С.К., предназначенный для интегрирования уравнений односкоростной многокомпонентной адиабатической смеси.

Обобщены соотношения Ренкина-Гюгонио в рамках ОР модели среды.

Личный вклад автора.

Участие в разработке модели многоскоростной гетерогенной среды и ОР

моделей с учетом теплопроводности и вязкости гетерогенных сред. Разработка

б

программных комплексов реализующих указанные модели. Поиск численных решений и сравнение с точными решениями полученных результатов. Анализ полученных результатов.

Апробация работы. Результаты исследований, вошедшие в диссертацию, докладывались на:

- X Международной конференции «Забабахинские научные чтения» 15-19 марта 2010 года. - г. Снежинск;

- VII Международной конференции «Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике» посвященной 110-летию со дня рождения выдающегося русского математика и механика, организатора Сибирского отделения Российской академии наук, академика М.А.Лаврентьева. 23-27 августа, г. Новосибирск, 2010;

- VII Всероссийской научной конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики», г. Томск, 12-14 апреля 2011;

- XVIII Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным и программным системам 25-31 мая 2011 года, - г. Алушта;

- X Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики 23-30 августа 2011. г. Нижний Новгород.

Опубликованность результатов.

По теме диссертации опубликованы 2 статьи в рецензируемых журналах, рекомендованными ВАК, 5 статей в сборниках трудов конференций, в том числе 3 международных.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Общий объем работы составляет 155 страниц, включая 35 рисунков и список цитируемой литературы из 119 наименований.

В первой главе представлен обзор разработанных гиперболических моделей для гетерогенных сред с 2005 года по настоящее время. В список наименований проанализированных ведущих зарубежных и отечественных журналов вошло более 21 источника, также монографии и труды конференций.

Во второй главе рассмотрена модель односкоростной обобщенно-равновесной п-компонентной смеси. В ее рамках показан вывод уравнений,

выражающих законы сохранения массы, импульса и энергии для отдельных фракций и для смеси в целом в интегральном и дифференциальном виде.

При формулировании модели в общем виде были учтены: различные процессы теплообмена внутри смеси и для отдельных ее компонентов, возможность фазовых переходов, химических превращений, силы межфракционных взаимодействий, вязкость среды.

На примере одномерного плоского течения смеси осуществлен вывод интегральных уравнений, выражающих законы сохранения массы, импульса и энергии для компонентов смеси в общем виде и для всей смеси в целом.

Обобщены соотношения Ренкина-Гюгонио на участках терпящих разрыв в случае односкоростной многокомпонентной смеси.

Отдельно рассмотрен адиабатический вариант обобщенно-равновесной модели. Получены уравнения модели в интегральной и дифференциальной формах, удобные для их анализа и численного интегрирования в дальнейшей работе с ними. Показано, что уравнения модели гиперболичны.

Приведен анализ уравнений модели для адиабатического приближения для одномерных, двумерных и многомерных нестационарных течений смеси. Показана корректность задачи Коши для обобщенно-равновесной модели, в ее рамках проведена проверка устойчивости решений по отношению к малым возмущениям в начальных данных.

В адиабатическом приближения обобщенно-равновесной модели среды получены характеристические уравнения, соотношения и условия совместности, справедливые вдоль траекторной характеристики для одномерного нестационарного и двумерного стационарного течений смеси.

Необходимо отметить, что материал второй главы фактически носит обзорный характер, и приведен на основании того, что разработанные новые модели, представленные в третьей главе, являются логическим продолжением рассмотренной здесь ОР модели.

В третьей главе построена гиперболическая модель односкоростной многокомпонентной теплопроводной среды, в которой использован закон Фурье с тепловой релаксацией для осредненного потока тепла.

Представлена модель односкоростной многокомпонентной среды, учитывающая наличие релаксационных сил вязкости в смеси. Показано, что уравнения модели среды относятся к гиперболическому типу. С использованием численного метода Куранта - Изаксона - Риса рассчитан ряд модельных задач.

Предложена модель многоскоростной многокомпонентной среды, основанная на законах сохранения. Показано, что уравнения модели многоскоростной среды относятся к гиперболическому типу, что дает возможность получить физически непротиворечивую картину течения и, кроме того, позволяет использовать хорошо зарекомендовавшие себя численные методы решения гиперболических систем уравнений.

Приведены соотношения Ренкина - Гюгонио для многоскоростной многокомпонентной смеси. Рассчитана ударная адиабата для газожидкостной смеси, согласованная с уравнениями модели. Результаты расчетов сопоставлены с обычно используемым уравнением ударной адиабаты, основанным на предположении об аддитивном ударном сжатии компонентов смеси.

В четвертой главе рассмотрены численные методы расчета течений для обобщенно-равновесной модели среды.

Представлен метод характеристик на фиксированной пространственной сетке. Также рассмотрен метод характеристик, предназначенный для интегрирования одномерных уравнений односкоростной многокомпонентной теплопроводной смеси на фиксированных пространственных сетках со «сквозным» расчетом ударных скачков.

Сопоставлены различные варианты метода С. К. Годунова для недивергентных систем, описывающие течение односкоростной многокомпонентной смеси. При расчете задач Римана использован приближенный, основанный на характеристических соотношениях, способ вычислений.

Рассмотренные подходы могут быть непосредственно распространены на задачи с несколькими пространственными переменными.

На защиту выдвигаются следующие результаты:

1. Модель теплопроводной многокомпонентной среды для расчета течений в односкоростных средах. Численные методы расчета для данной модели.

2. Модель вязкой многокомпонентной среды для расчета течений в односкоростных средах. Численные методы расчета для данной модели.

3. Модель многоскоростной многокомпонентной гетерогенной среды. Численные методы расчета для данной модели.

4. Модель течения грунтовых вод с модифицированным законом Дарси.

5. Модификация метода характеристик, предназначенного для интегрирования уравнений односкоростной многокомпонентной теплопроводной смеси на фиксированной пространственной сетке.

6. Модификация метода Годунова С.К., предназначенная для интегрирования уравнений односкоростной многокомпонентной адиабатической смеси.

7. Обобщение соотношений Ренкина - Гюгонио на участках терпящих разрыв в случае многоскоростной многокомпонентной смеси.

Список публикаций:

Список публикаций из списка ВАК:

1. Степаненко E.H. Сеточный метод характеристик для расчета течений односкоростной многокомпонентной теплопроводной среды / E.H. Степаненко, B.C. Суров // Вестник Челябинского государственного университета. 2010. №24 (205) Физика. Вып. 8. С. 15-22.

2. Степаненко E.H. Новые гиперболические модели в механике многофазных сред / E.H. Степаненко, B.C. Суров // Вестник Нижегородского университета им.Н.И.Лобачевского. - 2011. - Вып.4(5). - С.2518-2519.

Статьи в иных журналах и сборниках трудов конференций:

3. Степаненко E.H. Модификация метода Годунова для расчета течений односкоростных многокомпонентных адиабатических смесей / E.H. Степаненко, B.C. Суров // Тезисы докладов. Международная конференция. Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике. Новосибирск. 2010. С.231-232.

4. Степаненко E.H. Новые гиперболические модели в механике сплошных сред. Разработка и численная реализация / E.H. Степаненко, B.C. Суров // Забабахинские научные чтения: Сборник тезисов докладов X Международной конференции, 15-19 марта 2010 года. - РФЯЦ- ВНИИТФ, г. Снежинск. С. 259.

5. Степаненко E.H. Динамика многофазных сред. Новый подход / Е.Н.Степаненко, B.C. Суров // Материалы XVIII Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным и программным системам, 25-31 мая 2011 года. - г. Алушта. С.618-620.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Степаненко, Евгений Николаевич

Заключение

Задачи, поставленные в начале данной диссертации, решены: ^ На базе ОР модели разработаны и уточнены соотношения Ренкина-Гюгонио для многоскоростной, многокомпонентной среды; ^ Представлена новая гиперболичная модель многоскоростной многокомпонентной среды, основанная на законах сохранения. Показано, что уравнения модели среды относятся к гиперболическому типу. С использованием численного метода Куранта - Изаксона - Риса рассчитан ряд задач о распаде произвольного разрыва в запыленном газе; ^ Разработана модель односкоростной многокомпонентной среды, учитывающая наличие релаксационных сил вязкости в смеси. Показано, что уравнения модели среды относятся к гиперболическому типу. С использованием численного метода Куранта - Изаксона - Риса рассчитан ряд модельных задач; ^ Получена модель односкоростной многокомпонентной среды с учетом теплопроводности. Доказана гиперболичность этой модели. В рамках данной модели приведено решение ряда задач. В модели отсутствуют нефизические эффекты, связанные с бесконечно большими скоростями распространения теплового возмущения, свойственные моделям использующим классический закон Фурье; ^ Созданы две модификации метода Годунова для работы с моделями на базе систем дифференциальных уравнений недивергентного вида. Необходимо отметить, что в рамках предложенных моделей хорошо зарекомендовал себя и метод Куранта - Изаксона - Риса. ^ Модифицирован закон Дарси, что позволило получить гиперболическую модель течения грунтовых вод

Все новые модели, предложенные в данной диссертации гиперболичны, основаны на физических законах, лишены нефизичных явлений, связанных с бесконечно большими скоростями распространения физических возмущений в среде.

Цель работы, поставленная в рамках настоящей диссертации, достигнута.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Степаненко, Евгений Николаевич, 2012 год

Литература

1 Abgrall R., Kami S. Computations of compressible multifluids / J. Comp. Phys. 2001. V.169. P. 594-623.

2 Allaire G., Clerc S., Kokh S. A five-equation model for the simulation of interfaces between compressible fluids / J. Comp. Phys. 2002. V.181. P. 577-616.

3 Andrianov N., Saurel R., Warnecke G. A simple method for compressible multiphase mixtures and interfaces, Int. J. Numer. Meth. Fluids 2003; 41:109-131.

4 Andrianov N., Warnecke G. The Riemann problem for the Baer-Nunziato two-phase flow model, Journal of Computational Physics 195 (2004) 434-464.

5 Ardron K. H. One-dimensional two-fluid equations for horizontal stratified two-phase flow, Int. J. Mulphase Flow Vol. 6. pp. 295304,1980

6 Baer M., Nunziato J. Two-phase mixture theory for the deflagration to detonation transition (DDT) in reactive granular materials. International journal Multiphase Flows.l2:861-889,1986.

7 Baer M., Nunziato J. Two-phase mixture theory for the deflagration to detonation transition (DDT) in reactive granular materials. International journal Multiphase Flows.l2:861-889,1986.

8 Banerjee S., Chan A.M.C. Separated flow models analysis of the averaged and local instantaneous formulations, Int. J. Multiphase Flow Vol.6, pp.1-24,1980.

9 Baudin M., Berthon C., Coquel F., Masson R., Tran Q.H. A relaxation method for two-phase flow models with hydrodynamic closure law, Numer. Math. (2005) 99: 411-440.

10 Bdzil J. B., Menikoff R., Son S.F., Kapila A.K., Stewart D.S. Two-phase modeling of deflagration-to-detonation transition in granular materials: A critical examination of modeling issues, Physics of fluids VI1, № 2 1999,378-402.

11 Brummelen E.H., Koren B. A pressure-invariant conservative Godunov-type method for barotropic two-fluid flows, Journal of Computational Physics 185 (2003) 289-308.

12 Chung M.S., Chang K.S., Lee S.J., Numerical solution of hyperbolic two-fluid two-phase flow model with non-reflecting boundary conditions, International Journal of Engineering Science 40 (2002) 789803.

13 Chung M.S., Characteristic development of hyperbolic two-dimensional two-fluid model for gas-liquid flows with surface tension, Applied Mathematical Modelling 31 (2007) 578-588.

14 Chung M.S., Lee S.J. A modified semi-implicit method for a hyperbolic two-fluid model, Applied Numerical Mathematics 59 (2009) 2475-2488

15 Chung M.S., Lee S.J., Chang K.S. Effect of interfacial pressure jump and virtual mass terms on sound wave propagation in the two-phase flow, Journal of Sound and Vibration (2001) 244(4), 717-728

16 Cook T.L., Harlow F.H. Vortices in bubbly two-phase flow, Int. J. Multiphase Flow Vol.12, № 1,pp.35-61,1986.

17 Cortes J., Debussche A. Toumiz I., A Density Perturbation Method to Study the Eigenstructure of Two-Phase Flow Equation Systems. Journal of computational physics,№ 147,463-484 (1998).

18 Cortes J., On the constructions of upwind schemes for non-equilibrium transient two-phase flow, Computers & Fluids 31 (2002) 159-182.

19 Dai W., Wang H., Jordan P. M. A mathematical model for skin burn injury induced by radiation heating//Int. J. Heat and Mass Transfer. 2008. V. 51. P. 5497-5510.

20 Daniel E., Massoni J., Numerical simulations of shock wave propagation in condensed multiphase materials, Shock Waves (2007) 17:241-253.

21 Deledicque V., Papalexandris M.V. A conservative approximation to compressible two-phase flow models in the stiff mechanical relaxation limit, Journal of Computational Physics 227 (2008) 9241-9270.

22 Deledicque V., Papalexandris M.V. An exact Riemann solver for compressible two-phase flow models containing non-conservative products, Journal of Computational Physics 222 (2007) 217-245.

23 Drew D. A., Mathematical modeling of two-phase flow, Ann. Rev. Fluid Mech. 1983. 15:261-91.

24 Eddington R. B. Investigation of supersonic phenomena in a two-phase (liquid - gas) tunnel / AIAA J. 1970. V. 8, N. 1. P. 65-74.

25 Embid P., Baer M. Mathematical analysis of two-phase continuum mixture theory, Continuum Mech. Thermodyn. 4 (1992) 279-312.

26 Fedkiw R.P., Marquina A., Merriman B. An Isobaric Fix for the Overheating Problem in Multimaterial Compressible Flows, Journal of Computational Physics 148, 545-578 (1999).

27 Gavrilyuk S.L. Acoustic properties of a two-fluid compressible mixture with micro-inertia, European Journal of Mechanics B/Fluids 24 (2005) 397-406

28 Ghidaglia J.M., Kumbaro A., Coq G. L., On the numerical solution to two fluid models via a cell centered finite volume method, Eur. J. Mech. B-Fluids 20 (2001) 841-867.

29 Gonthier K. A., Powersy J. M. A High-Resolution Numerical Method for a Two-Phase Model of Deflagration-to-Detonation Transition, Journal of Computational Physics 163, 376-^33 (2000)

30 Herard J.-M. A three-phase flow model//Mathematical and computer modeling. 2007. V. 45. P. 732 - 755.

31 Herard J.M., A three-phase flow model, Mathematical and Computer Modelling 45 (2007) 732-755.

32 Hudson J., Harris D. A high resolution scheme for Eulerian gas-solid two-phase isentropic flow, Journal of Computational Physics 216 (2006) 494-525.

33 Ivings M.J., Causon D.M., Toro E.F. On Riemann solvers for compressible liquids, Int. J. Numer. Meth. Fluids 28: 395-418 (1998).

34 Jackson R. Locally averaged equations of motion for a mixture of identical spherical particles and a Newtonian fluid, Chem. Eng. Sci. 52 (1997) 2457-2469.

35 Jayanti S., Valette M., Prediction of dry out and post-dry out heat transferat high pressures using a one-dimensional three-fluid model, International Journal of Heat and Mass Transfer 47 (2004) 4895-4910.

36 Kapila A. K., Son S.F., Bdzil J.B., Menikoff R., Stewart D. S., Two-phase modeling of DDT: Structure of the velocity-relaxation zone. Phys. Fluids 9 (12), December (1997), 3885-3897.

37 Keh-Ming Shyue. A fluid-mixture type algorithm for compressible multicomponent flow with Mie - Gruneisen equation of state / J. Comp. Phys. 2001. V. 171. P. 678-707.

38 Keh-Ming Shyue. A fluid-mixture type algorithm for compressible multicomponent flow with van der Waals equation of state / J. Comp. Phys. 1999. V.156. P. 43-88.

39 Lahey R.T., Cheng L.Y., Drew D.A., FlahertyJ. E. The effect of virtual mass on the numerical stability of accelerating two-phase flows, Int. J. Multiphase How Vol. 6, pp. 281-294,1980

40 Leea S.J., Chang K.S., Kim K. Pressure wave speeds from the characteristics of two Fuids, two-phase hyperbolic equation system, International Journal of Multiphase Flow 24 (1998) 855-866.

41 Lowe C.A., Two-phase shock-tube problems and numerical methods of solution, Journal of Computational Physics 204 (2005) 598-632.

42 Mulder W., Ocher S., Sethian J. Computing interface motion: The compressible Raleigh - Taylor and Kelvin - Helmholtz instabilities / J. Comp. Phys. 1992. V. 100. P. 209.

43 Murrone A., Guillard H. A five-equation reduced model for compressible two phase flow problems / J. Comp. Phys. 2005. V.202. P. 664-698.

44 Ndjinga M., Kumbaro A., Vuyst F., Laurent-Gengoux P. Numerical simulation of hyperbolic two-phase flow models using a Roe-type solver, Nuclear Engineering and Design 238 (2008) 2075-2083

45 Ndjinga M., Kumbaro A., Vuyst F., Laurent-Gengoux P., Numerical simulation of hyperbolic two-phase flow models using a Roe-type solver, Nuclear Engineering and Design 238 (2008) 2075-2083.

46 Paillere H., Corre C., Garcia Cascales J.R., On the extension of the AUSM+ scheme to compressible two-fluid models, Computers & Fluids 32(2003) 891-916.

47 Parka J.-W.,Drewb D.A.,Lahey R.T., Jr. The analysis of void wave propagation in adiabatic monodispersed bubbly two-phase ows using an ensemble-averaged two-fuid model. International Journal of Multiphase Flow 24 (1998) 1205-1244.

48 Perigaud G., Saurel R. A compressible flow model with capillary effects,Journal of Computational Physics 209 (2005) 139-178

49 Pokharna H.,Mori M., Ransom V.H., Regularization of Two-Phase Flow Models: A Comparison of Numerical and Differential Approaches.Journal of computational physics,№ 134,282-295 (1997).

50 Ransom V. H.,Hyperbolic Two-Pressure Models for Two-Phase Flow, Journal of computational physics,№ 53,124-151 (1984).

51 Romenski E., Toro E.F., Hyperbolicity and one-dimensional waves in compressible two-phase flow models, Shock Waves (2004) 13: 473-487.

52 Romenski E., Drikakis D., Toro E. Conservative Models and Numerical Methods for Compressible Two-Phase Flow, J Sci Comput (2010) 42: 68-95

53 Rousseau J.O., Ferch R.L. Brief communication a note on two-phase separated flow models, Int. J. Multiphase Flow Vol.5, pp.489-493,1979.

54 Rudinger G., Chang A. Analysis of non-steady two-phase flow, Phys. Fluid 7 (1964) 1747-1754.

55 Saurel R., Métayer O., Massoni J., Gavrilyuk S. Shock jump relations for multiphase mixtures with stiff mechanical relaxation, Shock Waves (2007) 16:209-232

56 Saurel R., Abgrally R. A multiphase Godunov method for compressible multifluid and multiphase flows, Journal of Computational Physics 150,

425-467 (1999).

57 Saurel R., Petitpas F., Abgrall R. Modelling phase transition in metastable liquids: application to cavitating and flashing flows, J. Fluid Mech. (2008), vol. 607, pp. 313-350.

58 Saurel R., Petitpas F., Berry R. A. Simple and efficient relaxation methods for interfaces separating compressible fluids, cavitating flows and shocks in multiphase mixtures, Journal of Computational Physics 228 (2009) 1678-1712.

59 Saurel R.,Lemetayer O., A multiphase model for compressible flows with interfaces, shocks, detonation waves and cavitation. J. Fluid Mech. (2001), vol. 431, pp. 239-271.

60 Schwendeman D.W., Wahle C.W., Kapila A.K. The Riemann problem and a high-resolution Godunov method for a model of compressible two-phase flow, Journal of Computational Physics 212 (2006) 490-526

61 Shaojie X.,Stewart S, Deflagration-to-detonation transition in porous energetic materials: A comparative model study.Journal of Engineering Mathematics 31: 143-172, 1997.

62 Shyue Keh-Ming., An Efficient Shock-Capturing Algorithm for Compressible Multicomponent Problems. Journal of computational physics,№ 142,208-242 (1998).

63 Stewart H. B., Stability of Two-Phase Flow Calculation Using Two-Fluid Models. Journal of computational physics,№ 33,259-270 (1979).

64 Stewart H. B., Two-Phase Flow: Models and Methods, Journal of computational physics,№ 56,363-409 (1984).

65 Stuhmiller J.H., The influence of interfacial pressure forces on the character of two-phase flow model equations, Int. J.Multiphase Flows Vol. 3, pp. 551-560, 1977.

66 Thanh M.D. On a two-fluid model of two-phase compressible flows and its numerical approximation, Commun Nonlinear Sci Numer Simulat 17 (2012)195-211

67 ThorleyA.R.D., Wiggert D.C., The effect of virtual mass on the basic equations for understudy one-dimensional heterogeneous flows, Int. J. Multiphase Flows Vol. 11, №2, pp. 149-160, 1985.

68 Tiselj I., Petelin S.,Modelling of Two-Phase Flow with Second-Order Accurate Scheme, Journal of computational physics,№ 136,503-521 (1997).

69 Toumi I., Kumbaro A.,An Approximate Linearized Riemann Solver for a Two-Fluid Model. Journal of computational physics,№ 124,286-300 (1996).

70 Trapp J. A., Welch S. W. J. An interface constitutive modeling problem for compressible flows with mass transfer//Int. J. Eng. Sci. 2010. V. 48. P. 1896- 1906.

71 Trapp J.A., A Nearly- Implicit Hydrodynamic Numerical Scheme for Two-Phase Flows. Journal of computational physics,№ 66,62-82 (1986).

72 Wackers J., Koren В., A fully conservative model for compressible two-fluid flow, Int. J. Numer. Meth. Fluids 2005; 47:1337-1343

73 Zein A., Hantke M., Warnecke G. Modeling phase transition for compressible two-phase flows applied to metastable liquids//J. Comput. Phys. 2010. V. 229. P. 2964 - 2998.

74 Волосевич П. П., Леванов Е. И., Северина Е. В. Решения типа бегущих волн с учетом гиперболического переноса / ИФЖ. 2008. Т. 81. №2. С. 290-302.

75 Годунов С. К., Забродин А. В., Иванов М. Я. и др. Численное решение многомерных задач газовой динамики. М: Наука. 1976

76 Годунов С.К., Роменский Е.И., Элементы механики сплошных сред и законы сохранения. - Новосибирск: Научная книга, 1998. - 280 е., ил. (Университетская серия. Т. 4)

77 Дремин А. Н., Карпухин И. А. Метод определения ударных адиабат для дисперсных систем//ПМТФ. 1960, № 3. С. 184-188.

78 Куликовский А. Г., Погорелов Н. В., Семенов А. Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических

систем уравнений // М.: Физматлит. 2001. 608 с.

79 Куропатенко В. Ф. Волна разрежения в двухкомпонентной смеси газов [Текст]// Забабахинские научные чтения: 9 Международная конференция, Снежинск, 10-14 сент., 2007: Тезисы. Снежинск: РФЯЦ-ВНИИТФ. 2007, с. 270.

80 Куропатенко В. Ф. Гидродинамические процессы во вращающихся сферических и цилиндрических микромишенях [Текст]// Забабахинские научные чтения: 9 Международная конференция, Снежинск, 10-14 сент., 2007: Тезисы. Снежинск: РФЯЦ-ВНИИТФ. 2007, с. 152.

81 Куропатенко В. Ф. Законы сохранения в моделях многокомпонентных сред [Текст]// Проблемы и достижения прикладной математики и механики: К 70-летию академика Василия Михайловича Фомина: Сборник научных трудов. Новосибирск: Параллель. 2010, с. 76-92.

82 Куропатенко В. Ф. Модель многокомпонентной среды [Текст]// Математика. Механика. Информатика. Челябинск: ЧелГУ. 2007, с. 104-112.

83 Куропатенко В. Ф. Модель многокомпонентной среды [Текст]// Математика. Механика. Информатика: Материалы Всероссийской научной конференции, Челябинск, 19-22 сент., 2006. Челябинск: ЧелГУ. 2007, с. 104-112.

84 Куропатенко В. Ф. О моделировании динамических процессов в сферических и цилиндрических оболочках [Текст]// Вычисл. мех. сплош. сред. 2010. 3, N 4, с. 53-67.

85 Куропатенко В. Ф. Теория газовых смесей [Текст]// Всероссийская конференция "Проблемы механики сплошных сред и физики взрыва", посвященная 50-летию института гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск, 17-22 сент., 2007: Тезисы докладов. Новосибирск: ИГиЛ СО РАН. 2007, с. 114-115.

86 Куропатенко В. Ф., Лупанов В.Г., О сильных разрывах в многокомпонентных средах [Текст]// Вестн. Челяб. гос. ун-та. 2010,

N24, с. 9-14.

87 Куропатенко В. Ф., Макеева И.Р. , "Исследование дистракции разрывов в методах расчета ударных волн", Матем. моделирование, 18:3 (2006), 120-128

88 Куропатенко В.Ф. Молекулярно-кинетическое обоснование модели многокомпонентной среды. Сборник тезисов докладов XXIII Международной конференции "Уравнения состояния вещества", Эльбрус, 1-6 марта, 2008г., С.30

89 Куропатенко В.Ф. О полной консервативности разностных законов сохранения. //Вопросы атомной науки и техники. Серия: Численные методы решения задач математической физики. Вып. 3(11), 1982, с. 3-5.

90 Куропатенко В.Ф., Новые модели механики сплошных сред. // Инженерно-физический журнал. 2011. Т. 84, №1. С. 74-92.

91 Ляхов Г. М. Ударные волны в многокомпонентных средах / Изв. АН СССР. Механика и машиностроение. 1959. №1. С. 46-49.

92 Наноряков В.Е., Покусаев Б.Г., Шрейбер И.Р. И др., Экспериментальное исследование ударных волн в жидкости с пузырьками газа // Волновые процессы в двухфазных системах . Новосибирск. 1975. С. 54-97.

93 Нигматулин Р. И. Динамика многофазных сред. М.: Наука. 1987. 4.1. 464 с.

94 Рахматулин X. А. О распространении волн в многокомпонентных средах/ПММ. 1969. Т.ЗЗ. Вып.4. С. 598-601.

95 Рахматулин X. А. О распространении волн в многокомпонентных средах/ПММ. 1969. Т.ЗЗ. Вып.4. С. 598-601.

96 Рахматулин X. А. О распространении волн в многокомпонентных средах//ПММ. 1969. Т. 33, № 4. С. 598-601.Куропатенко В. Ф., Лупанов В. Г. О сильных разрывах в многокомпонентных средах//Вестник Челябинского гос. университета. 2010. Сер. Физика. Вып. 8, № 24(205). С. 9-14.

97 C.K. Годунов, A.B. Забродин, М.Я. Иванов А.Н. Крайко, Г.П. Прокопов. Численное решение многомерных задач газовой динамики. Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», М., 1976

98 Самарский А. А., Михайлов А. П. Математическое моделирование: идеи, методы, примеры. М.: Физматлит. 2001.

99 Степаненко E.H., Суров B.C. Динамика многофазных сред. Новый подход. Материалы XVIII Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным и программным системам (ВМСППС'2011) 25-31 мая 2011 года. - г. Алушта. С.618-620.

100 Степаненко E.H., Суров B.C. Модификация метода Годунова для расчета течений односкоростных многокомпонентных адиабатических смесей. // Тезисы докладов. Международная конференция. Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике, Новосибирск, 2010. с.231-232.

101 Степаненко E.H. Новые гиперболические модели в механике многофазных сред / E.H. Степаненко, B.C. Суров // Вестник Нижегородского университета им.Н.И.Лобачевского. - 2011. -Вып.4(5). - С.2518-2519.

102 Степаненко E.H., Суров B.C. Новые гиперболические модели в механике сплошных сред. Разработка и численная реализация. Забабахинские научные чтения: Сборник тезисов докладов X Международной конференции 15-19 марта 2010 года. - РФЯЦ -ВНИИТФ, г. Снежинск. С.259.

103 Степаненко E.H., Суров B.C. Сеточный метод характеристик для расчета течений односкоростной многокомпонентной теплопроводной среды. // Вестник Челябинского государственного университета. 2010. №24 (205) Физика. Вып. 8. С. 15-22.

104 Суров В. С. О локализации контактных поверхностей в многожидкостной гидродинамике. // ИФЖ. 2010. Т.83. №3. С. 518527.

105 Суров В. С. О локализации контактных поверхностей в многожидкостной гидродинамике. // ИФЖ. 2010. Т.83. №3. С. 518527.

106 Суров B.C. Гиперболическая модель односкоростной многокомпонентной теплопроводной среды. // ТВТ. 2009. Т.47. №6. С. 905-913.

107 Суров B.C. Задача Римана для односкоростной модели гетерогенной среды//ИФЖ. 2008. Т.81. №6. С.1133-1141.

108 Суров B.C. Задача Римана для односкоростной модели многокомпонентной смеси // ТВТ. 2009. Т.47. №2. С. 283-291.

109 Суров B.C. Задача Римана для односкоростной модели многокомпонентной смеси // ТВТ. 2009. Т.47. №2. С. 283-291.

110 Суров B.C. Математическое моделирование волновых явлений в дисперсных средах. Дис. ... докт. физмат, наук. Челябинск. 2002. -306 с.

111 Суров B.C. О некоторых автомодельных задачах течения односкоростной гетерогенной среды // ИФЖ. 2007. Т. 80. №6. С. 164-172.

112 Суров B.C. Об одном варианте метода характеристик для расчета течений односкоростной многокомпонентной смеси // ИФЖ. 2010. Т.83. №2. С. 345-350.

113 Суров B.C. Об одном приближенном способе решения задачи Римана для односкоростной многокомпонентной смеси // ИФЖ. 2010. Т.83. №2. С. 351-356.

114 Суров B.C. Об уравнениях односкоростной гетерогенной среды // ИФЖ. 2009. Т.82. №1. С. 75-84.

115 Суров B.C. Односкоростная модель гетерогенной среды с гиперболичным адиабатическим ядром // Журнал вычислительной математики и математической физики, 2008, том 48, №6, 1111-1125.

116 Суров B.C. Односкоростная модель многокомпонентной теплопроводной среды //ИФЖ. 2010. Т.83. №1. С. 132-141.

117 Суров B.C. Ударная адиабата односкоростной гетерогенной среды// ИФЖ. 2006. Т. 79. №5. С. 46-52.

118 Фисенко В. В. Сжимаемость теплоносителя и эффективность работы контуров цирку-ляции ЯЭУ. М.: Энегроатомиздат. 1987. 200 с.

119 Четверушкин Б. Н. Минимальные размеры в задачах механики сплошной среды / Матем. Моделирование. 2005. Т. 17. № 4. С. 27 -39.