Дробные классы Соболева на бесконечномерных пространствах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Никитин, Егор Владимирович

• Никитин, Егор Владимирович
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Никитин, Егор Владимирович

Содержание

Введение

Глава 1. Интерполяционный подход

1.1. Определение и основные свойства

1.2. Метод следов

1.3. Дуальность и полугрупповое представление

Глава 2. Подход через полугруппу Пуассона

2.1. Определение, эквивалентность в Ь2 и

базовые свойства вложения

2.2. Эквивалентность в общем случае и теорема вложения

Глава 3. Классическое определение в бесконечномерном случае

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Дробные классы Соболева на бесконечномерных пространствах»

Введение

Общая характеристика работы

Актуальность темы. На конечномерных пространствах существуют различные способы определения пространств Соболева с дробным порядком дифференцируемости. Среди них наиболее хорошо изучены пространства Бесова1,2, а также близкие к ним пространства Слободец-кого3. Подобные дробные шкалы пространств широко применяются в теории дифференциальных уравнений с частными производными (см. монографии4'5). Пространства типа Бесова тесно связаны с пространствами Соболева. Как правило, одни вложены в другие, а в некоторых случаях совпадают. Один из важнейших известных результатов состоит в том, что следы функций из пространства Соболева на Rn представляются функциями из пространства Бесова на соответствующем подпространстве Шп~к.

Классы Соболева над бесконечномерными пространствами впервые были определены и исследованы H.H. Фроловым6 в начале 1970-х годов также с целью применения к дифференциальным уравнениям.

Несколько позже такие пространства стали использоваться П. Мал-лявэном в разработанном им «исчислении Маллявэна»7 и быстро стали весьма популярным объектом исследования на стыке стохастического анализа, нелинейного функционального анализа и теории меры (см.

■*■().В. Бесов. О некотором семействе функциональных пространств. Теоремы вложения и продолжения. ДАН СССР. 1959. Т. 126, N 6. С. 1163-1165.

п

О.В. Бесов. Исследование одного семейства функциональных пространств в связи с теоремами вложения и продолжения. Труды МИАН им. Стеклова. 1961. Т. 60- С. 42-81.

о

Л.Н. Слободецкий. Обобщенные пространства С.Л.Соболева и их приложения к краевым задачам для дифференциальных уравнений в частных производных. Ученые записки ЛГПИ им. А.И. Герцена. 1958. Т. 197. С. 54-112.

^Х. Трибель. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. Мир, М., 1980.

5М.С. Агранович. Соболевские пространства, их обобщения и эллиптические задачи в областях с гладкой и липшицевой границей. МЦНМО, М., 2013.

д

H.H. Фролов. Теоремы вложения для пространств функций счетного числа переменных I. Тр. Ин-та матем. Воронеж, ун-та. Изд-во Воронеж, ун-та. 1970. Вып. 1. С. 205-218.

P. Malliavin. Stochastic calculus of variation and hypoelliptic operators. Proc. Intern. Symp. on Stoch. Diff. Eq. P. 195-263. Wiley, New York - Chichester - Brisbane, 1978.

монографию8). Современное состояние их теории представлено в книге9. Систематическое изучение пространств Бесова над бесконечномерными пространствами пока не осуществлялось. В нескольких работах для определения пространств типа Бесова применялся вещественный метод теории интерполяции, который также может использоваться и в конечномерном случае. Вещественный интерполяционный метод в разных формах предложили Ж.Л. Лионе, Ж. Петре10 и другие математики.

В работе 2003 года Э. Эро, В.И. Богачев и П. Леско11 использовали вещественный интерполяционный K-метод для определения дробных классов Соболева Еа,р{7), 0 < а < 1, на локально выпуклом пространстве с гауссовской мерой 7. Основным результатом этой работы является теорема о том, что сужение соболевской функции на подпространства Е + у, параллельные конечномерному подпространству Е из пространства Камерона-Мартина, лежат в классе Ea-P(YJ) по условным мерам на Е + у при почти всех у относительно проекции меры на дополняющее Е подпространство.

В упомянутой работе Э. Эро, В.И. Богачева и П. Леско используются результаты, полученные в известной работе С. Ватанабэ12, где пространства Es,p(7) определяются интерполяционным методом следов Ж.Л. Ли-онса для произвольного s, при этом для целых s пространство Es,p{7) полагается равным пространству Соболева. Пространства Ев,р(7) оказываются удобнее пространств Соболева в первую очередь благодаря свойству инвариантности относительно композиций с липшицевыми функциями. Эквивалентность определения, которое дает Ватанабэ, определению через интерполяционный if-метод для 0 < s < 1 можно считать очевидной, однако в общем случае для утверждения эквивалентности требуется

о

I. Shigekawa. Stochastic analysis. Amer. Math. Soc., Providence, Rhode Island, 2004.

®В.И. Богачев. Дифференцируемые меры и исчисление Маллявэна. НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», М. - Ижевск, 2008.

l^J.L. Lions, J. Peetre. Sur une classe d'espaces d'interpolation. Publ. Math. Inst. Hautes Etudes Sei. Publ. Math. 1964. V. 19. P. 6-64.

■^Э. Эро, В.И. Богачев, П. Леско. Конечномерные сечения функций из дробных классов Соболева на бесконечномерных пространствах. Докл. РАН. 2003. Т. 391, N 3. С. 320-323.

19

S. Wanatabe. Fractional order Sobolev spaces on Wiener space. Probab. Theory Related Fields. 1993. V. 95. P. 175-198.

дополнительное свойство пространств Соболева, которое доказано в диссертационной работе. Заметим также, что для целых й интерполяционный ^С-метод дает пространства, которые для р ^ 2 не совпадают с пространствами Соболева. Классические пространства Бесова В3'р,д также имеют дополнительный индекс q, который позволяет дать более точную шкалу пространств, чем пространства Соболева. Пространства Е8'р при этом соответствуют случаю равных д и р.

В недавней работе Е. Пинеды и В. Урбино13 подробно рассматриваются свойства пространств Бесова определяемых с помощью полугруппы Пуассона на конечномерном пространстве с гауссовской мерой Этот метод может быть успешно перенесен с небольшими изменениями на бесконечномерные пространства. Доказательства большинства основных свойств при этом остаются неизменными или легко модифицируются с применением теории полугрупп.

Существует направление изучения пространств типа Бесова и пространств типа Трибеля-Лизоркина, связанных с неотрицательным самосопряженным оператором на метрических пространствах с мерами, обладающими свойством удвоения14,15. Это сравнительно новое направление является близким к конечномерному случаю. Связь с ним в диссертации подробно не рассматривается.

В диссертационной работе вещественным интерполяционным /^-методом определяются пространства типа Бесова В3'р,д. Устанавливаются интерполяционные свойства пространств Соболева, которые позволяют получить базовые результаты типа теорем вложения для пространств В-%Т))Ч и доказать их эквивалентность пространствам, вводимым Ватанабэ, для равных дири дробных е. Кроме того, в диссертационной работе дается альтернативное определение пространств типа Бесова, по методу работы

1 о

1 Е. Pineda, W. Urbino. Some results on Gaussian Besov-Lipschitz spaces and Gaussian Tricbel-Lizorkin spaces. J. Approx. Theory. 2009. V. 161. P. 529-564.

^D. Yang, W. Yuan. New Besov-type spaces and Triebel-Lizorkin-type spaces including Q spaces. Math. Z. 2010. B. 265. S. 451-480.

^L. Liu, D. Yang, W. Yuan. Besov-type and Triebel-Lizorkin-type spaces associated with heat kernels. arXiv:1309.1366. Preprint. 2013.

Е. Пинеды, В. Урбино, через полугруппу, близкую полугруппе Пуассона Qt. Это определение оказывается эквивалентным интерполяционному определению. В то время как определение через полугруппу Пуассона позволяет разбирать частные случаи (например, оно используется для демонстрации большей точности шкалы пространств Бесова), интерполяционное определение кажется более эффективным в общих вопросах. Например, это определение, как представляется, может быть успешно применено для изучения следов функций Соболева на подпространствах и гиперповерхностях.

Цель работы. Исследование различных определений дробных классов Соболева, в том числе пространств типа Бесова, а также связей между этими определениями и связей пространств типа Бесова и пространств Соболева.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем.

1. Введено несколько определений пространств типа Бесова на локально выпуклых пространствах с гауссовскими мерами и доказана равносильность определений, использующих интерполяционные методы, а также определения через полугруппу Пуассона.

2. Установлено свойство приближения в Ьр соболевских функций с меньшим индексом дифференцируемости соболевскими функциями с большим индексом дифференцируемости и контролируемой соболевской нормой приближающей функции. Для р = 2 индексы могут быть произвольными действительными, для р > 1 индексы предполагаются целыми.

3. Доказан ряд свойств типа вложения пространств Бесова и Соболева. Доказано, что пространства типа Бесова совпадают с пространствами Соболева Н2,в. Дается пример, показывающий, что для д > 2

пространства Bs,2,q не совпадают с H2,s и лежат во всех H2,Sl с меньшим индексом Si. Таким образом, пространства типа Бесова дают более точную шкалу пространств, чем пространства Соболева.

Методы исследования. В работе применяются методы функционального анализа, теории меры, теории интерполяционных пространств, элементы стохастического анализа, а также некоторые оригинальные конструкции.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные в диссертации результаты представляют интерес для специалистов в области функционального анализа и теории случайных процессов.

Апробация диссертации. По теме диссертации были сделаны доклады на следующих семинарах:

— научно-исследовательском семинаре кафедры теории функций и функционального анализа механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова «Бесконечномерный анализ и стохастика» под руководством В.И. Богачева, H.A. Толмачева и C.B. Шапошникова (2009-2013 гг.)

— семинаре «Исчисление Маллявэна и его приложения» под руководством А.Ю. Пилипенко и A.A. Дороговцева в Институте математики HAH Украины (Киев, 2013 г.)

— научно-исследовательском семинаре «Анализ и дифференциальные уравнения» кафедры ФН-2 «Прикладная математика» МГ-ТУ им. Н.Э. Баумана (2014 г.)

Основные результаты диссертации докладывались также на международной конференции «Ломоносов-2013» (Москва, 2013 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 4 работах автора, из которых 3 — в журналах из перечня ВАК. Доказательства основных результатов опубликованы в работах [28]—[31]. Список работ приведен в конце диссертации.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, включающих 5 параграфов, и списка литературы из 31 наименования, включая работы автора. Общий объем диссертации составляет 59 страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Глава 1.

В первой главе рассматривается интерполяционный подход к определению пространств типа Бесова на бесконечномерных пространствах. Доказывается вложение этих пространств в пространства Соболева и ряд других свойств.

Рассматривается локально выпуклое пространство X, на котором определена центрированная радоновская гауссовская мера 7. Пространства Соболева на X можно задать равенством

7) :=

где оператор Vr на функциях / G Lp(7) задается равенствами

roo

Vrf := ГСг/2)"1 / f^e-Xfdt, Jo

Ttf(x)= í ¡{е~гх — y/l — e~2t y)/y(dy). Jx

Пространства типа Бесова определяются с помощью вещественного интерполяционного Х-метода. Приведем определение этого метода. Пусть Хо, Х\ - нормированные пространства и

K(t;u) := inf{||w0|Uo : и = щ + щ, щ 6 Х0,щ £ Х{\.

Если 0<#<1и1<д<оо, то (Хо ,Xi)e->qíK обозначает пространство всех функций и £ Xq + Х\ таких, что функция t У t~eK(t; и) входит в

Ll :=L«(0,oo; dí/O-

Определение 1. Пусть 0 < 5 < со, 1 < р < оо, 1 < q < 00, т — наименьшее целое, большее s. Пространством Бесова Bs'p,q(7) назовем определенное с помощью вещественного интерполяционного К -метода интерполяционное пространство между Lp(7) и Нр,т{7) с индексом в - s/m, т.е.

В™(7) = {Щ7), Д»"(7))./тлК.

Ряд свойств пространств Бесова доказывается с помощью так называемой реитерационной теоремы, известной в рамках вещественного

интерполяционного метода. Чтобы ее применить, нужно доказать, что пространство Соболева само является в определенном смысле промежуточным между Lp(7) и пространствами Соболева с более высокими индексами дифференцируемости. Для доказательства этого утверждения потребуется установить два свойства пространств Соболева.

Первым является следующее неравенство, верное для всех функций и <= ЯР'Г(7):

IMLr < с (г, s)|MIp~* IMlL, о < г < 5, г, s 6 R.

Второе необходимое нам свойство пространств Соболева содержится в следующей теореме.

Теорема 1. Пусть р > 1. Пусть fc,m£Z;0<fc<m. Тогда для всякой функции и Е Нр'к(7) и для всякого достаточно малого г > 0 найдется такая функция и£ Е Нр>т(7), что

11« - ие\\р < С(р, k)£k\\u\\p,k, ||tze||p>m < С(р, fc, m)£fc-m||u||M.

В случае р = 2 эту теорему можно усилить, распространив на пространства Соболева дробных порядков дифференцируемости. Это позволит для р = 2 вывести некоторые свойства вложений, не имеющие аналогов в конечномерном случае, где в теории пространств Бесова рассматриваются классы Соболева только целых индексов.

Пусть X, Xq, Х\ — нормированные пространства,

J{t\u) := max {|М|Хо, ¿IMUJ-По определению, X Е 7-С(в\ Х0, Xi), где 0 < 9 < 1, если

K(t-u)<C{Q)t9\\u\\x VueX,

||и||х < C(e)t~eJ(t- и) У и Е Xq П Х\.

Пространство Соболева Нр,к(7) является промежуточным между 1/(7) и Hp,Tn{~f) в том смысле, что оно принадлежит к классу %{к/т\ 1/(7), Яр,т(7)). Точный результат дает следующая теорема.

Теорема 2. Пусть р > 1. Для всех к, тЕЪ,0<к<т имеем

Я^(7) <= П{к/т]Ьр{7),Яр'т(7)). Кроме того, для всех г, я е м, 0 < г < в имеем Я2'г(7) е -Н(г/5;£2(7),Я2'*(7)), я^(7) е

Применяя эту теорему и реитерационную теорему, мы можем установить ряд свойств пространств Бесова.

Теорема 3. Пусть р > 1.1) Если в определении Яв;р,<?(7) в качестве т брать любые целые, большие в, то получим одно и то же пространство.

2) Если > 5 и 1 < д, < оо, то

7) =

в частности, я51;р'91(7) с я5;р,9(7).

3) Если 0 < к < 5 < га, к,т е Ъ и в = (1 — в)к + 9т, то

в частности, Яр'т(7) С С Яр,/с(7).

4)-_ЕЬш 5х < в < 52, з = (1 — 9)б\ + 9з2 и 1 < <?ъ < оо, то

5) Если т ^елое, то С Яр'т(7) С Ят^°°(7).

Для р = 2 получаем более сильные свойства. Теорема 4. 1) Если 0 < г < в < Ь, еШ и в = (1 — в)г + 0£, то

В частности, В8'р'я(,у) С Яр'*(7). Кроме того, Яв;р'1(7) С Яр,в(7).

2) Если 0 < г < в < г, * € К и в = (1 - 0)г + то

В частности, Я2,Г(7) С Яв;2'9(7) С Я2,*(7).

3) Я^2'1(7) С Я2'5(7) С я5;2'°°(7).

Таким образом, как и в конечномерном случае, определенные нами пространства Бесова Bs;p'q(7) вкладываются в пространства Соболева, индекс дифференцируемости которых равен наименьшему целому числу, меньшему s. Кроме того, для любого р > 1 пространство Бесова Bs;p,q(7) вложено в пространство Соболева Hp,t(7) с любым t > s, а для р = 2 верно и обратное вложение.

В качестве применения указанных свойств доказывается следующая теорема.

Теорема 5. Пусть г > 0, s > 0. Оператор Vr = (I — L)~r/2 — ограниченный оператор из Bs',p>q(7) в Br+s;p,<í(7).

Определенные нами пространств Бесова Bs,p,q(7) связаны с дробными классами Соболева Es,p(j), которые определяются с помощью интерполяционного метода следов Ж.-Л. Лионса. Пусть В\ и В2 — вещественные сепарабельные банаховы пространства и В\ С 1?2. Для ж G положим | х\вх = оо по определению. Для 1 <р<оои^б1 банахово пространство W = W(q,u; Bi, В2) определяется как множество всех абсолютно непрерывных функций /: (0,оо) —» -В2, таких что Г/ € L9((0, 00) Bi) и tv f £ Lg((0, 00) £2), с нормой

|| f\\w = max(||tV||ií((0)oo)->i?1), №V'IU,((0,ooHi?a))-

Если ^ = ^ + í/ < 1, то lim^o f{t) — /(0) существует в B2, и мы полагаем Г = Т««(ВЪ В2) = {/(0)1/ G W(q,!/; В2)},

IMIr = inf{||/|k|/ е I/; Въ В2), /(0) =14}, и £ Т.

Определение 2. Дробные классы Соболева Es,p{7), 1 < р < 00, s £ R, задаются равенством

Es'p{-y) = Яр'5(7), ео/ш 5GZ,

и равенством

Е8*<с() = Т1~а(Ек+1ф(ч), Ек>р{7)), если s = /с + <т, к £ Z, 0 < а < 1.

Из общей теории интерполяционных пространств известно, что интерполяционный метод следов эквивалентен вещественному интерполяционному Х-методу, который мы использовали для определения пространств Бесова Bs;p,q(7). Благодаря этому, а также доказанным свойствам Bs'p,q(7) мы можем доказать следующую теорему.

Теорема 6. Для 1 < р < оо и дробных s пространства Es'p{^) совпадают с пространствами Bs'p,p(7), а их нормы эквивалентны. При р = 2 пространства Es'2(7) и Bs;2,2(7) совпадают для всех s > 0.

Из этой теоремы, применяя результат, доказанный в работе Ватанабэ, получаем такое следствие.

Следствие 1. Пусть s > 0, £ > 0, 1 < gi, <72 < 00 и 1 < V <

Справедливы вложения

BS+£W(7) С iP's(7) С Bs~£^{7).

Можно определить классы Бесова с отрицательным индексом дифференцируемое™ .

Определение 3. Для /c£n;0<<t<0 пространства Бесова B~k+a,p,q^ определяются равенством

а пространства B~k,p'q(7) — равенством

Пространства, определенные через вещественный интерполяционный метод, обладают свойством дуальности. Легко видеть, что для любых действительных s имеет место равенство

(5вЛ9(7))' = £-^'(7), р-1 + р'-1 = 1, q~l + q'~l = 1.

Для интерполяционных пространств также известна характеризация через полугруппы. Для а > 0 положим

roo м

Q<«> = j Tthfids), \W\ds) := J-e-V^ds,

где Т^ = е~аЬТ1. При а = 0 полугруппа — называется полугруппой Пуассона (полугруппой Коши).

Предложение 1. Пусть з = к-\-а,кЕЪиО<а< 1. Тогда для пространств В3>р><1(7) = (Нр,к('у), Нр,к+1 (уУ) ^ К справедливо представление

В8>™(п) = | и е Я** (7),

Пространства 7) имеют аналогичное представление, где д = р, так как Е(з,р)(7) = В3'р,р(7).

Для целых индексов дифференцируемости, рассмотрев Вк,р,я(7) как интерполяционное пространство между №^(7) и Нр,к+1(7), получаем несколько другое представление.

Предложение 2. Пусть к ЕЪ. Тогда для пространств Вк'р'д(7) справедливо представление

Вкм(ч) = | и € Я^-^Т),

- + ~ яРМк-^у9 < оо}.

Глава 2.

Во второй главе дается определение, аналогичное используемому в работе Е. Пинеды, В. Урбино, где пространства Бесова определяются на конечномерных пространствах с гауссовской мерой. Цель главы — доказать, что этот метод эквивалентен основному интерполяционному определению, и вывести свойства вложения пространств Бесова и Соболева с одинаковыми индексами дифференцируемости.

Определение 4. Пусть в > 0, т — наименьшее целое больше, чем 5, 1 < Р, д < оо. При 1 < д < оо пространство Бесова-Липшица В* (7)

состоит из всех таких функций и е Ьр(7); что

Нормаи е Вр^у) определяется так: := Дляд — оо

пространство Бесова-Липшица состоит из всех функций / Е для которых существует константа А, зависящая от / и такая, что

д

т

т

т

— < оо.

Ь

дт

т

т

Я?!

< АГк+3.

р

Норма задается формулой Ц/Цв»^ '.= ||/||р + ^(/)> Ж/) ~~ наименьшее возможное А, для которая верна указанная оценка.

Удобство этого определения заключается в явном выражении для нормы. Для функций из Ь2{7) это выражение легко оценивается с помощью разложения функции в винеровский хаос. Это используется в доказательстве следующей теоремы.

Теорема 7. Пусть в > 0. Пространство Бесова В3',2,2(7) совпадает с пространством #2,2(7); а также с пространством Соболева 7). Кроме того, Вв;2,<г(7) вложено в £3^(7) пРи ^ — Я < 00 •

Кроме того, тот же подход позволяет для случая р = 2 построить пример, показывающий, что шкала пространств Бесова является более точной, чем шкала пространств Соболева.

Предложение 3. Пусть в > 0. Существует функция и такая, что и входит во все пространства Н2'3~(Т(7) для сколь угодно малого а > 0, и е Я| д(7) для д > 2, но при этом и не входит в Н2,3(7).

В качестве примера можно рассмотреть такую функцию и, что

НадНН^+п^-Мп-^ + п).

Благодаря сильной непрерывности полугруппы выражение нормы пространства В3д(7) существенно упрощается для функций из

Нр,т{7), где т = [я] + 1. Мы также можем доказать, снова обращаясь к теории полугрупп, что Нр'т(7) является всюду плотным подпространством в Врц(7), что позволяет в доказательстве многих свойств пространств Вр ('у) ограничиваться функциями из Нр'т(7).

Важную роль играет известное неравенство Литтлвуда-Пэли-Стейна

На применении этого неравенства основано доказательство вложений пространств Бесова и Соболева с одинаковыми индексами дифференцируемое™. Приведем точные формулировки.

Лемма 1. Если в > 0 и целое к > 0, то для всякой функции и € £^(7) справедливо равенство

Теорема 8. Если 0 < а < 1 и целое к > 0, то для всякой функции

Чтобы из предыдущей теоремы следовало вложение Вк^а(7) в Нр'к(7), достаточно доказать, что Нр,к+1(7) плотно в Вк+а(7).

Предложение 4. Пусть 5 > 0, т £ Ъ и т, > э. Тогда пространство Нр,т(7) всюду плотно в пространстве 7).

Применение неравенства Литтлвуда-Пэли-Стейна помогает доказать следующую теорему.

Теорема 9. Если р > 2 и в > 0, то имеет место вложение

Следует обратить внимание на то, что в этой теореме выводится более сильное утверждение о вложении классов Соболева, чем было доказано

\\(1 - Ь)-к'\\\в%„ = \\и\\в.л.

№>■»(7) С В'рф{7)-

в первой главе для пространств В8,р,<1(7), определенных через вещественный интерполяционный Я-метод.

Наконец, доказывается эквивалентность пространств В3,рл{7) и .Вр (7) в общем случае и усиленное свойство вложения. Эти результаты представлены следующими двумя теоремами.

Теорема 10. Пусть в>0, р>1, 1<д< оо. Тогда пространство Бесова В8,р,я(7) совпадает с пространством В8д(7), а их нормы эквивалентны.

Теорема 11. Пусть к Е Ъ и в ЕМ.

1) Если 2 < р < оо, то Вк^2{7) С Нр'к(7) и Нр>8(<у) С £^(7).

2) Если 1 < р < 2, то В8™(7) С Нр^(7) и #^(7) С Вк^2(-у).

Здесь вводится определение пространств Бесова, аналогичное классическому определению с разностными отношениями из конечномерного случая.

Для всякой функции и на Г и всякого вектора /1 6 I" положим А ьц{х) = и{х) — и(х — К). При 5>0, р > 1 и д > 1 класс Бесова функций на пространстве Мп определяется как множество всех функций и € Ьр(Шп), для которых

Теперь для функции и Е Ьр{7) положим А^и^х) = — и(х — /г), где к Е Я(7). Это привносит заметное отличие в бесконечномерном случае, ибо здесь Я(7) существенно меньше всего пространства, в частности имеет меру нуль относительно 7, из-за чего ниже привлекается дополнительная мера V на Н{7), относительно которой ведется интегрирование по К.

Определение 5. Пусть 0 < й < оо, 1 < р < оо, 1 < д < оо, V — некоторая борелевская вероятностная мера на Н(7) ит — наименьшее целое число, большее в. Класс Бесова В3'р'д,1/(7) состоит из всех таких функций и Е Ьр(7), -что

Глава 3.

/ \Щ]?\\(АьГи\\1и№) < оо. Норма в В8'р,я'1'(-у) задается формулой

Отметим, что определяемые так пространства существенно зависят не только от трех числовых параметров, как обычные классы Бесова, но и от дополнительного параметра, которым является мера на пространстве Камерона-Мартина. Пространства у) являются банаховыми и для них справедлива следующая теорема о вложении. Теорема 12. Пусть вероятностная мера V на Н(7) такова, что функция ехр(М\1г\2н) интегрируема по V при некотором М > 2(Р19-Р) • Тогда прирх >ри0<зд<1 имеем с В8'р'9,1/( 7).

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук профессору Богачеву Владимиру Игоревичу за постановку задач и постоянное внимание к работе.

Глава 1

1.1. Определение и основные свойства

В данной главе дается определение классов Бесова на бесконечномерных пространствах с гауссовской мерой с помощью вещественного интерполяционного метода и доказывается ряд свойств полученных пространств типа теорем вложения.

Рассмотрим локально выпуклое пространство X, на котором определена центрированная радоновская гауссовская мера 7 (см. [17], [16]; далее можно считать, что речь идет о счетной степени прямой X — R00 со счетной степенью стандартной гауссовской меры на прямой). Пространства Соболева на X с мерой 7 (см. подробнее [17], [16], [15], [25], [19]) можно определить с помощью полугруппы Орнштейна-Уленбека {T¿}, положив

7) := K(¿/(7)),

где операторы Vr и Tt на функциях / 6 Ьр{7) задаются равенствами

roo

Vrf := Цг/2)-1 / t^-'e-Xfdt, Jo

Ttfix) = í Яе~*х - y/l — e~2t y)j(dy).

Jx

Оператор Vr также можно выразить с помощью генератора L полугруппы Орнштейна-Уленбека равенством Vr = (/—L)_r/2, где I — единичный оператор. Норму функции и из Нр,г(7) будем обозначать через ||t¿||Pir, при этом |Н|Р,Г := ||(I — L)r/2tí||p.

Класс гладких цилиндрических функций ТС00 состоит из функций вида f(x) = g{h{x),...,ln(x)), где д е Сь°°(Rn), k е X*. Если X -М00, то это функции от конечного числа переменных с ограниченными производными всех порядков.

Пространства Бесова определим с помощью вещественного интерполяционного метода так, что определяемые пространства функций будут содержаться в Ьр(7) и включать в себя пространства Соболева Нр,т(7), где т — целое число. Вещественный интерполяционный метод позволяет по заданным банаховым пространствам Х0 и Х\ (которые предполагаются лежащими в некотором общем объемлющем пространстве, например, пространстве всех функций) построить двухпараметрическую шкалу банаховых пространств X, таких что xq П Х\ С X С Xq + Xi, где пересечение Xq П Х\ и алгебраическая сумма Xq + Х\ являются банаховыми пространствами с нормами

IMUonXi = max{||u||Xo, \\u\\Xl}, IMUo+Xi = inf{||uo|Uo + lluilUi: и = u0 + щ,и0 6 Х0,щ e Хг}. Исходные определения даются в работах [21], [22]. Также подробное обсуждение метода имеется в [8], [14]. Приведем определение вещественного интерполяционного А'-метода. Пусть

K{t-,u) := inf{||ix0|Uo +t\\ui\\Xl ■ и = щ + и1,ио € Х0,щ € Хг}.

Если 0<6><1и1<д<оо, то (Xq, обозначает пространство

всех функций и £ Xq + Xi таких, что функция t 1—> t~9К(£; и) входит в L* := Lq(0,oo]dt/t). Это банахово пространство с нормой

Определение 1.1.1. Пусть 0<в<оо, l<p<oo,l<q<oo,m — нauмeнъшee целое, большее в. Пространством Бесова 7) назовем определенное с помощью вещественного интерполяционного К-метода интерполяционное пространство между Ьр(7) и Нр,т(7) с индексом в = в/т, т.е.

Пространство Вв>р'С!(7) автоматически становится банаховым с нормой пространства [Ьр(7), Нр,т(1))3/т .к- Обозначим ее через || •

(t~°K(t]u))q —j , если 1< <00, esssupQ<t<00{t~eK(t; гг)}, если q = 00.

= (2/(7), #p'w(7))

s/m,q;K'

1.1. определение и основные свойства 21

Подчеркнем, что в/т < 1. Кроме того, при к < т имеем

Яр'т(7) п Нр'к(7) - Яр'т(7) с с Яр-т(7) + Я^(7) = Нр'к{7).

Многие свойства вложения пространств Бесова и пространств Соболева можно вывести с помощью так называемой реитерационной теоремы, доказываемой в рамках вещественного интерполяционного метода (см. [14, с. 218]). Однако для ее применения нужно доказать, что пространство Соболева само является в некотором смысле промежуточным между Ьр(7) и пространствами Соболева с более высокими индексами дифференцируемости. Для доказательства этого утверждения потребуется установить два свойства пространств Соболева.

Первым свойством является следующее неравенство, верное для всех функций и Е Яр,г(7):

||и||Р)Г<С(г,5)||и||^"||и|||;8, 0<г<5, г,5 ее, (1.1.1)

получаемое из доказанного в [25, с. 90] неравенства

\\(1-Ь)ьПР < С{аАч)Ш-Ь)аП\ГШ-ЬУП\Т\ / € Щ 7), а<ь<д.

В последнем неравенстве нужно взять а = —5/2, Ъ = —{в — г)/2, д = 0,/ = (/ — ьу/2и. Здесь и далее С с аргументами и без обозначает константы, необязательно одни и те же.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Никитин, Егор Владимирович, 2013 год

Список литературы

[1] Агранович М. С. Соболевские пространства, их обобщения и эллиптические задачи в областях с гладкой и липшицевой границей. М. МЦНМО. 2003.

[2] Бесов О. В. О некотором семействе функциональных пространств. Теоремы вложения и продолжения. ДАН СССР. 1959. Т. 126, N 6. С. 1163—1165.

[3] Бесов О. В. Исследование одного семейства функциональных пространств в связи с теоремами вложения и продолжения. Труды МИ-АН им. Стеклова. 1961. Т. 60. С. 42—81.

[4] Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М. Наука. 1996

[5] Богачев В. И. Гауссовские меры. М., Наука, 1997.

[6] Слободецкий Л. Н. Обобщенные пространства С.Л.Соболева и их приложения к краевым задачам для дифференциальных уравнениий в частных производных. Ученые записки ЛГПИ им.Герцена. 1958. Т. 197. С. 54—112.

[7] Слободецкий Л. Н. Оценки в Ьр эллиптических систем. ДАН СССР. 1958. Т. 123, N 4. С. 616—619.

[8] Трибель X. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. М. Мир. 1980; 664 с.

[9] Трибель X. Теория функциональных пространств. М. Мир. 1986; 448 с.

[10] Фролов Н. Н. Теоремы вложения для пространств функций счетного числа переменных I. Тр. Ин-та матем. Воронеж, ун-та. Изд-во Воронеж, ун-та. Вып. 1. С. 205-218.

Литература 57

11] Фролов Н. Н. Теоремы вложения для пространств функций счетного числа переменных и их приложения к задаче Дирихле. Докл. АН СССР. 1972. Т. 203, N 1. С. 39-42.

12] Эро Э., Богачев В. И., Леско П. Конечномерные сечения функций из дробных классов Соболева на бесконечномерных пространствах. Докл. РАН. 2003. Т. 391, N 3. С. 320-323

13] Adams R. A. Sobolev spaces. New York. Academic Press. 1975

14] Adams R. A., Fournier J. J. F. Sobolev spaces. 2nd ed. New York. Academic Press. 2003; xiii + 305 p.

15] Bogachev V. I. Differentiable measures and the Malliavin calculus J. Math. Sei. 1997. V. 87, N 5, P. 3577-3731.

16] Bogachev V. I. Differentiable measures and the Malliavin calculus. Providence, Rhode Island. Amer. Math. Soc. 2010

17] Bogachev V. I. Gaussian measures. Providence, Rhode Island. Amer. Math. Soc. 1998

18] Bogachev V. I., Mayer Wolf E.. Absolutely continuous flows generated by Sobolev class vector fields in finite and infinite dimensions. J. Funct. Anal. 1999

19] Fang S. Introduction to Malliavin calculus. Beijing. 2004

20] Frazier M., Jawerth В., Weiss G. Littlewood-Paley Theory and The Study of Function Spaces. CBMS Regional Conference Series in Mathematics 79. American Mathematical Society. Providence, RI, 1991. viii+132 pp.

21] Lions J. L., Peetre J. Sur une classe d'espaces d'interpolation. Pubis. Math. Inst. Hautes Etudes Sei. Publ. Math. 1964. V. 19. P. 6—64.

22] Peetre J. A theory of interpolation of normed spaces. Notes de Matematica. N. 39. Rio de Janeiro, 1968. P. 1—88.

23] Pazy A. Semigroups of linear operators and applications to partial differential equations. New York. Springer-Verlag. 1983

24] Pineda E., Urbino W. Some results on Gaussian Besov-Lipschitz spaces and Gaussian Triebel-Lizorkin spaces. J. Approximation Theory. 2009. V. 161. P. 529-564.

58 Литература

[25] Shigekawa I. Stochastic analysis. Providence, Rhode Island Amer. Math. Soc. 2004

[26] Wanatabe S. Fractional order Sobolev spaces on Wiener space. Probab. Theory Relat. Fields. 1993. V. 95. P. 175-198

[27] Yang D., Yuan W. New Besov-type spaces and Triebel—Lizorkin-type spaces including Q spaces. Math. Z. 265. 2010. P. 451-480.

Литература

Работы автора по теме диссертации

[28] Никитин Е. В. Дробные классы Соболева на бесконечномерных пространствах. Докл. РАН. 2013. Т. 452, N 2. С. 130-135

[29] Никитин Е. В. Классы Бесова на бесконечномерных пространствах. Матем. заметки. 2013. Т. 93, N 6. С. 951-953

[30] Никитин Е. В. Сравнение двух определений классов Бесова на бесконечномерных пространствах Матем. заметки. 2014. Т. 95, N 1.