Фундаментальные решения уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.00.00, кандидат физико-математических наук Голубева, Валентина Алексеевна

• Голубева, Валентина Алексеевна
• кандидат физико-математических наук
• 1963

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Голубева, Валентина Алексеевна

Введение.

Глава X. Свойства функции в вещественвой пло оао сти

§ I, Вывод формулы для фундаментального решения.

§ 2. Конструкция функции Е/*>у}

§ 3. Теорема о локальвой аналитичности функции

Глава П» Поведение функции В/х^) в окрестности особых точек кривой Г /) ~ О

Вводе вне.

I* Рассмотрим решение линейного уравнения в частных производных с постоянными вещественными коэффициентами с тремя независимыми переменными мы бу?.

Мальгранж доказал существование фундаментального решенщ для произвольного дифференциального оператора с постоянными коэффициентами [ij , однако, конструкции фундаментального решения он не дал* В случае, когда неприводимая алгебраическая кривая 1) ~Р не имеет вещественных особых точек, формулы для фундаментального решения впервые были получены Цейлоном Сil • В.А.Боровиков показал, что Фундаментальное решение является локально аналитической функцией во всех точках пространства Я5 , исключая точки характеристического конуса оператора / I3] . Buy принадлежит также исследование поведения фундаментального решения в окрестности обыкновенной точки характеристического конуса оператора^,

2* Цель настоящей работы - построение фундаментального решения в елучае, когда алгебраическая кривая имеет простейшие особые точки* Мы покажем, что и г этом слуявляется локально аналитической

- г функцией во всех точках пространства Л , исключая точки характеристического конуса оператора ¿*] . Затем мы приведем исследование функции в окрестности особых точек характеристического конуса УСоператора ^ в случае, когда неприводимая алгебраическая кривая ¿/^(^^-О имеет простейшие особые точки /особые точки второго порядка

Случай, когда алгебраическая кривая fJ~ & имеет особые точки более высокого порядка, монно, по-видимому, исследовать тем же методом« Однако, для этого необходимо предвг рительное детальное исследование структуры этих особых точек. Заметим, что изучением множества особенностей фундаментального решения общего дифференциального оператора занимался также В«П.Паламодог*

3. Опишем вкратце метод исследования функции в окрестности точки характеристического конуса Жо оператора . Цейлону принадлежит следующая формула для функции

I) /V: с> / ¿тщ/г I интегрирование в каждом члене суммы производится по алгебраической кривой от некоторой фиксированной вещественной точки до точки пересечения этой кривой с пряной + -о » координата /Ьу/^у,*) которой - один из гги корней следующего алгебраического уравнения: суммирование производится по всей корням этого уравнения, причем, при Х^О

Ши У/к у\> \ 3. ' о к^ш X. д о,

При Г

Ши ¿¿ли Р/ аии Лк.

Мы увидим ниже, что из уча вив функции в окрестности точки характеристического конуса можно свести к изучению функции ^ в окрестности точки алгебраической кривой Г/^^'

Легко показать, что алгебраическая кривая Г -О является двойственной Гл] [?] к алгебраической кривой р к(р ) - ¿(¿(р,

Поэтому мы опишем метод исследования функции ¿'/х/^/ в окрестности точки алгебраической кривой Г /*/ ч/ - & • г/ , Ф 1 ТС

V А % ' где -корни следующего алгебраического урэвне

5/ (Щ-кн+м, ^о.

4* Пусть мы хотим получить разложение функции В з окрестности точки lъ,ryoJ алгебраической кривой

Сумму /4/ можно разбить на две части: одну - дающую аналитический вклад в окрестности рассматриваемой точки, другую - дающую неавалитический вклад в окрестности рассматриваемой точки« Пусть у/гру

2ж Г 1*-1)

- один из членов суммы, дающих неаналитический вклад в окрестности рассматриваемой точки. Не ограничивая общности, можно считать, что р? --Д♦

В окрестности точки (х*^* ) выберем локальные координаты /выбор локальных координат зависит от типа рассматриваемой особой точкц/. Выберем путь интегрирования в интеграле /6/, лежащий в окрестности точки алгебраической кривой О (ч^)* о. ¿(¿но^изул и^хли^м ^в^креётности точки (*/<>", ¡ъу) ,можно найти первые члены разложения подынтегральной.функции интеграла /6/ в ряд по степеням • Интегрируя этот ряд и иодставляя затем локальное разложение верхнего предела в окрестности точки ) по степеням параметров //, к, мы получим первый член разложения интеграле /6/ в окрестности точки (лс/(у0 ) по степеням локальных параметров и}у

- 5

Локальное разложение верхнего предела //У*>// находится следующим образом. В локальном уравнении кривой с в окрестности точки полагаем ^ ' х 9 затем вводим локальные параметры и, у • Применив затем метод Пюизе-Нынона мы получим первый член разложения функции м* в окрестности точки по степеням локальных параметров и,у

Мы лишь схематически описали метод исследования функции £ /у, у) в окрестности точки алгебраической кривой

Г/**$) ~ о * 5 случае, когда точка кривой Гсоответствует особой точке кривой с , нельзя ограничиваться рассмотрением одного члена суммы /4/, так как не всегда один такой член име ет смысл; тогда приходится рассматривать сумму нескольких членов, которая уже определена, и, конечно, вы&р пути интегрирования в этом случае сложнее.

5. Работа состоит из двух частей.

В первой части работы содержится вывод формулы для функции ¿(^¡Уг*) в случае, когда алгебраическая кривая - О имеет особые точки. Затем, используя результаты Ф.Клейна по теории римановых поверхностей алгебраических кривых />У , мы даем конструкцию функции

О . Доказывается также теореме о локальной аналитичиости функции Е 1х,у) во всех точках вещественной плоскости ос,^ 9 исключая точки алгебраической кривой Г/и^-с

Во второй части работы приведено исследование функции в окрестности особых точек алгебраической кривой Г /**#)= о