Методы и алгоритмы построения негладких решений краевых задач теории позиционных дифференциальных игр и оптимального управления тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Успенский, Александр Александрович

• Успенский, Александр Александрович
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Успенский, Александр Александрович

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ХАРАКТЕРИЗАЦИЯ НЕВЫПУКЛЫХ МНОЖЕСТВ

1.1. Понятие «-множества

1.3. Пример немажорируемого а - множества

1.4. Биссектриса множества. Определения псевдовершины множества и крайней точки биссектрисы

1.5. Примеры построения биссектрисы множества и вычисления меры невыпуклости

1.6. Псевдовершина кривой как точка стационарной кривизны

1.7 Отделимость а -множеств

ГЛАВА 2. ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТИПА ЭЙКОНАЛА

2.1. Постановка задачи

2.2. Структура минимаксного решения задачи Дирихле для уравнения типа эйконала

2.3. О продолжимости локального решения уравнения, связывающего параметры краевой задачи

2.4. Условия трансверсальности ветвей решения уравнения, связывающего параметры, в вырожденном случае

2.5. Теорема о предельных значениях производных локальных диффеоморфизмах

2.6. Понятие псевдопроизводной

2.7. Формулы исчисления крайних точек сингулярного множества

2.8. Необходимые условия существования псевдовершин краевого множества в случае параметрически заданной границы

2.9. Необходимые условия существования псевдовершин краевого множества в условиях разрыва кривизны его границы

2.10. Производные в силу диффеоморфизмов и их приложения в теории управления и геометрической оптике

2.11. Примеры

ГЛАВА 3. ОПЕРАТОР СТАБИЛЬНОГО ПОГЛОЩЕНИЯ И ПОРОЖДАЕМЫЕ ИМ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ПРИБЛИЖЕННОГО ПОСТРОЕНИЯ ФУНКЦИИ ЦЕНЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ИГРЫ250

3.1.Постановка задачи, основные понятия, определения и формулировки

3.2. Разностные операторы

3.3. Свойства операторов шага. Формулировка основного результата

3.4. Построение миноранты и мажоранты минимаксного решения

3.5. Оценка рассогласования разностных операторов

ГЛАВА 4. ДЕФЕКТ СТАБИЛЬНОСТИ МНОЖЕСТВА В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ИГРЕ

4.1. Дифференциальная игра сближения-уклонения предписанной продолжительности

4.2. Дифференциальные свойства огибающих

4.3. Поверхность, построенная с помощью дискриминантных преобразований плоских кривых

4.4. Регуляризирующее отображение и его свойства. Объемлющий путь

4.5. Оценка дефекта стабильности объемлющего пути

4.6. Пример вычисления дефекта стабильности объемлющего пути для линейной дифференциальной игры

4.7. Моделирование решений дифференциальных игр в одном классе невыпуклых множеств с гладкой границей

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

367

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы и алгоритмы построения негладких решений краевых задач теории позиционных дифференциальных игр и оптимального управления»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы исследования и степень ее разработанности. В

диссертации изучаются уравнения в частных производных первого порядка (УЧППП). Математические модели, которые формализуются в виде краевых задач для УЧППП, встречаются в различных разделах математики, физики, механики, при решении прикладных задач экономики, экологии, биологии и многих других отраслей знания.

В работе рассматриваются главным образом краевые задачи для уравнений гамильтонова типа, решения которых допускают содержательную интерпретацию в рамках теории оптимального управления, теории позиционных дифференциальных игр, а также геометрической оптики. Объединяющая эти краевые задачи особенность - негладкость, присущая решениям задач означенного типа. Примером может служить функция цены дифференциальной игры, как правило, не являющаяся дифференцируемой функцией на всей области рассмотрения. При этом в точках гладкости она удовлетворяет уравнению Гамильтона-Якоби-Айзекса-Беллмана (УГЯАБ) -частному представителю УЧППП. В таких случаях возникает необходимость введения понятия обобщенного решения УГЯАБ. Сложности построения обобщенных решений УЧППП подталкивают исследователей к созданию и развитию методов аналитического и численного построения таких функций.

Всплеск интереса к изучению обобщенных решений УЧППП обозначился в середине XX-го века. В 50-70-е годы негладкие решения краевых задач для УЧППП исследовались в работах Н.Н. Кузнецова, С.К. Годунова, С.Л. Соболева, С.Н. Кружкова, Н.С. Бахвалова, О.А. Олейник, Е. Хопфа, П. Лакса, В. Флеминга (см. [11, 28, 69, 73, 105, 106, 107, 135, 234, 236, 239, 240]) и многих других математиков. Им приходилось либо прибегать к обобщению классического метода характеристик, сводящего решение краевой задачи к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных

уравнений, либо использовать иные подходы, опирающиеся, в частности, на методы и конструкции функционального анализа и математической физики.

Примерно в то же время, но несколько позже (начало второй половины прошлого века), стала формироваться теория дифференциальных игр. Развитие этой теории шло солидарно с развитием различных концепций обобщенных решений УЧППП. Это объясняется тем обстоятельством, что основным разрешающим элементом дифференциальной игры является однозначно определяемое в общем случае негладкое решение соответствующего УГЯАБ либо его множество уровня. Первые постановки антагонистических игр принадлежат Р. Айзексу [1], работы которого оказали значительное влияние на развитие динамического программирования, становление которого связано с трудами Р. Беллмана [12]. Фундаментальный вклад в построение теории внесли научные школы академиков Н.Н. Красовского [64, 65, 66, 67, 68] и Л.С. Понтрягина [121, 122, 124]. Формализация позиционной дифференциальной игры, предложенной Н.Н Красовским, смыкается с концепцией дифференциальных игр, берущей начало в исследованиях В. Флеминга. Существенные результаты по теории динамических игр и смежным вопросам получены отечественными и зарубежными математиками А.В. Кряжимским, А.Б. Куржанским, Е.Ф. Мищенко, М.С. Никольским, Ю.С. Осиповым, Л.А. Петросяном, Б.Н. Пшеничным, А.И. Субботиным, Н.Н. Субботиной, В.Н. Ушаковым, А.Г. Ченцовым, Ф.Л. Черноусько, Р.Е. Калманом, Дж. Лейтманом, П.-Л. Лионсом, А. Фридманом и другими авторами (см. [36, 49, 51, 71, 72, 75, 76, 90, 98, 101, 102, 108, 117, 118, 128, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146,147, 191, 195, 196, 198, 199, 213, 214, 225, 237, 252, 255] ).

Принцип максимума, сформулированный Л.С. Понтрягиным для задачи оптимального управления, послужил основой для решения большого количества разнообразных задач, возникших в прикладных областях.

Круг исследователей, получивших весомые результаты в рамках теории оптимального управления, теории дифференциальных игр и их приложений, очень широк. Наряду с работами упомянутых выше специалистов, следует указать на работы Э.Г. Альбрехта, А.В. Арутюнова, С.М. Асеева, В.И. Благодатских, В.Г. Болтянского, А.С. Братуся, Р. Ф Габасова, Р.В. Гамкрелидзе, Н.Л. Григоренко, М.И. Гусева, В.Н. Дыхты, Г.Е. Иванова, М.И. Зеликина, В.И. Зубова, Ф.М. Кирилловой, А.Ф. Клейменова, Ю.С. Ледяева,

A.В.Лотова, Н.Ю. Лукоянова, А.А. Меликяна, Б.Ш. Мордуховича, В.С.Пацко, Н.Н. Петрова, Е.С. Половинкина, Д.А. Серкова, А.С. Стрекаловского, Л.И. Родиной, А.М. Тарасьева, А.А. Толстоногова, Е.Л. Тонкова, В.Е. Третьякова,

B.И. Ухоботова, Т.Ф. Филипповой., С.В. Чистякова, А.Ф. Шорикова, Л. Берковица, А. Брайсона, П. Варайя, М.Дж. Крэндалла, В. Лакшмикантама, Хо Ю-Ши (см. [5, 7, 9,10, 13, 19, 20, 26, 27, 30, 34, 35, 42, 43, 46, 47, 48, 56,57, 58, 87, 88, 91, 92, 62, 96, 99, 113, 114, 115, 133, 137, 138, 130, 131, 149, 154, 155, 156, 189, 190, 212, 215, 216, 12, 238, 222, 18, 237]).

Унифицированная форма игры, предложенная в уральской школе по процессам управления, вскрыла наличие глубокой взаимосвязи теории позиционных дифференциальных игр с теорией обобщенных решений УЧППП и УГЯАБ, в том числе, с теорией минимаксных решений А.И. Субботина [139, 140, 141, 142] и теорией вязкостных решений математической физики М. Дж. Крэндалла и П. Л. Лионса [225, 226]. Гладкие (классические) и кусочно-гладкие решения подходящих уравнений Гамильтона-Якоби составляли основной инструмент в исследованиях дифференциальных игр еще в работах Р. Айзекса и Р. Беллмана. Инфинитезимальные конструкции описания функции цены в теории позиционных дифференциальных игр и минимаксных решений в теории уравнений Гамильтона-Якоби опираются на концепции негладкого анализа, восходящие к работам У. Дини, Ф. Кларка, Ж. П. Обэна, Р.Т. Рокафеллара, В. Ф. Демьянова и других (см. [232, 55, 218, 132, 29, 37, 38]). Отметим также, что М.Барди, М. Фальконэ, С. Ошером и Р.

Суганидисом разрабатываются параллельно в рамках теории вязкостных решений аппроксимационные схемы решения дифференциальных игр (см. [219, 220, 221, 251]).

Численные процедуры построения на сетках обощенных решений уравнений гамильтонова типа и уравнений типа эйконала развивает Sethian J. А [249, 250].

Работы Л.В. Овсянникова [104], его последователей и учеников, выполненные на стыке алгебры и математического анализа, позволили создать систему фактов и алгоритмов для эффективного исследования конкретных дифференциальных уравнений, возникающих в качестве математических моделей в физике, механике, теории управления, вычислительной математике и других областях знания. А.В. Боровских применил технику группового анализа при изучении уравнения эйконала [16, 17].

Полезными с точки зрения создания конструктивных подходов к построению обобщенных решений краевых задач УЧППП, оказались методы теории особенностей дифференцируемых отображений, разработанные В.И. Арнольдом, его коллегами и последователями [8, 22, 247]. Средствами этой теории, в частности, формируются списки типичных особенностей каустик и волновых фронтов, предлагаются подходы к построению дискриминантных множеств. Эти же подходы распространяются на задачи геометрической оптики, позволяя формировать эволюцию волновых фронтов, конструировать эйконал - обобщенное в смысле С.Н. Кружкова решение соответствующего УЧППП [69, 70].

Цели и задачи. Целью диссетрационной работы является разработка методов и алгоритмов построения негладких решений дифференциальных игр, задач управления, а также задач геометрической оптики.

К основным задачам, исследуемым в диссертации, относятся следующие задачи и проблемы:

I. Краевая задача Дирихле для уравнения в частных производных первого порядка типа эйконала;

II. Краевая задача Коши для уравнения типа Гамильтона-Якоби с положительно однородным по импульсной переменной гамильтонианом;

III. Характеризация невыпуклых множеств, разработка аппарата вычисления меры (коэффициента) невыпуклости для различных классов плоских замкнутых множеств, развитие теории отделимости для невыпуклых множеств;

IV. Изучение дефекта стабильности множеств различной геометрии, привлечение этих множеств для решения дифференциальных игр и задач управления в т.н. «мягкой» (отличной от строгой классической) постановке.

Задачи I и II допускают содержательное истолкование и отвечают следующим задачам (приведено соответствие по номерам):

I. Задача построения функции оптимального результата в задаче быстродействия с вектограммой скоростей шарового вида;

II. Задача построения функции цены дифференциальной игры сближения-уклонения на фиксированном отрезке времени.

Задача III представляет как самостоятельный интерес, в частности, для геометрии, так и интерес с точки зрения приложений в теории обобщенных решений УЧППП. Так например, характеристические свойства меры невыпуклости способствуют выявлению сингулярных множеств при построении функции оптимального результата в задаче быстродействия I.

Изучение дефекта стабильности множеств при рассмотрении проблемы IV позволяет существенно расширить класс множеств, которые допустимо использовать для построения процедур управления, обеспечивающих приведение движениями динамических систем если не точно на целевое множество, то в некоторую его окрестность.

Методология и методы исследования. В диссертационной работе используются методы теории позиционных дифференциальных игр, развиваемые в научной школе по теории управления Н.Н. Красовского. Используются конструкции теории минимаксных (обобщенных) решений уравнений в частных производных первого порядка А.И. Субботина. Результаты исследования опираются также на методы и конструкции, развитые и развиваемые в рамках теории оптимального управления, теории особенностей гладких отображений. Используются методы и конструкции выпуклого и негладкого анализа, дифференциальной геометрии, а также оригинальные конструкции.

Краткое содержание работы.

В Главе 1 изучается геометрия невыпуклых по существу множеств на основе введенного понятия меры (коэффициента) невыпуклости множества. Результаты этой главы следует рассматривать прежде всего как основу для построения исследуемых в диссертации обобщенных решений задач быстродействия и задач геометрической оптики. При этом надо отметить, что часть результатов, связанных с отделимостью невыпуклых множеств, представляет и самостоятельный интерес.

В параграфе 1.1 приводится определение «-множества. Рассматривается замкнутое множество A конечномерного евклидова

пространства Rn. На дополнении этого множества вводится скалярная функция аА (z*), z* е Rn \ A, значениями которой выступают угловые величины. Супремальное значение

а=аА= sup aA(z*)e[0,;т]

z'eR" \А

называется коэффициентом (мерой) невыпуклости множества A , а само множество A именуется «-множеством.

Далее исследуются некоторые свойства конструкций. Показывается, что функция аА (г), 2 е Я" \ А полунепрерывна сверху. Затем доказывается эквивалентность двух условий:

1. г* € со ОА (г*), г * е Я" \ А, где ОА (г *) = {л(г*)} - множество всех проекций 7т(г*) точки г* на А, со ОА (г*) - выпуклая оболочка множества О А (г*),

2. аА(г*) = тах (И,И) <к , где ИА(г*) - множество всевозможных пар

(Н„Н*)еНА (г*)

(И, И) ненулевых векторов И,И* из конуса со" (соОА(г*) - г*),

/7

натянутого на соОА(г*) - г*, (к,И ) = агссо^? | ,—— е[0,я] - угол

'!• IIИ ||

между векторами И и И , (И, И ) е НА (г ).

Этот результат позволяет разграничить регулярные и нерегулярные а -множества.

В параграфе 1.2 изучаются сугубо плоские множества. Делается акцент на рассмотрении проблемы мажорируемости а -множеств. Приводятся примеры мажорируемых (в силу введенных определений) множеств. Условие мажорируемости множеств имеет существенное значение при обоснование отделимости а -множеств. Решение проблемы отделимости по существу невыпуклых множеств, обладающих свойством мажорируемости, приводится далее (в последнем параграфе главы) на некоторых классах а -множеств.

Параграф 1.3 целиком посвящен построению примера немажорируемого плоского невыпуклого множества. В основе построений лежит трехзвенная ломаная со специально подобранными свойствами.

Построенный в параграфе 1.3 и детально разобранный пример немажорируемого множества позволяет в параграфе 1.4 ввести в рассмотрение понятие биссектрисы Ь(А) множества А. Биссектриса

относится к множествам симметрии и является характеристическим множеством для А . Структура биссектрисы, как объединения многообразий, определяется геометрией границы множества А. В плоском случае биссектриса является (в ситуации общего положения) объединением нуль- и одномерных многообразий, построение которых возможно в ряде простых ситуаций в точном аналитическом виде, но в самой общей ситуации требуется разработка численных алгоритмов. Одномерные многообразия («ветви биссектрисы»), составляющие Ь(А), определяются особыми точками границы множества, названными псевдовершинами. Приводятся строгие определения этих особых точек, а также приводятся определения сопутствующих элементов разрешающей конструкции - крайних точек биссектрисы, ветвей биссектрисы. Изложение дается на языке локальных диффеоморфизмов и в терминах односторонних пределов.

В параграфе 1.5 приводятся соображения, поясняющие формальное определение биссектрисы плоского множества и сопутствующих биссектрисе элементов конструкций. В качестве иллюстрации предлагается пример множества, граница которого описывается алгебраической кривой частного вида. Для этого множества аналитическими методами находятся биссектриса и мера невыпуклости а.

В параграфе 1.6 приведено обоснование необходимых условий существования псевдовершин для одного класса достаточно гладких кривых. Доказывается, что в случае, когда граница плоского множества определяется графиком скалярной достаточно гладкой функции псевдовершина множества является точкой со стационарной кривизной (Теорема 1.1.).

Теоретические результаты параграфа 1.7 в рамках первой главы видятся наиболее значимыми. В этом параграфе исследуется проблема отделимости множеств в семействе а -множеств, мера невыпуклости которых строго больше нуля. Вводятся в рассмотрение понятия а-гиперплоскости, опорной а -гиперплоскости, а -полупространства, обобщающие

соответствующие понятия выпуклого анализа. Доказывается теорема о существовании опорных гиперплоскостей для семейства мажорируемых плоских множеств (Теорема 1.2.). Затем делается упор на изучение в терминах меры невыпуклости множеств, порождаемых скалярными функциями, удовлетворяющими условию Липшица на всей области своего определения. Здесь речь идет о графиках, подграфиках и надграфиках скалярных функций. Показывается, что все эти три типа множеств для скалярной функции, определенной на всем пространстве Rn и имеющей константу Липшица L, лежат в семействе ( -множеств с мерой невыпуклости, не превосходящей величину 2arctgL. Доказывается, что надграфик epi f функции f и подграфик

hypog функции g в случае, когда обе функции определены на всем

пространстве Rn и удовлетворяют условию Липшица с константой L , а также неравенству inf (f (x) — g (x) ) = у > 0, сильно отделены друг от друга, при

x еRn

этом разделяющая их (-гиперплоскость имеет меру невыпуклости, не превосходящую величину 2arctgL (Теорема 1.3.). Далее показывается, что если функции f: M ^ R и g: M ^ R определены на замкнутом множестве

M с Rn и удовлетворяют условию Липшица с одной и той же константой L е (0, +о>), а также условию inf (f (x) — g(x)) = у > 0, то на продолжения

хеМ V '

этих функций на все пространство Rn, формируемых по правилам

f Ч x) = inf (f (y) + L||x — y||), x е Rn,

g •( x) = inf (g (y) + L||x — y||), x е Rn,

переносится результат Теоремы 1.3, т.е. существует гиперплоскость сильно разделяющая множества epi f * и hypog * в Rnl. Вместе с этим имеет место сильная оделимость epi f и hypo g , при этом мера невыпуклости гиперплоскости, сильно разделяющей эти множества, не превышает величину 2arctgL (Теорема 1.4.).

Выявленные и изученные в Главе 1 характеристические множества оказываются полезными при изучении свойств множеств управляемости динамических систем, при эволюции волновых фронтов в геометрической оптике. Кроме того, они позволяют строить сингулярные множества в задачах быстродействия, а также формировать обобщенный эйконал - решение основного уравнения геометрической оптики. Результаты Главы 1 позволяют перейти к изучению уравнения эйконала.

Объектом исследования Главы 2 является краевая задача Дирихле для УГЯАБ

min М, Du( x)) +1 = 0, u|r = 0.

Излагается численно-аналитический метод построения обобщенного (в минимаксном смысле) решения этого уравнения для плоского случая. Техника исследования особенностей обобщенного решения использует свойства локальных диффеоморфизмов. Построение разрешающих конструкций основано на множестве симметрии, изученном в Главе 1. Здесь также вводятся в рассмотрение многоточечные дифференциальные отношения, позволяющие вскрыть негладкие особенности обобщенных решений, описать и сконструировать сингулярные множества.

В параграфе 2.1 приводится постановка краевой задачи Дирихле для УГЯАБ. Указывается, что ее минимаксное решение u = u(x) является функцией

оптимального результата для соответствующей задачи быстродействия с круговой индикатрисой. Затем приводится формально другая, но при этом родственная краевая задача Дирихле для уравнения эйконала в случае среды с постоянным коэффициентом преломления

/ \2 ^| dw |

i=1

кдх>)

u|r = 0.

Дифференциальные операторы, задающие УГЯАБ и уравнение эйконала, практически эквивалентны. В связи с этим обсуждается связь фундаментального (по С.Н. Кружкову) решения и^ = и (х) задачи Дирихле для уравнения эйконала с минимаксным решением краевой задачей Дирихле для уравнения УГЯАБ.

В параграфе 2.2 приводится структура минимаксного решения краевой задачи Дирихле для УГЯАБ. В плоском случае минимаксное решение (функция оптимального результата в плоской задаче о быстродействии для случая круговой индикатрисы)

и( х, у) = р( х, у, M),

где р( x, у, M) - евклидово расстояние от (x, у) е R2 до целевого множества

Ы, граница которого дM = Г. Достаточно простая по своей геометрии структура вектограммы скоростей делает задачу построения функции и(х,у) = р(х,у,Ы) в некоторой степени модельной задачей. Сложность этой

задаче придает допустимая по условию невыпуклость целевого множества. В этом случае даже при достаточно высокой гладкости границы цели у функции оптимального результата возникают множества, на которых эта функция терпит «градиентную катастрофу» - возникает сингулярность. В плане конструирования решений здесь помогает выявленная связь обобщенных решений краевых задач, выраженная равенством

и( х, у) = -ик ( х, у ),

которая свидетельствует о совпадении карт линий уровня обеих функций (функции оптимального результата и эйконала), и позволяет утверждать фактическую эквивалентность решений задачи быстродействия и задачи геометрической оптики. При дальнейшем исследовании это качественное взаимосвязь позволяет при построении обобщенного решения одной задачи, например, краевой задачи Дирихле для УГЯАБ использовать методы и процедуры геометрической оптики (принцип Гюйгенса, привлечение эквидистант для построения эволюции волновых фронтов, прочее), а также

наоборот, при построении эйконала и волновых фронтов использовать экстремальные операции, свойственные конструкциям оптимального управления и дифференциальных игр.

В параграфе 2.2 показывается, что сингулярное множество минимаксного решения совпадает с биссектрисой (множеством симметрии), введенной и отчасти изученной в Главе 1. Приводится иллюстрирующий пример, призванный продемонстрировать, что геометрия биссектрисы зависит от геометрии краевого множества и дифференциальных свойств его границы. Пример показывает, что в достаточно общем случае множество симметрии является объединением конечного числа нуль- и одномерных многообразий. Другими словами, в достаточно общей ситуации сингулярное множество есть объединение конечного числа гладких дуг кривых (ветвей биссектрисы) и точек (точек бифуркации).

В последующих параграфах Главы 2 описываются методы выявления и процедуры построения сингулярных множеств краевой задачи Дирихле.

В параграфе 2.3 изучаются свойства локальных решений (не дифференциального) уравнения

О( х, X) = 0,

связывающего скалярные параметры х1, х2 краевой задачи. Означенное уравнение является нелинейным с симметрической левой частью. При этом дифференциальные свойства функции О = О( х, х2) определяются дифференциальными свойствами границы краевого множества, описываемого скалярными функциями. Отыскание решений уравнения необходимо для выявления псевдовершин границы краевого множества - особых точек, которые определяют ветви сингулярного множества.

Основной результат параграфа 2.3 сформулирован в виде Леммы 2.2. Указаны условия на локальный диффеоморфизм, определяемый уравнением О( х, х2) = 0, при наличии которых обратный локальный диффеоморфизм также будет решением этого уравнения. При этом графики исходного

диффеоморфизма и ему обратного диффеоморфизма склеиваются в плоскости параметров х1,х2 по крайней мере непрерывно, образую дугу кривой у0. Приводятся условия на локальный диффеоморфизм, при которых дуга кривой является гладкой склейкой графиков означенных диффеоморфизмов.

В параграфе 2.4 получены необходимые условия трансверсальности ветвей решения уравнения 0( х1, х2) = 0, связывающего параметры, в вырожденном случае. Под трансверсальностью здесь понимается некасательное («протыкающее») пересечение кривой у0 с прямой I -

графиком тождественной функции, которая является очевидным решением уравнения в силу его специфики. В данном ситуации вырожденный случай означает вырождение каустики в точке пересечения ветвей решения уравнения. Здесь анализируется ситуация, когда не применимы классические теоремы о существовании и единственности неявно заданной функции.

Основной результат параграфа 2.4 сформулирован в виде Теоремы 2.2. Показано, что если в семействе функций

^(2)(хо,уо) = {/ е^(хо): 3/(хо), /(хо)} , когда///(хо) ф 0, существует

локальный диффеоморфизм х2 = х2(х1) левой полуокрестности точки х 1 = хо

в ее правую полуокрестность, определяемый уравнением С(х1, х2) = о и

непрерывный слева в точке х 1= хо, то он имеет гладкое продолжение в точке

х 1= хо, причем

дх

х о) = -1.

Геометрическое истолкование здесь следующее. Если (хо, /(хо)) -псевдовершина графика дважды непрерывно дифференцируемой в точке х = хо функции у = /(х), /" (хо) ф о, то кривая уо является гладкой склейкой локального и ему обратного диффеоморфизмов, причем эта кривая ортогональна прямой I.

Надо заметить, что производные (в общем случае, односторонние производные) локальных диффеоморфизмов х2 — х2(х1), определяемых уравнением О( х1, х2) — 0, играют существенную роль в описании сингулярных множеств.

В параграфе 2.5 изучен спектр односторонних левых производных

локальных диффеоморфизмов х2 — х2(х1). Здесь под спектром понимается

множество возможных значений односторонних левых производных

локальных диффеоморфизмов х2 — х2(х1). Показано, что спектр совпадает с

неположительной частью вещественной прямой. Доказана Теорема 2.3, допускающая геометрическую интерпретацию. Если псевдовершина

( Хр — (х 0,/(х0)) является точкой графика дважды дифференцируемой функции у — /(х), то в плоскости параметров х1, х2 рассматриваемой задачи графики исходного диффеоморфизма х2 — х2(х1) и ему обратного диффеоморфизма х1 — х1(х2) склеиваются гладко в точке (х1, х2) — (х 0, х0), образую при этом прямой угол с графиком тождественного решения х2 — х уравнения О(х, х2) — 0. Если псевдовершина (х0, у0) — (х 0, /(х0)) является точкой графика только один раз дифференцируемой функции у — / (х), то в

плоскости параметров х1, х2 графики диффеоморфизмов Х2 — Х2 (Х|) и х1 — х1(х2) склеиваются под прямым углом. Если же псевдовершина (У0) — (х 0, / (х0)) является точкой негладкости графика рассматриваемой функции, то угол склейки графиков диффеоморфизмов х2 — х2(х1) и х1 — х1(х2)

1 + (/-(х 0))2

определяется величиной с = -41- ~ 2 , которая есть взятое со знаком

1 + (/+ (х 0 ))

минус отношение дифференциалов длин левой и правой дуг графика функции у — / (х), стягивающихся в точку (х0, у0) — (х 0, / (х0)).

В параграфе 2.6 введено понятие псевдопроизводной - обобщения классической производной. Псевдопроизводная

f/(x0) = lim f (X2(Xl))—f (Xl) - односторонний левый частичный предел

* ^ x" X2 (Xj) - xl

дифференциальных отношений, вычисляемых вдоль локального диффеоморфизма х2 = х2(х1), определяемого уравнением С(х1, х2) = о. Псевдопроизводные естественным образом возникают в рассматриваемых конструкциях и используются для описания псевдовершин целевого множества, а также для описания крайних точек ветвей сингулярного множества.

Псевдопроизводная совпадает с классической производной на множестве дифференцируемых функций. Важно для изучаемых задач, что она определена в точке излома х = х0 кусочно-гладкой функции, причем

/ (хо) = /+ (хо) ~~~ - /- Ы- 1

с -1 с -1

1 + (/'(хо))2 с -1 с 1 где с = -—0"7 ,->о,->о,---= 1.

V1 + (/+ (хо))2 с -1 с -1 с -1 с -1

Таким образом, в негладком случае псевдопроизводная является выпуклой комбинацией односторонних производных, коэффициенты которой определяются через предельное значение производной локального диффеоморфизма.

Для частных случаев установлена связь псевдопроизводной с симметрической производной Шварца [14, 100], которая используется, в частности, при исследовании рядов Фурье с целью осреднения производных в окрестности точки.

В параграфе 2.7 приведено обоснование формул исчисления крайних точек ветвей сингулярного множества. Рассмотрены три различных по своим дифференциальным свойствам случая границы множества.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Успенский, Александр Александрович, 2017 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Айзекс Р. Дифференциальные игры. М.: Мир, 1967. - 479 с.

2. Айнс Э.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения: Пер.с англ. Под ред. А.М.Эфроса - Харьков : ОНТИ НКТП ДНТВУ, 1939. 715с.

3. Александров А.Д. О поверхностях, представимых разностью выпуклых функций // Изв. АН КазССР. Сер. Матем. и механика. 1949. Вып. 3. С.3-20.

4. Алексейчик М.И. Дальнейшая формализация основных элементов антагонистической дифференциальной игры. В сб. Математический анализ и приложения, Т.7, Ростов-на-Дону госуниверситет, Ростов-на-Дону, 1975. С. 191-199.

5. Альбрехт Э.Г. Построение приближенных решений некоторых квазилинейных дифференциальных игр // Труды Института математики и механики УрО РАН, 2000. Т. 6. № 1. С. 27-38.

6. Антипов А. В., Братусъ А. С. Математическая модель оптимальной стратегии химиотерапии с учетом динамики числа клеток неоднородной опухоли // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2009. Т. 49. №2 11. С. 1907-1919.

7. Асеев С. М., Кряжимский А. В. Принцип максимума Понтрягина и задачи оптимального экономического роста // Тр. МИАН, 257. Наука. М., 2007, 272 с.

8. Арнольд В.И. Особенности каустик и волновых фронтов // М.: «Фазис», 1996. - 334 с.

9. Арутюнов А.В. Условия экстремума. Анормальные и вырожденные задачи. Москва: Изд-во "Факториал", 1997. 256 с.

10.Арутюнов А. В. , Карамзин Д. Ю. , Перейра Ф. Л. Условия отсутствия скачка решения сопряженной системы принципа максимума в задачах оптимального управления с фазовыми ограничениями // Тр. ИММ УрО РАН, 20, № 4, 2014, С. 29-37 .

11. Бахвалов Н.С. Оценка погрешности численного интегрирования квазилинейного уравнения первого порядка. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1:5 (1961), С. 771-783.

12.Беллман Р. Динамическое программирование. М.: Изд-во иностр. лит., 1960. 400 с.

13.Благодатских В.И. Введение в оптимальное управление. М.: Высшая школа, 2001. 239 с.

14.Бляшке В. Круг и шар. М.: Наука, 1967. - 232 с.

15.Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. М.: Наука, 1966. 308 с.

16.Боровских А. В. Двумерное уравнение эйконала // Сиб. мат. журн. 2006. Т. 47, 5. С. 993-1018.

17. Боровских А.В. Группы эквивалентности уравнений эйконала и классы эквивалентных уравнений // Вестник НГУ, 2006, № 4, 3-42.

18.Брайсон А., Хо Ю-Ши. Прикладная теория оптимального управления. М.: Мир, 1972. 544 с.

19.Братусъ А. С., Волосов К.А. Точные решения уравнения Гамильтона -Якоби - Беллмана для задач оптимальной коррекции с интегральным ограничением на суммарный ресурс управления // Доклады РАН, 2002, т. 358, №3, с.319 - 322.

20.Братусъ А. С., Иванова А. П.,. Меналъди Ж. Л, Юрченко Д. В. Локальные решения уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана для некоторых стохастических задач // Автомат. и телемех., 2007, № 6, 99-115.

21. Брекер Т, Ландер Л. Дифференцируемые ростки и катастрофы. М.: Мир, 1977. - 206 с.

22.Брус Дж., Джиблин П. Кривые и особенности. М.: Мир, 1988. - 262 с.

23. Бюшгенс С.С. Дифференциальная геометрия. М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы. 1940. - 300 с.

24.Варга Дж., Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М.: Наука, 1977. 624 с.

25.Вдовин С.А., Тарасъев А.М., Ушаков В.Н. Построение множества достижимости интегратора Брокетта // Прикл. математика и механика. 2004 Т. 68, вып. 5. С. 707-724.

26.Гамкрелидзе Р. В. Теория оптимальных по быстродействию процессов в линейных системах // Изв. АН СССР. Сер. матем., 22:4. 1958, С. 449-474.

27.Габасов Р.Ф., Кириллова Ф.М. Качественная теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1971. 508 с.

28.Годунов С. К. Разностный метод численного расчета разрывных решений уравнений гидродинамики. Матем. сб., 1959. Т. 47(89):3. С. 271-306.

29.Гороховик В.В. Выпуклые и негладкие задачи векторной оптимизации. Мн.: Навука I тэхмка, 1990. 258 с.

30.Григоренко Н.Л. Дифференциальные игры преследования несколькими объектами. М.: Издательство МГУ. 1983. 79 с.

31.Григорьева С.В., Тарасъев А.М, Успенский А.А., Ушаков В.Н. Конструкции теории диференциальных игр при решении уравнений Гамильтона-Якоби// Труды Института математики и механики, 2000. Т.6, №2. С.320-336.

32. Григорьева С.В., Пахотинских В.Ю., Успенский А.А., Ушаков В.Н. Конструирование решений в некоторых дифференциальных играх с фазовыми ограничениями // Математический сборник, 2005, Т. 196, №4, С. 51-78.

33.Григорьева С.В., Пахотинских, В.Ю. Успенский А.А., Ушаков В.Н. // Конструирование решений в некоторых дифференциальных играх с фазовыми ограничениями. Некоторые задачи динамики и упр. : сб. науч. тр. Челяб. гос. ун-т ; ИММ УрО РАН.- Челябинск:Челяб. гос. ун-т, 2005.- С.20-45.- Библиогр.: 26 назв.

34.Гусев М. И. О внешних оценках множеств достижимости нелинейных управляемых систем, Тр. ИММ УрО РАН, 17, № 1, 2011, С.60-69.

35.Гусев М.И. Внешние оценки множеств достижимости нелинейных управляемых систем // Автомат. и телемех., 2012, № 3, С. 39-51.

36.Гусейнов Х.Г., Субботин А.И., Ушаков В.Н. Производные многозначных отображений и их применение в игровых задачах управления // Проблемы управления и теории информации, 1985. Т. 14. № 3. С. 1-14.

37. Демьянов В.Ф., Васильев Л.В. Недифференцируемая оптимизация. М.: Наука, 1981. 384 с.

38.Демьянов В.Ф., Рубинов А.М. Основы негладкого анализа и квазидифференциальное исчисление. М.: Наука, 1990. 432 с.

39.Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. Методы и приложения. 2 изд., перераб. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986 - 760 с.

40.Дудов С. И. Дифференцируемость по направлениям функции расстояния // Матем. сборник, 1995, Т. 186(3). С. 29-52.

41.Дудов С.И. Субдифференцируемость и супердифференцируемость функции растояния. Матем. заметки, 1997, Т. 61(4). С. 530-542.

42.Дыхта В. А. Нестандартная двойственность и нелокальные необходимые условия оптимальности в невыпуклых задачах оптимального управления // Автомат. и телемех., 2014, № 11, С. 19-37.

43. Дыхта В. А. Позиционные усиления принципа максимума и достаточные условия оптимальности // Тр. ИММ УрО РАН, 21, № 2, 2015, С. 73-86.

44.Завалищин С.Н., Сесекин А.Н. Импульсные процессы. Модели и приложения. М.: Наука, 1991. 256 с.

45.Закалюкин В. М. Огибающие семейств волновых фронтов и теория управления // Труды МИАН, 1995, том 209, 133- 142.

46. Зеликин М.И. Оптимальное управление и вариационное исчисление. Изд. 2. М.: УРСС, 2004. 160 с.

47.Зубов В.И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975, 496 с.

48.Иванов Г. Е., Половинкин Е. С. О сильно выпуклых линейных дифференциальных играх //Дифференциальные уравнения, 31:10, 1995, С.1641 -1648.

49. Избранные труды А.Б. Куржанского // Отв. ред. А.Н. Дарьин, И.А. Дегайлова, И.В. Рублев. - Издательство МГУ, 2009, 7656 с.

50.Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974. 480 с.

51.Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем Пер. с англ. / Под ред. Я.З. Цыпкина. Предисл. Э. Л. Наппельбаума. - Изд. 2-е, стереотипное. - М.: Едиториал УРСС, 2004.— 400 с.

52.Камнева Л. В., Пацко В. С. Построение максимального стабильного моста в играх с простыми движениями на плоскости, Тр. ИММ УрО РАН, 20, № 4, 2014, 128-142.

53.Камнева Л.В. Достаточные условия стабильности для функции цены дифференциальной игры в терминах сингулярных точек // Прикладная математика и механика, 2003. Т. 67. Вып. 3. С. 366-383.

54.Камнева Л.В. Разрывная функция цены в игровых задачах быстродействия, Тр. ИММ УрО РАН, 2007, том 13, номер 4, 84-102.

55.Кларк Ф. Оптимизация и негладкий анализ. М.: Наука, 1988. 280 с.

56.Клейменов А.Ф. Неантагонистические позиционные дифференциальные игры. Екатеринбург: Наука, 1993. 184 с.

57.Клейменов А. Ф. Задачи построения динамики неантогонистических позиционных дифференциальных игр // Сборник научных трудов, Тр. ИММ УрО РАН, 6, № 2, 2000, С. 380-393.

58. Клейменов А. Ф. Альтруистическое поведение в неантагонистической позиционной дифференциальной игре // МТИП, 7:4, 2015, С. 40-55.

59.Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1972. 496 с.

60.Колокольцов В.Н., Маслов В.П. Задача Коши для однородного уравнения Беллмана. ДАН СССР, 296 (4), 1987, С. 796-800.

61.Колокольцов В.Н., Маслов В.П.. Задача Коши для однородного уравнения Беллмана. ДАН СССР, 296 (4), 1987, С. 796-800.

62.Кондратъев Д.Л., Лотов А.В. О внешних оценках и построении множеств достижимости для нелинейных управляемых систем // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 30:4. 1990. С. 483-490.

63. Корнев Д.В., Лукоянов Н.Ю. К задаче управления на минимакс позиционного функционала при геометрических и интегральных ограничениях на управляющие воздействия // Тр. ИММ УрО РАН, 21, № 2, 2015, С. 87-101.

64.Красовский Н.Н. К задаче унификации дифференциальных игр // Докл. АН СССР. 1976. Т.226, №6. С.1260-1263.

65.Красовский Н.Н. Унификация дифференциальных игр // Тр. Ин-та математики и механики. Свердловск: УНЦ АН СССР. 1977. Вып. 24: Игровые задачи управления. С.32-45.

66.Красовский Н.Н. Игровые задачи о встрече движений. М.: Наука, 1970. 420 с.

67. Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974. - 456 с.

68.Красовский Н.Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1968. 475 с.

69.Кружков С.Н. Обобщенные решения уравнений Гамильтона-Якоби типа эйконала, I. Матем. сборник, 1975. Т. 98, Вып. 3, С. 450-493.

70.Кружков С.Н. О минимаксном представлении решений нелинейных уравнений первого порядка, Функц. анализ и его прил., 1969, том 3, выпуск 2, 57-66.

71.Кряжимский А. В. Альтернатива в линейной игре сближения-уклонения с неполной информацией // Докл. АН СССР, 230:4, 1976. С. 773-776.

72.Кряжимский А. В. О стохастической аппроксимации в дифференциальных играх // Докл. АН СССР, 241:5, 1978, С.1020-1023.

73. Кузнецов Н.Н. О точности некоторых аппроксимационных методов вычисления слабых решений для квазилинейного уравнения первого порядка. Журн. вычислит. матем. и мат. физики, 1975. Т.1 (6). С. 1489-1502.

74.Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964, Т.2, 832 с.

75.Куржанский А.Б. Принцип сравнения для уравнений типа Гамильтона--Якоби в теории управления // Тр. ИММ УрО РАН. 2006. Т.12. № 1. С.173-183.

76.Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977. 390 с.

77..Лебедев П.А., Успенский А.А. К вопросу о геометрии волновых фронтов // Известия Института математики и информатики. Ижевск, УдГУ. 2006. Вып.3 (37). С.79-80.

78.Лебедев П.Д., Успенский А.А. Алгоритмы построения сингулярных множеств для одного класса задач быстродействия// Вестник Удмуртского университета. Математика, механика, компьютерные науки. Ижевск, 2010. Вып.3. С.30-41.

79..Лебедев П.Д., Успенский А.А. Алгоритмы построения обобщенных решений краевых задач для уравнений типа Гамильтона-Якоби // Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского. Материалы девятой международной Казанской летней научной школы-конференции. - Казань: Изд-во Казанского математического общества, Изд-во Казанского государственного университета. 2009. - Т.38. С. 167- 168.

80.Лебедев П.Д., Успенский А.А. Множества симметрии в задачах быстродействия с круговой вектограммой скоростей // Международная научная конференция «Современные проблемы математики, механики, информатики». Тезисы. Тула. ТулГУ. 15-19 сентября. 2014. С. 59-64.

81. Лебедев П.Д., Успенский А.А., Ушаков В.Н. Алгоритмы наилучшей аппроксимации плоских множеств наборами кругов // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2013. Вып. 4. С. 88-99.

82.Лебедев П.Д., Успенский А.А., Ушаков А.В. Численное моделирование решений дифференциальных игр в одном классе невыпуклых множеств с кусочно-гладкой границей // Динамика систем и процессы управления: Труды международной конференции, посв. 90-летию со дня рождения акад.

Н.Н. Красовского. Екатеринбург, 15-20 сентября 2014 г. Изд-во УМЦ УПИ, 2015. С.251-263.

83.Лебедев П.Д., Успенский А.А. Построение функции оптимального результата и рассеивающих линий в задачах быстродействия с невыпуклым целевым множеством// Труды Института математики и механики, 2016. Т.22, №2. С.188-198.

84.Лебедев П.Д., Ушаков. А.В. Аппроксимация множеств на плоскости оптимальными наборами кругов // Автоматика и телемеханика. 2012, № 3, С. 79-90.

85.Лебедев П.Д., Успенский А.А. Применение многоточечных дифференциальных отношений для выявления сингулярностей решений уравнений гамильтонова типа// Вестник Тамбовского государственного университета. Сер.: Естественные и технические науки, 2015. Т. 20. Вып. 5, С. 1261-1263.

86.Лебедев П.Д., Успенский А.А. Алгоритмы построения оптимальных упаковок в трехмерном евклидовом пространстве // CEUR-WS. 2016. Vol.1662: Modern Problems in Mathematics and its Applications : 47th International Youth School-conference, Yekaterinburg, Russia, January 31 -February 6, 2016: proceedings. С. 84-93

87.Ледяев Ю.С. Принцип максимума для оптимальных стратегий в дифференциальных играх. Труды математического института им. В.А. Стеклова, 1988. Т. 185. С. 147-170.

88.Ледяев Ю.С., Мищенко Е.Ф. Экстремальные задачи в теории дифференциальных игр // Труды МИАН, 1988, Т.185, С.147-170.

89.Лейтман Дж., Введение в теорию оптимального управления. М.: Наука, 1968. 190 с.

90.Лотов А.В. Численный метод исследования непрерывности времени быстродействия в линейных системах и решения задачи Коши для уравнения Беллмана // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1973. Т.13. N 5.

91.Лотов А.В. Об устойчивости и аппроксимации обобщённых множеств достижимости // Доклады АН СССР, 1985. Т.284. N 1.

92.Лукоянов Н. Ю., О вязкостном решении функциональных уравнений типа Гамильтона-Якоби для наследственных систем // Тр. ИММ УрО РАН, 13, № 2, 2007, С.135-144.

93. Макаров Б.М., Подкорытов А.Н. Лекции по вещественному анализу. Издательство: БХВ-Петербург, 2011. 688 с.

94.Матвийчук А.Р., Успенский А.А., Ушаков В.Н., Пахотинских В.Ю. О построении разрешающих управлений в задачах управления с фазовыми ограничениями // Теория управления и теория обобщенных решений уравнений Гамильтона-Якоби. Труды международного семинара, посвященного 60-летию академика А.И. Субботина, Екатеринбург, 2006. Т.2, С. 158-164.

95.Матвийчук А.Р., Пахотинских В.Ю. , Успенский А.А., Ушаков В.Н. Алгоритмы численного моделирования решений управляемой нелинейной динамической системы. 9 Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механики. Аннотации докладов. Т.1. Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета им. Н.И. Лобачевского, 2006, С. 85.

96.Меликян А.А. Обобщенные характеристики уравнений в частных производных первого порядка. Приложения к задачам теории управления и дифференциальным играм / пер. с англ. под ред. В.С.Пацко. М. - Ижевск: Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика Институт компьютерных исследований, 2014. 450 с.

97.Милютин А.А., Дмитрук А.В., Осмоловский Н.П., Принцип максимума в оптимальном управлении. Мехмат МГУ, Москва, 2004. 168 с.

98.Мищенко Е.Ф., Задачи преследования и уклонения от встречи в теории дифференциальных игр // Изв. АН СССР: Техн. кибернетика, 1971. № 5. С. 3-9.

99.Мордухович Б.Ш. Методы аппроксимации в задачах оптимизации и управления. М.: Наука. 1988. 360 с.

100.Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной, 3 изд., М., 1974. - 480 с.

101.Никольский М.С. Об одном прямом методе решения линейных дифференциальных игр преследования-убегания // Матем. заметки, 33:6. 1983. С. 885-891.

102.Никольский М. С. О нижнем альтернированном интеграле Понтрягина в линейных дифференциальных играх преследования // Матем. сб., 128(170): 1(9), 1985. С. 35-49.

103.Никольский М.С. О задаче быстродействия для трехмерных и четырехмерных управляемых систем // Математическая теория управления и дифференциальные уравнения, Сборник статей. К 90-летию со дня рождения академика Евгения Фроловича Мищенко, Тр. МИАН, 277, МАИК, М., 2012, С. 192-198.

104. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений Наука, 1978. - 339 с.

105. Олейник О.А. Разрывные решения нелинейных дифференциальных уравнений, УМН, 1957, том 12, выпуск 3(75), 3-73.

106. Олейник О.А. Разрывные решения нелинейных дифференциальных уравнений // УМН, 12:3(75). 1957. С. 3-73.

107. Олейник О.А. Лекции об уравнениях с частными производными, Моск. гос. ун-т, мех.-матем. ф-т, М., 1976.

108.Осипов Ю.С., Альтернатива в дифференциально-разностной игре // Доклады АН СССР, 1971. Т. 197. № 5. С. 1022-1025.

109.Панасенко Е. А., Тонков Е. Л. Распространение теорем Е. А. Барбашина и Н. Н. Красовского об устойчивости на управляемые динамические системы // Тр. ИММ УрО РАН. Т. 15, № 3. 2009. С.185-201.

110.Папаков Г.В., Тарасьев А.М., Успенский А.А. Численные аппроксимации обобщенных решений уравнений Гамильтона-Якоби // Прикладная математика и Механика. Т.60, Вып.4, 1996. С.570-581.

111.Пахотинских В.Ю., Успенский А.А., Ушаков В.Н. Использование пиксельных методов в задаче построения множества достижимости // Вестник Тамбовского государственного университета, Т. 8, Вып. 3. 2003, С. 429.

112.Пахотинских В.Ю., Успенский А.А., Ушаков В.Н. Конструирование стабильных мостов в дифференциальных играх с фазовыми ограничениями// Прикладная математика и механика. Т.67, Вып.5, 2003, С.771-783.

113.Пацко В.С. Поверхности переключения в линейных дифференциальных играх // Современная математика и ее приложения, Тбилиси, 2005, Т. 23, С. 79-122.

114. Пацко В.С. Поверхности переключения в линейных дифференциальных играх // Современная математика и ее приложения, Тбилиси. 2005. Т. 23. С. 79-122.

115.Петров Н. Н., К задаче группового преследования, Изв. ИМИ УдГУ, 2002, № 2(25), 73-74.

116.Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1964. 222 с.

117.Петросян Л.А. Дифференциальные игры преследования. — Ленинград: Издательство ЛГУ, 1977. 222 с.

118.Петросян Л.А. Игры преследования с "линией жизни" // Вестник Ленинградского университета. Серия 1: Математика, Механика, Астрономия, 1967. Т. 3, № 13. С. 76-85.

119.Половинкин Е.С., Балашов М. В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа, 2-е изд., Физматлит, Москва, 2007 , 440 с.

120.ПолякБ.Т. Введение в оптимизацию. М.: Наука, 1983. 384 с.

121.Понтрягин Л.С. О линейных дифференциальных играх. I // Доклады АН СССР, 1967 Т. 174, №6.

122.Понтрягин Л.С. О линейных дифференциальных играх. II // Доклады АН СССР, 1967, Т. 175, №4.

123.ПонтрягинЛ.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1974. 331 с.

124.Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов, Физматгиз, М., 1961 - 391 с.

125.Постон Т., Стюарт И. Теория катастроф и ее приложения. М.: Мир, 1980. 607 с.

126. Прудников И. М. Необходимые и достаточные условия представимости положительно однородной функции трех переменных в виде разности выпуклых функций // Изв. АН РАН. 1992. Т. 59, № 5. С. 1116-1128.

127. Прудников И. М. К вопросу о представимости функции двух переменных в виде разности выпуклых функций // Сиб. матем. журн., 2014, том 55, № 6, С. 1368- 1380.

128.Пшеничный Б. Н., Сагайдак М. И. О дифференциальных играх с фиксированным временем // Кибернетика. 1970. №2. С. 54-63.

129.Пшеничный Б.Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. М: Наука, 1980. 319 с.

130.Родина Л. И. Об инвариантных множествах управляемых систем со случайными коэффициентами // Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки, 2014. № 4. С. 109-121.

131. Родина Л.И. Инвариантные и статистически слабо инвариантные множества управляемых систем, Изв. ИМИ УдГУ, 2012, № 2(40), 3-164.

132.Рокафеллар Р.Т. Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973. 469 с.

133. Серков Д.А. О неулучшаемости стратегий с полной памятью в задачах оптимизации гарантированного результата // Труды ИММ УрО РАН, 20:3, 2014, С. 204-217.

134. Слюсарев Г.Г. Геометрическая оптика. Издательство Академии наук СССР, 1946. - 332 с.

135.Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Ленинград: Изд-во ЛГУ, 1950. 255 с.

136. Солимено О, Крозинъяни, Ди Порто П. Дифракция и волноводное распространение оптического излучения // М.: Мир, 1989, 662с.

137. Стрекаловский А. С. Задачи оптимального управления с терминальными функционалами, представимыми в виде разности двух выпуклых функций, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2007, том 47, номер 11, 1865-1879.

138. СтрекаловскийА.С. Элементы невыпуклой оптимизации. - Новосибирск: Наука, 2003. 356 с.

139. Субботин А.И. Обобщение основного уравнения теории дифференциальных игр // Докл. АН СССР. 1980. Т. 254. № 2, С.293-297.

140. Субботин А.И. Обобщенные решения уравнений в частных производных первого порядка. Перспективы динамической оптимизации. - Москва-Ижевск: Институт компьютерных технологий, 2003. - 336 с.

141. Субботин А.И. Минимаксные неравенства и уравнения Гамильтона-Якоби. М.: Наука. 1991. 214 с.

142. Субботин А.И., Тарасъев А.М. Сопряженные производные функции цены дифференциальной игры // Докл. АН СССР. 1985. Т. 283, 3. С. 559-564.

143.Субботин А.И., Ченцов А.Г. Оптимизация гарантии в задачах управления. М.: Наука, 1981. 288 с.

144. Субботина Н. Н. Метод характеристик Коши и обобщенные решения уравнений Гамильтона-Якоби-Беллмана // Доклады АН СССР, 1991, 320(3), 556-561.

145.Субботина Н. Н., Колпакова Е. А. О структуре локально липшицевых минимаксных решений уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана в терминах классических характеристик // Труды Института математики и механики, 2009, том 15, номер 3, 202-218.

146.Субботина Н. Н., Колпакова Е. А., Токманцев Т. Б., Шагалова Л. Г. Метод характеристик для уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана // РИО УрО РАН, Екатеринбург, 2013, 244 с.

147. Субботина Н.Н. Метод характеристик Коши и обобщенные решения уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана // Доклады АН СССР, 1991. Т.320, № 3. С. 556-561.

148. Тарасъев А.М. О построении функции цены в одной нерегулярной дифференциальной игре с фиксированным моментом окончания. Деп. в ВИНИТИ, №~2455-83. Свердловск, 1983. 43с.

149. Тарасъев А.М. Аппроксимационные схемы построения минимаксных решений уравнений Гамильтона-Якоби // Прикладная математика и механика, 1994. Т. 58. Вып. 2. С. 22-36.

150.Тарасъев А.М., Успенский А.А., Ушаков В.Н. Аппроксимационные операторы и конечно-разностные схемы для построения обобщенных решений уравнений Гамильтона-Якоби // Известия РАН Техническая кибернетика. 1994. № 3. С.173-185.

151.Тарасъев А.М., Токманцев Т.Б, Успенский А.А., Ушаков В.Н. О процедурах построения решений в дифференциальных играх на конечном промежутке времени// Современная математика и ее приложения, Тбилиси, 2005, Т. 23, С. 123-144.

152. Тарасъев А.М., Успенский А.А., Ушаков В.Н. Разностные операторы при построении аппроксимаций решений дифференциальных игр и уравнений тина Гамильтона-Якоби // Дифференциальные уравнения и топология: Международная конференция, посвященная 100-летию со дня рождения Л.С. Понтрягина: Тезисы докладов. - М.: Издательский отдел факультета ВМиК МГУ имени М.В. Ломоносова; МАКС Пресс, 2008, С.404.

153.Токманцев Т.Б., Успенский А.А., Ушаков В.Н. Численные аппроксимации стабильных мостов в дифференциальных играх на конечном промежутке времени // Теория управления и теория обобщенных решений уравнений Гамильтона-Якоби. Труды международного семинара, посвященного 60-летию академика А.И. Субботина, Екатеринбург, 2006. Т.1, С. 294-302.

154. Толстоногов А.А. Существование оптимального управления без предположения выпуклости в эволюционной системе первого порядка // Матем. сборник, 2001 , Т. 192, № 9. С. 125-142.

155.Тонков Е.Л. Магистральные движения управляемых систем(1) // Изв. ИМИ УдГУ. 2014. № 1(43). С. 68-114.

156. Третьяков В.Е. К теории стохастических дифференциальных игр // Доклады АН СССР. 1983. Т.269. №3. С.1049-1053.

157. Успенский А.А. Вычислительные процедуры для построения обобщенных решений уравнения Беллмана-Айзекса. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02

- дифференциальные уравнения. Екатеринбург, 1993г., 165с.

158. Успенский А.А., Ушаков В.Н., Фомин А.Н. Альфа-множества и их свойства / Ин-т математики и механики УрО РАН.- Екатеринбург, 2004. - 62 с.: 38 ил.

- Библиогр.: 7 назв. - Рус. - Деп. в ВИНИТИ 02.04.04, № 543-В2004.

159. Успенский А.А. Аналитические методы вычисления меры невыпуклости плоских множеств / Ин-т математики и механики УрО РАН. -Екатеринбург, 2007. - 21 с.: 10 ил. - Библиогр.: 9 назв. - Рус. - Деп. в ВИНИТИ 07.02.07, № 104-В2007.

160. Успенский А.А., Лебедев П.Д. Аналитическое и численное конструирование функции оптимального результата для одного класса задач быстродействия // Прикладная математика и информатика: Труды факультета ВМиК МГУ М.В. Ломоносова - М.: МАКС Пресс, 2007. - №2 27, С. 65-79.

161. Успенский А.А., Лебедев П.Д. Исследование геометрии и асимптотики волновых фронтов в некоторых задачах управления // Труды 9-ой Международной Четаевской конференции, 2007, Т. 5, С. 224-236.

162. Успенский А.А., Лебедев П.Д. Численно-аналитические методы построения волновых фронтов в задачах управления и геометрической оптике // Вестник Тамбовского университета. Сер. Естественные и технические науки - Тамбов, 2007. - Т.12, Вып.4, С. 538-539.

163. Успенский А.А., Лебедев П.Д. Построение волновых фронтов в динамических задачах управления с невыпуклым терминальным множеством // Международная конференция памяти И.Г. Петровского: Тезисы докладов. - М.: Изд-во МГУ, 2007. С. 324-325.

164. Успенский А.А., Лебедев П.Д. Алгоритмы построения функции оптимального результата в задаче быстродействия с простой динамикой// Вестник Удмуртского университета. Математика, механика, компьютерные науки. Ижевск, 2008. Вып.2. С.152-154.

165. Успенский А.А. Оценка скорости сходимости разностных операторов при решении задачи Коши для уравнения Гамильтона-Якоби. Екатеринбург, 1998г., 38 с. Деп. в ВИНИТИ 06.03.98. № 623-В98.

166. Успенский А.А., Лебедев П.Д. Построение обобщенного решения уравнения в частных производных первого порядка // Алгоритмический анализ неустойчивых задач. Тезисы докладов Международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения В.К. Иванова. -Екатеринбург, Изд-во Уральского университета. 2008, С. 240-241.

167. Успенский А.А., Лебедев П.Д. Построение функции оптимального результата для одного класса задач быстродействия с негладким целевым множеством // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления: тезисы докладов X Международного семинара им. Е.С. Пятницкого. Москва, ИПУ РАН, 3-6 июня 2008 г., М.: Изд-во ИПУ РАН, 2008. С.171-173.

168. Успенский А.А., Лебедев П.Д. Условия трансверсальности ветвей решения нелинейного уравнения в задаче быстродействия с круговой индикатрисой // Труды Института математики и механики, 2008. Т.14, № 4. С.82-100.

169. Успенский А.А., Лебедев П.Д. Геометрия и асимптотика волновых фронтов // Известия высших учебных заведений, 2008. - № 3, С. 27-37.

170. Успенский А.А., Лебедев П.Д. Аналитические и численные подходы к построению функции оптимального результата для задачи быстродействия// Дифференциальные уравнения и топология: Международная конференция, посвященная 100-летию со дня рождения Л.С. Понтрягина: Тезисы

докладов. - М.: Издательский отдел факультета ВМиК МГУ имени М.В. Ломоносова; МАКС Пресс, 2008, С.410-411.

171. Успенский А.А., Лебедев П.Д. Построение функции оптимального результата в задаче быстродействия на основе множества симметрии // Автоматика и телемеханика, 2009, № 7, С. 50-57.

172. Успенский А.А., Лебедев П.Д. Построение решений динамических задач на основе множеств симметрии // Вестник Тамбовского университета. Сер. Естественные и технические науки - Тамбов, 2009.- Т.14, Вып.4, С. 733-735.

173. Успенский А.А., Лебедев П.Д. Алгоритмы приближенного построения решений краевых задач для уравнений в частных производных первого порядка // Забабахинские научные чтения: сборник материалов 10 Международной конференции 15 - 19 марта 2010. - Снежинск: Издательство РФЯЦ - ВНИИТФ, 2010. С. 274-275.

174. Успенский А.А., Лебедев П.Д. О множестве предельных значений локальных диффеоморфизмов при эволюции волновых фронтов // Труды Института математики и механики, 2010. Т.16, №1. С.171-186.

175. Успенский А.А. Спектр производных локальных диффеоморфизмов при эволюции волновых фронтов в задаче быстродействия // ВГСИИК Кшвського нащонального ушверситету iменi Тараса Шевченко, ABSTRACTS OF CONFERENCE REPORTS DYNAMICAL SYSTEM MODELLING AND STABILITY INVESTIGATION, May 25-27, 2011, P.382.

176. Успенский А.А., Лебедев П.Д. Процедуры вычисления меры невыпуклости плоского множества // Журнал вычислительной математики и математической физики, 2009. Т. 49, №3, С. 431-440.

177. Успенский А.А., Лебедев П.Д. Условия гладкости множества симметрии минимаксного решения одного уравнения Айзекса-Беллмана // Проблемы динамического управления: Сборник научных трудов факультета ВМиК МГУ М.В. Ломоносова - М.: МАКС Пресс, 2008. - Выпуск 3, С. 231 - 245.

178. Успенский А.А., Лебедев П.Д., Васев П.А. Аппроксимация негладкой функции оптимального результата в одном классе задач быстродействия

//Вестник Челябинского государственного университета. Математика. Механика. Информатика. 2013. Вып. 16. С.71-77.

179. Успенский А.А., Лебедев П.Д., Ушаков А.В. Моделирование решений дифференциальных игр сближения-уклонения в классе множеств с ненулевым дефектом стабильности // Вестник Тамбовского государственного университета. Сер.: Естественные и технические науки, 2013. Т. 18, Вып. 5-2, С. 2718-2719.

180. Успенский А.А., Лебедев П.Д. Численно-аналитические методы построения обобщенных решений уравнений в частных производных типа Гамильтона-Якоби [электронный ресурс] // Труды XI Международной конференции «Забабахинские научные чтения», Снежинск, 16-20 апреля 2012 г. С.1-33. - Электронная статья (476 Кб) - Режим доступа: http: //www.vniitf.ru/images/zst/2012/s6/6-4 .pdf.

181. Успенский А.А., Ушаков А.В. Моделирование решений дифференциальных игр в одном классе невыпуклых множеств с гладкой границей // Динамика систем и процессы управления. Тез. докл. Международной конференции, посвященной 90-летию со дня рождения академика Н.Н. Красовского. Екатеринбург, Россия, 15-20 сентября 2014 г. Екатеринбург: ИММ УрО РАН, УрФУ. 2014. С. 195-197.

182. Успенский А.А. Формулы исчисления негладких особенностей функции оптимального результата в задаче быстродействия // Труды Института математики и механики, 2014. Т.20, №3. С.276-290.

183. Успенский А.А., Лебедев П.Д. Построение оптимальных покрытий множеств набором шаров в различных метрических пространствах // Информационный бюллетень Ассоциации математического программирования №13, Тезисы докладов Всероссийской конференции, посвященной памяти академика И.И. Еремина, Екатеринбург, ИММ УрО РАН, 2-6 марта 2015 г. С.225-226.

184. Успенский А.А., Лебедев П.Д. Построение сингулярных кривых в задаче Дирихле для уравнения типа эйконала в случае невыпуклого краевого

множества // Тезисы докладов II Международного семинара «Теория управления и теория обобщенных решений уравнений Гамильтона-Якоби», посвященного 70-летию со дня рождения академика А.И. Субботина, Екатеринбург, ИММ УрО РАН, УрФУ, 1-4 апреля 2015. С.132-233.

185. Успенский А.А. Необходимые условия существования псевдовершин краевого множества в задаче Дирихле для уравнения эйконала // Труды Института математики и механики, 2015. Т.21, №1. С.250-263.

186. Успенский А.А. Производные в силу диффеоморфизмов и их приложения в теории управления и геометрической оптике // Труды Института математики и механики, 2015. Т.21, №2. С.252-266.

187. Успенский А.А., Лебедев П.Д. Построение сингулярных кривых для обобщенных решений уравнений типа эйконала в условиях разрыва кривизны границы краевого множества // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2016. Vol. 22, N 1. C. 282-293.

188.Успенский А. А., Лебедев П. Д. Вырожденность условий второго порядка при построении псевдовершин краевого множества для уравнения эйконала// Вестник Гуманитарного университета, 2016. № 2. С. 31-46.

189. Ухоботов В. И., Однотипные дифференциальные игры с выпуклой целью, Тр. ИММ УрО РАН, 16, № 5, 2010, 196-204.

190. Ухоботов В.И., Гущин Д.В. Однотипная дифференциальная игра с выпуклой платой и терминальным множеством в форме кольца // Изв. ИМИ УдГУ, 2012. № 1(39). С. 136-137 .

191. Ушаков В.Н. К задаче построения стабильных мостов в дифференциальной игре сближения-уклонения // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1980. №.4. С.29-36.

192. Ушаков В.Н., Успенский А.А., Токманцев Т.Б. Стабильные мосты в дифференциальных играх на конечном промежутке времени // Труды Института математики и механики, 2004. Т.10, №2. С.155-177.

193. Ушаков В.Н., Успенский А.А., Лебедев П.Д. Построение решения игровой задачи о сближении с целью в классе множеств с ненулевым дефектом

стабильности // Труды 12-го Всероссийского совещания по проблемам управления (электронный ресурс), М., Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова, 16-19 июня 2014 г, 9616 с., ISBN 978-5-91450-151-5. Номер государственной регистрации: 0321401153, С. 2099-2108.

194. Ушаков В.Н., Латушкин Я.А. Дефект стабильности множеств в игровых задачах управления// Тр. Ин-та математики и механики. Екатеринбург: УрО РАН. 2006. Т.12, №2. С.178-194.

195. Ушаков В.Н., Брыкалов С.А., Латушкин Я.А. Использование дефекта стабильности для формирования управления в дифференциальной игре// Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки, 2008. № 2. С.155-162.

196. Ушаков В.Н., Котелъникова А.Н., Малёв А.Г. Об оценке дефекта слабой инвариантности множеств с кусочно-гладкой границей // Труды Института математики и механики, 2013. Т. 19, № 4, С. 250-266.

197. Ушаков В.Н., Лебедев П.Д., Матвийчук А.Р., Малёв А.Г. Дифференциальные игры с фиксированным моментом окончания и оценка степени нестабильности множеств в этих играх // Математическая теория управления и дифференциальные уравнения, Сборник статей. К 90-летию со дня рождения академика Евгения Фроловича Мищенко, Тр. МИАН, 277, МАИК, М., 2012. С. 275-287.

198. Ушаков В.Н., Малёв А.Г. К вопросу о дефекте стабильности множеств в игровой задаче о сближении // Тр. Ин-та математики и механики. 2010. Т. 16. №.1. С. 199-222.

199. Ушаков В.Н., Матвийчук А.Р., Лебедев П.Д., Дефект стабильности в игровой задачи о сближении в момент // Вестник Удмуртского университета, 2010. Вып. 3. С. 87-103.

200. Ушаков В.Н., Успенский А.А. Дефект стабильности деформации максимального стабильного моста для игровой задачи сближения с замкнутой целью // Известия Института математики и информатики УдГУ. Ижевск, УдГУ. 2012. Вып. 1 (39). С.140-140.

201. Ушаков В.Н., Успенский А.А. К свойству стабильности в дифференциальных играх // Доклады Академии наук, 2012, том 443, №5, С. 549-554

202. Ушаков В.Н., Успенский А.А. Дефект функций в дифференциальных играх с терминальной платой // Математическая теория игр и ее приложения. 2010. Том 2, Выпуск 2. С.99-128.

203. Ушаков В.Н., Успенский А.А. Об одном дополнении к свойству стабильности в дифференциальных играх // Труды Математического института им. В.А. Стеклова, 2010, т. 271, С. 299-318.

204. Ушаков В.Н., Успенский А.А., Лебедев П.Д. Об одном дополнении к свойству стабильности // Устойчивость и процессы управления. Всероссийская конференция, посвященная 80-ти летию со дня рождения

B.И. Зубова, Санкт-Петербург, 1-2 июля 2010 г. - С.-Петербург: ВВМ, 2010,

C.183-184.

205. Ушаков В.Н., Успенский А.А., Лебедев П.Д. Построение минимаксного решения уравнения типа эйконала // Труды Института математики и механики, 2008. Т.14, №2. С.182-191.

206. Ушаков В.Н., Успенский А.А., Зимовец А.А. Оценка дефекта стабильности деформации множества позиционного поглощения в дифференциальной игре сближения-уклонения // Вестник Тамбовского государственного университета, Т. 16, Вып. 4. 2011, С. 1203-1204.

207. Ушаков В.Н., Успенский А.А., Лебедев П.Д. Геометрия сингулярных кривых для одного класса задач быстродействия // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 10. 2013. Вып. 3. С. 157-167.

208. Ушаков В.Н., Успенский А.А., Лебедев П.Д. К вопросу о стабильности в дифференциальных играх // Проблемы устойчивости и управления. Сборник научных статей, посвященный 80-летию академика Владимира Мефодьевича Матросова. М.: Физматлит, 2013. С. 333-381.18БК 978-594052-230-0.

209.Ушаков В.Н., Успенский А.А., Малев А.Г. Оценка дефекта стабильности множества позиционного поглощения, подвергнутого дискриминантным преобразованиям // Труды Института математики и механики, 2011. Т.17, №2. С.209-224.

210. Ушаков В.Н., Успенский А.А. Альфа-множества в конечномерных евклидовых пространствах и их свойства // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2016. Т. 26. № 1. С. 95-120.

211. Ушаков В.Н., Успенский А.А. Теоремы об отделимости Альфа-множеств в евклидовом пространстве // Труды Института математики и механики, 2016. Т.22, №2. С.277-291.

212.Филиппова Т. Ф., Матвийчук О. Г. Алгоритмы оценивания множеств достижимости импульсных управляемых систем с эллипсоидальными фазовыми ограничениями, Автомат. и телемех., 2011, № 9, С. 127-141.

213. Черноусько Ф.Л., Меликян А.А., Игровые задачи управления и поиска. М.:Наука, 1978. 270 с.

214. Черноусько Ф. Л. Декомпозиция и синтез управления в нелинейных динамических системах // Оптимальное управление и дифференциальные уравнения, Сборник статей. К семидесятилетию со дня рождения академика Евгения Фроловича Мищенко, Тр. МИАН, 211, Наука, Физматлит, М., 1995, С. 457-472.

215. Чистяков С.В. К решению игровых задач управления. Прикл. матем. и мех., 1975, 41(5), С. 825-832.

216.Шориков А.Ф. Минимаксное оценивание и управление в жискретных динамических системах // Екатеринбург: Изд-во Уральского госуниверситета, 1997, 248 с.

217.Эрмит Ш. Курс анализа. Л.-М.: ОНТИ, 1936. 383 с.

218.Aubin, J.P. Viability Theory. Boston: Birkhausen 1991.

219.Bardi M., Falcone M. An Approximation Sheme for the Minimax Time Function // SIAM J. Control Optimiz. 1990. Vol. 28. No. 4 P.950-965.

220. Bardi M., Osher S. The nonconvex multi-dimensional Riemann problem for Hamilton - Jacobi equations // SIAM J. Math. Anal. 1991. Vol. 22, No. 2. P. 344351.

221.Bardi, M., Dolcetta, I.C. Optimal Control and Viscosity Solutions of Hamilton-Jacobi-Bellman Equations. Boston: Birkh auser, 1997. 596 P.

222.Berkovitz, L.D. Optimal Feedback Control // SIAM J. Contr. Optim., 1989. Vol. 27. No. 5. P. 991-1006.

223.Bouligand G. Surles surfaces depourvues de points hyperlimites // Ann. Soc. Polon. Math. - 1930. - V.9. - P. 32-41.

224.Brykalov S. A., Lebedev P. D., Uspenskii A. A., and Ushakov A. V. Symmetry Sets in Construction of aMinimax Solution for a Bellman-Isaacs Equation, Proceedings of the 18th IFAC World Congress, Edited by S. Bittanti, A. Cenedese, S. Zampieri, Milan, 2011, Vol. 18, Part 1, IFAC PapersOnLine Identifier: 10.3182/20110828-6-IT-1002.00744. http://www.ifac-papersonline.net/Detailed/51871.html.

225.Crandall M.G., Lions P.L. Viscosity solutions of Hamilton-Jacobi equations. em Trans. Amer. Math.Soc. 1983. Vol. 277. No. 1. P. 1-42.

226. Crandall M.G., Lions P.L. Viscosity Solutions of Hamilton-Jacobi Equations, Trans. Amer. Math. Soc., 1983, Vol. 277, No. 4. Pp. 1-42.

227.Grigorjeva S.V., Tarasjev A.M., Ushakov V.N., Uspenskii A.A. Constructions of nonsmooth analysis in numerical methods for solving Hamilton-Jacobi Equations// Nova Journal of mathematics, game theory, and algebra. Nova Science Publishers, Inc., New York, U.S.A. 1996, V 6. N 1. P. 27-43.

228.Grigor'eva S.V., Uspenskii A.A. Degree of convergence of finite-difference operators while solving Cauchy problem for Hamilton-Jacobi Equations. Nonsmooth and discontinuous problems of control and optimization. Chelyabinsk, June, 17-20, 1998. Proceedings of the International Workshop / Under general edition V.D. Batukhtin; Chelyabinsk State University. Cheluabinsk, 1998. p 81-84.

229. Grigor'eva S.V., Ushakov V.N.,.Uspenskii A.A. Constructing solutions of differential games and Hamilton-Jacobi equations. //8th International Symposium on Dynamic Games and Applications, July 5-8, 1998. Chateau, Vaalsbroek, Maastricht, The Neterlands. P. 234.

230.Grigor'eva S.V., Taras'ev, Uspenskii A.A., Ushakov V.N. Construction of the Differential Game Theory for Solving the Hamilton-Jacobi Eguations. Proc. Steklov Inst. Math: Problems Control Dynam. Systems.- 2000.- Suppl. Issue 2. -P.38-P53.

231.Grigorieva S.V., Ushakov V.N. and Uspenskii A.A. Solution of Differential Games and Cauchy Problem for Hamilton-Jacobi Equation\ in Proceedings of the Tenth IFAC Symposium On Dynamic Games And Applications, July 8-11, Saint-Petersburg, Russia, 2002, Vol. 1. Petrosjan L.A. and Zenkevich N.A., Eds., International Society of Dynamic Games, Saint-Petersburg State University, St. Petersburg, 2002, pp. 349-352.

232. Dini Ulisse Lezioni di analisi infinitesimale, due voi. -8°, p. CI +720+483. Pisa, Succ. Nistri, 1907-1915.

233.Evans L.C., Sougandinis P.E. Differential Games and representation formulas for solutions of Hamilton- Jacobi-Bellman equations // Indiana University Mathematics Journal, 1984, Vol.33, Pp 773-797.

234.Fleming W. H. The Cauchy problem for degenerate parabolic equations, J. Math. Mech. 13(1964), 987-1008.

235. Friedman A. Differential Games. New York: Wiley Interscience, 1971.

236. Hopf E. Generalized solutions of non-linear equations of first-order // J. Math. & Mech. 1965. Vol. 14, No. 6. P. 951-973.

237.Kalman R.E. Contribution to the Theory of Optimal Control // Bullet. Soc. Math. Mech., 1960. Vol. 5. P. 102-119.

238.Kurzhanski A.B., Variya P. Dynamic optimization for reachibility problems // Journal of Optimization Theory and Applications, 2001. V. 108. N 2. P. 227-251.

239.Lax P.D. Weak solutions of nonlinear hyperbolic equations and their numerical computation Comm. Pure Appl. Math. 1954. Vol. 7, No. 1. P. 159-197.

240.Lax P.D., WendroffB. Systems of conservation laws // Comm. Pure Appl. Math. 1960. Vol. 13. P. 217-237.

241.Lebedev P. D., Uspenskii A. A.. Symmetry Sets in Solution of a Velocity Problem //12th Viennese Workshop "Optimal Control, Dynamic Games and Nonlinear Dynamics". May 30th - June 2nd, 2012. P 102.

242. Lebedev P. D., Uspenskii A. A. Analytical and numerical construction of the optimal outcome function for a class of time-optimal problems // Computational Mathematics and Modeling, Springer New York, 2008, Vol. 19, No. 4. P.375-P386.

243.Lebedev P.D., Taras'ev A. M., Uspenskii A.A. Construction of Solution for Optimal Time Problem under Variable Border Smoothness for Nonconvex Target Set. Proceedings of the 10th IFAC Symposium "Nonlinear Control Systems" NOLCOS 2016, Monterey, USA, 23-25 August, 2016, IFAC-PapersOnLine. P. 386-391. ISSN 1474-6670, ISSN 2405-8963.

244.Motzkin T. Sur quelques proprieties caracteristiques des ensembes convexes // Rend. Accad. Naz. Linsei, Red. VI. - 1935. - V.21. - P. 562-567.

245.Ohm Martin. Lehrbuch der gesamten höhern Mathematik. Bd 2. Verlag Friedrich Volckmar, Leipzig 1835.

246. Osher S., Shu C.-W. High-order essentially nonoscillatory schemes for Hamilton - Jacobi quations SIAM J. Math. Anal. 1991. Vol. 28, No. 4. P. 907922.

247.Sedykh V.D. On the topology of symmetry sets of smooth submanifolds in Rk. Advanced Studies in Pure Mathematics 43, 2006. Singularity Theory and Its Applications, pp. 401-419.

248.Sethian J.A. A fast marching level set method for monotonically advancing fronts (1996) Proc Natl Acad Sci USA 93:1591-1595.

249.Sethian J. A. and Vladimirsky A., Fast methods for the Eikonal and related Hamilton-Jacobi equations on unstructured meshes. Proc. Natl. Acad. Sci. USA 97/11: 5699-5703 (2000).

250.Sethian J. A. and Vladimirsky A., Ordered upwind methods for static Hamilton-Jacobi equations, Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 98 (2001), pp. 11069-11074.

251.Souganidis, P.E., Approximation Schemes for Viscosity Solutions of Hamilton-Jacobi Equations // J. Differen. Equat. 1985. Vol. 59. P. 1-43.

252.Subbotin, A.I., Generalized Solutions for First-Order PDE, Birkhauser, Boston, Massachusetts, 1995.

253.Taras'ev A. M., Tokmantsev T. B., Uspenskii A. A., Ushakov V. N. On procedures for constructing solutions in differential games on a finite interval of time// Journal of Mathematical Sciences, Vol. 139, No. 5, 2006, P. 6954-6975.

254. Ushakov V. N., Uspenskii A. A., Tokmantsev T. B. Stable Bridges in Differential Games in a Finite Time Interval // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, Suppl. 2, 2004, pp. S168-S192.

255. Ushakov V.N., Brykalov S.A., Latushkin Y.A. Stable and unstanble sets in problems of conflict control // Functional Differential Equations, Vol. 15, No. 34, 2008, P.309-338.

256. Ushakov V.N., Uspenskii A.A., Lebedev P.D. Nonsmooth Analyze Methods for Constructions of Differential Games and Control Problems Solutions Approximations // Тезисы докладов международной конференции «Конструктивный негладкий анализ и смежные вопросы» - СПб.: Изд-во Санкт-Петербургского университета, 2012, С.171-172.

257. Ushakov, V., Uspenskii, A., Matviychuk, A., Malev, A. Stability Defect of Sets in Game Problems of Approaching. Control Applications of Optimization. University of Bologna, Rimini, Italy, 2012, Volume 15 | Part 1, IFAC PapersOnLine Identifier: 10.3182/20120913-4-IT-4027.00063. http://www.ifac-apersonline.net/Detailed/56627.html.

258. Vladimir Ushakov, Alexandr Uspenskiy, Pavel Lebedev. Defects of stability of sets and functions in differential games on a finite time interval, Book of Abstrakt of the 25th IFIP TC 7 Conference on System Modeling and Optimization, Berlin, 2011, P.60.