Нелинейные преобразования и сходимость вероятностных распределений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.05, доктор физико-математических наук Колесников, Александр Викторович

• Колесников, Александр Викторович
• доктор физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Колесников, Александр Викторович

Введение и краткое содержание диссертации

Глава 1. Нелинейные преобразования мер и геометрические неравенства

1.1. Характеризация диффузионных полугрупп, сохраняющих логарифмически вогнутые функции

1.2. Другие классы функций

1.3. Замечания о гауссовском корреляционном неравенстве

Глава 2. Треугольные преобразования мер

2.1. Свойства треугольных преобразований мер

2.2. Оценки энтропии плотностей Радона-Никодима

2.3. Применения треугольных преобразований и оценок для энтропий

Глава 3. Оптимальные отображения

3.1. Конечномерные транспортные неравенства для выпуклых

3.2. Бесконечномерные оптимальные отображения ИЗ

3.3. Бесконечномерное уравнение Монжа-Ампера

3.4. Интегрируемость оптимальных отображений

Глава 4. Сходимость Моско

4.1. Сходимость гильбертовых пространств.

4.2. Условия компактности для сходимости Моско

4.3. Одномерный случай.

4.4. Сходимость бесконечномерных форм Дирихле

4.5. Сходимость Моско и логарифмические производные

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нелинейные преобразования и сходимость вероятностных распределений»

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Нелинейные преобразования и различного рода сходимость вероятностных распределений являются важнейшими объектами изучения в большинстве задач теории вероятностей и теории случайных процессов. Эти объекты связывают теорию вероятностей с теорией меры, функциональным анализом, дифференциальными уравнениями и теорией экстремальных задач. Такие связи, возникшие более чем полвека назад в классических трудах А.Н. Колмогорова, А.Д. Александрова, H.H. Боголюбова, Н.М. Крылова, Дж. фон Неймана, JI.B. Канторовича, Ю.В. Прохорова, A.B. Скорохода и других исследователей, в настоящее время продолжают расширяться, обогащая взаимодействующие области математики. Особенно здесь можно отметить работы1'2'3'4'5,6. Подробный историко-библиографический обзор дан в книге7. В более позднее время существенный вклад в изучение всего комплекса проблем, связанных с нелинейными преобразованиями вероятностных распределений и сходимостью нелинейных образов мер, внесли В.Н. Судаков8, М. Талагран9, К. Ферник10, Я. Бренье и, Р. Маккэн12.

Основные результаты диссертации связаны с исследованием нелинейных преобразований вероятностных распределений, позволяющих меры

Александров А.Д. К теории смешанных объемов выпуклых тел I—IV. Матем. сб., 1937, т. 2(44), в. 5, с. 947-972, в. 6, с. 1205-1238; 1938, т. 3(45), в. 1, с. 27-46, в. 2, с. 227-251.

Александров А.Д. О поверхностной функции выпуклого тела. Матем. сб., 1939, т. 6(48), в. 1, с. 167-174.

Александров А.Д. Существование и единственность выпуклой поверхности с заданной интегральной кривизной. ДАН СССР, 1942, в. 35, 131-134.

4Канторович JLB. О перемещении масс. ДАН СССР, 1942, т. 37, в. 7-8, с. 227-229.

Прохоров Ю.В. Сходимость случайных процессов и предельные теоремы теории вероятностей. Теория вероятн. и ее примен., 1956, т. 1, в. 2, с. 177-238.

Скороход A.B. Предельные теоремы для случайных процессов. Теория вероятн. и ее примен., 1956, т. 1, в. 3, с. 289-319.

Богачев В.И. Основы теории меры. Т. 1,2. Москва - Ижевск, РХД, 2003 Q

Судаков В.Н. Геометрические проблемы теории бесконечномерных вероятностных распределений. Тр. Мат. ин-та АН СССР. 1976, т. 140, с. 1-190.

Talagrand M. Transportation cost for Gaussian and other product measures. Geom. Funct. Anal., 1996, n. 6, p. 587-600.

Fernique X. Extension du théorème de Cameron-Martin aux translations aléatoires. II. Intégrabilité des densités. Progr. Probab., v. 55, p. 95-102, Birkhäuser, Basel, 2003.

Brenier Y. Polar factorization and monotone rearrangement of vector valued functions. Comm. Pure Appl. Math., 1991, v. 44, p. 375-417.

McCann R.J. Existence and uniqueness of monotone measure-preserving maps. Duke Math. J., 1995, v. 80, p. 309-323. из заданных классов представлять в виде образов каких-либо простых мер (например, гауссовских), причем требуется, чтобы эти представления обладали некоторыми дополнительными свойствами. В качестве таких дополнительных свойств в диссертации выступают свойства инвариантности (преобразования, заданные диффузионными полугруппами), оптимальности (оптимальные отображения), а также некоторые специальные геометрические свойства (треугольные преобразования). Полученные результаты применяются к задачам теории вероятностей, бесконечномерного анализа, теории гауссовских мер, теории случайных процессов. Многие результаты диссертации тесно связаны с важными аналитическими неравенствами (логарифмическое неравенство Соболева и т.п.). Кроме того, в диссертации применяются методы слабой сходимости мер и вариационного исчисления к теории сходимости случайных процессов (сходимость Моско13).

В главе 1 рассмотрены преобразования мер, задаваемые стохастическими дифференциальными уравнениями. Этот вид преобразований в последнее время эффективно применяется для доказательства чисто аналитических неравенств. Здесь доказано, что свойство диффузионных полугрупп сохранять класс так называемых логарифмически вогнутых функций равносильно тому, что эти полугруппы имеют гауссовские переходные вероятности. Класс логарифмически вогнутых функций играет важную роль в бесконечномерном анализе, теории вероятностей, стохастике, теории гауссовских мер (см.14). Также изучен вопрос о сохране-ниии полугруппами так называемых функций Шермана, включающих все чётные логарифмически вогнутые функции. Мотивацией задачи послужила известная проблема, появившаяся на стыке теории гауссовских мер и теории выпуклых множеств, так называемое гауссовское корреляционное неравенство. Это неравенство — пока еще недоказанное в общем случае — состоит в том, что

0.0.1) 7(АП5) >7(Л)7(В) для произвольных выпуклых центрально-симметричных множеств А и 5в1пи всякой центрированной гауссовской меры 7. Основной к настоящему моменту прогресс был достигнут в работах15'16'17. Наиболее плодотворными методами исследования этого неравенства являются метод полугрупп и метод оптимальных отображений мер. В диссертации обсуждается применение обоих методов и доказываются некоторые частные

Mosco U. Composite media and Dirichlet forms. J. Funct. Anal., 1994, v. 123, p. 368-421.

Богачев В.И. Гауссовские меры.Москва: Наука, 1997.

Pitt L.D. A Gaussian correlation inequality for symmetric convex sets. Ann. Probab., 1977, p. 470474.

Schechtman G., Schlumprecht Т., Zinn J. On the Gaussian measure of the intersection of the symmetric, convex set. Ann. Probab., 1998, p. 346-357.

Hargé G. A particular case of correlation inequality for the Gaussian measure. Ann. Probab., 1999, v. 27, p. 1939-1951. случаи корреляционного неравенства. Применение метода оптимальных отображений мер к корреляционному неравенству было предложено в

Глава 2 посвящена изучению треугольных отображений мер. Треугольные отображения имеют ясную геометрическую структуру и находят многочисленные применения на стыке выпуклой геометрии и теории вероятностей (см.19'20). В диссертации исследованы фундаментальные свойства этих отображений. Интересно отметить, что треугольные отображения обладают многими свойствами, близкими к оптимальным, что, учитывая весьма сложную структуру последних, делает треугольные отображения полезным инструментом теории меры и геометрии. Например, как показано в главе 2, треугольные отображения удовлетворяют так называемому неравенству Талаграна для гауссовских (и более общих равномерно выпуклых) мер. Это наблюдение применяется к решению следующей известной проблемы теории гауссовских мер (см.21). Из классических результатов Ю.В. Прохорова, И.В. Гирсанова, A.B. Скорохода известно, что для заданной гауссовской меры 7 типичные преобразования, переводящие 7 в абсолютно непрерывную меру, имеют вид Т(х) = х + F(x), где F принимает значения в пространстве Камерона-Мартина Н. Преобразования такого вида — это абстрактные преобразования Гирсанова классического винеровского пространства; их исследованию посвящены многие работы (см. книги14'21'22 и библиографию в них). В случае классического винеровского пространства С[0,1] пространство Камерона-Мартина состоит из абсолютно непрерывных функций х с :г(0) = 0 и х' Е L2[0,1]. В работах Камерона и Мартина, Прохорова, Скорохода, Маруямы и Гирсанова было выяснено, что при весьма широких условиях отображение вида преобразует меру Винера в эквивалентную, причем многие важные в приложениях отображения, осуществляющие эквивалентные преобразования меры Винера, имеют указанную форму.

Долго оставался открытым вопрос о том, всегда ли можно перевести 7 в абсолютно непрерывную меру g • 7 преобразованием такого вида. При дополнительных ограничениях на g положительные результаты были получены Устюнелем, Закаем, Ферником. С помощью применения треугольных отображений в диссертации дано положительное решение

Caffarelli L.A. Monotonicity properties of optimal transportation and the FKG and related inequalities. Comm. Math. Phys., 2000, v. 214, n. 3, p. 547-563.

Knothe H. Contributions to the theory of convex bodies. Michigan Math. J., 1957, v. 4, p. 39-52.

20Bobkov S.G. Large deviations via transference plans. Adv. Math. Research, 2003, v. 2, p. 151-175. stiinel A.S., Zakai M. Transformation of measure on Wiener space. Springer, Berlin, 2000.

Липцер Р.Ш., Ширяев A.H. Статистика случайных процессов. M.: Наука, 1974. задачи в общем случае. Также в работе были получены оценки энтропии f glogg dj через функционалы от Т(х) — х. Полученные результаты были применены к проблеме обоснования формулы замены переменной в бесконечномерных пространствах.

В главе 3 изучаются бесконечномерная задача Монжа-Канторовича и бесконечномерное уравнение Монжа-Ампера. Как и в ситуации с треугольными отображениями, нас интересуют преобразования мер вида Т(х) = х + F(x), где F(x) G Н. Этим обусловлен специальный выбор функционала Монжа-Канторовича (минимизируется квадрат нормы Камерона-Мартина) .

Важным аппаратом бесконечномерной теории Монжа-Канторовича являются различные геометрическо-аналитические неравенства (логарифмическое неравенство Соболева, транспортное неравенство Талагра-на, изопериметрические неравенства, неравенства концентрации). Этим вопросам посвящены недавние работы С. Бобкова, М. Леду, М. Талагра-на, К. Ферника, JL Каффарелли, И. Жантиля, Ф. Отто, Ц. Виллани, Ф.-Ю. Ванга. Обширная библиография на эту тему имеется в23. Один из результатов главы 4 состоит в доказательстве новой серии неравенств этого типа, обобщающих транспортное неравенство Талаграна. В качестве следствия мы получаем существование такого преобразования Т меры 7 в меру д-7, где д 6 -£^(7) при некотором р > 1, что Т(х) = x+F(x), где exp(c||F||#) 6 L1^). Это заметно усиливает результат Ферника10. Другим важным результатом является вывод уравнения Монжа-Ампера в бесконечномерном случае.

Глава 4 посвящена сходимости квадратичных форм и слабой сходимости распределений ассоциированных случайных процессов. Основные результаты связаны со сходимостью Моско, впервые рассмотренной в работе13. Согласно этой работе, сходимость Моско квадратичных форм равносильна сильной сходимости ассоциированных полугрупп. В частности, отсюда следует слабая сходимость распределений ассоциированных случайных процессов. Сходимость Моско сильнее Г-сходимости, введенной Де Джорджи для задач вариационного исчисления (см.24'25). Слабая сходимость случайных процессов и сходимость ассоциированных полугрупп активно изучаются в связи со многими задачами стохастики и математической физики26'27,28. Особую роль играют задачи аппроксимации

Ledoux М. The concentration of measure phenomenon. Amer. Math. Soc., Providence, 2001.

Жиков B.B., Козлов C.M., Олейник O.A. Усреднение дифференциальных операторов. М.: Наука, 1993.

Dal Maso G. An introduction to Г-convergence. Birkhauser Boston, Boston, 1993.

26Жиков B.B. Весовые соболевские пространства. Матем. сб., 1998, т. 189, в. 8, с. 1139-1170. ^Albeverio S., Kusuoka S., Streit L. Convergence of Dirichlet forms and associated Schrodinger operators. J. Funct. Anal., 1986. v. 68, p. 130-148.

Lyons T.J., Zhang T.S. Note on convergence of Dirichlet processes. Bull. London Math. Sci., 1993, v. 25, p. 353-356. бесконечномерных случайных процессов конечномерными. В диссертации получены простые достаточные условия сходимости Моско. В частности, получены приложения к некоторым моделям гиббсовских распределений. Также получены приложения к диффузионным процессам на винеровском пространстве.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Исследованы треугольные преобразования вероятностных мер. Изучены общие свойства треугольных преобразований. Получено обобщение неравенства Талаграна для треугольных отображений.

2. Решена задача представления меры, абсолютно непрерывной относительно данной гауссовской меры, в виде образа этой гауссовской меры при нелинейном сдвиге вдоль пространства Камерона-Мартина.

3. Исследован бесконечномерный аналог задачи Монжа-Канторовича.

4. Выведено уравнение Монжа-Ампера в бесконечномерном случае.

5. Получены новые транспортные неравенства для мер, удовлетворяющих логарифмическому неравенству Соболева или неравенству Пуанкаре.

6. Исследована сходимость Моско конечномерных и бесконечномерных форм Дирихле. Получены простые достаточные условия сходимости форм Дирихле на винеровском пространстве и форм Дирихле, порожденных гиббсовскими мерами. В частности, получены достаточные условия сходимости форм в терминах сходимости соответствующих условных мер и логарифмических производных.

Методы исследования. В работе применяются методы теории меры (в частности, идеи и результаты теории слабой сходимости), функционального анализа, теории вероятностей, стохастического анализа, вариационного исчисления, выпуклой геометрии, теории дифференциальных уравнений в частных производных, бесконечномерного анализа, а также некоторые оригинальные конструкции.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты и методы могут быть использованы в теории случайных процессов, теории вероятностей, теории меры, теории уравнений в частных производных, вариационном исчислении, бесконечномерном анализе.

Апробация диссертации. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на научно-исследовательском семинаре „Бесконечномерный анализ и стохастика" под руководством В.И.Богачева и на семинаре под руководством Б.С.Кашина и С.В.Конягина на механико-математическом факультете Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова, на семинаре отдела теории вероятностей Математического института РАН имени В.А. Стеклова, на семинаре отдела теории вероятностей Петербургского отделения математического института РАН имени В.А. Стеклова, на международной конференции „Stochastic calculus and mathematical physics" (Билефельд, Германия, 2000 г.), на международной конференции „Stochastic calculus and related topics" (Санкт-Петербург, 2001 г.), на международной конференции „Stochastic inequalities" (Барселона, 2002 г.), на семинаре по стохастическому анализу университета города Билефельда (Германия), на семинаре „Colloquium De Giorgi" Высшей нормальной школы города Пизы (Италия), а также на семинарах Владимирского педагогического государственного университета, университета города Лечче (Италия) и Пекинского нормального университета.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 15 работах автора, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы из 170 наименований. Общий объем диссертации составляет 238 страниц.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Колесников, Александр Викторович, 2005 год

1. Александров А.Д. К теории смешанных объемов выпуклых тел 1.IV. — Мат. Сборник, 1937, т. 2, в. 44, п. 5,6; 1938, т. 3, в. 45, п. 1,2.

2. Александров А.Д. О поверхностной функции выпуклого тела. — Мат. Сборник, 1939, т. 6, в. 48, п. 1, с. 167-174.

3. Александрова Д.Е. Сходимость треугольных преобразований мер. — Теория вероятн. и ее при-мен., 2005, т. 50, п. 1, с. 145-150.

4. Банах Т.О., Богачев В.И., Колесников A.B. О топологических пространствах со свойствами Прохорова и Скорохода. ДАН, 2001, т. 380, п. 6, с. 727-730.

5. Богачев В.И. Гауссовские меры. М.: Наука, 1997.

6. Богачев В.И. Основы теории меры, т. 1,2. РХД, Москва Ижевск, 2003.

7. Богачев В.И., Колесников А. В. Открытые отображения вероятностных мер и теорема представления Скорохода. — Теория вероятн. и ее примен., 2001, т. 46, п. 1, с. 3-27.

8. Бураго Д.М., Залгаллер В.А. Геометрические неравенства. JL: Наука, 1980.

9. Гихман И.И, Скороход A.B. Стохастические дифференциальные уравнения, Наукова думка, 1968.

10. Жиков В.В. Весовые соболевские пространства. — Мат. Сборник., 1998, т. 189, п. 8, с. 1139-1170.

11. Жиков В.В. К проблеме предельного перехода в дивергентных неравномерно эллиптических уравнениях. — Функ. анал. и его прил., 2001, т. 35, в. 1, с. 23-39.

12. Жиков В.В., Пятницкий A.JI. Усреднение случайных сингулярных структур и случайных мер.Изв. РАН, серия мат., 2006, т. 70, в. 1, с. 241-290.

13. Жиков В.В., Козлов С.М., Олейник O.A. Усреднение дифференциальных операторов. М.: Наука, 1993.

14. Канторович JI.B. О перемещении масс. ДАН СССР, 1942, т. 37, с. 227-229.

15. Колмогоров А.Н. О сходимости Скорохода. — Теор. вер. и ее примен., 1956, т. 1.

16. Колесников A.B. О топологических свойствах пространства Скорохода. — Теория вероятн. и ее примен., 1998, т. 43, п. 4, с. 781-786.

17. Колесников A.B. О непрерывных образах меры Лебега. — Матем. заметки., 1999, т. 65, п. 5, с. 790-793.

18. Колесников A.B. О полугруппах, сохраняющих логарифмическую вогнутость функций. — Докл. РАН, 2001, т. 376, п. 4, с. 449-450.

19. Кругова Е.П. О сдвигах выпуклых мер. — Мат. Сборник, 188, 1997, п. 2, с. 57-66.

20. Кулик A.M., Пилипенко А.Ю. Нелинейные преобразования гладких мер на бесконечномерных пространствах. — Укр. мат. журн., 2000, т. 52, п. 9, с. 1226-1250.

21. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Статистика случайных процессов. М.: Наука, 1974.

22. Мазья В.Г. Пространства C.JI. Соболева, Л.: Изд-во ЛГУ, 1985.

23. Прохоров Ю.В. Сходимость случайных процессов и предельные теоремы теории вероятностей.Теория вероятн. и ее примен., 1956, т. 1, п. 2, с. 177-238.

24. Рокафеллар Т. Выпуклый анализ. Мир, М., 1973.

25. Скороход A.B. Предельные теоремы для случайных процессов. — Теория вероятн. и ее примен., 1956, т. 1, п. 3, с. 289-319.

26. Судаков В.Н. Геометрические проблемы теории бесконечномерных вероятностных распределений. Тр. Мат. ин-та АН СССР. 1976, т. 140, с. 1-190.

27. Ширяев А.Н. Вероятность. М.: Наука, 1989.

28. Agueh M., Ghoussoub N., Kang X. Geometric inequalities via a general comparison principle for interacting gases. — Geom. Funct. Anal., 2004, v. 14, p. 215-244.

29. Albeverio S., H0egh-Krohn R., Streit L. Regularization of Hamiltonians and processes. — J.Math. Phys. 1980, v. 21, p. 1636-1642.

30. Albeverio S., Kondratiev Yu.G., Röckner M. Dirichlet operators via stochastic analysis. — J. Funct. Anal., 1995, v. 128, p. 102-138.

31. Albeverio S., Kondratiev Yu.G., Röckner M. Ergodicity for the stochastic dynamics of quasi-invariant measures with applications to Gibbs states. — J. Funct. Anal., 1997, v. 149, p. 415-469.

32. Albeverio S., Kondratiev Yu.G., Röckner M., Tsikalenko T.V. A priori estimates for symmetrizing measures and their applications to Gibbs states. — J. Funct. Anal., 2000, v. 171, p. 366-400.

33. Albeverio S., Kusuoka S., Streit L. Convergence of Dirichlet forms and associated Schrödinger operators. — J. Funct. Anal., 1986, v. 68, p. 130-148.

34. Albeverio S., Röckner M. Classical Dirichlet forms on topological vector spaces — closability and a Cameron-Martin formula. — J. Funct. Anal., 1990, v. 88, p. 395-436.

35. Ambrosio L., Pratelli A. Existence and stability results in the L1 theory of optimal transportation. Optimal transportation and applications (Martina Franca, 2001), 123-160, Lecture Notes in Math., 1813, Springer, Berlin, 2003.

36. Ambrosio L., Gigli N., Savaré G. Gradient flows in metric spaces and in the Wasserstein spaces of probability measures. Lectures in Math., ETH Zurich.

37. Bafico R., Pistone G. G-convergence of generators and weak convergence of diffusions. — Ann. Inst. Henri Poincaré, 1985, v. 21., n. 1, p. 1-13.

38. Bakry D., Michel D. Sur les inégalités F.K.G. — Séminaire de Probabilités XXVI., Lecture Notes in Math. 1526,1990, p. 170-188. Springer, Berlin.

39. Banakh T.O., Bogâchev V.l., Kolesnikov A.V. Topological spaces with the strong Skorokhod property. Georgian Math. Journal, 2001, v. 8, n. 2, p. 201-222.

40. Barthe F., Autour de l'inégalité de Brunn-Minkowski. — Ann. Fac. Sei. Toulouse Math. XII, 2003, p. 127-178.

41. Biroli M., Mosco U. A Saint-Venant principle for Dirichlet forms on discontinuous media. — Annali di Matematica pura ed applicata IV, CLXIX, 125-181, 1995.

42. Bobkov S.G. Isoperimetric and analytic inequalities for log-concave probability measures. — Ann. Probab., 1999, v. 27, n. 4, p. 1903-1921.

43. Bobkov S.G. Large deviations via transference plans. — Advances in Math. Research, v. 2. p. 151-175. Nova Sei. Publ., New York, 2003.

44. Bobkov S.G., Gentil I., Ledoux M. Hypercontractivity of Hamilton-Jacobi equations. — J. Math. Pures Appl., 2001, v. 80, n 7, p. 669-696.

45. Bobkov S.G., Götze F. Exponential integrability and transportation cost related to logarithmic Sobolev inequality. — J. Funct. Anal., 1999, v. 163, p. 1-28.

46. Bobkov, S.G., Ledoux, M. From Brunn-Minkovsky to Brascamp-Lieb and to logarithmic Sobolev inequality. — Geom. and Funct. Anal., 2000, v. 10, p. 1028-1052.

47. Bogachev V.l. Differentiable measures and the Malliavin calculus. — J. Math. Sei., 1997, v. 87, n. 5, p. 3577-3731.

48. Bogachev V.l., Goldys B., On second order derivatives of convex functions. Preprints der Forschergruppe "Spektrale Analysis und stochastische Dynamik" N 04-046, 2004, Universität Bielefeld.

49. Bogachev V., Röckner M., Schmuland B., Generalized Mehler semigroups and applications. — Probab. Theory Relat. Fields, 1996, v. 105, n. 2, p. 193-225.

50. Boreil C. Convex measures on locally convex spaces. — Ark. Math., 1974, v. 12, n. 2, p. 239-252.

51. Borell C. A note on conditional probabilities of a convex measure. Vector space measures and applications (Proc. Conf., Univ. Dublin, Dublin, 1977), II, p. 68-72, Lecture Notes in Phys. v. 77. Springer, Berlin New York, 1978.

52. Borell C. A Gaussian correlation inequality for certain bodies in Rd. — Math. Ann., 1981, v. 256, p. 569-573.

53. Borell C. Greenian potential and concavity. — Math. Ann., 1985, v. 272, p. 155-160.

54. Borell C. Brownian motion with negative drift and convex level sets in space-time. — Probab. Theory Rel. Fields, 1991, n. 87, p. 403-409.

55. Borell C. Geometric properties of some familiar diffusions in R". — Ann. Probab., 1993, v. 21, n. 3, p. 482-489.

56. Borell C. A note on parabolic convexity and heat conduction. — Ann. Inst. Henry Poincaré, 1996, v. 32, n. 3, p. 387-393.

57. Brascamp H., Lieb E.H. On extensions of the Brunn-Minkowski and Prékopa-Leindler theorems, including inequalities for log concave functions, and with an application to the diffusion equation. — J. Funct. Anal., 1976, v. 22, p. 366-389.

58. Brenier Y. Polar factorization and monotone rearrangement of vector valued functions. — Comm. Pure Appl. Math., 1991, v. 44, p. 375-417.

59. Briane M., Tchou N. Fibered microstructures for some nonlocal Dirichlet forms. — Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa CI. Sei., 2001, v. 4, p. 681-711.

60. Caffarelli L.A. Some regularity properties of solutions of Monge-Ampère equation. — Comm. Pure Appl. Math., 1991, v. 44, n. 8-9, p. 965-969.

61. Caffarelli L.A. The regularity of mappings with a convex potential., 1992. v. 5, n. 1, p. 99-104.

62. Caffarelli L.A. Monotonicity properties of optimal transportation and the FKG and related inequalities. Comm. Math. Phys., 2000, v. 214, n. 3, p. 547-563.

63. Camar-Eddine M., Seppecher P. Closure of the set of diffusion functional with respect to the Mosco-convergence. Math. Models Methods Appl. Sci., 2002, v. 12, n. 8, p. 1153-1176.

64. Cassano F.S. On the local boundedness of certain solutions for a class of degenerate elliptic equations.- Boll. Un. Mat. Ital. B (7), 1996, v. 10, p. 651-680.

65. Cattiaux P., FVadon M. Entropy, reversible diffusion processes, and Markov uniqueness. — J. Funct. Anal., 1996, v. 138, p. 243-272.

66. Cordero-Erausquin D. Non-smooth differential properties of optimal transport. — In: Recent advances in the theory and applications of mass transport, Contemporary Mathematics, 2004, v. 353, p. 61-71, American Math. Soc., Providence, Rhode Island.

67. Cordero-Erausquin D. Some applications of mass transport to Gaussian-type inequalities. — Arch. Rat. Mech. Anal., 2002, v. 161. p. 257-269.

68. Cordero-Erausquin D., Nazaret B., Villani C. A mass-transportation approach to sharp Sobolev and Gagliardo-Nirenberg inequalities. — Adv. Math., 2004, v. 182, n. 2, p. 307-332.

69. Eberle A. Uniqueness and non-uniqueness of semigroups generated by singular diffusion operators., Springer, 1999. (Lecture Notes in Math.; 1718).

70. Evans L. S., Gariepy R. F. Measure theory and fine properties of functions, CRC Press, Boca Raton/New York/Tokyo, 1992.

71. Fernique X. Extension du théorème de Cameron-Martin aux translations aléatoires. — Ann. Probab., 2003. v. 31, n.3. p. 1296-1304.

72. Feyel D., Ustunel A.S., The notions of convexity and concavity on Wiener space. — J. Funct. Anal., 2000, v. 176, p. 400-428.

73. Feyel D., Ùstiinel A.S. Transport of measures on Wiener space and the Girsanov theorem. — C. R. Acad. Sci. Paris., 2002, v. 334, n. 1, p. 1025-1028.

74. Feyel D., Ustunel A.S. Monge-Kantorovitch measure transportation and Monge-Ampère equation on Wiener space. — Probab. Theory Relat. Fields., 2004, v. 128, n. 3, p. 347-385.

75. Feyel D., Ustunel A.S., Solution of the Monge-Ampère equation on Wiener space for log-concave measures: general case. — Preprint Arxiv.org (2004).

76. Fukushima M. BV functions and distorted Ornstein Uhlenbeck processes over the abstract Wiener space. J. Funct. Anal., 2000, v. 174, p. 227-249.

77. Fukushima M., Hino M. On the space of BV functions and a related stochastic calculus in infinite dimensions. — J. Funct. Anal., 2001, v. 183, p. 245-268.

78. Fukushima M., Oshima Y., Takeda M. Dirichlet forms and symmetric Markov processes, de Gruyter, 1994.

79. Friedman F. Partial Differential Equations. New York, Holt, Reinhart and Winston, 1969.

80. Gangbo W., McCann R.J. The geometry of optimal transportation. — Acta Math., 1996, v. 177, p. 113-161.

81. Gentil. I., Guillin A., Miclo L. Modified logarithmic Sobolev inequalities and transportation inequalities — Probab. Theory Rel. Fields, 2005, v. 133, n. 3.

82. Georgii H.-O. Gibbs measures and phase transitions, Studies in Mathematics, v. 9, de Gruyter, Berlin/New-York, 1988.

83. Grothaus M., Kondratiev Yu., Lytvinov Eu., Rôckner M.: Scaling limit of stochastic dynamics in classical continuous systems. — Ann. Probab., 2003, v. 31, n. 3, p. 1494-1532.

84. Hajlasz P. Change of variables formula under minimal assumptions. — Colloq. Math., 1993, v. 64, n. 1, p. 93-101.

85. Hargé G. A particular case of correlation inequality for the Gaussian measure. — Ann. Probab., 1999, v. 27, p. 1939-1951.

86. Hargé G., A convex/log-concave correlation inequality for Gaussian measure and an application to abstract Wiener spaces. — Probab. Theory Related Fields, 2004, v. 13, n. 3, p. 415-440.

87. Herbst I., Pitt L., Diffusion equation techniques in stochastic monotonicity and positive correlations.- Probab. Theory Rel.Fields, 1991, v. 87, p. 275-312.

88. Hino M. Convergence of non-symmetric forms. — J. Math. Kyoto Univ., 1998, v. 38, n. 2, p. 329-341.

89. Hunt G. A. Semi-groups of measures on Lie groups. — Trans. Amer. math. Soc., 1956, v. 81, p. 264293.

90. Kawohl B. Starshapedness of level sets for the obtacle problem and for the capacitory potential problem. Proc. Amer. Math. Soc.,1983, v. 89, n. 4, p. 637-640.

91. Kawohl B. When are superharmonic functions concave? Application to the St. Venant torsion problem and to the fundamental mode of the clamped membrane. — Z. Angew. Math. Mech., 1984, v. 64, p. 364-366.

92. Kechris A. Classical descriptive set theory. Springer, Berlin New York, 1995.

93. Kennington A. Power concavity and boundary value problems. — Indiana Univ. Math. Jour.,1985, v. 34, n. 3, p. 687-704.

94. Khatri C.G. On certain inequalities for normal distributions and their applications to simultaneous confidence bodies. — Ann. Math. Statist., 1967, v. 38, p. 1853-1857.

95. Knothe H. Contributions to the theory of convex bodies. — Michigan Math. J., 1957, v. 4, p. 39-52.

96. Kolesnikov A. V. On diffusion semigroups and log-concavity. — Тезисы докладов международной конференции "Stochastic calculus and related topics", Санкт-Петербург, 2001, с. 43.

97. Korevaar N. J. Convex solutions to nonlinear elliptic and parabolic boundary value problem. — Indiana Univ. Math. Jour., 1983, v. 32, n. 4, p. 603-614.

98. Krylov N.V. On SPDEs and superdiffusions. Ann. Probab., 1997, v. 25, p. 1789-1809.

99. Kulik A.M. Log-Sobolev inequality, exponential integrability and large deviation estimates for C(a,/3) log-concave measures. — Random Oper. Stochastic Equations, 2002, v. 10, n. 2, p. 105-122.

100. Kuwae K., Shioya T. Convergence of spectral structures: a functional analytic theory and its applications to spectral geometry. — Comm. Anal. Geom., 2003, v. 11, n. 4, p. 599-673.

101. Kuwae K., Uemura T. Weak convergence of symmetric diffusion processes. — Probab. Theory Relat. Fields, 1997, v. 109, p. 159-182.

102. Kuwae K., Uemura T. Weak convergence of symmetric diffusion processes II. — Proc. of the 7th Japan-Russia Symp. Probab. Theory Math. Stat., p. 256-265, word Scientific, 1996.

103. Latala R., Oleskiewicz K. Between Sobolev and Poincaré . — In Geometric aspects of functional analysis, Lecture Notes in Math., 2000, v. 1745, p. 147-168. Springer, Berlin.

104. Lavrentiev M., Sur quelques problems du calcul variations. — Ann. Mat. Рига Appl., 1926, v. 4, p. 7-28.

105. Ledoux M. Isoperimetry and Gaussian Analysis, Lecture Notes in Math., 1996, v. 1648, p. 165-294.

106. Ledoux M., Talagrand M. Probability in Banach Spaces. Isoperimetry and Processes, SpringerVerlag, Berlin New York, 1991.

107. Ledoux M. The concentration of measure phenomenon. Mathematical Surveys and Monographs 89. Amer. Math. Soc., 2001.

108. Linde W., Probability in Banach spaces stable and infinitely divisible distributions, Chichester; New York : Wiley, 1986.

109. Lyons T.J., Zhang T.S. Note on convergence of Dirichlet processes. — Bull. London Math. Sci.,1993, v. 25, p. 353-356.

110. Lyons T.J., Zhang T.S. Decomposition of Dirichlet processes and its application. — Ann. Probab.,1994, v. 22, n. 1, p. 494-524.

111. Lyons T.J., Zhang T.S. Convergence of non-symmetric Dirichlet processes. — Stochastics and Stoch. Reports, 1996, v. 57, p. 159-167.

112. Lyons T.J., Zheng W. A crossing estimate for the canonical process on a Dirichlet space and tightness result. — Colloque Paul Levy sur processus stochastique: Asrterisque, 1988, v. 157-158, p. 249372.

113. Ma Z.M., Rôckner M. An introduction to the theory of (non-symmetric) Dirichlet forms, Springer, Berlin, 1992.

114. McCann R.J. Existence and uniqueness of monotone measure-preserving maps. — Duke Math.,1995, v. 80, p. 309-323.

115. McCann R.J., A convexity principle for interacting gases. — Adv. Math.,1997, v. 128, n. 1, p. 153179.

116. Monge G. Mémoire sur la théorie des Dédiais et de remblais, Histoire de l'Acad'emic Royale des science, 1781.

117. Mosco U. Composite media and Dirichlet forms. — J. Funct. Anal., 1994, v. 123, p. 368-421.

118. Muckenhoupt B. Weighted norm inequalities for Hardy maximal functions. — Trans. Amer. Math. Soc., 1972, v. 165, p. 207-226.

119. Ogura Y., Tomisaki M., Tsuchiya M. Convergence of local type Dirichlet forms to a non-local type one. Ann. I. H. Poincaré - PR 2002, v. 38, n. 4, p. 507-556.

120. Otto F., Villani C. Generalization of an inequality by Talagrand, and links with the logarithmic Sobolev inequality. — J. Funct. Anal., 2000, v. 173, p. 361-400.

121. Pisier G. Probabilistic methods in the geometry of Banach spaces. Lecture Notes in Math., v. 1206, p. 167-241, Springer-Verlag, Berlin, 1986.

122. Pitt L. D. A Gaussian correlation inequality for symmetric convex sets. — Ann. Probab., 1977, v. 5, p. 470-474.

123. Posilicano A. Convergence of distorted Brownian motions and singular hamiltonians. — Potential Analysis, 1996, v. 5, p. 241-271.

124. Posilicano, A., Zhang, T.S. Convergence of symmetric diffusions on Wiener spaces. — Acta Math. Appl. Sin. Engl. Ser., 2004, v. 20, n. 1, p. 19-24.

125. Ргёкора A. On logarithmic concave measures and functions. — Acta Sci. Math., 1973, v. 34, p. 335343.

126. Preston C. Random Fields, Lecture Notes in Math., v. 534, Springer, Berlin/New-York, 1976.

127. Pugachev 0. On closability of classical Dirichlet forms. — J. Funct. Anal., 2004, v. 207, n. 2, p. 330-343.

128. Rachev S.T., Riischendorf L. Mass Transportation Problems. V i—ii. Springer, 1998.

129. Reed M., Simon B. Methods of modern mathematical physics. II. Fourier analysis, self-adjointness. New York, Academic Press, 1975.

130. Rockner M., Schmuland B. Tightness of general CiiP-capacities on Banach space. — J. Funct. Anal., 1992, v. 108, p. 1-12.

131. Rockner M., Zhang T. S. Convergence of operator semigroups generated by elliptic operators. — Osaka J. Math., 1997, v. 34, p. 923-932.

132. Rockner M., Zhang T. S. Uniqueness of generalized Schrodinger operators and applications. — J. Funct. Anal., 1992, v. 105, p. 187-231.

133. Rockner M., Zhang T. S. Uniqueness of generalized Schrodinger operators and applications II. — J. Funct. Anal., 1994, v. 119, p. 455-467.

134. Rockner M., Zhang T. S. Finite dimensional approximation of diffusion processes on infinite dimensional spaces. — Stochastics and Stoch. Reports, 1996, v. 57, p. 37-55.

135. Schechtman G., Schlumprecht Т., Zinn J. On the Gaussian measure of the intersection of the symmetric, convex sets. — Ann. Probab., 1998, v. 26, p. 346-357.

136. Shepp L. Distinguishing a sequence of random variables from a translate of itself. — Ann. Math. Statist., 1965, v. 36, p. 1107-1112.

137. Sherman S. A theorem on convex sets with applications. — Ann. Math. Statist., 1955, v. 26, p. 763766.

138. Siddk Z., Rectangular confidence regions for the mean of multivariate normal distributions. — J. Amer. Statist. Assoc., 1967, v. 62, p. 626-623

139. Sturm К. T. Analysis on local Dirichlet spaces I. Recurrence, conservativeness and Lp-Liouville properties. — J. Reine Angew. Math., 1994, v. 456, p. 173-196.

140. Sturm К. T. Analysis on local Dirichlet spaces II. Upper Gaussian estimates for the fundamental solution of parabolic equations. — Osaka J. Math., 1995, v. 32, p. 275-312.

141. Sugita H., Positive generalized Wiener functions and potential theory over abstract Wiener spaces. Osaka J. Math., 1988, v. 25, n. 3, p. 665-696.

142. Takeda M. On a martingal method for symmetric diffusion processes and its applications. — Osaka J. Math., 1989, v. 26, p. 605-623.

143. Talagrand M. Transportation cost for Gaussian and other product measures. — Geom. Funct. Anal., 1996, v. 6, p. 587-600.

144. Taylor M., Partial differential equations II. Qualitative studies of linear equations. — Springer. New York, 1991.

145. Tuero A. On the stochastic convergence of representations based on Wasserstein metrics. — Ann. Probab., 1993, v. 21, n. 1, p. 72-85.

146. Villani C. Topics in Optimal Transportation. Amer. Math. Soc., Providence, Rhode Island, 2003.

147. Uemura T. On weak convergence of diffusion processes generated by energy forms. — Osaka J. Math., 1995, v. 32, p. 861-868.

148. Ustunel A.S., Zakai M. Measures induced on Wiener space by monotone shifts. — Probab. Theory Relat. Fields, 1996, v. 105, p. 545-563.

149. Ustunel A.S., Zakai M. On the uniform integrability of the Radon-Nikodym densities for Wiener measure. — J. Funct. Anal., 1998, v. 159, p. 642-663.

150. Ustunel A.S., Zakai M. Transformation of measure on Wiener space. Springer, Berlin, 2000.

151. Wang F.Y. Logarithmic Sobolev inequalities on non-compact Riemannian manifolds. — Probab. Theory Relat. Fields, 1997, v. 109, p. 417-424.

152. Wang F.Y. Probability distance inequalities on Riemannian manifolds and path spaces. — J. Funct. Anal., 2004, v. 206, p. 167-190.Список работ автора по теме диссертации.

153. Kolesnikov A.V. On the diffusion semigroups preserving the log-concavity. — J. Funct. Anal., 2001, v. 186, p. 196-205.

154. Kolesnikov A.V. Correlation inequality and diffusion semigroups. Abstracts of the International Conference "Stochastic inequalities", Barcelona, 2002, p. 22-24.

155. Колесников A.B. Неравенства выпуклости и нелинейные преобразования мер. — Докл. РАН,2004, т. 396, п. 3, с. 300-304.

156. Kolesnikov A.V. Convexity inequalities and optimal transport of infinite-dimensional measures. — J. Math. Pures Appl., 2004, v. 83, n. 11, p. 1373-1404.

157. Богачев В.И., Колесников A.B., Медведев K.B. О треугольных преобразованиях мер. — Докл. РАН, 2004, т. 396, п. 6, с. 727-732.

158. Богачев В.И., Колесников A.B. Нелинейные преобразования выпуклых мер и энтропия плотностей Радона-Никодима. — Докл. РАН, 2004, т. 397, п. 2, с. 155-159.

159. Богачев В.И., Колесников A.B., Медведев К.В. Треугольные преобразования мер. — Матем. сб., 2005, т. 196, п. 3, с. 3-30.

160. Богачев В.И., Колесников A.B. Нелинейные преобразования выпуклых мер. — Теория вероятн. и ее примен., 2005, т. 50, п. 1, с. 27-51.

161. Kolesnikov A.V. Convergence of Dirichlet forms with changing speed measures on Rd. — Forum. Math., 2005, n. 17, p. 225-259.

162. Bogachev V.I, Kolesnikov A.V. On the Monge-Ampfere equation in infinite dimensions. — Infin. Dimen. Anal. Quantum Probab. and Relat. Topics, 2005, v. 8, n. 4, p. 547-572.

163. Богачев В.И., Колесников A.B. Интегрируемость абсолютно непрерывных преобразований мер и применения к оптимальному переносу масс. — Теория вероятн. и ее примен., 2005, т. 50, п. 3, с. 3-25.

164. Богачев В.И., Колесников A.B. Об уравнении Монжа-Ампера на винеровском пространстве. Докл. РАН., 2006, т. 406, п. 1, с. 433-456. - BiBoS Preprint N 05-01-175, Universität Bielefeld,2005.http://www.physik.uni-bielefeld.de/bibos / start.html

165. Kolesnikov A.V. Integrability of optimal mappings. — SFB 701 Preprint N 05-1012, Universität Bielefeld, 2005, lip.http://www.math.uni-bielefeld.de/sfb701/preprints/sfb05012.pdf

166. Kolesnikov A.V. Weak convergence of diffusion processes on Wiener space. — SFB 701 Preprint N 05-1013, Universität Bielefeld, 2005,12 p.http: //www.math.uni-bielefeld.de/sfb701 /preprints / sfb05013.pdf