Геомоделирование в условиях неопределенности для задач нефтегазопромысловой отрасли тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Дорогобед Алена Николаевна

• Дорогобед Алена Николаевна
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Дорогобед Алена Николаевна

Введение

1.Анализ неопределенностей при прогнозировании параметровгеологических сред

1.1 Неопределености в нефтегазопромысловой отрасли

1.2Неопределенности для задач прогнозирования параметровколлекторов

1.3Неопределенности в задачах прогноза продуктивности пласта

1.4Заключение

2. Многовариантное моделирование на основе технологии нечеткогологического вывода

2.1 Базовые понятия нечеткого моделирования

2.1.1 Нечеткие отношения и операции над ними

2.1.2 Нечеткие числа и арифметические операции над ними

2.1.3 Алгоритм нечеткого вывода

2.2 Технология прогнозирования параметров в условияхнеопределенности

2.2.1 Конструирование отношений при анализе экспериментальных данных

2.2.2 Цепные правила и композиции отношений

2.2.3 Конструирование срезов по параметру значения функциипринадлежности

2.4 Апробация алгоритма построения поля неопределенностипрогнозного параметра

2.4.1 Конструирование функции принадлежности

2.4.2 Композиция нечетких отношений

2.4.3 Прогнозирование параметров при подсчете запасовуглеводородного сырья

2.5 Заключение

3. Прогнозирование параметров эффективного фильтрационногосопротивления проницаемого пласта в условиях неопределенности

3.1 Системная организация данных гидродинамического прослушивания в томографическую систему данных

3.2 Анализ исследования скоростных законов распространениявозмущения напряжений в неоднородных средах и создание ихматематической модели

3.2.1 Дифференциальные уравнения движения упругой жидкости в упругой

пористой среде

3.2.2. Дифференциальные уравнения простейших одномерных потоков

3.2.3 Функции Грина

3.2.4 Применение фундаментальных решений дифференциальныхуравнений пьезопроводности

З.ЗРасчет интервального времени движения особых точек

динамикивосстановления давлений

3.4Вычислительная основа методов интегральной геометрии,адаптированных к уравнениям движения потока флюидов в неоднородной среде

3.5 Апробация метода интегральной геометрии, адаптированного куравнениям движения потока флюидов в неоднородной среде

3.6 Моделирование на действующих гидродинамических моделяхместорождений

3.7 Заключение

Заключение

Список литературы

Приложение А. Свидетельства о регистрации и акты о внедрении

132

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Геомоделирование в условиях неопределенности для задач нефтегазопромысловой отрасли»

Введение

Развитие теории, методов и вычислительных схем, алгоритмов и программ моделирования в условиях неопределенности является актуальной задачей, имеющей многие практические приложения. Каждая из областей приложений общей проблемы моделирования в условиях неопределенности имеет специфический инструментарий математических методов.

Ситуация неопределенности в принятии решений характерна для геологоразведочной отрасли, где она выражена в неопределенности построения физико-геологических моделей геологических сред. По своему характеру имеющиеся данные, получаемые в процессе геологоразведочных работ, допускают многозначное толкование. Основная причина такой неопределенности состоит в том, что данные, на основе которых делаются заключения о характере изучаемых объектов, носят преимущественно косвенный - не прямой характер и используются многоступенчато. Переход к изучению сложнопостроенных сред, характеризующихся высокой пространственной изменчивостью прогнозируемых параметров, в существенной степени повышает неопределенность результатов моделирования и делает неадекватными реальным задачам традиционные подходы, основанные на простых моделях и отработанных приёмах, которые не учитывают в полной мере этой объективной неопределенности. Проектируясь на конечный результат, эти неопределенности приводят к выводам, которые создают иллюзию решенной задачи и зачастую вводят в заблуждение относительно параметров изучаемого объекта своими конкретными числовыми значениями, не учитывающими все аспекты неопределенности. В условиях некорректности конкретных - предметных задач это обстоятельство носит исключительно негативный характер. Типичным примером таких задач служит оценка запасов месторождений углеводородного сырья по геолого-геофизическим данным. Неопределенность задачи моделирования элементов в ней приводит к объективной необходимости получения многовариантных физико-геологических моделей с оценками уровня их достоверности. Многовариантность и дифференцированная оценка достоверности вариантов

должна быть включена в саму схему моделирования - получения вариантов модели, а это требует развития аппарата оперирования с неопределенными данными и зависимостями. Другой типичной задачей прогноза параметров в условиях неопределенности служит изучение пространственного распределения эффективного гидродинамического сопротивления потока флюидов в нефтяном пласте. Пространственное распределение этого параметра необходимо для принятия технологических решений по оптимизации режимов эксплуатации месторождений нефти и газа. Модель этого распределения, получаемая по данным гидродинамического прослушивания, характеризуется высокой степенью неопределенности. Решение этих задач требует анализа неопределенности и развития специализированных теоретических положений, методов, алгоритмов и программ моделирования в условиях неопределенности для конкретного круга вопросов в предметной области.

В последние годы вопросу изучения неопределенности для задач нефтезазо-вой отрасли посвешены труды А. Е. Алтунина, М. В. Семухина, Я. И. Хургина, А. Алиреза, А. Старобинец, Jose Finol, Yi Ke Guo, Xu Dong Jing. В данных работах рассматриваются лишь общие теоретические основы и методы. Существенный вклад в развите данных работ внесли А. И. Кобрунова, А. В. Григорьевых, В. Е. Кулешов, А. С. Могутов.

Цель работы:развитие теории, разработка численных методов, алгоритмов и программ, составляющих основу технологий, направленных на изучение слож-нопостроенных геологических сред в условиях неопределенности для решения задач прогнозирования параметров коллекторов и изучения эффективной проницаемости пластов по фрагментарным данным гидродинамического прослушивания.

Основные задачи исследования:

Для достижения сформулированной цели были сформулированы и решены следующие задачи:

- анализ неопределенностей в задачах моделирования в предметной области для сложных моделей сред;

- формирование математических моделей для задач прогнозирования неф-тегазопромысловых параметров (НГПП) по комплексу геолого-геофизической информации;

- исследование и анализ функций принадлежности для аппроксимации нечетких данных и нечетких отношений применительно к алгоритмам нечеткого логического вывода;

- разработка вычислительных программно-алгоритмических принципов для реализации технологии нечеткого вывода при прогнозировании НГПП;

- разработка методов и алгоритмов реконструкции изображения пространственного распределения эффективного гидродинамического сопротивления потоку флюидов в продуктивном пласте по системно организованным данным гидродинамического прослушивания, с последующим развитием методов алгебраической томографии для решения этой задачи.

Для решения поставленных задач использовались следующие методы и методологии:

- вычислительной математики и программирования;

- аппарат нечеткого моделирования для представления неопределенных данных об измеряемых параметрах и их связях с прогнозируемыми фильтрацион-но-емкостными параметрами;

- вычислительный эксперимент для выбора наилучшей аппроксимацион-ной конструкции для представления функций принадлежности сложных петрофи-зических систем;

- системные принципы логического вывода многошаговой технологии прогнозирования фильтрационно-емкостных параметров;

- данные гидродинамического прослушивания пласта, организованные в веерную томографическую систему с целью последующей реализации технологии алгебраической томографии;

- методы алгебраической томографии для реконструкции параметров эффективной проницаемости продуктивного пласта.

Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем:

- разработаны математические модели для представления петрофизических зависимостей в форме нечетких отношений с целью последующего использования их для реализации принципов нечеткого логического вывода;

- разработана математическая модель построения поля неопределенностей для прогнозных параметров физико-геологической модели на основании принципов нечеткого логического вывода и аппроксимации функций принадлежности в форме фундаментальных решений уравнения диффузии;

- предложен метод системной организации данных гидродинамического прослушивания в систему данных веерной томографии, на основе чего разработаны алгоритмы прогнозирования пространственного распределения параметров продуктивного пласта.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Математическое моделирование НГПП в условиях неопределенности данных должно сопровождаться построением поля неопределенности для прогнозируемых параметров, обеспечивающим последующую дифференцированную оценку их меры достоверности. Могут быть использованы принципы нечеткого моделирования и алгоритмы нечеткого вывода.

2. Наследование неопределенности данных в прогнозном поле неопределенности для НГПП обеспечивается на основе принципов нечеткого логического вывода, с выбором функций принадлежности для нечетких величин и нечетких отношений. В качестве базовых функций, адекватных реальной неопределенности, служат фундаментальные решения уравнений диффузии, характеризующие рассеяние информации о параметрах.

3. Математическое моделирование зон проницаемости продуктивного пласта в условиях неопределенности обеспечивается системной организацией данных гидродинамического прослушивания в томографическую систему данных, с последующим моделированием в рамках методов алгебраической томографии и построения пространственного изображения эффективного распределения коэффициента пьезопроводности.

4. Для компенсации вторичных эффектов неоднозначности, связанных с недостаточностью томографических данных, могут использоваться критерии оптимальности квадратичного типа.

Теоретическая и практическая значимостьразработанные методы, алгоритмы и программы моделирования на основе принципов нечеткого моделирования применяются при дифференцированной оценке подсчетов запасов на некоторых месторождения Тимано-Печорской провинции. Разработанные методы реконструкции пространственного распределения эффективного гидродинамического сопротивления позволяют выполнить пространственную локализацию параметров фильтрационного сопротивления с целью последующей организации технологических работ по повышению коэффициента извлекаемости.

Реализация результатов работы. Работы используются при выполнении научных исследований по Федеральной целевой программе «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы: «Разработка теории и методов математического моделирования в задачах инверсии геофизических полей с целью прогноза и изучения локальных неоднородностей и внутреннего строения литосферы» и «Развитие методов и технологий гидродинамического прослушивания проницаемого пласта на основе принципов томографии».

Результаты используются при выполнении научно-исследовательских работ по заказам нефтегазодобывающих предприятий Республики Коми. Результаты, полученные при выполнении работы, используются в учебном процессе при подготовке специалистов и магистров по геологии нефти и газа.

Степень достоверности и апробация работы.Основные положения диссертации были представлены на Международнм семинаре им. Д.Г. Успенского «Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей» (Москва, 2010 г., 2015 г.), научно-практической конференции «Нефтегазовая геофизика — нетрадиционные ресурсы (Ивано-Франковск, 2013 г.),научно-практической конференции молодых работников ООО «Газпром Трансгаз Ухта» (Ухта, 2011 г.), международной молодежной научной конференции «Севергеоэкотех» (Ухта, 2011 - 2015), межрегиональном

научно-практическом семинаре «Рассохинские чтения» (Ухта, 2012-2015), III Школе-конференции «Гординские чтения» (Москва, 2015), VI Международной студенческой электронной научной конференции «Студенческий научный форум 2015», научных семинарах Ухтинского государственного технического университета.

Получено авторское свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2015614954.

Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 17 научных работах, в том числе 3 в журналах из перечня ведущих периодических изданий, рекомендованных ВАК.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, 3-х глав, заключения, списка литературы, включающего из 144 наименования, из которых 30 зарубежных.

1. Анализ неопределенностей при прогнозировании параметров

геологических сред

В первой главе на основе работ Мирзаджанзаде А.Х., Петрова А.В., Вен-дельштейна Б.Ю.,Алтунина А.Е., Никитина А.А.,Чуклеева С.Н.,Семухина М.В., Кобрунова А.И., Дахнова В.Н.и др. рассмотрены основные причины проявления неопределенностиисходных данных и неопределенности взаимосвязей этих данных в задачах прогнозированияподсчетных параметров геологических сред и фильтрационных характеристик среды.

1.1 Неопределености в нефтегазопромысловой отрасли

Современные задачи геологоразведочной и нефтегазовой отраслисвязаны с необходимостью изучения месторождений со сложнопостроенными геологическими средами, отличающихся существенной пространственной неоднородностью.

Сложнопостроенная среда -это многопараметрические системы, параметры которой характеризуются пространственным распределениемпо некоторым законам, которые не известны.

Например, таковы месторождения углеводородов со сложным типом коллекторов. Сложные коллекторы- это коллекторы, характеризующиеся сложной смешанной пористостью: корвенозной, объемной, трещиноватой, обычной, др. - и являющиеся неоднородными. Под пространственной неоднородностью пласта со смешанной плотностью следует понимать изменение значения пористости по объему пласта. Результаты исследований неоднородностей коллекторов имеют приложения в информационном обеспечении принятия технологических решений при разработке месторождений углеводородов и прогозировании физико- геологических параметров промысловых моделей по геофизическим данным.

Другим примером являются месторождения с пространственно распределе-ной неоднородной пропускной способностью пласта. В процессе эксплуатации

месторождений пропускная способность пластов существенно изменяется, а после длительной эксплуатации возникают зоны купирования. Такие зоны пространственно распределены и не являются однородными. Их изучение является актуальной задачей для оптимизации технологий разработки месторождений и повышения продуктивности пластов.

Математические модели таких сред характеризуются пространственной изменчивостью своих параметров. При их построении распространенным является ситуация неопределенности результата моделирования.

Понятие «неопределенность» описывает ситуацию, при которой полное описание всех компонент неоднородной среды осложняется следующими факторами: не хватает данных или они размыты или отсутствуют; результат не может быть представлен точно, так как существует целый ряд возможных результатов.

Неопределенность является одной из значимых проблем при работе с месторождением, поскольку может приводить к выбору неоптимальной стратегии его разработки и эксплуатации. Для каждой задачи проявление неопределённости является специфическим, но возможно выделить общее: 1) неопределенность данных.

Неопределенность в основном связана с погрешностью, недостаточностью, нерегулярностью, фрагментарностью, зашумленностью и неоднородностью данных, получаемых в результате исследований.

Например, погрешность данных может возникнуть за счет невысокой точности информации, получаемой с месторождений. К невысокой точности информации относится:невыполнимостьполучения измерений параметров во всех точках проведения замеров, необходимых для модели; немалые погрешности устройств замера технологических параметров (расхода, давления и т.д.) и их низкаяточность; высокое запаздывание информации при передаче от одного к другому уровню управления[17].

Нерегулярность и фрагментарность данных связана с работой на месторождениях со значительно неоднородными залежами, границами, разрывами или разломами. Данные, полученные с таких месторождений, не могут

дать достоверной картины, необходимо проведение дополнительных работ по снятию замеров и проведению, что приводитк увелечению затрат времени и средств. В случае отсутствия данных проведение дополнительных работ невозможно, специалисты вынуждены использовать результаты исследований, полученные надругих, аналогичныхданному, месторождениях, или дополнять информацию за счет применения различных методов восстановления.

Так как замеры параметров имеются только в отдельных точках, за счет неоднородности среды эти величины значительно изменяются в пространстве. Применение различных методов восстановления данных может привести к получению значительно смещенных точечных оценок параметров, неполноте и рассеянию данных [17].

2) неопределенность соотношений, связывающих разные параметры.

В процессе проведения анализа работ проектирования и разработки месторождения необходим анализ параметров или показателей, которые находятся между собой в особой связи. Характер этой связи может влиять на значения параметров обработки.

Например, при проведении геофизических исследований в скважинах в лабораториях экспериментально устанавливаются связи междуизмеряемым электрическим параметром - удельным сопротивлением горных пород и коэффициентом пористости. При моделировании процессов разработки нефтяных и газовых месторождений устанавливаются связи между гидродинамическими параметрами, продуктивностью и проницаемостью, при моделировании строения осадочных бассейнов по геофизическим данным устанавливаются связи между скоростью распространения продольных волн и плотностью горных пород [68].

После установления зависимости между такими величинами можно по известному значению одного из параметров определить величины других. Например, прогноз фильтрационно - емкостных параметров, таких как

плотность и проницаемость, по физическим (плотность, скорость пробега упругих волн, удельное электрическое сопротивление и т.д.) или по керну.

Причиной неопределенности таких связей служит отсутствие верных уравнений, характеризующих данные зависимости, ограниченность и нечеткость экспериментальныхданных, по которым устанавливаются данные связи.

Установление однозначной и достоверной зависимости возможно не всегда. Например: узнать, как связан параметр гидропроводности с данными интервального времени невозможно, так как этому интервальному времени может соответствовать бесконечное число параметров гидропроводности, соотношение неопределенно, но может быть системно организовано. Ориентируясь на рассматриваемые в диссертации задачи,рассмотрим неоп-ределенностидля задач прогнозирования параметров коллекторов и изучения эффективной проницаемости пластов по фрагментарным данным гидродинамического прослушивания для сложных сред.

1.2 Неопределенности для задач прогнозирования параметров

коллекторов

Задача прогнозирования параметров физико-геологических моделей (ПФГМ) геологических сред - этоодна из основных задач, возникающих при поиске и разведке месторождений полезных ископаемых, изучении геологического строения, прогнозе продуктивности, оценке запасов полезных ископаемых и многих других задачах. В современных геофизических условиях эта задача характеризуется следующим: во-первых, прогнозирование происходит в условиях неопределенности, во-вторых, данные, на основании которых выполняется прогнозирова-ние,отличаются размытостью, нечеткостью, и само прогнозирование выполняется с использованием косвенных признаков, несущих информацию о требуемых параметрах, на основании некоторых промежуточных заключений.

Неопределенность данныхимеет своей природой неполноту данных, рассеяние в некоторой окрестности.

Неполнота(рисунок1.2.1 а) связана с нерегулярностью задания данных. Типичным примером является отсутствие требуемых измерений, связанное с невозможностью выполнения работ. Например, наиболее достоверную информацию о свойствах пород (петрофизических, фильтрационно-емкостных, физических и других) можно получить, только изучая образцы керна. Осуществить измерения в каждой скважине со 100% выносом керна практически не удается и является экономически невыгодым. В результате часто на месторождениях керн представлен только ограниченным числом точек пластопересечений[62].

„

1

в. и С — - ' ^ ч — ь-

- 11 й <■' а " ■ = » Е '•* Ь л э а 4« к ',■* " * ■ м?>- I ' ,

м и р ;

• » В » »

Пористость по ПК Проницаемость по керну

а б

Рисунок 1.2.1. Пример задания неопределенных данных: а) неполнота данных, б) рассеяние данных.

Рассеяние (рисунок 1.2.1 б) в некоторой окрестности связано с неоднородностью изучаемого объекта и ошибками измерений, происходящими из-за ограниченной точности аппаратуры и несовершенства методики измерений. Например, при анализе петрофизических характеристик горных пород (пористости, плотности, т.д.), повторное измерение одного и того же параметра приводит к различным результатам из-за неоднородности пласта по измеряемому параметру, хотя все измерения относятся к одному пласту (рисунок 1.2.2).

Процесс изучения математических моделей сложных геологических сред при прогнозе промысловых параметров основан на методах аналогий сиспользо-ванием имеющихся эталонных объектов. На эталонных объектах экспериментально исследуются связи между косвенными данными, которые будут доступны для измерения в изучаемом объекте, и прогнозными параметрами, которые должны быть найдены в изучаемом объекте (рисунок 1.2.3).

Пористость,

Рисунок 1.2.2. Пример зависимости пористости и проницаемости, полученной по керну при различных замерах.

Рисунок 1.2.3. Прогноз параметров на эталонных объектах

Связи между параметрами различных компонент моделей чаще всего выводится из экспериментальных исследований значений параметров на образцах горных пород - керновом материале.

Основу данных зависимостей составляют петрофизические зависимости типа «керн-керн», «керн-ГИС», «ГИС-ГИС».

При использовании зависимости «керн-керн» берутся петрофизические и геологические параметры, измеренные на образцах керна.

При использовании зависимости «керн-ГИС» берутся коллекторские характеристики, измеренные на образцах керна в отобранных интервалах разреза, однородных по материалам ГИС, и геофизические характеристики, которые определяют по кривым ГИС, зарегистрированных против этих интервалов.

При использовании зависимости «ГИС-ГИС» берутся различные геофизические параметры, либо найденные по результатам интерпретации данных ГИС фильтрационно-емкостных характеристик пород с учетом результатов испытаний пластов [83].

Достаточно типичной ситуацией в нефтегазовой геологии при подсчете запасов углеводородов является расчет значений промысловых параметров, таких как фазовая проницаемость, пористость, флюидонасыщенность по комплексу геофизических данных, таких как относительная интенсивность у излучения (характеризует глинистость), интервальное время прихода упругих колебаний (зависит от пористости и типа коллектора), атрибуты сейсмических волн [25, 49, 54], кажущееся сопротивление, индуктивность и т.д. Измеренные геофизические параметры должны быть пересчитаны в значения промыслово-геологических, и по значениям последних, распределенных в построенной пространственной физико-геологической модели среды, рассчитываются искомые промысловые характеристики, такие как запасы залежи.

Простейшие зависимостимежду одними и другими параметрамиустанавли-ваются в петрофизических лабораториях экспериментально, поскольку реальные теоретические связи между физическими и геологическими параметрами не установлены или установлены в очень жестких предположениях.

Обычно проницаемость определяют через пористость по зависимостям, полученным в результате лабораторных исследований керна. На рисунке 1.2.6 показана корреляционная зависимость между пористостью и проницаемостью, полученная по керну (рисунок 1.2.4-1.2.5).

Рисунок 1.2.4. Зависимость между плотностной пористостью и пористостью по керну

Рисунок 1.2.5. Зависимость между пористостью по керну и проницаемостью

Рисунок 1.2.6. Зависимость между плотностной пористостью и проницаемостью

Особую практическую ценность представляют корреляционные зависимости, полученные между остаточной водонасыщенностью и другими физическими параметрами, в частности пористостью (рисунок 1.2.7) и проницаемостью, (рисунок 1.2.8) полученные также по результатам керна.

Рисунок 1.2.7. Зависимость между Рисунок 1.2.8. Зависимость между остаточной водонасыщенностью (аВ) остаточной водонасыщенностью (аВ)

и проницаемостью (к) для верейских песчаников по керну из скв. 555 Покровского месторождения

и пористостью (т) для верейских песчаников по керну из скв. 555 Покровского месторождения

Традиционно такие связи на эталонных объектах устанавливаются на основе регрессионного анализа, реже методами кластерного анализа.

Корреляционной связью называется такая статическая связь, при которой установливаются взаимосвязи между двумя илиболее случайными величинами с оценкой тесноты этой связи[88,89]. Основной особенностью корреляционного

анализа следует признать то, что он устанавливает лишь факт наличия связи и степень ее тесноты, не вскрывая ее причин.

Чтобы предварительно определить наличие такой связи между х и у , наносят точки на график и строят так называемое корреляционное поле (рисунок 1.2.9). По виду корреляционного поля можно судить о наличии корреляционной связи.

100 80

60

40

20

о

Кво.%

| Кво =-108 53+4628 B/Kn|

1Х.

jjV _ TVsv

- m г • •

•

20 24

28 32

А

36

40

Кп.%

40

32

24

16 8 0

Кпэф.%

V-

|Кшф=-46 18+2 08 Кп|-^

%

•у''

20 24

28 32

Б

36

40

Кп.%

Рисунок1.2.9. Статистическая зависимость при положительной (а), отрицательной (б) корреляции

Регрессионный анализ - это метод установления формы(характера) зависимости между исследуемыми величинами. На основании регрессионного анализа наблюдаемое «облако» точек апроксимируется уравнением регрессии.

На базе регрессионного анализа решаются две основные задачи: а) установление формы корреляционной связи, т.е. вида регрессии; б) оценка тесноты корреляционной связи[88, 89].

Под регрессиейпонимают сглаживание экспериментальной зависимости по методу наименьших квадратов. Метод наименьших квадратов состоит в минимизации суммы квадратов отклонений сглаживающей прямой (кривой) ф( х) от экспериментальной зависимости yt, т.е. [89]:

n

2(У, ~9(хг)))2 ^ min (1.2.1)

i=Y

где может быть линейная (а} + a1 хг), нелинейная (а0 + ^х + а2хг2) или множественная (а0 + а^хи + а2х2г) регрессия.

Метод наименьших квадратов приводит к системе нормальных уравнений для нахождения коэффициентов регрессии а0, а, а ,•••

Эта система уравнений в матричной форме выражается следующим образом:

X'ХА = X У (1.2.2)

где X - матрица значений исходных случайных величин X, Х2Хд,; X -

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Дорогобед Алена Николаевна, 2016 год

/ 1

—V

У \

X

Рисунок 2.1.4.Пересечение двух нечетких отношенийA иB

Объединением (A ^ B) двух нечетких отношений A и B называется некоторое третье нечеткое отношение S, заданное R — X1 х X2 х... х X , функция принадлежности которого определяется по следующей формуле:

max

Рисунок 2.1.5. Объединение двух нечетких отношений A и ß

Разностью (А \ В) двух нечетких отношений А и В называется некоторое третье нечеткое отношение £, заданное Я =Х1 х Х2 х... х X, функция принадлежности которого определяется по следующей формуле:

¡ив(<х,х2>хз>) = тах{^(<х1 ,х2,х3>)-Мв(<X,х3>),0}

к

1

/

1 / , I

/

/

/ 1

/ I

/

у

'о я ь л ь Г еЬ 8 ь 100

Рисунок 2.1.6. Объединение двух нечетких отношений A и B

Особую роль играет решение задачи об установлении отношения между двумя нечеткими множествами, если имеются отношения их с некоторой третей величиной - нечетким множеством, в частности, нечеткой переменной.

Композицией двух нечетких отношений A и B называется некоторое третье нечеткое отношение S, заданное на декартовом произведении универсумов первого и второго, исключая промежуточный одинаковый для обоих отношений универсум, функция принадлежности которого определяется по одной из следующих формул:

- Максиминная нечеткая свертка

Ms (xi ,хз) = max{min (xi5 x2 X MB (x2' x3' )}}

i J

Альтернативные композиции:

- Max-prod композиция Ms (Х ,x3) = max{^ (x >x2)x Mb (x2 ,x3)}

i

- Min-max композиция Ms (x, x3) = min{max { ma (Х , x2), Mb (Х, x3)}}

i J

- Max-max композиция ms (x15 x3) = max{max {MA (x15 x2X MB (x2 5 x3 )}}

' j

Min-min композиция js ( х1 ,х3) — min{min{ ja ( х1,х2 ), jb ( х2, х3)}}

i j

Min-average композиция jus (x, x3) — 0.5 х max { jua (x, x2) xj (x2, x3)}

i

Например: пусть A -бинарное отношение для двух нечетких величин X и Y с функцией принадлежности (x,у) (рис. 2.1.4. а), и B -бинарное отношение для двух нечетких величин Y и Z, с функцией принадлежности j (у, z) (рисунок 2.1.7. б).

Рисунок 2.1.7. Нечеткие отношения А и В

Тогда £ = АА ® ВВ -отношение для двух нечетких величин X и 2, с функцией принадлежности ^ (х, £).

Таблица 2.1.2 Вычислительный эксперимент, демонстрирующий применение различных композиций.

Графическое представление

В результате проведения и анализа серии экспериментов был сделан вывод об оптимальности использования в разрабатываемой методике для установления отношений между начальными и конечными параметрами в цепочке композиции максимальной нечеткой свертки.

Пусть А -бинарное отношение для двух нечетких величин X и У, с функ-

цией принадлежности ¡иА (х,у)

а21 а22

аа а12

а

1]

а

2 ]

а

= и В -бинарное отношение

для двух нечетких величин У и 2, с функцией принадлежности

Vв (У)

Ь11 Ь12

ь ь

Ь21 ь22

ь, Ь0

11 12

"1]

'2 ]

Рассмотрим, каким образом получается одно из значений функции принадлежности композиции, например, значение ^(п)(х,2)• Вначале найдем минимальные

значения функции принадлежности всех пар элементов первой строки АА и первого столбца В с волной, а именно:

[шт{а 1,Ь 1} = Ь1, тгп[а2, Ь21} = а12, ..., шт{ а1у, Ьа } =

После этого найдем максимальное из п полученных значений, которое и будет являться искомым значением функции принадлежности: тпах{Ъх 15а12, ••• ,%) = Ц2 •

Остальные значения функции принадлежности находятся аналогично.

Ms (x,z)

ai2 ai2 ' " Ь2j

a22 b22

b21 aj

a

2j

a

2.1.2Нечеткие числа и арифметические операции над ними

Нечетким числом называется нечеткое множество A, определенное на множестве действительных чисел R, функция принадлежности которого

Ma • R[0'1],нормальна supMa(x) = 1 и выпуклаMa(x) ^ min[м(xi(Х)],x < x < x2

xeX

Арифметические операции над нечеткими числами: - сложение мЛ+в (z) = sup [min (м (x), Mb (У))],Vx,y, z e R;

z=x+y

вычитание Ma-b (z) = sup [min (м (x), Mb (У))], Vx,y, z e R;

z=x-y

умножение Mi (z) = sup [min (м (x), Mb (y))], Vx,y, z e R;

z=x* y

- деление Ma/в (z) = sup [min (ma (x), Mb (y))], Vx,y, z e R;

A '

z=x / y, y

2.1.3 Алгоритм нечеткого вывода

В общем случае алгоритм нечеткого вывода включает четыре основных этапа: формирование базы правил, фазификацию входных переменных, нечеткий вывод и приведение к четкости, или дефазификацию (рисунок2.1.8).

База правил формируется в виде структурированного набора правил нечетких продукций. Наиболее распространенная база правил представляется в форме

структурированного текста:

ПРАВИЛО_1: ЕСЛИ «Условие_1» ТО «Заключение_1» ПРАВИЛО_2: ЕСЛИ «Условие_2» ТО «Заключение_2» ^2)

ПРАВИЛО_N: ЕСЛИ «Условие_N» ТО «Заключение_№> (Бп) Fi - весовые коэффициенты соотвествующих правил.

Рисунок 2.1.8. Система нечеткого логического вывода

Фазификация входных данныхесть нахождение функции принадлежности для исходных данных.

Нечеткий логический вывод включает в себя несколько этапов:

- агрегирование, оценка степени истинности вводимых условий по каждому из правил;

- активация, оценка степени истинности каждого из подзаключений. Основные методы:

шт-активация: ¡1у = шлп{^х(х),^ (х, у)} (211)

ргоё-активация: ¡1у = цх> (х) * /лА (х, у) (212)

ауега§е-активация: д* = (х) * ¡лА (х, у)) (2.1.3)

- аккумулирование, нахождение функции принадлежности для каждой из выходных переменных. Определяется поодной из формул, соответствующих операциям: объединение, алгебраическое объединение, граничное объединение, драстическое объединение, операция Х-суммы и д.р. Дефазификация- это переход от нечетких к обычным переменным. Существуют следущие основные виды дефазификации:

n

Z xM( xi)

- метод центра тяжести y = -,

Zm( x)

i=1

где n - число одноточечных нечетких множеств, каждое из которых характеризует единственное значение рассматриваемой выходной лингвистической переменной;

- метод левого модального значения y = min {xm};

- метод правого модального значения у = max {хт },

где xm - мода нечеткого множества, соответствующая выходной переменной после аккамуляции.

В настоящее время разработаны следующие модели нечеткого вывода: модели Мамдани, Сугено, Ларсена, Цукамото. В данной диссертационной работе используется алгоритм нечеткого вывода Мамдани.

Алгортм Мамдани. Данный алгоритм был предложен в 1975 г. английским математиком Э.Мамдани [130].Основное отличие данного алгоритма от описанного выше заключается в особенностях нечеткого логического вывода:

- агрегирование, для нахождения истинности условий используются парные логические операции;

- активация, определяется по формуле (2.1.1);

- аккумулирование, определяется из формулы объединения цу = тах{м*}

Если процесс активации и аккумулирования объединить му = max {min {му (x), мА (x, y)}}, то данная формула будет соответствовать композиции

min-max. В данной диссертационной работе данные этапы принято называть ком-позицей Мамдани.

Таким образом, пример алгоритма нечеткого вывода Мамданидля экспериментальных данных A = {x}, X = {7,5,6,4}, В = {y}, Y = {1,2,5,4} будет выглядеть следующим образом:

1 фазификация:

Для А

х 7 5 6 4

Ма (х) 0.4 0.6 0.8 1

Для В

У 1 2 5 4

Мв (У) 0.9 0.1 0.7 0.2

2 нечеткий логический вывод: Сначала определяется отношение между А и В, путем импликации (из А следует

В):

шт(0.4,0.9) шт(0.4,0.1) шт(0.4,0.7) шт(0.4,0.2)"

шт(0.6,0.9) шт(0.6,0.1) шт(0.6,0.7) шт(0.6,0.2)

шт(0.8,0.9) шт(0.8,0.1) шт(0.8,0.7) шт(0.8,0.2)

шт(1,0.9) шт(1,0.1) шт(1,0.7) шт(1,0.2)

Пусть теперь реально задана нечеткая величина А', определенная своей функцией

принадлежности на X:

Мк (x, У) =

0.4 0.1 0.4 0.2

0.6 0.1 0.6 0.2

0.8 0.1 0.7 0.2

0.9 0.1 0.7 0.2

х 8 8.3 8.6 9

МА (х ) 0.5 0.8 0.9 0.5

Следует определить, какая величина В'ей соответствует. В соответствии с композицией Мамдани м (У) = шах{тлп{м (х),м (х, у)}}:

у' 1 2 5 4

Мв (У) 0.8 0.1 0.7 0.2

3 дефаззификация, выполняется на основе метода центра тяжести:

п

V У М ' (у.)

V 1в 1 1*0.8 + 2*0.1 + 5*0.7 + 4*0.2

У = —-=-= 2,9

^ , ч 0.8 + 0.1 + 0.7 + 0.2

"МВ (Уг )

В

1 =1

2.2 Технология прогнозирования параметров в условиях

неопределенности

Благодоря Заде [138-143] к настоящему времени накоплен достаточно богатый опыт в области нечетких множеств и нечеткой логики. Этому способствовали работы таких видных зарубежных учёных, как Р. Беллман[30,31], Д. Дюбуа[57], А. Коффман[77], Э. Мамдани[130,131] др., и российских исследовате-

лейА.В.Леоненкова[80], А.В. Алексеева[1,2], А.Н. Борисова[35-41], А.Н.Кирсанова[67], М.М. Максимова[81], А.Х. Мирзаджанзаде[86], А.И. Орлова [93] и других.

В России использованию теории нечетких множеств в задачах нефтяной геологии посвящены несколько работ А.Е.Алтунина[3-24], М.В.Семухина[8-24,104-105], Я.И.Хургина[110]; А.И.Кобрунова[68-70]; И.С.Путилова[99], Ю.П.Ампилова [25], С.И.Билибин [32].

За основу была взята работа А.И.Кобрунова, которая впервые была предложена в работе [73], получила развитие в работе [76] при прогнозировании петро-физических параметров, и была адаптирована к условиям конкретных месторождений в работе [75]. В конечном итоге была создана технология прогноза под-счетных параметров при оценке запасов углеводородов на основе метода нечётких петрофизических композиций [76]. Тем не менее развиваемой в указанных работах технологии были присущи ограничения [90].

В настоящей работе предлагается иной способ моделирования, с сохранением и развитием основных принципов и правил нечеткого вывода, указанных в данных работах.

Комбинация нечетких отношений с целью получения итоговых правил прогноза приводит к прогнозу полю неопределенности для изучаемых прогнозных параметров.

Поле неопределенности прогнозного параметра представляет собой функцию пространственных координат, значение которой в каждой точке есть распределение возможных значений параметра в этой точке. Ее можно представить в виде ^ = ^0,5), где V - пространственная координата, я - значение параметра, ^ -достоверность, возможность значения параметра 5 в точке V.

Основными элементами метода прогнозирования данных служат:

- конструирование функций принадлежности, характеризующей данные на основе диффузионных приближений к аппроксимации функции принадлежности (п. 2.2.1.);

- фазификация, состоящая в представлении исходных данных, по кото-

рым реализуется прогноз для всех скважин и всех продуктивных интервалов в виде нечетких множеств, характеризующихся функциями принадлежности (своей для каждого интервала и каждой скважины, участвующей в прогнозе) (п. 2.2.1.);

- установление цепочки нечетких отношений между начальными и конечными прогнозными параметрами. Расчет композиций нечетких отношений для установления отношений между начальными и конечными параметрами в цепочке (на основе композиции Мамдани) (п. 2.2.2.);

- выполнение прогноза по правилу нечеткого вывода на основе композиции Мамдани между установленным отношением стартового и конечного параметров, найденных на шаге 2, и функций принадлежности, установленных на 3 шаге нечетких величин (п. 2.2.2.);

- конструирование последующих срезов по параметру значения функции принадлежности для прогнозной модели (п. 2.2.3.).

2.2.1 Конструирование отношений при анализе экспериментальных данных

Модель исходных данных состоит в следующем.

Система геофизических параметров {я1,я2,я3,...,я',ям;' = 1 +м] может быть представлена в виде я: я = {я';' = м]е я фазового пространства параметров, характеризующих изучаемый объект. Например, я1 - это скорость продольных упру-

2 3

гих волн, я - плотность, я - электропрооводность (м = 3), что характерно при

постановке задач совместной инверсии сейсмических гравиметрических и электроразведочных данных. Другой пример - коэффициент пористости, нефтенасы-щенность, плотность, определенная по керну, и плотность, определенная по методу гамма-гамма каротажа (плотностного): м = 4.

В результате группы экспериментов А получены значения {я; у = 1 ^ . Эта

группа экспериментов содержит данные для обучения прогнозу. Каждое из я -это

одновременно измеренные значения параметров {я1,я2,...,я^,яМ;' = 1 -м,у = 1 ^N,

характерных для условного «образца» или точки измерения

я. ; 1 = 1 - м, j = ы). Эти значения параметров образуют точки в фазовом пространстве £ и служат результатом экспериментов по измерению поля рассеяния (я), служащему функцией принадлежности для значений параметров я е £.

Например. Для установления связи между двумя параметрами {., у) заданными таблицей экспериментальных данных, фазовое пространство параметров будет иметь следующий вид я = {., уу; j = 1 + ы), м = 2 - соответствует столбцам

таблицы, N = у - соответствует количеству строк, где каждая строка характеризует значение параметра {., у) отнесенного к одному измеряемому объекту. Его графическое изображение представлено на рисунке 2.2.1.

♦ ♦ « « • • ♦ ♦ ♦ ♦ . « ♦

• • • * • •и <

- г; — —I — -

С С.1 С.2 С.З С.4 С.5 0,5 С.7 0,В С.9

X

Рисунок 2.2.1. Экспериментальные данные

Примем следующую модель. Среда состоит из совокупности частей, различающихся между собой одновременными наборами параметров я е £. Плотность концентрации элементов в этой смеси характеризуется функцией концентрации, ¿и(я) и (я) имеют значения, служащие итогом диффузии ^(я), происходящей с некоторым коэффициентом а и длящейся некоторое время т :

д^М-а* аУ(в,т) (2.2.1)

— а о

дт дв

¿и( в,0) = м( в)

д М означает оператор Лапласса или обычную вторую производную в одномерном случае. Его фундаментальное решение в бесконечном однородном фазовом пространстве есть [49]:

1

I-п

(2ау жт)

-ехр

' 52 ^

4а2 Ту

(2.2.2)

где п- число измерений пространства, в котором происходит диффузия параметров. Удобно считать, что параметром, вдоль которого происходит диффузия, является модуль многомерного параметра«. В этом случае п = 1, и принимая, что ма(в) = м(в,т)при некоторомт , получаем уравнение для нахождения распределения концентраций м( в) при условии, что известно поле рассеяния ма (5)

А [м(в) ,Т]= 1 | М(%) х ехР

г 5 - 1..............(2.2.3)

%

2

У

й% = м( 5 ,Т) = МА ( 5)

% = 2а*^Т

% - эффективный параметр рассеяния.

Перейдем теперь к построению функции ма (в), служащей аппроксимацией для м(в) по результатам экспериментов А.

Система А есть объединение измерений А( у), у = N, каждое из которых порождает поле рассеяния ма (у)(в), значение которого в точке измерения есть:

1 Г к,Г1 (2.2.4)

' =ма (5,)

ехр

%2

Поле рассеяния ма (в) складывается из своих элементов цАи)(в). Для конструкции ма (в) воспользуемся правилом условных возможностей, состоящих в том, что полная возможность для параметра« складывается из суммы произведений частных возможностей этого значения мАи)(в), следующих из измерений

А(у), у = N, на возможность самого результата ма(у)(в) в процессе измерения А( у). Применяя это правило, получаем:

Ма(у)(я) = ТМА(у)(ву )Ма(у)(я) (2.2.5)

у

Условия на Мац)(5) :

- 0 < ма^) (в) < 1 -условия нормировки;

- Мли)(в) имеет максимум в и монотонно убывает с удалением от . Считая все измерения равновозможными, получаем, что ма^) имеет одно

и то же значение для всех у, и, применяя правило нормировки, ) получим приближенное соотношение:

ма (я) = ^ тма{ у) (я) (2'2'6)

у

Рассмотрим модель, для которой ма^ ^я) есть диффузия на плоскости значения мА{. )(я]) на расстояние г = я - ^, продолжавшаяся время т . Тогда, учитывая (2.2.6) и рассматривая диффузию каждого ), получаем:

(2.2.7)

2

I \ 1 ^ 1 / 5 - я ^ ма (5 ) = N ? ехр(-—>

Методика практического численного расчета нечеткого отношения между петрофизическими параметрами состоит в следующем:

для £ формируетсясетка, узлы которой служат точками расчета функции принадлежности ма (я) (сетка с шагом для каждого параметра I = 1 ^м). Узлы сетки являются точками расчета функции ма (я); подбирается эффективный параметр рассеяния %. Этот этап относится к этапу методических работ;

по соотношению (2.2.7) данные представляются в форме поля рассеяния.

Исходные данные можно разделить на две части: первые - это данные, которые используют для построения отношений; вторые - это реально наблюдаемые данные, для которых необходимо спрогнозировать отношение параметров.

Например, для реально наблюдаемых данных (х), для которых необходимо спрогнозировать отношение параметров, (2.2.7) примет вид

* х)=N $ ^ехр

|2 Л

\Х] ~ х

7 = 1 - N. Графически представлено на рисунке 2.2.2.

Например, в результате измерений получена следующая зависимость между коэффициентом пористости и коэффициентом водонасыщенности (рисунок 2.2.3), используемых для построения отношения.

Для установления связи между двумя параметрами (х - пористость, у - водонасыщенность),заданных таблицей экспериментальных данных, фазовое

пространство параметров будет иметь следующий вид я = {х;, у7; у = 1 - ы}. Тогда (2.2.7) примет вид:

м х,у)=N $ ^ ^

( I |2 I |2 Л

\х,- - х + У1 - у

, 7 = 1 - N

Рисунок 2.2.2. Представление реально наблюдаемых данных в форме функции

принадлежности

Рисунок 2.2.3. Зависимости коэффициента пористости от коэффициента водона-

сыщенности

Следуя вышеизложенной методике численного расчета,получается представление этих данных в форме полей рассеяния при значении эффективного параметра рассеяния (1, 1.4, 1.8) (рисунок 2.2.4).

Рисунок 2.2.4. Представления коэффициента пористости от коэффициента водо-насыщенности в форме полей рассеяния по соотношению (2.2.7)

Выбор параметра £ позволяет адекватно моделировать меру рассеяния, свойственную функции принадлежности (меры возможности), соответствующую реальным данным.

Чем меньше эффективный параметр £, тем больше мера рассеяния зависит от взаимного расположения точек и тем более дифференцированным выглядит образ результата расчета меры принадлежности (в этом случае максимумы функции меры принадлежности располагаются в реально измеренных точках отношения).

Чем больше эффективный параметр £, тем меньше мера рассеяния зависит от взаимного расположения реально измеренных точек, и образ результата расчета представляет собой плавно меняющуюся функцию.

2.2.2 Цепные правила и композиции отношений

Модель для задач прогнозирования нефтегазопромысловых параметров по комплексу геолого-геофизической информации состоит в следующем.

Данные А представляют собой, по сути, обучающую выборку, представленную в форме поля рассеяния. В пространстве параметров £ выделим параметры -аргументыЯ е £1, по которым выполняется прогнозирование, и параметры значения ^2 е £2 - значения, которые прогнозируется по результатам измерения я1.

Эксперименты, связанные с измерением параметров 81 итогом которых

служит ?1 для прогноза значений 82 е 82, обозначим А (81). В соответствии с

(2.2.7), функцию принадлежности или поле рассеяния для параметров 81 после измерения значений 81:8к = 1 ^ ик можно представить в форме:

(2.2.8)

^ а( 81 ^ ) = \ Т= ехр

(81 Л ' N ^ ^

„1 „1

С

2

J

N - число измерений параметра я \ по которым ищется образ в пространстве параметров £2.

Для прогноза по этим данным поля рассеяния для я2 е £2 используется правило Мамдани:

(2.2.9)

^а(^(82)=тах тш {^а , 82), ^А(^ (8^

Особенностью, характерной для задач прогнозирования геолого-промысловых параметров по комплексу геофизических данных, является конструирование прогнозных параметров по системе цепных правил. Это означает, что параметры, поле которых прогнозируется (геолого-промысловые я2) по результатам измерений я1 (геофизические я1), не являются конечным результатом. Определена серия промежуточных отношений:

81 ^ (8\У) ^ у1 ^ (у1,у2) ^ у2...уп ^ (у",82) ^ 82.

Пример такой ситуации - это расчет нефтеносности по данным геофизических исследований. При расчетах участвуют зависимости «пористость по ГИС» -«пористость по керну», зависимости «пористость по керну» - «нефтенасыщен-ность». Для конструирования оператора рассеяния (2.2.9) следует построить матрицу рассеяния для начальных и конечных прогнозных параметров, исключая промежуточные. Ограничимся рассмотрением случая одного промежуточного параметра, поскольку обобщение на произвольное их число выполняется автоматически.

Пусть имеется обучающий эксперимент М , позволяющий установить поле рассеяния (г) = (я1, я), г ^я1, я} между параметрами я1 и я. Пусть далее имеется обучающий эксперимент ^, позволяющий установить поле рассеяния ^ (g) = ^ (я, §2), g = {я, я2} между параметрами я и 82. Следует рассчитать композицию этих полей таким образом, чтобы исключить промежуточный параметр я и найти (8 ) = (я1,я2). Эта процедура выполняется по правилу композиций Мам-дани (п.2.2.1.), аналогичной (2.2.9) и состоящей в следующем:

(я) =1л (8\^) = тчах min{|м (8\я).^(ч.^)}] (2.2.10)

Так, например, для установления зависимости между пористостью по ГИС и нефтенасыщенностью по керну промежуточным этапом является взаимосвязь между пористостью по ГИС - пористостью по керну и взаимосвязь между пористостью по керну - нефтенасыщенностью по керну.

Таким образом,численный метод построения цепочки нечетких отношений между исходными данными примет вид:

- конструируется отношение между пористостью по ГИС и пористостью по керну;

- конструируется отношение между пористостью по керну и нефтена-сыщенностью по керну;

- композиция отношения установленного на первом этапе и отношения установленного на втором этапе.

Результатом первых двух этапов служит функция принадлежности для нечёткого отношения между парой переменных, позволяющая оценить меру истинности любого прогнозируемого значения переменной по экспериментальным данным, на рисунках 2.2.4а, 2.2.4б приведены эти результаты в виде поверхностей в трёхмерном пространстве.

Расчет композиций нечетких отношений для установления отношений между начальными и конечными параметрами в цепочке на основе композиции Мам-дами представлен на рисунке 2.2.4в.

Рисунок 2.2.4. Результаты композиций двух отношений, выполненных по (2.2.10) Тогда основными элементами, определяющими численный метод прогнозирования значений нечеткой величины я2 е я2 (прогнозного параметра) по значению выделенного для прогноза параметра я1 е я1 (выделенного параметра), служат:

- установленное отношение в форме поля рассеяния (функции принадлежности) ¡А (я1, я2) для нечеткого отношения между нечеткими переменными я1 и я2;

функция принадлежности л (я1) для значений величины я1 из интервала

А(я )

А^1 )для которой выполняется прогноз;

- композиция л _1 (я1) и ¡А (я1, я2) устанавливает правило расчетафункции при-

А(я )

надлежности Л -1 (я2) нечеткой величины я2, прогнозируемой по значениям

функции принадлежности ¡л 1 (я1) для я1 из интервала А^1) и заданному отношению

ЛА я2).

2.2.3 Конструирование срезов по параметру значения функции

принадлежности

Методы прогнозирования параметров на основе принципов логического вывода с использованием построенных полей рассеяния как функций принадлежности нечётких величин и отношений между нечёткими величинами естественным образом обеспечивают многовариантное прогнозирование с оценкой достоверно-стей каждого из вариантов на основе аппарата а-сечений.

Термин «условная достоверность» - далее просто «достоверность» - обозначает значение параметра а , используемого в сечениях прогнозной нечеткой (или

мягкой) модели, реализуемой в форме функции принадлежности для параметров в каждой точке пространства.

Область Б" - область тех значений 2, для которых /л(л) >а ассоциируется с областью значений параметров, уровень доверия к которым не ниже величины а :¥а = {г: ¿и(г) >а}. Эта область называется а - сечением для г). Поверхность = = а} называется граничной для а- сечения. Множество тех значе-

ний £,для которых уровень их достоверности ниже а, определён условием Оа = {£ДГ) < а}. Вся область возможных значений параметра ^разбивается на-достоверные с уровнем не менее а и достоверные с уровнем, не превосходящем а.

Значимость дифференциации модели по уровню достоверности и, тем самым, обоснованность самого введения такой дифференциации определяется изменчивостью 0(Е") в зависимости ота.

(2.2.12)

Qa

s2 : ц

П ( s' )

(s ) v '

> a

По мере изменения параметра а от нуля к единице эта область стягивается, выраждаясь в линию либо точку. Динамика размерности этой области может быть охарактеризована кривой локализации прогноза:

(2.2.13)

mes Qa ,,,

Ц / ,ils I

f ( a ) =

mes Qa , 2\

ЦА( s1)( s )

mes Q0 , 2\

ЦА( ^1)( s2 )

где mes [q] - мера множества Q. Понятно, что f (о) = 1; f (1) = о, и крутизна убывания этой функции качественно характеризует степень сгруппированности данных. При неудовлетворительной группируемости следует на основе постановки (2.2.11) найти приближенное устойчивое решение задачи нахождения поля концентраций ц^s2 ), для которых найденное поле рассеяния s2 ) служит

диффузионным полем.

Таким образом, приведенные в работе теория и методы моделирования эффектов рассеяния, дополнительно к изучению эффектов неоднородности, позволяют получить дифференцированный по достоверности прогноз. Анализ распределения вариантов этого прогноза по параметру достоверности позволит снизить риски принятия ошибочных решений.

2.3 Алгоритм построения поля неопределенности прогнозного

параметра

Процедура прогнозирования значений нечеткой величины я2 е S2 (прогнозного параметра) по значению выделенного для прогноза s1 параметра я1 е S1 (выделенного параметра) состоит из трех основных этапов (рисунок 2.3.1):

1) Устанавливается нечеткое отношение в форме поля рассеяния (функции принадлежности) /Аф B(s1,s2) между нечеткими переменными я '(параметры, которые используются для прогноза) и я2 (параметры, значения которых прогнозируются).

2) Строится поле рассеяния / -1 (я1) для значений величины я1 из интервала Дя1), для которой выполняется прогноз.

3) Строится поле неопределенности прогнозного параметра на основе поля рассеяния / ^ (я2). Поле рассеяния / ^ (я2) нечеткой величины я2 устанав-

А(я ) А(я )

ливается как композиция между прогнозируемой по значениям поля рассеяния / i (я1) для я1 из интервала А^1) и заданным отношением /А (я1, я2).

Более детально алгоритм прогнозирования представлен на рисунке 2.3.2. Рассмотрим описанную процедуру на примере.

В результате исследования получены следующие данные: значение пористости, полученной на основе интерпретации данных геофизических исследований скважин, данные о пористости(х), полученные на основе анализа кернового материала, данные о нефтенасыщенности пород (z), полученные на основе анализа кернового материала. Пары значений из массивов пористость по ГИС (х),

Рисунок 2.3.1. Алгоритм построения поля неопределенности прогнозного

параметра

Рисунок 2.3.2. Алгоритм построения поля неопределенности прогнозного

параметра (детальный)

пористость по керну ( у ) и пористость по керну ( у ), нефтенасыщенность по керну (z )увязаны между собой, поскольку относятся к одним и тем же образцам (рисунок 2.3.3).

Рисунок 2.3.3.Главное окно программы, исходные данные : А -зависимость «пористость по ГИС, пористость по керну», В - зависимость «пористость по ГИС,

нефтенасыщенность по керну» Первым шагом исходные данные представляются в форме нечетких отношений: А = {< х,у >, ¡А (х,у)}, В = {< у,2 >, ¡иБ (у,2)}.

По формуле (2.2.7) для нечетких отношений конструируются соответствующие поля рассеяния (функции принадлежности)¡иА(х,у) (рисунок 2.3.4) и

Лв (у,г) (рисунок 2.3.5).

Рисунок 2.3.4. Представления «пористость по ГИС(х), пористость по керну(

у)» в форме поля рассеяния

Рисунок 2.3.5. Представления «пористость по керну(у), нефтенасыщенно-

стьпо керну( z)» в форме поля рассеяния Для прогнозапараметров были представлены значения пористости, рассчитанные по геофизическим измерениям вдоль ствола скважин(х ).

Цепное правило прогноза нахождения параметра нефтенасыщенности( z )со-стоит в расчете поля неопределенности параметра z по заданным измеренным

величинапористостивдоль ствола скважин (х ) и данным поля рассеяния нечетких отношений (х,у) и ( у, 2 ):

х ^ (х,у) ^ у ^ (y,z) ^ z Для реализации цепочки находится поле рассеяния ¡ФБ(х,г) на основании композиции функций ¡А (х,у) и ¡в (у,2) по формуле (2.2.10) (рисунок 2.3.6).

Рисунок 2.3.6. Результат композиции«пористость по ГИС, нефтенасыщенность по

керну»

Правило прогноза нахождения параметра пористости по керну (у) состоит в расчете поля неопределенности параметра у по заданным измеренным величинам

пористости вдоль ствола скважин (х ) и данным поля рассеяния нечеткого отношения (х,у).

По каждому интервалу для данных, выделенных для прогноза (х ),строилась функция принадлежности по формуле (2.2.8) (рисунок 2.3.7).

Рисунок 2.3.7. А - таблица исходных геофизических измерений вдоль ствола скважин, по которым строится функция принадлежности; В - функция принадлежности параметра пористости по ГИС для интервала 1795,4-1796,4 скважины

Прогноз для установления функции принадлежностинефтенасыщенности и пористости (рисунок 2.3.8) по геофизическим измерениям на интервалеосущест-вляется по формуле (2.2.9).

Рисунок 2.3.9. Функция принадлежности параметра А) пористости, В) нефте-насыщенности для интервала 1795,4-1796,4 скважины

В результате по диаграммам исходных значений пористости, рассчитанных по геофизическим измерениям вдоль ствола скважин, были найдены поле неопре-деленностипористости (рисунок 2.2.8) и нефтенасыщенностив скважине (рисунок 2.2.9).

Рисунок 2.3.8. а - Результат расчёта функции рассеяния для параметра пористость в скважине; б - легенда

нсфтсмасыщсниость. %

ириня 1 ая нсфтенасышснность

а б

Рисунок 2.3.9 - а - Результат расчёта функции рассеяния для параметра неф-тенасыщенности в скважине; б - легенда

2.4Апробация алгоритма построения поля неопределенности

прогнозного параметра

Все экспериментальные примеры выполнялись на разработанном программном обеспечении [103].

2.4.1 Конструирование функции принадлежности

Пример 1.

Цель - для экспериментальных зависимостей «открытая пористость» - «газопроницаемость» построить модель поля рассеяния с помощью сконструированного оператора рассеяния (формула 2.2.7.) в форме матрицы рассеяния.

На рисунке 2.4.1.1 представлена экспериментальная зависимость между нечеткими параметрами «открытая пористость» (обозначим X) и «газопроницаемость» (обозначим У).

Построим модель поля рассеяния для нечетких параметров по формуле (2.2.7). Алгоритм получения ¡л( х, у) выгладит следующим образом.